对顶角
初中数学 什么是对顶角
初中数学什么是对顶角在几何学中，对顶角是指两个交叉的直线上，位于相对位置的两个角。
在本文中，我们将详细介绍对顶角的定义、性质、判定以及与其他角度的关系等内容。
一、对顶角的定义对顶角是指两个交叉的直线上，位于相对位置的两个角。
具体来说，如果两条直线交叉，并且它们的相交点将角分成两对相对的角，那么这两对相对的角就是对顶角。
二、对顶角的性质对顶角具有以下几个重要的性质：1. 对顶角的度数相等。
也就是说，如果两对角是对顶角关系，它们的度数是相等的。
2. 对顶角共享一个顶点。
这意味着两对对顶角有一个公共的顶点。
3. 对顶角的非公共边构成一条直线。
也就是说，对顶角的非公共边延长后可以构成一条直线。
4. 对顶角的补角互为对顶角。
补角是指两个角的度数之和等于180度。
因此，如果两对对顶角的度数之和等于180度，则它们互为补角。
三、对顶角的判定在几何学中，有几种方法可以判定两个角是否为对顶角：1. 使用直尺和量角器：通过直尺和量角器测量两个角的度数，并且确定它们有一个公共的顶点和非公共边构成一条直线，就可以判定为对顶角。
2. 使用角度的性质：如果两个角有一个公共的顶点和非公共边构成一条直线，那么它们是对顶角。
四、对顶角与其他角度的关系对顶角与其他角度之间有一些特殊的关系：1. 对顶角是补角的特殊情况。
如果两对角是对顶角，它们的度数之和等于180度，那么它们互为补角。
2. 对顶角与相邻角的关系：如果两对角是对顶角，并且它们有一个公共的顶点和一条边重合，那么它们互为相邻角。
综上所述，对顶角是几何学中的重要概念，具有特殊的性质和判定方法。
通过对对顶角的定义、性质、判定以及与其他角度的关系的了解，我们可以更好地理解和应用对顶角的知识。
小学数学知识点认识角的特殊关系(对顶角互补角补角)
小学数学知识点认识角的特殊关系（对顶角互补角补角）小学数学知识点认识角的特殊关系（对顶角、互补角、补角）角是数学中基本的几何概念之一，是由两条线段所围成的部分。
在小学数学中，我们经常遇到一些特殊的角，它们之间存在着一些特殊的关系。
本文将介绍小学数学中认识角的特殊关系，包括对顶角、互补角和补角。
一、对顶角在两条平行线之间，当一条线与另一条线有交点时，形成了一对对顶角。
对顶角的特点是：它们的顶点相同，两边分别位于两条平行线的同一侧。
对顶角互相相等。
例如，在下图中的平行线AB和CD之间，线段AC与线段BD相交，形成了两对对顶角∠1和∠3、∠2和∠4。
[图片描述]（图片省略）根据对顶角的性质，我们可以得到∠1 = ∠3，同时∠2 = ∠4。
二、互补角当两个角的和为90°时，我们称这两个角互为补角。
互补角的特点是：它们的两个角的和等于90°。
例如，∠5 + ∠6 = 90°，那么我们可以说∠5和∠6是互补角。
在小学数学中，我们经常遇到一种特殊的互补角，即两条垂直线之间的互补角。
两条垂直线之间的互补角有特殊的性质，即它们的度数相等。
例如，在下图中的垂直线AB和CD之间，形成了两对互补角∠7和∠8、∠9和∠10。
如果我们知道∠7的度数是60°，那么我们可以得出∠8也是60°，同时∠9和∠10也是60°。
[图片描述]（图片省略）三、补角当两个角的和为180°时，我们称这两个角互为补角。
补角的特点是：它们的两个角的和等于180°。
例如，∠11 + ∠12 = 180°，那么我们可以说∠11和∠12是补角。
在小学数学中，我们经常遇到一种特殊的补角，即一个角与其补角的度数相等。
我们可以通过计算其中一个角的度数，来得出另一个角的度数。
例如，在下图中的∠13和∠14是补角，如果我们已知∠13的度数是120°，那么我们可以得出∠14的度数也是120°。
数学七年级上册《对顶角》课件
A
C
∠AOC和∠BOD有公共顶点，
O
且∠AOC的两边分别是∠BOD两边
的反向延长线.
DB
总结归纳
对顶角：
如图直线AB与CD相交于点O，∠1和∠3有公共顶点O，并且 它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.∠2 和∠4也是对顶角.
A
C
3
2
O1
D
4 B
练一练 判断下列各图中∠1和∠2是否为对顶角，并说明理由？
∠4=∠2=150°. (对顶角相等)
1.下列说法中，正确的有（ B ） ①对顶角相等 ②相等的角是对顶角 ③不是对顶角的两个角就不相等 ④不相等的角不是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
2.要测量两堵墙所成的角的度数，但人不能进入围墙， 如何测量？
个角有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角 两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.
对顶角性质：对顶角相等.
第5章
相交线与平行线
5.1 相交线
1.对顶角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解对顶角的概念； 2.掌握对顶角的性质，并能运用它的性质进行角的运算及一
些实际问题.（重点、难点）
情境引入 观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系.
一 对顶角的概念
问题 剪刀剪东西的过程中，∠AOC和∠BOD这两个角的 位置保持怎样的关系？
1
×
2
1
×
2
1 2×
12
×
1
√
2
1
2×
二 对顶角的性质
请你猜一猜，剪刀剪东西的过程中，∠AOC和∠BOD这两 个角的大小保持怎样的关系？
《对顶角》PPT优质课件
工程测量中
在工程测量中，对顶角的概念也被广泛应用。例如，在测量道路或桥梁的角度时，工程师可以使用对顶角的概念来确保测量的准确性和精度。
航海导航中
在航海导航中，对顶角的概念可以用来确定船只的航向和位置。例如，当船只行驶在海上时，航海员可以通过观察天体（如太阳或星星）的位置和角度来确定船只的航向和位置，这时就可以利用对顶角的概念来进行计算和验证。
当两条直线垂直相交时，形成的四个角都是直角，即90度。
在一些特定的图形中，如平行四边形等，对顶角也有特殊的关系和性质。
在解决一些复杂的几何问题时，可以利用对顶角的性质来简化问题或寻找解题思路。
特殊情况下的直线交点和对顶角
03
CHAPTER
三角形中的对顶角应用
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于180度。
多边形内角和公式推导过程中涉及对顶角概念
正多边形各顶点处对顶角数量关系
正多边形定义
正多边形是指各边相等、各内角也相等的多边形。在正多边形中，每个顶点处的对顶角大小相等。
对顶角数量关系
在正n边形中，每个顶点处的对顶角大小为(n-2)×180°/n。由于正多边形的各内角大小相等，因此每个顶点处的对顶角也相等。
底边两端点所对顶角的性质
等腰三角形中底边两端点所对顶角性质
直角三角形有一个90度的直角，其余两个角之和为90度。
直角三角形的性质
在直角三角形中，斜边两端点所对的两个顶角互余，即它们的度数之和等于90度。同时，这两个顶角还分别与直角三角形的两个锐角相等。
斜边两端点所对顶角的性质
直角三角形中斜边两端点所对顶角性质
思路分析
根据对顶角的性质，我们知道如果两个角是对顶角，那么它们的度数相等。因此，如果∠EPG = ∠FPH，那么我们可以得出EF∥GH的结论。
对顶角
D
B
21
O4
3
A
C
练习五
如图所示，三条直线AB、CD、EF相
交于Ｏ点，∠1＝４00,∠2=750,则
∠3等于多少度?
解: ∵ ∠1＝４00
F A
∴ ∠DOB=∠1＝４00
∵ ∠2=750,
C
∴ ∠3= 1800 － ∠2 － ∠DOB
= 1800 － 750 － ４00
1
2
O3
D B
= 650
E
变式练习：
像这样的两个角叫做邻补角.
思考、讨论并回答下列问题
下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？
1 2
1
12
2
A
B
C
思考、讨论并回答下列问题
下列各图中∠1、∠2是邻补角吗？
1
1
2
2
12
A
B
C
对顶角性质：
对顶角相等
C
14
∵ ∠1+∠2=180 0
A
23
B
∠2+∠3=180 0 （邻补角定义）
∴ ∠1=∠3（同角的补角相等）
D
练习一
如图，三条直线AB、
E
B
CD、EF两两相交，在这
个图形中有对顶角_6_对， C
D
邻补角_1_2__对.
Hale Waihona Puke AF练习二
如图所示，三条直线
A
AB 、 CD 、 EF 相 交 于 一
点 O,∠AOC 的 对 顶 角
是 ∠DOB ，∠COF的对 C
顶角是_∠__D_O_E___.
∠COB 的 邻 补 角 是∠__AO_C__∠__B_O_D_.E
七年级数学课件对顶角
对顶角定理的应用
01
02
03
角度计算
利用对顶角定理可以计算 出未知角度的大小。
几何证明
在几何证明中，可以利用 对顶角定理来证明某些几 何命题。
图形构造
在图形构造中，可以利用 对顶角定理来帮助确定某 些点的位置。
03 对顶角的证明
对顶角的证明方法
1 2
三角形的对顶角相等
利用三角形的内角和性质，通过等量代换证明对 顶角相等。
利用三角形内角和定理，将两个对顶角分别与第三个角组成三
角形，通过等量代换证明对顶角相等。
证明对顶角互补的定理
证明方法
利用平行线的性质和内错 角相等，证明对顶角互补。
定理表述
在平行线中，对顶角互补。
定理证明
利用平行线的性质和平行 线的交错内角相等，证明 对顶角互补。
04 对顶角的实际应用
对顶角在几何图形中的应用
平行线的对顶角相等
通过平行线的性质和内错角相等，证明对顶角相 等。
3
角的平分线的性质
利用角的平分线的性质，证明对顶角相等。
证明对顶角相等的定理
证明方法
01
利用三角形的内角和性质，将两个对顶角分别与第三个角组成
三角形，通过三角形内角和定理证明对顶角相等。
定理表述
02
在三角形中，对顶角相等。
定理证明
03
01
02
03
04
B. 直线外一点到这条直线的 垂线段，叫作点到直线的距离
C. 不相等的角不是对顶角
D. 两点之间，垂线段最短
6. 若$angle AOB = 70^circ$， $angle BOC = 30^circ$，则 $angle AOC$的度数为____．
《对顶角》数学教学PPT课件(4篇)
∠COB=180°- ∠AOC=130°
因为∠AOD与∠BOC是对顶角,
所以∠BOC= ∠AOD=130°
请同学们谈谈本节课的收获与体会
1.对顶角的概念； 2.对顶角的性质。
谢谢
第8章 相交线与平行线
对顶角
1.掌握对顶角的定义并能够在图形中识别出来. 2.能够用对顶角的性质解决有关的问题.
大桥上的钢梁和钢索
C 1（2（）O）3 B
A4 D
说一说：下列各图中，∠l和∠2是对顶角吗？为什么？
你好棒啊！！
探究活动
在纸上任意画两条直线，分别度 量对顶角的大小有什么关系？你能说 明为什么有这种关系吗？与同学交流。
A
∠1与∠3都是∠2的补角，因为同角的补角 相等，所以∠1= ∠3
D
C
2 1﹙O 3
4
B
性质：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。
C
O B
∠ AOD与∠BOC；∠AOC与∠BOD有什么位置关系？
1.它们都是两条直线相交形成的； A
2.它们分别有公共的顶点O；
3.其中一个角的两边分别是另 D 一个角的两边的反向延长线。
C
·
O B
对顶角的概念：
对顶角：如果一个角的两边是 另一个角的两边的反向延长线，那 么这两个角互为对顶角。
想一想生活中还 有那些对顶角的实例？
C
B
因为∠BOD与∠AOC是对顶角， 所以∠BOD=∠AOC=70°
由OE平分∠BOD得 ∠BOE=∠EOD=1/2 ∠BOD
=1/2×70°= 35°
巩固检测
1.如图，直线AB、EF相交于点D， ∠ADC=90°。
（1）∠1的对顶角是_∠_B_D__F_；∠２的余角有 ∠_1_和___∠_B__D_F__。
初中数学 什么是对顶角和同位角
初中数学什么是对顶角和同位角在初中数学中，对顶角和同位角是描述角度关系的重要概念。
下面将详细介绍对顶角和同位角的概念、性质和应用。
1. 对顶角（Vertical Angles）：对顶角是指两个相交直线的对立面之间形成的角。
在图形中，对顶角的两条射线是共线的，它们在同一点上相交，并且相交点的两侧形成的角度是对顶角。
例如，图中∠ABC和∠DEF是对顶角。
对顶角的特点是，它们有相等的度数。
也就是说，∠ABC的度数等于∠DEF 的度数，∠ABD的度数等于∠EBC的度数。
对顶角的相等性质是非常重要的，在解决各种与角度相关的问题时经常用到。
2. 同位角（Corresponding Angles）：同位角是指两条平行线被一条交叉线切割后，位于相同位置的角。
在图形中，同位角的两条射线是平行的，它们被一条交叉线切割，并且位于相同位置的角度是同位角。
例如，图中∠ABD和∠EBC是同位角。
同位角的特点是，它们有相等的度数。
也就是说，∠ABD的度数等于∠EBC 的度数，∠BAC的度数等于∠EDF的度数。
同位角的相等性质可以帮助我们解决平行线和角度关系的问题。
对顶角和同位角的性质：1. 对顶角是相等的：∠ABC = ∠DEF，∠ABD = ∠EBC。
2. 同位角是相等的：∠ABD = ∠EBC，∠BAC = ∠EDF。
3. 对顶角和同位角的度数之和等于180度：∠ABC + ∠ABD = 180度，∠BAC + ∠BDC = 180度。
对顶角和同位角的应用：1. 判断角度关系：通过对顶角和同位角的判断，可以确定角的相等性和关系。
2. 解决平行线和角度关系问题：对顶角和同位角的性质可以帮助我们解决平行线和角度关系的问题，例如判断平行线、找出相等角等。
3. 证明定理和推导结论：对顶角和同位角的性质是证明定理和推导结论的重要工具，可以帮助我们进行推理和论证。
4. 解决几何题目：对顶角和同位角的概念可以应用于各种几何题目，如求解角度大小、证明图形特性等。
邻补角和对顶角的定义
邻补角（Adjacent Supplementary Angles）和对顶角（Vertically Opposite Angles）是关于角度和角之间关系的两个概念。
1. 邻补角：邻补角是指一个平面内，以一条公共边为边界、且在两个相邻角的外侧相互补充的两个角。
简单地说，邻补角是具有一个公共边和一个公共顶点的相邻角，它们的度数之和等于180度（在欧几里得几何下）。
例如：如果角A和角B是相邻的，并且它们的度数之和等于180度（角A + 角B = 180°），则它们是邻补角。
2. 对顶角：对顶角是指两条相交直线所形成的相对角。
当两条直线相交时，会形成四个角，其中相对位置的两个角互为对顶角。
对顶角的性质是，它们相等。
也就是说，如果角A和角B是对顶角，那么角A等于角B（角A = 角B）。
七年级数学课件对顶角-(含多场景)
七年级数学课件对顶角一、引言在七年级数学课程中，对顶角是一个重要的几何概念。
对顶角是指在两条相交直线上，一对位于相交点两侧且互不相邻的角。
它们具有一些特殊的性质和定理，对于解决几何问题具有重要意义。
本文将详细介绍对顶角的定义、性质和定理，并通过一些典型例题来帮助同学们更好地理解和应用对顶角。
二、对顶角的定义对顶角是指两条相交直线上，一对位于相交点两侧且互不相邻的角。
在一个交点处，通常会有两对对顶角，分别是相邻角和不相邻角。
相邻角是指位于相交点两侧且相邻的两个角，而不相邻角是指位于相交点两侧且不相邻的两个角。
三、对顶角的性质1.对顶角相等：在一个交点处，两对对顶角的大小相等。
这是对顶角最基本的性质，也是解决几何问题的关键。
2.对顶角互补：在一个交点处，一对对顶角的和等于180度。
这是由于直线的性质，即直线上的两个相邻角的和为180度。
3.对顶角的平行线性质：如果两条直线被一条横截线所截，那么在这两条直线之间，对顶角是相等的。
这是平行线性质的一个重要应用。
四、对顶角的定理1.对顶角定理：如果两条直线相交，那么在交点处，两对对顶角的大小相等。
2.对顶角互补定理：如果两条直线相交，那么在交点处，一对对顶角的和等于180度。
3.对顶角的平行线定理：如果两条直线被一条横截线所截，那么在这两条直线之间，对顶角是相等的。
五、典型例题例题1：如图，直线AB和CD相交于点O，求证：∠AOC=∠BOD。
解答：根据对顶角定理，我们知道在交点O处，两对对顶角的大小相等。
因此，∠AOC=∠BOD。
例题2：如图，直线AB和CD被直线EF所截，且∠AEF=70度，求证：∠BEF=110度。
解答：根据对顶角的平行线定理，我们知道在直线AB和CD之间，对顶角是相等的。
因此，∠AEF=∠BEF。
又因为∠AEF=70度，所以∠BEF=70度。
由于直线上的两个相邻角的和为180度，所以∠BEF=180度∠AEF=180度70度=110度。
初中数学 什么是对顶角
初中数学什么是对顶角
对顶角是指两条相交直线之间的两对相对角度。
在几何学中，对顶角是角度的一种特殊关系，它具有一些重要的性质和应用。
以下是关于对顶角的一些重要概念和性质：
1. 相交直线：对顶角是由两条相交直线形成的。
这意味着对顶角的两个角度位于两条相交直线之间。
2. 相对角度：对顶角是两对相对的角度。
这意味着对顶角的两个角度位于相交直线的不同侧。
3. 性质：对顶角具有一些特殊的性质。
其中最重要的性质是对顶角的度数相等。
换句话说，如果一个对顶角的度数是x度，那么它的对应对顶角的度数也是x度。
4. 应用：对顶角在解决几何问题中有广泛的应用。
例如，当我们知道一个对顶角的度数，可以通过求其对应的对顶角来得到另一个角度的度数。
对顶角也可以用来证明角度之间的关系，以及解决其他与角度有关的几何问题。
对顶角在几何学和实际应用中具有重要的意义。
它们帮助我们理解角度之间的关系，推导出未知角度的度数，并在解决几何问题时提供了有用的工具。
总之，对顶角是指两条相交直线之间的两对相对角度。
对顶角具有一些特殊的性质和应用，对于理解几何学和解决相关问题非常重要。
数学七年级上册《对顶角》课件
外角和性质
平行四边形的外角和也等 于360度。
05
多边形中对顶角应用
多边形内角和定理引入
通过观察和比较不同多边形的内角和，引导 学生发现多边形内角和与边数之间的关系。
引入多边形内角和定理：n边形的内角和等于 （n-2）×180°，其中n为多边形的边数。
举例验证多边形内角和定理的正确性，如三 角形、四边形等。
邻补角与对顶角的关系
两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角。邻补角互补 ，即和为180°。
拓展延伸：复杂图形中对顶角应用
在复杂图形中，可以通过识别对 顶角来简化问题，找出相等的角
或者互补的角。
在证明题中，可以利用对顶角的 性质来证明两个角相等或者互补
。
在实际问题中，可以通过观察和 分析对顶角来解决一些与角度有
关的问题。
思考题：如何在实际问题中应用对顶角知识
1
在建筑设计中，可以利用对顶角的性质 来确保建筑物的稳定性和美观性。例如 ，在设计屋顶时，可以利用对顶角来确 保屋顶的角度和形状符合设计要求。
2
在地理测量中，可以利用对顶角来测量 山峰的高度或者河流的宽度。例如，在 测量山峰高度时，可以在山峰两侧分别 设立观测点，然后利用对顶角的性质来 计算出山峰的高度。
通过测量、计算或推理验 证三角形内角和定理。
应用场景
在解决三角形相关问题时 ，经常需要用到三角形内 角和定理。
利用对顶角求三角形内角和
对顶角定义
两个角如果它们的两边分别互为反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。
利用对顶角求三角形内角和的方法
在三角形中，如果已知两个角的度数，可以利用对顶角相等的性质求出第三个角的度数， 进而求出三角形的内角和。
对顶角课件ppt
对顶角相等定理是几何学中的基本定理之一，它指出在任何两条相交的直线形成 的对顶角都是相等的。
详细描述
对顶角相等定理是几何学中的基础定理，它表明在任何两条相交的直线形成的对 顶角都是相等的。这个定理在证明其他几何定理和解决几何问题时有着广泛的应 用。
对顶角性质的应用
总结词
对顶角性质的应用非常广泛，它可以用于证明其他几何定理、解决几何问题以及理解几何图形的性质 。
04 对顶角的变式和拓展
对顶角的变式
01
02
03
直角对顶角
在直角三角形中，对顶角 相等且互为补角，即两个 直角互为对顶角。
等腰对顶角
在等腰三角形中，底角互 为对顶角，且底角相等。
等边对顶角
在等边三角形中，每个内 角都是60度，因此每个内 角的对顶角也相等。
对顶角的拓展
对顶角与平行线
在平行线中，同位角相等，内错角相等，而这些角与对顶角之间 存在一定的关系。
详细描述
对顶角性质的应用非常广泛，它可以用于证明其他几何定理，如平行线的性质和判定定理等。此外， 它还可以用于解决各种几何问题，如角度计算、线段比例等。同时，对顶角性质也是理解几何图形性 质的基础，如平行四边形、梯形等。
对顶角定理的证明
总结词
对顶角定理的证明可以通过构造辅助线或利用三角形的全等性质来进行证明。
对顶角与三角形内角和
通过对顶角与其他内角的互补关系，可以证明三角形内角和为180 度。
对顶角与多边形内角和
利用对顶角性质，可以推导出多边形内角和的计算公式。
对顶角与其他几何知识的结合
对顶角与轴对称
通过对顶角的性质，可以 证明轴对称图形的性质和 特点。
对顶角与几何作图
数对顶角的公式
数对顶角的公式咱们在数学的世界里啊，经常会碰到各种各样有趣的小规律和公式。
今天咱们就来好好聊聊数对顶角的公式。
先来说说什么是对顶角。
你想想，两根直线相交，是不是就会形成几个角？这几个角当中，那些相对着的，大小相等的角，就是对顶角啦。
那怎么来数对顶角的个数呢？这就有个公式可以帮忙。
假设直线相交有 n 条，那么对顶角的个数就是 n×(n - 1) 个。
比如说，两条直线相交，那就只有 2 个对顶角。
要是三条直线相交呢，咱们来算算。
按照公式，n 等于 3，那对顶角的个数就是 3×(3 - 1)= 6 个。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙特别可爱。
他瞪着大眼睛，一脸疑惑地问我：“老师，这公式怎么来的呀？”我就跟他说：“你别急，咱们慢慢来看。
”两条直线相交，形成2 个对顶角，这很好理解。
那三条直线相交呢？咱们一条一条来看。
先看第一条直线和第二条直线相交，形成 2 个对顶角。
然后第一条直线再和第三条直线相交，又形成 2 个对顶角。
接着第二条直线和第三条直线相交，还是 2 个对顶角。
这样加起来，不就是 6 个对顶角嘛。
再多几条直线相交，其实也是同样的道理。
每两条直线相交都会形成 2 个对顶角，所以总的对顶角个数就是 n×(n - 1) 个。
掌握了这个公式，咱们在做题的时候可就方便多啦。
比如说，遇到一个图形，有五条直线相交，那咱们马上就能算出对顶角的个数是5×(5 - 1) = 20 个。
其实数学里很多公式都是这样，看起来好像很复杂，但是只要咱们静下心来，仔细琢磨琢磨，就能发现其中的规律和道理。
就像数对顶角的公式，只要理解了，就能轻松应对相关的题目啦。
总之，数对顶角的公式虽然简单，但却非常实用。
希望同学们都能熟练掌握，让数学学习变得更加轻松有趣！。
对顶角,同位角,内错角,同旁内角的定义
对顶角,同位角,内错角,同旁内角的定义
对顶角：一个角的两边分别是另一个角的反向延升线,这两个角是对顶角两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线,这样的两个角叫做互为对顶角.两条直线相交,构成两对对顶角.互为对顶角的两个角相等（对顶角的性质）.对顶角是针对具有特殊位置的两个角的名称；对顶角相等反映的是两个角之间的大小关系.
同位角：两个都在截线的同旁,又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角
内错角：两个角分别在截线的两侧,且在两条被截直线之间,具有这样位置关系的一对角叫做内错角.
同旁内角：两个角都在截线的同一侧,且在两条被截线之间,具有这样位置关系的一对角互为同旁内角.。
证明对顶角相等
证明对顶角相等
对顶角是指两对互相对立的角，它们的度数相等。
证明对顶角相等可以使用以下方法：
1. 利用垂直角的性质：当两条直线相交时，形成四个角，其中相邻的两个角互补，即它们的度数相加等于90度。
而对顶角互相对立，互补角的度数相等，因此对顶角也相等。
2. 利用同位角的性质：当两条平行线被一条横线切割时，同位角相等。
而对顶角是两条平行线相交形成的，因此对顶角也相等。
3. 利用角的定理：对于任意三角形ABC和其中的角A、B、C，有角A+角B+角C=180度。
因此，当在三角形ABC的一条边上取一点D，连接AD和BD，形成两个三角形ABD和ACD。
由于两个三角形的角A和角B是对顶角，所以它们相等。
这些方法可以用来证明对顶角相等，但需要注意的是，在使用角的定理证明时，需要保证所取的点D在三角形ABC的边上，而不是在三角形ABC的内部或外部。
- 1 -。
对顶角课件
B
C
O
个角，但不互补，所以不是邻补角。
判断
1.有公共顶点且相等的两个角是对顶角。 2．互相垂直的两条直线交成的四个角中， 任何两个角都是对顶角。
C
思考，相等的角是对顶角吗？
图中有几对对顶角？
C A O E F B D
如图：直线AB和CD相交与点O，OE平分 ∠AOC， ∠AOE=250，你能说出图中哪 些角的度数？与同学交流。
1.两条直线AB、CD相交于点O，说出图中有几角？
2.仔细观察图，说出∠1和∠3及∠2和∠4有什么 特殊的B
对顶角满足的条件:
一是两条直线相交所成的角； 二是有公共顶点； 三是两边互为延长线。 符合这三个条件时，才能确定这两个角是 对顶角，缺一个条件都不行. 对顶角是成对存在的，它们互为对顶角， 如∠1是∠2的对顶角，同时，∠2是∠1的对 顶角，也常说∠1和∠2是对顶角。
A D
E
C B
下列说法是否正确？为什么？ （1）有公共顶点的两个角是对顶角。 答：不正确。如图，∠AOB与∠COD有
B
C O
A
D 公共顶点O，但它们不是对顶角。 （2）有公共顶点而没有公共边的两个角是对顶角。 答：不正确。如上图，∠AOB与∠COD有公共顶点O，而且 没有公共边，但它们不是对顶角。 A （3）相邻的两个角是邻补角。 答：不正确。如图，∠AOB 与∠BOC 有 公共顶点和一条公共边，是相邻的两
对顶角课件
1、直线AB、CD相交于点O， 以点O为顶点形成的四个角之 间的关系。
角 位置关系
∠1和∠2 相邻
∠2和∠3 相邻
数量关系
互补
互补
∠1与∠3呢？ 邻补角
∠3和∠4 相邻 互补
∠1和∠4 相邻 互补
新知讲解
2、探索∠1和∠3的位置关系.
角
∠1
∠3
对顶角
相同的顶点
顶点 O O
两边 OA，OC OB，OD
2.两边互为反
D
向延长线
若3条（4条·······n条）直线交于一点O， 要找出所有的对顶角，按怎样的方法找，
才能做到不重不漏？
动脑筋
C O
F
A
B
E D
互为反向 互为反向
延长线
延长线
新知讲解
一、对顶角的概念
具有相同的顶点，一个角的两边是另一个角的两边的反向延长 线，这样的两个角叫做对顶角。
∠1与∠3，∠2与∠4都是对顶角
例1.下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？为什么？
1 2
1 2
（A）
（B）
12
（C）
1
2
（D）
例2.如图,直线a、b相交，∠1=40°,求 ∠2、∠3、∠4的度数。
5.1.1 对顶角
一堆散乱的钉子
知识回顾：
A1、什么是平角？平角等于多少 度？“平角就是直线”对吗？ B
O
2、什么样的两个角互为补角D ？ 3C、补角有什么性质？
你能动手画出两条相交直线吗?
1、两条直线相交，形成的小于平角
的角有哪几个？ C
12
A
O4 3
B
D
2、每两个角之间有什么关系？
几何 对顶角
C
2
B
1
3
O4 A
D
探究一：两条直线相交，所形成的相对的两 个角有什么关系？ 达标评价： 能用自己的语言概括出相对的两个角的关系. （合格） 能判断出两个角是不是对顶角，并说明理由. （优秀）
探究一：两条直线相交，所形成的相对的两个角有什么 关系？
如下图所示，∠1与∠3有什么特点？
C
2
B
A
1 O4 3
2
3
1
4
解：∵∠1和∠3是对顶角，且∠1=45° ∴∠3=∠1 =45°
１．判断：
（1）相等的角是对顶角．（ × ）
（2）对顶角一定相等．（ √ ）
（3）如果两个角相等，且有公共顶点， 那么这两个角是对顶角．（ × ）
3. 说出下列各图中的对顶角.
D
A
12
3 4F
56
B
78
C
G
E
M
12
3 4O
J
对 顶 角
学习目标：
• 1.理解对顶角的概念，会在图形中 识别对顶角.
• 2.理解对顶角的性质，并能运用对 顶角的相关知识进行简单运算.
• 3.经历观察、猜想、说理、交流等 过程，进一步发展空间概念和有条 理的表达能力.
重难点：
• 重点： 对顶角的概念与性质.
• 难点： 在复杂的图形中找对顶角.
边的反向延长线
判断下列图形中, ∠1, ∠2 是否是对顶角？
1
2
A
×
1
2
C
×
1
2
B×
√
探究二：对顶角之间的数量关系 达标评价： 能自己探究出对顶角之间的数量关系.（合格） 能根据对顶角的数量关系解答相关实际问题.（优 秀）
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二.探索交流
观察：1.画两条相交线，你有什么发现？
2.两条直线相交有几个角(小于平角的角）？
讨论：1.将这些角两两相配能得到几对角？
2.每对角中两个角的位置有怎样的关系？
根据它们的位置关系将这几对角进行分类,并命名.
A C ∠1,∠2,∠3,∠4
们的另一边互为反向延长线(∠1和∠2互补),
具有这种关系的两个角,互为邻补角。
A C 两条直线相交,∠1和∠3有一个公共顶点O,并
2
O1 4 3 D
且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线, 具有这种关系的两个角,互为对顶角。
观察猜想：邻补角互补
B
对顶角相等
测量验证：
几何画板验证：邻补角、对顶角
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5、如图,已知直线AB、CD相交于O点,∠1=68°. 求∠2、∠3、∠4
解：由邻补角的定义，得
C1
B
∠2=180°-∠1
4O 2
=180°- 68°=112°，
3
由对顶角相等，得
A
D
∠3=∠1=68°
∠4=∠2=112°
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三.学以致用
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四.课堂小结
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从知识、思想方法、情感等方面 谈谈你今天的收获。
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2
O1 4 3
∠1与∠2 ∠1与∠3 ∠1与∠4
∠1与∠2 ∠1与∠3 ∠2与∠3 ∠3与∠4
邻补角
∠2与∠3
D
B ∠2与∠4
∠3与∠4
∠1与∠3 对顶角
∠2与∠4
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二.探索交流
有关概念：两条直线相交,∠1和∠2有一条公共边OC,它
是直角,那么其余的三个角也是直角.( √ )
4、填空 （1）若∠1与∠2是对顶角,∠1=16°,则∠2=_____. （2）若∠3与∠4是邻补角,则∠3+∠4=____. （3）若∠1与∠2为对顶角,∠1与∠3互补，
则∠2+∠3=______.
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三.学以致用
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6、图中是对顶角量角器,你能说出它测量角的原理吗？
7、有两堵围墙OA、OB，有人想测量地面上所形成的角 ∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外, 请问该如何测量?
A
O
B
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三.学以致用
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8、思考题： 画图数对顶角： 1.两条直线相交于一点，有几对对顶角？ 2.三条直线相交于一点，有几对对顶角？ 3.四条直线相交于一点，有几对对顶角？ 4.n条直线相交于一点，有几对对顶角？
二.探索交流
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性猜质想：对顶角相等
AC
2
O1 4 3 D
已知：直线AB与CD相交于点O, 求证：∠1=∠3
证明：
因为∠1与∠2互补，
B
∠3与∠2互补 （邻补角的定义）
所以∠1=∠3
（同角的补角相等）
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三.学以致用
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学习目标： 一、知识目标：
1.什么是邻补角？什么是对顶角? 2.探索
（1）邻补角的性质是什么？为什么？ （2）对顶角的性质是什么？为什么？ 3.会根据对顶角，邻补角进行有关计算。
二、能力目标
学会观察、测量、猜想、验证、得出结论；体会 抽象、分类、归纳思想，能用所学知识解决实际问题。
三、情感目标
培养小组合作，勇于探索精神。
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对顶角
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一.情境引入
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一.情境引入
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1、下列各图中∠1、∠2是邻补角吗？为什么？
2 1
12
1
2
2、下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？为什么？
1 2
1 2
12
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三.学以致用
3、判断 （1）有公共顶点且相等的两个角是对顶角.( × ) （2）两条直线相交，有两组对顶角.( √ ) （3）两条直线相交所构成的四个角中有一个角