概率论试题

一 、选择题(选择正确答案,并将其代号写在题干后面的括号里.每小题 3

分，共 15 分)

1．设随机变量()2,1~-N X ，()2,1~N Y ，而且X 与Y 不相关，令Y aX U +=，

bY X V +=，且U 与V 也不相关，则有【. C 】

()A .0==b a ； ()B .0≠=b a ； ()C .0=+b a ； ()D .0=ab 2．对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为1p ，第二台仪器发生故

障的概率为2p ．令X 表示测试中发生故障的仪器数，则()=X E 【A 】 ()A .21p p +； ()B .()()122111p p p p -+-； ()C .()211p p -+； ()D .21p p ． 3．若Y X ,ρ表示二维随机变量()Y X ,

的相关系数，则“1,=Y X ρ”是“存在常数a 、b

使得{

}1=+=bX a Y P ”的【C 】 ()A .必要条件，但非充分条件； ()B .充分条件，但非必要条件； ()C .充分必要条件； ()D .既非充分条件，也非必要条件． 4．设总体X 与Y 相互独立，且都服从正态分布()10，N ．()91X X ，，Λ是从总体X 中抽取的一个样本，()91Y Y ，，Λ是从总体Y 中抽取的一个样本，则统计量

~29

2191Y

Y X X U ΛΛ+++=

【C 】

()A ()92

χ； ()B ()82χ； ()C ()9t ； ()D ()8t

5．设总体X 服从参数10=λ的泊松（Poisson ）分布，现从该总体中随机选出容量为20一个样本，则该样本的样本均值的方差为【B 】

()A . 1； ()B . 5.0； ()C . 5； ()D . 50．

二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）

1．设A 、B 、C 是三个随机事件，则“A 、B 、C 这三个随机事件中不多于两个事件发生”这一随机事件可用A 、B 、C 表示为ABC 或者C B A ⋃⋃，

C AB C B A BC A C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃⋃⋃⋃

_________________．

2．设随机变量X 的密度函数为

()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⎪⎭

⎫

⎝⎛-=其它0

21112x x k x f 则=k _2=k ；

_______．

3．在1~1000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是_

4

3

； __． 4．设()n t X ~，则~2X ()n F ,

1．

5． 设总体()p B X ，1

~，()n X X X ，，，Λ21是从总体X 中抽取的一个样本，则参数p 的矩估计量为=p

ˆ_ X __

三、将两信息分别编码为A 和B 发送出去．接收站收到时，A 被误收作B 的概率为04.0；而B 被误收作A 的概率为07.0．信息A 与

信息B 传送频繁程度为2:3．若已知接收到的信息是A ，求原发信息也是A 的概率。（14分） 解：

设{}A A 原发信息是=，{}

B B 原发信息是=．

{}A A 接收信息是='，{}

B B 接收信息是='．﹎﹎﹎﹎﹎﹎2分 则由题设，()5

3=

A P ，()52

=B P ，()04.0='A B P ，()07.0='B A P ．

所求概率为()

A B P '，根据Bayes 公式，得

()()()()()()()9536.007.05

296.053

96.053

=⨯+⨯⨯='+''=

'B A P B P A A P A P A A P A P A B P ﹎﹎14分

四、设随机变量()1,0~N X ，X Y =．试求随机变量Y 的密度

函数()y f Y ．（14分）： 随机变量X 的密度函数为

()2

2

21x X e

x f -

=

π

()+∞<<∞-x ．﹎﹎﹎2分

设随机变量X Y =的分布函数为()y F Y ，则

(){}{}

y X P y Y P y F Y ≤=≤=．﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎4分 ⑴ 当0≤y 时，(){}{}

0=≤=≤=y X P y Y P y F Y ．﹎﹎﹎6分 ⑵ 当0>y 时，

(){}{}

{}y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤= ()⎰⎰⎰-

--

-=

=

=

y

x y

y

x y

y

X

dx e

dx e

dx x f 0

2

2

22

2221π

π

﹎﹎﹎﹎﹎﹎8分

所以，()⎪⎩

⎪⎨⎧≤>=⎰-0

00220

22

y y dx e y F y x

Y π．﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎10分

所以，()()⎪⎩

⎪⎨⎧≤>='=-0

00222

2

y y e y F y f y

Y Y π

．﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎14分

五、设二维离散型随机变量()Y X ,

的联合分布律为