2021届河南省鹤壁市高级中学2018级高三上学期8月一模考试数学(文)试卷及答案
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④B={0、﹣4},即x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个的实根0或﹣4,
则有a+1=2且a2﹣1=0,解可得a=1,
综合可得：a=1或a≤﹣1．
18.略
19．详解：（Ⅰ）由角 的终边过点 得 ,所以 .
（Ⅱ）由角 的终边过点 得 ,由 得 .
由 得 ,
所以 或 .
20．（1）由题意,得
.
由 ,解得 , .
所以在 时,函数 的单调递增区间为 和 ；
（2）由 ,即 ,解得 .
由 ,即 ,得 .
由余弦定理,得 .
由面积公式,知 ,即 .
所以 .所以 边上的高 长的最大值为 .
21．解： （1）设切点 ,则 切线的斜率为 ,
所以抛物线上过 点的切线的斜率为 ,切线方程为 ,
在切线上,所以 , 或 ,
当 时, ；当 , ,
15．在 中, , , 边上的中线 ,则 的面积为_________．
16．集合 , ,若 是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则下列说法正确的为________
① 的值可以为2；
② 的值可以为 ；
③ 的Βιβλιοθήκη Baidu可以为 ；
三、解答题（17题10分,18-22每题12分）
17．设集合 ,若A∩B=B,求 的取值范围．
令 ,得 ,当 时, ；当 时, ,
故 的极小值为 ,
故要证 ,只需证： ,
设函数 , ,
当 时, ；当 时, ,
故 ,而 ,
A． B． C． D．
8．已知 是函数 的一个零点,若 ,则（）
A． , B． ,
C． , D． ,
9．若 为函数 的一个极值点,则下列图象一定不可能为函数 的是（）
A． B． C． D．
10．天文学中为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯( ,又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小,星星就越亮；星等的数值越大,它的光就越暗.到了1850年,由于光度计在天体光度测量中的应用,英国天文学家普森( )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 .其中星等为 的星的亮度为 .已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四”的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的 倍,则与 最接近的是(当 较小时, )
∴ 在 递减, 递增,
所以 值域为 ,若函数 与 有相同的值域,即需满足 即可,则 ,
故选：C.
二、填空题（每题5分）
13． 14. 15．
16．②③
如图所示：根据对称性,只需研究第一象限的情况,
集合 ： ,故 ,即 或 ,
集合 ： , 是平面上正八边形的顶点所构成的集合,
故 所在的直线的倾斜角为 , ,故 ： ,
解得 ,此时 , ,此时 .
故答案为：②③.
三、解答题（17题10分,18-22题每题12分）
17．试题解析：
根据题意,集合A={x|x2+4x=0}={0,﹣4},若A∩B=B,则B是A的子集,
且B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0},为方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的解集,
分4种情况讨论：
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）设 的内角 满足 ,若 ,求 边上的高 长的最大值.
21．已知点 ,过点 作抛物线 的两切线,切点为 .
（1）求两切点 所在的直线方程；
（2）椭圆 ,离心率为 ,（1）中直线AB与椭圆交于点P,Q,直线 的斜率分别为 , , ,若 ,求椭圆的方程.
22．已知函数 ．
18．设 ,命题p： x ,满足 ,命题q： x , .
（1）若命题 是真命题,求 的范围；
（2） 为假, 为真,求 的取值范围．
19．已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P（ ）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）= ,求cosβ的值．
20．已知 .
不妨设 , ,所以两切点 所在的直线方程 .
（2）由 ,得 ,又 ,所以 .
,得 , ,
, ,又因为 , ,
, , ,所以椭圆的方程 .
22.（1）因为 在 上只有一个零点,所以方程 在 上只有一个解,设函数 ,则 ,当 时, ；当 时, ,所以 ,又 , ,
故 的取值范围为 ．
（2）证明： ,当 时, 恒成立, 无极值,故 ,
①B=∅,△=[2（a+1）]2﹣4（a2﹣1）=8a+8＜0,即a＜﹣1时,方程无解,满足题意；
②B={0},即x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个相等的实根0,
则有a+1=0且a2﹣1=0,解可得a=﹣1,
③B={﹣4},即x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个相等的实根﹣4,
则有a+1=4且a2﹣1=16,此时无解,
A．1.24B．1.25C．1.26D．1.27
11．设函数 的图像与 的图像关于直线 对称,且 ,则 ()
A． B． C． D．
12．已知函数 ,若函数 与 相同的值域,则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分）
13．命题“∀x＞0,x2+x＞1”的否定是_____．
14.已知函数 , ,则 ________．
（1）若 在 上只有一个零点,求 的取值范围；
（2）设 为 的极小值点,证明：
2021届河南省鹤壁市高级中学2018级高三上学期8月一模考试
数学（文）参考答案
一、选择题（每题5分）
1-5AAACC 6-10DABDC 11.C 12．C
12.解： 在 上是减函数,
时, , , 时, , 时, ,
可知 在 递减, 递增,又函数 是连续的．
A. B. C. D.
5．函数 ,下列结论正确的是（）
A．向右平移 个单位,可得到函数 的图像
B． 的图像关于 中心对称
C． 的图像关于直线 对称
D． 在 上为增函数
6．在 中, 的对边分别为 , , ,且满足 , ,则 面积的最大值为（）
A． B． C． D．
7．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点 中心对称,那么|φ|的最小值为( )
2021届河南省鹤壁市高级中学2018级高三上学期8月一模考试
数学（文）试卷
★祝考试顺利★
(含答案)
一、单选题（每题5分）
1．设集合 ,则A∪B=" "（）
A． B．
C． D．
2．“不等式在上恒成立”的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
3．函数 ,则不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
4.函数 的最小正周期为（ ）
则有a+1=2且a2﹣1=0,解可得a=1,
综合可得：a=1或a≤﹣1．
18.略
19．详解：（Ⅰ）由角 的终边过点 得 ,所以 .
（Ⅱ）由角 的终边过点 得 ,由 得 .
由 得 ,
所以 或 .
20．（1）由题意,得
.
由 ,解得 , .
所以在 时,函数 的单调递增区间为 和 ；
（2）由 ,即 ,解得 .
由 ,即 ,得 .
由余弦定理,得 .
由面积公式,知 ,即 .
所以 .所以 边上的高 长的最大值为 .
21．解： （1）设切点 ,则 切线的斜率为 ,
所以抛物线上过 点的切线的斜率为 ,切线方程为 ,
在切线上,所以 , 或 ,
当 时, ；当 , ,
15．在 中, , , 边上的中线 ,则 的面积为_________．
16．集合 , ,若 是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则下列说法正确的为________
① 的值可以为2；
② 的值可以为 ；
③ 的Βιβλιοθήκη Baidu可以为 ；
三、解答题（17题10分,18-22每题12分）
17．设集合 ,若A∩B=B,求 的取值范围．
令 ,得 ,当 时, ；当 时, ,
故 的极小值为 ,
故要证 ,只需证： ,
设函数 , ,
当 时, ；当 时, ,
故 ,而 ,
A． B． C． D．
8．已知 是函数 的一个零点,若 ,则（）
A． , B． ,
C． , D． ,
9．若 为函数 的一个极值点,则下列图象一定不可能为函数 的是（）
A． B． C． D．
10．天文学中为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯( ,又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小,星星就越亮；星等的数值越大,它的光就越暗.到了1850年,由于光度计在天体光度测量中的应用,英国天文学家普森( )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 .其中星等为 的星的亮度为 .已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四”的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的 倍,则与 最接近的是(当 较小时, )
∴ 在 递减, 递增,
所以 值域为 ,若函数 与 有相同的值域,即需满足 即可,则 ,
故选：C.
二、填空题（每题5分）
13． 14. 15．
16．②③
如图所示：根据对称性,只需研究第一象限的情况,
集合 ： ,故 ,即 或 ,
集合 ： , 是平面上正八边形的顶点所构成的集合,
故 所在的直线的倾斜角为 , ,故 ： ,
解得 ,此时 , ,此时 .
故答案为：②③.
三、解答题（17题10分,18-22题每题12分）
17．试题解析：
根据题意,集合A={x|x2+4x=0}={0,﹣4},若A∩B=B,则B是A的子集,
且B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0},为方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的解集,
分4种情况讨论：
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）设 的内角 满足 ,若 ,求 边上的高 长的最大值.
21．已知点 ,过点 作抛物线 的两切线,切点为 .
（1）求两切点 所在的直线方程；
（2）椭圆 ,离心率为 ,（1）中直线AB与椭圆交于点P,Q,直线 的斜率分别为 , , ,若 ,求椭圆的方程.
22．已知函数 ．
18．设 ,命题p： x ,满足 ,命题q： x , .
（1）若命题 是真命题,求 的范围；
（2） 为假, 为真,求 的取值范围．
19．已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P（ ）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）= ,求cosβ的值．
20．已知 .
不妨设 , ,所以两切点 所在的直线方程 .
（2）由 ,得 ,又 ,所以 .
,得 , ,
, ,又因为 , ,
, , ,所以椭圆的方程 .
22.（1）因为 在 上只有一个零点,所以方程 在 上只有一个解,设函数 ,则 ,当 时, ；当 时, ,所以 ,又 , ,
故 的取值范围为 ．
（2）证明： ,当 时, 恒成立, 无极值,故 ,
①B=∅,△=[2（a+1）]2﹣4（a2﹣1）=8a+8＜0,即a＜﹣1时,方程无解,满足题意；
②B={0},即x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个相等的实根0,
则有a+1=0且a2﹣1=0,解可得a=﹣1,
③B={﹣4},即x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个相等的实根﹣4,
则有a+1=4且a2﹣1=16,此时无解,
A．1.24B．1.25C．1.26D．1.27
11．设函数 的图像与 的图像关于直线 对称,且 ,则 ()
A． B． C． D．
12．已知函数 ,若函数 与 相同的值域,则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分）
13．命题“∀x＞0,x2+x＞1”的否定是_____．
14.已知函数 , ,则 ________．
（1）若 在 上只有一个零点,求 的取值范围；
（2）设 为 的极小值点,证明：
2021届河南省鹤壁市高级中学2018级高三上学期8月一模考试
数学（文）参考答案
一、选择题（每题5分）
1-5AAACC 6-10DABDC 11.C 12．C
12.解： 在 上是减函数,
时, , , 时, , 时, ,
可知 在 递减, 递增,又函数 是连续的．
A. B. C. D.
5．函数 ,下列结论正确的是（）
A．向右平移 个单位,可得到函数 的图像
B． 的图像关于 中心对称
C． 的图像关于直线 对称
D． 在 上为增函数
6．在 中, 的对边分别为 , , ,且满足 , ,则 面积的最大值为（）
A． B． C． D．
7．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点 中心对称,那么|φ|的最小值为( )
2021届河南省鹤壁市高级中学2018级高三上学期8月一模考试
数学（文）试卷
★祝考试顺利★
(含答案)
一、单选题（每题5分）
1．设集合 ,则A∪B=" "（）
A． B．
C． D．
2．“不等式在上恒成立”的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
3．函数 ,则不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
4.函数 的最小正周期为（ ）