图形的相似经典测试题及解析

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质和相似三角形的性质分别判断即可．
【详解】
解：∵在 中， ， ，
∴ ,
∴ ,
∵
∴ ，选项A正确，选项D错误，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴选项B正确，
∴ ，即： ，
∴选项C正确，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，能熟练利用相似三角形对应边成比例是解题关键．
【详解】
解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ADC＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝ AD，
在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，
∴AD＝CD＝BD，
由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，
∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，
【详解】
解： ，
，
故选： ．
【点睛】
考查相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的圆周角相等．
15．如图， 是矩形 中 边的中点， 交 于点 的面积为 ，则四边形 的面积为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设 ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出 ，求出x即可解答．
7．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，且S△EFC＝3S△EFD，则S△ADE：S△ABC的值为（ ）
A．1：3B．1：8C．1：9D．1：4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，易证△DEF∽△CBF，同理可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解答．
【详解】
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝ AB＝AD＝4，由等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACD，得出tan∠ACD＝ ＝tanA＝y，证明△CEG∽△FEC，得出 ，得出y＝ ，求出y2＝ ，得出 ＝FE2，再由勾股定理得出FE2＝CF2﹣CE2＝x2﹣4，即可得出答案．
∴BE∥DF∥CG，
∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH，
∴△ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH，
∴ ， ，
∴△BPQ∽△DKM∽△CNH，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选：B.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质以及平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确得到 ， ，从而求出答案.
9．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．
∵∠BOA=90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BOC=∠OAD，
又∵∠BCO=∠ADO=90°，
∴△BCO∽△ODA，
∵ =tan30°= ，
∴ ，
∵ ×AD×DO= xy=3，
∴S△BCO= ×BC×CO= S△AOD=1，
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
【答案】D
【解析】
试题分析：根据位似的性质，缩小后的点在原点的同侧，为（-2,1），然后求在另一侧为（2，-1）．
故选D
考点：位似变换
14．如图，已知 和 都 是的内接三角形， 和 相交于点 ，则与 的相似的三角形是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据同弧和等弧所对的圆周角相等，则 弧所对的圆周角 ， 和 是对顶角，所以 ．
∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.
故答案选D.
考点：位似变换.
2．如图，四边形 内接于 ， 为直径， ，过点 作 于点 ，连接 交 于点 .若 ， ，则 的长为()
A．10B．12C．16D．20
【答案】D
【解析】
【分析】
连接 ，如图，先利用圆周角定理证明 得到 ，再根据正弦的定义计算出 ，则 ， ，接着证明 ，利用相似比得到 ，所以 ．
【详解】
解：如图所示：
∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，
∴CD＝ AB＝AD＝4，
∴∠A＝∠ACD，
∵EF垂直平分CD，
∴CE＝ CD＝2，∠CEF＝∠CEG＝90°，
∴tan∠ACD＝ ＝tanA＝y，
∵∠ACD+∠FCE＝∠CFE+∠FCE＝90°，
∴∠ACD＝∠FCE，
【详解】
解：连接 ，如图，
为直径，
，
，
，
而 ，
，
，
，
而 ，
，
，
，
在 中， ，
，
， ，
， ，
，
，即 ，
，
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
图形的相似经典测试题及解析
一、选择题
1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）
A．（―1，2）
B．（―9，18）
C．（―9，18）或（9，―18）
D．（―1，2）或（1，―2）
【答案】D
【解析】
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，
∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，
∴AC′＝AQ＝AC，
由△AEC∽△BDQ得： ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ．
故选：A．
【点睛】
考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，合理的转化是解决问题的关键．
3．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）
A．3：4B．9：16C．9：1D．3：1
【答案】B
【解析】
【分析】
可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
A．6B．8C．10D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知条件可以得到△BPQ∽△DKM∽△CNH，然后得到△BPQ与△DKM的相似比为 ，△BPQ与△CNH的相似比为 ，由相似三角形的性质求出 ，从而求出 .
【详解】
解：∵矩形 是由三个全等矩形拼成的，
∴AB=BD=CD，AE∥BF∥DG∥CH，
∴四边形BEFD、四边形DFGC是平行四边形，∠BQP=∠DMK=∠CHN，
【详解】
如图，
在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，
∴BD=2 ，
连接DE，
∵∠BDC=90°，点D是BC中点，
∴DE=BE=CE= BC=2，
∵∠DCB=30°，
∴∠BDE=∠DBC=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
即 ，
故选A．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握等边三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质及中位线定理．
11．如图，在 中， 分别是边 的中点， 和四边形 的面积分别记为 ，那么 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16．
故选B．
4．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，作CD的中垂线与CD交于点E，与BC交于点F．若CF＝x，tanA＝y，则x与y之间满足（）
∴△CEG∽△FEC，
∴ ＝ ，
∴y＝ ，
∴y2＝ ，
∴ ＝FE2，
∵FE2＝CF2﹣CE2＝x2﹣4，
∴ ＝x2﹣4，
∴ +4＝x2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
故反比例函数解析式为：y=﹣ ．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S△AOD=2是解题关键．
13．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O．（﹣2，1）B．（﹣8，4）C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
5．如图，在 中，点 分别在边 上， ，则下列结论一定正确的是( )