13.6需求为随机的单一周期的存储模型

需求为随机变量的订货批量、再订货点模型需求为随机变量的定期检查存储量模型本章内容
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§6需求为随机的单一周期的存储模型
单一周期存储是指在产品订货、生产、存储、销售这一周期的最后阶段把产品按正常价格全部销售完毕，或者把按正常价格未能销售出去的产品削价销售出去，甚至扔掉。

本节将介绍需求是随机变量，特别是需求服从均匀分布和正态分布的存储模型。

§6需求为随机的单一周期的存储模型
报童问题：报童每天销售报纸的数量是一个随机变量，根据以往的经验，每日售出 d 份报纸的概率P(d)是已知的。

报童每售出一份报纸赚k 元，如果报纸未能售出，每份赔h 元，问报童每日最好准备多少份报纸？
这就是一个需求量为随机变量的单一周期的存储问题。

需要解决最优订货量Q的问题。

如果订货量Q过大，报童就会因不能售出报纸造成损失；如果订货量Q过小，报童就
要因缺货失去销售机会而造成机会损失。

如何适当地选择订货量Q，才能使这两种损失的期望值之和最小呢？
§6需求为随机的单一周期的存储模型
设售出d 份报纸的概率为P (d )，从概率论可知0
()1d P d ==∑∞
()()
Q d h Q d P d =-∑1()()
d Q k d Q P d =+-∑∞
综合（1）（2）两种情况，当订货量为Q 时，其损失的期望值EL 为EL Q =ℎ Q −d Q d =0P d +k d −Q ∞
d =Q +1
P （d ）
下面求出使EL (Q )最小的Q 的值.（1）当供大于求时(Q >d )，因不能售出报纸而每份损失h 元，其数学期望为（2）当供不应求时(Q < d )，因缺货而少赚钱造成的机会损失为每份损失k 元，其期望值为
§6需求为随机的单一周期的存储模型
设报童订购报纸最优量为Q *，这时其损失的期望为最小，即
1 EL Q ∗ ≤EL Q ∗+1 ,
2 EL Q ∗ ≤EL Q ∗−1 .
从（1）推导有
10
012()()()()(1)()(1)(),Q Q d d d Q d Q h Q d P d k d Q P d h Q d P d k d Q P d ****+*
***===+=+-+-+-+--∑∑∑∑∞∞≤化简后得：0
()Q d k P d k h *=+∑≥从（2）推导有
10
01()()()()(1)()(1)(),Q Q d d d Q d Q h Q d P d k
d Q P d h Q d P d k d Q P d ****-****===+=-+---+-+∑∑∑∑∞∞≤化简后得：10
()Q d k P d k h *-=+∑≤
§6需求为随机的单一周期的存储模型100()()Q Q d d k P d P d k h **
-==<+∑∑≤报童所订购报纸最优数量Q *份应按下列的不等式确定
例6 某报亭出售某种报纸，每售出一百张可获利15 元，如果当天不能售出，每一百张赔20 元。

每日售出该报纸份数的概率P (d )根据以往经验如下表所示，试问报亭每日订购多少张该种报纸能使其赚钱的期望值最大。

销售量
（百张）
567891011概率
P (d )0.050.100.200.20.250.150.05
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需求为随机的单一周期的存储模型
满足不等式因此，最优的订报量为每天800 张，此时其赚钱的期望值最大。

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0()(5)(6)(7)0.050.100.200.35
d P d P P P ==++=++=∑8
0()(5)(6)(7)(8)0.050.100.200.200.55
d P d P P P P ==+++=+++=∑7
800()()d d k P d P d k h ==<+∑∑≤要使其赚钱的期望值最大，也就是使其因售不出报纸的损失和因缺货失去销售机会的损失的期望值之和为最小。

已知k = 15,h = 20，则有
k k +ℎ=1515+20
=0.4286 故当Q = 8 时，有
解：
§6需求为随机的单一周期的存储模型此公式既适用于离散型随机变量也适用于连续型随机变量。

如果只考虑连续型随机变量，此公式又可以改写为
()()k P d Q P d Q k h *
*<<+≤≤()k P d Q k h *
=+≤上述公式改写成
§6需求为随机的单一周期的存储模型例7 某书店拟在年前出售一批新年挂历。

每售出一本可盈利20元，如果年前不能售出，必须削价处理。

由于削价，一定可以售完，此时每本挂历要赔16 元。

根据以往的经验，市场的需求量近似服从均匀分布，其最低需求为550 本，最高需求为1100 本，该书店应订购多少新年挂历，使其损失期望值为最小？
P d ≤Q ∗ =Q ∗−5501100−550=Q ∗−550550, 则由公式得
55020555020169
Q *-==+由此求得Q* = 856（本），并从P (d ≤ Q*) = 5/9 可知，这时5/9 的概率挂历有剩余，有1-5/9=4/9 的概率挂历脱销。

由题意知挂历的需求量是服从区间[550，1100]上的均匀分布的随机变量，k = 20，h = 16，则其需求量小于Q*的概率为解：
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例8 某化工公司与一客户签订了一项供应一种独特的液体化工产品的合同。

客户每隔六个月来购买一次，每次购买的数量是一个随机变量，通过对客户以往需求的统计分析，知道这个随机变量服从以均值μ=1000（公斤），标准差σ=100（公斤）的正态分布。

化工公司生产一公斤此种产品的成本为15 元，根据合同固定售价为20 元。

合同要求化工公司必须按时提供客户的需求。

一旦化工公司由于低估了需求产量不能满足需要，那么化工公司就到别的公司以每公斤19 元的价格购买更高质量的替代品来满足客户的需要。

一旦化工公司由于高估了需求，供大于求，由于这种产品在两个月内要老化，不能存储至六个月后再供应给客户，只能以每公斤 5 元的价格处理掉。

化工公司应该每次生产多少公斤的产品才使该公司获利的期望值最大呢？
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根据题意得k =5 -1= 4，h = 15 -5= 10，利用公式得P d ≤Q ∗
=k k +ℎ=410+4=414=0.29. 需要服从均值μ=1000，标准差σ=100的正态分布，上式即为
0.29.Q μΦσ*⎛⎫-= ⎪⎝⎭
通过查阅标准正态表，即得：Q ∗−μσ
=−0.55， 把μ=1000，σ=100代入得，Q ∗= −0.55×100+100=945 公斤 。

从P d ≤Q ∗ = 0.29可知，当产量为945公斤时，有0.29的概率产品 有剩余，有1−0.29=0.71的概率产品将不满足需求。

解：。