北航考博2011概率论与数理统计真题(回忆版_准确率达90%)

2011年北京航空航天大学博士生入学考试题

概率部分

一、填空题 36分

1、 设每次试验成功的概率是p （0

2、 设随机变量X 的概率密度为：21

(),(,)(1)(1||)

a

f x k

x x x =∈-∞+∞++，其中k 为常数，a>0，问k 的值为

3、 一盒内有3个红球，12个白球，从中不放回取6次，每次取一个球，则第6次取球时取

到红球的概率为 4、 设二维随机变量221

(,)~(1,2,1,3;)3

X Y N ，则D(X-2Y+5)=

5、 三门大炮同时炮击一战舰（每炮发一弹），设击中敌舰一、二、三发的概率为0.5,、0.3、

0.2，而敌舰中弹一、二、三发的概率分别为0.3、0.6、0.9，则敌舰被击沉的概率为 6、 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2

1

(,),01,02

3

f x y x xy x y ⎧=+

≤≤≤≤⎨⎩

（其它条件为0），则(1)P X Y +≤=

7、 考贝叶斯公式的题，比较简单，没记住……

8、 已知T 分布()t n 的密度函数()n f t ，求lim ()n n f t ->∞

=

9、 设随机变量序列12,,,n X X X 独立同分布，且2

~(,),(1,2,3,)i X N i μσ= ，记

21

n

n i i Y X ==∑

，***()()n

n n Y Y F x P Y x =

=≤，则对任意实数X 有*lim ()n

Y n F x ->∞

=

二题 16分

设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

2

232

1(,)(1sin sin )2x

y f x y e

x y π

+-=+,,x y -∞<<+∞,

（1）求(,)X Y 关于X 的边沿概率密度()X f x ； （2）求(,)X Y 关于Y 的边沿概率密度()Y f y ； （3）X 与Y 是否相互独立？

（4）利用本题可以用于说明一个什么样的问题？ 三题 8分

设⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21n X X X 是相互独立的随机变量序列,且i X 的分布律为

{i P X =

=

{i P X =

=

{0}1i P X ==(1,2,)i =⋅⋅⋅； 记∑==n

i i n X n Y 1

1,),2,1(⋅⋅⋅=n 。

试求：（1）2,,i i i EX EX DX ；

（2）,n n EY DY ；

（3）证明: 对任给0>ε，成立lim {||}0n n P Y ε→∞

≥=。

数理统计部分 四、填空题 20分

1、设12,,,n X X X 独立同分布，且2

~(,)i X N μσ，则当α= 时，随机变量

2

*2

2

(())~()X n αμσχ-+，其中1

1n i i X X n ==∑，*2

211()n i i X X n σ==-∑

2、设总体X 的概率密度函数为：

,01

(;

)1,120,x f x x others θθθ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩

其中,01θθ<<为未知参数，12,,,n X X X 为来自总体X 的样本，求θ的矩估计 3、设12,,,n X X X 是来自均匀分布(,2),(0)U θθθ>的总体X 的样本，则θ的极大似然估计为

4、设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的简单样本，其中μ未知，2

σ已知，欲使μ的置信水平为1α-的置信区间长度不大于,0L L >，则样本容量n 至少取多少 5、设12,,,m X X X 是来自正态总体2

1(,)N μσ的简单样本，12,,,n Y Y Y 是来自正态总体

2

2(,)N μσ的简单样本，则2

σ的无偏估计2

21

1

1()1m i i S X X m ==--∑,22211()1n i i S Y Y n ==--∑, 22

212

3

(1)(1)2m S n S S m n -+-=+-中较优的是

五、12分

设12,,,m X X X 和12,,,n Y Y Y 分别为来自(,1)N μ和(2,1)N μ的简单随机样本，且两样本

独立，其中μ是未知参数，

（1） 基于合并样本12,,,m X X X ，12,,,n Y Y Y 求μ的极大似然估计^

μ （2） 计算^

()E μ

（3） 在（2）的基础上给出μ的无偏估计 六、8分

设总体X 服从正态分布2

(,)N μσ，其中2

σ已知，考虑假设检验:

00100:,:()H H μμμμμμ=≠>

在显著域水平α下的拒绝域为

*121{(,,,}n W x x x z α-=≥

则（1）求其犯第二类错误的概率β

（2）当n 一定的情况下，β随α的如何变化？