电场强度与电势的关系

dU
i
(1
1
)i
dx 4 0 x L x
V (x a L) ln a ln a L 40 a L 40 a
Ep
E(x
Fra Baidu bibliotek
a
L)
4 0
(1 a
a
1
)i L
k
x y z
V E x x
Ey
V y
Ez
V z
例 已知：总电量Q ；半径R 。求： 均匀带电圆环轴
线上的电势和场强的分布。
解： 轴线上P点的电势
dQ
1）方法一（电势叠加原理） R
r
dV dQ
4 0r
0
x
Px
V
dQ
Q 4 0r
1
4 0r
dQ
Q
4 0r
r R2 x2
Q V
电场强度和电势的关系
电场有两个宏观性质
1.对引入其中的电荷有力的作用； 2.对运动电荷做功。
场强 高斯定理 静电场是有通量源场
功与路径无关（环流定理） 静电场是保守场（有势场）
一、等势面 电势相等的空间各点所组成的面
1）沿等势面移动电荷，电场力不作功
A12 qV1 V2 0
2）等势面处处与电场线正交
21
电势梯度是一矢量，它沿该点电势升高最快的方向。
E dV dn
电场中任一点的场强等于该点电势梯度的负值。负号反映了场 强的方向与电势梯度的方向相反，即场强沿电势降落的方向
在直角坐标系中 V V ( x，y，z）
E
V x
i
V
y
j
V
z
k
x
i
y
j
z
k
V
V
gradV
i
j
dA qE dl qEdl cos , q 0 E 0 d l 0 ,
E dl 3）等势面稠密处 —— 电场强度大
规定相邻两等势面的 电势差为定值
等势面越密电势 变化越快
电场强度大
点电荷的电场线与等势面
-
一对等量异号点电荷的电场线和等势面
-
+
两平行带电平板的电场线和等势面
++++++++++++
Qdl
2R
dQ
dE 40r 2
dE dE// dE
R
r
dE
dE //
x
dE
E E // E
E L dE 0
E//
L dE//
xQ
4 0r 3
E
E//
xQ
4 0 x2
i R2
3 2
ox
E
X
R
V x E d l
Qx dx
x
4 0
R2 x2
3 2
xQ i
结论：电场线指向电势降落的方向
二、场强与电势的微分关系
V1 V2 dV E dl Edl cos
E cos dV
dl
E
dl
1
2
V1 V2 V1 du
dV dl
为电势函数沿
dl
方向经单位长度时的变化，即
电势沿 dl 方向的空间变化率。
电场中某点场强沿某一方向的分量等于电势沿此方向的 空间变化率的负值。
4 0 R 2 x 2
利用电场强度与电势梯度的关系
E V
V
Q
4 o R2 x2
dQ
r
R
0
xP
x
Ex
V x
4 0
xQ x2 R2
3 2
有对称性可得： E y Ez 0
E Ex i Ey j Ez k
4 0
xQ x2 R2
3 2
i
2）方法二（场强叠加原理）
dQ
说明：
E cos dV
dl
1）. 不同，E cos E1 不同
过电场中任一点，沿 不同方向电势随空间的变化率是不一样的。
2） 0 dl 与 E 方向相同， dV 有最大值
dl
设此时 dl dn
dV 称为该点的电势梯度（gradient）
dn
gradV dV nˆ V
dl
nˆ
dn
dn
E
4 0
x2 R2
3 2
Q
4 0 R 2 x 2
例 设有一均匀带电直线段长度为L，总电荷量为q，求其延
长线上一点P电势和电场强度。
P
a
P’
dE
x’
dx’
r
x
不能用定点 p 电势求场强，求 p(x) 点电势。
V (x)
dU
dq
4 0 r
L
0
dx 40 ( x
x)
4 0
ln
x
x
L
E