特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面

引言空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。

但是也可以研究一些非二次特殊曲面。

本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。

主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。

1.柱面定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线Γ相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线Γ作叫做准线。

构成柱面的每一条直线叫做母线。

显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。

特别地，若取准线Γ为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱面的特例。

下面分几种情形讨论柱面的方程。

母线平行于坐标轴的柱面方程选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。

设柱面的母线平行于z 轴，准线为Oxy 面上的一条曲线，其方程为：(),0f x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩ 又设(),,P x y z 为柱面上一动点（图2），则过点P 与z 轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线Γ的交点记为(),,0M x y ，因点M 在准线上，故其坐标应图2图1满足准线方程，这表明柱面上任一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =反过来，若一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =，过P 作z 轴的平行线交Oxy 面于点M ，则点M 的坐标(),,0x y 满足准线Γ的方程(),0,0f x y z ==，这表明点M 在准线Γ上，因此直线MP 是柱面的母线 (因为直线MP 的方向向量为{}{}0,0,||0,0,1z )，所以点P 在柱面上。

综上所述，我们有如下结论：母线平行上于z 轴，且与Oxy 面的交线为(),0,0f x y z ==的柱面方程为：(),0f x y = （1）它表示一个无限柱面。

若加上限制条件a z b ≤≤，变得它的一平截段面。

同理，母线平行于x 轴，且与Oyz 面的交线为(),0,0g y z x ==的柱面方程为(),0g y z =；母线平行于y 轴，且与Ozx 面的交线为(),0,0h x z y ==的柱面方程为(),0h x z =。

定理1：凡三元方程不含坐标,,x y z 中任何一个时必表示一个柱面，它的母线平行于方程中不含那个坐标的坐标轴。

应该注意，如果母线不平行于坐标，柱面方程就要包含所有的坐标。

例1：以Oxy 面上的椭圆22221,0x y z a b +==，双曲线22221,0x y z a b-==和抛物线22,0y Px z ==为准线，母线平行于z 轴的柱面方程分别为2222222221,1,2x y x y y Px a b a b+=-==它们分别叫做椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面，由于它们的准线是二次曲线，故图3又统称为二次柱面，其图形见（图3）。

例2：证明，若柱面的准线为(),0:0f x y z =⎧⎪Γ⎨=⎪⎩ 母线方向为{}(),,0V l m n n =≠，则柱面方程为,0l m f x z y z n n ⎛⎫--= ⎪⎝⎭ （2）证：设()111,,0P x y 为准线Γ上一点，则过此点的柱面母线的参数方程为：11,,x x l y y m z n ρρρ=+=+= （ρ为叁数） ①当点1P 遍历准线Γ上的所有点，那么母线①就推出柱面，消去参数ρ，由①式中最后一个式子得znρ=，代入其余两个式子，有 11,l mx x l x z y y m y z n nρρ=-=-=-=-因点1P 在准线上，代入()11,0f x y =，即得(2)式若柱面的准线为 ()1,0:0f x z y =⎧⎪Γ⎨=⎪⎩母线方向为 (){,,}0V l m n m =≠则柱面方程为： 1:,0l n f x y z y m m ⎛⎫Γ--= ⎪⎝⎭（3） 若柱面的准线为： ()2,0:0f y z x =⎧⎪Γ⎨=⎪⎩母线方向为 (){,,}0V l m n l =≠则柱面方程为 2:,0m n f y x z x l l ⎛⎫Γ--= ⎪⎝⎭ （4）柱面的一般方程设柱面的准线Γ是一条空间曲线，其方程为()()12,,0:,,0F x y z F x y z =⎧⎪Γ⎨=⎪⎩母线方向为{},,l m n ，在准线Γ上任取一点()1111,,P x y z ，则过点1P 的母线方程是： 11,,x x l y y m z n ρρρ=+=+= （ρ为叁数）这里,,x y z 是母线上点的流动坐标。

因点1P 的坐标应满足：()()11112111,,0,,,0F x y z F x y z ==()()12,,0,,0F x l y m z n F x l y m z n ρρρρρρ---=⎧⎪⇒⎨---=⎪⎩从上面这两组式子中消去参数ρ，最后得一个三元方程(),,0F x y z = (5)这就是以Γ为准线，母线的方向数为,,l m n 的柱面方程。

例3：柱面的准线是球面2221x y z ++=与平面0x y z ++=的交线，母线方向是{}1,1,1，求柱面的方向。

解：设()111,,x y z 是准线上任一点，则过这点的母线方程为111,,x x y y z z ρρρ=+=+=+由此得 111,,x x y y z z ρρρ=-=-=-代入准线方程，得 ()()()222130x y z x y z ρρρρ⎧-+-+-=⎪⎨++-=⎪⎩消去参数ρ，得 2221333x y z x y z x y z x y z ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭展开，化简后得 ()22223x y z xy yz zx ++---= 这就是所求的柱面方程。

柱面的参数方程设柱面的准线的参数方程为： Γ：()()()()x f t y g t a t b z h t =⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩母线方向为{},,l m n 又设()()()()1111,,P f t g t h t 是准线Γ上的一点，则过1P 的母线方程为()()()111,,x f t l y g t m z h t n ρρρ=+=+=+ （ρ为参数）令1P 在准线Γ上移动，即让1t 取所有可能的值，并让ρ取所有可能的值，则由上式决定的点(),,x y z 的轨迹就是所求的柱面。

因此，柱面的参数方程是：()()()x f t la tb y g t m z h t n ρρρρ=+⎧⎪≤≤⎛⎫⎪=+⎨ ⎪-∞<<+∞⎝⎭⎪⎪=+⎩（6） 例4：设柱面的准线为： ()cos sin 020x a y b z θθθπ=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩母线方向为{0,1,1}，求柱面的方程。

解：由(6)式，柱面得参数方程为： cos 02sin x a y n z θρπθρρρ=⎧⎪≤≤⎛⎫⎪=+⎨ ⎪-∞<<∞⎝⎭⎪⎪=⎩ 从上式中消去参数θ和ρ，得住面的一般方程 ()22221y z x a b -+= 由生成规律给出柱面的方程有时不给出柱面的准线，只给出生成规律下面举一例。

例5：求以直线q 为轴，半径为r 的圆柱面方程，其中直线q 通过点()0000,,P x y z ,方向向量为{,,}V l m n =。

解：设(),,P x y z 为所求柱面上的一点（图4），按题意P 到q 的距离为PM r =，设0PP M θ=∠，按向量的定义有00P P V P P ⨯=sin V r V θ=两端平方即得所求柱面的向量是方程：()222P P V r V ⨯= ①写成坐标式，即()()()()220000n y y m z z l z z n x x ---+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()200m x x l y y +---⎡⎤⎣⎦()2222r l m n =++ ②若利用公式 ()()2222000P P V P P V P P V⨯=-⋅ ③则②式又可写成()()()()222222000x x y y z z l m n ⎡⎤-+-+-++⎣⎦()()()2000l x x m y y n z z --+-+-⎡⎤⎣⎦()2222r l m n =++ 或()()()2222000x x y y z z r -+-+--=()()()2000222l x x m y y n z z l m n -+-+-⎡⎤⎣⎦++ 特别地，若取直线q 为z 轴，令0000x y z ===，则比时柱面方程为 222x y r +=。

z z n-=图4曲线的射影柱面定义2：设Γ是一条空间曲线，π为一平面，经过Γ上每一点作平面的垂线，由这些垂线构成的柱面叫做从Γ到π的射影柱面（图5）显然，Γ在π上的射影就是从Γ到π的射影柱面与π的交线。

通常我们将平面π取为坐标平面。

给定空间曲线 ()()12,,0:,,0F x y z F x y z =⎧⎪Γ⎨=⎪⎩那么怎样求曲线Γ到Oxy 平面上的射影柱面方程因为这个柱面的母线平行于z 轴，因此它的方程中不应含变量z ，这样只要消去z 即从Γ的某一个方程中解出z 来，把它代入另一个方程中，就得到从Γ向Oxy 面的射影柱面方程：(),0f x y =同理，曲线Γ在另外两个坐标平面上的射影柱面方程分别为：()(),0,,0g y z h x z ==因为射影柱面方程比一般三元方程简单，所以常用两个射影柱面方程来表示空间曲线。

具体做法是：从曲线Γ的方程中轮流消去变量,x y 与z ，就分别得到它在Oyz 面，Ozx 面和Oxy 面上的射影柱面方程，然后于这三个柱面方程中选取两个形式简单的联立起来，那么就得到了原曲线的形式较简单的方程且便于作图。

例6：求曲线()()222222:1,111x y x x y z Γ++=+-+-=在Oxy 面上的射影。

图5解：欲求曲线在Oxy面上的射影，需先求出曲线到Oxy面上的射影柱面，这又须从曲线方程消去z，由Γ的第一个方程减去第二个方程并化简得1y z+=或1z y=-将1z y=-代入曲线的方程中的任何一个，得曲线Γ到Oxy面的射影柱面：22220x y y+-=故两球面交线在Oxy面的射影曲线方程是2220x y yz⎧+-=⎨=⎩这是一椭圆.2.锥面定义3：通过一定点P且与一条曲线Γ相交的一切直线所构成的曲面叫做锥面（图6），定点P叫做锥面的顶点，定曲线Γ叫做锥面的准线，构成锥面的直线叫做锥面的母线。

由定义3，可见，锥面有个显著的特点：顶点与曲面上任意其它点的联线全在曲面上。

显然，锥面的准线不是唯一的，任何一条与所有母线相交的曲线都可以作为锥面的准线。

通常取一条平面曲线作为准线。

下面分几种情形讨论锥面的方程：顶点在原点，准线为平面曲线的锥面方程设锥面的准线Γ在平面z h=上，其方程为图6(),0:f x y z h=⎧⎪Γ⎨=⎪⎩ 又设(),,P x y z 为锥面上一动点（图7），()111,,P x y h 为准线Γ上一点，且P 、1P、O 三点共线，则1OP OP λ=或11{,,}{,,}x y z x y h λ=即11,,x x y y λλ==z h λ=，于是11,xhx y hy x y z zλλ====。