二维随机变量的分布函数、边缘分布、条件分布

一般，对离散型 r.v ( X,Y )，
X和Y 的联合概率函数为
P(X xi ,Y y j)pij, i, j 1,2,
则(X,Y)关于X的边缘概率函数为
P(X xi ) pi• pij, i 1,2,
j
(X,Y)关于Y 的边缘概率函数为
P (Y y j ) p• j pij , j 1, 2,L
P(X xi ,Y yj) pij,
i, j =1,2, …
pij 0, i, j 1,2,
pij 1
ij
一维随机变量X 离散型
X的概率函数
P(Xxk) pk,
k=1,2, …
pk 0, k=1,2, …
pk1
k
为了直观，一般用表格表示联合分布律
Y X
y1
y2
L
x1 p11 p12 L
例2 设 r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f. 为
kx2 y, x2 y 1
f (x, y)
0,
其它
其中k 为常数. 求
(1)常数 k ; (2) P ( X > Y )
解 (1)
f (x, y)dxdy 1
f (x, y)dxdy 1
1
K
1
D
x2 ydxdy
1 x2
联合密度的性质
1 f (x, y) 0
2 f (x, y)dydx 1
3 对每个变量连续, 在 f (x的, y连) 续点处
2F f (x, y) xy
4 若G 是平面上的区域，则
P( X ,Y ) G f (x, y)dxdy
G
对于二维连续型随机变量有
P( X = a ,Y = b ) = 0 P( X = a ,- < Y < + ) = 0 P(- < X < + , Y= a ) = 0
可以证明：
如果（ X,Y）～N( 1, 2,1, 2, )
则
X～N(
1
,
2 1
)
Y～N(
2
,
2 2
)
由联合分布可以确定边缘分布;
但由边缘分布一般不能确定联合分布.
例7 设(X ,Y ) ~ G 上的均匀分布,
G (x, y) 0 y x,0 x 1
求 (1) f ( x, y ) ; (2) P ( Y > X 2 ); (3) ( X ,Y ) 在平面上的落点到
y (x, y)
x
联合分布函数的性质
y
① 0 F(x, y) 1
F (, )
lim F (x, y) 1
x
y
F (, )
y
lim F (x, y) 0 x y
(,)
(,)
x
(x, y)
x
F (x, ) lim F (x, y) 0
y
F(, y)
lim F(x, y) 0 x
i
对任意r.v (X,Y)，
X和Y的联合分布函数为
F(x, y)
则(X,Y)关于X的边缘分布函数为
FX
(x)
lim
y
F
(x,
y)
(X,Y)关于Y的边缘分布函数为
FY
(
y)
lim
x
F
(
x,
y)
对连续型 r.v ( X,Y )，
X和Y的联合概率密度为
f (x, y)
则( X,Y )关于X的边缘概率函数为
f
(
x,
y)
1 A
,
(x, y) G
0, 其它
则称（X,Y）在G上服从均匀分布.
例
向平面上有界区域G上任投一质点，若质 点落在G内任一小区域B的概率与小区域的 面积成正比，而与B的形状及位置无关. 则 质点的坐标（ X,Y）在G上服从均匀分布.
若二维随机变量（X,Y）具有概率密度
f
( x,
y)
一维随机变量X
F(x, y) P(X x,Y y) x, y
X的分布函数
F(x) P(X x) x
{X x,Y y} 表示 {X x}与的{Y y} 积事件
分布函数的几何意义
如果用平面上的点 (x, y) 表示二维r.v. (X , Y )的一组可能的取值，则 F (x, y) 表示 (X , Y ) 的取值落入图所示角形区域的概率.
1
21 2
1
2
exp{
2(1
1
2
)
[(
x 1 )2 1
2( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 ]}
1
2
2
其中 1, 2,1, 2, 均为常数,且
1 0,2 0, | | 1
则称（ X,Y）服从参数为 1, 2,1, 2,
的二维正态分布.
记作（ X,Y）～N( 1, 2,1, 2, )
在打靶时,命中点的位置是由 一对r.v(两个坐标)来确定的.
飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三 个坐标）来确定的等等.
一般地，我们称n个随机变量的整体
X=(X1, X2, …，Xn)为n维随机变量或随
机向量. 以下重点讨论二维随机变量.
请注意与一维情形的对照 .
一、二维随机变量（X,Y） 的联合分布函数
2 6
6 /15,
P( X
0,Y
2)ห้องสมุดไป่ตู้
C
2 2
/
C
2 6
1/ 15;
P( X
1, Y
0)
C11C13
/
C
2 6
3 / 15,
P( X
1, Y
1)
C11C12
/
C
2 6
2 /15,
P(X 1,Y 2) 0.
故联合分布律与边缘分布律为
XY 0 1
p•
j
01
2
pi
•
3/15 6/15 1/15 2/3
x2
(2
x),
0 x 1
0,
其它
解: (2)
f
( x,
y)
24
5
y(2
x),
0 x 1, 0 y x
0,
其它
fY ( y) f ( x, y)dx
注意积分限
y
1 24 y(2 x)dx y5
y=x
24
y( 3
2y
y2 ),
52
2
0 y 1
0
1
x
注意取值范围
即
fY ( y)
1
1 2
1
arctan
2 2
1/ 4.
例6 设(X,Y)的概率密度是
f
(
x,
y
)
cy(
2 0
x ), ,
0 x 1,0 y x 其它
求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。
解：(1)
f ( x, y)dxdy
1
x
0 dx0 cy(2 x)dy
c
1
[
x
2
(2
x)
/
2]dx
y
x
y
x
② 对每个变量单调不减
固定 x , 对任意的 y1< y2 ,
F (x, y1) F (x, y2)
固定 y , 对任意的 x1< x2 ,
F (x1,y) F (x2, y) ③ 对每个变量右连续
F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 ) F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 )
=5c/24=1,
0
c =24/5
解: (2)
f
( x,
y)
24
5
y(2
x),
0 x 1, 0 y x
0,
其它
fX ( x) f ( x, y)dy
注意积分限
y
x 24
y=x 0 5 y(2 x)dy
0
1
12 x2(2 x), x5
0 x 1
注意取值范围
即
f
X
(
x)
12 5
X的密度函数
P{a X b}
b
a f (x)dx
f (x) 0
f (x)dx 1
定义 设二维 r.v.( X ,Y )的分布函数为 F(x ,y ),若存在非负可积函数 f (x,y) ,使得对 于任意实数 x , y 有
xy
F (x, y) f (u,v)dvdu
则称( X ,Y ) 为二维连续型 r.v. f (x,y) 为( X ,Y ) 的联合概率密度函数 简称概率密度函数简记 p.d.f.
§3.1二维随机变量的分布 函数、边缘分布
从本讲起，我们开始第三章的学习. 它是第二章内容的推广. 一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
在很多实际问题中，有些随机现象用一 个随机变量来描述还不够，而需要用几个随 机变量来描述.
y 轴距离小于0.3的概率.
解 (1)
f
(
x,
y)
2, 0,
0 y x,0 x 1 其它
(2) P(Y X 2 )
1
x
dx 2dy
0
x2
1/3.
y
y = x2
1
y=x
0
G
P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8 P(X=1, Y=1)=3(1/2)3=3/8
列表如下