二维随机变量的分布函数、边缘分布、条件分布

一般，对离散型 r.v ( X,Y )，
X和Y 的联合概率函数为
P(X xi ,Y y j)pij, i, j 1,2,
则(X,Y)关于X的边缘概率函数为
P(X xi ) pi• pij, i 1,2,
j
(X,Y)关于Y 的边缘概率函数为
P (Y y j ) p• j pij , j 1, 2,L
④ 对于任意 a < b , c < d F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) 0
d 事实上
F (b,d) – F (b,c) c
– F (a,d) + F (a,c)
a
b
Pa X b,c Y d 0
二、二维离散型随 机变量
X和Y 的联合概率函数
y
x
y
x
② 对每个变量单调不减
固定 x , 对任意的 y1< y2 ,
F (x, y1) F (x, y2)
固定 y , 对任意的 x1< x2 ,
F (x1,y) F (x2, y) ③ 对每个变量右连续
F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 ) F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 )
其它
四、边缘分布
二维联合分布全面地反映了二维随机变量 (X,Y)的取值及其概率规律.注而意单这个两随个机分变布量正X好,Y也是 具有自己的概率分布. X,Y的分表布的称行为和边与缘列分和布.。
从表中不难求得:
P(X=0)=1/8, P(X=1)=3/8 P(X=2)=3/8, P(X=3)=1/8,
例2 设 r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f. 为
kx2 y, x2 y 1
f (x, y)
0,
其它
其中k 为常数. 求
(1)常数 k ; (2) P ( X > Y )
解 (1)
f (x, y)dxdy 1
f (x, y)dxdy 1
1
K
1
D
x2 ydxdy
1 x2
3/15 2/15 0 1/3
6/15 8/15 1/15 1
例5 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为
F(x,
y)
A
B
arctan
x 2
C
arctan
y 2
x , y
其中A , B , C 为常数. (1) 确定A , B , C ；
(2) 求X 和Y 的边缘分布函数； (3) 求P (X > 2)
其它
求(X,Y)的联合分布函数F(x,y)
解 当x<0 或 y<0时，F(x,y)=0
当 x 0, y 0 时 F(x, y) P(X x,Y y)
x y 2e(2x y)dxdy 00
(1 e2x )(1 e y )
(1 e2x )(1 e y ), x 0, y 0
F(x, y) 0,
§3.1二维随机变量的分布 函数、边缘分布
从本讲起，我们开始第三章的学习. 它是第二章内容的推广. 一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
在很多实际问题中，有些随机现象用一 个随机变量来描述还不够，而需要用几个随 机变量来描述.
解 (1)
F(,)
A
B
2
C
2
1
F
(,)
A
B
2
C
2
0
F
(,)
A
B
2
C
2
0
B
2
,C
2
,
A
1
2
(2) FX (x) F (x,)
1 1 arctan x , x .
2
2
FY ( y) F (, y)
1 1 arctan y , y .
2
2
(3) P(X 2) 1 P(X 2) 1 FX (2)
y (x, y)
x
联合分布函数的性质
y
① 0 F(x, y) 1
F (, )
lim F (x, y) 1
x
y
F (, )
y
lim F (x, y) 0 x y
(,)
(,)
x
(x, y)
x
F (x, ) lim F (x, y) 0
y
F(, y)
lim F(x, y) 0 x
=5c/24=1,
0
c =24/5
解: (2)
f
( x,
y)
24
5
y(2
x),
0 x 1, 0 y x
0,
其它
fX ( x) f ( x, y)dy
注意积分限
y
x 24
y=x 0 5 y(2 x)dy
0
1
12 x2(2 x), x5
0 x 1
注意取值范围
即
f
X
(
x)
12 5
1
21 2
1
2
exp{
2(1
1
2
)
[(
x 1 )2 1
2( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 ]}
1
2
2
其中 1, 2,1, 2, 均为常数,且
1 0,2 0, | | 1
则称（ X,Y）服从参数为 1, 2,1, 2,
的二维正态分布.
记作（ X,Y）～N( 1, 2,1, 2, )
一维随机变量X
F(x, y) P(X x,Y y) x, y
X的分布函数
F(x) P(X x) x
{X x,Y y} 表示 {X x}与的{Y y} 积事件
分布函数的几何意义
如果用平面上的点 (x, y) 表示二维r.v. (X , Y )的一组可能的取值，则 F (x, y) 表示 (X , Y ) 的取值落入图所示角形区域的概率.
P(X xi ,Y yj) pij,
i, j =1,2, …
pij 0, i, j 1,2,
pij 1
ij
一维随机变量X 离散型
X的概率函数
P(Xxk) pk,
k=1,2, …
pk 0, k=1,2, …
pk1
k
为了直观，一般用表格表示联合分布律
Y X
y1
y2
L
x1 p11 p12 L
f
(
x,
y)
1 A
,
(x, y) G
0, 其它
则称（X,Y）在G上服从均匀分布.
例
向平面上有界区域G上任投一质点，若质 点落在G内任一小区域B的概率与小区域的 面积成正比，而与B的形状及位置无关. 则 质点的坐标（ X,Y）在G上服从均匀分布.
若二维随机变量（X,Y）具有概率密度
f
( x,
y)
fX (x) FX(x)
f (x, y)dy
( X,Y )关于Y的边缘概率函数为
fY ( y) FY( y) f (x, y)dx
例4 某校新选出的学生会 6 名女委员, 文、 理、工科各占1/6、1/3、1/2，现从中随机指 定 2 人为学生会主席候选人. 令X , Y 分别为 候选人中来自文、理科的人数.
可以证明：
如果（ X,Y）～N( 1, 2,1, 2, )
则
X～N(
1
,
2 1
)
Y～N(
2
,
2 2
)
由联合分布可以确定边缘分布;
但由边缘分布一般不能确定联合分布.
例7 设(X ,Y ) ~ G 上的均匀分布,
G (x, y) 0 y x,0 x 1
求 (1) f ( x, y ) ; (2) P ( Y > X 2 ); (3) ( X ,Y ) 在平面上的落点到
y 轴距离小于0.3的概率.
解 (1)
f
(
x,
y)
2, 0,
0 y x,0 x 1 其它
(2) P(Y X 2 )
1
x
dx 2dy
0
x2
1/3.
y
y = x2
1
y=x
0
G
x2 p21 p22 L
ML L L
xi pi1 pi2 L
ML L L
yj L p1 j L p2 j L LL pij L LL
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三 次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出 现次数与反面出现次数之差的绝对值，求 (X,Y)的概率函数 .
解：（ X, Y）可取值(0,3 ),(1, 1 ),(2, 1),(3,3 )
x2
(2
x),
0 x 1
0,
其它
解: (2)
f
( x,
y)
24
5
y(2
x),
0 x 1, 0 y x
0,
其它
fY ( y) f ( x, y)dx
注意积分限
y
1 24 y(2 x)dx y5
y=x
24
y( 3
2y
y2 ),
52
2
0 y 1
0
1
x
注意取值范围
即
fY ( y)
1
1 2
1
arctan
2 2
1/ 4.
例6 设(X,Y)的概率密度是
f
(
x,
y
)
cy(
2 0
x ), ,
0 x 1,0 y x 其它
求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。
解：(1)
f ( x, y)dxdy
1
x
0 dx0 cy(2 x)dy
c
1
[
x
2
(2
x)
/
2]dx
P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8 P(X=1, Y=1)=3(1/2)3=3/8
列表如下
P(X=2, Y=1)=3/8
P(X=3, Y=3)=1/8
三、二维连续型随 机变量
X和Y 的联合密度函数
f (x, y)
P{( x, y) A}
f (x, y)dxdy
A
一维随机变量X 连续型
24 5
y( 3 2
2y
y2 ), 2
0 y 1
0,
其它
在求连续型 r.v 的边缘密度时，往往要 求联合密度在某区域上的积分. 当联合密度 函数是分片表示的时候，在计算积分时应 特别注意积分限 .
下面我们介绍两个常见的二维分布.
设G是平面上的有界区域，其面积为A. 若二维随机变量（ X,Y）具有概率密度
X的密度函数
P{a X b}
b
a f (x)dx
f (x) 0
f (x)dx 1
定义 设二维 r.v.( X ,Y )的分布函数为 F(x ,y ),若存在非负可积函数 f (x,y) ,使得对 于任意实数 x , y 有
xy
F (x, y) f (u,v)dvdu
则称( X ,Y ) 为二维连续型 r.v. f (x,y) 为( X ,Y ) 的联合概率密度函数 简称概率密度函数简记 p.d.f.
求(X, Y ) 的联合分布律和边缘分布律.
解 X 与Y 的可能取值分别为0 , 1与0 , 1 , 2. 则（X，Y）的所有可能取值为
(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)
P( X
0,Y
0)
Cwenku.baidu.com
2 3
/
C
2 6
3 / 15,
同理有
P( X
0,Y
1)
C12C13
/
C
1
K
1
dx
1
x2 ydy
1
x2
4K 21
K 21 4
y x2
1
(2)
P( X Y ) 21 x2 ydxdy
4 D1
21
1
dx
x x2 ydy
40
x2
3 20
yx y x2
例3 设 r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f. 为
2e(2xy) , x 0, y 0
f (x, y) 0,
P(Y=1) = P(X=1, Y=1)+P(X=2, Y=1)=3/8+3/8=6/8, P(Y=3)=P(X=0, Y=3)+P(X=3, Y=3)=1/8+1/8=2/8.
如下表所示
我们常将边缘概率函数写在联合概率 函数表格的边缘上，由此得出边缘分布这 个名词.
联合分布与边缘分布的关系
由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布.
在打靶时,命中点的位置是由 一对r.v(两个坐标)来确定的.
飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三 个坐标）来确定的等等.
一般地，我们称n个随机变量的整体
X=(X1, X2, …，Xn)为n维随机变量或随
机向量. 以下重点讨论二维随机变量.
请注意与一维情形的对照 .
一、二维随机变量（X,Y） 的联合分布函数
2 6
6 /15,
P( X
0,Y
2)
C
2 2
/
C
2 6
1/ 15;
P( X
1, Y
0)
C11C13
/
C
2 6
3 / 15,
P( X
1, Y
1)
C11C12
/
C
2 6
2 /15,
P(X 1,Y 2) 0.
故联合分布律与边缘分布律为
XY 0 1
p•
j
01
2
pi
•
3/15 6/15 1/15 2/3
i
对任意r.v (X,Y)，
X和Y的联合分布函数为
F(x, y)
则(X,Y)关于X的边缘分布函数为
FX
(x)
lim
y
F
(x,
y)
(X,Y)关于Y的边缘分布函数为
FY
(
y)
lim
x
F
(
x,
y)
对连续型 r.v ( X,Y )，
X和Y的联合概率密度为
f (x, y)
则( X,Y )关于X的边缘概率函数为
联合密度的性质
1 f (x, y) 0
2 f (x, y)dydx 1
3 对每个变量连续, 在 f (x的, y连) 续点处
2F f (x, y) xy
4 若G 是平面上的区域，则
P( X ,Y ) G f (x, y)dxdy
G
对于二维连续型随机变量有
P( X = a ,Y = b ) = 0 P( X = a ,- < Y < + ) = 0 P(- < X < + , Y= a ) = 0