(完整)2002年上海高考理科数学试题及答案,推荐文档
2002高考数学全国卷及答案理
2002年普通高等学校招生全国统一考试（数学）理及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线3y x =的距离是 （A ）21 （B ）23 （C ）1 （D ）3 （2）复数3)2321(i +的值是 （A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 （3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x （C ）}11|{<<-x x （D ）1|{<x x 且}1-≠x （4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（A ）)45,()2,4(ππππ （B ）),4(ππ （C ）)45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππ （5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则（A ）N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）∅=N M（6）点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t y t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 （A ）43 （B ）54 （C ）53 （D ）53- （8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（A ）︒90 （B ）︒60 （C ）︒45 （D ）︒30 （9）函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是 （A ）0≥b （B ）0≤b （C ）0>b （D ）0<b （10）函数111--=x y 的图象是（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 （A ）8种 （B ）12种 （C ）16种 （D ）20种 （12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为 （A ）亿元 （B ）亿元 （C ）亿元 （D ）亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线． （13）函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝（14）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k （15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是（16）已知221)(xx x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）已知12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，)2,0(πα∈，求αsin 、αtg 的值（18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==（20<<a ）（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小（19）设点P 到点)0,1(-、)0,1(距离之差为m 2，到x 、y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围（20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值（22）设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ， ,3,2,1=n （I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式； （II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有 （i ）2+≥n a n （ii ）2111111111321≤++++++++n a a a a ADE参考答案（13）2 （14）1 （15）1008 （16）27 三、解答题（17）解：由12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，得0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα 0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα∵)2,0(πα∈∴01sin ≠+α，0cos 2≠=α∴01sin 2=-α，即21sin =α ∴6πα=∴33=αtg （18）解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形∴PQ MN =由已知a BN CM ==，1===BE AB CB ∴2==BF AC ，a BQ CP 22== )20( 21)22( )2()21( )1(22222<<+-=+-==+-==a a a a BQ CP PQ MN（II ）由（I ）21)22( 2+-=a MN 所以，当22=a 时，22=MN 即当M 、N 分别为AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22（III ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ， ∵BN BM AN AM ==,，G 为MN 的中点∴MN BG MN AG ⊥⊥,，即AGB ∠即为二面角的平面角α又46==BG AG ，所以，由余弦定理有 31464621)46()46(cos 22-=⋅⋅-+=α 故所求二面角为31arccos-=πα （19）解：设点P 的坐标为),(y x ，依题设得2||||=x y ，即x y 2±=，0≠x 因此，点),(y x P 、)0,1(-M 、)0,1(N 三点不共线，得2||||||||=<-MN PN PM∵0||2||||||>=-m PN PM ∴1||0<<m因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为||2m 的双曲线上，故112222=--my m x 将x y 2±=代入112222=--m y m x ，并解得222251)1(mm m x --=，因012>-m 所以0512>-m 解得55||0<<m 即m 的取值范围为)55,0()0,55( -（20）解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则301=b ，x b b +⨯=94.012对于1>n ，有)94.01(94.0 94.0211x b xb b n n n ++⨯=+⨯=-+ 所以)94.094.094.01(94.0211n n n x b b +++++⨯=+x b nn06.094.0194.01-+⨯=n x x 94.0)06.030(06.0⨯-+= 当006.030≥-x，即8.1≤x 时 3011=≤≤≤+b b b n n当006.030<-x，即8.1>x 时 数列}{n b 逐项增加，可以任意靠近06.0x 06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim 1x x x b n n n n =⨯-+=-+∞→+∞→ 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60≤n b （ ,3,2,1=n ）则6006.0≤x，即6.3≤x 万辆 综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆（21）解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f 当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ．若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤． （ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ．综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43 当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43．（22）解（I ）由21=a ，得311212=+-=a a a 由32=a ，得4122223=+-=a a a 由43=a ，得5133234=+-=a a a由此猜想n a 的一个通项公式：1+=n a n （1≥n ） （II ）（i ）用数学归纳法证明：①当1=n 时，2131+=≥a ，不等式成立． ②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么3521)2)(2(1)(1+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k ．也就是说，当1+=k n 时，2)1(1++≥+k a k 据①和②，对于所有1≥n ，有2n a n ≥+． （ii ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（i ），对2≥k ，有1)1(11++-=--k a a a k k k121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a……1)1(2122211211-+=++++≥---a a a k k k k于是11211111-⋅+≤+k k a a ，2≥k2131212211121111111111121111=+≤+≤+=+++≤+∑∑∑=-=-=a a a a a n k k n k k nk k。
2002年全国卷高考理科数学试题及标准答案
20０２年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科)及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第ＩI 卷(非选择题)两部分．第Ｉ卷1至２页．第ＩＩ卷3至9页．共１５0分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共6０分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共6０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.本试卷分第Ｉ卷(选择题)和第ＩI 卷(非选择题)两部分.第Ｉ卷1至2页.第ＩI 卷３至9页.共1５0分.考试时间120分钟.(1）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线y x =的距离是 (Ａ）21 (B ）23 （Ｃ)１ （D ）3 （2)复数3)2321(i +的值是 （A ）i - (Ｂ)i （C ）1- (D ）1(3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A)}10|{<≤x x (B ）0|{<x x 且}1-≠x（C ）}11|{<<-x x (D ）1|{<x x 且}1-≠x（4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是(A ）)45,()2,4(ππππ （Ｂ)),4(ππ （Ｃ）)45,4(ππ (Ｄ）)23,45(),4(ππππ (5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==,则 （A)N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （Ｄ)∅=N M(6)点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈)上的点的最短距离为(Ａ)0 (B)1 (C ）2 (D)２(7）一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等,那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A ）43 (B ）54 （C)53 (D)53- (8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为１,侧棱长为2,则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是(A)︒90 (B ）︒60 （C)︒45 (D)︒30(9)函数c bx x y ++=2(),0[+∞∈)是单调函数的充要条件是（A ）0≥b (B)0≤b （Ｃ)0>b （D)0<b(1０)函数111--=x y 的图象是(11）从正方体的6个面中选取３个面，其中有2个面不相邻的选法共有(A ）8种 （B)12种 (Ｃ)16种 (D ）2０种（12)据2０02年３月5日九届人大五次会议《政府工作报告》:“2００1年国内生产总值达到9５９33亿元,比上年增长７.3%”,如果“十•五”期间(2０01年-2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A)１150０0亿元 (Ｂ)１2００00亿元 (C ）127000亿元 (D)1３5000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题４分,共16分.把答案填在题中横线.（1３）函数x a y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为３，则a =(1４）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k(15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是。
2002年上海市夏季高考数学真题(理科)试卷含答案
2002年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．若z ∈C ，且 (3+z)i=1 (i 是虚数单位)，则z = .2．已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |=2，|b |=5，则（2a —b ）· a= .3．方程log 3(1—2·3x )=2x+1的解x= .4．若正四棱锥的底面边长为23cm ，体积为4cm 3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 .5．在二项式(1+3x)n 和(2x+5)n 的展开式中，各项系数之和分别记为a n 、b n ，n 是正整数，则nn nn n b a b a 432lim--∞→= .6．已知圆 (x+1)2+y 2=1和圆外一点P (0，2)，过点P 作圆的切线，则两条切线夹角的正切是 . 7．在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件.竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分.若14名裁判中有2个受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是 .（结果用数值表示）8．曲线⎩⎨⎧+=-=1212t y t x （t 为参数）的焦点坐标是 .9．若A 、B 两点的极坐标为A （4，3π）、B （6，0），则AB 中点的极坐标是 .（极角用反三角函数表示）10．设函数f (x)=sin2x.若f (x+t)是偶函数，则t 的一个可能值是 .11．若数列}{n a 中，a 1=3，且a n+1=a n 2（n 是正整数），则数列的通项公式a n = . 12．已知函数y=f (x)（定义域为D ，值域为A ）有反函数y=f -1(x)，则方程f (x)=0有解x=a ，且f (x)＞x （x ∈D ）的充要条件是y=f -1(x)满足 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、结论，其中有且只有一个结论是正确的，得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内）13．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）（A ）{z||z|=1,6π≤argz ≤65π,z ∈C} ； （B ）{z||z|≤1, 6π≤argz ≤65π,z ∈C} （C ）{z||z|=1, Imz ≥21,z ∈C} ； （D ）{z||z|≤1, Imz ≥21,z ∈C}x O x y ππ-π-πO x y ππ-π-πO xy ππ-π-πA B CD 月份月份B B'14．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α，m β.给出下列四个命题：（1）若α∥β，则l ⊥m ；（2）若l ⊥m ，则α∥β；（3）若α⊥β，则l ⊥m ；（4）若l ∥α，则α⊥β，其中正确命题的个数是（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 15．函数y=x+sin|x|，x ∈[—π，π]的大致图象是（ ）16．一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系.如图（1）表示某年12个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在12个月中每月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（ ）（A ）气温最高时，用电量最多 （B ）气温最低时，用电量最少 （C ）当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加； （D ）当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加三、解答题（本大题满分86分）解答下列各题必须写出必要的步骤。
2002年普通高等学校招生全国统一考试(数学)理含答案
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．
2002 年普通高等学校招生全国统一考试（数学）理及答案
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分．第 I 卷 1 至 2 页．第 II 卷 3 至 9 页．共 150 分．考试时间 120 分钟．
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．
互相垂直 点 新疆 王新敞
奎屯
M 在 AC 上 移 动 ， 点 N 在 BF 上 移 动 ， 若 CM = BN = a
C
（0 a 2）
D
（1）求 MN 的长；
P
M
（2） a 为何值时， MN 的长最小；
Q
（3）当 MN 的长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成二面角 的
B
E
大小 新疆 王新敞 奎屯
2
4
当 a 1 ，则函数 f (x) 在 (−, a] 上单调递减，从而函数 f (x) 在 (−, a] 上的最小值为 2
f (a) = a2 +1．
若 a 1 ，则函数 f (x) 在 (−, a]上的最小值为 f (1) = 3 + a ，且 f (1) f (a) ．
2
24
2
（ii）当 x a 时，函数 f (x) = x2 + x − a +1 = (x + 1)2 − a + 3
2002年高考试题——数学理(全国卷)
2002年普通高等学校招生全国统一考试（数学）理及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线y x =的距离是 A ．21B ．23C ．1D ．32．复数3)2321(i +的值是 A ．i -B ．iC ．1-D ．13．不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是 A ．}10|{<≤x x B ．0|{<x x 且}1-≠x C ．}11|{<<-x xD ．1|{<x x 且}1-≠x4．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是A ．)45,()2,4(ππππB ．),4(ππC ．)45,4(ππD ．)23,45(),4(ππππ5．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则A ．N M =B ．N M ⊂C ．N M ⊃D ．∅=N M6．点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t y t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为A ．0B ．1C ．2D ．27．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 A ．43B ．54C ．53D ．53-8．正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是A ．︒90B ．︒60C ．︒45D ．︒309．函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是 A ．0≥b B ．0≤bC ．0>bD ．0<b10．函数111--=x y 的图象是11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 A ．8种 B ．12种 C ．16种 D ．20种 12．据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7．3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为 A ．115000亿元 B ．120000亿元 C ．127000亿元 D ．135000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线． 13．函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ 14．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 15．72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是16．已知221)(xx x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，)2,0(πα∈，求αsin 、αtg 的值18．如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==（20<<a ）（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小19．设点P 到点)0,1(-、)0,1(距离之差为m 2，到x 、y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围20．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？21．设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值22．设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ， ,3,2,1=n （I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式； （II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有 （i ）2+≥n a n （ii ）2111111111321≤++++++++n a a a a ADE参考答案 一、选择题二、填空题（13）2 （14）1 （15）1008 （16）27 三、解答题（17）解：由12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，得0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα∵)2,0(πα∈∴01sin ≠+α，0cos 2≠=α∴01sin 2=-α，即21sin =α ∴6πα=∴33=αtg （18）解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形∴PQ MN =由已知a BN CM ==，1===BE AB CB ∴2==BF AC ，a BQ CP 22== 22cos (2sin 1)(sin 1)0ααα-+=)20( 21)22( )2()21( )1(22222<<+-=+-==+-==a a a a BQ CP PQ MN（II ）由（I ）21)22( 2+-=a MN 所以，当22=a 时，22=MN 即当M 、N 分别为AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22（III ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ， ∵BN BM AN AM ==,，G 为MN 的中点∴MN BG MN AG ⊥⊥,，即AGB ∠即为二面角的平面角α又46==BG AG ，所以，由余弦定理有 31464621)46()46(cos 22-=⋅⋅-+=α 故所求二面角为31arccos -=πα（19）解：设点P 的坐标为),(y x ，依题设得2||||=x y ，即x y 2±=，0≠x 因此，点),(y x P 、)0,1(-M 、)0,1(N 三点不共线，得2||||||||=<-MN PN PM∵0||2||||||>=-m PN PM ∴1||0<<m因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为||2m 的双曲线上，故112222=--my m x 将x y 2±=代入112222=--m y m x ，并解得 222251)1(mm m x --=，因012>-m 所以0512>-m 解得55||0<<m 即m 的取值范围为)55,0()0,55( -（20）解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则301=b ，x b b +⨯=94.012对于1>n ，有)94.01(94.0 94.0211x b xb b n n n ++⨯=+⨯=-+ 所以)94.094.094.01(94.0211nn n x b b +++++⨯=+x b nn06.094.0194.01-+⨯=n x x 94.0)06.030(06.0⨯-+= 当006.030≥-x，即8.1≤x 时 11=≤≤≤+b b b n n当006.030<-x，即8.1>x 时 数列}{n b 逐项增加，可以任意靠近06.0x 06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim 1xx x b n n n n =⨯-+=-+∞→+∞→ 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60≤n b （ ,3,2,1=n ）则6006.0≤x，即6.3≤x 万辆 综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆（21）解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f 当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ． 若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤．（ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ．综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43．（22）解（I ）由21=a ，得311212=+-=a a a 由32=a ，得4122223=+-=a a a 由43=a ，得5133234=+-=a a a由此猜想n a 的一个通项公式：1+=n a n （1≥n ） （II ）（i ）用数学归纳法证明：①当1=n 时，2131+=≥a ，不等式成立．②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么3521)2)(2(1)(1+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k ．也就是说，当1+=k n 时，2)1(1++≥+k a k 据①和②，对于所有1≥n ，有2n a n ≥+． （ii ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（i ），对2≥k ，有1)1(11++-=--k a a a k k k121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a……1)1(2122211211-+=++++≥---a a a k k k k于是11211111-⋅+≤+k k a a ，2≥k2131212211121111111111121111=+≤+≤+=+++≤+∑∑∑=-=-=a a a a a n k k n k k nk k。
2002年全国高考数学真题(理科_含答案) WORD直接打印
2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线33=y 的距离是 （A ）21 （B ）23 （C ）1 （D ）3 （2）复数3)2321(i +的值是（A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 （3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x （C ）}11|{<<-x x （D ）1|{<x x 且}1-≠x （4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（A ）)45,()2,4(ππππ （B ）),4(ππ （C ）)45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππ（5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则（A ）N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）∅=N M（6）点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t y t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A ）43 （B ）54 （C ）53 （D ）53- （8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（A ）︒90 （B ）︒60 （C ）︒45 （D ）︒30 （9）函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是 （A ）0≥b （B ）0≤b （C ）0>b （D ）0<b（10）函数111--=x y 的图象是（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 （A ）8种 （B ）12种 （C ）16种 （D ）20种 （12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A ）115000亿元 （B ）120000亿元 （C ）127000亿元 （D ）135000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中线． （13）函数x a y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ （14）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k （15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是（16）已知221)(xx x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝三、解答题：共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）已知12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，)2,0(πα∈，求αsin 、αtg 的值。
2002年全国高考数学试题普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理科)
2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．．满分 150分．考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线33=y 的距离是 （A ）21（B ）23 （C ）1 （D ）3（2）复数3)2321(i +的值是 （A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 （3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x （C ）}11|{<<-x x （D ）1|{<x x 且}1-≠x （4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（A ）)45,()2,4(ππππ （B ）),4(ππ （C ）)45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππ（5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则 （A ）N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）∅=N M（6）点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t y t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A ）43 （B ）54 （C ）53 （D ）53-（8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（A ）︒90 （B ）︒60 （C ）︒45 （D ）︒30 （9）函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是 （A ）0≥b （B ）0≤b （C ）0>b （D ）0<b（10）函数111--=x y 的图象是（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（A ）8种 （B ）12种 （C ）16种 （D ）20种 （12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A ）115000亿元 （B ）120000亿元 （C ）127000亿元 （D ）135000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．（13）函数x a y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ （14）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k （15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是（16）已知221)(xx x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）已知12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，)2,0(πα∈，求αsin 、αtg 的值。
2002高考数学全国卷及答案理2002高考数学全国卷及答案理
2002年普通高等学校招生全国统一考试（数学）理及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线y x =的距离是 （A ）21（B ）23 （C ）1 （D ）3（2）复数3)2321(i +的值是 （A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 （3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x （C ）}11|{<<-x x （D ）1|{<x x 且}1-≠x （4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（A ）)45,()2,4(ππππ （B ）),4(ππ （C ）)45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππ （5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则（A ）N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）∅=N M（6）点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t y t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A ）43 （B ）54 （C ）53 （D ）53- （8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（A ）︒90 （B ）︒60 （C ）︒45 （D ）︒30 （9）函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是 （A ）0≥b （B ）0≤b （C ）0>b （D ）0<b （10）函数111--=x y 的图象是（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（A ）8种 （B ）12种 （C ）16种 （D ）20种（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A ）115000亿元 （B ）120000亿元 （C ）127000亿元 （D ）135000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．（13）函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ （14）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k （15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是（16）已知221)(x x x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）已知12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，)2,0(πα∈，求αsin 、αtg 的值（18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==（20<<a ）（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小（19）设点P 到点)0,1(-、)0,1(距离之差为m 2，到x 、y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围聘进来的员工化学教案有两个星期的无薪试用期化学教案如果在这两个星期内的表现没有令老板满意化学教案（20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值（22）设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ， ,3,2,1=n（I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式；ADE（II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有（i ）2+≥n a n （ii ）2111111111321≤++++++++n a a a a参考答案（13）2 （14）1 （15）1008 （16）27三、解答题（17）解：由12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，得0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα 0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα∵)2,0(πα∈∴01sin ≠+α，0cos 2≠=α ∴01sin 2=-α，即21sin =α ∴6πα=∴33=αtg （18）解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形14.∴PQ MN =由已知a BN CM ==，1===BE AB CB ∴2==BF AC ，a BQ CP 22==)20( 21)22( )2()21( )1(22222<<+-=+-==+-==a a a a BQ CP PQ MN（II ）由（I ） 21)22( 2+-=a MN 所以，当22=a 时，22=MN 即当M 、N 分别为AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22（III ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ，∵BN BM AN AM ==,，G 为MN 的中点∴MN BG MN AG ⊥⊥,，即AGB ∠即为二面角的平面角α又46==BG AG ，所以，由余弦定理有 31464621)46()46(cos 22-=⋅⋅-+=α 故所求二面角为31arccos -=πα（19）解：设点P 的坐标为),(y x ，依题设得2||||=x y ，即x y 2±=，0≠x 因此，点),(y x P 、)0,1(-M 、)0,1(N 三点不共线，得2||||||||=<-MN PN PM∵0||2||||||>=-m PN PM ∴1||0<<m因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为||2m 的双曲线上，故112222=--m y m x 将x y 2±=代入112222=--m y m x ，并解得 222251)1(mm m x --=，因012>-m 所以0512>-m 解得55||0<<m 即m 的取值范围为)55,0()0,55( -（20）解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则301=b ，x b b +⨯=94.012对于1>n ，有)94.01(94.0 94.0211x b xb b n n n ++⨯=+⨯=-+ 所以)94.094.094.01(94.0211nn n x b b +++++⨯=+x b nn06.094.0194.01-+⨯=n x x 94.0)06.030(06.0⨯-+= 当006.030≥-x，即8.1≤x 时 3011=≤≤≤+b b b n n当006.030<-x，即8.1>x 时数列}{n b 逐项增加，可以任意靠近06.0x 06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim 1xx x b n n n n =⨯-+=-+∞→+∞→ 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60≤n b （ ,3,2,1=n ）则6006.0≤x，即6.3≤x 万辆 综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆（21）解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=-此时，)(x f 为偶函数当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f 当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ．若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤． （ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ．综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43 当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43．（22）解（I ）由21=a ，得311212=+-=a a a 由32=a ，得4122223=+-=a a a 由43=a ，得5133234=+-=a a a由此猜想n a 的一个通项公式：1+=n a n （1≥n ）（II ）（i ）用数学归纳法证明：①当1=n 时，2131+=≥a ，不等式成立． ②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么3521)2)(2(1)(1+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k ．也就是说，当1+=k n 时，2)1(1++≥+k a k据①和②，对于所有1≥n ，有2n a n ≥+．（ii ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（i ），对2≥k ，有1)1(11++-=--k a a a k k k121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a……1)1(2122211211-+=++++≥---a a a k k k k于是11211111-⋅+≤+k k a a ，2≥k2131212211121111111111121111=+≤+≤+=+++≤+∑∑∑=-=-=a a a a a nk k nk k nk k。
2002年高考理科数学试题及答案
2002年高考理科数学试题及答案2002年普通高等学校招生全国统一考试（数学）理及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线3y x =的距离是（A ）21 （B ）23（C ）1 （D ）3（2）复数3)2321(i +的值是（A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1（3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是 （A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x （C ）}11|{<<-x x （D ）1|{<x x 且}1-≠x （4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（A ）)45,()2,4(ππππY （B ）),4(ππ （C ）)45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππY（5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则（A ）N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）∅=N M I（6）点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A ）43 （B ）54 （C ）53（D ）53-（8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（A ）︒90 （B ）︒60 （C ）︒45 （D ）︒30 （9）函数cbx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是（A ）0≥b （B ）0≤b （C ）0>b （D ）0<b（10）函数111--=x y 的图象是（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（A ）8种 （B ）12种 （C ）16种 （D ）20种（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A ）115000亿元 （B ）120000亿元 （C ）127000亿元 （D ）135000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线． （13）函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ （14）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k（15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是（16）已知221)(x x x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）已知12cos cos 2sin 2sin2=-+αααα，)2,0(πα∈，求αsin 、αtg 的值（18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直点M 在AC 上移动，点N 在BF上移动，若a BN CM ==（20<<a ） （1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小（19）设点P 到点)0,1(-、)0,1(距离之差为m 2，到x 、y轴的距离之比为2，求m 的取值范围（20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？ （21）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x xx f ，R x ∈ADE（1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值（22）设数列}{na 满足：121+-=+n n n na a a，Λ,3,2,1=n（I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测na 的一个通项公式；（II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有（i ）2+≥n an（ii ）2111111111321≤++++++++n a a a aΛ参考答案 一、选择题二、填空题（13）2 （14）1 （15）1008 （16）27 三、解答题 （17）解：由12cos cos 2sin 2sin2=-+αααα，得cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα)1sin sin 2(cos 222=-+ααα 0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα∵)2,0(πα∈ ∴01sin ≠+α，0cos 2≠=α∴01sin 2=-α，即21sin =α ∴6πα= ∴33=αtg（18）解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形∴PQ MN =由已知a BN CM ==，1===BE AB CB ∴2==BF AC ，a BQ CP 22==)20( 21)22( )2()21( )1(22222<<+-=+-==+-==a a a a BQ CP PQ MN（II ）由（I ）21)22( 2+-=a MN 所以，当22=a 时，22=MN即当M 、N 分别为AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22（III ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ， ∵BN BM AN AM ==,，G 为MN 的中点∴MN BG MN AG ⊥⊥,，即AGB ∠即为二面角的平面角α 又46==BG AG ，所以，由余弦定理有31464621)46()46(cos 22-=⋅⋅-+=α故所求二面角为31arccos -=πα （19）解：设点P 的坐标为),(y x ，依题设得2||||=x y ，即x y 2±=，0≠x因此，点),(y x P 、)0,1(-M 、)0,1(N 三点不共线，得 2||||||||=<-MN PN PM ∵0||2||||||>=-m PN PM ∴1||0<<m因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为||2m 的双曲线上，故112222=--my m x将x y 2±=代入112222=--m y m x ，并解得222251)1(m m m x --=，因012>-m所以0512>-m解得55||0<<m即m 的取值范围为)55,0()0,55(Y -（20）解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则301=b ，xb b+⨯=94.012对于1>n ，有Λ)94.01(94.0 94.0211x b xb b n n n ++⨯=+⨯=-+所以)94.094.094.01(94.0211n n n x b b+++++⨯=+Λxb nn06.094.0194.01-+⨯=nx x 94.0)06.030(06.0⨯-+=当006.030≥-x ，即8.1≤x 时 3011=≤≤≤+b b b n n Λ当006.030<-x ，即8.1>x 时 数列}{nb 逐项增加，可以任意靠近06.0x 06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim 1x x x b n n n n =⨯-+=-+∞→+∞→因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60≤n b （Λ,3,2,1=n ）则6006.0≤x ，即6.3≤x 万辆 综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆（21）解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=-此时，)(x f 为偶函数 当0≠a 时，1)(2+=aa f ，1||2)(2++=-a aa f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数 （II ）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x xx f当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=aa f ．若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤． （ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为af -=-43)21(，且)()21(a f f ≤- 若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=aa f ．综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43． （22）解（I ）由21=a，得311212=+-=a a a由32=a ，得4122223=+-=a a a由43=a，得5133234=+-=a a a由此猜想na 的一个通项公式：1+=n a n（1≥n ）（II ）（i ）用数学归纳法证明：①当1=n 时，2131+=≥a，不等式成立．②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k，那么3521)2)(2(1)(1+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k ． 也就是说，当1+=k n 时，2)1(1++≥+k a k 据①和②，对于所有1≥n ，有2nan ≥+．（ii ）由1)(1+-=+n a a an n n 及（i ），对2≥k ，有 1)1(11++-=--k a a a k k k121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a……1)1(2122211211-+=++++≥---a a a k k k k Λ于是11211111-⋅+≤+k ka a，2≥k2131212211121111111111121111=+≤+≤+=+++≤+∑∑∑=-=-=a a a a a nk k nk k nk k。
2002年全国统一高考理科数学试卷
第1页（共13页）2002年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）圆22(1)1x y -+=的圆心到直线y 的距离是( ) A ．12 BC ．1 D2．（5分）复数31()2的值是( ) A ．1- B ．1 C ．i - D ．i3．（5分）不等式(1)(1||)0x x +->的解集是( )A ．{|01}x x <„B ．{|0x x <且1}x ≠-C ．{|11}x x -<<D ．{|1x x <且1}x ≠-4．（5分）在(0,2)π内，使sin cos x x >成立的x 的取值范围是( )A ．(4π，)(2ππ⋃，5)4π B ．(4π，)π C ．(4π，5)4π D ．(4π，5)(4ππ⋃，3)2π 5．（5分）设集合1{|24k M x x ==+，}k Z ∈，1{|42k N x x ==+，}k Z ∈，则( ) A ．M N = B ．M N ⊂ C ．M N ⊃ D ．M N =ΦI 6．（5分）点(1,0)P 到曲线22x t y t ⎧=⎨=⎩（其中参数)t R ∈上的点的最短距离为( ) A ．0 B ．1 CD ．27．（5分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等，则圆锥轴截面顶角的余弦值是( )A ．34B ．43C ．35-D ．358．（5分）正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的底面边长为1，则这个棱柱侧面对角线1E D 与1BC 所成的角是( )A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒9．（5分）函数2([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是( )A ．0b …B ．0b „C ．0b >D ．0b <。
2002年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷理科)
2002年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数 学（理工农医类含文科）考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚。
2．本试卷共22道题，满分150分。
考试时间120分钟。
请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.若z ∈c, 且(3+z) i =1(i 为虚数单位)，则z =______________。
2.已知向量和和夹角为1200，且=2，=5，则(2-)·＝________。
3.方程log 3(1-2·3x)=2x+1的解x=__________.4.若正四棱锥的底面边长23cm,体积为4cm 3,则它的侧面积与底面所成的二面角的大小为__________。
5.在二项式n )x 31(+和n )5x 2(+的展开式中,各项系数之和分别记为,n b n a 、n 是正整数,则lim_________nb 4n a 3nb 2n a =--。
6.已知圆12y 2)1x (=++和圆外一点P （0，2），过点P 作圆的切线，则两条切线夹交的正切值是__________。
7.某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件。
竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分。
若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是__________。
（结果用数值表示）8.曲线为参数）t (1t 2y 12t x ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=的焦点坐标是_________。
8.（文科）抛物线（y-1）2=4(x+1)的焦点坐标是____________。
9.若A 、B 两点的极坐标为A （4，3π）、B （6，0）,则AB 中点的极坐标是___________。
（极坐标用反三角函数值表示）工序 a b c d e f 紧前工序 — — a 、b c c d 、e 工时数（天）23254110.设函数f(x)=sin2x.若f(x+t)设偶函数，则t 的一个可能值设______________。
历年高考数学真题-2002年普通高等学校招生全国统一考试(数学)理及答案
2002年普通高等学校招生全国统一考试（数学）理及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线3y x =的距离是 （A ）21 （B ）23 （C ）1 （D ）3 （2）复数3)2321(i +的值是 （A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 （3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x （C ）}11|{<<-x x （D ）1|{<x x 且}1-≠x （4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（A ）)45,()2,4(ππππ （B ）),4(ππ （C ）)45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππ （5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则（A ）N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）∅=N M（6）点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t y t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 （A ）43 （B ）54 （C ）53 （D ）53- （8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（A ）︒90 （B ）︒60 （C ）︒45 （D ）︒30 （9）函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是 （A ）0≥b （B ）0≤b （C ）0>b （D ）0<b （10）函数111--=x y 的图象是（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 （A ）8种 （B ）12种 （C ）16种 （D ）20种 （12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A ）115000亿元 （B ）120000亿元 （C ）127000亿元 （D ）135000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线． （13）函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝（14）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k （15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是（16）已知221)(xx x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）已知12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，)2,0(πα∈，求αsin 、αtg 的值（18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==（20<<a ）（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小（19）设点P 到点)0,1(-、)0,1(距离之差为m 2，到x 、y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围（20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值（22）设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ， ,3,2,1=n （I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式； （II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有 （i ）2+≥n a n （ii ）2111111111321≤++++++++n a a a a ADE参考答案（13）2 （14）1 （15）1008 （16）27 三、解答题（17）解：由12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，得0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα 0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα∵)2,0(πα∈∴01sin ≠+α，0cos 2≠=α∴01sin 2=-α，即21sin =α ∴6πα=∴33=αtg （18）解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形∴PQ MN =由已知a BN CM ==，1===BE AB CB ∴2==BF AC ，a BQ CP 22== )20( 21)22( )2()21( )1(22222<<+-=+-==+-==a a a a BQ CP PQ MN（II ）由（I ）21)22( 2+-=a MN 所以，当22=a 时，22=MN 即当M 、N 分别为AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22（III ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ， ∵BN BM AN AM ==,，G 为MN 的中点∴MN BG MN AG ⊥⊥,，即AGB ∠即为二面角的平面角α又46==BG AG ，所以，由余弦定理有 31464621)46()46(cos 22-=⋅⋅-+=α 故所求二面角为31arccos-=πα （19）解：设点P 的坐标为),(y x ，依题设得2||||=x y ，即x y 2±=，0≠x 因此，点),(y x P 、)0,1(-M 、)0,1(N 三点不共线，得2||||||||=<-MN PN PM∵0||2||||||>=-m PN PM ∴1||0<<m因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为||2m 的双曲线上，故112222=--my m x 将x y 2±=代入112222=--m y m x ，并解得222251)1(mm m x --=，因012>-m 所以0512>-m解得55||0<<m 即m 的取值范围为)55,0()0,55( -（20）解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则301=b ，x b b +⨯=94.012对于1>n ，有)94.01(94.0 94.0211x b xb b n n n ++⨯=+⨯=-+ 所以)94.094.094.01(94.0211n n n x b b +++++⨯=+x b nn06.094.0194.01-+⨯=n x x 94.0)06.030(06.0⨯-+= 当006.030≥-x，即8.1≤x 时 3011=≤≤≤+b b b n n当006.030<-x，即8.1>x 时 数列}{n b 逐项增加，可以任意靠近06.0x 06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim 1x x x b n n n n =⨯-+=-+∞→+∞→ 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60≤n b （ ,3,2,1=n ）则6006.0≤x，即6.3≤x 万辆 综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆（21）解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f 当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ．若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤． （ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ．综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43 当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43．（22）解（I ）由21=a ，得311212=+-=a a a 由32=a ，得4122223=+-=a a a 由43=a ，得5133234=+-=a a a由此猜想n a 的一个通项公式：1+=n a n （1≥n ） （II ）（i ）用数学归纳法证明：①当1=n 时，2131+=≥a ，不等式成立． ②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么3521)2)(2(1)(1+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k ．也就是说，当1+=k n 时，2)1(1++≥+k a k 据①和②，对于所有1≥n ，有2n a n ≥+． （ii ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（i ），对2≥k ，有1)1(11++-=--k a a a k k k121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a……1)1(2122211211-+=++++≥---a a a k k k k于是11211111-⋅+≤+k k a a ，2≥k2131212211121111111111121111=+≤+≤+=+++≤+∑∑∑=-=-=a a a a a n k k n k k nk k。
2002年高考全国卷理科数学试题及答案
0.06
bn 1 bn
b1
30 奎奎奎奎奎
当 30 x 0 ，即 x 1.8时 0.06
数列{bn
}
逐项增加，可以任意靠近
x 0.06
因nlim此，bn如果nli要m求[0汽.x0车6 保(有30量不0超.x0过6)
0.94 n
1]
60 万辆，即
x 0.06
bn 60 （ n 1,2,3, ）
x 则 0.06
2
24
2
（ii）当 x a 时，函数 f (x) x2 x a 1 (x 1 )2 a 3
2
4
若 a 1 ，则函数 f (x) 在 ( , a]上的最小值为 f ( 1 ) 3 a ，且 f ( 1 ) f (a)
2
24
2
若 a 1 ，则函数 f (x) 在[a, ) 上单调递增，从而函数 f (x) 在[a, ) 上的最小值为 2
f (a) a2 1．
综上，当 a
1 时，函数 f (x) 的最小值为 3 a
2
4
当 1 a 1 时，函数 f (x) 的最小值为 a 2 1
2
2
当 a 1 时，函数 f (x) 的最小值为 3 a ．
2
4
（22）解（I）由 a1 2 ，得 a2 a12 a1 1 3
由 a2 3 ，得 a a2 2 2a 1 4
（A）0
（B）1
（C） 2
（D）2
（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个
圆锥轴截面顶角的余弦值是
3 （A） 4
（B）
4 5
（C） 3 5
（D） 3 5
（8）正六棱柱 ABCDEF A1B1C1D1E1F1 的底面边长为 1，侧棱长为 2 ，则这个棱柱侧
2002年全国卷高考理科数学试题与答案
2002 年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）及答案本试卷分第 I 卷 (选择题 )和第 II 卷 (非选择题 ) 两部分．第 I 卷 1至2页．第 II 卷 3至 9页．共 150分．考试时间 120分钟．第Ⅰ卷 (选择题共60 分 )一、选择题：本大题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第 I 卷 (选择题 ) 和第 II卷 (非选择题 )两部分．第 I 卷 1至2页．第 II 卷3 至 9页．共 150 分．考试时间 120 分钟．（1）圆 ( x 1) 2y 21 的圆心到直线 y3x 的距离是3（A ）1（ B ） 3（C ）1（D ） 322（2）复数 (13 i )3 的值是22（A ） i（ B ） i （C ） 1（D ）1（3）不等式 (1 x)(1 | x |) 0 的解集是（A ） { x | 0 x 1}（ B ） { x | x 0 且 x 1}（C ） { x | 1 x 1}（ D ） { x | x 1且 x1}（4）在 (0,2 ) 内，使 sin x cosx 成立的 x 的取值范围是（A ）( ,2)( ,5)（B ） (, ) （C ） ( ,5)（D ）(,)(5,3) 4444 444 2（5）设集合 M { x | xk 1, k Z}，N{ x | xk 1,kZ} ，则2442（A ）MN（B ）MN（C ）MN（D ）MN（6）点 P(1,0) x t 2 R ）上的点的最短距离为到曲线（其中参数 ty2t（A ）0（B ） 1（C ） 2（D ）2（ 7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 （A ）3（B ）4（C ）3（D ）34555（8）正六棱柱ABCDEF A 1 B 1C 1 D 1E 1 F 1 的底面边长为 1，侧棱长为2 ，则这个棱柱侧面对角线 E 1 D 与 BC 1 所成的角是（A ） 90（B ） 60（C ） 45（D ） 30（9）函数 y x 2bx c （[0, ) ）是单调函数的充要条件是（A ） b 0（ B ） b 0（ C ） b（ D ） b 0（10）函数 y11的图象是x 1yyyy1111-1O1O1x-1OxOxx(A)(B)(C)(D)（11）从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有（A ）8种（B ）12 种（C ）16 种 （D ）20 种（12）据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》 ：“ 2001 年国内生产总值达到95933 亿元，比上年增长 7.3%”，如果“十 ?五”期间（ 2001 年－ 2005 年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十 ?五”末我国国内年生产总值约为 （A ） 115000 亿元 （ B ） 120000 亿元 （ C ） 127000 亿元（ D ） 135000 亿元第 II 卷(非选择题共 90 分 )二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在题中横线．（13 ）函数 y a x在 [0,1] 上的最大值与最小值这和为3，则 a ＝（14 ）椭圆 5x 2ky 25 的一个焦点是 (0,2) ，那么 k（15 ） ( x21)( x 2) 7 展开式中 x 3 的系数是（16 ）已知 f ( x)x 2，那么 f (1) f (2) f ( 1)f (3) f (1)f (4)f ( 1) ＝1 x 2234三、解答题：本大题共6 小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17 ）已知 sin 22sin 2 coscos 21，(0, ) ，求 sin、 tg的值2（18 ）如图，正方形 ABCD 、 ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 、 ABEF 互相垂直 点M 在 AC 上 移 动 ， 点 N 在 BF 上 移 动 ， 若 CM BN aC（ 0a 2 ）（1）求 MN 的长；DP（2） a 为何值时， MN 的长最小；MBQ（3）当 MN 的长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成二面角的E大小N（19）设点 P 到点 ( 1,0) 、 (1,0) 距离之差为 2m ，到 x 、 y 轴的A F距离之比为 2，求 m 的取值范围（20）某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60 万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设 a 为实数，函数 f (x)x 2| x a | 1 ， xR（1）讨论 f (x) 的奇偶性；（2）求 f ( x) 的最小值（22）设数列 {a n } 满足： aa2na1 ， n 1,2,3,n 1 nn（I ）当 a 1 2 时，求 a 2 , a 3 , a 4 并由此猜测 a n 的一个通项公式；（II ）当 a 1 3 时，证明对所的 n 1 ，有（i ） a nn 2（ii ）11 11 11 a 11 a2 1 a 31 a n2参考答案 一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDCBBCBABBC二、填空题 （13） 2（14）1（15） 1008（16）72三、解答题（17）解：由 sin 2 2sin 2 coscos2 1，得 4 sin 2 cos 2 2sin cos 22cos 22 cos 2 (2 sin 2 sin 1) 02 cos 2 (2 sin1)(sin1)∵(0, )2∴ sin 1 0 ， cos 2∴ 2sin10 ，即 sin1 2∴6∴ tg33（18）解（ I ）作 MP ∥ AB 交BC 于点 P ，NQ ∥ AB 交BE 于点 Q ，连结 PQ ，依题意可得 MP ∥NQ ，且 MP NQ ，即 MNQP 是平行四边形∴ MN PQ由已知 CM BN a ， CB ABBE1∴ ACBF2 ， CP BQ2 a2MNPQ(1 CP)2 BQ 2 (1a )2 (a)222(a2 ) 2 1 ( 0 a2)2 2（II ）由（ I ）MN(a 2 )2122所以，当 a22时， MN22即当M、N分别为 AC、 BF 的中点时， MN 的长最小，最小值为2 2（III ）取MN的中点G，连结AG、BG，∵ AM AN,BM BN，G为MN的中点∴ AG MN,BG MN ，即AGB即为二面角的平面角又AG BG 6，所以，由余弦定理有4( 6 )2(6 )21cos441663244故所求二面角为arccos13（19）解：设点P的坐标为( x, y)，依题设得| y |2 ，即 y 2 x ，x 0| x |因此，点 P( x, y) 、 M (1,0) 、 N (1,0) 三点不共线，得||PM ||PN || |MN |2∵||PM ||PN|| 2 | m | 0∴0 | m | 1因此，点 P 在以 M 、N为焦点，实轴长为 2 | m |的双曲线上，故x2y21m21m2将 y2x 代入x2y 21，并解得m 2 1 m22m 2 (2 )2x1 m，因 1 m1 5m2所以 1 5 m 2解得 0 | m |55即 m 的取值范围为 (5,0)(0, 5 )55（20）解：设 2001 年末汽车保有量为 b 1 万辆， 以后各年末汽车保有量依次为 b 2 万辆， b 3 万辆，⋯，每年新增汽车x 万辆，则b 1 30 ， b 2 b 1 0.94 x对于 n 1 ，有bn 1b n 0.94 xb n 1 0.942 (1 0.94)x所以 b n1b10.94 n x (1 0.94 0.942b 1 0.94 n 1 0.94 n x0.06 x(30x ) 0.94 n0.060.06当 30x 0 ，即 x 1.8 时0.06b n 1bnb 130当 30x0 ，即 x1.8时0.06x数列 { b n } 逐项增加，可以任意靠近0.06xxlim b nlim [ (30) 0.94n 1]nn0.060.0660 万辆，即因此，如果要求汽车保有量不超过0.94 n )x0.06b n 60 （ n 1,2,3, ）则 x60 ，即 x 3.6 万辆0.06综上，每年新增汽车不应超过3.6 万辆（21）解：（ I ）当 a0 时，函数 f ( x) ( x) 2 | x | 1f ( x)此时， f (x) 为偶函数当 a 0 时， f (a)a 2 1， f ( a)a 22 | a |1，f (a) f ( a) ， f (a)f ( a)此时 f (x) 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i ）当 x a 时， f ( x) x 2x a 1 ( x1 )2 a 3124当 af (x) 在 (, a] 上单调递减，从而函数f ( x) 在 ( , a] 上的最小值为，则函数2f ( a) a 21．若 a1 ，则函数 f (x) 在 ( , a] 上的最小值为f (1)22（ii ）当 xa 时，函数 f ( x) x 2 x a 1( x 1 )223 a ，且 f ( 1) f ( a) ． 4 23a4若 a1 ，则函数 f ( x) 在 ( , a] 上的最小值为 f (1 )3 a ，且 f ( 1) f (a)2 2 4 2若 a1 ，则函数 f (x) 在 [ a,) 上单调递增，从而函数f (x) 在 [ a,) 上的最小值为2f ( a) a 21．综上，当 a1时，函数 f (x) 的最小值为 3a2 411 当a时，函数 f ( x) 的最小值为 a 2 121 2 3当 a 的最小值为a ．时，函数 f ( x)42（22）解（ I ）由 a 12 ，得 a2a 2a1 1 31由 a 2 3 ，得 a 3 a 2 22a 2 1 4 由 a 34 ，得 a 423a 3 1 5a 3由此猜想 a n 的一个通项公式： a nn1 （ n 1）（II ）（i ）用数学归纳法证明：①当 n1时， a 1 3 1 2 ，不等式成立．②假设当 nk 时不等式成立，即 a kk2 ，那么a k 1 a k (a kk) 1 (k 2)( k 2 k ) 1 2k 5 k 3 ． 也就是说，当 n k 1时， a k 1 (k 1) 2据①和②，对于所有n 1，有 a nn 2 ．（ii ）由 a n 1 a n ( a n n) 1及（ i ），对 k 2 ，有a kak 1(ak 1k 1) 1a k 1 (k 1 2 k 1) 1 2a k 1 1⋯⋯ak2k 1 a2k 22 1 2k 1( a 1) 111于是11 1 ， k 21 a k 1 a 1 2k 1n11 1n1 1 n1 2 2 1k 11 a k1 a 11 a 1 k2 2 k 1 1 a 1 k 1 2k 11 a 11 3 2。
2002年高考全国卷理科数学试题及答案
11 普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）及答案本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分．第 I 卷 1 至 2 页．第 II 卷 3 至 9 页．共 150 分．考试时间 120 分钟．第Ⅰ卷(选择题共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分．第 I 卷 1 至 2 页．第 II 卷 3 至 9页．共 150 分．考试时间 120 分钟．（1）圆(x - 1)2+ y 2= 1的圆心到直线 y =3 x 的距离是3（A ） 12（B ）2（C ）1（D ）（2）复数( + 2 （A ） - i3 i )3 的值是 2（B ） i（C ） -1（D ）1（3）不等式(1 + x )(1- | x |) > 0 的解集是（A ）{x | 0 ≤ x < 1}（B ）{x | x < 0 且 x ≠ -1}（C ）{x | -1 < x < 1}（D ）{x | x < 1且 x ≠ -1}（4）在(0,2π) 内，使sin x > cos x 成立的 x 的取值范围是（A ） ( )（5）设集合 M = {x | x = + , k ∈ Z }，N = {x | x = 2 4 + , k ∈ Z } 4 2 （A ） M = N （B ） M ⊂ N （C ） M ⊃ N （D ） M N = ∅33π,π ) (π, 5π )（B ） ( π ,π)（C ）( π,5π ) （D ）( π ,π) ( 5π, 3π4 2444 4 k 1 k 1 44 2，则2⎩⎧x =t 2（6）点P(1,0) 到曲线 ⎨y = 2t（其中参数t ∈R ）上的点的最短距离为（A）0 （B）1 （C）（D）2（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A）34（B）45（C）35（D）-35（8）正六棱柱ABCDEF -A1 B1C1 D1 E1 F1 的底面边长为1，侧棱长为面对角线E1 D 与BC1 所成的角是，则这个棱柱侧（A）90︒ （B）60︒ （C）45︒ （D）30︒（9）函数y =x 2 +bx +c （∈ [0,+∞) ）是单调函数的充要条件是（A）b≥ 0（10）函数 y = 1 -（B）b ≤ 01的图象是x - 1（C）b > 0 （D）b < 0（11）从正方体的 6 个面中选取3 个面，其中有2 个面不相邻的选法共有（A）8 种（B）12 种（C）16 种（D）20 种（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A）115000 亿元（B）120000 亿元（C）127000 亿元（D）135000 亿元第II 卷(非选择题共90 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共16 分．把答案填在题中横线．（13）函数y =a x 在[0,1]上的最大值与最小值这和为3，则a ＝（14）椭圆5x 2 +ky 2 = 5的一个焦点是(0,2) ，那么k =（15）(x 2 +1)(x - 2)7 展开式中x 3 的系数是2232 n n +1 n n Qx 2（16）已知 f (x ) = ，那么 f (1) + f (2) + f ( 1 + x 21 ) + f (3) + f (2 1) + f (4) + f (3 1 ) ＝4三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）已知sin 22α+ sin 2αcos α- cos 2α= 1，α∈ (0,π2，求sin α、tg α的值（18）如图，正方形 ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 、ABEF 互相垂直 点 M 在 AC 上移动， 点 N 在 BF 上移动， 若 CM = BN = a C（ 0 < a < ） D（1）求 MN 的长；P（2） a 为何值时， MN 的长最小；M（3）当 MN 的长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成二面角α的 BE大小NAF（19）设点 P 到点(-1,0)、(1,0) 距离之差为 2m ，到 x 、 y 轴的距离之比为 2，求 m 的取值范围（20）某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同 为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆， 那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设 a 为实数，函数 f (x ) = x 2+ | x - a | +1， x ∈ R（1）讨论 f (x ) 的奇偶性；（2）求 f (x ) 的最小值（22）设数列{a }满足： a = a 2- na + 1， n = 1,2,3, （I ）当 a 1 = 2 时，求 a 2 , a 3 , a 4 并由此猜测 a n 的一个通项公式； （II ）当 a 1 ≥ 3时，证明对所的 n ≥ 1，有 （i ） a n ≥ n + 2（ii ）11 + a 1 + 1 1 + a2 + 1 1 + a3 + + 1 ≤ 1 1 + a n 2)参考答案一、选择题题号12345678910 11 12 答案A C D C B B C B A B B C（13）2 （14）1 （15）1008 （16）72三、解答题（17）解：由sin 2 2α+ sin 2αcosα- cos 2α= 1，得4 sin 2 αcos 2 α+ 2 sinαcos 2 α- 2 cos 2 α= 02 cos 2 α(2 sin 2 α+ sinα- 1) = 02 cos 2 α(2 sinα- 1)(sinα+ 1) = 0π∵α∈ (0, )2∴sinα+1 ≠ 0，cos 2 α≠= 01∴ 2sinα-1 = 0，即sinα=2π∴α=6∴tgα=3（18）解（I）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且MP =NQ ，即MNQP 是平行四边形∴ MN =PQ由已知CM =BN =a ， CB =AB =BE = 1∴ AC =BF = ，CP =BQ =2a 232452 (1 - a )2 + ( a )2MN = PQ === =(0 < a < 2)（II ）由（I ）MN =所以，当 a =时， MN = 2 2即当 M 、 N 分别为 AC 、 BF 的中点时， MN 的长最小，最小值为 2（III ）取 MN 的中点G ，连结 AG 、 BG ， ∵ AM = AN , B M = BN ， G 为 MN 的中点∴ AG ⊥ MN , BG ⊥ MN ，即∠AGB 即为二面角的平面角α又 AG = BG = ，所以，由余弦定理有 4( 6 )2 + ( 6)2 - 1cos α= 4 4 = - 1 2 ⋅ 6 ⋅ 63 4 41故所求二面角为α= π- arccos3| y |（19）解：设点 P 的坐标为(x , y )，依题设得| x |= 2 ，即 y = ±2x ， x ≠ 0因此，点 P (x , y ) 、 M (-1,0) 、 N (1,0) 三点不共线，得|| PM | - | PN ||<| MN |= 2∵ || PM | - | PN ||= 2 | m |> 0∴ 0 <| m |< 12 (1 - CP )2 + BQ 2 (a - 2 2 )2 +12(a -2 2 )2 + 1 2 2 2 2665 = - n -1 2- = 22 > 因此，点 P 在以 M 、 N 为焦点，实轴长为 2 | m |的双曲线上，故x y 2m 2 1 - m 2 1将 y = ±2x 代入 x m2- y 2 1 - m 2 = 1，并解得m 2 (1 - m 2 ) x ，因1 m 01 - 5m 2所以1 - 5m 2> 0解得0 <| m |<5即 m 的取值范围为(-,0) (0, ) 5 5（20）解：设 2001 年末汽车保有量为b 1 万辆，以后各年末汽车保有量依次为b 2 万辆，b 3 万辆，…，每年新增汽车 x 万辆，则b 1 = 30 ， b 2 = b 1 ⨯ 0.94 + x对于 n > 1，有b n +1 = b n ⨯ 0.94 + x= b ⨯ 0.942+ (1+ 0.94)x所以bn +1 = b 1 ⨯ 0.94n + x (1 + 0.94 + 0.942 + + 0.94n)= b 1 ⨯ 0.94 1 - 0.94nx 0.06= x 0.06 + (30 - x 0.06 ) ⨯ 0.94n当30 - x0.06≥ 0 ，即 x ≤ 1.8 时b n +1 ≤ b n ≤ ≤ b 1 = 30 当30 - x 0.06< 0 ，即 x > 1.8时5 5 2n+7数列{b n }逐项增加，可以任意靠近x 0.06lim b = lim [ x + (30 - x ) ⨯ 0.94n -1] = x n →+∞ n n →+∞ 0.06 0.06 0.06因此，如果要求汽车保有量不超过 60 万辆，即b n ≤ 60 （ n = 1,2,3, ）x 则 0.06≤ 60 ，即 x ≤ 3.6 万辆 综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆（21）解：（I ）当 a = 0 时，函数 f (-x ) = (-x )2+ | -x | +1 =f (x )此时， f (x ) 为偶函数当 a ≠ 0 时， f (a ) = a 2+ 1， f (-a ) = a 2+ 2 | a | +1，f (a ) ≠ f (-a ) ， f (a ) ≠ - f (-a )此时 f (x ) 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i ）当 x ≤ a 时， f (x ) = x 2- x + a + 1 = (x - 1 )2 + a + 324当 a ≤ 1，则函数 f (x ) 在 (-∞, a ]上单调递减，从而函数 f (x ) 在 (-∞, a ]上的最小值为2 f (a ) = a 2 + 1．若 a > 1 2，则函数 f (x ) 在(-∞, a ]上的最小值为 f ( 1 ) = 2 3 + a ，且 f ( 4 1 ) ≤ 2f (a )．（ii ）当 x ≥ a 时，函数 f (x ) = x 2+ x - a + 1 = (x + 1 )2 - a + 32 4若 a ≤ - 1 ，则函数 f (x ) 在(-∞, a ]上的最小值为 f (- 1 ) = 3 - a ，且 f (- 1) ≤ f (a )2 2 4 2 若 a > - 1，则函数 f (x ) 在[a ,+∞) 上单调递增，从而函数 f (x ) 在[a ,+∞) 上的最小值为2 f (a ) = a 2 + 1．综上，当 a ≤ - 1 时，函数 f (x ) 的最小值为 3- a2 4 当 - 1 < a ≤ 1 时，函数 f (x ) 的最小值为 a 2+ 12 2 当 a > 1 时，函数 f (x ) 的最小值为 3+ a ．2 482 3 2 2 3 4 3 3 nk （22）解（I ）由 a = 2 ，得 a = a 2- a+ 1 = 31211由 a = 3，得 a = a 2- 2a + 1 = 4 由 a = 4 ，得 a = a 2- 3a +1 = 5由此猜想 a n 的一个通项公式： a n = n + 1（ n ≥ 1） （II ）（i ）用数学归纳法证明：①当 n = 1时， a 1 ≥ 3 = 1 + 2 ，不等式成立．②假设当 n = k 时不等式成立，即 a k ≥ k + 2 ，那么a k +1 = a k (a k - k ) + 1 ≥ (k + 2)(k + 2 - k ) + 1 = 2k + 5 ≥ k + 3 ． 也就是说，当 n = k + 1时， a k +1 ≥ (k + 1) + 2据①和②，对于所有 n ≥ 1，有 a n ≥ n + 2．（ii ）由 a n +1 = a n (a n - n ) + 1及（i ），对 k ≥ 2 ，有a k = a k -1 (a k -1 - k + 1) + 1≥ a k -1 (k - 1 + 2 - k + 1) + 1 = 2a k -1 + 1……a ≥ 2k -1a + 2k -2 + + 2 + 1 = 2k -1 (a + 1) - 11于是1 + a k ≤ 1 1+ a 1 ⋅ 12k -1 ， k ≥ 2∑ 1 ≤ 1 + 1 ∑n 1 = 1 ∑n 1 ≤ 2 ≤ 2 = 1k =1 1 + a k1 + a 1 1 + a 1 k =2 2k -1 1 + a 1 k =1 2k -1 1 + a 1 1 +3 2 1 1。
2002高考数学
（1）讨论 f ( x) 的奇偶性； （2）求 f ( x) 的最小值
王新敞
奎屯
新疆
（22）设数列 {a n } 满足： an1 an nan 1 ， n 1,2,3, （I）当 a1 2 时，求 a 2 , a3 , a 4 并由此猜测 a n 的一个通项公式； （II）当 a1 3 时，证明对所的 n 1 ，有 （i） a n n 2 （ii）
m Cx
xx 1x m 1 ＝0； m!
m m ② 当 x≥m 时， C x 是组合数， C x ∈Z；
m ③ 当 x＜0 时， C x ＝
xx 1x m 1 m!
＝ 1
m
x x 1 x m 1 m!
＝ 1
2 2
ak 1 ak (ak k ) 1 (k 2)(k 2 k ) 1 2k 5 k 3 ．
也就是说，当 n k 1 时， ak 1 (k 1) 2 据①和②，对于所有 n 1 ，有 an n 2 ． （ii）由 an1 an (an n) 1 及（i） ，对 k 2 ，有
1
2 4 x0
，
∵ 0 x0
3 ，∴
1 cos 1 ， 0 ， 2 3
sin 1 cos 2 1
1 sin ， tan 2 cos 4 x0
ak ak 1 (ak 1 k 1) 1 ak 1 (k 1 2 k 1) 1 2ak 1 1
……
ak 2 k 1 a1 2 k 2 2 1 2 k 1 (a1 1) 1
于是
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
xO xyππ-π-πO xy ππ-π-πO xy ππ-π-πBCD 2002年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．若z ∈C ，且 (3+z)i=1 (i 是虚数单位)，则z = .2．已知向量和的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2—）· = .abababa3．方程log 3(1—2·3x )=2x+1的解x= .4．若正四棱锥的底面边长为2cm ，体积为4cm 3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 .35．在二项式(1+3x)n 和(2x+5)n 的展开式中，各项系数之和分别记为a n 、b n ，n 是正整数，则=.nn nn n b a b a 432lim--∞→6．已知圆 (x+1)2+y 2=1和圆外一点P (0，2)，过点P 作圆的切线，则两条切线夹角的正切是 .7．在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件.竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分.若14名裁判中有2个受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是 .（结果用数值表示）8．曲线（t 为参数）的焦点坐标是.⎩⎨⎧+=-=1212t y t x 9．若A 、B 两点的极坐标为A （4，）、B （6，0），则AB 中点的极坐标是.（极角用反三角函3π数表示）10．设函数f (x)=sin2x.若f (x+t)是偶函数，则t 的一个可能值是 .11．若数列中，a 1=3，且a n+1=a n 2（n 是正整数），则数列的通项公式a n =.}{n a 12．已知函数y=f (x)（定义域为D ，值域为A ）有反函数y=f -1(x)，则方程f (x)=0有解x=a ，且f (x)＞x （x ∈D ）的充要条件是y=f -1(x)满足 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。
13．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）（A ）{z||z|=1,≤argz ≤,z ∈C} ； （B ）{z||z|≤1, ≤argz ≤,z ∈6π65π6π65π（C ）{z||z|=1, Imz ≥,z ∈C} ； （D ）{z||z|≤1, Imz ≥,z ∈C}212114．已知直线、m ，平面α、β，且⊥α，m β.给出下列四个命题：（1l l ⊂；（2）若⊥m ，则α∥β；（3）若α⊥β，则⊥m ；（4）若∥α，则α⊥β，其中正确命题l l l 的个数是（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个15．函数y=x+sin|x|，x ∈[—π，π]的大致图象是（ ）16．一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系.如图（1）表示某年12个月中每月的平份份份份B B''均气温，图（2）表示某家庭在12个月中每月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（ ）（A ）气温最高时，用电量最多 （B ）气温最低时，用电量最少 （C ）当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加； （D ）当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加三、解答题（本大题满分86分）解答下列各题必须写出必要的步骤。
17．（本题满分12分）如右上图，在直三棱柱ABO —A /B /O /中，OO /=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，D 是线段A /B /的中点，P 是侧棱BB /上的一点.若OP ⊥BD ，求OP 与底面AOB 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18．（本题满分12分）已知点A （—，0）和B （，0），动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值33为2，点C 的轨迹与直线y=x —2交于D 、E 两点.求线段DE 的长.19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分。
已知函数f (x)=x 2+2x ·tan θ—1，x ∈[—1，]，其中θ∈（—，）.32π2π（1）当θ= —时，求函数y=f (x)的最大值与最小值；6π（2）求θ的取值范围，使y=f (x)在区间[—1，]上是单调函数.320．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。
某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围[200，400）[400，500）[500，700）[700，900）…获得奖券的金额（元）3060100130…根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0.2+30=110（元）.设购买商品得到的优惠率=，试问：商品的标价购买商品获得的优惠额（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在[500，800]（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于的优惠率？3121．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。
已知函数f (x)=a ·b x 的图象过点A （4，）和B （5，1）.41（1）求函数f (x)的解析式；（2）记a n =log 2f (n)，n 是正整数，S n 是数列的前n 项和，解关于n 的不等式a n S n ≤0；}{n a （3）对于（2）中的a n 与S n ，整数104是否为数列{ a n S n }中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.22．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分。
规定=，其中x ∈R ，m 是正整数，且=1，这是组合数（n 、m 是mx C !)1()1(m m x x x +-- 0x C mn C 正整数，且m ≤n ）的一种推广.（1）求的值；515-C （2）组合数的两个性质：①=；②+=.mn C mn nC -m n C 1-m nC mn C 1+是否都能推广到（x ∈R ，m 是正整数）的情况？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若mx C 不能，则说明理由；（3）已知组合数是正整数，证明：当x ∈Z，m 是正整数时，∈Z.mn C mx Cy2002年全国普通高等学校招生统一考试理科数学参考答案（上海卷）一、1.—3—i;2.13;3.—1;4.30°；5.； 6. ； 7.； 21341338.（0，1）； 9.（，arctan ）； 10. 或… 11.19434π43π123-n 12.f -1(0)=a,且f -1 (x)＜x (x ∈A)或y= f -1 (x)的图象在直线y=x 的下方，且与y 轴的交点为(0，a).二、DBCC 三、17. [解法一]如图,以点为原点建立空间直角坐标系O 由题意，有)4,2,23(),0,0,3(D B设，则),0,3(z P },0,3{},4,2,23{z OP BD =-= 因为 OP BD ⊥∴0429=+-=⋅z OP BD 89=z因为平面AOB⊥'BB 是OP 与底面AOB 所成的角POB ∴3388tg POB POB arctg∠=∴∠=[解法二]取中点E ，连结DE 、BE ，则''B O 平面⊥DE ''O OBB 是BD 在平面内的射影。
BE ∴''O OBB 又因为BDOP ⊥由三垂线定理的逆定理，得BEOP ⊥在矩形中，易得''O OBB EBB Rt OBP Rt '~∆∆得,''BB OB E B BP =∴89=BP （以下同解法一）∠POB=arctan.8318. [解] 设点C （x,y ），则2||||±=-CB CA 根据双曲线的定义，可知点C 的轨迹是双曲线12222=-b y a x 由2,1,32||2,2222=====b a AB c a 得故点C 的轨迹方程是1222=-y x由，得⎪⎩⎪⎨⎧-==-21222x y y x 0642=-+x x 因为，所以直线与双曲线有两个交点。
0>∆设、，则),(11y x D ),(22y x E 6,42121-=-=+x x x x 故221221)()(||y y x x DE -+-===19. [解] （1）当时6πθ=-224()1(,[3f x x x x x =-=-∈-时，的值最小为； 当x = - 1 时，x ∴=()f x 43-()f x （2）函数图像的对称轴为。
22()(tan )1tan f x x θθ=+--tan x θ=- ∵ 在区间上是单调递增函数，()y f x=[-∴ 或，即 或tan 1θ-≤-tan θ-≥tan 1θ≥tan θ≤因此，θ的取值范围是(,)[,)2342ππππ-- 20. [解] （1）%3310001302.01000=+⨯（2）设商品的标价为x 元则，消费额：800500≤≤x 6408.0400≤≤x 由已知得（I ）或（II ）⎪⎩⎪⎨⎧<≤≥+5008.040031602.0x x x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+6408.0500311002.0x x x 不等式组（I ）无解，不等式组（II ）的解为750625≤≤x 因此，当顾客购买标价在[625，750]元内的商品时，可得到不小于的优惠率。
3121. [解] （1）由，得故541,41b a b a ⨯=⨯=10241,4==a b x x f 410241)(=（2）由题意102)410241(log 2-=⨯=n a n n )9)(5(2)9()(21--=-=+=n n n S a n n a a nS n n n n 由得，即故0≤n n S a 0)9)(5(≤--n n 95≤≤n 9,8,7,6,5=n （3），，，6411=S a 8422=S a 7233=S a 4044=S a当时，95≤≤n 0≤n n S a 当时，10≥n 1001010=≥S a S a n n 因此，96不是数列中的项。
}{n n S a 22. [解] （1）680!3)17)(16)(15(315-=---=-C（2）性质①不能推广。