带通抽样定理

《信号与系统A（2）》课程自学报告
实施报告
题目：带通采样定理与软件无线电
带通抽样定理
实际中遇到的许多信号是带通型信号，这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。

若带通信号的上截止频率为H f ，下截止频率为L f ，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率H f ，可按照带通抽样定理确定抽样频率。

[定理] 带通抽样定理：一个频带限制在),(H L f f 内的时间连续信号)(t x ，信号带宽L H f f B -=，令N B f M H -=/，这里N 为不大于B f H /的最大正整数。

如果抽样频率f
，10-≤≤N m （3.1-9） )(t x 。

对信号)(t x 以频率s f 抽样后，得到的采样信号)(s nT x 的频谱是)(t x 的频谱经过周期延拓而成，延拓周期为s f ，如图3-3所示。

为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号)(t x ，必须选择合适的延拓周期（也就是选择采样频率），使得位于),(H L f f 和),(L H f f --的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。

由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑),(H L f f 的频带分量不会出现混叠的条件。

在抽样信号的频谱中，在),(H L f f 频带的两边，有着两个延拓频谱分量：),(s L s H mf f mf f +-+-和))1(,)1((s L s H f m f f m f ++-++-。

为了避免混叠，延
） 3.1-11）
综合式（
3.1-12） 这里m m 取零，则上述条件化为 H s f f 2≥（3.1-13）
这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。

m 取得越大，则符合式（3.1-12）的采样频率会越低。

但是m 有一个上限，因为m
f f L
s 2≤
，而为了避免混叠，延拓周期要大于两倍的信号带宽，即B f s 2≥。

因此
3.1-14） 由于N 为不大于B f H /B f L /的最大正整数
为1-N ，故有10-≤≤N m
综上所述，要无失真的恢复原始信号)(t x ，采样频率s f 应满足
m
f
f m f L s H 212≤≤+，10-≤≤N m （3.1-15） f
f
L
f H
f H f -L
f -L
f H
f H f -L
f -图
3-3 带通采样信号的频谱
带通抽样定理在频分多路信号的编码、数字接收机的中频采样数字化
中有重要的应用。

作为一个特例，我们考虑NB f H =（1>N ）的情况，即上截止频率为带宽的整数倍。

若按低通抽样定理，则要求抽样频率NB f s 2≥，抽样后信号各段频谱间不重叠，采用低通滤波器或带通滤波器均能无失真的恢复原始信号。

根据带通抽样，若将抽样频率取为B f s 2=（m 值取为
1-N ）
，抽样后信号各段频谱之间仍不会发生混叠。

采用带通滤波器仍可无失真地恢复原始信号，但此时抽样频率远低于低通抽样定理NB f s 2=的要求。

图3-4所示为B f H 3=，B f s 2=时抽样信号的频谱。

f
f
f
f
图3-4 B
f H3
=，
B
f s2
=时的抽样频谱
在带通抽样定理中，由于1
0<
≤M，带通抽样信号的抽样频率在B2到B4
之间变化，如图3-5所示。

f
H
f
B
2
3
5
图3-5 带通抽样定理
由以上讨论可知，低通信号的抽样和恢复比起带通信号来要
简单。

通常，当带通信号的带宽B大于信号的最低频率
L
f时，在抽样时把信号当作低通信号处理，使用低通抽样定理，而在不满足上述条件时则使用带通抽样定理。

模拟电话信号经限带后的频率范围为300Hz～3400Hz，在抽样时按低通抽样
定理，抽样频率至少为6800Hz。

由于在实际实现时滤波器均有一定宽度的过渡带，抽样前的限带滤波器不能对3400Hz 以上频率分量完全予以抑制，在恢复信号时也不可能使用理想的低通滤波器，所以对语音信号的抽样频率取为8kHz。

这样，在抽样信号的频谱之间便可形成一定间隔的保护带，既防止频谱的混叠，又放松了对低通滤波器的要求。

这种以适当高于奈奎斯特频率进行抽样的方法在实际应用中是很常见的。

软件无线电所覆盖的频率范围一般都比较宽,
只有宽频段才能具有广泛的适应性,这样宽的频段号的频谱Xs(ω) 可表示为: + ∞
X s(ω) =1
T s n = -∑∞X(ω- nωs)
用Nyquist 低通采样[1 ] 是不现实的,而实际上软件无
线电中的各种无线电信号的瞬时信号带宽都比较
窄,这样采用带通采样将使采样速率大大降低。

本
文重点是通过对带通采样定理进行严格的数学推导
和论证,利用一系列不等式组提出了带通采样理论
上能达到的最小采样速率。

用matlab对定理进行仿真
fs=100000; %抽样频率
N=2^16;
t=(0:N-1)/fs; %t 时间
W=(0:N-1)*fs/N; %W 频率
y=cos(1200*2*pi*t)+cos(1250*2*pi*t)+cos(1300*2*pi*t); % y 原始信号
chyang=zeros(1,N); %抽样信号
T=round(fs/250); %频率为250HZ
for i=1:N
if(mod(i,T)==0)
chyang(i)=1;
end
end
y2=y.*chyang; %y2为抽样后的信号
hw=fft(y,N); %快速傅里叶变换
HW=abs(hw); %取幅度值
W=(0:N-1)*fs/N; %频率值
figure(1);
subplot(2,1,1);plot(t(1:8000),y(1:8000));
grid on;title('滤波前信号y');xlabel('时间/s'); % 原始信号
subplot(2,1,2);plot(W(1:N/64),HW(1:N/64)); % 查看信号频谱
grid on;title('滤波前信号频谱图');xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅|H(e^jw)|');
hwch=fft(chyang,N);
HWCH=abs(hwch); %取幅度值
W=(0:N-1)*fs/N; %频率值
figure(2);
subplot(2,1,1);stem(t(1:10000),chyang(1:10000));
grid on;title('抽样信号chyang');xlabel('时间/s');
subplot(2,1,2);plot(W(1:N/64),HWCH(1:N/64));
agrid on;title('抽样信号频谱图');xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅|H(e^jw)|');
hw2=fft(y2,N); %快速傅里叶变换
HW2=abs(hw2); %取幅度值
W=(0:N-1)*fs/N; %频率值
figure(3);
subplot(2,1,1);plot(t(1:8000),y2(1:8000));
grid on;title('采样之后');xlabel('时间/s');
subplot(2,1,2);plot(W(1:N/64),HW2(1:N/64));
%设置带通滤波器
ws=[1130/fs*2,1370/fs*2]; %ws1 ws2 阻带截止频率wp=[1180/fs*2,1320/fs*2]; %wp1 wp2 通带截止频率[n,wn]=buttord(wp,ws,3,15); %求滤波器阶数n与截止频率wn [b,a]=butter(n,wn); %求滤波器H(s)的表达式的分子分母系数b，a
y3=filter(b,a,y2); %y2为y经过滤波器之后的函数hw3=fft(y3,N);
HW3=abs(hw3);
figure(4);
subplot(2,1,1);plot(t(1:8000),y3(1:8000));%axis([0,0.1,-0.02,0.02]);
grid on;title('滤波后信号');xlabel('时间/s');
subplot(2,1,2);plot(W(1:N/64),HW3(1:N/64));
grid on;title('滤波后信号频谱图');xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅|H(e^jw)|');
信号还原完成。