4.隐函数求导和taylor公式
隐函数的求导公式
Fx = 2x,
均连续。 Fy = 2y, 均连续。
x0 = 0, y0 = 1. F(0,1) = 0,
Fy (0,1) = 2 ≠ 0,
理知方程x2 + y2 − 1 = 0在 (0,1)的 邻 依定 点 某 域内能唯一确定一个单值可导、 域内能唯一确定一个单值可导、且x = 0时
y = 1的函数y = f (x)．
的函数， 把y看成x, z 的函数，对z求偏导数得
∂y ∂y 1 = fu ⋅ ( + 1) + fv ⋅ ( xy + xz ), ∂z ∂z
整理得
∂y 1 − fu − xy ⋅ fv . = ∂z fu + xz ⋅ fv
二、方程组的情形
F( x, y, u, v) = 0 G( x, y, u, v) = 0
′ Fz = ( z − f (u, v))z
= 1 − fu ⋅ ( x + y + z)′y − fv ⋅ ( xyz)′y = 1− fu − x y fv .
Fx fu + yz ⋅ fv ∂z 于是， 于是， ∂x = − F = 1 − f − xy ⋅ f . z u v
∂x = − Fy = − fu + xz ⋅ fv . fu + yz ⋅ fv Fx ∂y
何时唯一确定函数u = u( x, y), v = v( x, y)？
∂u = ? ∂x
∂u = ? ∂y
∂v ? = ∂x
∂v = ? ∂y
隐函数存在定理3 隐函数存在定理 3 设F( x, y, u, v)、G( x, y, u, v)在点P( x0 , y0 , u0 , v0 )的某 一邻域内有对各个变量的连续偏导数， 一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且F( x0 , y0 , u0 , v0 ) = 0，G( x0 , y0 , u0 , v0 ) = 0，且偏导数所组成的 函数行列式（或称雅可比式） 函数行列式（或称雅可比式）
隐函数的求导公式
第五节 隐函数的求导公式在一元函数中，我们已经提出了隐函数的概念，并且提出了不经过显化真接由方程()0,=y x F （1）求它所确定的隐函数的导数的方法。
现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法则导出多元隐函数的导数公式。
隐函数存在定理 1 设函数()y x F ,在点()00,y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,00=y x F , ()0,00'≠y x F y 。
则方程()0,=y x F 在点()00,y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()x f y =，它满足条件()00x f y =， 并有''yx F F dx dy-= (2)公式(2)就是隐含数的求导公式这个定理我们不证，现仅就公式)2(作如下推导。
将方程(1)所确定的函数()x f y =代入(1)，得恒等式 ()()0,≡x f x F其左边可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，即有0=⋅∂∂+∂∂dxdy y F x F 由于'y F 连续，且 ()0,00'≠y x F y ,所以存在()00,y x 的一个邻域，在这个邻域内0'≠y F于是得''yx F F dx dy-=隐函数存在定理可以推广到多元函数，既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函数，那么一个三元方程()0,,=z y x F 就有可能确定一个二元隐函数。
与定理1相仿，我们同样可以由三元函数()z y x F ,,的性质来断定由方程()0,,=z y x F 所确定的二元函数()y x f z ,=的存在性及这个函数的性质，这就是下面的定理。
隐函数存在定理2 设函数()0,,=z y x F 在点()000,,z y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,,000=z y x F ，()0,,000'≠z y x F z 。
隐函数的求导公式
当Fz cos z xy 0时，有
例 5 设 z f ( x, y ) 是由方程
z z , . 求 x y .
sinz xyz 所确定的隐函数，
得恒等式F ( x, f ( x)) 0
F F dy 求其全导数 0 x y dx
由于F y 连续且F y ( x0 , y0 ) 0, 所以存在( x0 , y0 ) 的一个邻域，在此邻域 内F y 0
F Fx dy x 于是 F dx Fy y
Fx dy dx Fy
把复合函数 z f [ u( x , y ), x , y ] 中 中的u 及 y 看作不 的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对 x 的偏导数
3、复合高阶偏导数
复合一阶偏导： z f (u, v ) u u( x, y), v v( x, y)
z z u z v z z u z v ， x u x v x y u y v y
z x y 例 6 设 z f ( x y z , xyz )，求 ， ， . x y z
解 令 u x y z , v xyz, 则 z f ( u, v ),
把z 看成x, y 的函数对x 求偏导数得 z z z f u (1 ) f v ( yz xy ), x x x
例１ 验证方程 x 2 y 2 1 0 在点( 0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1 的隐函数 y f ( x ) ，并求这函数的一阶和二阶导 数在 x 0 的值. F ( x, y) x 2 y 2 1
隐函数的求导公式
的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，
dy y 1.已知 ln x y arctan ，求 . x dx
2 2
2. 求由方程
x y
y
x
所确定的
隐函数 y f ( x)的导数.
(２)、二元隐函数求导法则
设方程 F ( x, y, z ) =0确定z是x, y的具有连续偏导 数的函数 z f ( x, y),将 z f ( x, y) 代入上述方 程，得到关于x,y 的恒等式 ：
F ( x, y, f ( x, y)) 0
，
如果函数 F ( x, y, z ) 具有连续的偏导数，将上述 两端对x,y求偏导，根据复合函数求导法则有
F F z 0, x z x
若
F F z 0, y z y
Fz 0 ，得:
z Fx x Fz
②直接法
方程两边连续求导两次
方程两边对x求导得：Fx Fy 方程两边再对x求导得：
dy 0 dx
Fx
x y
x
Fy dy dy Fx Fx dy Fy d2y 1 ( 1 ) Fy 2 0 x y dx x y dx dx dx dy dy 2 d2y Fxx 2 Fxy Fyy ( ) Fy 2 0 dx dx dx 2 2 2 F F 2 F F F F F xy x y yy x 解得： d y xx y dx2 Fy3
dFy dFx Fy Fx 2 d y dx 于是 2 dx dx Fy2
Fy dx Fy dy Fx dx Fx dy ( ) Fy Fx ( ) x dx y dx x dx y dx Fy2
隐函数的求导公式
隐函数的求导公式首先，我们假设存在一个方程f(x,y)=0，其中y是x的函数，即y=g(x)。
我们希望求解函数g(x)的导数。
为了实现这一目标，我们需要对方程两边同时对x求导。
首先，我们对方程f(x,y)=0两边对x求导，得到：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx = 0在这个方程中，∂f/∂x 是 f(x, y) 对 x 的偏导数，∂f/∂y 是 f(x, y) 对 y 的偏导数，dy/dx 是 y 对 x 的导数，也就是 g'(x)。
然后，我们将其整理成关于g'(x)的方程：dy/dx = - (∂f/∂x) / (∂f/∂y)最终，我们得到了隐函数的求导公式，即：g'(x)=-(∂f/∂x)/(∂f/∂y)这个公式告诉我们，要求隐函数的导数，只需对方程中的偏导数进行求解并代入到公式中即可。
我们来看几个求解隐函数导数的例子。
例子1：求解方程x^2+y^2=1的导数。
首先，我们对方程两边求导，得到：2x + 2y * dy/dx = 0然后，我们整理得到：dy/dx = -2x / 2y = -x / y所以，方程 x^2 + y^2 = 1 的导数为 dy/dx = -x / y。
例子2：求解方程x^2+y^2-x*y=0的导数。
首先，我们对方程两边求偏导数，得到：2x - y - x * dy/dx + dy/dx = 0然后，我们整理得到：dy/dx = (2x - y) / (y - x)所以，方程 x^2 + y^2 - x * y = 0 的导数为 dy/dx = (2x - y) / (y - x)。
通过这些例子，我们可以看出，在求解隐函数的导数时，我们需要根据具体的方程进行偏导数的计算，然后将其代入到隐函数的求导公式中。
总结起来，隐函数的求导公式为g'(x)=-(∂f/∂x)/(∂f/∂y)，其中f(x,y)=0是隐函数所满足的方程，∂f/∂x和∂f/∂y分别是方程对x和y的偏导数。
隐函数求导法则
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
z x
Fx Fz
x 2
z
,
2z x 2
dz dx
x 2
z
(2 z) x (2 z)2
z x
(2
z)
x
2
x
(2 z)2
z
(2 z)2 x2 (2 z)3
.
二、方程组的情形
v v( x, y)，它们满足条件u0 u( x0 , y0 ), v0 v ( x0 , y0 ), 并有
u 1 (F,G) Fx Fv Fu Fv , x J (x, v) Gx Gv Gu Gv
v 1 (F,G) Fu Fx Fu Fv x J (u, x) Gu Gx Gu Gv
解: 1) F(x, y,u,v) x x (u,v) 0
令
G(x, y,u,v) y y (u,v) 0
则有 J (F,G) ( x, y ) 0, (u,v ) (u,v )
由定理 3 可知结论 1) 成立. 2) 求反函数的偏导数.
①
①式两边对 x 求导, 得
dy Fx . dx Fy
隐函数的求导公式
仅就公式推导如下
则
两边对 x 求导 记作
在
dy Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,则还有 Fx
二阶导数 :
Fy
d2y dx2
( Fx ) x Fy
( Fx ) d y y Fy dx
高等数学 第八章 第4节 隐函数的求导公式
求导， 将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
∂u xv − yu , = 2 2 ∂y x + y
∂v xu + yv . =− 2 2 x +y ∂y
18
x + y + z = 0 du 例6 u = sin xy , 且 2 2 2 , 求 . dz x + y + z = 1
解 : 方程组对 求导 方程组对z
1(1)(3),2,3,4
B组 组
1,3
思考题
x y 为可微函数， 已知 = ϕ ( ) ，其中ϕ 为可微函数， z z ∂z ∂z 求x + y =? ∂x ∂y
22
思考题解答
1 则 Fx = ， z −x y (− y ) y 1 Fy = −ϕ ′( ) ⋅ , Fz = 2 − ϕ ′( ) ⋅ 2 , z z z z z y − zϕ ′ ( ) Fy ∂z ∂z Fx z z , =− = , =− = Fz x − yϕ ′( y ) Fz x − yϕ ′( y ) ∂y ∂x z z
F ( x , y , u( x , y ), v ( x , y )) = 0 ∴ G ( x , y , u( x , y ), v ( x , y )) = 0 方程组对x 方程组对 求偏导
∂u ∂v Fx + Fu ∂x + Fv ∂x = 0 G + G ∂u + G ∂v = 0 u v x ∂x ∂x
19
三、小结
（分以下几种情况） 隐函数的求导法则 分以下几种情况）
(1) F ( x , y ) = 0
( 2) F ( x , y , z ) = 0
数学中求导的公式
数学中求导的公式求导是微积分中的一个重要概念，用于描述一个函数在某一点的变化率。
在数学中，求导的公式是通过对函数进行微分来计算它的导数。
导数表示了函数在某一点的切线斜率，也可以用来求函数的最值、高阶导数等。
在求导的过程中，我们常用的求导公式有以下几个：1. 常数函数的导数公式：对于常数函数y = c，其中c为常数，其导数为0。
这是因为常数函数的图像是一条水平直线，斜率为0。
2. 幂函数的导数公式：对于幂函数y = x^n，其中n为常数，其导数为y' = n * x^(n-1)。
这个公式可以通过使用定义来推导，也可以使用幂函数的特殊性质来求导。
3. 指数函数的导数公式：对于指数函数y = a^x，其中a为常数且不等于1，其导数为y' = ln(a) * a^x。
指数函数的导数与函数自身成正比，且比例常数是ln(a)。
4. 对数函数的导数公式：对于对数函数y = log_a(x)，其中a为常数且大于0且不等于1，其导数为y' = 1 / (x * ln(a))。
对数函数的导数可以通过换底公式和指数函数的导数公式推导得到。
5. 三角函数的导数公式：对于三角函数sin(x)、cos(x)、tan(x)等，它们的导数公式分别为cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)等。
这些公式可以通过使用极限定义来推导。
6. 反三角函数的导数公式：对于反三角函数arcsin(x)、arccos(x)、arctan(x)等，它们的导数公式分别为 1 / sqrt(1 - x^2)、-1 / sqrt(1 - x^2)、1 / (1 + x^2)等。
这些公式可以通过使用反函数的导数与原函数导数互为倒数的性质来推导。
7. 复合函数的导数公式：对于复合函数y = f(g(x))，其中f和g 分别为函数，其导数可以通过链式法则来计算。
链式法则表示，复合函数的导数等于外层函数在内层函数的导数上乘以内层函数的导数。
隐函数的求导公式
隐函数的求导公式在数学的领域中，隐函数是一个十分重要的概念，而与之紧密相关的隐函数求导公式则是解决众多问题的有力工具。
首先，让我们来明确一下什么是隐函数。
简单来说，如果方程 F(x, y) ＝ 0 能确定 y 是 x 的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。
比如说，方程 x^2 ＋ y^2 ＝ 1 就确定了一个隐函数。
那为什么我们需要隐函数求导呢？这是因为在很多实际问题中，函数关系并不是直接给出的，而是以隐函数的形式存在。
为了研究这些问题，就需要对隐函数进行求导。
接下来，咱们就来探讨隐函数求导的公式。
对于一个由方程 F(x, y) ＝ 0 所确定的隐函数 y ＝ y(x)，其求导公式为：dy/dx ＝ F_x ／ F_y这里的 F_x 表示 F 对 x 的偏导数，F_y 表示 F 对 y 的偏导数。
为了更好地理解这个公式，咱们通过一个具体的例子来看看。
假设我们有方程 x^2 ＋ y^2 4 ＝ 0，要求 y 对 x 的导数。
首先，我们对 F(x, y) ＝ x^2 ＋ y^2 4 分别求关于 x 和 y 的偏导数。
F_x ＝ 2x ，F_y ＝ 2y 。
然后，根据隐函数求导公式，dy/dx ＝ F_x ／ F_y ＝－2x ／ 2y ＝x ／ y 。
再来看一个稍微复杂一点的例子，方程 xy ＋ e^y ＝ 0 。
先求偏导数，F_x ＝ y ，F_y ＝ x ＋ e^y 。
所以，dy/dx ＝ F_x ／ F_y ＝ y ／（x ＋ e^y) 。
在运用隐函数求导公式时，有几个要点需要注意。
一是要准确求出偏导数，这就要求我们对常见的函数求导法则非常熟悉。
二是要注意符号的问题，确保计算过程中符号的正确性。
三是对于一些复杂的方程，可能需要多次运用求导法则和隐函数求导公式，要有耐心和细心。
隐函数求导公式在很多领域都有广泛的应用。
在物理学中，比如研究一些复杂的运动轨迹问题时，常常会遇到隐函数的形式，通过求导可以得到速度、加速度等重要物理量。
第五节隐函数的求导公式
第五节 隐函数的求导公式在一元函数中，我们已经提出了隐函数的概念，并且提出了不经过显化真接由方程()0,=y x F （1）求它所确定的隐函数的导数的方法。
现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法则导出多元隐函数的导数公式。
隐函数存在定理1 设函数()y x F ,在点()00,y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,00=y x F , ()0,00'≠y x F y 。
则方程()0,=y x F 在点()00,y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()x f y =，它满足条件()00x f y =， 并有''yx FF dxdy -= (2)公式(2)就是隐含数的求导公式这个定理我们不证，现仅就公式)2(作如下推导。
将方程(1)所确定的函数()x f y =代入(1)，得恒等式 ()()0,≡x f x F其左边可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，即有0=⋅∂∂+∂∂dxdy yF xF由于'y F 连续，且 ()0,00'≠y x F y ,所以存在()00,y x 的一个邻域，在这个邻域内 0'≠y F于是得''yx FF dxdy -=隐函数存在定理可以推广到多元函数，既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函数，那么一个三元方程()0,,=z y x F 就有可能确定一个二元隐函数。
与定理1相仿，我们同样可以由三元函数()z y x F ,,的性质来断定由方程()0,,=z y x F 所确定的二元函数()y x f z ,=的存在性及这个函数的性质，这就是下面的定理。
隐函数存在定理2 设函数()0,,=z y x F 在点()000,,z y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,,000=z y x F ，()0,,000'≠z y x F z 。
高数常用求导公式24个
高数常用求导公式24个引言在高等数学中，求导是一个重要的概念和技巧。
掌握常用的求导公式可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
本文将介绍24个常用的求导公式，并通过例题加以说明。
1.导数的定义导数表示函数的变化率，可以形象地理解为函数在某一点的切线斜率。
函数y=f(x)在点x0处的导数定义如下：```f'(x0)=l im┬(Δx→0)〖(f(x0+Δx)-f(x0))/Δx〗```2.常数函数求导对于常数函数y=c，其中c为常数，则其导数恒为0。
3.幂函数求导对于幂函数y=x^n，其中n为常数，则其导数为：```(y)'=n x^(n-1)```4.指数函数求导对于指数函数y=a^x，其中a为常数且a>0，a≠1，则其导数为：```(y)'=a^x*l n(a)```5.对数函数求导对于对数函数y=lo gₐ(x)，其中a为常数且a>0，a≠1，则其导数为：```(y)'=1/(x*ln(a))```6.三角函数求导对于三角函数y=si n(x)，其导数为：```(y)'=c os(x)```对于三角函数y=co s(x)，其导数为：```(y)'=-si n(x)```对于三角函数y=ta n(x)，其导数为：```(y)'=s ec^2(x)```7.反三角函数求导对于反三角函数y=ar c si n(x)，其导数为：```(y)'=1/√(1-x^2)```对于反三角函数y=ar c co s(x)，其导数为：```(y)'=-1/√(1-x^2)```对于反三角函数y=ar c ta n(x)，其导数为：```(y)'=1/(1+x^2)```8.双曲函数求导对于双曲函数y=si nh(x)，其导数为：```(y)'=c os h(x)```对于双曲函数y=co sh(x)，其导数为：```(y)'=s in h(x)```对于双曲函数y=ta nh(x)，其导数为：```(y)'=1/c os h^2(x)```9.两个函数之和/差求导对于两个函数f(x)和g(x)，其和函数F(x)=f(x)+g(x)或差函数H(x)=f(x)-g(x)，其导数为：```(F(x))'=(f(x))'+(g(x))'(H(x))'=(f(x))'-(g(x))'```10.两个函数之积求导对于两个函数f(x)和g(x)，其积函数P(x)=f(x)g(x)，其导数为：```(P(x))'=f(x)(g(x))'+g(x)(f(x))'```11.两个函数之商求导对于两个函数f(x)和g(x)，其商函数Q(x)=f(x)/g(x)，其导数为：```(Q(x))'=(f(x)(g(x))'-g(x)(f(x))')/(g(x))^2```12.复合函数求导（链式法则）对于复合函数y=f(g(x))，其中y是g(x)的函数，f(u)是u的函数，则其导数为：```(y)'=(f'(u))(g(x))'=(f'(g(x)))(g(x))'```13.反函数求导对于函数y=f(x)的反函数x=g(y)，若f'(x0)≠0，则其导数为：```(x)'=1/(y)'```14.参数方程求导对于参数方程x=f(t)，y=g(t)，则x对t的导数为：```(d x)/(dt)=(d f)/(d t)```y对t的导数为：```(d y)/(dt)=(d g)/(d t)```15.隐函数求导对于隐函数方程F(x,y)=0，则y对x的导数可以通过隐函数求导公式计算得到。
隐函数求导法则公式
隐函数求导法则公式隐函数求导法则是微积分中的一个重要概念，它用于求解含有隐式变量的函数的导数。
隐函数求导法则公式可以帮助我们更方便地求解这类函数的导数，从而在实际问题中更加灵活地应用微积分知识。
下面我们将详细介绍隐函数求导法则公式及其应用。
隐函数求导法则公式的表述如下：设有方程 F(x, y) = 0，其中 y 是 x 的函数，即 y = f(x)，则 y 对 x 的导数可以通过以下公式求得：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)其中∂F/∂x 表示对 F 进行偏导数运算，∂F/∂y 也是类似的意思。
这个公式是隐函数求导法则的核心，通过它我们可以求解含有隐式变量的函数的导数。
接下来我们将通过一个具体的例子来说明隐函数求导法则公式的应用。
假设有方程 x^2 + y^2 = 1，我们需要求解 y 对 x 的导数。
首先，我们将这个方程表示为 F(x, y) = 0 的形式，即 F(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0。
然后，我们对 F(x, y) 分别对 x 和 y 求偏导数，得到∂F/∂x = 2x，∂F/∂y = 2y。
最后，代入隐函数求导法则公式，得到 dy/dx = - (2x) / (2y) = -x/y。
通过这个例子，我们可以看到隐函数求导法则公式的应用过程，它可以帮助我们求解含有隐式变量的函数的导数，从而更加灵活地应用微积分知识。
除了上述的基本公式，隐函数求导法则还有一些特殊情况的应用，比如当方程 F(x, y) = 0 不易直接求导时，我们可以先对 x或 y 求导，然后再应用隐函数求导法则公式。
此外，隐函数求导法则还可以应用于求解高阶导数、求解参数方程等问题。
总之，隐函数求导法则公式是微积分中的一个重要工具，它可以帮助我们更方便地求解含有隐式变量的函数的导数，从而在实际问题中更加灵活地应用微积分知识。
希望通过本文的介绍，读者能对隐函数求导法则有更加深入的理解，并能够灵活运用到实际问题中。
隐函数的导数和微分
隐函数的导数和微分在微积分中，函数的导数和微分是两个重要的概念。
当函数关系以显式形式给出时，求导和微分是相对简单的。
然而，当函数关系以隐式形式给出时，我们就需要使用隐函数的导数和微分的概念。
一、隐函数的导数考虑一个平面上的曲线，可以用方程 f(x, y) = 0 来表示，其中 y 是 x 的函数。
我们可以将这个方程看作是两个变量 x 和 y 的关系式。
若我们想要计算这个曲线上某点的斜率，也就是该点的切线斜率，我们可以使用隐函数的导数。
对于隐函数 f(x, y) = 0，我们可以对其两边同时求导数，得到：∂f/∂x · dx + ∂f/∂y · dy = 0这里∂f/∂x 和∂f/∂y 分别表示函数 f 对 x 和 y 的偏导数。
根据隐函数的导数的定义，我们可以得到 y 关于 x 的导数为：dy/dx = - (∂f/∂x) / (∂f/∂y)这就是隐函数的导数的计算公式。
例如，考虑方程 x^2 + y^2 - 1 = 0，这是一个单位圆的方程。
我们可以对其两边同时求导数，得到：2x dx + 2y dy = 0根据隐函数的导数的计算公式，我们可以得到 y 关于 x 的导数为：dy/dx = - x / y二、隐函数的微分隐函数的微分是在求导的基础上推广得到的。
微分表示函数在某一点的增量与自变量增量之间的关系。
对于隐函数 f(x, y) = 0，我们可以将其写为：f(x, y) + dy = 0当 x 发生微小的增量 dx 时，函数 f(x, y) 应该发生微小的变化 df，即：f(x + dx, y + dy) = 0我们可以将 f(x + dx, y + dy) 展开成泰勒级数，忽略高阶无穷小项，得到：f(x + dx, y + d y) ≈ f(x, y) + (∂f/∂x) dx + (∂f/∂y) dy由于 f(x + dx, y + dy) = 0，我们可以将其代入上式，得到：0 ≈ f(x, y) + (∂f/∂x) dx + (∂f/∂y) dy化简后可得：dy ≈ - (∂f/∂x) / (∂f/∂y) dx这就是隐函数的微分的计算公式。
隐函数求导公式
多元函数微分法及其应用
第五节 隐函数求导公式
第五节
隐函数的求导公式
一、一个方程的情形 二、方程组的情形 三、内容小节
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一、一个方程的情形
设二元方程 F ( x , y ) 0 一元隐函数 y y( x ) 则有恒等式 F x , y ( x ) 0
F F dy 上式对 x 求全导数 0 x y dx
则二元方程F ( x , y ) 0 在P0点的邻域内总能唯一 确定一个一元隐函数 y y( x ) ，且有
设 F ( x , y ) 0 满足以下三个条件：
i ii
y y( x ) 单值连续，且 y0 y( x0 ) ； y y( x ) 具有连续导数；
一元隐函数 导数公式
z 例 2 设z z( x , y )由方程 x y z yf ( ) y
2 2 2
z z 确定，其中f 可微，求 ， . x y
例 3 设 x y z 4z 0 ，求
2
2
2
z x
2
2
.
二、方程组的情形
F ( x , y , u, v ) 0 若方程组 ，确定两个二元函数 G ( x , y , u, v ) 0 u u( x , y ) ，均可偏导，求 u x ， uy ， vx ， vy . v v ( x , y )
F dy 解得 x F dx y F 要求 y 0
隐函数存在定理1
i F ( x , y )在点P0 ( x0 , y0 )某邻域内有连续偏导数 ； ii F ( x0 , y0 ) 0 ； iii Fy ( x0 , y0 ) 0 .
隐函数求导法则公式
隐函数求导法则公式
隐函数求导是微积分中的重要内容，它通过已知方程中的一些变
量关系，求出未知变量的导数。
在数学中，隐函数是一种函数，它的
自变量和因变量在方程中没有被以显式的方式表示。
在一些情况下，
我们可以通过隐函数求导法则来求出方程中的隐函数的导数，从而更
好地理解这个函数的变化规律。
隐函数求导法则是根据隐函数存在的假设来推导的。
这个假设是：在给定一定的条件下 (比如说连续性和可微性)，一个方程可以被看作
是具有隐函数的形式的。
然后，通过对这个隐函数进行求导，我们就
可以得到对应的导数。
隐函数求导法则有如下公式：
设有一个函数系统 F(x, y) = 0。
如果在它的一个点 M(x0, y0) 处：
(1) ∂F/∂y 不等于 0，则可以得到隐函数 y = f(x)，它在 M 点的导数为：
f’(x0) = - ∂F/∂x / ∂F/∂y。
(2) ∂F/∂x 不等于 0，则可以得到隐函数 x = g(y)，它在 M 点的导数为：
g’(y0) = - ∂F/∂y / ∂F/∂x。
以上两个公式的证明可以根据链式法则来得出。
在实际运用中，我们需要先找出方程中的隐函数，然后根据对应的公式来求导。
隐函数求导法则的应用非常广泛，它可以用于建立经济模型、物理模型和工程模型等。
同时，在生活中也有很多应用，比如考虑体重损失和增加之间的关系，我们可以通过隐函数的求导来推导出身体质量的变化规律。
总之，隐函数求导法则是微积分中的重要内容，它能够帮助我们更好地掌握函数的变化规律。
我们需要掌握公式的推导和应用，并将其应用到实际生活中。
隐函数求导归纳总结
隐函数求导归纳总结摘要：一般的函数都是将因变量写成自变量的明显表达式，形如y=f（x），这类函数成为显函数。
而有些函数不是用显函数或不能用显函数表示，例如x2+y2=xy，把种有F （x，y）=0表示的因变量y与自变量x的函数关系称为隐函数。
在求隐函数的导数时，有些直接由函数关系得到形如y=f（x）的显函数，再对其求导。
但是有些隐函数不能或很难解为y=f（x）的显函数形式，这时可直接用隐函数求导算导数。
本文简述了隐函数求导的几种常见方法，以供读者在求隐函数的导数时参考。
关键词：隐函数求导法则目录1 引言 (1)2 正文 (1)2.1 显化法： (1)2.2 公式法： (1)2.3 微商法： (2)2.4 参数法： (3)2.5 复合法： (4)2.6 直接法： (4)3、问题的回顾与总结 (5)1 引言对隐函数求导时许多初学微分同学们的一个难点问题，鉴于此问题，本文针对隐函数问题做出一些归纳，以供参考，隐函数是一类应用非常广泛的函数，隐函数求导法则在导数教学和求导过程中的合理使用，可以优化课程内容和结构。
2 正文通过对隐函数求导的学习，在此总结出六种常见的方法，并对每种方法的使用范围，优缺点都作出总结，现一一介绍如下： 2.1 显化法：把隐函数化为显函数，再利用显函数的求导方法，此方法常用于较容易化为显函数的隐函数的求导。
此方法由于受有些隐函数不能或较难化为显函数限制，而不是很常用。
例题：方程+3x ㏑0)(=-x yxy 确定了y 是x 的函数，求y 对x 的导数。
解：原方程化解为㏑=-)(x y xy 3x -⇒3x e x y xy -=-⇒3)1(x e xx y -=-⇒xx ey x113-=-（将隐函数化为显函数，利用显函数的求导法则求y ´）222)1()11(113'33x x x e xx e x y xx-+-⋅+--=--232211331)11()3(x x x x x x y x y +-+--+-⋅+-= y x x x x x x 1)11()1(322-+---=)11(3x e xx y --= 但是，不是所有的隐函数都可采用隐函数化为显函数的方法，例如： 方程：-++y x xe xy 2㏑(arctan xy)+23x -y 4确定了y 是x 的函数，就不易将隐函数化为显函数。
隐函数的求导公式
隐函数的求导公式一个方程的情形方程组的情形一个方程的情形问题 如何确定方程(,)0F x y =隐含函数()y f x =？ 隐函数存在定理1 设函数(,)F x y 的某一邻域内具有 唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =，连续的偏导数, 且00(,)0F x y =,00(,)0y F x y ≠， 则方程(,)0F x y =在点()00,P x y 的某一邻域内恒能它满足条件()00y f x =，并有d d x y F y x F =-. 隐函数的求导公式简单推导 将方程(,)0F x y =所确定的函数()y f x = 代入该方程得()(,)0F x f x =，利用复合求导法则在 两边求导得:d 0d x y y F F x+⋅=， 即d d x y F y x F =-.若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则还可求隐函数d d x yF y x F =-. 的二阶导数 : 2d 2d yx =()F x x F y ∂-∂()F x y F y ∂+-∂d d y x ⋅2d 2d yx =()F x x F y ∂-∂()F x y F y ∂+-∂d d y x ⋅ 2F F F F x x y y x x F y -=-()2F F F F F x y y y y x x F y F y --- 2223F F F F F F F x x y x y x y y y x F y-+=-例 验证方程2210x y +-=在点(0,1)的某邻域内能唯证 一确定一个有连续导数、当0x =时1y =的隐函数， 并求这函数的一阶和二阶导数在0x =的值.令22(,)1F x y x y =+-，则F x 2x =，F y 2y =，(0,1)F x 0=，(0,1)F y 2=0≠，依定理知方程2210x y +-=在点(0,1)的某邻域内能唯一确定满足条件的隐函数，且d d x y F y x F =-x y =-， d 0d 0y x x ==，2d 2d y x 2y xy y '-=()2xy x yy --=-13y=-， 2d 2d 0y xx =1=-.d d x yF yx F =-x y =-隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点()000,,P x y z 的的某一邻域内具有连续的偏导数,且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点()000,,P x y z 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(),z f x y =，它满足条件()000,z f x y =，并有x z F zx F ∂=-∂，y zF z y F ∂=-∂.例 设22240x y z z ++-=，求22z x∂∂.当2z ≠时，得x zF z x F ∂=-∂2x z =-. 令222(,,)4F x y z x y z z =++-，则解F x 2x =，F z 24z =-.再一次对求偏导数，得22z x ∂∂(2)2(2)zz x x z ∂-+∂=- (2)22(2)xz x z z -+⋅-=- 22(2)3(2)z x z -+=-zx∂=∂2x z =-方程组的情形隐函数存在定理3 设函数(,,,)F x y u v 、(,,,)G x y u v 在点()0000,,,P x y u v 的某一邻域内具有对各个自变量的且0000(,,,)0F x y u v =，0000(,,,)0G x y u v =，偏导数所组成的函数行列式()(),,u vu vF G F F J G G u v ∂==∂在 点()0000,,,P x y u v 不等于0，则方程组(,,,)0F x y u v =、(,,,)0G x y u v =在点()0000,,,P x y u v 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(),u u x y =、(),v v x y =，它们 满足条件()000,u u x y =、()000,v v x y =，并有()(),1,x v x v u v u v F F G G F G u F F x J x v G G ∂∂=-=-∂∂，()(),1,u x ux u v uvF FG G F G v F F x J u x G G ∂∂=-=-∂∂，()(),1,yv y v u v uv F F G G F G u F F y J y v G G ∂∂=-=-∂∂，()(),1,uy u y u v uvF FG G F G v F F y J u y G G ∂∂=-=-∂∂.例 设0xu yv -=，1yu xv +=，求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，v y∂∂. 解方法1： x v x vu v u v F F G G u F F xG G ∂=-∂ 22u y v x xu yv x y x y y x -+=-=--+u x u x u v u v F F G G v F F xG G ∂=-∂ 22x u y v yu xv x y x y y x-=-=-+yvy v u v u v F F G G u F F yG G ∂=-∂ 22v y u x xv yu x y x y y x ---=-=-+22x v y u xu yv x y x y y x -+=-=--+ uyu y u v u v F F G G v F F yG G ∂=-∂方法2： 在方程组两边取微分, 有d d d d 0d d d d 0x u u x y v v y y u u y x v v x +--=⎧⎨+++=⎩， 把d u 、d v 看成未知的, 解得d u 1[()d ()d ]22xu yv x xv yu y x y=-++-+d d u u x y x y ∂∂=+∂∂即有22u xu yv x x y ∂+=-∂+,22u xv yu y x y ∂-=∂+. 同理, 我们还可以求出d v ,解得 22v yu xv x x y ∂-=∂+,22v xu yv y x y ∂+=-∂+.。
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一、一个方程所确定的隐函数 及其导数
二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
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本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性
Fu Fv Gu Gv 0 , 故得
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u 1 ( F , G ) Байду номын сангаас x J ( x, v )
v 1 ( F , G ) x J ( u , x )
同样可得
u 1 ( F , G ) y J ( y , v ) v 1 ( F , G ) y J ( u , y )
( cos y x )
2
3
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x0 y0 y 1
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y e x x y 1 0, y y( x)
两边对 x 求导
y
x0
ex y cos y x (0,0)
两边再对 x 求导
( Fy x f Fz 0)
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解法2 微分法. 对方程两边求微分:
x y d( ) 0 F1 d( ) F2 z z z d x xd z zd y y d z F1 ( ) )0 F ( 2 2 2 z z dy F1d x F2 xF1 y F2 d z z z2 z d y) dz (F1d x F2 x F1 y F2
( F , G ) Fu J Gu (u, v)
Fv Gv
称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
雅可比 目录
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定理3. 设函数 ① 在点
导数；
满足:
的某一邻域内具有连续偏
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ;
及求导方法问题 .
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一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数 在点 的某一邻域内满足 ① 具有连续的偏导数; ② F ( x0 , y0 ) 0 ; ③ Fy ( x0 , y0 ) 0
则方程 导数
的某邻域内可唯一确定一个 并有连续
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
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二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
u u ( x, y ) F ( x, y , u , v ) 0 v v ( x, y ) G ( x, y, u, v) 0 由 F、G 的偏导数组成的行列式
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F ( x, y , u , v ) 0 有隐函数组 设方程组 G ( x, y, u , v) 0
则
两边对 x 求导得
u 这是关于 , x
系数行列式 J
u v Fx Fu Fv 0 x x Gx Gu u Gv v 0 x x v 的线性方程组 , 在点P 的某邻域内 x
sin y ( y) 2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2 y 3 2 x0 dx
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定理2 . 若函数 F ( x, y, z ) 满足:
① 在点 ② F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 则方程 并有连续偏导数 在点 某一邻域内可唯一确 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
同样可得
Fy z y Fz
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2 z 2 2 2 例 2. 设 x y z 4 z 0 , 求 2 . x 解法1 利用隐函数求导 z x z z 2x 2z 4 0 x 2 z x x
再对 x 求导
2
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思考与练习
设 求 解法1. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.
z f ( x y z , x yz)
y z dx xz d y x y d z d z f1 dx d y dz f 2
z
z
F1 1 z
z y x y F1 ( 2 ) F2 ( 2 )
z z
1 F2 z
z F2 x F1 y F2
故
Fx z z z z (F1d x dz dx d y F 2d y) x F1 y F2 x x y Fz
解: 令 F ( x, y ) sin y e x y 1, 则
x
① Fx e x y, Fy cos y x 连续 ,
② F (0,0) 0 , ③ Fy (0,0) 1 0 由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 导的隐函数 且
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u u v v , , , . 例4. 设 x u y v 0 , y u x v 1, 求 x y x y 解: 方程组两边对 x 求导，并移项得 u v x y u u v x x , 练习: 求 u v y y y x v 答案: x x u y u xv x y 2 2 2 由题设 J x y 0 2 y x y y x v xu yv u 1 u y xu yv 2 2 2 y x y 2 x J v x x y 故有 xv yu v 1 2 2 x y x J
2z x ( ) 2 x 2 z x
(2 z ) 2 x 2 (2 z )3
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例3. 设F( x , y)具有连续偏导数, 已知方程
解法1 利用偏导数公式.
确定的隐函数, 则
z F1 z y x x F1 y F2 x ( 2 ) F1 ( 2 ) F2
Fx dy dx Fy
(隐函数求导公式)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
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则
两边对 x 求导
在
的某邻域内 Fy 0
Fx dy dx Fy
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若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有
二阶导数 :
Fx Fy
d y Fx Fx d y ( ) ( ) 2 x Fy y Fy d x dx
2
x y x
2 Fy
Fx x Fy Fy x Fx
2 Fy
Fx y Fy Fy y Fx
Fx ( ) Fy
Fx x Fy 2 2 Fx y Fx Fy Fy y Fx 2 Fy3
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例1. 验证方程
可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域
并求
dy d2 y , dx x 0 dx 2 x 0
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Fx Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G x Gv x J ( x, v ) Gu Gv Fy Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G y Gv y J ( y, v ) Gu Gv Fu Fx 1 v 1 ( F , G ) Fu Fv Gu G x x J ( u, x ) Gu Gv 定理证明略. v Fu Fy 1 1 ( F , G ) 仅推导偏导 y J ( u , y ) Fu Fv G G y u 数公式如下： Gu Gv
x Fx dy e y cos y x x 0, y 0 d x x 0 Fy x 0
d y dx 2 x 0
2
d ex y ( ) d x cos y x
( e x y)(cos y x) (e x y )( sin y y 1)
x x y z xz • 0 f1 1 f 2 y y f1 x z f 2 x f1 y z f 2 y
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x 1 f1 x y f 2 f1 y z f 2 z
提高题： 1. 设
又函数
有连续的一阶偏导数 , 分别由下列两式确定 :
x z sin t
e
xy
t 解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得
x y 2 , e 0
x
dt ,
(2001考研)
u
x y z
解得
因此
e x ( x z) z 1 sin( x z ) du y e x ( x z) f 3 f1 f 2 1 dx x sin( x z )
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