量子力学第五章 - 1
量子力学第五章
pˆ12ψ (1,2) =ψ (2,1)
∴ pˆ12ψ (1,2) = λψ (1,2)
这就是交换算符的本征值方程. 且λ就是其本征值.
又有: pˆ12 pˆ12ψ (1,2) = pˆ12λψ (1,2) = λpˆ12ψ (1,2) = λ2ψ (1,2) ∴ pˆ122ψ (1,2) = λ2ψ (1,2)
问题: 量子力学中是否存在没经典对应量的力学量?
对由多个粒子组成的系统,量子力学中还有其它 新的基本假设吗?
能够举一些使用量子力学去解决实际问题的例子 吗?
§1、电子的自旋
一、实验与假设: 1) 斯特恩―盖拉赫实验 1921年，施忒恩（O.Stern）和盖拉赫（W.Gerlach）发现 一些处于S 态的原子射线束，在非均匀磁场中一束分为两束。
∵ pˆ122ψ (1,2) = pˆ12ψ (2,1) =ψ (1,2)
∴ λ2ψ (1,2) =ψ (1,2)
λ2 =1
λ =1
λ = −1
对λ=1有: 对λ=−1有:
pˆ12ψ (1,2) =ψ (1,2)
pˆ12ψ (1,2) = −ψ (1,2)
称为对称性波函数. 称为反对称性波函数.
可以证明: 全同粒子的波函数的这种交换对称性是不随时间 改变的.
2)自旋角动量算符的本征值与自旋量子数:
① 由于电子的自旋角动量它在空间任何方向的投影只取两个值 Sz=± /2.这就是说:
Sˆx,Sˆy,Sˆz 的所有可能的测得值只有+ /2和- /2.因此, 这就是它 们所有可能的本征值
②
S2的本征值:
S
2 x
=
S
2 y
=
S
2 z
=
量子力学第五章习题
第五章 微扰理论5.1 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为0r ,电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解: 这种分布只对0r r <的区域有影响, 对0r r ≥的区域无影响. 根据题意知()()0ˆHU r U r '=- 其中()0U r 是不考虑这种效应的势能分布, 即()2004ze U r rπε=-()U r 为考虑这种效应后的势能分布, 在0r r ≥的区域为()204ze U r rπε=-在0r r <的区域, ()U r 可由下式()r U r e Edr ∞=-⎰其中电场为()()30233000002014,443434Ze Ze r r r r r r r E Ze r r r ππεπεππε⎧=≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩则有:()()()()22320002222222000330000001443848r rr r rr U r e Edr e EdrZe Ze rdr dr r r Ze Ze Ze r r r r r r r r r πεπεπεπεπε∞∞=--=--=---=--≤⎰⎰⎰⎰因此有微扰哈密顿量为()()()()222200300031ˆ220s s Ze r Ze r r r r r H U r U r r r ⎧⎛⎫--+≤⎪ ⎪'=-=⎨⎝⎭⎪>⎩其中s e =类氢原子基态的一级波函数为()(321001000003202exp 2Zra R Y Z a Zr a Z ea ψ-==-⎫=⎪⎭按定态微扰论公式,基态的一级能量修正值为()()()00*00111110010032222222000000ˆ131sin 4422Zrr a s s E H Hd Ze Ze Z r d d e r dr a r r r ππψψτϕθθπ-''==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰00322222430000031422ZrZr Zr r r r a a a s Z Ze e r dr e r dr erdr a r r ---⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 完成上面的积分,需要作作三个形如0b m y y e dy -⎰的积分,用分部积分法,得00002220002222000000022112222Zr Zr r a a y Zr Zr a a a erdr ye dyZ a Zr a a a e e r Z a Z Z Z ----⎛⎫= ⎪⎝⎭⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-+-=-++⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎰⎰00002222332200000002322000000222222222222Zr Zr Zrr a a a y Zr a a a Zr Zr er dr y e dy e Z Z a a a a a a er r Z Z Z Z ----⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎥==-++-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰0000225440002500000000040002222224242412422424222Zr Zrr a a y Zr a a er dr y e dyZ a Zr Zr Zr Zr e Z a a a a a a a Z Z Z ---⎛⎫= ⎪⎝⎭⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎥ ⎪=+--+++ ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭⎛⎫⎛⎫⎛=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰0002325234000000025234432000000000023412424222233324222Zr a Zr a a a a r r r r e Z Z Z a a a a a a r r r r e Z Z Z Z Z Z --⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭我们可以计算11E ,0000003232122000010020025234432000000000032340203422222233312422222Zr a s Zr a Zr a a a a a Z E Ze e r r a r Z Z Z Z a a a a a a r r r r e r Z Z Z Z Z Z a e Z ---⎧⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=--+++⎢⎥⎨ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎩⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫-- ⎝00200022222000223230000022333332222Zr a ssa a r Z Z a a a Z Ze e Ze r Zr Z r r Z r a -⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪++⎢⎥⎬⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎣⎦⎭⎛⎫⎛⎫=-++--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭但是既然是近似计算,我们再适当地作一次近似.氢原子的半径约为13~10r cm -, 而80~10aa cm Z -=.所以有5213510821010~110r a r e e a ------=≈≈ 于是022223222212522001003333000004314311222232525rrs s s s s a s Ze Ze Ze r Ze Ze r r E er dr r Ze r a r r r a r r a -⎡⎤⎛⎫⎡⎤=--+=-++=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎰这就是基态能量的一级修正.而准确到一级近似的能量为()()222222222000011113220024411252525s s s s Ze Ze r Ze r Z e Z r E EEa a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+=-+=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5.2 转动惯量为I ，电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场E 中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的一级修正。
量子力学周世勋习题解答第五章
第五章习题解5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。
据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 rze r U 024πε-=）（)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞-=r Edr e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,434410200300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ）⎰∞'=τψψd H E 111 ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∴0a r <<，故102≈-r a Ze 。
∴ ⎰⎰+--=0302404220330024)1(1)3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z Eπεπε2030024505030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 23002410r a e Z πε= 2032452r a e Z s = #5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
第五章 薛定谔方程数值解法-1
D1
由此解得 C1 和 D1 为
1 r2W (W ) C1 e ( W ) 2 r2 1 r2W (W ) D1 e ( W ) 2 r2
(5.1.16)
由上面过程可见，C 0和D 0的值完全确定了 A1，B1，C1和D1的值，结果完全确定了波 函数。一般情况下C1的值不一定为零。为了 满足 时， ( x) 为零，必须要 求C1=0。这就对E的取值进行了限制，不能 取任意值，只能取某些确定值，才能保证 C1=0的要求。
(5.1.3) (5.1.4)
其中E为波函数的本征值。
由(5.1.3)式，直接可得
f (t ) ce
iEt /
其中c为任意常数。粒子的波函数 可表示成
( x,
(5.1.5)
这就是定态波函数，其中常数c已经包括在 ( x) 中。
几率密度为
(5.2.2)
如果考虑原子的外层电子运动，这时内层电子的 作用可近似考虑成电子云，它的密度为 (r ) ，这 时的势能由两部分组成，即
Ze (r ) U (r ) r r
2
(5.2.3)
第一项是核子的贡献，Z 为带正电的核子数，第 二项为电子云的贡献。以上三种情况都属于辏力 场的情况。
(0) r2 C0 r2 (0) r1 A1
可解得
r2 A1 r 1
(5.1.13)
同理，利用在势阱的另一边 X W 处，波函数 和它的一次导数都连续，得到
r2 (W ) sin Wr1 cos Wr1 r1
(5.1.14-1) (5.1.14-2)
(W ) C1e
量子力学习题解答-第5章
第五章全同粒子本章主要内容概要1. 全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子称为全同粒子。
在一个量子体系中全同粒子是不可区分的，两全同粒子相互交换不会引起物理性质的改变（全同性原理）。
所有的微观粒子可以分为两类：波色子和费米子。
所有自旋为 整数倍的粒子称为波色子，而所有自旋为/2 奇数倍的粒子称为费米子。
由费米子组成的量子体系，不能有两个或两个以上的费米子处于同一个状态（泡利不相容原理），体系的波函数在交换任意两个费米子时是反对称的。
对由波色子组成的量子体系，则不受泡利不相容原理的限制，两个或两个以上的波色子可以处于同一个状态，体系的波函数在交换任意两个波色子时是对称的。
如果体系的波函数可以由归一化的单粒子波函数()i q αφ的积表示，其中i 表示不同的单粒子态，q α表示第α个粒子的量子数（包括空间与自旋），则由N 个费米子组成体系的反对称波函数可以用N 阶行列式表示为12121212()()()()()()(,,...,,...,)()()()i i i N j j j N A N k k k N q q q q q q q q q q q q q αφφφφφφΦ=交换任何两个粒子就是交换行列式中的两列，这使行列式改变符号，即波函数A Φ在交换两粒子时是反对称的。
当任两粒子处于相同状态，即行列式中两行相同，行列式为零，表示不能有两个或两个以上的费米子处于同一个状态。
对由N 个波色子组成的体系，体系的对称波函数可以表示为 1212(,,...,,...,)()()...()A N i j k N Pq q q q C P q q q αφφφΦ=∑其中P 表示N 个粒子在波函数中的某一种排列，P∑表示对所有可能排列求和，由于波色子可以处于相同的状态，,,...,i j k 可以相等，C 是归一化常数为求和的项数，,,...,i j k 完全相等时为1，全不相等时为1/2.交换力：以两粒子体系为例，若体系的波函数可以表示为空间部分和自旋部分之积，对称和反对称的空间波函数为121212(,)()()()()]a b b a x x x x x x ψψψψψ±=±这种波函数对称化的要求会使两粒子间出现一种力的作用，称为交换力。
量子力学第四版卷一（曾谨言著）习题答案第5章-1
量⼦⼒学第四版卷⼀（曾谨⾔著）习题答案第5章-1第五章：对称性及守恒定律P248设粒⼦的哈密顿量为 )(2??2r V p H+=µ。
（１）证明V r p p r dtd ??-=?µ/)(2。
（２）证明：对于定态 V r T ??=2（证明）（１）z y x p z p y p xp r ++=?，运⽤⼒学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： )],,(,[21],[222z y x V zp yp xp p p p p z p y p xz y x z y x z y x +++++++=µ（２）分动量算符仅与⼀个座标有关，例如xi p x ??=，⽽不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成： ],??[],??[],??[]?,??[21]?,??[21]?,??[21222V p z V p y V p xp p z p p y p p x z y x z z yy x x +++++=µµµ （３）前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下：222?2??x x x p i p i p i =+= （４）xVxi ??=?? （５）将（４）（５）代⼊（３），得：代⼊（１），证得题给公式：V r pp r dt d ??-=? µ2?)( （６）（２）在定态ψ之下求不显含时间t 的⼒学量A ?的平均值，按前述习题２的结论，其结果是零，令p r A ?= 则0)??(*2=??-==V r p d p r p r dt d τµτψψ（７）但动能平均值 µτψµψτ22?*22p d p T =≡由前式 V r T ??=21 P249 设粒⼦的势场),,(z y x V 是z y x ,,的n 次齐次式证明维⾥定理（Ｖirial theorem ）式中Ｖ是势能，Ｔ是动能，并应⽤于特例：（１）谐振⼦ T V = （２）库仑场 T V 2-= （３）T V n Cr V n2,==（解）先证明维⾥定理：假设粒⼦所在的势场是直⾓坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场⽤直⾓坐标表⽰的函数，可以表⽰为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是⽆理式，也可展开成级数）：∑=ijkkj i ijk z y x C z y x V ),,( （１）此处的k j i ,,暂设是正或负的整数，它们满⾜：n k j i =++ （定数）ijk C 是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。
第五章 量子力学的表象变换与矩阵形式
那么在动量表象中，坐标的平均值可以表示为
r c (p, t )( i p )c(p, t )d 3 p,
其它观测量的平均值类似可表示出。
在量子力学中，选定一个F表象，将Q的本征函数 u1(x), u2(x),… un(x),…看作一组基矢，有无限多个。 大小由a1(t), a2(t), …an(t),…系数决定。 所以，量子力学中态矢量所决定的空间是无限维的 空间函数，基矢是正交归一的波函数。数学上称为 希尔伯特（Hilbert）空间. 常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角 动量表象
* 3
ˆ L xpp' p ( x)L2 x p ' ( x)dx
2 *
ˆ ˆ p (r )( ypz zp y ) 2 p ' (r )d 3r
*
4. 2算符的矩阵表示
设算符F有如下关系 ：
ˆ F( x, t ) ( x, t )
在Q表象中，Q的本征值分别为Q1，Q2，Q3，…Qn…, 对应的本征函数分别为u1(x), u2(x),… un(x),…. 将(x,t)和 (x,t)分别在Q表项中由Q的本征函数展开
0
( x x )e
2
2 x
dx
3. 能量表象
考虑任意力学量Q本征值为1, 2,…, n…,对应的正交本 征函数 u1(x), u 2 (x),… u n (x) …, 则任意波函数（x）按Q的 本征函数展开为
( x, t ) anun ( x),
n
高等量子力学 课件 【ch05】开放量子系统动力学
01弱耦合限
其中，
。是相互作用的最一般形式。如果把相互作用哈密顿量H, 分解为系统哈 密顿量H₅ 的
马尔科夫量子主方程 如果量子动力学半群存在，在某种数学条件下(见下面),一个线性映射L, 即半群的生成元， 可以表示成如下 指数形式： 由此，立刻可以得到开放系统约化密度矩阵的一阶微分方程
02马尔科夫量子主方程
方程式(5.19)叫作马尔科夫量子主方程。半群生成元L 为超算符，它可以看成方程式(1.113)中刘 维超算符的
由式(5.13)容易看出， V(4)具有描述一般量子测量操作 (见式(2.28))的形式。再者，算符 满足条件
由此，可推导出 因此，我们说， 一个动力学映射V(t)是凸线性的、完全正和保迹的量子操作。
02马尔科夫量子主方程
上面给出了t 固定时的动力学映射V(1) 。如果让t 变化，即可得到动力学映射的一个参数簇 {V(t)}t≥0}, 其 中V(0) 为单位映射。这个簇描述了开放系统全部的时间演化。然而，如果库关联 函数衰减的特征时间远小 于系统演化的特征时间，则约化系统的记忆效应可以忽略。因此，像经 典理论那样可以获得马尔科夫型的行 为。对于均匀情况这一理论将借助如下半群特征构建。
其中 约化密度矩阵Ps(t) 在t 时刻可表示为
其运动方程为
02
量子马尔科夫过程
01开放量子系统动力学概述
设初始时刻t=0 时，总系统S+B 处于不关联的乘积态
第五章-1 磁性材料(基础知识)(1)
i=1A d=1m
×
H=1A/m
1 A/m的磁场强度就是直径为1m的单匝线圈通以1A电流时，在其中心处产生 的磁场强度。
M H
2）磁感应强度 B
物质在外加磁场H的作用下，发生磁化，磁感应强度B是外磁场强度H与
磁化强度M的总和：
M 感应磁矩μ
m
H
O
H
感应电子轨道电流
抗磁性物质M与H的关系
χ-1
抗磁性物质的磁化率
不随温度而改变。
O
T
抗磁性物质的原子中电子磁矩互相抵消，合磁矩为零，即没有固有磁矩；
但是当受到外加磁场作用时，电子轨道运动会发生变化，而且在与外加
磁场的相反方向产生很小的感应磁矩。
常见的抗磁性物质：
① 惰性气体； ② 任何原子若电离至与惰性气体具有相同的电子排布，则都将是抗磁性； ③ 不含过渡元素的共价化合物（如CO2），大部分有机化合物； ④ 部分金属，如Bi、Zn、Cu、Ag、Au、Hg、Pb等； ⑤ 部分非金属，如Si、S、P等； ⑥ 超导材料是
原子中存在未被填满的电子壳层是物质具有磁性的必要条件。
过渡金属原子的电子组态和玻尔磁子数
铁氧体中几种金属离子的3d层电子数及自旋磁矩
P251
物质的磁性
轨道 运动 电子 自旋 运动
轨道 磁矩 自旋 磁矩 未配对对电子 原子磁矩
+
（超）交换相互作用
磁性
2. 磁化强度和磁化率
2.1 磁化强度和磁化率的定义
。 ，
T > TN：磁矩的有序排列被完全破环，成为混乱排列并转化为顺磁性， T ，χ
中科院量子力学超详细笔记_第五章_量子力学的表象与表示
第五章 量子力学的表象与表示§5.1 幺正变换和反幺正变换1, 幺正算符定义对任意两个波函数)(r v ϕ、)(r vψ，定义内积r d r r vv v )()(),(ψϕψϕ∗∫=(5.1)按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()r vψ时，找到粒子处在状态()r vϕ的几率幅。
依据内积概念，可以定义幺正算符如下：“对任意两个波函数ϕ、ψ，如果算符$U恒使下式成立 ),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U(5.2) 而且有逆算符1ˆ−U存在，使得I U U U U ==−−11ˆˆˆˆ1，称这个算符U ˆ为幺正算符。
”任一算符Aˆ的厄米算符+A ˆ定义为：+A ˆ在任意ϕ、ψ中的矩阵元恒由下式左边决定),ˆ()ˆ,(ψϕψϕ+=A A(5.3) 由此，幺正算符Uˆ有另一个等价的定义： “算符Uˆ为幺正算符的充要条件是 I U U U U==++ˆˆˆˆ (5.4a) 或者说1ˆˆ−+=U U 。
” (5.4b)证明：若),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U成立，则按+U ˆ定义， ),ˆˆ()ˆ,ˆ(),(ψϕψϕψϕU U U U+== 由于ϕ、ψ任意，所以I U U=+ˆˆ 又因为Uˆ有唯一的逆算符1ˆ−U 存在，假定取ψψϕϕ11ˆ,ˆ−−=′=′U U ，则有 ()),ˆ)ˆ((ˆ,ˆ),()ˆ,ˆ(),(1111ψϕψϕψϕψϕψϕ−+−−−==′′=′′=U U U U U U所以I U U=−+−11ˆ)ˆ( 由于11)ˆ()ˆ(−++−=U U，上式即 I U U=+ˆˆ 这就从第一种定义导出了第二种定义。
类似，也能从第二种定义导出第一种定义。
从而，幺正算符的这两种定义是等价的。
1这里强调了$U−1既是对$U右乘的逆又是对$U 左乘的逆。
和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符$U有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为$U−1。
《量子力学》课程14
ˆ ( 0 ) d E (1 ) W n n mn
1）当
m n
时
En
(1 )
( 0 )* ˆ (0) n W n d W nn W
ˆ 此即能量的一级修正，它是微扰 W 级波函数下的平均值。 1）当 m n 时
在零
a
(1 ) m
(E
W mn
(0) n
量子力学
量子力学
课程十四
主讲教师:冉扬强
量子力学
第五章 微扰理论
§5.1 非简并态微扰理论
一、微扰论的基本思想 二、一级修正(近似) 三、二级修正(近似) 四、非简并定态微扰法的解题步骤
量子力学
第五章 微扰理论
前面我们精确的求解了一些薛定谔方程， 例如一维无限深势阱，谐振子和氢原子。但 在量子力学中，由于体系的哈密顿算符比较 复杂，薛定谔方程能够精确求解的情况非常 少，因此，在处理各种实际问题时，往往需 要采用各种近似方法。常用的近似方法有微 扰论、变分法、准经典近似、绝热近似、自 恰场近似等，其中微扰论是最重要的、应用 上也是最广泛的近似，这个方法最早在1926 年由薛定谔提出来的，后来经过了许多人的
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
n
n
n
H nn
H mn
( 0 )* n
( 0 )* m
ˆ H
ˆ H
(0) n
(0) n
d
d
（4）将所求得的微扰矩阵元代入公式，求出 题目所要求的 E n 、 n 的近似值。
量子力学
E
(0) m
)
, W mn
周世勋量子力学教程第二版课件量子力学第五章
E(2) n
l
a(1) l
Hˆ
(1) nl
l
Hˆ l(n1)
Hˆ
(1) nl
E(0) n
E(0) l
l
Hˆ
(1) nl
2
E(0) n
E(0) l
其中： Hˆ l(n1) Hˆ n(1l)*
(因 Hˆ l(n1)
(0)* l
Hˆ
(1)
(0) n
dx
[
Hˆ
(1)
E(1) n
)
(0) n
（2）
2 :
(Hˆ n(0)
E(0) n
)
(2) n
(Hˆ n(1)
E(1) n
)
(1) n
E(2) (0) nn
（3）
逐级求解。
6
一级近似：
（1）能量一级近似 由（2）式：
(Hˆ n(0)
E(0) n
)
(1) n
(Hˆ n(1)
E(1) n
En(0)
(1) n
2 En(0)
(2) n
En(1)
(0) n
E2 (1) (1) nn
E3 (1) (2) nn
L
5
比较的同次项
0 :
(Hˆ n(0)
E(0) n
)
(0) n
0
（1）
1 :
(Hˆ n(0)
E(0) n
)
(1) n
量子力学第五章微扰理论
H
'ψ
(0) n
dx
=
〈ψ
(0) k
H
'
ψ
(0) n
〉
(5 .1.14)
并将它代人(5.1.13)式，当 n = k 时，得
当 n ≠ k 时，得
E
(1) n
=
H
' nn
a (1) k
=
k
(5.1.15) (5.1.16)
注意(5.1.16)式只在
n
≠
k
时成立。对(5.1.11)式右端中的展开系数，还有
第五章 微扰理论
在量子力学中，由于体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可 数。因此，引入各种近似方法以求解薛定谔方程的问题就显得十分重要。常用的近似方法有微扰论、 变分法等。不同的近似方法有不同的适用范围。在本章中将讨论分立谱的微扰理论、变分法。
由于体系的哈密顿算符既可以显含时间，又可以不显含时间，因此，近似方法也可以分为适用 于定态的和适用于非定态的两类。本章将先讨论定态的微扰理论、变分法，然后再讨论含时间的微 扰理论以及光的发射和吸收等问题。
在后面再详细说明。由于 H 不显含 t，因此，无论 H (0) 或是 H ' 均不显含 t。
(2) H (0) 的本征值和本征函数已经求出，即 H (0) 的本征方程
ψ ψ H = E (0) (0) n
(0) (0) nn
(5.1.4)
中，能级
E
(0 n
)
及波函数ψ
(0 n
)
都是已知的。微扰论的任务就是从
(1) n
+
λ2ψ
(2) n
+ ...)
量子力学 第五章 微扰理论
分成两部分：
Hˆ Hˆ (0) Hˆ ,
Hˆ (0)
E (0)
(0)
n
n
(0) n
待求解的体系Ĥ叫做微扰体系。本征值和本征
函数可精确求解的体系Ĥ(0)叫做未微扰体系，Ĥ′可
以看做微扰。微扰论的具体形式多样但基本精神
相同，即逐级近似。
微扰理论适用范围：分立能级及所属波函数的修正 7
§5.1 非简并定态微扰理论
而此处所讨论的两个级数的高级项都不知道。无法
判断级数的收敛性，我们只能要求级数已知项中，
后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件
是：
H m n
E(0) n
注意：ψn(1) 和ψn(1) +aψn(0)（a为任意常数）都是
第二个方程的解。
12
§5.1 非简并定态微扰理论
由这组方程可以逐级求得其各级修正项，即求得
能量和波函数的近似解. λ的引入只是为了按数量级 分出以上方程，达到此目的后，便可省去。
Hˆ Hˆ (1)
En
E(0) n
E (1) n
E(2) n
l
a(1) (0) ll
可使得展开式中不含ψn(0)
n
(0) n
n(1（) 假定波函数只含一级修正，且是归一化的）
n nd
(
(0) n
(1) n
)
(
(0) n
(1) n
)d
(0)
n
n(0)d
n(0) n(1)d
(1)
n
n(0)d
n(1) n(1)d
1
(an(1)
a(1) n
一.非简并微扰体系方程 Hˆ Hˆ (0) Hˆ
群论第5章资料
pr (ρ)Hpr1(ρ) ' (r)
• 即： pr (ρ)Hpr1(ρ) H
• 或： [ pr (ρ), H ] 0
• 可见，当且仅当体系的哈密顿算符H在平移 算符 Pr (ρ的) 作用下不变，即 与Pr (ρH) 对易时， 平移后的波函数 才可能'(描r) 述体系的一个 状态。
• 由于 Pr (ρ是) 一个么正算符，并具有（3）的形 式，因此，当且仅当体系的动量P算符与H 对易即 [P, H ] 0时，（4）对所有的矢量
• 所有时间平移算符 Pt (的)集合也是一个连续的、连通的、
单参数非紧致的阿尔贝群，它也是物理体系所具有的一种
对称性群，如果体系在这个群的作用下不变，则体系的能 量守恒。
• 例如，对于孤立的氢原子，不存在微扰时，其哈密顿算符 对所有的时间平移是不变的。所以，如果原子在一给定的 时刻处于一特定的状态，则它在所有的时刻都继续处于此 同一状态，且体系的总能量保持不变。
• 类似上面考虑过的物理体系的空间平移，我 们也可以将体系在时间上平移，并且平移后 的函数在一定条件下仍然表示体系的可能状 态。
• 假定是 (t体) 系的波函数，令 P表t (示) 将时间 的函数平移一个量的算符。于是我们得到：
•将
Pt
( ) (t)
在点
' (t) (t )
附近展开为泰勒级数得：
才成立，ρ 从而我们可得到如下定理：
• 定理：若物理体系在所有的空间平移下是 不变的，则其线动量是运动恒量，或者说体 系的动量是守恒的。
• 所有空间平移算符 pr (的ρ)集合（对所有的 值）ρ构成了一个群，称为空间平移群，这是 个连续的、连通的。三参数非紧致的阿贝尔 群，其合成法则是：
量子力学第五章习题
第五章 表象理论5-1 试证明算符)ˆ,ˆ(ˆ,ˆ,ˆx x p x F p x （1）在x 表象中的表示为：x x =ˆ ，xi p x ∂∂-= ˆ ，),()ˆ,ˆ(ˆxi x F p x F x ∂∂-= ； （2）在P 表象中的表示为：p i x ∂∂= ˆ ，x x p p =ˆ ，),()ˆ,ˆ(ˆx x p pi F p x F ∂∂= 5-2 求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
5-3 求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。
5-4 求连续性方程0),(=⋅∇+∂∂j t x tρ的矩阵表示。
其中),(),(),(*t x t x t x ψψρ= ，)(2**ψψψψ∇-∇=m i j 5-5 设厄米算符B A ˆ,ˆ满足1ˆˆ22==B A ，且0ˆˆˆˆ=+A B B A ，求：（1）在A 表象中，算符B Aˆ,ˆ的矩阵表示。
（2）在B 表象中，算符B A ˆ,ˆ的矩阵表示。
（3）在A 表象中，算符Bˆ的本征值和本征函数。
（4）在B 表象中算符A ˆ的本征值和本征函数。
（5）由A 表象到B 表象的么正变换矩阵S 。
5-6 已知二阶矩阵A,B 满足下列关系：A A B A A AA A +==+=+++,1,02，试证明B B =2，并且在B 表象中求矩阵A ，B 。
5-7 证明：A AS S det )det(1=- )()(BA Tr AB Tr = )()()(BCA Tr CAB Tr ABC Tr ==，由此说明矩阵的det 及Tr 不因表象而异，或者说矩阵的本征值之和以及本征值之积不因表象而异。
5-8 设矩阵A 的本征值为),2,1(' =i A i ，令A e B =，其本征值为)2,1(' =i B i ，证明''i A i e B =，由此证明TrA e B =det 。
5-9 设任何一个厄米矩阵能用一个么正变换对角化。
量子力学第五章微扰理论
。
(1) n al(1) l(0) l 1
上式可以选取 a (1)
n
( ，使得展开式中不含 n0) 项，即 0
( ( 使 an1) n0) 0 ，则上展开式可改写为
8
( n1) al(1) l(0) l n
or
(1) n al(1) l(0) l
五、求非简并定态微扰步骤 ˆ 1 写出体系的哈密顿算符 H n En n ˆ ˆ ˆ 2 把哈密顿算符写成 H H (0) H
( ˆ ˆ 3 写出或求出 H (0) 的本征值与本征函数 En0) 及 ψ n H ˆ H ( ( ˆ ( 4 利用 En1) n0 )* H n0 ) d H nn 及 H mn (1) ( n m0) 求能级及波函数的一级近似 ( ( En0) Em0) m n
0: 1:
ˆ ( H (0) En(0) ) n(0) 0 ˆ ˆ ( H (0) En(0) ) n(1) ( H (1) En(1) ) n(0)
ˆ ˆ 2: ( H (0) En(0) ) n(2) ( H (1) En(1) ) n(1) En(2) n(0)
求零级近似波函数
组 Cij0 的值，即可求得零级近似波函数
将能量一级修正 En1的 k 个根分别代回方程（4），可得 k
nj0 C ji0i
i
(7)
17
即
(1) ' H '11 Enj H 12 (1) H '21 H '22 Enj H' H 'k 2 k1
2 2 e2 ˆ H 2m r
量子力学5-1
系的能级一般是简并的 非简并能量本征态必为某一守恒量本征态
3.位力定理：
1)一般的位力定理
2T r V
2)势能是位置的n次齐次函数，则有 2T nV
谐振子势
T V
库仑势和δ势
V 2T
6
3. 量子力学中的守恒量与对称性的关系
' Qˆ
)
2
2
(E
V
(r
))
l
(l r2
1)
l
(r
)
0
[注]： (1)当l=0时, 方程类似粒子一维运动方程
(2)方程中出现一项由轨道角动量引起的 附加势能——离心势能
19
对方程
d
2l (r
dr 2
)
2
2
(E
V
(r
))
l
(l r2
1)
l
(r
的方向关系上能看出来。
平面的法线方向即为
L
的方向。
下面我们看量子力学中的角动量问题。
11
§5.1.1 角动量守恒与径向运动
若势场为V(r)，粒子的质量为μ ，则哈密顿量
可以写为
Hˆ 1 pˆ 2 V (r) 2 2 V (r)
2
2
此时，角动量是否为守恒量？
如何判断？
由角动量分量与动量各分量对易式
1 m1
12
1 m2
2 2
1 M
2 R
1
2 r
第五章质点的角动量角动量守恒定1
第五章质点的⾓动量⾓动量守恒定1第五章质点的⾓动量⾓动量守恒定理§5-1 质点的⾓动量⾓动量定理⼀质点的⾓动量我们已经知道，在讨论单个质点或质点系统（包括刚体）的平动运动时，线动量是很有⽤的物理量，例如，在碰撞中线动量是守恒的。
对于单个质点，线动量为v P m =对于质点系统，线动量为v P M =其中M 为系统的总质量⽽v 是质⼼的速度。
在转动运动中，什么量和线动量相类似呢？我们将这个量称之为⾓动量。
下⾯就单个质点这⼀特殊情况来定义⾓动量，以后推⼴到质点系统。
假设有⼀质量为m 和线动量为P 的质点A ，这质点相对于惯性参考系的原点O 的位置⽮量为r 如图()15-所⽰图 ()15-定义这个质点对原点0的⾓动量为v r p r L m ?=?= （5-1）讨论 1）其中r 是代表以给定点0为原点到质点的位置⽮量2）其⼤⼩θsin rmv L = 式中θ是r 与v 之间的夹⾓，它的⽅向垂直与r 与p 所组成的平⾯，并由右⼿螺旋法则确定,见图（5-1）3）我们也可将L 的⼤⼩表⽰为 ()p r p r L ⊥==θsin 或 ()⊥==rp p r L θsin 式中的⊥r 为r 垂直于p 的分量，⊥p 为p 垂直于r 的分量，故⾓动量也可称为动量矩。
4）应当指出，质点的⾓动量与位置⽮量r 和动量p 有关，也就是与参考点0的选择有关。
因此在讲述质点的⾓动量时，必须指明是对哪⼀点的⾓动量。
5）在国际单位制中，⾓动量的量纲为12-T ML ，符号是kg ·sm 2，也可表⽰为J ·s⼆质点的⾓动量定理质点在运动时导致⾓动量L 随时间变化的根本原因是什么？由 v r L m ?= 对其两边微分则 (r L dt d dt d =×)v m =dtd r×r v +m ×()dt m d v 其中 dt=v 故 v ×=v m 0 ()F P v ==dt d dt m d得 r L=dtd ×F （5-2）即：质点m 对参考点o 的⾓动量随时间变化率dtd L等于位置⽮量r 和质点所受的合外⼒F 的⽮量积。
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Chapter 5
微扰理论
Perturbation Theory
1
引言
Chapter 5. Perturbation Theory
前面讨论了量子力学的基本理论，并应用薛定谔方程求得 了一些简单问题的解。
如:（1）一维无限深势阱问题； （2）线性谐振子问题； （3）势垒贯穿问题； （4）氢原子问题。
一、基本方程
设体系的哈密顿算符不显含时间，则其定态薛定谔
方程为
Hˆ n En n
(1)
当 Hˆ 比较复杂，方程(1)难求解时，将 Hˆ 写成：
Hˆ Hˆ (0) Hˆ
(2)
其中 Hˆ (0)是基本部分，与它对应的本征值和本征函数
由以下方程求出
Hˆ
(0)
(0) n
E(0) (0) nn
(3)
d．理解光的发射与吸收的爱因斯坦系数以及原子
内电子由 i态跃迁到 f 态的辐射强度均与矩阵元 rf i 的
模平方成正比，由此可以确定偶极跃迁中角量子数和 磁量数的选择定则。
5. 了解氢原子一级斯塔克效应及其解释。
4
5.1 非简并定态微扰理论
Chapter 5. Perturbation Theory
Transition Probability
5.8 光的发射和吸收
Light emission and absorption
5.9 选择定则
Selection rule
3
学习要求：
Chapter 5. Perturbation Theory
1.重点掌握非简并定态微扰理论波函数一级修正和能级一、 二级修正的计算。
这些问题都给出了 问题的精确解析解。
在实际微观体系中，由于哈密顿算符的复杂性，能求出薛 定谔方程精确解的问题是极少的。例如一个氦原子体系就难 以得到精确解。因此，在量子力学中，用近似方法求薛定谔 方程近似解就显得尤为重要。
近似方法
是从简单问题的精确解（解析解）出 发，求较复杂问题的近似（解析）解。
微扰方法和变分法是众多近似 方法中的两种重要的近似方法。
而 Hˆ 相对很小，可视为加在 Hˆ (0) 上的微扰。现
在的任务是通过
Hˆ 和
0 n
，求出相应的修正项以得
到 E和 的近似解，为此，引入一个很小的实数 ，
并将 Hˆ 表示为 Hˆ Hˆ (1)
(4)
6
Chapter 5. Perturbation Theory
相应地,将 En 和 n 表为实参数 的级数形式：
2
E (2) n
kE
(k) n
n
(0) n
(1) n
2
(2) n
k n (k)
8
5.1 非简并定态微扰理论（续3）
Chapter 5. Perturbation Theory
2
目录
Chapter 5. Perturbation Theory
5.1 非简并定态微扰理论
Non-degenerate perturbation theory of stationery state
5.2 简并情况下的微扰理论
Degenerate perturbation theory
5.3 氢原子的一级斯塔克效应
Hˆ
(0)
(0) n
(Hˆ
(0)
(1) n
Hˆ
(1)
(0) n
)
2 (Hˆ
(0)
(2) n
Hˆ
(1)
(1) n
)
En(0)
(0) n
( En( 0)
(1) n
E ) (1) (0) nn
2 (En(0)
(2) n
E (1) (1) nn
En(2)
(0) n
)
7
5.1 非简并定态微扰理论（续2）
2.掌握简并的微扰论的零级波函数和一级能量修正的计算。 3.了解定态微扰论的适用范围和条件；
4.关于与时间有关的微扰论要求如下：
a．了解由初态i 跃迁到末态 f 的概率表达式，特
别是常微扰和周期性微扰下的表达式；
b．理解由微扰矩阵元 H f i 0 可以确定选择定则； c．理解能量与时间之间的不确定关系 E t ~ h 。
First order Stark effect of hydrogen atom
5.4 变分法
Variational Method
5.5 氦原子基态
Ground State to Helium Atom
5.6 与时间有关的微扰理论
Perturbation theory with time
5.7 跃迁几率
En
E(0) n
E(1) n
2
E(2) n
kE
(k) n
(5)
n
(0) n
(1) n
2
(2) n
k (k) n
(6)
将以上几式代入（1）式得：
(Hˆ
(0)
Hˆ
(1)
)(
(0) n
(1) n
2
(2) n
)
( En( 0 )
E (1) n
2
E(2) n
)(
(0) n
(1) n
2
(2) n
) (7)
将此式展开，便得到一个两边均为 的幂级数等式：
Chapter 5. Perturbation Theory
此等式成立的条件是两边 同次幂的系数应相等，
于是得到一列方程：
0:
(Hˆ
(0)
E (0) n
)
( n
0)
0
8
1:
(Hˆ
(0)
E (0) n
)
(1) n
(Hˆ
(1)
E (1) n
)
(0) n
9
2:
(Hˆ
(0)
E (0) n
)
( n
2)
( Hˆ
(1)
E (1) n
)
(1) n
E (2) (0) nn
10
k:
(Hˆ
(0)
E (0) n
)
( n
k
)
( Hˆ
(1)
E (1) n
)
( n
k
1)
E (2) (k2) nn
En(
k
)
(0) n
11
由这组方程逐级求得其各级修正项，即求得能量 和波函数的近似解。
En
E (0) n
E (1) n
微扰法不是量子力学所特有的方法，在天体物理学 中计算行星运行轨道时，就是使用微扰方法。计算中需 要考虑其他行星影响的二级效应。
例如，地球受万有引力作用绕太阳转动，可是由于 其它行星的影响，其轨道需要予以修正。在这种情况下， 计算所使用的方法是：首先把太阳和地球作为二体系统， 求出其轨道，然后研究这个轨道受其它行星的影响而发 生的变化。
量子力学中微扰方法视其哈密顿算符是否与时间有关 分为定态微扰和非定态微扰两大类。
非简并定态 微扰理论
一 微扰体系方程 二 态矢和能量的一级修正 三 能量的二阶修正 四 微扰理论适用条件 五 讨论 六 实例
5
5.1 非简并定态微扰理论（续1）
Chapter 5. Perturbation Theory