函数单调性教学案例分析

“函数的单调性”案例分析

连江一中数学组李锋

数学概念的教学是培养学生创新精神和实践能力的一个很好的切入点，重视数学概念的发生、发展、形成的过程的体验，让学生进行深入的思考和全方位的探索。对于提高学生学习数学的兴趣，培养学生创新精神和实践能力将是十分有利的。现以《函数的单调性》教学实例来进行分析：

一、案例课题：函数的单调性（第一课时）

二、实施过程（注：课堂实录已经简化）

1．问题引入

师：我们观察某自来水厂在一天24小时内，水压Y随时间X的的变化情况。不妨设其函数解析式：y=f(x); x [0,24]

师：“在哪些时间段内，水压在逐渐上升?在哪能些时间段内，水压在下降?”

（很快得出正确答案。）

师：在某一时间段内水压在上升，实际上是水压Y的值随时间X的增大在逐渐增大，于是我说函数y=f(x)在区间[0，3]上，是单调递增函数。同理，函数y=f(x)在区间[3,9]上是单调递减函数。这就是我们要研究的函数的又一特性——函数的单调性。

2．定义探究

师：在某个区间上：①函数值Y随X的增大而增大（图象从左——右，呈上升趋势），就说这个函数在这个区间上是增函数。②函数值Y随X的增大而减小（图象从左——右，呈下降趋势），就说这个函数在这个区间上是减函数。

提出问题1：请同学仔细阅读课本中函数单调性的定义，思考课本定义方法和上面定义方法是否一致？如果一致，定义中哪一句表达了该意思？

生：我认为是一致的．定义中的“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y随x的增大而减少．

师：说得非常正确．定义中用了两个简单的不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质．这就是数学的魅力！定义中只用了两个简单的不等关系，就刻划出了单调递增和单调递减的性质特征，把文字语言表达为数学语言，简单明了。

师：提出问题2：我们思考这样一个问题：定义中有哪些关键的词语或句子至关重要？能不能把它找出来。（有的同学回答不准确）

生1：我们认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语．（阐述了理由）。

师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．还有没有其他的关键词语？

生2：还有定义中的“任意”和“都有”也是关键词语．

生3：“属于” 也是关键词。

师：能解释一下为什么吗？

生3：“属于”就是说两个自变量x1，x2必须取自给定的区间，不能从其他区间上取．

师：那么“任意”和“都有”又如何理解？

生4：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x1＜x2，f（x

）就必须都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）．

1

师：能不能构造一个反例来说明“任意” 和“都有”呢？

（让学生思考，但有些学生仍有困难，我设计了三个判断题）

提出问题3：判断下列命题的真假：

①函数y=x2在(-∞,0) 上是减函数，在[0，+∞]上是增函数，所以函数y=x2在定义域

R上是增函数或是减函数。

②已知函数f(x)=x2(-2≤x≤2)。取x1=-2,x2=1，则x1f(x2)，所以函数在

区间[-2，2]上是减函数。

③若函数y=1/x在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）也单调递减，则该函数在定义域内单调递减。

（三个问题的提出，引起很大凡响，学生发言踊跃，互相讨论、补充，把本节课推向高潮）师：因此，要判定一个函数的增减性，主要途径就是依照定义，抓住关键，在给定区间内任取两个自变量x1，x2，根据它们的函数值f（x1）和f（x2）的大小来判定。

3．定义应用

提出问题4：判断函数f(x)=1/x在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义加以证明。

解：略

师：易知函数f(x)=1/x在（-∞,0）上也是单调递减函数，请同学归纳一下要证明一个函数在某个区间上单调性的方法和步骤？

第八组：①设量；②作差；③判断；④定论。

4．课堂小结（由学生回答）（略）5．布置作业（略）

三、案例分析

（一）本节课的设计思路

1．知识目标设计：

（1）在探究中，寻求函数单调性规律并形成概念。

（2）熟练运用函数单调性的概念证明函数在某个区间上的单调性。

2．能力目标设计：

（1）通过对单调性概念的发生、发展的分析过程，培养学生的数学意识、逻辑思维能力;（2）通过本节课的教学探究，培养学生用数学语言代替文字语言的表达能力。提高对数学美的鉴赏能力;

（3）对学生进行由“特殊”到“一般”的辩证唯物主义教育。

3．教学过程设计：

针对本节课教学目标，教学过程分为三个阶段：

（1）问题引入阶段：问题的提出具有实际意义，引起学生的兴趣，锻炼学生的观察能力，又直逼主题，学生容易接受。通过图形的直观感觉，给学生函数单调性的感性认识，为突破难点做好铺垫。从而自然导入主题。

（2）定义探究阶段：本节课的中心内容，围绕三个问题的提出，对定义进行探究，层层深入，发动学生，分组讨论，积极思考，在巡视过程中，启发引导学生，及时掌握学生的动向，寻求函数单调性规律并形成概念。

（3）概念应用阶段：函数的单调性定义应用只设计了问题4，这一过程由学生来完成，使学生自主进行学习，独立探究问题，在解决问题的过程中进行自我评判和调控，会对已有的经验进行反思，总结出解题的步骤和规律。

（二）本案例课堂教学的特点

1、抓住课堂教学的基本原则

(1)主体性原则：尊重学生的主体地位，发挥教师的主导作用，教师创造性地教，学生创造性地学，使教、学的主体共同参与整个教学过程。在本案例课堂教学活动过程中，教师围绕三个阶段，以问题的形式提供给学生，学生主动参与。特别是问题2、3的提出，学生产生许多疑惑，矛盾升级，老师便组织学生开展了互相交流和讨论，适时介入，和学生一起相互启发和梳理，并洞察课堂中发生地各种问题，准确地判断发生问题的原因，能动地、有效地处理这种问题，这一过程体现师生相互平等，教学相长的良好课堂氛围。

(2)探索性原则：教师努力使教学活动富有探索性，为学生创设进行观察、探索、发现的学习环境，鼓励学生质疑问难，大胆联想，激发学生的学习兴趣和创造兴趣，引导学生通过亲身体验获取新知，把教学过程转化为学生自觉进行探索新知的过程，使学生积极主动地在学习中体验探索的乐趣。通过对问题2、3的讨论，大部分学生对单调性概念的发生、发展有了较深刻的理解，探索到函数单调性规律并形成了概念。同时培养了学生用数学语言代