复变函数-工科复变5-1-PPT课件
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复变函数 全套课件
w1
8
2cos
9 16
i
sin
9 16
,
23
w2
8
2
cos
17 16
i sin 1176,
w3
8
2cos
25 16
i sin 2156.
y
w1
这四个根是内接于中
心在原点半径为8 2 的 圆的正方形的四个顶点.
w2
o
w0 x
w3
24
三、典型例题
例1 对于映射 w z 1 , 求圆周 z 2的象. z
3
三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
r r
cos , sin ,
复数可以表示成 z r(cos i sin )
指数表示法
利用欧拉公式 ei cos i sin ,
复数可以表示成 z rei 称为复数 z 的指数表示式.
4
方根
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
6
2cos
12
i
sin
12 ,
w1
6
2cos
7 12
i sin 712,
w2
6
2cos
5 4
i
sin
5 4
.
22
例 计算 4 1 i 的值.
解
1i
2cos
4
i
sin
4
4
1
i
8
2cos 4
2k 4
i sin
4
2k
4
即
w0
8
《复变函数》第5章
例: 对 f (z) z3 1.
f (1) 0, f (1) 3z 2 z 1 3 0
z 1 是 f (z)的一级零点.
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第7页
定理: z0 是 f (z)的m级极点
证:
f
(z)
(z
1 z0
)m
g
(z)
z0
是
f
1 的m级零点. (z)
f
复 变 函 数（第四版）
第五章 留 数
§1 孤立奇点 §2 留数 §3 留数在定积分计算上的应用 *§4 对数留数与辐角原理
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第1页
§1 孤立奇点
1. 定 义
如果函数 f (z)在 zo处不解析, 但在 zo的某 一去心邻域 0 < | z－zo |<δ处处解析, 则称zo 为函数 f (z)的孤立奇点. 例：z 0 为 f (z) sin 1 的孤立奇点 .
5
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第4页
∴
z = 0 分别是 本性奇点.
sin z
z
,
sin z4
z
,
sin
1 z
的可去、3极、
(1) zo为 f(z)的可去奇点
相当于实函可去间断点
lim f (z)存在且有限
zz0
f (z)在zo点的某去心邻域内有界.
(2) zo为 f (z)的极点
例:
z
0
是
ez 1 z2
的一级极点.
z
1
是
(z 1)3 sin( z 1)
的二级零点.
西安交大复变函数课件5-1-1本性奇点
sinh z 思考 z 0 是 3 的几级极点? z
注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .
21
三、函数在无穷远点的性态
1. 定义 如果函数 f (z ) 在无穷远点 z 的去心 邻域 R z 内解析, 则称点 为 f (z ) 的孤 y 立奇点. R o
x
22
1 1 (t ), 令变换 t : 则 f ( z ) f 规定此变换将: z t 映射为 z t 0,
z
ez 1 z 因为 lim lim e 1, z 0 z 0 z
8
2. 极点 1) 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 z z0 的
负幂项, 其中关于 ( z z0 ) 的最高幂为 ( z z0 ) , 即
1
m
f ( z ) cm ( z z0 ) c2 ( z z0 ) c1 ( z z0 )
3
孤立奇点的分类 依据 f (z ) 在其孤立奇点 z0 的去心邻域
0 z z0 内的洛朗级数的情况分为三类:
1．可去奇点;
1．可去奇点
2．极点;
3．本性奇点.
1) 定义 如果洛朗级数中不含 z z0 的负幂项,
那末孤立奇点 z0 称为 f (z ) 的可去奇点.
4
说明: (1) z0若是f ( z )的孤立奇点 ,
c0 c1 ( z z0 )
m
2
1
( m 1, cm 0)
1 1 f ( z )f z ) m g ( z) , ggz)z ) , 0处解析,且g ( z0 ) 0 ( ( 在z ( (z z ) 或写成 0 ( z z )m
0
注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .
21
三、函数在无穷远点的性态
1. 定义 如果函数 f (z ) 在无穷远点 z 的去心 邻域 R z 内解析, 则称点 为 f (z ) 的孤 y 立奇点. R o
x
22
1 1 (t ), 令变换 t : 则 f ( z ) f 规定此变换将: z t 映射为 z t 0,
z
ez 1 z 因为 lim lim e 1, z 0 z 0 z
8
2. 极点 1) 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 z z0 的
负幂项, 其中关于 ( z z0 ) 的最高幂为 ( z z0 ) , 即
1
m
f ( z ) cm ( z z0 ) c2 ( z z0 ) c1 ( z z0 )
3
孤立奇点的分类 依据 f (z ) 在其孤立奇点 z0 的去心邻域
0 z z0 内的洛朗级数的情况分为三类:
1．可去奇点;
1．可去奇点
2．极点;
3．本性奇点.
1) 定义 如果洛朗级数中不含 z z0 的负幂项,
那末孤立奇点 z0 称为 f (z ) 的可去奇点.
4
说明: (1) z0若是f ( z )的孤立奇点 ,
c0 c1 ( z z0 )
m
2
1
( m 1, cm 0)
1 1 f ( z )f z ) m g ( z) , ggz)z ) , 0处解析,且g ( z0 ) 0 ( ( 在z ( (z z ) 或写成 0 ( z z )m
0
复变函数ppt第一章
y
y
i
0
r
θ
z ．,=y)x + iy (x
x
x
x = r cos θ y = r sin θ
(3) 指数形式
z = r cos θ + ir sin θ
Euler eiθ = cos θ + i sin θ
iθ
28
z = re
常根据需要,三种形式相互转换.
例3 将下复数化为指数形式
z = 1 − cos ϕ + i sin ϕ
32
例6
求复数 z = −4e
参考解答
π
3
i
的模和辐角主值.
例7
已知正三角形的两个顶点为(0,0),(3,2), 求另一顶点.
参考解答
完
33
思考 已知正方形的两个对角顶点为(0,0),(1,1),求另 一对顶点. Ref：(0,1),(1,0) y
z2
z1(1,1)
0
z3
x
完
34
复数的幂与方根
(2) z = 3 + i
参考解答
(0 < ϕ ≤ π )
完
23
辐角
辐角 实轴正向到非零复数z所对应的向量oz 间的夹角 θ 满足 y tgθ = x 称为复数z 的辐角(Argument).
记作 θ = Argz ,任何非零复数都有无穷多个 的辐角.
24
辐角主值
常以a rg z表示一个特定值
−π < a rg z ≤ π
参考解答
(0 < ϕ ≤ π )
例4 求-4-3i 的辐角
参考解答
例5 已知z=x+iy(z=0),证明Argz=-Argz, 并讨论argz 和 argz 的关系.
y
i
0
r
θ
z ．,=y)x + iy (x
x
x
x = r cos θ y = r sin θ
(3) 指数形式
z = r cos θ + ir sin θ
Euler eiθ = cos θ + i sin θ
iθ
28
z = re
常根据需要,三种形式相互转换.
例3 将下复数化为指数形式
z = 1 − cos ϕ + i sin ϕ
32
例6
求复数 z = −4e
参考解答
π
3
i
的模和辐角主值.
例7
已知正三角形的两个顶点为(0,0),(3,2), 求另一顶点.
参考解答
完
33
思考 已知正方形的两个对角顶点为(0,0),(1,1),求另 一对顶点. Ref：(0,1),(1,0) y
z2
z1(1,1)
0
z3
x
完
34
复数的幂与方根
(2) z = 3 + i
参考解答
(0 < ϕ ≤ π )
完
23
辐角
辐角 实轴正向到非零复数z所对应的向量oz 间的夹角 θ 满足 y tgθ = x 称为复数z 的辐角(Argument).
记作 θ = Argz ,任何非零复数都有无穷多个 的辐角.
24
辐角主值
常以a rg z表示一个特定值
−π < a rg z ≤ π
参考解答
(0 < ϕ ≤ π )
例4 求-4-3i 的辐角
参考解答
例5 已知z=x+iy(z=0),证明Argz=-Argz, 并讨论argz 和 argz 的关系.
复变函数ppt课件
(iii) f (z) cn (z z0 )n n
有无穷多个负幂次项，称z=z0为~~本~~性~~奇~~点。
3. 性质
若z0为f (z)的可去奇点
f (z) cn(z z0 )n
n0
lim z z0
f (z) c0
补充定义：f (z0 ) c0 f (z)在z0解析.
若z0为f (z)的m (m 1) 级极点
----z=1为孤立奇点
f
(z)
1 sin
1
z
----z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,…)都是它的奇点
但 lim 1 0, 在z 0不论多么小的去心
n n
y
邻域内,总有f (z)的奇点存在，
故z
0不
是
1 sin
1
z
的孤立奇点。
这说明奇点未
o
x
必是孤立的。
2. 分类
以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根 据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：
(1 ez )'
ez
z i ( 2k 1)
z i ( 2k 1)
[cos (2k 1) i sin (2k 1)] 0
zk i(2k 1) (k 0,1,2,)是1 ez的一级零点
综合 z i为f (z)的二级极点; zk i(2k 1) (k 1,2,)为f (z)的 一 级 极 点.
而
f (m)(z0 ) m!
c0
0
必要性得证！
充分性略！
例如 z 0与z 1均为f (z) z(z 1)3的零点。 又f '(z) (z 1)3 3z(z 1)2
f "(z) 6(z 1)2 6z(z 1)
有无穷多个负幂次项，称z=z0为~~本~~性~~奇~~点。
3. 性质
若z0为f (z)的可去奇点
f (z) cn(z z0 )n
n0
lim z z0
f (z) c0
补充定义：f (z0 ) c0 f (z)在z0解析.
若z0为f (z)的m (m 1) 级极点
----z=1为孤立奇点
f
(z)
1 sin
1
z
----z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,…)都是它的奇点
但 lim 1 0, 在z 0不论多么小的去心
n n
y
邻域内,总有f (z)的奇点存在，
故z
0不
是
1 sin
1
z
的孤立奇点。
这说明奇点未
o
x
必是孤立的。
2. 分类
以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根 据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：
(1 ez )'
ez
z i ( 2k 1)
z i ( 2k 1)
[cos (2k 1) i sin (2k 1)] 0
zk i(2k 1) (k 0,1,2,)是1 ez的一级零点
综合 z i为f (z)的二级极点; zk i(2k 1) (k 1,2,)为f (z)的 一 级 极 点.
而
f (m)(z0 ) m!
c0
0
必要性得证！
充分性略！
例如 z 0与z 1均为f (z) z(z 1)3的零点。 又f '(z) (z 1)3 3z(z 1)2
f "(z) 6(z 1)2 6z(z 1)
复变函数与积分变换课件
傅里叶级数的性质
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
复变函数 ppt课件
z x iy
其中 i 为虚数单位，满足 i2 1
记号： x Re z , y Im z
若 x 0 ，则称 z iy 为纯虚数。
称复数 x iy 为复数 z x iy 的共轭复数,
记为 z x iy
注：１）两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相等； ２）两个复数之间无法比较大小，除非都是实数。
为arg z，这样，我们有：
Arg z arg z 2k
2020/12/27
15
arg z 与 arctan y 关系如下 x
arctan
y x
,
2
,
当x 0时 当x 0, y 0时
arg
z
2
,
当x 0, y 0时
arctan
y x
＋
,
当x
0,
y
0时
arctan
2020/12/27
4
x
arctan x
1
dx
1
x
(
1
1
)dx
0 1 x2
2i 0 i x i x
[ 1 2i
ln
i i
x x
]0x
1 2i
ln
i i
x x
1 2i
ln1
1 ln i x 2i i x
这样取X =1，得
arctan1 1 ln i 1
4
2i i 1
1 ln( i 1)2 4i i 1
除 法： z z1 z2
z2 z z1 (z2 0)
运算：
2020/12/27
z1 z1z2 z2 z2 z2
(z2 0)
10
容易证明，复数的运算满足分配律、交换律、结合律。 此外，共轭复数具有下列性质：
复变函数与积分变换第1章复数与复变函数精品PPT课件
（5）乘法对于加法的分配律 z1(z2z3)z1z2z1z3 复数运算的其它结果：
（1）z0z, 0z0 （2） z1z, z11
z
（3）若 z1z2 0，则 z 1 与 z 2 至少有一个为零， 反之亦然.
共轭复数的运算性质：
（1） z z
（2） z1z2 z1z2
（3） z1z2 z1z2
Argz
并规定按逆时针方向取值为正，顺时针方
向取值为负.
4.复数的三角表示式
称 zr(coissin )
为复数 z的三角表示式.
5.复数的指数表示式
称 z rei为复数 z的指数表示式.
例3 求 Arg2(2i)和 Arg3 (4i). 解
A 2 r2 i) g a (2 r 2 g i) 2 (k
25
25
zz(16 8i)1 ( 6 8i)64 25252525 125
1.1.3 复数的各种表示、模与辐角
1.复数的几何表示
由复数 zxiy的定义可知，复数是由一对 有序实数 (x, y) 惟一确定的，于是可建立全 体复数和 x O y 平面上的全部点之间的一一
对应关系，即可以用横坐标为 x，纵坐标
所以
rz (1)2( 3)22
设 argz,
则
tant 3 3
1
又因为 z1i 3 位于第II象限，
所以 argz 2 ,
于是
3
z 1i
3 2(cos2isin2)
i 2
2e 3
3
3
1.1.4. 复数的幂与根
1. 复数的乘幂
设 n为正整数，n个非零相同复数 z的乘积，
称为 的 z次幂n，记为 ，z即n
6
（1）z0z, 0z0 （2） z1z, z11
z
（3）若 z1z2 0，则 z 1 与 z 2 至少有一个为零， 反之亦然.
共轭复数的运算性质：
（1） z z
（2） z1z2 z1z2
（3） z1z2 z1z2
Argz
并规定按逆时针方向取值为正，顺时针方
向取值为负.
4.复数的三角表示式
称 zr(coissin )
为复数 z的三角表示式.
5.复数的指数表示式
称 z rei为复数 z的指数表示式.
例3 求 Arg2(2i)和 Arg3 (4i). 解
A 2 r2 i) g a (2 r 2 g i) 2 (k
25
25
zz(16 8i)1 ( 6 8i)64 25252525 125
1.1.3 复数的各种表示、模与辐角
1.复数的几何表示
由复数 zxiy的定义可知，复数是由一对 有序实数 (x, y) 惟一确定的，于是可建立全 体复数和 x O y 平面上的全部点之间的一一
对应关系，即可以用横坐标为 x，纵坐标
所以
rz (1)2( 3)22
设 argz,
则
tant 3 3
1
又因为 z1i 3 位于第II象限，
所以 argz 2 ,
于是
3
z 1i
3 2(cos2isin2)
i 2
2e 3
3
3
1.1.4. 复数的幂与根
1. 复数的乘幂
设 n为正整数，n个非零相同复数 z的乘积，
称为 的 z次幂n，记为 ，z即n
6
复变函数第五章-1
（5.2）
17
[证] 若 z 0 是 f (z) 的m阶零点，那么 f (z) 可表成 设 (z) 在 z 0的泰勒展开式为
f ( z ) ( z z0 )m ( z )
( z ) C0 C1 ( z z0 ) C2 ( z z0 )2
其中C0 z0 0 。 从而f (z) 在z 0 的泰勒展开式为
1 1 1 1 2 n z 1 2!( z 1) n!( z 1)
1 z 1
此级数含有无限多个负次幂项，故 z 1 是函数 e
的本性奇点。
16
§5.1.2 函数的零点与极点的关系
m 定义5.2 若 f ( z ) ( z z0 ) ( z ) ， (z) 在 z 0 处解析，且 z0 0 ，m为某一正整数，那么称 z 0 为 f (z) 的
sin z sin z 如果约定 在 z 0 的值为1(即C0)，那么 在z0 z z 就成为解析的了。 sin z sin z 因为 z 0 是 的可去奇点，故当z→0时， z z 有有限极限。此极限为上面展开式中的常数项。可得
重要极限
sin z lim 1 z 0 z
6
(2)极点 如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项，
由此可见：
如果补充定义 f (z) 在 z 0 的值为 f ( z0 ) C0 ，则 f (z) 在 z 0 解析。
因此，可去奇点的奇异性是可以除去的。
定理5.1′设 z 0 是 f (z) 的孤立奇点，则 z 0 是f (z) 的可去奇点 的充分必要条件是f (z) 在 z 0 的一个邻域内为有界。
0
[证]
必要性，因 z 0 是 f (z) 的可去奇点，故在 0 z z0 内有
17
[证] 若 z 0 是 f (z) 的m阶零点，那么 f (z) 可表成 设 (z) 在 z 0的泰勒展开式为
f ( z ) ( z z0 )m ( z )
( z ) C0 C1 ( z z0 ) C2 ( z z0 )2
其中C0 z0 0 。 从而f (z) 在z 0 的泰勒展开式为
1 1 1 1 2 n z 1 2!( z 1) n!( z 1)
1 z 1
此级数含有无限多个负次幂项，故 z 1 是函数 e
的本性奇点。
16
§5.1.2 函数的零点与极点的关系
m 定义5.2 若 f ( z ) ( z z0 ) ( z ) ， (z) 在 z 0 处解析，且 z0 0 ，m为某一正整数，那么称 z 0 为 f (z) 的
sin z sin z 如果约定 在 z 0 的值为1(即C0)，那么 在z0 z z 就成为解析的了。 sin z sin z 因为 z 0 是 的可去奇点，故当z→0时， z z 有有限极限。此极限为上面展开式中的常数项。可得
重要极限
sin z lim 1 z 0 z
6
(2)极点 如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项，
由此可见：
如果补充定义 f (z) 在 z 0 的值为 f ( z0 ) C0 ，则 f (z) 在 z 0 解析。
因此，可去奇点的奇异性是可以除去的。
定理5.1′设 z 0 是 f (z) 的孤立奇点，则 z 0 是f (z) 的可去奇点 的充分必要条件是f (z) 在 z 0 的一个邻域内为有界。
0
[证]
必要性，因 z 0 是 f (z) 的可去奇点，故在 0 z z0 内有
复变函数PPT第二章
(3) w z Re z.
解: (1) w z 2 x2 y2 , u x2 y2 , v 0,
u 2x, u 2 y, v 0, v 0.
x
y
x
y
z 偏导数在复平面上处处连续，但只在 =0满足C－R方程，
故函数 w z 2仅在 z 0 处可导, 且 f (z) 0．
在复平面内处处不解析.
x x y y 故 u v u v 0,
x y y x 所以 u 常数, v 常数,
因此 f (z) 在区域 D内为一常数.
参照以上例题可进一步证明:
如果 f (z) 在区域 D内解析, 则以下条件彼此等价.
(1) f (z)为常数;
(2) f (z) 0;
(3) f (z) 常数;
(2) f (z) e x (cos y i sin y) 指数函数 u e x cos y, v e x sin y,
u e x cos y, u e x sin y,
x
y
四个偏导数均连续
v e x sin y, v e x cos y,
x
y
且 u v , u v . x y y x
(4) f (z)解析;
(5) Re[ f (z)] 常数; (6) Im[ f (z)] 常数;
(7) v u2;
(8) arg f (z) 常数.
(9) au bv c（a，b，c为不全为零的实常数）.
思考题
(1)复变函数 f (z) 在点z0 可导与在z0 解析有无区别? (2)用柯西－黎曼条件判断f (z) u( x, y) iv( x, y) 解析时应注意什么?
6z6 10z4 z2 6z 1 . (z2 1)2
复变函数课件
2. 映射的概念
如用z平面上的点表示自变量 的值, 而用另一个平面w 如用 平面上的点表示自变量z的值 而用另一个平面 平面上的点表示自变量 的值 平面上的点表示函数w的值 则函数w=f(z)在几何上就 的值, 平面上的点表示函数 的值 则函数 在几何上就 可以看做是把z平面上的一个点集 定义集合)变到 平面上的一个点集G(定义集合 变到w平 可以看做是把 平面上的一个点集 定义集合 变到 平 面上的一个点集G*(函数值集合 的映射 或变换 这个 函数值集合)的 面上的一个点集 函数值集合 映射(或变换). 映射通常简称为由函数 由函数w=f(z)所构成的映射 如果 中 所构成的映射. 映射通常简称为由函数 所构成的映射 如果G中 的点z被映射 的点 被映射w=f(z)映射成 中的点w, 则w称为 的象 映射成G*中的点 称为z的 被映射 映射成 中的点 称为 (映象 而z称为 的原象 映象), 称为w的原象. 映象 称为
§5 复变函数
1. 复变函数的定义
是一个复数z=x+iy的集合 如果有一个确定的 的集合, 定义 设G是一个复数 是一个复数 的集合 法则存在, 按照这一法则, 对于集合G中的每一个复数 中的每一个复数z, 法则存在 按照这一法则 对于集合 中的每一个复数 就有一个或几个复数w=u+iv与之对应 则称复变数 是 与之对应, 就有一个或几个复数 与之对应 则称复变数w是 复变数z的函数 简称复变函数 的函数(简称复变函数), 复变数 的函数 简称复变函数 记作 w=f(z)
.
这就是说 lim u ( x, y ) = u 0 , lim v( x, y ) = v0
x → x0 y → y0 x → x0 y → y0
充分性: 充分性
高校工程数学第5节复变函数教学课件
同理直线 y 的象为:
v 2 4 2 ( 2 u),
以原点为焦点,开口相右的 抛物线.(图中蓝色曲线)
4、反函数定义
假定函数w = f ( z ) 的定义集合为G，函数值集合为 G*，那么G*中的每一个点必将对应着G中的一个 或几个点。 按照函数的定义，在G*上就确定了某一个函数 z=φ(w)，它称为函数w=f(z)的反函数，也称为映射 w=f(z)的逆映射。
u
w1 2 3i
z1 w1 , z2 w2 ,
ABC ABC .
（ 1）
映射
z1 w2
o
如果把z平面和w平面重叠在一起，不 难看出，函数是关于实轴的一个对称 映射，且是全同图形。 一般地，通过映射，z平面上的任一图 形的映象是关于实轴对称的一个全同
图形。
A
§1.5 复变函数
1、复变函数的定义 2、映射的概念 3、典型例题 4、小结与思考
一、复变函数的定义
1、复变函数的定义[定义] 设 Nhomakorabea是一个复数z=x+iy的集合，如果有一个 确定的法则存在，按照这一法则，对于集合G中 的每一个复数z，就有一个或几个相应的复数 w=u+iv随着而定（与之对应），那么称复变数w 是复变数z的函数（简称复变函数)，记作 w=f(z)
u=u(x,y)，v=v(x,y)
它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数。反之，
如果给定了两个二元实变函数u=u(x,y)和v=v(x,y)，那
么w=u(x,y)+iv(x,y)就构成了z=x+iy的一个复变函数 w=f(z)。
复变函数和实变函数的关系
例如，函数w=z2。令z=x+iy，w=u+iv，那么
复变函数解读课件
幂级数展开式的应用
幂级数展开式在数学、物理、工程等 领域有广泛的应用，如求解微分方程、
研究函数的奇点和极点等。
洛朗兹级数展开式
洛朗兹级数展开式的定义
01
将复变函数表示为洛朗兹函数的无穷级数形式，可以用于研究
函数的局部行为和性质。
洛朗兹级数展开式的收敛性
02
洛朗兹级数展开式在一定条件下收敛，收敛条件决定了函数的
解析函数的性 质
在解析区域内，解析函数具有无限次 可微性，且满足柯西-黎曼条件。
全纯函数的性质
全纯函数
如果一个复数函数在某个区域内有定义，并且在该区域内可微，则称该函数为全纯函数。
全纯函数的性质
全纯函数具有零点孤立性、增长性、最大值最小值定理等性质。
共轭函数与解析函数的判别
共轭函数
如果一个复数函数的共轭复数也满足解析函 数的条件，则称该函数为共轭函数。
复数的性质
复数具有加法、减法、乘法和除法等 运算性质，满足交换律、结合律和分 配律等基本运算规则。
复数的几何意 义
1 2
3
复平面
复数可以用几何图形表示，通常在直角坐标系中，实部表示 为横轴，虚部表示为纵轴，形成一个二维平面称为复平面。
点的表示
每个复数$z=a+bi$在复平面上对应一个点$(a,b)$。
连续性的性质
连续性具有传递性、局部性等性质，并且满足中值定理。
一致连续与一致收敛
一致连续是指函数在整个定义域上具有连续性，而一致收敛则是 指函数序列在无穷远点处的极限存在。
一致连续与一致收敛
01
一致连续的定义
如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正数$delta$，使得当两
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的(z-负z0幂) 项的项数分
1）零个， 2）有限个， 3）无穷多个，
则分别称 z为0 f (的z)可去奇点、极点和本性奇点。
且当
z
为极点时，若级数中负幂的系数
0
cm 0
并且 c n 0(n m 1 则, 称m 为2 , 的), z 0 f (z)
m级极点，一级极点又称为简单极点。
z z 2 !
n !
11z 1zn1 , 0z
2!
n!
无负幂项
所以 z0为 e z 1 z
的可去奇点.
另解 因为 lim ez1lim ez 1,
z0 z
z0
所以 z0为 e z 1 的可去奇点.
z
13
例 sizn11z21z4中不含负幂项,
解：z=0是函数f(z)的奇点，zk=2/[(2k+1)π](k 为整数)是它的孤立奇点。由于当 k时， ，
因此，zk z=0是它的奇点而不是孤立奇点。另外，
f(z)在环域
内解析，2 z
z 是它的孤立奇点。
6
讨论函数在孤立奇点的情况
如果点
z
为函数
0
f的( z )孤立奇点，则在点
(5-1- 2)
其和函数 F(z)在 z 0 处解析.
9
无论 f (z) 在 z 0 是否有定义, 可补充定义
F (z0)c0lz iz0m f(z)
则函数 F(z) 在 zz0 解析.
(由于这个原因，因此把这样的奇点 z叫0 做f(z)的
可去奇点。)
反过来，若 f (z) 在 0zz0解析， 且
2Mn12Mn
当 0 时， n ,对 有 c n 0 负 ；c 整 n 从 0 ; 数 而
这样得到下面的结论：
11
设 f(z)在 0zz0R 上解则析 z 0 为 ， f (z)
的可去奇点的充要条件为 lim f (z)存在并且是有限值。 zz0
由定义判断: 如果 f (z)在 z 0 的 Laurent 级数无负 幂项, 则 z 0 为 f (z) 的可去奇点.
即 f ( z ) c m ( z z 0 ) m c 2 ( z z 0 ) 2 c 1 ( z z 0 ) 1 c 0 c 1 (z z0 ) (m 1 ,c m 0 )
3
一Δ 、函数孤立奇点的概念及其分类
定义 如果函数 f (z) 在 z不0 解析, 但 f (z) 在
z 0 的某一去心邻域 0 zz0 内处处解析, 则 称 z 0 为 f (z) 的孤立奇点.
例1
z0是函数
1
ez,
sin z 的孤立奇点.
z
z1是函数
1 z1
的孤立奇点.
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤
立奇点. 4
例2
指出函数
f (z)
z2 sin
1
在点
z 0的奇点特性.
z
解 函数的奇点为
z 0, z 1
k
因为l i m1 0，
k k
(k1,2, )
即在 z0的不论怎样小的去心邻域内, 总有 f (z) 的奇点存在, 所以z0不是孤立奇点.
5
例3 指出函数 f (z) co的s11孤z立 奇点
的去心z邻0域
， 0 z f (z)
的 Laurent 级数展开式为
ezz11 z n 0n 1!zn1 n 1n 1!zn1
显然不含负幂项。
15
2 极点
定义 如果Laurent级数中只有有限多个z z0的 负幂项, 其中关于 (zz0)1的最高幂为 (zz0)m,
lim f (z) 存在， 则 z必0 是 f的(z可) 去奇点。
zz0
事实上：
由
lim
zz0
f
(z)
存在，
f
(z)在
z
0
的某邻域
有界。
10
即 M 0 ， 0 0 ,在 0zz00内，有
f(z)M, 取 00,则C 在 :zz0上
1 f(z)
cn 2i c(zz0)n1dz
本章主要讨论计算函数积分的新方法：利用 函数的孤立奇点的留数来计算积分的方法。
1
第五章 留数及其应用
5-1 函数的孤立奇点及其分类 5-2 留数和留数定理 5-3 留数在定积分计算中的应用 5-4**幅角原理及其应用
2
5-1 函数的孤立奇点及其分类
一Δ、函数孤立奇点的概念及其分类 二、函数各类孤立奇点的充要条件 三、用函数的零点判断极点的类型 四*、函数在无穷远点的性态
由极限判断： 若极限 lim f (z) 存在且为有限值, zz0 则 z 0 为 f (z) 的可去奇点.
注：函数f(z)的可去奇点z0看作它的解析点，且
规定 f(z0)c0
12
例 说明 z0为 e z 1 的可去奇点. z
解 e z 1 1(1z1z2 1zn 1 )
z
3! 5!
z 0 是
sin z
z
的可去奇点
.
如果补充定义:
z0时, sin z 1, z
那末
sin z
z
在
z 0解析.
14
例 z=0为函数 f(z)(ez的1孤) z立点，且当
z时0， f(，z)因此1 z=0为它的可去奇点，且可
补充定义 ，f使(0)它处1 处解析。其中 在点
8
二、函数各类孤立奇点的充要条件
1 可去奇点
定义 如果Laurent级数中不含 z 的z0 负幂项, 则称孤立奇点 z 称0 为 f (的z)可去奇点.
z0若是 f(z)的孤立奇点在 ，0 则zz0内
f ( z ) c 0 c 1 ( z z 0 ) c n ( z z 0 ) n
从上一章可以看出，利用将函数 f (z)在其解 析的环域 R1|z-z0|R2 内展开成 Laurent 级 数的方法，根据该级数系数的积分表达式
1
c1
2i
C
f
(z)dz
可以计算右端的积分, 其中C 是该环域内围绕点
z 0 的正向简单闭曲线。这里 C的内部可能有函
数 f (z) 的有限个甚至无穷多个奇点。
某去z 0
心邻域
0内z可z设0 的Laurefn(zt)级数展开式
为
f(z) cn(zz0)n
(5-1-1)
n
其中
1 f(z)dz
cn2i c (zz0)n1
(n为整) 数 (5-1-1a)
C为该去心邻域内围绕点 的z 0 任一条正向简单闭 曲线。
7
定义1 若级数 (5-1中-1所) 含 别为