复变函数-工科复变5-1-PPT课件
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3
一Δ 、函数孤立奇点的概念及其分类
定义 如果函数 f (z) 在 z不0 解析, 但 f (z) 在
z 0 的某一去心邻域 0 zz0 内处处解析, 则 称 z 0 为 f (z) 的孤立奇点.
例1
z0是函数
1
ez,
sin z 的孤立奇点.
z
z1是函数
1 z1
的孤立奇点.
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤
的(z-负z0幂) 项的项数分
1）零个， 2）有限个， 3）无穷多个，
则分别称 z为0 f (的z)可去奇点、极点和本性奇点。
且当
z
为极点时，若级数中负幂的系数
0
cm 0
并且 c n 0(n m 1 则, 称m 为2 , 的), z 0 f (z)
m级极点，一级极点又称为简单极点。
8
二、函数各类孤立奇点的充要条件
1 可去奇点
定义 如果Laurent级数中不含 z 的z0 负幂项, 则称孤立奇点 z 称0 为 f (的z)可去奇点.
z0若是 f(z)的孤立奇点在 ，0 则zz0内
f ( z ) c 0 c 1 ( z z 0 ) c n ( z z 0 ) n
的去心z邻0域
， 0 z f (z)
的 Laurent 级数展开式为
ezz11 z n 0n 1!zn1 n 1n 1!zn1
显然不含负幂项。
15
2 极点
定义 如果Laurent级数中只有有限多个z z0的 负幂项, 其中关于 (zz0)1的最高幂为 (zz0)m,
某去z 0
心邻域
0内z可z设0 的Laurefn(zt)级数展开式
为
f(z) cn(zz0)n
(5-1-1)
n
其中
1 f(z)dz
cn2i c (zz0)n1
(n为整) 数 (5-1-1a)
C为该去心邻域内围绕点 的z 0 任一条正向简单闭 曲线。
7
定义1 若级数 (5-1中-1所) 含 别为
z z 2 !
n !
11z 1zn1 , 0z
2!
n!
无负幂项
所以 z0为 e z 1 z
的可去奇点.
另解 因为 lim ez1lim ez 1,
z0 z
z0
所以 z0为 e z 1 的可去奇点.
z
13
例 sizn11z21z4中不含负幂项,
(5-1- 2)
其和函数 F(z)在 z 0 处解析.
9
无论 f (z) 在 z 0 是否有定义, 可补充定义
F (z0)c0lz iz0m f(z)
则函数 F(z) 在 zz0 解析.
(由于这个原因，因此把这样的奇点 z叫0 做f(z)的
可去奇点。)
反过来，若 f (z) 在 0zz0解析， 且
z
3! 5!
z 0 是
sin z
z
的可去奇点
.
如果补充定义:
z0时, sin z 1, z
那末
sin z
z
在
z 0解析.
14
例 z=0为函数 f(z)(ez的1孤) z立点，且当
z时0， f(，z)因此1 z=0为它的可去奇点，且可
补充定义 ，f使(0)它处1 处解析。其中 在点
即 f ( z ) c m ( z z 0 ) m c 2 ( z z 0 ) Baidu Nhomakorabea 2 c 1 ( z z 0 ) 1 c 0 c 1 (z z0 ) (m 1 ,c m 0 )
从上一章可以看出，利用将函数 f (z)在其解 析的环域 R1|z-z0|R2 内展开成 Laurent 级 数的方法，根据该级数系数的积分表达式
1
c1
2i
C
f
(z)dz
可以计算右端的积分, 其中C 是该环域内围绕点
z 0 的正向简单闭曲线。这里 C的内部可能有函
数 f (z) 的有限个甚至无穷多个奇点。
立奇点. 4
例2
指出函数
f (z)
z2 sin
1
在点
z 0的奇点特性.
z
解 函数的奇点为
z 0, z 1
k
因为l i m1 0，
k k
(k1,2, )
即在 z0的不论怎样小的去心邻域内, 总有 f (z) 的奇点存在, 所以z0不是孤立奇点.
5
例3 指出函数 f (z) co的s11孤z立 奇点
由极限判断： 若极限 lim f (z) 存在且为有限值, zz0 则 z 0 为 f (z) 的可去奇点.
注：函数f(z)的可去奇点z0看作它的解析点，且
规定 f(z0)c0
12
例 说明 z0为 e z 1 的可去奇点. z
解 e z 1 1(1z1z2 1zn 1 )
lim f (z) 存在， 则 z必0 是 f的(z可) 去奇点。
zz0
事实上：
由
lim
zz0
f
(z)
存在，
f
(z)在
z
0
的某邻域
有界。
10
即 M 0 ， 0 0 ,在 0zz00内，有
f(z)M, 取 00,则C 在 :zz0上
1 f(z)
cn 2i c(zz0)n1dz
本章主要讨论计算函数积分的新方法：利用 函数的孤立奇点的留数来计算积分的方法。
1
第五章 留数及其应用
5-1 函数的孤立奇点及其分类 5-2 留数和留数定理 5-3 留数在定积分计算中的应用 5-4**幅角原理及其应用
2
5-1 函数的孤立奇点及其分类
一Δ、函数孤立奇点的概念及其分类 二、函数各类孤立奇点的充要条件 三、用函数的零点判断极点的类型 四*、函数在无穷远点的性态
2Mn12Mn
当 0 时， n ,对 有 c n 0 负 ；c 整 n 从 0 ; 数 而
这样得到下面的结论：
11
设 f(z)在 0zz0R 上解则析 z 0 为 ， f (z)
的可去奇点的充要条件为 lim f (z)存在并且是有限值。 zz0
由定义判断: 如果 f (z)在 z 0 的 Laurent 级数无负 幂项, 则 z 0 为 f (z) 的可去奇点.
解：z=0是函数f(z)的奇点，zk=2/[(2k+1)π](k 为整数)是它的孤立奇点。由于当 k时， ，
因此，zk z=0是它的奇点而不是孤立奇点。另外，
f(z)在环域
内解析，2 z
z 是它的孤立奇点。
6
讨论函数在孤立奇点的情况
如果点
z
为函数
0
f的( z )孤立奇点，则在点
一Δ 、函数孤立奇点的概念及其分类
定义 如果函数 f (z) 在 z不0 解析, 但 f (z) 在
z 0 的某一去心邻域 0 zz0 内处处解析, 则 称 z 0 为 f (z) 的孤立奇点.
例1
z0是函数
1
ez,
sin z 的孤立奇点.
z
z1是函数
1 z1
的孤立奇点.
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤
的(z-负z0幂) 项的项数分
1）零个， 2）有限个， 3）无穷多个，
则分别称 z为0 f (的z)可去奇点、极点和本性奇点。
且当
z
为极点时，若级数中负幂的系数
0
cm 0
并且 c n 0(n m 1 则, 称m 为2 , 的), z 0 f (z)
m级极点，一级极点又称为简单极点。
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二、函数各类孤立奇点的充要条件
1 可去奇点
定义 如果Laurent级数中不含 z 的z0 负幂项, 则称孤立奇点 z 称0 为 f (的z)可去奇点.
z0若是 f(z)的孤立奇点在 ，0 则zz0内
f ( z ) c 0 c 1 ( z z 0 ) c n ( z z 0 ) n
的去心z邻0域
， 0 z f (z)
的 Laurent 级数展开式为
ezz11 z n 0n 1!zn1 n 1n 1!zn1
显然不含负幂项。
15
2 极点
定义 如果Laurent级数中只有有限多个z z0的 负幂项, 其中关于 (zz0)1的最高幂为 (zz0)m,
某去z 0
心邻域
0内z可z设0 的Laurefn(zt)级数展开式
为
f(z) cn(zz0)n
(5-1-1)
n
其中
1 f(z)dz
cn2i c (zz0)n1
(n为整) 数 (5-1-1a)
C为该去心邻域内围绕点 的z 0 任一条正向简单闭 曲线。
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定义1 若级数 (5-1中-1所) 含 别为
z z 2 !
n !
11z 1zn1 , 0z
2!
n!
无负幂项
所以 z0为 e z 1 z
的可去奇点.
另解 因为 lim ez1lim ez 1,
z0 z
z0
所以 z0为 e z 1 的可去奇点.
z
13
例 sizn11z21z4中不含负幂项,
(5-1- 2)
其和函数 F(z)在 z 0 处解析.
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无论 f (z) 在 z 0 是否有定义, 可补充定义
F (z0)c0lz iz0m f(z)
则函数 F(z) 在 zz0 解析.
(由于这个原因，因此把这样的奇点 z叫0 做f(z)的
可去奇点。)
反过来，若 f (z) 在 0zz0解析， 且
z
3! 5!
z 0 是
sin z
z
的可去奇点
.
如果补充定义:
z0时, sin z 1, z
那末
sin z
z
在
z 0解析.
14
例 z=0为函数 f(z)(ez的1孤) z立点，且当
z时0， f(，z)因此1 z=0为它的可去奇点，且可
补充定义 ，f使(0)它处1 处解析。其中 在点
即 f ( z ) c m ( z z 0 ) m c 2 ( z z 0 ) Baidu Nhomakorabea 2 c 1 ( z z 0 ) 1 c 0 c 1 (z z0 ) (m 1 ,c m 0 )
从上一章可以看出，利用将函数 f (z)在其解 析的环域 R1|z-z0|R2 内展开成 Laurent 级 数的方法，根据该级数系数的积分表达式
1
c1
2i
C
f
(z)dz
可以计算右端的积分, 其中C 是该环域内围绕点
z 0 的正向简单闭曲线。这里 C的内部可能有函
数 f (z) 的有限个甚至无穷多个奇点。
立奇点. 4
例2
指出函数
f (z)
z2 sin
1
在点
z 0的奇点特性.
z
解 函数的奇点为
z 0, z 1
k
因为l i m1 0，
k k
(k1,2, )
即在 z0的不论怎样小的去心邻域内, 总有 f (z) 的奇点存在, 所以z0不是孤立奇点.
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例3 指出函数 f (z) co的s11孤z立 奇点
由极限判断： 若极限 lim f (z) 存在且为有限值, zz0 则 z 0 为 f (z) 的可去奇点.
注：函数f(z)的可去奇点z0看作它的解析点，且
规定 f(z0)c0
12
例 说明 z0为 e z 1 的可去奇点. z
解 e z 1 1(1z1z2 1zn 1 )
lim f (z) 存在， 则 z必0 是 f的(z可) 去奇点。
zz0
事实上：
由
lim
zz0
f
(z)
存在，
f
(z)在
z
0
的某邻域
有界。
10
即 M 0 ， 0 0 ,在 0zz00内，有
f(z)M, 取 00,则C 在 :zz0上
1 f(z)
cn 2i c(zz0)n1dz
本章主要讨论计算函数积分的新方法：利用 函数的孤立奇点的留数来计算积分的方法。
1
第五章 留数及其应用
5-1 函数的孤立奇点及其分类 5-2 留数和留数定理 5-3 留数在定积分计算中的应用 5-4**幅角原理及其应用
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5-1 函数的孤立奇点及其分类
一Δ、函数孤立奇点的概念及其分类 二、函数各类孤立奇点的充要条件 三、用函数的零点判断极点的类型 四*、函数在无穷远点的性态
2Mn12Mn
当 0 时， n ,对 有 c n 0 负 ；c 整 n 从 0 ; 数 而
这样得到下面的结论：
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设 f(z)在 0zz0R 上解则析 z 0 为 ， f (z)
的可去奇点的充要条件为 lim f (z)存在并且是有限值。 zz0
由定义判断: 如果 f (z)在 z 0 的 Laurent 级数无负 幂项, 则 z 0 为 f (z) 的可去奇点.
解：z=0是函数f(z)的奇点，zk=2/[(2k+1)π](k 为整数)是它的孤立奇点。由于当 k时， ，
因此，zk z=0是它的奇点而不是孤立奇点。另外，
f(z)在环域
内解析，2 z
z 是它的孤立奇点。
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讨论函数在孤立奇点的情况
如果点
z
为函数
0
f的( z )孤立奇点，则在点