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在职研究生考试数学测试练习题

微积分

（1）设)(x y 是微分方程x e y x y x y =+'-+''2)1(的满足0)0(=y ，1)0(='y 的解，则

2

)(lim

x

x

x y x -→（）

（A ）等于0.

（B ）等于1.

（C ）等于2.

（D ）不存在.

解20

00()()1()1

lim

lim lim (0)222

x x x y x x y x y x y x x →→→'''--''===， 将0x =代入方程，得2

(0)(1)(0)(0)1y x y x y '''+-+=，又0)0(=y ，1)0(='y ，故(0)2y ''=， 所以2

()lim

1x y x x

x →-=，选择B. （2）设在全平面上有0)

,(<∂∂x

y x f ，

0),(>∂∂y y x f ，则保证不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的条件是（）

（A ）21x x >，21y y <. （B ）21x x <，21y y <. （C ）21x x >，21y y >.

（D ）21x x <，21y y >.

解

(,)

0(,)f x y f x y x

∂<⇒∂关于x 单调减少， (,)

0(,)f x y f x y y

∂>⇒∂关于y 单调增加， 当21x x >，21y y <时，112122(,)(,)(,)f x y f x y f x y <<，选择A.

（3）设)(x f 在),(+∞-∞存在二阶导数，且)()(x f x f --=，当0

()0f x ''>，则当0>x 时有（）

（A ）0)(,0)(>''<'x f x f . （B ）0)(,0)(<''>'x f x f . （C ）0)(,0)(>''>'x f x f . （D ）0)(,0)(<''<'x f x f . 解【利用数形结合】

)(x f 为奇函数，当0时，)(x f 的图形为

递减的凸曲线，选择D.

（4）设函数)(x f 连续，且(0)0f '<，则存在0δ>，使得（）

（A ）在(0,)δ内单调增加 （B ）在(,0)δ-内单调减少

（C ）对任意的(0,)x δ∈，有()(0)f x f > （D ）对任意的(,0)x δ∈-，有()(0)f x f >

解【利用导数的定义和极限的保号性】0()(0)

(0)lim 0x f x f f x →-'=<，

由极限的的保号性，(0,)U δ∃，在此邻域内，()(0)

0f x f x

-<，

所以对任意的(,0)x δ∈-，有()(0)f x f >，选择D.

(5) 函数

在下列哪个区间内有界.

(A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3).

[ A ]

【分析】如f (x)在(a , b)内连续，且极限与存在，则

函数f (x)

在(a , b)内有界.

【详解】当x ≠ 0 , 1 , 2时，f (x)连续，而，

，

，，，

所以，函数f (x)在(-1 , 0)内有界，故选(A).

【评注】一般地，如函数f (x)在闭区间[a , b]上连续，则f (x)在闭区间[a , b]上有界；如函数 f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限与

存在，则函数f (x)在开区间(a , b)内有界.

（6）设f (x)在(-∞ , +∞)内有定义，且，

2)2)(1()

2sin(||)(---=

x x x x x x f )

(lim x f a

x +

→)

(lim x f b

x -

→183sin )(lim 1

-

=+

-→x f x 42sin )(lim 0-

=-

→x f x 42

sin )(lim 0=

+

→x f x ∞=→)(lim 1x f x ∞=→)(lim 2x f x )

(lim x f a

x +

→)

(lim x f b x -

→a

x f x =∞→)(lim

，则

(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间

断点.

(C) x = 0必是g(x)的连续点.

(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a 的取值有关.

[ D ]

【分析】考查极限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换

元

，

可将极限转化为.

【详解】因为= a(令

)，又g(0) = 0，所以，

当a = 0时，，即g(x)在点x = 0处连续，当a ≠ 0时，

，即x = 0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x = 0

处的连续性

与a 的取值有关，故选(D).

【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.

(7) 设f (x) = |x(1 - x)|，则

(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点. (B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.

⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00

,)1()(x x x

f x

g )

(lim 0x g x →x u 1

=

)

(lim 0

x g x →)

(lim x f x ∞

→)(lim )1(lim )(lim 00u f x f x g u x x ∞→→→==x u 1

=

)

0()(lim 0

g x g x =→)

0()(lim 0

g x g x ≠→