郑州市八校联考2018-2019学年上学期高二理科数学试题(含答案解析)
2018-2019年河南数学高二水平会考真题及答案解析
2018-2019年河南数学高二水平会考真题及答案解析班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、选择题1.如图,下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止.用下面对应的图象显示该容器中水面的高度和时间之间的关系，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】试题分析：根据题意，由于四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止，那么单位时间内进去的水量相等，选项A，应该是匀速上升，错误，选项B，先快后慢，成立，对不C，先快后慢，再快，故答案成立，丢与D,由于先慢后快再慢，故成立，因此正确的选项为B考点：函数图象点评：主要是考查了函数解析式与函数图象的关系，属于基础题。
2.设函数的定义域为R，是的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．B．是的极小值点C．是的极小值点D．是的极小值点【答案】D【解析】试题分析：对于A 项，x 0（x 0≠0）是f （x ）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大；对于B 项，f （－x ）是把f （x ）的图象关于y 轴对称，因此，－x 0是f （－x ）的极大值点；对于C 项，－f （x ）是把f （x ）的图象关于x 轴对称，因此，x 0是－f （x ）的极小值点； 对于D 项，－f （－x ）是把f （x ）的图象分别关于x 轴、y 轴做对称，因此－x 0是－f （－x ）的极小值点． 故选D ．考点：命题及命题的否定，函数的极值。
点评：小综合题，关键是理解命题的概念，明确函数存在极值的条件。
3.设, ，则的大小关系是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：根据题意，由于，，故那么有A-B=，故可知结论为，选B.考点：比较大小点评：主要是考查了运用作差法的思想，来比较大小，属于基础题。
2019-2020学年河南省郑州市八校高二(上)期中数学试卷(理科)(PDF版 含答案)
有 x2 x 1 0 ，推理对．
故选： A ．
5．已知在 ABC 中内角 ABC 的对边分别为 ab 边 c 上的高为 ab cos C ，ab 2 2 ，则角 C 的 c
一项是符合题目要求的． 1．已知 a 0 ， 1 b 0 ，则有 ( )
A． ab2 ab a
B． a ab ab2
【解答】解： a 0 ， 1 b 0 ，
C． ab b ab2
0 b2 1 ， ab 0 ，
ab2 a ， ab2 ab ， ab a ，
【解答】解：对于选项 A ，由命题 p q 为假命题可知命题 p 和命题 p 至少有一个为假，命 题 p 、 q 均为假命题错误，所以选则 A 项．
对于 B 项，x 1 x2 3x 2 0 ，但是 x2 3x 2 0 x 1 故“ x 1 ”是“ x2 3x 2 0 ” 的充分不必要条件，判断对．
C． ab b ab2
2．在 ABC 中， A 45 ， B 60 ， a 2 ，则 b 等于 ( )
D． ab ab2 a
A． 6
B． 2
C． 3
D． 2 6
3．设{an} 是公比为 q 的等比数列，则“ q 1”是“{an} 为递增数列”的 ( )
A．充分而不必要条件
数 a 的取值范围是 ( )
A．
(
，
3 2
][
3 2
，
)
C．
郑州市高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
郑州市高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=|x|（x∈R）B．y=（x≠0）C．y=x（x∈R）D．y=﹣x3（x∈R）2．若如图程序执行的结果是10，则输入的x的值是（）A．0B．10C．﹣10D．10或﹣103．棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．18C．D．4．若关于x的方程x3﹣x2﹣x+a=0（a∈R）有三个实根x1，x2，x3，且满足x1＜x2＜x3，则a的取值范围为（）A．a＞B．﹣＜a＜1C．a＜﹣1D．a＞﹣15．一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为12π，则该几何体的体积是（）A ．4πB ．12πC ．16πD ．48π6． 在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（ ）A ．最多可以购买4份一等奖奖品B ．最多可以购买16份二等奖奖品C ．购买奖品至少要花费100元D ．共有20种不同的购买奖品方案7． 已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得e 1[,1]x e∈[1,1]y ∈-2ln 1yx x a y e -++=成立，则实数的取值范围是（ ）a A.B.C.D.1[,]e e2(,]e e2(,)e +∞21(,)e e e+【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力．8． 已知变量满足约束条件，则的取值范围是（ ）,x y 20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩y x A ． B ．C ．D ．9[,6]59(,][6,)5-∞+∞ (,3][6,)-∞+∞ [3,6]9． 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A. B. C. D. 78910【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是循环语句循环终止的条件.10．若，，则不等式成立的概率为（）[]0,1b ∈221a b +≤A ．B ．C ．D ．16π12π8π4π11．已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣2x 2，则f （2）+g （2）=（ ）A ．16B ．﹣16C ．8D ．﹣812．已知圆C ：x 2+y 2=4，若点P （x 0，y 0）在圆C 外，则直线l ：x 0x+y 0y=4与圆C 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定二、填空题13．已知满足，则的取值范围为____________.,x y 41y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩22223y xy x x -+14．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=，对任意的m ∈[﹣2，2]，f （mx ﹣3x x +2）+f （x ）＜0恒成立，则x 的取值范围为_____．15．设函数，若用表示不超过实数m 的最大整数，则函数的值域为 ．16．若P （1，4）为抛物线C ：y 2=mx 上一点，则P 点到该抛物线的焦点F 的距离为|PF|= ．17．已知直线：（）被圆：所截的弦长是圆心到直线的043=++m y x 0>m C 062222=--++y x y x C 距离的2倍，则 .=m 18．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知数列{S n }是首项和公比都是3的等比数列，则{a n }的通项公式a n = ． 三、解答题19．（本小题满分10分）直线l 的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R ，ρ≠0），其中α∈[0，π），曲线C 1的参数方程为（t 为参数），圆C 2的普通方程为x 2＋y 2＋2x ＝0.{x ＝cos t y ＝1＋sin t)3（1）求C 1，C 2的极坐标方程；（2）若l 与C 1交于点A ，l 与C 2交于点B ，当|AB |＝2时，求△ABC 2的面积．20．已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2﹣19n+1，记T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |．（1）求S n 的最小值及相应n 的值；（2）求T n ．21．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆及等腰直角三角形，其中，为O EFH FE FH ⊥裁剪出面积尽可能大的梯形铁片（不计损耗），将点放在弧上，点放在斜边上，ABCD ,A B EF ,C D EH 且，设.////AD BC HF AOE θ∠=（1）求梯形铁片的面积关于的函数关系式；ABCD S θ（2）试确定的值，使得梯形铁片的面积最大，并求出最大值.θABCD S22．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边之长依次为a ，b ，c ，且cosA=，5（a 2+b 2﹣c 2）=3ab ．（Ⅰ）求cos2C 和角B 的值；（Ⅱ）若a ﹣c=﹣1，求△ABC 的面积．23．已知函数f （x ）=x 2﹣（2a+1）x+alnx ，a ∈R （1）当a=1，求f （x ）的单调区间；（4分）（2）a ＞1时，求f （x ）在区间[1，e]上的最小值；（5分）（3）g （x ）=（1﹣a ）x ，若使得f （x 0）≥g （x 0）成立，求a 的范围.24．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC 内种植花卉.已知AB 长为1千米，设角AC 边长为BC 边长的,C θ=()1a a >倍，三角形ABC 的面积为S （千米2）.试用和表示；θa S （2）若恰好当时，S 取得最大值，求的值.60θ= a郑州市高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：y=|x|（x∈R）是偶函数，不满足条件，y=（x≠0）是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件，y=x（x∈R）是奇函数，在定义域上是增函数，不满足条件，y=﹣x3（x∈R）奇函数，在定义域上是减函数，满足条件，故选：D2．【答案】D【解析】解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，当x＜0，时﹣x=10，解得：x=﹣10当x≥0，时x=10，解得：x=10故选：D．3．【答案】D【解析】解：由三视图可知正方体边长为2，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示：故该几何体的表面积为：3×22+3×（）+=，故选：D．4．【答案】B【解析】解：由x3﹣x2﹣x+a=0得﹣a=x3﹣x2﹣x，设f（x）=x3﹣x2﹣x，则函数的导数f′（x）=3x2﹣2x﹣1，由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得﹣＜x＜1，此时函数单调递减，即函数在x=1时，取得极小值f（1）=1﹣1﹣1=﹣1，在x=﹣时，函数取得极大值f（﹣）=（﹣）3﹣（﹣）2﹣（﹣）=，要使方程x3﹣x2﹣x+a=0（a∈R）有三个实根x1，x2，x3，则﹣1＜﹣a＜，即﹣＜a＜1，故选：B．【点评】本题主要考查导数的应用，构造函数，求函数的导数，利用导数求出函数的极值是解决本题的关键． 5．【答案】B【解析】解：由三视图可知几何体是底面半径为2的圆柱，∴几何体的侧面积为2π×2×h=12π，解得h=3，∴几何体的体积V=π×22×3=12π．故选B．【点评】本题考查了圆柱的三视图，结构特征，体积，表面积计算，属于基础题．6．【答案】D【解析】【知识点】线性规划【试题解析】设购买一、二等奖奖品份数分别为x，y，则根据题意有：，作可行域为：A(2，6)，B(4，12)，C(2，16)．在可行域内的整数点有：（2，6），（2，7），……．（2，16），（3，9），（3，10），……．．(3，14)，(4，12)，共11+6+1=18个。
河南省名校2018-2019学年高二5月联考数学(理科)试题(解析版)
河南省名校2018～2019学年高二5月联考数学(理科)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}2|,{0,1,2}A x ax x B ===，若A B ⊆，则实数a 的值为（ ）A. 1或2B. 0或1C. 0或2D. 0或1或2【答案】D 【解析】 【分析】就0a =和0a ≠分类讨论即可. 【详解】因为当0a =时，{}2|0{0}A x x===，满足A B ⊆；当0a ≠时，{0,}A a =，若A B ⊆，所以1a =或2.综上，a 的值为0或1或2.故选D.【点睛】本题考查集合的包含关系，属于基础题，解题时注意利用集合中元素的性质（如互异性、确定性、无序性）合理分类讨论.2.复数22i+（i 为虚数单位）的虚部是（ ） A. 25- B. 25C. 25i - D. 25i【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法可得242255i i =-+后，从而可得其虚部. 【详解】22(2)422(2)(2)55i i i i i -==-++-，所以复数22i+的虚部是25-.故选A. 【点睛】本题考查复数的除法及其复数的概念，注意复数(),a bi a b R +∈的虚部是b ，不是bi ，这是复数概念中的易错题.3.“3,a b ==22222(0,0)x y a b a b -=->>的离心率为2”的（ ） A. 充要条件B. 必要补充分条件C. 既不必要也不充分条件D. 充分不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】当3,a b ==时，我们只能得到a b =之间的条件关系.【详解】当3,a b ==22222x y a b -=-化为标准方程是2212418y x -=，其离心率是e ==；但当双曲线22222(0,0)x y a b a b -=->>时，即22221(0,0)22y x a b b a -=>>的离心率为22=，得a b =所以不一定非要3,a b ==故“3,a b ==22222x y a b -=-(0,0)a b >>”的充分不必要条件.故选D.【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.4.某市某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛.现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响.现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则其中一名同学得2分的概率为（）A. 0.5B. 0.48C. 0.4D. 0.32【答案】B【解析】【分析】事件“第一次投进球”和“第二次投进球”是相互独立的，利用对立事件和相互独立事件可求“其中一名同学得2分”的概率.【详解】设“第一次投进球”为事件A，“第二次投进球”为事件B，则得2分的概率为+⨯=.故选B.=+=⨯0.60.60.40.4()()0.4p P A B P AB【点睛】本题考查对立事件、相互独立事件，注意互斥事件、对立事件和独立事件三者之间的区别，互斥事件指不同时发生的事件，对立事件指不同时发生的事件且必有一个发生的两个事件，而独立事件指一个事件的发生与否与另一个事件没有关系.5.《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（176两），问玉、石重各几何?”其意思：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两?”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x，y分别为（）A. 96,80B. 100,76C. 98,78D. 94,82【答案】C 【解析】 【分析】流程图的作用是求出112776x y +=的一个解，其中90,86x y ≥≤且x 为偶数，逐个计算可得输出值. 【详解】执行程序：90,86,27;92,84,27;94,82,27;96x y s x y s x y s x ==≠==≠==≠=，80,27;98y s x =≠=78,27y s ==，故输出的,x y 分别为98,78.故选C.【点睛】本题考查算法中的循环结构、选择结构，读懂流程图的作用是关键，此类题是基础题. 6.632(1)x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中，含3x 项的系数为（ ） A. 45 B. 30C. 75D. 60【答案】C 【解析】 【分析】考虑6(1)x +展开式中2CF PC ==及2x 系数可得所求的系数.【详解】在6(1)x +中，222444365615,15T C x x T C x x ====，因此展开式3x 项的系数是21531575⨯+⨯=.故选C.【点睛】二项展开式中指定项的系数，可利用赋值法来求其大小，也可以利用二项展开式的通项结合多项式的乘法来求．7.某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.如果销售额函数是32191()8162f x x ax x =-++ （x 是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a 是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（ ）A. 8万斤B. 6万斤C. 3万斤D. 5万斤【答案】B 【解析】 【分析】销售的利润为321911()181622g x x ax x x =-++--，利用(2) 2.5g =可得a ，再利用导数确定函数的单调性后可得利润的最大值.【详解】设销售的利润为()g x ，由题意，得321911()181622g x x ax x x =-++--，(]0,8x ∈ 即3219()8161g x x ax =-+-，当2x =时，95(2)1142g a =-+-=，解得2a =， 故3219()1,88g x x x =-+-23()8g x x '=-+93(6)48x x x =--，当(0,6)x ∈时，'()0g x >，当(6,8)x ∈时，'()0g x <，所以函数()g x 在(0,6)上单调递增，在(6,8)上单调递减，所以6x =时，利润最大，故选B.【点睛】一般地，若()f x 在区间(),a b 上可导，且()()()'0'0f x f x ><，则()f x 在(),a b 上为单调增（减）函数；反之，若()f x 在区间(),a b 上可导且为单调增（减）函数，则()()()'0'0f x f x ≥≤．8.如图所示是一个几何的三视图，则其表面积为（ ）A. 4B. 4C. 8D. 8【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图可得对应的三棱锥，逐个计算其侧面积和底面积可得其表面积. 【详解】将三视图复原后得到的几何体即为如图所示的三棱锥P ABC -，其中、、P A B 是棱长为4的正方体的顶点，C 为正方体的底面中心，注意到,PC BC AB PB ⊥⊥所以1=42PCA S ∆⨯=，11422PCB ABP S S ∆∆=⨯==⨯⨯=142ABC S ∆=⨯=，因此该三棱锥的表面积等于4.故选A.【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．9.在钝角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且a b >，已知8,sin sin a B C =-=sin 4A，7cos 28A =-，则ABC ∆的面积为（ ）A. 3B. 6C.D. 【答案】C 【解析】 分析】由正弦定理可得2b c -=，再利用二倍角公式可求1cos 4A =-，再利用余弦定理求出24bc =后可求ABC ∆的面积.【详解】由正弦定理，得24a b c -==，由2cos22cos 1A A =-，得1cos 4A =（舍），1cos 4A =-由余弦定理，得a ===8=，解得24bc =. 由1cos 4A =-，得sin A =，所以ABC ∆的面积11sin 24224S bc A ==⨯⨯= C.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.10.函数1sin cos (0)y x a x a =+>的图象是由函数25sin 5cos y x x =+的图像向左平移ϕ个单位得到的，则cos ϕ=（ ） A.35B.45C.D.5【答案】B 【解析】 【分析】【把25sin 5cos 4y x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭的图像向左平移ϕ个单位后得到4y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，化简后可得cos ,sin 44ππϕϕ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值，利用两角和的余弦和正弦展开后可得cos j 的值.【详解】把25sin 5cos 4y x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭的图像向左平移ϕ个单位后得到所得图像的解析式为cos sin 444y x x x πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，根据1sin cos (0)y x a x a =+>可得44a ππϕϕ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①， 所以2150a +=即7a =（7a =-舍），又对①化简可得1cos sin 107sin cos 10ϕϕϕϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，故4cos 5ϕ=，故选B.【点睛】三角函数的图像往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，注意左右平移时是自变量x 作相应的变化，而且周期变换和平移变换（左右平移）的次序对函数解析式的也有影响，比如sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，它可以由sin y x =先向左平移3π个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的12，也可以先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向左平移6π.．11.在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 是正方形，顶点P 在底面的射影是底面的中心，且各顶点都在同一，体积为4，且四棱锥的高为整数，则此球的半径等于（参考公式：()3322()a b a b a ab b -=-++）（ ）A. 2B.116C. 4D.113【答案】B【解析】 【分析】如图所示，设底面正方形ABCD 的中心为'O ，正四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O ，半径为R .则在'Rt PO D ∆中，有221112a h +=，再根据体积为4可求3h =及2a =，在'R t OO D ∆中，有222(3))R R -+=，解出R 后可得正确的选项.【详解】如图所示，设底面正方形ABCD 的中心为'O ，正四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O ，半径为R .设底面正方形ABCD 的边长为a ，正四凌锥的高为()*h h ∈N，则2O D a '=.=221112a h +=……① 又因为正四棱锥的体积为4，所以2143a h =• ……②由①得()22211a h=-，代入②得31160hh -+=，配凑得32711330h h --+=，()2(3)3911(3)0h h h h -++--=，即()2(3)320h h h -+-=，得30h -=或2h +320h -=.因为*h ∈N ，所以3h =，再将3h =代入①中，解得2a =，所以O D '==，所以OO PO '='-3PO R =-. 在Rt OO D ∆'中，由勾股定理，得222OO O D OD '+'=，即222(3)R R -+=，解得116R =，所以此球半径等于116.故选B. 【点睛】正棱锥中，棱锥的高、斜高、侧棱和底面外接圆的半径可构成四个直角三角形，它们沟通了棱锥各个几何量之间的关系，解题中注意利用它们实现不同几何量之间的联系.12.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(00,2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭时抛物线C 上的一点，以点M 为圆心与直线2px =交于E ，G 两点，若1sin 3MFG ∠=，则抛物线C 的方程是（ ） A. 2y x = B. 22y x =C. 24y x =D. 28y x =【答案】C 【解析】 【分析】作MD EG ⊥，垂足为点D，根据(0Mx 在抛物线上可得04px=，再根据1sin 3MFG ∠=得到001232p p x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，结合前者可得2p =，从而得到抛物线的方程. 【详解】画出图形如图所示作MD EG ⊥，垂足为点D .由题意得点(00,2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭在抛物线上，则082px =，得04px =.① 由抛物线的性质，可知0||2p DM x =-，的因为1sin 3MFG ∠=，所以011||||332p DM MF x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.所以001232p p x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，解得0x p =. ②， 由①②，解得02x p ==-（舍去）或02x p ==. 故抛物线C 的方程是24y x =.故选C.【点睛】一般地，抛物线()220=>y px p 上的点()00,P x y 到焦点的距离为02px +；抛物线()220x py p => 上的点()00,P x y 到焦点的距离为02p y +.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知向量(,a t t =-与(3,2)b t =+共线且方向相同，则t =_______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标形式可得2230t t --=，解出t 后检验可得3t =.【详解】由题意得(2t t t =即2230tt --=，解得1ι=-或3t =.当1t =-时，(31)b a =--，不满足条件；当3t =时，33b a +=，a 与b 方向相同， 故3t =.【点睛】如果()()1122,,,a x y b x y ==，那么： （1）若//a b ，则1221x y x y =； （2）若a b ⊥，则12120x x y y +=；14.设实数x ，y 满足约束条件35474311x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为_______． 【答案】11. 【解析】分析：作出可行域，2z x y =+变变形为，12y x z =-+，平移直线12y x z =-+，由图可知当直线经过点()5,3时，直线在y 轴上的截距最大，将点()5,3代入2z x y =+，即可得结果.详解：作出约束条件35474311x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩表示的可行域，由474311x y x y -=-⎧⎪⎨⎪-=⎩可得，53x y =⎧⎪⎨⎪=⎩2z x y =+变变形为，12y x z =-+，平移直线12y x z =-+，由图可知当直线经过点()5,3时， 直线在y 轴上的截距最大， 将点()5,3代入2z x y =+， 可得z 取得最大值11，故答案为11.点睛：本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且ABC ∆的外接圆半径为1，若6abc =，则ABC ∆的面积为______． 【答案】32【解析】分析：由正弦定理可把其中一边化为角，从而由6abc =及由公式1sin 2S ab C =求得面积. 详解：由题意得22sin c R C ==，即sin 2cC =， ∴1sin 2ABC S ab c ∆==1113622442c ab abc ⨯==⨯=，故答案为32.点睛：正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C ===，利用它把三角形的边角与外接圆半径建立联系，这样可得三角形面积为4abcS R=22sin sin sin R A B C =.16.已知函数()2122,01()2,10x x x m x f x x m x +⎧+≤≤⎪=⎨---≤<⎪⎩若在区间[1,1]-上方程()1f x =只有一个解，则实数m 的取值范围为______．【答案】1|12m m ⎧-≤<-⎨⎩或1}m = 【解析】 【分析】令11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩，则方程()1f x =等价于()2g x x m =+有且只有一个实数根，在同一平面直角坐标系中画出函数()g x 的图像和()2h x x m =+的图像，动态平移()h x 的图像可得实数m 的取值范围.【详解】当01x ≤≤时，由()1f x =，得()221xx m +=，即212xx m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；当10x -≤<时，由()1f x =，得1221x x m +--=，即1221x x m +-=+.令函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩，则问题转化为函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩与函数()h x =2x m+的图像在区间[1,1]-上有且仅有一个交点.在同一平面直角坐标系中画出函数11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩与2y x m =+在区间函数[1,1]-上的大致图象如下图所示：结合图象可知：当(0)1h =，即1m =时，两个函数的图象只有一个交点；当(1)(1),11(1)(1)2h g m h g <⎧⇒-≤<-⎨-≥-⎩时，两个函数的图象也只有一个交点，故所求实数m 的取值范围是1|112m m m ⎧⎫-≤<-=⎨⎬⎩⎭或.【点睛】已知方程的解的个数求参数的取值范围时，要根据方程的特点去判断零点的分布情况（特别是对于分段函数对应的方程），也可以参变分离，把方程的解的问题归结为不同函数的交点的个数问题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知在等比数列{}n a 中，23411,92187a a a ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1) 13n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2) 3314423nn n T ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭• 【解析】 【分析】（1）求出公比后可得{}n a 的通项公式. （2）利用错位相减法可求n T .【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q .由23411,92187a a a ==，得22212187a q a q =•，得23212187a q =， 所以3127q =，解得13q =.故数列{}n a 的通项公式是2213nn n a a q -⎛⎫== ⎪⎝⎭. （2）13nn n b na n ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 则23111111123(1)33333n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①2341111111123(1)333333nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②由①-②，得231121111113333333n nn n T n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯++- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11113311313nn n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=- ⎪⎝⎭-， 111112233nn n +⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3314423nn n T ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭•【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.18.在四棱锥A BCDE -中，侧棱AD ⊥底面BCDE ，底面BCDE 是直角梯形，//DE BC ，BC CD ⊥，2224,,BC AD DC DE BDEC O H =====是棱AD 上的一点（不与A 、D 点重合）.（1）若//OH 平面ABE ，求AHHD的值； （2）求二面角A BE C --的余弦值. 【答案】(1) 2AH HD =(2) 3【解析】 【分析】（1）由//OH 平面ABE 可得//OH AB ，从而得到2AHHD=. （2）以D 为坐标原点，,,DE DC DA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面ABE 的一个法向量和平面BCDE 的一个法向量后可得二面角A BE C --的余弦值.【详解】（1）证明：因为//OH 平面ABE ，OH ⊂平面ABD ,平面ABD ⋂平面ABE AB =， 所以//OH AB ，所以::OD OB DH HA =， 因为//,2DE BC BC DE =， 所以::1:2OD OB DE BC ==. 所以1,22HD AHAH HD==即. （2）解：以D 为坐标原点，,,DE DC DA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则点(0,0,2),(2,0,0),(4,2,0)A E B . 则(2,0,2),(4,2,2)AE AB =-=-.设平面ABE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则•0•0n AE n AB ⎧=⎨=⎩，即2204220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩，得x zy z =⎧⎨=-⎩. 令1z =，得(1,1,1)n =-；易知平面BCDE 的一个法向量为(0,0,1)m =，设二面角A BE C --的大小为θ，则cos 313m n m nθ===⨯.故二面角A BE C --【点睛】线线平行的证明可利用线面平行或面面平行来证明，空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.19.阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越贡献.为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”.他们的调查结果如下：（1）完成如下22列表，并判断是否由99%的把握认为.了解阿基米德与选择文理科有关？（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本.（i）求抽取的文科生和理科生的人数；（ii ）从10人的样本中随机抽取3人，用X 表示这3人中文科生的人数，求X 的分布列和数学期望. 参考数据:22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++【答案】(1)见解析；(2) （i ）文科生3人，理科生7人 （ii ）见解析 【解析】 【分析】（1）写出列联表后可计算2K ，根据预测值表可得没有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关. （2）（i ）文科生与理科生的比为310，据此可计算出文科生和理科生的人数. （ii ）利用超几何分布可计算X 的分布列及其数学期望. 【详解】解：（1）依题意填写列联表如下：计算222()100(42182812) 3.382 6.635()()()()30705446n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯， ∴没有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关.（2）（i ）抽取的文科生人数是30103100⨯=（人），理科生人数是70107100⨯=（人）. （ii ）X 的可能取值为0,1,2,3，则0337310C C 7(0)C 24P X ===， 1237310C C 21(1)C 40P X ===， 17213307(2)40C C P X C ===，3037310C C 1(3)C 120P X ===. 其分布列为所以72171369()01232440401204010E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. 【点睛】本题考查独立性检验、分层抽样及超几何分布，注意在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）．20.已知椭圆2222:1(0)x y Ca b a b+=>>的离心率为12，1F ，2F 分别是其左、右焦点，且过点(2,3)A .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若在直线6y x =+上任取一点P ，从点P 向12AF F ∆的外接圆引一条切线，切点为Q .问是否存在点M ，恒有||||PM PQ =？请说明理由.【答案】(1) 2211612x y += (2) M ⎝⎭，或M ⎝⎭【解析】【分析】（1）求出,,a b c 后可得椭圆的标准方程.（2）先求出12AF F ∆的外接圆的方程，设M 点为(,),t n P 点为(,6)x x +，则由||||PM PQ =可得()221222(322)0n n t n x ι+-++--=对任意的x R ∈恒成立，故可得关于,t n 的方程，从而求得M 的坐标.【详解】解：（1）因为椭圆C 的离心率为12，所以12c a =. ① 又椭圆C 过点(2,3)A ，所以代入得22491a b +=. ② 又2a . ③由①②③，解得4,2a b c ===.所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=. （2）由（1）得，1F ，2F 的坐标分别是(2,0),(2,0)-.因为12AF F ∆的外接圆的圆心一定在边12F F 的垂直平分线上，即12AF F ∆的外接圆的圆心一定在y 轴上，所以可设12AF F ∆的外接圆的圆心为'O ，半径为r ，圆心'O 的坐标为(0,)m ， 则由2O A O F '='=， 解得32m = 所以圆心'O 的坐标为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径252r O F ='==， 所以12AF F ∆的外接圆的方程为2223522x y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2232524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 设M 点为(,),t n P 点为(,6)x x +，因为||||PM PQ =， 所以2222325()(6)624x t x n x x ⎛⎫-++-=++-- ⎪⎝⎭， 化简，得()221222(322)0n n t n x ι+-++--=，.所以22122203220t n n t n ⎧+-+=⎨--=⎩，消去t ，得29721504n n -+=，解得154n =或154n =.当n =时，32t n =-=；当154n =时，3924t n =-=所以存在点M ⎝⎭，或M ⎝⎭满足条件. 【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆的位置关系，一般通过圆心到直线的距离与半径的关系来判断.解析几何中的几何关系的恒成立问题，应该通过等价转化变为代数式的恒成立问题.21.设函数()ln ,()2mx m f x x g x x -==. （1）当01x ≠时，求函数()()()F x f x g x =+的零点个数；（2）若0[1,)x ∃∈+∞，使得()()00f x g x <，求实数m 的取值范围.【答案】(1)见解析；(2) (2,)+∞【解析】【分析】（1）利用()F x '的符号讨论函数的单调性，结合零点存在定理可得零点的个数.（2）不等式有解等价于()()f x g x ≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立即ln 02mx m x x--≥，构建新函数()ln (1)2mx m h x x x x-=-≥，求出()'h x 后分2m ≤和2m >分类讨论可得实数m 的取值范围. 【详解】解：（1）1()ln 2x F x x x -=-，即11()ln (0)22F x x x x =+->， 则221121()22x F x x x x -'=-=，令()0F x '=解得12x =. 当10,,()0,()2x F x F x ⎛⎫∈'< ⎪⎝⎭在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 当1,,()0,()2x F x F x '⎛⎫∈+∞> ⎪⎝⎭在12+∞（，）上单调递增， 所以当12x =时，min 11()ln 222F x F ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 因为121ln 2ln e ln 202-=-<， 所以min ()0F x <. 又2221e 1e 520e 222F -⎛⎫=-+-=> ⎪⎝⎭，1111(e)102e 22e 2F =+-=+>， 所以21102F F e ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1()02F e F ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以()F x 分别在区间2111,,,e e 22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上各存在一个零点，函数()F x 存在两个零点. （2）假设()()f x g x ≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立，即ln 02mx m x x--≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立. 令()ln (1)2mx m h x x x x -=-≥，则2212()22m x m h x x x x -'=-=. ①当2m ≤，即20x m -≥时，且()h x '不恒为0，所以函数()ln 2mx m h x x x-=-在区间[1,)+∞上单调递增. 又1(1)ln1021m m h ⨯-=-=⨯，所以()0h x ≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立. 故2m ≤不符合题意；②当2m >时，令22()02x m h x x -'=<，得12m x ≤<；令22()02x m h x x -'=>，得2m x >. 所以函数()ln 2mx m h x x x -=-在区间1,2m ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以(1)02m h h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即当2m >时，存在01x ≥，使()00h x <，即()()00f x g x <. 故2m >符合题意.综上可知，实数m 的取值范围是(2,)+∞.【点睛】导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明．含参数的不等式的有解问题，可转化为恒成立问题来处理，后者以导数为工具讨论函数的单调性从而得到函数的最值，最后由最值的正负得到不等式成立.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为212x t y =⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，圆1C 的极坐标方程为2sin ρθ=.（1）求直线l 的普通方程与圆1C 的直角坐标方程；（2）设动点A 在圆1C 上，动线段OA 的中点P 的轨迹为2C ，2C 与直线l 交点为,M N ，且直角坐标系中M 点的横坐标大于N 点的横坐标，求点,M N 的直角坐标.【答案】(1) 1C 的直角坐标方程是222x y y +=.直线l 的普通方程为102y -+=.(2) 1111,,4242⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】【分析】（1）消去参数t 后可得l 的普通方程，把2sin ρθ=化成22sin ρρθ=，利用互化公式可得1C 的直角方程.（2）设点(,)P x y ，则()2,2A x y ，利用A 在椭圆上可得2C 的直角方程，联立直线的普通方程和2C 的直角坐标方程可得,M N 的直角坐标.【详解】解：（1）由2sin ρθ=，得22sin ρρθ=，将互化公式cos ,sin x y ρθρθ==代上式，得222x y y +=，故圆1C 直角坐标方程是222x y y +=. 由212x t y =⎧⎪⎨=+⎪⎩，得12y =+102y -+=. 所以直线l 102y -+=. （2）设点(,)P x y .由中点坐标公式得曲线2C 的直角坐标方程为221124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 联立221021124y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得14142x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，或14142x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩. 故点,M N 的直角坐标是1111,,4242⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】极坐标转化为直角坐标，关键是cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，而直角坐标转化为极坐标，关键是222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩．参数方程化为直角方法，关键是消去参数，消参的方法有反解消参、平方消参、交轨法等．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|||3|()f x x a x a =-++∈R .（1）若函数()f x 的最小值为2，求实数a 的值；（2）若当[0,1]x ∈时，不等式()|5|f x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 1a =-或5a =-. (2) [1,2]-【解析】【分析】 的（1）利用绝对值不等式可得min ()|3|f x a =+.（2）不等式()|5|f x x ≤+在[]0,1上恒成立等价于||2x a -≤在[]0,1上恒成立，故||2x a -≤的解集是[]0,1的子集，据此可求a 的取值范围.【详解】解：（1）因为()|||3||()(3)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+，所以min ()|3|f x a =+.令|3|2a +=，得32a +=或32a +=-，解得1a =-或5a =-.（2）当[0,1]x ∈时，()||3,|5|5f x x a x x x =-+++=+.由()|5|f x x ≤+，得||35x a x x -++≤+，即||2x a -≤，即22a x a -≤≤+.据题意，[0,1][2,2]a a ⊆-+，则2021a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得12a -≤≤. 所以实数a 的取值范围是[1,2]-.【点睛】（1）绝对值不等式指：a b a b a b -≤+≤+及a b a b a b -≤-≤+，我们常利用它们求含绝对值符号的函数的最值.（2）解绝对值不等式的基本方法有公式法、零点分段讨论法、图像法、平方法等，利用公式法时注意不等号的方向，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图像法求解时注意图像的正确刻画．。
河南省八市重点高中2018—2019学年高三第二次联合测评数学(理科)含答案
河南省八市重点高中2018～2019（上）高三第二次联合测评理 数 试 题注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，22小题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．己知集合A ＝{x ｜x ≤－1}，B ＝{x ｜x ＞0}，则C R（A ∪B ）＝（ ） A ．{x ｜x ＞－1} B ．{x ｜x ≤0} C ．{x ｜－1≤x ＜0} D ．{x ｜－1＜x ≤0}2．已知集合A 是奇函数集，B 是偶函数集．若命题p ：()f x ∀∈A ，｜f （x ）｜∈B ，则p ⌝ 为（ ）A ．()f x ∀∈A ，｜f （x ）｜∉B B ．()f x ∀∉A ，｜f （x ）｜∉BC ．()f x ∃∈A ，｜f （x ）｜∉BD ．()f x ∃∉A ，｜f （x ）｜∉B3．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何．其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少?设牛、马、羊的主人分别应偿还x 斗、y 斗、z 斗，则下列判断正确的是（ ）A ．y 2＝xz 且x ＝57 B ．y 2＝xz 且x ＝207C ．2y ＝x ＋z 且x ＝57D ．2y ＝x ＋z 且x ＝207 4．己知函数f （x ）＝，则41()f x dx ⎰－＝（ ） A ．14 B ．143 C ．7 D ．2125．已知tana ＝3，则cos （2α＋2π）＝（ ） A ．－35 B ．35 C ．－35 D ．35411x x x x ⎪⎩1＜≤，，－≤≤，6．在等腰梯形ABCD 中，AB uu u r ＝2DC uuu r ，点E 是线段BC 的中点，若AE uu u r ＝λAB uu u r ＋μAD uuu r ，则λ＋μ＝（ ）A ．52B ．54C ．12D ．147．设a ＝132()3，b ＝231()3，c ＝231log 3，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞b D ．c ＞a ＞b8．已知函数f （x ）＝Asin （ωx ＋ϕ）（A ＞0，｜ϕ｜＜2π，ω＞0）的部分图象如图所示，则ϕ＝（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 9．若x ，y 满足2y ≤x ≤y －1，则2xy －的取值范围是（ ） A ．（－∞，12）∪[32，＋∞） B ．（12，32] C ．（－∞，12]∪[32，＋∞） D ．[12，32] 10．己知函数f （x ）＝x e －1－x e －＋1，则下列说法正确的是（ ）A ．函数f （x ）的最小正周期是lB ．函数f （x ）是单调递减函数C ．函数f （x ）关于直线x ＝1轴对称D ．函数f （x ）关于（1，0）中心对称11．己知对任意平面向量AB uu u r ＝（x ，y ），把AB uu u r 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP uu u r ＝（xcos θ－ysin θ，xsin θ＋ycos θ），叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转θ角得到点P ．若平面内点A0），点B （0，1），把点B 绕点A 顺时针方向旋转43π后得到点P ，则点P 的坐标为（ ）A ．2） B ．（0，－2） C ．1） D ．（0）12．己知f （x ）＝x 2＋2x ＋1＋a ，x ∀∈R ，f （f （x ））≥0恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．]B ．，＋∞] C ．[－1，＋∞） D ．[0，＋∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．己知非零向量a ，b 满足｜2a ＋b ｜＝｜a ＋2ba ｜，则a ，b 的夹角为_________．14．函数y ＝sin 2x 的图象可由y ＝cos 2x 的图象向左平移ϕ个单位长度得到，则正数ϕ的最小值为___________．15．若一直线与曲线y ＝elnx 和曲线y ＝mx 2相切于同一点P ，则实数m ＝_________．16．将正整数1，2，3，…，n ，…排成数表如表所示，即第一行3个数，第二行6个数，且后一行比前一行多3个数，若第i 行，第j 列的数可用（i ，j ）表示，则100可表示为___________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知命题p ：函数f （x ）＝ax 2＋4x ＋2有零点；命题q ：函数f （x ）＝sin 2πx 区间 （0，a ）内只有一个极值点．若（p ⌝）∧q 为真命题，求实数a 的取值范围．18．（12分）已知向量a ＝（1，cos2x），b ＝（－1，f （x ）），且a ∥b ．（1）将f （x ）表示成x 的函数并求f （x ）的单调递增区间；（2）若f （θ）＝65，3π＜θ＜，求cos2θ的值．2π已知数列{n a }满足a 1·a 2·a 3……1n a －·n a ＝n ＋1（n ∈N ﹡）．（1）求数列{n a }的通项公式：（2）若n b ＝n a ＋1n a ，求数列{n b }的前n 项和n S ．20．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos a A ． （1）求角A ；（2）若b c ＝4，点D 在△ABC 内，且BD BDC ＋∠A ＝π，求△BDC的面积．如图，将宽和长都分别为x，y（x＜y）的两个矩形部分重叠（注：正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上，且两矩形长所在的直线互相垂直的图形）．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x，y取何值时，该正十字形的外接圆面积最小，并求出其最小值．22．（12分）已知函数f（x）＝x2－2x＋alnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，证明：x1f（x2）＞x2f（x1）．。
河南省郑州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
河南省郑州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在ABC ∆中，2,4a b A π===，则角B = （ ）A ．6π B ．6π或56π C ．3πD ．56π2. “20x x ><或” 是“11x<” 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件3. 已知正项数列 {}n a 中，()22212111,2,22n n n a a a a a n +-===+≥,则6a =（ ）A ．16B ．4C ．．454. 命题“0,x R n N *∀∈∃∈，使得20n x >”的否定形式是（ ）A ．0,x R n N *∀∈∃∈,使得20n x ≤B ．,x R n N *∀∈∀∈使得,2n x ≤ C. 00,x R n N *∃∈∃∈,使得 200n x ≤ D ．0,x R n N *∃∈∀∈,使得20n x ≤5. 《莱茵德纸草书》 是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题： 把 120个面包分成 5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的 7倍，则最少的那份面包个数为（ ）A ．4B ．3 C.2 D ． 16. 已知数列n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，8242,14S S ==, 则2016S = （ ） A ．25222- B ．25322- C.100822- D ．201622-7. 设,a b 是非零实数， 若a b > ，则一定有 （ ） A ．11a b < B ．2a ab > C.2211ab a b > D ．11a b a b->- 8. 设等差数列{}n a 的前n 项和 n S ，且满足201620170,0S S ><,对任意正整数n ， 都有n k a a ≥，则 k 的值为 （ ）A ．1006B ．1007 C.1008 D ．1009 9. 若实数,x y 满足0xy >，则22x y x y x y+++的最大值为（ ） A．2 B．24+ D．4-10. 若对于任意的[]1,0x ∈-,关于x 的不等式2320x ax b ++≤恒成立， 则222a b +-的最小值为（ ）A ．15-B ．54 C.45 D ．1411. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(),1cos cos ,23A b C c A b π=-==,则ABC ∆的面积为（ ）A．D12. 设{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若()2f x x px q =++的图象经过两点()(),0,,0αβ ，且存在正整数 n ，使得1n n αβ<<<+成立，则 （ ）A ．()(){}1min ,14f n f n +>B ．()(){}1min ,14f n f n +< C.()(){}1min ,14f n f n += D ．()(){}1min ,14f n f n +≥第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 若0,0,2a b a b ab >>+=，则3a b +的最小值为 __________. 14. 已知两个等差数列 {}n a 和{}n b 的前 n 项和分别为,n n S T ，若231n n S nT n =+，则 823746a ab b b b +=++ __________.15. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2,3,4a b c ===，则s i n2s i n CA= _________. 16. 已知数列{}n a 的通项公式为3nn a =，记数列{}n a 的前n 项和为n T ，若对任意的3,362n n N T k n *⎛⎫∈+≥- ⎪⎝⎭恒成立， 则实数 k 的取值范围 _________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知命题12:,p x x 是方程210x mx --=的两个实根 ，且不等式21243a a x x +-≤-对任意的m R ∈恒成立；命题:q 不等式220x x a ++<有实数解． 若命题p q ∨为真，p q ∧为假， 求实数 a 的取值范围．18. （本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，公比1q ≠，等差数列{}n b 满足11243133,,a b a b a b ====. （1）求数列{}n a 的{}n b 通项公式；（2）记n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S .19.（本小题满分12分）某人上午7时， 乘摩托艇以匀速()/840vkm h v ≤≤从A 港出发到距100km 的B 港去， 然后乘汽车以匀速()/30100wkm h w ≤≤自B 港向距300km 的C 市驶去．应该在同一天下午4至9点到达C 市． 设乘坐汽车、 摩托艇去目的地所需要的时间分别是,xh yh .（1）作图表示满足上述条件的,x y 范围;（2）如果已知所需的经费()()1003528p x y =+-+-（元），那么,v w 分别是多少时p 最小？ 此时需花费多少元？20. （本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,()cos25cos 2B A C -+=. （1）求角B 的值；（2）若 1cos 7A =,ABC ∆的面积为求BC 边上的中线长. 21.（本小题满分12分）某城市响应城市绿化的号召， 计划建一个如图所示的三角形 ABC 形状的主题公园,其中一边利用现成的围墙BC ， 长度为米， 另外两边,AB AC 使用某种新型材料围成， 已知120,,(,BAC AB x AC y x y ∠===单位均为米）．（1）求 ,x y 满足的关系式（指出,x y 的取值范围）；（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？ 最短长度是多少？22. （本小题满分12分）设正项数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列1221n n n n n a a b a a ++++=+,数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：122n T n <+.河南省郑州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5. ABBDC 6-10.BCDDA 11-12. DB 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 7+914 15. 1- 16. 2,27⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题17.解：若p 为真,不等式21243a a x x +-≤-对任意的 m R ∈恒成立，243a a +-m R ∈恒成立，2432a a +-≤,解得51a -≤≤,若q 为真,不等式220x x a ++<有解，2440a ∆=->,解得1a <,因为命题p q ∨为真,p q ∧ 为假，所以,p q , 一真一假．（1）p 真q 假，则51,11a a a -≤≤⎧∴=⎨≥⎩.（2）若p 假q 真，则51,51a a a a <->⎧∴<-⎨<⎩或,综上,a 的取值范围是{}|51a a a <-=或.18.解：（1）由已知得： 2234133,3,33,312a q a q b d b d ===+=+,即23333312q d q d=+⎧⎨=+⎩，解得2031d d q q ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 ( 舍) ，所以2d =，所以3,21nn n a b n ==+.19.解：（1）依题意得 100300525,,840,30100,310,22y x v w x y v w ==≤≤≤≤∴≤≤≤≤① 由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x y +应在9至 14个小时之间，即914x y ≤+≤ ② 因此，满足①②的点(),x y 的存在范围是图中阴影部分（包括边界）（2）()()100352813132p x y x y =+-+-=--，上式表示斜率为32-的直线，当动直线13132p x y =--通过图中的阴影部分区域（包括边界），通过点A 时，p 值最小．由1410x y x +=⎧⎨=⎩得 104x y =⎧⎨=⎩，即当10,4x y ==时，p 最小． 此时，25,30,v w p ==的最小值为 93元． 20.解：（1）由条件知 22cos 15cos 2B B -+=，即22cos 5cos 30B B +-= ，解得 1cos 2B =或cos 3B =-（舍去）又0B π<<， 3B π∴=.（2）由于11cos ,sin sin 3572A A S bc A bc =∴===∴=. ①又由正弦定理得，sinsin 33b cA ππ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭,又1sin sin cos ,5732214A A A b c π⎛⎫+=+=∴= ⎪⎝⎭， ② 由① ②知，7,5b c ==，由余弦定理得，8,a BC ==边上的中线AD ==21.解：（1）在ABC ∆中,由余弦定理，得222222cos ,2cos12030000AB AC AB AC A BC x y xy +-=∴+-=，即 2230000x y xy ++=，由正弦定理，得200,200sin ,060,0sin sin sin AB AC BC x C C x C B A ====∴=<<∴<<同理0y <<（2）要使所用的新型材料总长度最短只需x y +最小，由（1）知，()23000x y xy =+-，由于22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当x y =时，等号成立． 所以()()()()2222300044x y x y x y xy x y ++=+-≥+-=，所以200x y +≤，故当,AB AC 边长均为100米时，所用材料长度最短为 200米．22.解：（1）由题意可得221112,2n n n n n n S a a S a a ---=+=+， 两式相减得， 22112n n n n n a a a a a --=-++ ，所以22110n n n n a a a a -----=，即()()1110n n n n a a a a --+--=，又因为数列{}n a 为正项数列，所以11n n a a -+=.即数列{}n a 为等差数列，又1n =时，21112a a a =+，所以111,1n a a a n n ==+-=.（2）由（1）知1221n n n b n n ++=+++，又因为121111112212112n n n b n n n n n n ++=+=-++=+-++++++， 所以()12111111...22...2...233412n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以12111 (22222)n n T b b b n n n =+++=+-<++.。
2018-2019学年河南省高二上学期期末数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年河南省高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．设命题:0p x ∀>，||=x x ，则p ⌝为 A ．0x ∀>，||x x ≠ B ．00x ∃≤，00||x x =C ．0x ∀≤，||=x xD ．00x ∃>，00||x x ≠【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断 ． 【详解】命题是全称命题， 则命题的否定是特称命题， 则000:0,P x x x ⌝∃>≠， 故选D ． 【点睛】本题主要考查含有全称量词的命题的否定， 比较基础 ． 2．已知抛物线的准线方程x 12=，则抛物线的标准方程为（ ） A ．x 2＝2y B ．x 2＝﹣2yC ．y 2＝xD ．y 2＝﹣2x【答案】D【解析】由抛物线的准线方程求得p ，进一步得到抛物线方程． 【详解】解：Q 抛物线的准线方程12x =， 可知抛物线为焦点在x 轴上，且开口向左的抛物线， 且122p =，则1p =． ∴抛物线方程为22y x =-．故选：D ． 【点睛】本题考查了抛物线的简单性质，考查了抛物线方程的求法，是基础题．3．若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，3620a a +=，则63S S =（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】A【解析】由363a a q =，代入3620a a +=，可以求出32q =-，然后利用等比数列的前n 项和公式，可以得到663311S q S q -=-，进而可以求出答案。
【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则33363332220a a a a q a q +=+=+=（）， 因为30a ≠，所以320q +=，故32q =-，则()()6166333111141111211a q S q q S q a q q----====--+--. 故选A. 【点睛】本题考查了等比数列的性质及前n 项和公式，属于基础题。
河南省郑州市2018-2019上期期末高二数学(理) 解析版
河南省郑州市2018-2019学年上期期末考试高二数学（理）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.【河南省郑州市2018-2019学年上期期末考试高二数学（理） 题1】已知命题3:280p x x ∀-＞，＞，那么p ⌝为A.3280x x ∀-≤＞，B.30280x x ∃-≤＞，C.3280x x ∀≤-≤，D.30280x x ∃≤-≤，【答案】B2.【河南省郑州市2018-2019学年上期期末考试高二数学（理） 题2】已知数列{}n a 是等比数列，若151,16,a a ==则3a 的值为A.4B. 4或-4C. 2D.2或-2 【答案】A【解析】因422513116,4,4a q q a a q =====a3.【河南省郑州市2018-2019学年上期期末考试高二数学（理） 题3】已知,,a b c 是实数，下列命题结论正确的是.A “22a b >”是“a b >”的充分条件 .B “22a b >”是“a b >”的必要条件 .C “22ac bc >” 是“a b >”的充分条件 .D “||||a b >” 是“a b >”的充要条件【答案】C【解析】对于A ，当5,1a b =-=时，满足22a b >，但是a b <，所以充分性不成立；对于B ，当1,2a b ==-时，满足a b >，但是22a b <，所以必要性不成立；对于D ，当5,1a b =-=时，||||a b >成立，但是a b <，所以充分性不成立，当1,2a b ==-时，满足a b >，但是||||a b <，所以必要性也不成立，故“||||a b >” 是“a b >”的既不充分也不必要条件。
2018-2019学年河南省名校高二5月联考数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年河南省名校高二5月联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|,{0,1,2}A x ax x B ===，若A B ⊆，则实数a 的值为（ ）A ．1或2B ．0或1C ．0或2D ．0或1或2【答案】D【解析】就0a =和0a ≠分类讨论即可. 【详解】因为当0a =时，{}2|0{0}A x x===，满足A B ⊆；当0a ≠时，{0,}A a =，若A B ⊆，所以1a =或2.综上，a 的值为0或1或2.故选D.【点睛】本题考查集合的包含关系，属于基础题，解题时注意利用集合中元素的性质（如互异性、确定性、无序性）合理分类讨论.2．复数22i+（i 为虚数单位）的虚部是（ ） A ．25- B ．25 C ．25i -D ．25i 【答案】A【解析】利用复数的除法可得242255i i =-+后，从而可得其虚部. 【详解】22(2)422(2)(2)55i i i i i -==-++-，所以复数22i+的虚部是25-.故选A. 【点睛】本题考查复数的除法及其复数的概念，注意复数(),a bi a b R +∈的虚部是b ，不是bi ，这是复数概念中的易错题.3．“3,a b ==是“双曲线22222(0,0)x y a b a b -=->>的离心率为2”的（ ）A ．充要条件B ．必要补充分条件C ．既不必要也不充分条件D ．充分不必要条件【答案】D【解析】当3,a b ==时，我们只能得到2a b =，故可得两者之间的条件关系. 【详解】当3,a b ==22222x y a b -=-化为标准方程是2212418y x -=，其离心率是e ==；但当双曲线22222(0,0)x y a b a b -=->>时，即22221(0,0)22y x a b b a -=>>的离心率为2=，得2a b =，所以不一定非要3,a b ==.故“3,a b ==是“双曲线22222x y a b -=-(0,0)a b >>的离心率为2”的充分不必要条件.故选D. 【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.4．某市某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛.现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响.现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则其中一名同学得2分的概率为（ ） A ．0.5 B ．0.48C ．0.4D ．0.32【答案】B【解析】事件“第一次投进球”和“第二次投进球”是相互独立的，利用对立事件和相互独立事件可求“其中一名同学得2分”的概率. 【详解】设“第一次投进球”为事件A ，“第二次投进球”为事件B ，则得2分的概率为()()0.4p P AB P AB =+=⨯0.60.60.40.48+⨯=.故选B.【点睛】本题考查对立事件、相互独立事件，注意互斥事件、对立事件和独立事件三者之间的区别，互斥事件指不同时发生的事件，对立事件指不同时发生的事件且必有一个发生的两个事件，而独立事件指一个事件的发生与否与另一个事件没有关系.5．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（176两），问玉、石重各几何?”其意思：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两?”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为（ ）A ．96,80B ．100,76C ．98,78D ．94,82【答案】C【解析】流程图的作用是求出112776x y +=的一个解，其中90,86x y ≥≤且x 为偶数，逐个计算可得输出值. 【详解】执行程序：90,86,27;92,84,27;94,82,27;96x y s x y s x y s x ==≠==≠==≠=，80,27;98y s x =≠=78,27y s ==，故输出的,x y 分别为98,78.故选C.【点睛】本题考查算法中的循环结构、选择结构，读懂流程图的作用是关键，此类题是基础题. 6．632(1)x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中，含3x 项的系数为（ ） A ．45B ．30C ．75D ．60【答案】C【解析】考虑6(1)x +展开式中2CF PC ==及2x 系数可得所求的系数.【详解】在6(1)x +中，222444365615,15T C x x T C x x ====，因此展开式3x 项的系数是21531575⨯+⨯=.故选C.【点睛】二项展开式中指定项的系数，可利用赋值法来求其大小，也可以利用二项展开式的通项结合多项式的乘法来求．7．某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.如果销售额函数是32191()8162f x x ax x =-++ （x 是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a 是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（ ） A ．8万斤 B ．6万斤C ．3万斤D ．5万斤【答案】B【解析】销售的利润为321911()181622g x x ax x x =-++--，利用(2) 2.5g =可得a ，再利用导数确定函数的单调性后可得利润的最大值. 【详解】设销售的利润为()g x ，由题意，得321911()181622g x x ax x x =-++--，(]0,8x ∈ 即3219()8161g x x ax =-+-，当2x =时，95(2)1142g a =-+-=，解得2a =， 故3219()1,88g x x x =-+-23()8g x x '=-+93(6)48x x x =--，当(0,6)x ∈时，'()0g x >，当(6,8)x ∈时，'()0g x <，所以函数()g x 在(0,6)上单调递增，在(6,8)上单调递减，所以6x =时，利润最大，故选B. 【点睛】一般地，若()f x 在区间(),a b 上可导，且()()()'0'0f x f x ><，则()f x 在(),a b 上为单调增（减）函数；反之，若()f x 在区间(),a b 上可导且为单调增（减）函数，则()()()'0'0f x f x ≥≤．8．如图所示是一个几何的三视图，则其表面积为（ ）A ．4B ．4C ．8+D ．8【答案】A【解析】根据三视图可得对应的三棱锥，逐个计算其侧面积和底面积可得其表面积. 【详解】将三视图复原后得到的几何体即为如图所示的三棱锥P ABC -，其中、、P A B 是棱长为4的正方体的顶点，C 为正方体的底面中心，注意到,PC BC AB PB ⊥⊥所以1=42PCA S ∆⨯=，11422PCB ABP S S ∆∆=⨯==⨯⨯=142ABC S ∆=⨯=，因此该三棱锥的表面积等于4.故选A.【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系． 9．在钝角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且a b >，已知8,sin sin a B C =-=sin 4A ，7cos 28A =-，则ABC ∆的面积为（ ）A ．3B ．6C ．D ．【答案】C【解析】由正弦定理可得2b c -=，再利用二倍角公式可求1cos 4A =-，再利用余弦定理求出24bc =后可求ABC ∆的面积. 【详解】由正弦定理，得24ab c -==，由2c o s 22c o s 1A A =-，得1c o s 4A =（舍），1cos 4A =- 由余弦定理，得a ===8=，解得24bc =.由1cos 4A =-，得sin A =，所以ABC ∆的面积11sin 24224S bc A ==⨯⨯= C.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.10．函数1sin cos (0)y x a x a =+>的图象是由函数25sin 5cos y x x =+的图像向左平移ϕ个单位得到的，则cos ϕ=（ ）A ．35B ．45C D 【答案】B【解析】把25sin 5cos 4y x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭的图像向左平移ϕ个单位后得到4y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，化简后可得cos ,sin 44ππϕϕ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值，利用两角和的余弦和正弦展开后可得cos j 的值. 【详解】把25sin 5cos 4y x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭的图像向左平移ϕ个单位后得到所得图像的解析式为cos sin 444y x x x πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，根据1sin cos (0)y x a x a =+>可得44a ππϕϕ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①， 所以2150a +=即7a =（7a =-舍），又对①化简可得1cos sin 107sin cos 10ϕϕϕϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，故4cos 5ϕ=，故选B.【点睛】三角函数的图像往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，注意左右平移时是自变量x 作相应的变化，而且周期变换和平移变换（左右平移）的次序对函数解析式的也有影响，比如sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，它可以由sin y x =先向左平移3π个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的12，也可以先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向左平移6π.．11．在四棱锥P- ABCD 中，底面ABCD 是正方形，顶点P 在底面的射影是底面的中4，且四棱锥的高为整数，则此球的半径等于（参考公式：()3322()a b a b a ab b -=-++）（ ） A ．2 B ．116C ．4D ．113【答案】B【解析】如图所示，设底面正方形ABCD 的中心为'O ，正四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O ，半径为R .则在'Rt PO D ∆中，有221112a h +=，再根据体积为4可求3h =及2a =，在'R t O O D ∆中，有222(3)R R -+=，解出R 后可得正确的选项.【详解】如图所示，设底面正方形ABCD 的中心为'O ，正四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O ，半径为R .设底面正方形ABCD 的边长为a ，正四凌锥的高为()*h h ∈N，则2O D a '=.=221112a h +=……① 又因为正四棱锥的体积为4，所以2143a h =• ……②由①得()22211a h=-，代入②得31160hh -+=，配凑得32711330h h --+=，()2(3)3911(3)0h h h h -++--=，即()2(3)320h h h -+-=，得30h -=或2h +320h -=.因为*h ∈N ，所以3h =，再将3h =代入①中，解得2a =，所以2O D a '==，所以OO PO '='-3PO R =-. 在Rt OO D ∆'中，由勾股定理，得222OO O D OD '+'=，即222(3)R R -+=，解得116R =，所以此球的半径等于116.故选B. 【点睛】正棱锥中，棱锥的高、斜高、侧棱和底面外接圆的半径可构成四个直角三角形，它们沟通了棱锥各个几何量之间的关系，解题中注意利用它们实现不同几何量之间的联系.12．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(00,2p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭时抛物线C 上的一点，以点M 为圆心与直线2px =交于E ，G 两点，若1sin 3MFG ∠=，则抛物线C 的方程是（ ） A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =【答案】C【解析】作MD EG ⊥，垂足为点D ，根据(0M x 在抛物线上可得04px=，再根据1sin 3MFG ∠=得到001232p p x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，结合前者可得2p =，从而得到抛物线的方程. 【详解】画出图形如图所示作MD EG ⊥，垂足为点D .由题意得点(00,2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭在抛物线上，则082px =，得04px =.① 由抛物线的性质，可知0||2p DM x =-， 因为1sin 3MFG ∠=，所以011||||332p DM MF x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.所以001232p p x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，解得0x p =. ②， 由①②，解得02x p ==-（舍去）或02x p ==. 故抛物线C 的方程是24y x =.故选C. 【点睛】一般地，抛物线()220=>y px p 上的点()00,P x y 到焦点的距离为02px +；抛物线()220x py p => 上的点()00,P x y 到焦点的距离为02p y +.二、填空题13．已知向量(,a t t =-与(3,2)b t =+共线且方向相同，则t =_______． 【答案】3【解析】利用向量共线的坐标形式可得2230t t --=，解出t 后检验可得3t =.【详解】由题意得(2t t t =即2230tt --=，解得1ι=-或3t =.当1t =-时，(31)b a =--，不满足条件；当3t =时，33b a +=，a 与b 方向相同， 故3t =. 【点睛】如果()()1122,,,a x y b x y ==，那么： （1）若//a b ，则1221x y x y =； （2）若a b ⊥，则12120x x y y +=；14．设实数x ，y 满足约束条件35474311x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为_______．【答案】11.【解析】分析：作出可行域，2z x y =+变变形为，12y x z =-+，平移直线12y x z =-+，由图可知当直线经过点()5,3时，直线在y 轴上的截距最大，将点()5,3代入2z x y =+，即可得结果.详解：作出约束条件35474311x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩表示的可行域，由474311x y x y -=-⎧⎪⎨⎪-=⎩可得，53x y =⎧⎪⎨⎪=⎩2z x y =+变变形为，12y x z =-+，平移直线12y x z =-+，由图可知当直线经过点()5,3时， 直线在y 轴上的截距最大， 将点()5,3代入2z x y =+， 可得z 取得最大值11，故答案为11.点睛：本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且ABC ∆的外接圆半径为1，若6abc =，则ABC ∆的面积为______． 【答案】23【解析】分析：由正弦定理可把其中一边化为角，从而由6abc =及由公式1sin 2S ab C =求得面积.详解：由题意得22sin c R C ==，即sin 2cC =， ∴1sin 2ABC S ab c ∆==1113622442c ab abc ⨯==⨯=，故答案为23.点睛：正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，利用它把三角形的边角与外接圆半径建立联系，这样可得三角形面积为4abcS R=22sin sin sin R A B C =.16．已知函数()2122,01()2,10x x x m x f x x m x +⎧+≤≤⎪=⎨---≤<⎪⎩若在区间[1,1]-上方程()1f x =只有一个解，则实数m 的取值范围为______． 【答案】1|12m m ⎧-≤<-⎨⎩或1}m = 【解析】令11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩，则方程()1f x =等价于()2g x x m =+有且只有一个实数根，在同一平面直角坐标系中画出函数()g x 的图像和()2h x x m =+的图像，动态平移()h x 的图像可得实数m 的取值范围. 【详解】当01x ≤≤时，由()1f x =，得()221xx m +=，即212xx m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；当10x -≤<时，由()1f x =，得1221x x m +--=，即1221x x m +-=+.令函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩，则问题转化为函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩与函数()h x =2x m +的图像在区间[1,1]-上有且仅有一个交点.在同一平面直角坐标系中画出函数11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩与2y x m =+在区间函数[1,1]-上的大致图象如下图所示：结合图象可知：当(0)1h =，即1m =时，两个函数的图象只有一个交点；当(1)(1),11(1)(1)2h g m h g <⎧⇒-≤<-⎨-≥-⎩时，两个函数的图象也只有一个交点，故所求实数m 的取值范围是1|112m m m ⎧⎫-≤<-=⎨⎬⎩⎭或.【点睛】已知方程的解的个数求参数的取值范围时，要根据方程的特点去判断零点的分布情况（特别是对于分段函数对应的方程），也可以参变分离，把方程的解的问题归结为不同函数的交点的个数问题．17．在四棱锥A BCDE -中，侧棱AD ⊥底面BCDE ，底面BCDE 是直角梯形，//DE BC ，BC CD ⊥，2224,,BC AD DC DE BD EC O H =====是棱AD 上的一点（不与A 、D 点重合）.（1）若//OH 平面ABE ，求AHHD的值； （2）求二面角A BE C --的余弦值.【答案】(1)2AH HD = (2) 【解析】（1）由//OH 平面ABE 可得//OH AB ，从而得到2AHHD=. （2）以D 为坐标原点，,,DE DC DA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面ABE 的一个法向量和平面BCDE 的一个法向量后可得二面角A BE C --的余弦值.【详解】（1）证明：因为//OH 平面ABE ，OH ⊂平面ABD ,平面ABD ⋂平面ABE AB =， 所以//OH AB ，所以::OD OB DH HA =， 因为//,2DE BC BC DE =， 所以::1:2OD OB DE BC ==. 所以1,22HD AHAH HD==即. （2）解：以D 为坐标原点，,,DE DC DA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则点(0,0,2),(2,0,0),(4,2,0)A E B . 则(2,0,2),(4,2,2)AE AB =-=-.设平面ABE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则•0•0n AE n AB ⎧=⎨=⎩，即2204220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩，得x zy z =⎧⎨=-⎩. 令1z =，得(1,1,1)n =-；易知平面BCDE 的一个法向量为(0,0,1)m =，设二面角A BE C --的大小为θ，则cos 13m n m nθ===⨯故二面角A BE C --的余弦值为3.【点睛】线线平行的证明可利用线面平行或面面平行来证明，空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.三、解答题18．已知在等比数列{}n a 中，23411,92187a a a ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1) 13n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2) 3314423nn n T ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭• 【解析】（1）求出公比后可得{}n a 的通项公式. （2）利用错位相减法可求n T . 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q .由23411,92187a a a ==，得22212187a q a q =•，得23212187a q =， 所以3127q =，解得13q =.故数列{}n a 的通项公式是2213nn n a a q -⎛⎫== ⎪⎝⎭. （2）13nn n b na n ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 则23111111123(1)33333n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①2341111111123(1)333333nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②由①-②，得231121111113333333n nn n T n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯++- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11113311313nn n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=- ⎪⎝⎭-， 111112233nn n +⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3314423nn n T ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭•【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.19．阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越贡献.为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”.他们的调查结果如下：（1）完成如下22⨯列表，并判断是否由99%的把握认为.了解阿基米德与选择文理科有关？（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本. （i ）求抽取的文科生和理科生的人数；（ii ）从10人的样本中随机抽取3人，用X 表示这3人中文科生的人数，求X 的分布列和数学期望. 参考数据:22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++【答案】(1)见解析；(2) （i ）文科生3人，理科生7人 （ii ）见解析【解析】（1）写出列联表后可计算2K ，根据预测值表可得没有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关. （2）（i ）文科生与理科生的比为310，据此可计算出文科生和理科生的人数. （ii ）利用超几何分布可计算X 的分布列及其数学期望. 【详解】解：（1）依题意填写列联表如下：计算222()100(42182812) 3.382 6.635()()()()30705446n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯， ∴没有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关.（2）（i ）抽取的文科生人数是30103100⨯=（人），理科生人数是70107100⨯=（人）. （ii ）X 的可能取值为0,1,2,3，则0337310C C 7(0)C 24P X ===， 1237310C C 21(1)C 40P X ===， 17213307(2)40C C P X C ===， 3037310C C 1(3)C 120P X ===. 其分布列为所以72171369()01232440401204010E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. 【点睛】本题考查独立性检验、分层抽样及超几何分布，注意在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，1F ，2F 分别是其左、右焦点，且过点(2,3)A .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若在直线6y x =+上任取一点P ，从点P 向12AF F ∆的外接圆引一条切线，切点为Q .问是否存在点M ，恒有||||PM PQ =？请说明理由.【答案】(1) 2211612x y += (2) 915,44M ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，或915,44M ⎛ ⎝⎭【解析】（1）求出,,a b c 后可得椭圆的标准方程.（2）先求出12AF F ∆的外接圆的方程，设M 点为(,),t n P 点为(,6)x x +，则由||||PM PQ =可得()221222(322)0n n t n x ι+-++--=对任意的x R ∈恒成立，故可得关于,t n 的方程，从而求得M 的坐标. 【详解】解：（1）因为椭圆C 的离心率为12，所以12c a =. ①又椭圆C 过点(2,3)A ，所以代入得22491a b+=. ②又2a . ③由①②③，解得4,2a b c ===.所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=.（2）由（1）得，1F ，2F 的坐标分别是(2,0),(2,0)-. 因为12AF F ∆的外接圆的圆心一定在边12F F 的垂直平分线上， 即12AF F ∆的外接圆的圆心一定在y 轴上，所以可设12AF F ∆的外接圆的圆心为'O ，半径为r ，圆心'O 的坐标为(0,)m ， 则由2O A O F '='及两点间的距离公式，得=解得32m =.所以圆心'O 的坐标为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径252r O F ='==， 所以12AF F ∆的外接圆的方程为2223522x y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2232524x y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭. 设M 点为(,),t n P 点为(,6)x x +，因为||||PM PQ =，所以2222325()(6)624x t x n x x ⎛⎫-++-=++-- ⎪⎝⎭， 化简，得()221222(322)0n n t n x ι+-++--=，所以22122203220t n n t n ⎧+-+=⎨--=⎩，消去t ，得29721504n n -+=，解得154n +=或154n =.当n =时，32t n =-=；当n =时，32t n =-=.所以存在点91544M ⎛-- ⎝⎭，或915,44M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭满足条件. 【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆的位置关系，一般通过圆心到直线的距离与半径的关系来判断.解析几何中的几何关系的恒成立问题，应该通过等价转化变为代数式的恒成立问题. 21．设函数()ln ,()2mx mf x xg x x-==. （1）当01x ≠时，求函数()()()F x f x g x =+的零点个数；（2）若0[1,)x ∃∈+∞，使得()()00f x g x <，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2) (2,)+∞【解析】（1）利用()F x '的符号讨论函数的单调性，结合零点存在定理可得零点的个数. （2）不等式有解等价于()()f x g x ≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立即ln 02mx mx x--≥，构建新函数()ln (1)2mx mh x x x x-=-≥，求出()'h x 后分2m ≤和2m >分类讨论可得实数m 的取值范围. 【详解】解：（1）1()ln 2x F x x x -=-，即11()ln (0)22F x x x x =+->， 则221121()22x F x x x x -'=-=，令()0F x '=解得12x =. 当10,,()0,()2x F x F x ⎛⎫∈'< ⎪⎝⎭在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1,,()0,()2x F x F x '⎛⎫∈+∞> ⎪⎝⎭在12+∞（，）上单调递增， 所以当12x =时，min 11()ln 222F x F ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 因为121ln 2ln e ln 202-=-<， 所以min ()0F x <. 又2221e 1e 520e 222F -⎛⎫=-+-=> ⎪⎝⎭，1111(e)102e 22e 2F =+-=+>， 所以21102F F e ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1()02F e F ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以()F x 分别在区间2111,,,e e 22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上各存在一个零点，函数()F x 存在两个零点. （2）假设()()f x g x ≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立，即ln 02mx m x x--≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立. 令()ln (1)2mx m h x x x x -=-≥，则2212()22m x m h x x x x -'=-=. ①当2m ≤，即20x m -≥时，且()h x '不恒为0，所以函数()ln 2mx m h x x x-=-在区间[1,)+∞上单调递增. 又1(1)ln1021m m h ⨯-=-=⨯，所以()0h x ≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立. 故2m ≤不符合题意；②当2m >时，令22()02x m h x x -'=<，得12m x ≤<；令22()02x m h x x -'=>，得2m x >. 所以函数()ln 2mx m h x x x -=-在区间1,2m ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以(1)02m h h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即当2m >时，存在01x ≥，使()00h x <，即()()00f x g x <. 故2m >符合题意.综上可知，实数m 的取值范围是(2,)+∞.【点睛】导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明．含参数的不等式的有解问题，可转化为恒成立问题来处理，后者以导数为工具讨论函数的单调性从而得到函数的最值，最后由最值的正负得到不等式成立.22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为212x t y =⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，圆1C 的极坐标方程为2sin ρθ=.（1）求直线l 的普通方程与圆1C 的直角坐标方程；（2）设动点A 在圆1C 上，动线段OA 的中点P 的轨迹为2C ，2C 与直线l 交点为,M N ，且直角坐标系中M 点的横坐标大于N 点的横坐标，求点,M N 的直角坐标.【答案】(1) 1C 的直角坐标方程是222x y y +=.直线l102y -+=. (2) 1111,,,442442⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】（1）消去参数t 后可得l 的普通方程，把2sin ρθ=化成22sin ρρθ=，利用互化公式可得1C 的直角方程.（2）设点(,)P x y ，则()2,2A x y ，利用A 在椭圆上可得2C 的直角方程，联立直线的普通方程和2C 的直角坐标方程可得,M N 的直角坐标.【详解】解：（1）由2sin ρθ=，得22sin ρρθ=，将互化公式cos ,sin x y ρθρθ==代上式，得222x y y +=，故圆1C 的直角坐标方程是222x y y +=.由212x t y =⎧⎪⎨=+⎪⎩，得12y =+102y -+=. 所以直线l102y -+=. （2）设点(,)P x y .由中点坐标公式得曲线2C 的直角坐标方程为221124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.联立221021124y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或1412x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩. 故点,M N的直角坐标是1111,,4242⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】 极坐标转化为直角坐标，关键是cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，而直角坐标转化为极坐标，关键是222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩．参数方程化为直角方法，关键是消去参数，消参的方法有反解消参、平方消参、交轨法等．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|||3|()f x x a x a =-++∈R .（1）若函数()f x 的最小值为2，求实数a 的值；（2）若当[0,1]x ∈时，不等式()|5|f x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 1a =-或5a =-. (2) [1,2]-【解析】（1）利用绝对值不等式可得min ()|3|f x a =+.（2）不等式()|5|f x x ≤+在[]0,1上恒成立等价于||2x a -≤在[]0,1上恒成立，故||2x a -≤的解集是[]0,1的子集，据此可求a 的取值范围.【详解】解：（1）因为()|||3||()(3)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+，所以min ()|3|f x a =+.令|3|2a +=，得32a +=或32a +=-，解得1a =-或5a =-.（2）当[0,1]x ∈时，()||3,|5|5f x x a x x x =-+++=+.由()|5|f x x ≤+，得||35x a x x -++≤+，即||2x a -≤，即22a x a -≤≤+.据题意，[0,1][2,2]a a ⊆-+，则2021a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得12a -≤≤.所以实数a 的取值范围是[1,2]-.【点睛】（1）绝对值不等式指：a b a b a b -≤+≤+及a b a b a b -≤-≤+，我们常利用它们求含绝对值符号的函数的最值.（2）解绝对值不等式的基本方法有公式法、零点分段讨论法、图像法、平方法等，利用公式法时注意不等号的方向，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图像法求解时注意图像的正确刻画．。
郑州市高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
郑州市高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 将n 2个正整数1、2、3、…、n 2（n ≥2）任意排成n 行n 列的数表．对于某一个数表，计算某行或某列中的任意两个数a 、b （a ＞b ）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n=2时，数表的所有可能的“特征值”的最大值为（ ）A ．B ．C ．2D ．32． 若不等式1≤a ﹣b ≤2，2≤a+b ≤4，则4a ﹣2b 的取值范围是（ ）A ．[5，10]B ．（5，10）C ．[3，12]D ．（3，12）3． 已知f （x ）=m •2x +x 2+nx ，若{x|f （x ）=0}={x|f （f （x ））=0}≠∅，则m+n 的取值范围为（ ）A ．（0，4）B ．[0，4）C ．（0，5]D ．[0，5]4． A={x|x ＜1}，B={x|x ＜﹣2或x ＞0}，则A ∩B=（ ）A ．（0，1）B ．（﹣∞，﹣2）C ．（﹣2，0）D ．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）5． 年月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取20163名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为，，，按分20350500150层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（ ）A. B. C. D.56710【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用，属容易题.6． 已知函数f （x ）是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x 3﹣2x 2，则x ＜0时，函数f （x ）的表达式为f （x ）=（ ）A ．x 3+2x 2B ．x 3﹣2x 2C ．﹣x 3+2x 2D ．﹣x 3﹣2x 27． 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4=﹣2，S 5=0，则S 6=（）A ．0B ．1C ．2D ．38． 已知函数，则要得到其导函数的图象，只需将函数()cos()3f x x π=+'()y f x =()y f x =的图象（ ）A ．向右平移个单位 B ．向左平移个单位2π2πC. 向右平移个单位D ．左平移个单位23π23π9． 设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）βα,A ．若，，则 B ．若，，则α⊥l βα⊥β⊂l α//l βα//β⊂l C ．若，，则D ．若，，则α⊥l βα//β⊥l α//l βα⊥β⊥l 10．定义某种运算S=a ⊗b ，运算原理如图所示，则式子+的值为（）A ．4B ．8C ．10D ．1311．函数的定义域为（）A ．{x|1＜x ≤4}B ．{x|1＜x ≤4，且x ≠2}C ．{x|1≤x ≤4，且x ≠2}D ．{x|x ≥4}12．某大学的名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽8车，每车限坐名同学（乘同一辆车的名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘44坐甲车的名同学中恰有名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）种.42A ．B ．C ．D ．24184836【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生分类讨论，运算能力以及逻辑推理能力．二、填空题13．设,则14．把函数y=sin2x 的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为 ．15．设数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），则数列{}的前10项的和为 ．16．设p ：f （x ）=e x +lnx+2x 2+mx+1在（0，+∞）上单调递增，q ：m ≥﹣5，则p 是q 的 条件． 17．若“x ＜a ”是“x 2﹣2x ﹣3≥0”的充分不必要条件，则a 的取值范围为 ．18．为了近似估计π的值，用计算机分别产生90个在[﹣1，1]的均匀随机数x 1，x 2，…，x 90和y 1，y 2，…，y 90，在90组数对（x i ，y i ）（1≤i ≤90，i ∈N *）中，经统计有25组数对满足，则以此估计的π值为 ．三、解答题19．在直角坐标系中，已知一动圆经过点且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨xOy (2,0)y 迹为曲线．C （1）求曲线的方程；111]C （2）过点作互相垂直的两条直线，，与曲线交于，两点与曲线交于，两点，(1,0)C A B C E F 线段，的中点分别为，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．AB EF M N MN P P 20．如图所示，两个全等的矩形和所在平面相交于，，，且ABCD ABEF AB M AC ∈N FB ∈，求证：平面．AM FN =//MN BCE21．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，[)160,180[)180,200[)200,220，，，分组的频率分布直方图如图．[)220,240[)240,260[)260,280[]280,300（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数．1111]22．已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2﹣19n+1，记T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |．（1）求S n 的最小值及相应n 的值；（2）求T n ．23．如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD=5，AB=7，BD=8，∠BCD=135°．（1）求∠BDA的大小（2）求BC的长．24．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，.若,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为A[]B[]C[]D[]郑州市高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：当n=2时，这4个数分别为1、2、3、4，排成了两行两列的数表，当1、2同行或同列时，这个数表的“特征值”为；当1、3同行或同列时，这个数表的特征值分别为或；当1、4同行或同列时，这个数表的“特征值”为或，故这些可能的“特征值”的最大值为．故选：B．【点评】题考查类比推理和归纳推理，属基础题．2．【答案】A【解析】解：令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b）即解得：x=3，y=1即4a﹣2b=3（a﹣b）+（a+b）∵1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，∴3≤3（a﹣b）≤6∴5≤（a﹣b）+3（a+b）≤10故选A【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划，其中令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b），并求出满足条件的x，y，是解答的关键．3．【答案】B【解析】解：设x1∈{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}，∴f（x1）=f（f（x1））=0，∴f（0）=0，即f（0）=m=0，故m=0；故f（x）=x2+nx，f（f（x））=（x2+nx）（x2+nx+n）=0，当n=0时，成立；当n≠0时，0，﹣n不是x2+nx+n=0的根，故△=n2﹣4n＜0，故0＜n＜4；综上所述，0≤n+m＜4；故选B．【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题．4．【答案】D【解析】解：∵A=（﹣∞，1），B=（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞），∴A∩B=（﹣∞，﹣2）∪（0，1），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5．【答案】C6．【答案】A【解析】解：设x＜0时，则﹣x＞0，因为当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2所以f（﹣x）=（﹣x）3﹣2（﹣x）2=﹣x3﹣2x2，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以当x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=x3+2x2，故选A．7．【答案】D【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，则S4=4a1+d=﹣2，S5=5a1+d=0，联立解得，∴S6=6a1+d=3故选：D【点评】本题考查等差数列的求和公式，得出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题．8． 【答案】B 【解析】试题分析：函数，所以函数()cos ,3f x x π⎛⎫=+∴ ⎪⎝⎭()5'sin cos 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以将函数函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()y f x =2π，故选B.5cos cos 326y x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点：函数的图象变换.()sin y A x ωϕ=+9． 【答案】111]C 【解析】考点：线线，线面，面面的位置关系10．【答案】 C【解析】解：模拟执行程序，可得，当a ≥b 时，则输出a （b+1），反之，则输出b （a+1），∵2tan =2，lg =﹣1，∴（2tan ）⊗lg =（2tan）×（lg+1）=2×（﹣1+1）=0，∵lne=1，（）﹣1=5，∴lne ⊗（）﹣1=（）﹣1×（lne+1）=5×（1+1）=10，∴+=0+10=10．故选：C ． 11．【答案】B【解析】解：要使函数有意义，只须，即，解得1＜x ≤4且x ≠2，∴函数f （x ）的定义域为{x|1＜x ≤4且x ≠2}．故选B 12．【答案】A【解析】分类讨论，有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车，则有种. 孪生姐妹不乘坐甲车，则有12121223=C C C 种. 共有24种. 选A.12121213=C C C 二、填空题13．【答案】9【解析】由柯西不等式可知14．【答案】 y=cosx ．【解析】解：把函数y=sin2x 的图象向左平移个单位长度，得，即y=cos2x 的图象，把y=cos2x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cosx 的图象；故答案为：y=cosx ． 15．【答案】 ．【解析】解：∵数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），∴当n ≥2时，a n =（a n ﹣a n ﹣1）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n =．∴=2．∴数列{}的前n 项的和S n ===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．16．【答案】 必要不充分 【解析】解：由题意得f′（x）=e x++4x+m，∵f（x）=e x+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，∴f′（x）≥0，即e x++4x+m≥0在定义域内恒成立，由于+4x≥4，当且仅当=4x，即x=时等号成立，故对任意的x∈（0，+∞），必有e x++4x＞5∴m≥﹣e x﹣﹣4x不能得出m≥﹣5但当m≥﹣5时，必有e x++4x+m≥0成立，即f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上成立∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件故答案为：必要不充分17．【答案】 a≤﹣1 ．【解析】解：由x2﹣2x﹣3≥0得x≥3或x≤﹣1，若“x＜a”是“x2﹣2x﹣3≥0”的充分不必要条件，则a≤﹣1，故答案为：a≤﹣1．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据条件求出不等式的等价是解决本题的关键．18．【答案】 ．【解析】设A（1，1），B（﹣1，﹣1），则直线AB过原点，且阴影面积等于直线AB与圆弧所围成的弓形面积S1，由图知，，又，所以【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式，属于中档题．三、解答题19．【答案】（１） ；（２）证明见解析；．24y x =(3,0)【解析】（2）易知直线，的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，，，11(,)A x y 22(,)B x y 则直线：，，(1)y k x =-1212(,)22x x y y M ++由得，24,(1),y x y k x ⎧=⎨=-⎩2222(24)0k x k x k -++=，2242(24)416160k k k ∆=+-=+>考点：曲线的轨迹方程；直线与抛物线的位置关系．【易错点睛】导数法解决函数的单调性问题：（1）当不含参数时，可通过解不等式)(x f )0)((0)(''<>x f x f 直接得到单调递增（或递减）区间．（2）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意),(),0)((0)(''b a x x f x f ∈≤≥参数的取值是不恒等于的参数的范围．)('x f 20．【答案】证明见解析．【解析】考点：直线与平面平行的判定与证明．21．【答案】（１）；（２）众数是，中位数为．0.0075x =230224【解析】试题分析：（１）利用频率之和为一可求得的值；（２）众数为最高小矩形底边中点的横坐标；中位数左边和右边的直方图的面积相等可求得中位数．1试题解析：（1）由直方图的性质可得，(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201x ++++++⨯=∴．0.0075x =考点：频率分布直方图；中位数；众数．22．【答案】【解析】解：（1）S n=2n2﹣19n+1=2﹣，∴n=5时，S n取得最小值=﹣44．（2）由S n=2n2﹣19n+1，∴n=1时，a1=2﹣19+1=﹣16．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n2﹣19n+1﹣[2（n﹣1）2﹣19（n﹣1）+1]=4n﹣21．由a n≤0，解得n≤5．n≥6时，a n＞0．∴n≤5时，T n=|a1|+|a2|+…+|a n|=﹣（a1+a2+…+a n）=﹣S n=﹣2n2+19n﹣1．n≥6时，T n=﹣（a1+a2+…+a5）+a6+…+a n=﹣2S5+S n=2n2﹣19n+89．∴T n=．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的解法、绝对值数列求和问题，考查了分类讨论方法推理能力与计算能力，属于中档题．23．【答案】【解析】（本题满分为12分）解：（1）在△ABC中，AD=5，AB=7，BD=8，由余弦定理得…=…∴∠BDA=60°…（2）∵AD⊥CD，∴∠BDC=30°…在△ABC中，由正弦定理得，…∴．…24．【答案】B【解析】当x≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2。
2018-2019学年河南省高二(上)期末数学试卷(理科) 解析版
2018-2019学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题1．设命题p：∀x＞0，|x|＝x，则￢p为（）A．∀x＞0，|x|≠x B．∃x0≤0，|x0|＝x0C．∀x≤0，|x|＝x D．∃x0＞0，|x0|≠x02．已知抛物线的准线方程x＝，则抛物线的标准方程为（）A．x2＝2y B．x2＝﹣2y C．y2＝x D．y2＝﹣2x3．若等比数列{a n}的前n项和为S n，2a3+a6＝0，则＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．24．函数f（x）＝x3﹣e x的图象在x＝1处的切线斜率为（）A．3 B．3﹣e C．3+e D．e5．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝5，b＝3，，则＝（）A．B．C．D．6．若函数f（x）＝ax﹣lnx在[1，2]上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．[1，+∞）C．D．（﹣∞，7．若，则函数f（x）＝ax+e x﹣1的图象在x＝1处的切线方程为（）A．2x﹣y＝0 B．2x+y＝0 C．x﹣2y＝0 D．x+2y＝0 8．“a，b，c，d成等差数列”是“a+d＝b+c”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．函数f（x）＝的最小值为（）A．B．C．2 D．10．若x＞1，则的最大值为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），对任意x∈R，f'（x）＞f（x）恒成立，且f（1）＝1，则不等式ef（x）＞e x的解集为（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]12．设双曲线M：＝1（a＞0，b＞0）的上顶点为A，直线y＝与M交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线交于点D若D到点（0，2）的距离不超过8﹣7a，则M的离心率的取值范围是（）A．[+1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（1，+1] D．（1，﹣1] 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上13．若函数f（x）＝x2﹣，则f′（1）＝．14．若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣3y的最小值为．15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，O为侧面BCC1B1的中心，则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为．16．若函数y＝sin2x+cos3x+a﹣1在区间[﹣]上的最小值为0，则a＝．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知椭圆W：＝1（m＞0，n＞0）的离心率为e，长轴为AB，短轴为CD．（1）若W的一个焦点为（3，0），|CD|＝6，求W的方程；（2）若|AB|＝10，e＝，求W的方程．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cos2A﹣cos2B＝1，b+2a cos C ＝0．（1）求C；（2）若，求△ABC的周长．19．设函数f（x）＝（x+1）2+axe x．（1）若a＝1，求f（x）的极值；（2）若a＝﹣1，求f（x）的单调区间．20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5＝5S2，a6＝6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•3}的前n项和T n．21．已知函数f（x）＝（a﹣b）x2﹣x﹣xlnx．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，且f（1）＝a，求a，b 的值；（2）若a＝1，f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求b的取值范围．22．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝BB1＝BA，，AB⊥B1C．（1）证明：AC＝AB1；（2）若AC⊥AB1，求二面角B1﹣AB﹣C的正弦值．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设命题p：∀x＞0，|x|＝x，则￢p为（）A．∀x＞0，|x|≠x B．∃x0≤0，|x0|＝x0C．∀x≤0，|x|＝x D．∃x0＞0，|x0|≠x0解：因为全称命题的否定是推出明天吧，所以命题p：∀x＞0，|x|＝x，则￢p为：∃x0＞0，|x0|≠x0．故选：D．2．已知抛物线的准线方程x＝，则抛物线的标准方程为（）A．x2＝2y B．x2＝﹣2y C．y2＝x D．y2＝﹣2x解：∵抛物线的准线方程x＝，可知抛物线为焦点在x轴上，且开口向左的抛物线，且，则p＝1．∴抛物线方程为y2＝﹣2x．故选：D．3．若等比数列{a n}的前n项和为S n，2a3+a6＝0，则＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2解：∵2a3+a6＝0，∴q3＝﹣2，∴＝＝1+q3＝﹣1，故选：A．4．函数f（x）＝x3﹣e x的图象在x＝1处的切线斜率为（）A．3 B．3﹣e C．3+e D．e解：根据题意，函数f（x）＝x3﹣e x，其导数f′（x）＝3x2﹣e x，则f′（1）＝3﹣e，即函数f（x）＝x3﹣e x的图象在x＝1处的切线斜率k＝3﹣e；故选：B．5．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝5，b＝3，，则＝（）A．B．C．D．解：∵c＝5，b＝3，，∴由余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，得a＝7，∴由正弦定理：．故选：A．6．若函数f（x）＝ax﹣lnx在[1，2]上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．[1，+∞）C．D．（﹣∞，解：，因为f（x）在[1，2]内单调递增，所以f′（x）≥0对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，所以；故选：B．7．若，则函数f（x）＝ax+e x﹣1的图象在x＝1处的切线方程为（）A．2x﹣y＝0 B．2x+y＝0 C．x﹣2y＝0 D．x+2y＝0解：∵，∴f（x）＝ax+e x﹣1＝x+e x﹣1，则f′（x）＝1+e x﹣1，∴f′（1）＝2，又f（1）＝2，∴函数f（x）＝ax+e x﹣1的图象在x＝1处的切线方程为y﹣2＝2（x﹣1），即2x﹣y＝0．故选：A．8．“a，b，c，d成等差数列”是“a+d＝b+c”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：由a，b，c，d成等差数列，可得：a+d＝b+c，反之不成立：例如a＝0，d＝5，b＝∴“a，b，c，d成等差数列”是“a+d＝b+c”的充分不必要条件．故选：A．9．函数f（x）＝的最小值为（）A．B．C．2 D．解：函数f（x）＝，可得f′（x）＝x+1﹣＝，可知f（x）则（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，所以：f（x）min＝f（1）＝．故选：D．10．若x＞1，则的最大值为（）A．B．C．D．解：令t＝x﹣1，则x＝t+1，t＞0，原式＝＝＝≤＝，当且仅当t＝1即x＝2时等号成立，故选：C．11．已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），对任意x∈R，f'（x）＞f（x）恒成立，且f（1）＝1，则不等式ef（x）＞e x的解集为（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0] 解：∵f'（x）＞f（x），∴＞0，∴＞0，令g（x）＝，则g′（x）＝＞0，∴g（x）在R上是增函数．∵ef（x）＞e x，∴，即g（x）＞g（1）＝．故选：A．12．设双曲线M：＝1（a＞0，b＞0）的上顶点为A，直线y＝与M交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线交于点D若D到点（0，2）的距离不超过8﹣7a，则M的离心率的取值范围是（）A．[+1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（1，+1] D．（1，﹣1] 解：记c＝，由题意可得B（，c），C（﹣，c），由双曲线的对称性可知D点在y轴上，设D（0，t），则×＝﹣1，则t＝c﹣＝c﹣，∴2c﹣[c﹣]≤8﹣7a＝8c﹣7a，∴≤7（c﹣a），∴c2+2ac+a2≤7a2，即e2+2e﹣6≤0，解得﹣1﹣≤e≤﹣1+，∵e＞1，∴e∈（1，﹣1]，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上13．若函数f（x）＝x2﹣，则f′（1）＝ 3 ．解：根据题意，函数f（x）＝x2﹣，则f′（x）＝2x+，则f（1）＝2+1＝3；故答案为：3．14．若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣3y的最小值为﹣1 ．解：由约束条件得到可行域如图：z＝2x﹣3y变形为y＝x﹣，当此直线经过图中A （1，1）时，在y轴的截距最大，z最小，所以z的最小值为2×1﹣3×1＝﹣1；故答案为：﹣1．15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，O为侧面BCC1B1的中心，则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为．解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，令AB＝2，则D1（0，2，2），O（2，1，1），M（0，1，0），N（1，2，2），∴＝（1，1，2），＝（﹣2，1，1），设异面直线MN与OD1所成角为θ，则cosθ＝＝．∴异面直线MN与OD1所成角的余弦值为．故答案为：．16．若函数y＝sin2x+cos3x+a﹣1在区间[﹣]上的最小值为0，则a＝．解：函数y＝sin2x+cos3x+a﹣1＝﹣cos2x+cos3x+a，因为x∈[﹣]．所以cos x ∈[0，1]，令t＝cos x，则g（t）＝t3﹣t2+a，g′（t）＝3t2﹣2t＝t（3t﹣2），t∈[0，1]，当t∈[0，]时，g′（t）≤0，当t∈（，1]时，g′（t）＞0，从而g（t）max＝g（）＝a﹣＝0，解得a＝．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知椭圆W：＝1（m＞0，n＞0）的离心率为e，长轴为AB，短轴为CD．（1）若W的一个焦点为（3，0），|CD|＝6，求W的方程；（2）若|AB|＝10，e＝，求W的方程．解：（1）由已知可得，c＝3，2b＝6，b＝3．∴a2＝b2+c2＝18．由题意可知，椭圆焦点在x轴上，则椭圆方程为；（2）由已知可得，2a＝10，则a＝5，又e＝＝，∴c＝3，则b2＝a2﹣c2＝16．若椭圆焦点在x轴上，则椭圆方程为．若椭圆焦点在y轴上，则椭圆方程为．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cos2A﹣cos2B＝1，b+2a cos C ＝0．（1）求C；（2）若，求△ABC的周长．解：（1）∵2cos2A﹣cos2B＝1，∴2（1﹣2sin2A）﹣（1﹣2sin2B）＝1，∴2sin2A＝sin2B，由正弦定理可得，b2＝2a2，∵b+2a cos C＝0．∴＝0，∴cos C＝﹣，∵C∈（0，π），∴C＝，（2）∵，C＝，由余弦定理可得，10＝，＝＝5a2，∴，b＝2，∴△ABC的周长2．19．设函数f（x）＝（x+1）2+axe x．（1）若a＝1，求f（x）的极值；（2）若a＝﹣1，求f（x）的单调区间．解：（1）a＝1时，f（x）＝（x+1）2+xe x，f′（x）＝（x+1）（e x+2），令f′（x）＞0，解得：x＞﹣1，令f′（x）＜0，解得：x＜﹣1，故f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，故f（x）极小值＝f（﹣1）＝﹣，无极大值；（2）证明：a＝﹣1时，f（x）＝（x+1）2﹣xe x，f′（x）＝（x+1）（2﹣e x），令f′（x）＝0，解得：x＝﹣1或x＝ln2＞0，故x∈（﹣∞，﹣1），（ln2，+∞）时，f′（x）＜0，x∈（﹣1，ln2）时，f′（x）＞0，故f（x）在（﹣1，ln2）递增，在（﹣∞，﹣1），（ln2，+∞）递减．20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5＝5S2，a6＝6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•3}的前n项和T n．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由，得a1＝1，d＝1，故a n＝n；（2）由，，两式作差，得：﹣2＝，故．21．已知函数f（x）＝（a﹣b）x2﹣x﹣xlnx．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，且f（1）＝a，求a，b 的值；（2）若a＝1，f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求b的取值范围．解：（1）函数f（x）＝（a﹣b）x2﹣x﹣xlnx的导数为f′（x）＝2（a﹣b）x﹣1﹣（1+lnx）＝2（a﹣b）x﹣2﹣lnx，在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，且f（1）＝a，可得2（a﹣b）﹣2＝0，且a﹣b﹣1＝a，解得a＝0，b＝﹣1；（2）a＝1，f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即为（1﹣b）x2﹣x﹣xlnx≥0对x＞0恒成立，可得b≤（1﹣﹣）min，设g（x）＝1﹣﹣，g′（x）＝﹣＝，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减；x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增．即有g（x）在x＝1处取得最小值，且为0，可得b≤0，即b的取值范围是（﹣∞，0]．22．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝BB1＝BA，，AB⊥B1C．（1）证明：AC＝AB1；（2）若AC⊥AB1，求二面角B1﹣AB﹣C的正弦值．【解答】（1）证明：连接BC1，交B1C于点O，连接AO，由题知，侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，又AB⊥B1C，AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABO，又AO⊂平面ABO，所以B1C⊥AO．因为B1O＝CO，所以AC＝AB1．（2）解：因为AC⊥AB1，所以AO＝CO，又AB＝BC，所以△BOA≌△BOC．所以OA⊥OB，可知OA，OB，OB1两两垂直，以O为原点，建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，设，则A（0，0，1），，C（0，﹣1，0），B1（0，1，0），所以，，，设平面ABC的法向量为，由，令y＝3，得，设平面B1AB的法向量为，由，令x＝1，得，所以，故二面角B1﹣AB﹣C的正弦值为．。
2018-2019学年河南省郑州市高二上期期末考试数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年河南省郑州市高二上期期末考试数学 （理）试、单选题【解析】根据全称命题的否定是特称命题即可写出答案【详解】则匸为& ：' -J故选：B【点睛】 本题考全称命题的否定形式，属于简单题fa !a. = l^u = 16* a.2 .已知数列 •是等比数列，若贝U 的值为（ ）A . 4B . 4 或-4 C. 2D . 2或-2【答案】A42【解析】设数列｛an ｝的公比为q ，由等比数列通项公式可得 q = 16,由a3= aiq可得.【详解】故选：A【点睛】 本题考查等比数列的性质以及通项公式，属于简单题.3 .已知「…是实数，下列命题结论正确的是（ ）A . “「”是“”的充分条件B. 「”是“ ”的必要条件C . “ac2bc2堤“：”的充分条件D .”是“：”的充要条件1 •已知命题 -'■■-那么为（A . C *4 J-E < 0【答案】BD .X 3-8 < 0计算的前项和为，且 "，则()【答案】C【解析】根据不等式的性质，以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可. 【详解】对于•，当一亠'时，满足 •：，但是 ，所以充分性不成立；对于打当- ：二一；时，满足 ，但是• ，所以必要性不成立；对于'，当/|= ="时，匸'口成立，但是 ，所以充分性不成立，当/:= < = •时,分也不必要条件, 故选：C【点睛】 本题主要考查不等式的性质以及充分条件，必要条件的判断，属于基础题.2 2 X ¥C ： --- = i(a >0.b>0)2 .2 a b离心率为满足 ，但是1?1 ,所以必要性也不成立，故N 二问”是“ ”的既不充4.已知双曲线的一条渐近线与直线小：I-垂直，则双曲线的A .B.C.D .【答案】【解析】 双曲线的渐近线方程为 b=± -x，由渐近线与直线山u ―二垂直，得：的值,从而得到离心率• 【详解】由于双曲线的一条渐近线与直线丁 垂直,所以双曲线一条渐近线的斜率为1b ■y =± ~x:又双曲线的渐近线方程为所以.'，双曲线的离心率 故选：A 【点睛】 本题主要考查3【详解】第3页共18页A .B . C. D .【答案】C 【解析】由. 「得•，再由等差数列的性质即可得到结果•【详解】因为.•为等差数列，所以： •，解得 ，故 ％ + %+%二羽 6 = 3. 故选:C 【点睛】本题主要考查等差数列的前项和公式，以及等差数列性质 :（其中m+n=p+q ）的应用.BJsCOS -=—6 •「宀的内角的对边分别为"',则■=（） A 2Q B \：29 C 2° D 纨2【答案】D【解析】先由二倍角公式得到 cosB ，然后由余弦定理可得 b 值. 【详解】B店2B 3cos-三—cosB = 2cos - -1 =--因为 •，所以a 2 + c 2 *b z 1 + 2S - b 2 3cosB = ------------- = --------------- -- —厂由余弦定理 ' •，所以-：■'故选：D 【点睛】本题考查余弦二倍角公式和余弦定理的应用，属于简单题2 2 2 2 x y xy+ = 1 = =l(k < 8)7 •椭圆’：' 与曲线''的（)A .焦距相等B.离心率相等C.焦点相同 D .准线相同【答案】A【解析】分析两个曲线的方程，分别求出对应的 a,b,c 即可得答案2 2 x_ + ^ _ i因为椭圆方程为 「- ，所以 2JU — ,焦点在x 轴上,2 2 > ¥ ...-=l （k 垃 8 j曲线I.：,因为 •，所以J 心 m 心,曲线方程可写为2 2 X ¥----- + ------- = i(k < 8') 8-k 12-k“八，所以焦距相等故选：A 【点睛】本题考查椭圆标准方程及椭圆简单的几何性质的应用，属于基础题.8 .在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA 仁1,'，则二的长为（）A .B. 6C. D .【答案】CAC = AB 十 AD + AA1【解析】根据空间向量可得^ ，两边平方即可得出答案.【详解】••• AB = AD = AA1= 1,Z BAD = Z BAAi = Z DAAi = 60°,… — — — ,• ?AC?二 AB Z +AD Z + AA? + 2AB AD + 2AD • AA. + 2AB • AA.—61= * .故选：C.【点睛】本题考查平行四面形法则、向量数量积运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计kA^k ,所以曲线为焦点在y 轴上的椭圆,算能力•9 .已知1：<11 bx 1■ ■不等式' 的解集是 」，若对于任意 厂一=门，不等式f(x) + t£4恒成立，则t 的取值范围( )【解析】由不等式的解集是 :,可得b 、c 的值，代入不等式f ( x ) +tw 4后变量分离2 2得 t < 2x - 4x - 2, x€［ - 1, 0］，设 g (x )= 2x - 4x - 2，求 g(x)在区间［-1 , 0］上的最小值可得答案. 【详解】b ；2 =-即\2- 3 =--由不等式愀庐。
河南省郑州市八校2019～2020学年度高2021届高2018级高二第一学期期中联考试题数学理科数学试题及参考答案解
河南省郑州市八校2019～2020 学年度第一学期期中联考试题高中二年级理科数学一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知a＜0,-1＜b＜0,则有( )A. B. C. D.2.在△ABC中,∠A＝45°,∠B＝60°,a＝2,则b等于( )A. B.C. D.3.设是公比为q的等比数列,则“”是“为递增数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.下列有关命题的说法中错误的是( )A. 若为假命题,则p、q均为假命题B. “”是“”的充分不必要条件C. 命题“若,则“的逆否命题为:“若,则”D. 对于命题p:,使得,则:,均有5.已知在△ABC中内角ABC的对边分别为ab边c上的高为,ab=2,则角C的大小( )A. B. C. D.6.若x,y满足x＋1≤y≤x,则y-2x的最大值是( )A. B. 2 C. D. 17.已知在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,∠A=60°,b=4,若此三角形有且只有一个,则a的取值范围是( )A. B.C. 或D.8.在等差数列{a n}中,a1＞0,a2012＋a2013＞0,a2012a2013＜0,则使S n＞0成立的最大自然数n是()A. 4025B. 4024C. 4023D. 40229.已知函数,若数列{a n}满足a n=f(n)(n∈N＋)且对任意的两个正整数m,n(m≠n)都有(m-n)(a m-a n)＞0,那么实数a的取值范围是( )A. B. C. D.10.在△ABC中,A为锐角,lg b＋lg()=lgsin A=－lg,则△ABC为()A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形11.已知数列{a n}满足,S n是数列{a n}的前n项和,若S2017＋m=1010,且a1•m＞0,则的最小值为( )A. 2B.C.D.12.若正数x,y满足x＋2y＋4=4xy,且不等式(x＋2y)a2＋2a＋2xy-34≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.设数列{a n}满足a1=1,且a n＋1-a n=n＋1(n∈N*),则数列{}的前10项的和为______.14.在△ABC中,已知b=1,c=2,AD是∠A的平分线,AD=,则∠C=______.15.设不等式组表示的平面区域为Ω1,平面区域Ω2与Ω1关于直线2x＋y=0对称,对于任意的C∈Ω1,D∈Ω2,则|CD|的最小值为______.16.在△ABC中,∠ACB=60°,BC＞2,AC=AB＋1,当△ABC的周长最短时,BC的长是______.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.设p:实数x满足x2-4ax＋3a2＜0,q:实数x满足|x-3|＜1.(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;(2)若a＞0且￢p是￢q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.18.已知关于x的不等式kx2-2x＋6k＜0(k≠0)(1)若不等式的解集是{x|x＜-3或x＞-2},求k的值;(2)若不等式的解集是R,求k的取值范围;(3)若不等式的解集为∅,求k的取值范围.19.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若a,b,c成等差数列,△ABC的周长为15,且c2=a2＋b2＋ab.(Ⅰ)求△ABC的面积;(Ⅱ)设G为△ABC的重心,求CG的长.20.已知等差数列{a n}与公比为正数的等比数列{b n}满足b1=2a1=2,a2＋b3=10,a3＋b2=7.(1)求{a n},{b n}的通项公式;(2)若,求数列{c n}的前n项和S n.21.郑州市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示,经规划调研确定,棚改规划建筑用地区域近似的为圆面,该圆面的内接四边形ABCD是原棚户区建筑用地,测量可知边界AB=AD=4万米,BC=6万米,CD=2万米.(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及线段AC的长;(2)因地理条件的限制,边界AD,DC不能变更,而边界AB,BC可以调整,为了提高棚户区改造建筑用地的利用率,请在弧上设计一点P,使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大,并求最大值.22.各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n,且满足.各项均为正数的等比数列{b n}满足b1=a1,b3=a2.(1)求证{a n}为等差数列并求数列{a n}、{b n}的通项公式;(2)若c n=(3n-2)•b n,数列{c n}的前n项和T n.①求T n;②若对任意n≥2,n∈N*,均有恒成立,求实数m的取值范围.答案和解析1.【试题参考答案】D解:∵a＜0,-1＜b＜0,∴0＜b2＜1,ab＞0,∴ab2＞a,ab2＜ab,ab＞a,∴ab＞ab2＞a,故选:D.根据不等式的性质,逐一分析四个答案的真假,可得答案.本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了不等式的基本性质,难度不大,属于基础题.2.【试题参考答案】A解:由正弦定理可得,∴===故选A由正弦定理可得,,代入可求本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础试题3.【试题参考答案】D本题主要考查充分条件和必要条件的判断,考查等比数列的函数性质,属于基础题.根据等比数列的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【试题解答】解:设数列的首项为,若为递增数列,则对恒成立,即或,所以由为递增数列,由为递增数列,故“q＞1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.4.【试题参考答案】A解:对于选项A,由命题p∧q为假命题可知命题p和命题p至少有一个为假,命题p、q均为假命题错误,所以选择A项.对于B项,x=1⇒x2-3x＋2=0,但是x2-3x＋2=0≠＞x=1故“x=1”是“x2-3x＋2=0”的充分不必要条件,判断对.对于C项,由逆否命题的概念可知C项中的命题是真命题,判断对,对于D项,有特称命题的否定是全称命题可知选项D中的命题的否命题是¬p:∀x∈R,均有x2＋x＋1≥0,推理对.故选:A.本选择题可以逐一判断,显然对于A选项p∧q为假命题可知p、q一假一真或者均为假命题,因此A的结论错误,选择A项即可.对于B项,x=1⇒x2-3x＋2=0,反之无法推出,所以“x=1”是“x2-3x＋2=0”的充分不必要条件.对于C项条件,结论否定且互换,正确.特称命题的否定是全称命题,由∃x∈R,使得x2＋x＋1＜0对应的全称命题是:∀x∈R,均有x2＋x＋1≥0,可知D判断正确.本题考查复合命题的真假判断问题,充要条件,命题的否定,全称命题以及特称命题的概念.5.【试题参考答案】A解:由题意,根据三角形的面积公式,可得:ab sin C=c•,解得sin C=cos C,即tan C=1,又0＜C＜π,可得C=.故选:A.根据三角形的面积公式,解得sin C=cos C,即tan C=1,即可求解C的大小;本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用,其中在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,要抓住能够利用某个定理的信息,合理选择正、余弦定理求解,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.6.【试题参考答案】A解:作出实数x,y满足不等式组对应的平面区域如图(阴影部分):令z=-2x＋y,则y=2x＋z,由图可知当直线y=2x过点A(2,2)时,z最大,即-2x＋y取最大值为-4＋2=-2,故选:A.作出x,y满足的可行域,利用z的几何意义即可解答.本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,利用结合数形结合是解决本题的关键.属于基础题.7.【试题参考答案】C解:∵在△ABC中,∠A=60°,b=4,∴由正弦定理可得b sin A=4×=6;∵这样的三角形有且只有一个,∴a=6或a≥4;故选:C.根据题意求出c sin A=6,然后数形结合可得a的范围.本题考查正弦定理的应用,考查三角形解得情况,考查特殊角的三角函数值,属于基础题.8.【试题参考答案】B本题考查了等差数列的性质,考查了等差数列的前n项和,当等差数列中有奇数项时,前n项和等于中间项乘以项数,属于基础题.由题意可得a2012＞0,a2013＜0,再根据S4024==2012(a2012＋a2013 )＞0,而S4025=4025a2013＜0,由此可得S n＞0成立的最大自然数n的值.【试题解答】解:∵等差数列{a n},首项a1＞0,a2012＋a2013＞0,a2012a2013＜0,∴a2012＞0,a2013＜0.(假设a2012＜0＜a2013,则d＞0,而a1＞0,可得a2012=a1＋2011d＞0,矛盾,故不可能.)再根据S4024==2012(a2012＋a2013 )＞0,而S4025=4025a2013＜0,因此使前n项和S n＞0成立的最大自然数n为4024.故选B.9.【试题参考答案】C解:∵对任意的两个正整数m,n(m≠n)都有(m-n)(a m-a n)＞0,∴数列{a n}是递增数列,又∵f(x)=,a n=f(n)(n∈N*),∴1＜a＜3且f(7)＜f(8)∴7(3-a)-3＜a2解得a＜-9,或a＞2故实数a的取值范围是(2,3)故选C.由函数f(x)=,数列a n满足a n=f(n)(n∈N*),且对任意的两个正整数m,n(m≠n)都有(m-n)(a m-a n)＞0,我们得函数f(x)=为增函数,根据分段函数的性质,我们得函数在各段上均为增函数,根据一次函数和指数函数单调性,我们易得a＞1,且3-a＞0,且f(7)＜f(8),由此构造一个关于参数a的不等式组,解不等式组即可得到结论.本题考查的知识点是分段函数,其中根据分段函数中自变量n∈N*时,对应数列为递增数列,得到函数在两个段上均为增函数,且f(7)＜f(8),从而构造出关于变量a的不等式是解答本题的关键.10.【试题参考答案】D根据对数的运算法则,得到=sin A=,结合A为锐角得到A=,再利用余弦定理表示a2的式子,化简整理得a=b,由此得到△ABC为以c为斜边的等腰直角三角形.本题给出含有对数的三角形的边角关系式,判断三角形的形状,着重考查了对数的运算法则和利用正、余弦定理解三角形等知识,属于基础题.【试题解答】解:∵lg b＋lg()=lgsin A=-lg,A为锐角,∴=sin A=,即c=且A=,根据余弦定理,得a2=b2＋c2-2bc cos=b2＋2b2-2b×b×=b2,∴a=b=c,可得△ABC是以c为斜边的等腰直角三角形.故选:D.11.【试题参考答案】A本题考查数列与三角函数的结合,注意运用整体思想和转化思想,考查最值的求法,注意运用乘1法和基本不等式,考查运算能力,属于中档题.由S2017-a1=(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2016＋a2017),结合余弦函数值求和,再由S2017＋m=1010,可得a1＋m=2,由a1•m＞0,可得a1＞0,m＞0,运用乘1法和基本不等式即可得到所求最小值.【试题解答】解:数列{a n}满足,可得a2＋a3=3cosπ=-3,a4＋a5=5cos2π=5,a6＋a7=7cos3π=-7,…,a2016＋a2017=2017cos1008π=2017,则S2017-a1=(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2016＋a2017)=-3＋5-7＋9-…＋2017=1008,又S2017＋m=1010,所以a1＋m=2,由a1•m＞0,可得a1＞0,m＞0,则=(a1＋m)()=(2＋＋)≥(2＋2)=2,当且仅当a1=m=1时,取得最小值2,故选A.12.【试题参考答案】C解:∵正实数x,y满足x＋2y＋4=4xy,可得x＋2y=4xy-4,∴不等式(x＋2y)a2＋2a＋2xy-34≥0恒成立,即(4xy-4)a2＋2a＋2xy-34≥0恒成立,变形可得2xy(2a2＋1)≥4a2-2a＋34恒成立,即xy≥恒成立,∵x＞0,y＞0,∴x＋2y≥2,∴4xy=x＋2y＋4≥4＋2,即2()2-•-2≥0,解不等式可得≥,或≤-(舍负)可得xy≥2,要使xy≥恒成立,只需2≥恒成立,化简可得2a2＋a-15≥0,即(a＋3)(2a-5)≥0,解得a≤-3或a≥,故答案为:(-∞,-3]∪[,＋∞).故选:C.原不等式恒成立可化为xy≥恒成立,由基本不等式结合不等式的解法可得xy≥2,故只需2≥恒成立,解关于a的不等式可得.本题考查基本不等式的应用,涉及恒成立问题,变形并求出需要的最小值是解决问题的关键,属中档题.13.【试题参考答案】本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.数列{a n}满足a1=1,且a n＋1-a n=n＋1(n∈N*),利用“累加求和”可得a n=.再利用“裂项求和”即可得出.【试题解答】解:∵数列{a n}满足a1=1,且a n＋1-a n=n＋1(n∈N*),∴当n≥2时,a n=(a n-a n-1)＋…＋(a2-a1)＋a1=n＋…＋2＋1=.当n=1时,上式也成立,∴a n=.∴=2.∴数列{}的前n项的和S n===.∴数列{}的前10项的和为.故答案为:.14.【试题参考答案】90°解:因为AD是∠A的平分线,所以=,不妨设BD=2x,CD=x,结合已知得cos∠BAD=cos∠CAD,在△ABD中由余弦定理得BD2=AB2＋AD2-2AB•AD cos∠BAD,即:4x2=4＋-2×cos∠BAD,…①在△ACD中,由余弦定理可得CD2=AC2＋AD2-2AC•AD cos∠CAD,即:x2=1＋-2×cos∠BAD…②,①-②×2,可得:2x2=2-=,解得:x2=.在△ADC则,cos C===0.∠C=90°.故答案为:90°.根据角平线的性质,可设BD=2x,CD=x,然后结合余弦定理列方程解x,然后利用余弦定理求解C即可.本题考查了解三角形的有关知识和方法,解题的关键是角平分线的性质以及利用两个角相等结合余弦定理列出方程求解.15.【试题参考答案】解:由不等式组作出可行域如图,由图可知,可行域Ω1内的点A(1,-1)到直线2x＋y=0的距离最小,则Ω2中的点B与Ω1内的点A的距离的最小值为A到直线2x＋y=0的距离的2倍.|AB|的最小值等于2×=.故答案为:.由题意作出可行域,数形结合得到的平面区域是Ω1内到直线2x＋y=0距离最小的点,由点到直线的距离公式求得答案.本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.16.【试题参考答案】2解:设A,B,C所对的边a,b,c,根据余弦定理可得a2＋b2-c2=2ab cos C=ab,将b=c＋1代入上式,可得a2＋2c＋1=ac＋a,化简可得c=,所以△ABC的周长L=a＋b＋c=a＋2c＋1=a＋1＋2•设a-2=t(t＞0),则a=t＋2,可得L=t＋3＋2•=3t＋＋9≥2＋9=9＋6,当且仅当3t=,即t=,此时a=2＋时,可得周长的最小值为9＋6.BC的长是2＋.故答案为:2＋.设A,B,C所对的边a,b,c,根据余弦定理可得a2＋b2-c2=ab,以及b=c＋1可得c,再利用均值不等式即可求出答案.本题考查余弦定理和均值不等式的应用,以及化简变形、运算能力,属于中档题. 17.【试题参考答案】解:(1)由x2-4ax＋3a2＜0得(x-3a)(x-a)＜0当a=1时,1＜x＜3,即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3.由|x-3|＜1,得-1＜x-3＜1,得2＜x＜4即q为真时实数x的取值范围是2＜x＜4,若p∧q为真,则p真且q真,∴实数x的取值范围是2＜x＜3.(2)由x2-4ax＋3a2＜0得(x-3a)(x-a)＜0,若￢p是￢q的充分不必要条件,则￢p⇒￢q,且￢q⇏￢p,设A={x|￢p},B={x|￢q},则A⊊B,又A={x|￢p}={x|x≤a或x≥3a},B={x|￢q}={x|x≥4或x≤2},则0＜a≤2,且3a≥4∴实数a的取值范围是.(1)若a=1,根据p∧q为真,则p,q同时为真,即可求实数x的取值范围;(2)根据￢p是￢q的充分不必要条件,建立条件关系即可求实数a的取值范围.本题主要考查复合命题的真假关系以及充分条件和必要条件的应用,考查学生的推理能力.18.【试题参考答案】解:(1)∵不等式kx2-2x＋6k＜0的解集是{x|x＜-3或x＞-2},∴k＜0,且-3和-2是方程kx2-2x＋6k=0的实数根,由根与系数的关系,得(-3)＋(-2)=,∴k=-;(2)不等式的解集是R,∴△=4-24k2＜0,且k＜0,解得k＜-,(3)不等式的解集为∅,得△=4-24k2≤0,且k＞0,解得k≥.(1)根据一元二次方程与对应的不等式的关系,结合根与系数的关系,求出k的值;(2)跟你就题意△=4-24k2＜0,且k＜0,解得即可,(3)根据题意,得△≤0且k＞0,由此求出k的取值范围本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,也考查了利用基本不等式求函数最值的问题,是综合性题目.19.【试题参考答案】解:(Ⅰ)设a=x,b=x＋d,c=x＋2d,由,△ABC的周长为15,可得:x＋d=5,∵c2=a2＋b2＋ab,∴(x＋2d)2=x2＋(x＋d)2＋x(x＋d),将d=5-x代入到上式中,解得:x=3,d=2,∴a=3,b=5,c=7,∴由余弦定理可得:cos C==-,∴由C∈(0,π),可得C=,∴S△ABC=ab sin C==(Ⅱ)延长CG,交AB于F点,则F为AB的中点,∵=(＋),∴2=(＋)2=(2＋2＋2•)=[32＋52＋2×]=,∴CF=,∴CG=CF=.本题主要考查了数列,余弦定理以及平面向量在解三角形中的应用,考查了运算求解能力和转化思想,属于中档题.(Ⅰ)设a=x,b=x＋d,c=x＋2d,由△ABC的周长为15,可得:x＋d=5,进而由c2=a2＋b2＋ab,可得x=3,d=2,解得a=3,b=5,c=7,由余弦定理可得cos C=-,结合范围C∈(0,π)可得C的值,根据三角形面积公式即可计算得解.(Ⅱ)延长CG,交AB于F点,则F为AB的中点,由=(＋),可求CF的值,利用重心的性质可求CG=CF=.20.【试题参考答案】解(1)由题意a1=1,b2=2.设公差为d,公比为q,则,解得.故a n=a1＋(n-1)d=n;.(2)因为,所以=,故=.(1)直接利用已知条件建立等量关系式求出数列的通项公式.(2)利用(1)的结论,进一步利用裂项相消法的应用求出结果.本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.21.【试题参考答案】解:(1)∵四边形ABCD内接于圆,∴∠ABC＋∠ADC=180°连接AC由余弦定理得AC2=42＋62-2×4×6×cos∠ABC,AC2=42＋22-2×2×4×cos∠ADC又∵cos∠ABC=-cos∠ADC,∴又∵∠ABC∈(0,π),故,∴(万平方米).在△ABC中,由余弦定理,AC2=AB2＋BC2-2AB•BC•cos∠ABC=,∴.(2)∵S四边形APCD=S△ADC＋S△APC,又∵设AP=x,CP=y,则.又由余弦定理AC2=x2＋y2-2xy.cos60°=x2＋y2-xy=28,∴x2＋y2-xy≥2xy-xy=xy,∴xy≤28,当且仅当x=y时取等号.∴,∴面积最大为万平方米.(1)四边形ABCD内接于圆,可得∠ABC＋∠ADC=180°,连接AC,分成两三角形,利用余弦定理即可求解ABCD的面积及线段AC的长;(2)由S四边形APCD=S△ADC＋S△APC,分成两三角形,利用余弦定理结合基本不等式即可即可求解.本题考查了圆内接四边形面积问题,化简为三角形问题利用余弦定理和三角形面积公式累加求解.考查了计算能力和基本不等式的运用.属于中档题.22.【试题参考答案】解:(1)∵,∴.∴,∴,又各项为正,∴a n＋1=a n＋3(n≥2),∴a2开始成等差,又a2=4,=6a1＋9＋1,∴a1=1,∴a2-a1=3,∴{a n}为公差为3的等差数列,∴a n=3n-2,b1=1,b3=4,∴.(2),①,,∴,,,∴.②(3n-5)•2n•m≥6n2-31n＋35恒成立,∴,即恒成立,设,,当n≤4时,k n＋1>k n ;当n≥5时,k n＋1＜k n,∴,∴.本题考查数列的递推关系式的应用,数列通项公式的求法,数列求和,以及数列与不等式的关系,考查函数思想的应用,属于中档题.(1)利用已知条件转化求解数列{a n}是等差数列,求解通项公式,利用等比数列求数列{b n}的通项公式.(2)①化简c n=(3n-2)•b n,利用错位相减法求解数列{c n}的前n项和T n.②转化求出m与n的不等式,利用最值求解m的范围即可.。
2019-2020学年河南省郑州市2018级高二上学期期末考试数学(理)试卷及答案
2019-2020学年河南省郑州市2018级高二上学期期末考试数学（理）试卷★祝考试顺利★注意事项：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
考试时间120分钟，满分150分。
考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。
交卷时只交答题卡。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题；本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|x－1>0}，B＝{x|x2－x－2>0}，则A∩B＝A.(－∞，－1)B.(－1，1)C.(1，2)D.(2，＋∞)2.命题“∀x∈(－2，0)，x2＋2x<0”的否定是A.∃x0∉(－2，0)，x02＋2x0≥0B.∀x0∈(－2，0)，x02＋2x0≥0C.∀x0∉(－2，0)，x02＋2x0<0D.∃x0∈(－2，0)，x02＋2x0≥03.已知实数a、b、c满足a<b<c，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是A.ac(a－c)>0B.c(b－a)<0C.cb2<ab2D.ab<ac4.已知p，q是两个命题，若(p⌝)∨q是假命题，那么A.p是真命题且q是假命题B.p是真命题且q是真命题C.p是假命题且q是真命题D.p是假命题且q是假命题8.设变量x、y满足约束条件404021y xx yyy+-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩，则z＝2x＋3y的最大值为A.7B.8C.10D.126.已知椭圆的标准方程为22120x ym+=，并且焦距为4，则实数m的值为A.m＝4或m＝B.m＝16或m＝24C.m＝2或m＝6D.m＝4或m＝367.在△ABC 中，AC ＝23，BC ＝4，B ＝3π，则△ABC 的面积等于 A.3 B.2 C.23 D.38.已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且点P(a n ，a n ＋1)在直线上y ＝x ＋1，则11nk kS==∑A.(1)2n n + B.2(1)n n + C.21nn + D.2(1)n n +9.A 、B 两处有甲、乙两艘船，乙船在甲船的正东方向，若乙船从B 处出发沿北偏西45°方向行驶20海里到达C 处，此时甲船与乙船相距50海里，随后甲船从A 处出发，沿正北方向行驶202海里到达D 处，此时甲、乙两船相距( )海里 A.252 B.45 C.50 D.50210.如图四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝DA ＝2，BC ＝CD ＝2，现将△ABC 沿BD 折起，当二面角A －BD －C 的大小为56π时，直线AB 与CD 所成角的余弦值是523232211.已知抛物线y 2＝4x ，过点(2，0)的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，F 为抛物线的焦点。
河南省郑州市八校联考2018_2019学年高二数学下学期期中试题理(含解析)
河南省郑州市八校联考2018-2019学年高二数学下学期期中试题理（含解析）一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.复数的虚部是（）.A. -1B.C. 1D.【答案】A【解析】试题分析：，虚部是．考点：复数的虚部．【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.2.要证明，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（）.A. 综合法B. 分析法C. 类比法D. 归纳法【答案】B【解析】试题分析：因为条件没有，直接证明比较难以说明，只要分析法，要证明结论，转换为有理式，需要将两边平方法，这样就可以借助于我们有理数的大小关系来判定了，故选B.考点：不等式的证明方法——分析法.3.设函数在处存在导数为2，则（）.A. B. 6 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据导数定义，化为导数表达式即可。
【详解】根据导数定义，所以选A【点睛】本题考查了导数定义的简单应用，属于基础题。
4.若函数，则（）.A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数的求导公式求导即可得出结果.【详解】因为，所以，故选C【点睛】本题主要考查函数的求导，只需熟记基本初等函数的求导公式即可求解.5.由曲线，以及所围成的图形的面积等于（）.A. 2B.C.D.【答案】D【解析】分析：先求出曲线的交点，得到积分下限，利用定积分表示出图形面积，最后利用定积分的定义进行求解即可.详解：曲线的交点坐标为，由曲线以及围成的图形的面积，就是，故选D.点睛：本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、曲线以及直线之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.6.二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现：三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.则由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度（ ）.A.B.C.D.【答案】D 【解析】 因为，所以，应选答案D 。
郑州市高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
郑州市高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设复数（是虚数单位），则复数（ ）1i z =-i 22z z +=A.B.C.D. 1i -1i +2i +2i-【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力．2． 已知函数满足，且，分别是上的偶函数和奇函数，()xF x e =()()()F x g x h x =+()g x ()h x R 若使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）(0,2]x ∀∈(2)()0g x ah x -≥A ．B ．C ．D ．(,-∞(,-∞(0,)+∞3． 设等比数列{a n }的公比q=2，前n 项和为S n ，则=（）A ．2B ．4C ．D ．4． 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，.若,f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为A[]B[]C[]D[]5． 以椭圆+=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左、右焦点分别是F 1，F 2，已知点M 坐标为（2，1），双曲线C 上点P （x 0，y 0）（x 0＞0，y 0＞0）满足=，则﹣S（）A ．2B ．4C ．1D ．﹣16． 已知f （x ）在R 上是奇函数，且f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （7）=（ ）A ．﹣2B ．2C ．﹣98D ．987． 执行如图所示的程序，若输入的，则输出的所有的值的和为（ ）3x x A ．243 B ．363 C ．729 D ．1092【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．8． 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则循环体的判断框内①处应填（）A．11？B．12？C．13？D．14？9．在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA1=，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成角的正切值为（）A．B．C．D．10．已知点A（0，1），B（﹣2，3）C（﹣1，2），D（1，5），则向量在方向上的投影为（）A．B．﹣C．D．﹣11．若函数y=f（x）是y=3x的反函数，则f（3）的值是（）A．0B．1C．D．312．P是双曲线=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为（）A．a B．b C．c D．a+b﹣c13．将函数f（x）=3sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值不可能是（）A．B．πC．D．14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，，A=60°，则满足条件的三角形个数为（）A．0B．1C．2D．以上都不对15．如果过点M （﹣2，0）的直线l 与椭圆有公共点，那么直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题16．已知过双曲线的右焦点的直线交双曲线于两点，连结，若22221(0,0)x y a b a b-=>>2F ,A B 11,AF BF ，且，则双曲线的离心率为（ ）1||||AB BF =190ABF ∠=︒A ．BC ．D 5-6-【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．17．已知，为实数，代数式的最小值是.x y 2222)3(9)2(1y x x y ++-++-+【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力.18．已知面积为的△ABC 中，∠A=若点D 为BC 边上的一点，且满足=，则当AD 取最小时，BD 的长为 ． 19．若非零向量，满足|+|=|﹣|，则与所成角的大小为 ．三、解答题20．已知函数f （x ）=．（1）求函数f （x ）的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，求f （x ）的最大值，并求此时对应的x 的值．21．十八届四中全会明确提出“以法治手段推进生态文明建设”，为响应号召，某市红星路小区的环保人士向该市政府部门提议“在全市范围内禁放烟花、炮竹”．为此，红星路小区的环保人士对该小区年龄在[15，75）的市民进行问卷调查，随机抽查了50人，并将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）频数610121255赞成人数3610643（1）请估计红星路小区年龄在[15，75）的市民对“禁放烟花、炮竹”的赞成率和被调查者的年龄平均值；（2）若从年龄在[55，65）、[65，75）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“禁放烟花、炮竹”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．22．甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为，但由于体力原因，第7场获胜的概率为．（Ⅰ）求甲队分别以4：2，4：3获胜的概率；（Ⅱ）设X表示决出冠军时比赛的场数，求X的分布列及数学期望．23．（本小题满分12分）若二次函数满足,()()20f x ax bx c a =++≠()()+12f x f x x -=且.()01f =（1）求的解析式；()f x （2）若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围．[]1,1-()2f x x m >+m 24．（本小题满分12分）如图，多面体中，四边形ABCD 为菱形，且，，，ABCDEF 60DAB∠= //EF AC 2AD =.EA ED EF ===（1）求证：；AD BE ⊥（2）若，求三棱锥的体积.BE =-F BCD25．如图，已知椭圆C：+y2=1，点B坐标为（0，﹣1），过点B的直线与椭圆C另外一个交点为A，且线段AB的中点E在直线y=x上（Ⅰ）求直线AB的方程（Ⅱ）若点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，证明：OM•ON 为定值．郑州市高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】A 【解析】2． 【答案】B 【解析】试题分析：因为函数满足,且分别是上的偶函数和奇函数,()xF x e =()()()F x g x h x =+()(),g x h x R 使得不等式()()()()()()(],,,,0,222x x x xxxe e e e e g x h x eg x h x g x h x x ---+-∴=+=-∴==∀∈ 恒成立, 即恒成立, ()()20g x ah x -≥22022xxx xe ee e a --+--≥A()2222x x x xx xx xe e e ea e e e e -----++∴≤=--, 设，则函数在上单调递增,, 此时不等()2x x x xe e e e--=-++x x t e e -=-x x t e e -=-(]0,2220t e e -∴<≤-式当且仅当,即时, 取等号,,故选B.2t t +≥2t t=t =a ∴≤考点：1、函数奇偶性的性质；2、不等式恒成立问题及函数的最值.【方法点晴】本题主要考查函数奇偶性的性质、不等式恒成立问题及函数的最值，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合；③讨论最值min ()0f x ≥或max()0f x ≤恒成立；④讨论参数 .本题是利用方法①求得的最大值的.3． 【答案】C【解析】解：由于q=2，∴∴；故选：C ． 4． 【答案】B 【解析】当x ≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2。
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当 为奇数时， ∴实数 的取值范围是
，解得 . .…………………………………………12 分
解得 a1 = 3， d = 2 ，………………………………………2 分
则 an = 2n +1；…………………………………………4 分
（2）由（1）知 Sn = n2 + 2n ，
即
1 Sn
=
n2
1 + 2n
=
1
n(n +
2)
=
1 2
´
æ çè
1 n
-
n
1 +
2
ö ÷ø
，
…………………………………………6 分
l
=
a
+
b
+
c
=
23 3
(sinA
+
sinC )
+1
=
2
3 3
éêësinA
+
sin
æ çè
2π 3
-
A
öù ÷øúû
+1 …………8
分
=
23 3
æ çè
sinA
+
sin
2π 3
cosA - cos
2π 3
sinAö÷ø +1
=
3sinA
+
cosA
+1
=
2sin
æ çè
A
+
π 6
ö ÷ø
+1
Q0
<
A
22．（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ， Nhomakorabea∵
，且满足：
∴
，联立解得
.……………………………2 分
∴
，
.…………………………………………4 分
（2） ∴ 的前 项和
∴
，
， ，
∴
，
∴
.…………………………………………8 分
（3）不等式
，即
，
化为： 当 为偶数时，
.…………………………………………10 分 .
<
2π 3
,\
π 6
<
A
+
π 6
<
5π 6
,\
1 2
<
sin
æ çè
A
+
π 6
ö ÷ø
£
1
，…………………………………………10
分
\1
<
2sin
æ çè
A
+
π 6
ö ÷ø
£
2
，
\DABC 的周长 l = a + b + c Î(2,3] ，………………………………………12 分
故 DABC 的周长 l 的取值范围为 (2,3] .
21．（1）Q bcosC
=
a
-
1 2
c
，
\ 由余弦定理，得 b × a2
+ b2 - c2 2ab
=a-
1 2
c
，
\ a2 + b2 - c2 = 2a2 - ac ，
\ a2 + c2 - b2 = ac …………………………………………2 分
∵
cosB
=
a2
+ c2 2ac
b2
\ cosB
=
1 2
2
ö ÷ø
………………………………10
分
=
3 4
-
1 2
´
æ çè
1 n +1
+
n
1 +
2
ö ÷ø
.
所以 Tn
<
3 4
.…………………………………………12
分
20．(1)设 n 年后的总利润为 y 万元，则
y
=
50n
-
98
-
êé12 ë
´
n
+
n
(
n -1)
2
´
4úù û
=
-2
(
n
-10)2
+
102
，…………………4
则
Tn
=
1 S1
+
1 S2
+L +
1 Sn-1
+
1 Sn
=
1 2
´ [æçè1 -
1 3
ö ÷ø
+
æ çè
1 2
-
1 4
ö ÷ø
+L
+
æ çè
n
1 -1
-
n
1 +
1
ö ÷ø
+
æ çè
1 n
-
n
1 +
2
ö÷ø ]
…………………………………………8 分
=
1 2
´ æçè1+
1 2
-
1 n +1
-
n
1 +
,Q B
Î(0, π),\ B
=
π 3
.…………………………………………4
分
（2）Q B
=
π 3
,\
A+C
=
2π 3
.
由正弦定理，得
b sinB
=
a sinA
,\ a
=
bsinA sinB
=
23 3
sinA ，同理可得 c
=
23 3
sinC
，
\DABC 的周长
…………………………………………6 分
1-5．CACBC 6-10.CDACB 11-1.2CC
13．
ìíî
1 2
,
0,
1 3
ü ý þ
参考答案
14． 15．
16．
17．对于
p
由
2x2
-
3x
+1
£
0
，得
1 2
£
x
£
1……………………………………2
分
对于 q 由 x2 - 2ax + a2 -1 £ 0 ，得 a -1 £ x £ a +1………………………………4 分
Q 非 p 是非 q 的必要不充分条件
\ p 是 q 的充分不必要条件…………………………………………6 分
\
{a -1 £ a +1³
1
2 1
，得
0
£
a
£
3 2
…………………………………………10
分
18．（1）∵
，∴由正弦定理可得
，…………………………2 分
∴ ，∴ .…………………………………………4 分
分
所以到第10 年末总利润最大，最大值是102 万元.……………………………6 分
（2）年平均利润为
y n
=
-2
æ çè
n
+
49 n
ö ÷ø
+
40
£
-28 +
40
= 12
，………………8
分
当且仅当
n
=
49 n
时，即
n
=
7
时，上式取等号.…………………………………10
分
所以到第 7 年末平均利润最大，最大值是12 万元.……………………………12 分
（2）∵ ， ，∴ .…………………………………………6 分
∴
.…………………………………………8 分
∴
，∴
.…………………………………………12 分
19．（1）设等差数列的公差为 d ，则由 2a9 = a2 +13 及等差数列的通项公式，
得 a1 + 5d = 12 ，又 a2 = a1 + d = 4 ，