高中数学等比数列优质课ppt课件

1 n－1 答案：an＝ . 3
1n－1 an＝3 .
4．若等比数列的通项公式为 列的第 5 项为________．
1 5－ 1 1 解析：a5＝2× ＝ . 8 2
1 n－1 an＝2× .则数 2
1 答案： 8
要点阐释
1．等比数列的定义 关于定义理解的几点注意： (1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一 项均不为0，因此q也不能是0. an＋1 (2) 均为同一常数，即比值相等，由此体现了 an
1．已知 a 是公比为 q 的等比数列，则这个数列 的通项公式为
A．an＝a3qn－2 C．an＝a3qn－3 B．an＝a3qn－1 D．an＝a3qn－4

n
(
)
解析：∵a3qn－3＝a1· q2· qn－3＝aqn－1＝an. 答案：C
2．如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么 ( A．b＝3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 B．b＝－3，ac＝9 D．b＝－3，ac＝－9
2.4 等比数列（一）
自学导引
1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的比等于同一个常数，那么这个数列
等比 数列，这个常数叫做等比数列 叫做________
公比 ，公比通常用字母q表示(q≠0)． 的________
2．如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b 成等比数列，那么G叫做a与b的________． 答案：等比中项
(2)通项公式法：an＝cqn(c，q 均是不为 0 的常数， n∈N*)⇔ an 是等比数列；

n


(3)中项公式法：an＋12＝an· an＋2(an· an＋1· an＋2≠0，n ∈N*)⇔ an 是等比数列．

2．在等差数列 an 中，已知 a1，a2，a4 成等比数 列，求证：a4，a6，a9 也成等比数列．
题型二
等比数列的判断

【例 2】 已知数列 an 满足 a1＝1， an＋1＝2an＋1， (1)求证：数列 an＋ 1 是等比数列； (2)求 an 的表达式．
(1)证明：因为 an＋1＝2an＋1，所以 an＋ 1＋1＝2(an＋ 1)， an＋1＋ 1 由 a1＝1， 故 a1＋ 1≠0， 由上式易知 an＋1≠0， 所以 an＋1 ＝2，所以 an＋1 是以 2 为公比的等比数列．
公比的意义，同时还要注意公比是每一项与其前一项 之比，防止前后次序颠倒．
(3)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或 第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此 数列不是等比数列．这时可以说此数列从第2项起或 第3项起按原数列的项的排列顺序组成一个新数列是 一个等比数列． (4)各项不为0的常数数列是等比数列． an＋1 (5)证明一个数列为等比数列，其依据是 ＝ an
1n－1 － an＝－8· . 2
像等差数列的计算一样，等比数列中基本量的计算是最 重要、最基本的问题．
1．在等比数列 an 中．


(1)a2＝18，a4＝8，求a1与q； (2)a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.
a1q＝ 1Fra Baidu bibliotek， 解：(1)由 3 a1q ＝ 8，



(2)解： 由(1)可知 an＋1 是以 a1＋1＝2 为首项， 2 为公比的等比数列，所以 an＋1＝2×2n 1，所以
－


an＝2 －1.
方法点评：等比数列的判断方法主要有以下几种：
an＋1 (1)定义法： ＝q(q 是不为 0 的常数，n∈N*) an ⇔ an 是等比数列；
)
解析：∵b是-1，-9的等比中项，∴b2＝9，b＝±3， 又因为等比数列奇数项符号相同，得b＜0，故b＝-3， 而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，ac＝9，故选B 答案：B
1 3．等比数列 1， ，…的通项公式为________________． 3
1 3 1 解析：等比数列的首项为 1，公比为 ＝ ， 1 3 所以其通项公式为
q(n∈N*)，利用这种形式来判定，便于操作．
2．等比中项的应用 等比数列递推关系an2＝an－1· an＋1(n≥2)，即说 明等比数列的任何一项(除第一项和最后一项)都是其 前后两项的等比中项．
3．通项公式的应用
通项公式 an＝a1qn
－1
反映了等比数列 an 的各项


与其序号 n 的函数关系，公式中含有 a1、q、n、an 四个量，常用作“知三求一”．
a1＝27， a1＝－27， 解得 2 或 2 q＝3， q＝－3. 4 a1q －a1＝15， q2＋1 5 (2)由 3 得 q ＝ ， 2 a q － a q ＝ 6 ， 1 1
1 得 q＝ 或 q＝2. 2 1 当 q＝ ，a1＝－16，此时 a3＝a1q2＝－4； 2 当 q＝2 时，a1＝1，此时 a3＝a1q2＝4.
证明：设等差数列 an 的公差为 d，



∵a1，a2，a4成等比数列，∴a22＝a1a4. 即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d. ∵a1≠0，∴a1＝d或d＝0. 当a1＝d≠0时，a4＝4d，a6＝6d，a9＝9d， ∴a62＝a4a9＝36d2， ∴a4，a6，a9成等比数列． 当a1≠0且d＝0时，是非零常数列，满足题意． 综上可知a4，a6，a9成等比数列．
3．等比数列的通项公式为________．
答案：an＝a1qn－1
自主探究
1．等比数列的公比能否为0，首项能否为0? 答案：等比数列的首项，公比都不为0.
2．若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？
答案：不一定，因为若G＝0，且a，b中至少有一个为0， 使G2＝ab，根据等比数列的定义，a，G，b不成等比数 列．当a，G，b全不为零时，若G2＝ab，则a，G，b成 等比数列．
题型一
等比数列的通项公式

1 a 【例 1】 等比数列 n 中，a2＝4，a5＝－ ，求通项 2 a1q＝4， 公式． 1 解：由 a2＝4，a5＝－ 知 4 ， 2 a1q ＝－1 2
a ＝－8， 1 解得 1 q＝－ ， 2
∴所求通项公式为