§5-1 简单随机样本及其数字特征
随机变量及数字特征PPT课件
三、连续型随机变量
1、连续型随机变量及其分布密度 若随机变量 X ，存在非负函数 f (x) ，有
b
P (a X b ) P { X [a ,b ]} af(x )d x
则称 X 为连续型随机变量，称函数 f (x) 为 X 的概率密度函数 ，简称概率密度或密度函数。
密度函数 f (x) 的性质：
概率 P(aXb) 就是面积值
例1 设随机变量 X 有概率密度
f(x) 0 A
axb(ab) 其它
则称 X 服从区间[a，b ]上的均匀分布（常用分布），
试求常数A。
解 由密度函数的性质可得： f(x)dx1
得
f (x)dx
b
A dx A x
b
A(ba)1
解：设 1 元本金所带来的赢利为 X 元，
费站的汽车数不超过3辆的概率。
解： 由于 X～P(10)， 所求概率为
P{X 3} P { X 0 } P { X 1 } P { X 2 } P { X 3 }
14 100e 1010e 10102e 10103e 10 0! 1 ! 2! 3! 0.0103
X0 1 2 3 4 5
p p0 p1 p2 p3 p4 p5
（2）恰有 3 人反应为阳性的概率。
P ( X 3 ) P 3 C 5 3 0 .4 5 3 0 .5 5 5 3 0.275653
例4 （3）求至少有 2 人反应为阳性的概率。 X B(5 , 0.45)
用 X 表示在 n 次试验中事件A发生的次数，则
P { X k } C n kp k( 1 p )n k
（1）、二项分布 若一个随机变量 X 的概率分布律是：
统计与概率知识点
统计与概率知识点部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑统计与概率知识点一：统计1：简单随机抽样<1）总体和样本①在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体．②把每个研究对象叫做个体．③把总体中个体的总数叫做总体容量．b5E2RGbCAP④为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，，，研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．p1EanqFDPw<2）简单随机抽样，也叫纯随机抽样。
就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。
特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同<概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。
简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。
通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。
DXDiTa9E3d<3）简单随机抽样常用的方法：①抽签法②随机数表法③计算机模拟法③使用统计软件直接抽取。
RTCrpUDGiT在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。
<4）抽签法:①给调查对象群体中的每一个对象编号；②准备抽签的工具，实施抽签；5PCzVD7HxA③对样本中的每一个个体进行测量或调查<5）随机数表法：2：系统抽样<1）系统抽样<等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。
第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。
K<抽样距离）=N<总体规模）/n<样本规模）jLBHrnAILg前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。
可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。
如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。
xHAQX74J0X<2）系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。
论随机变量与随机变量的数字特征
论随机变量与随机变量的数字特征
随机变量是随机试验的结果，它可以取不同的取值，并且
每个取值都有相应的概率与之对应。
随机变量的数字特征
是对其分布进行度量和描述的统计量。
常见的随机变量的数字特征包括：
1. 期望值（均值）：用于表示随机变量平均取值的数字特征。
对于离散型随机变量X，其期望值为E(X)，定义为每
个取值乘以其概率的加权平均值。
对于连续型随机变量X，其期望值为E(X)，定义为函数f(x)乘以其概率密度函数的加权积分。
期望值可以理解为随机变量对应分布的中心位置。
2. 方差：用于表示随机变量取值的离散程度。
方差越大，
随机变量的取值波动越大。
方差的计算公式为Var(X) =
E((X - E(X))²)，其中E表示期望值。
3. 标准差：标准差是方差的平方根，用于衡量随机变量取
值的波动程度。
标准差越大，随机变量的取值波动越大。
4. 偏度：偏度衡量随机变量的离散程度和分布的对称性。
正偏表示分布右尾比左尾重，负偏表示分布左尾比右尾重，偏度为0表示分布左右对称。
5. 峰度：峰度衡量随机变量分布的尖峰程度。
正态分布的峰度为3，大于3表示比正态分布尖峰，小于3表示比正态分布平坦。
这些数字特征可以帮助我们更好地理解和描述随机变量的分布特点，从而进行数据分析和统计推断。
简单随机抽样PPT课件
通过计算样本量，可以控制抽样误差在可接 受的范围内。
操作简便
简单随机抽样方法相对简单，易于实施和操 作。
适用于各种类型的数据
简单随机抽样适用于各种类型的数据，如定 量数据和定性数据。
缺点
样本量较大时实施困难
当总体样本量较大时，简单随机抽样 需要大量的时间和资源来实施。
对总体分布敏感
如果总体分布不均匀，简单随机抽样 的代表性可能会受到影响。
详细描述
在市场调研中，企业或机构通常会采用简单随机抽样方法来选取一定数量的样 本，然后通过问卷调查、电话访问等方式收集数据，以了解市场趋势、消费者 偏好和竞争情况等信息。
学术研究案例
总结词
学术研究领域中，简单随机抽样被广泛应用于社会学、心理学、经济学等学科， 以验证假设和得出科学结论。
详细描述
在学术研究中，研究者通常会采用简单随机抽样方法来选取样本，然后通过实验 、调查等方式收集数据，以验证假设和得出科学结论。这种方法有助于提高研究 的可靠性和有效性。
02
简单随机抽样的方法
抽签法
定义：抽签法是将总体中的每一个单位分别写在签上， 并放入一个容器中充分搅拌，然后从中随机抽取若干个 签，对应签上的单位即为被抽取的单位。 步骤
2. 从容器中随机抽取若干个签。
适用范围：适用于总体容量较小，或者虽然总体容量较 大，但总体结构简单，各单位间差异不大的情况。
产品测试与改进
通过简单随机抽样，选取一部分 消费者作为测试对象，了解他们 对产品的反馈和意见，以便对产 品进行改进或优化。
人口普查
统计人口数据
在人口普查中，简单随机抽样被广泛 应用于统计人口数量、年龄、性别、 教育程度等数据，为政府制定政策和 规划提供依据。
随机变量分布与数字特征
5. 1 随机变量
(1)离散型随机变量:取有限个或无限可列个值。如例(1)、例(2 ) 。 (2)非离散型随机变量:可在整个数轴上取值或取实数某部分区间的全部
值。非离散型随机变量范围较广，本书只研究其中常遇见的一种—连续 型随机变量，如例(3)、例(4)。 例5.1.1设有2个一级品，3个二级品的产品，从中随机取出3个产品，如 果用X表示取出产品中一级品的个数，求X取不同值时相应的概率。 解:X可取值为{0,1,2}。
分布，分别求(1)每分钟恰好接到3次呼叫的概率;(2)每分钟内接到呼叫次 数不布
在二项分布中，当n很大(n>>10)且P很小(P≤1)时，也可近似用泊松分布 公式计算，其中λ=np。
例5. 2. 7若一年中参加某种寿险的人死亡率为0. 002，现有2 000人参加， 每人交保险费24元，一旦死亡保险公司赔偿5 000元，求(1)保险公司亏 本的概率;(2)保险公司盈利不少于10 000元的概率。
也有不少试验结果初看与数字无直接关系，但可通过如下示性函数使之
数值化。比如，产品合格与不合格可令 否
,事件A发生与
用
,这些事件数值化后，数量是会变化的，称为变量。
但变量取值机会有大有小，所以叫随机变量。
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5. 1 随机变量
定义5.1.1在某一随机试验中，对于试验的每一个样本点ω都唯一对应一 个数，这样依不同样本点ω而取不同值的点叫随机变量。通常用希腊字 母或大写英文字母X, Y, Z等表示随机变量，用小写英文字母xi、yi表示 随机变量相应于某个试验结果所取的值。
例5. 2. 1某汽车公司销售汽车数据表示在过去100天营业时间中，有24 天每天销售汽车是0辆，有38天每天销售为1辆，有20天每天销售为2辆， 有12天每天销售为3辆，有6天每天销售为5辆。定义随机变量X为一天 中售出汽车数取值为{0,1,2,3,5}，概率用P(X)表示，可求出P(X=0)
数字特征知识点总结
数字特征知识点总结数字特征的基本概念数字特征是数据集中的一种统计量，用来描述和量化数据的属性和特性。
它们通常使用在描述性统计和数据分析中，可以帮助我们更好地理解数据的分布、中心趋势、离散程度和相关性等方面。
常见的数字特征包括均值、中位数、标准差、最大值、最小值、四分位数等。
这些数字特征可以直观地反映数据集的特征和规律，帮助我们进行深入的数据分析和挖掘。
常见的数字特征1. 均值（Mean）：均值是一个数据集中所有数值的平均值，它可以反映数据的集中趋势。
均值的计算方法是将所有数值相加，然后除以数据集的大小。
2. 中位数（Median）：中位数是数据集中所有数值按大小排列后的中间值，它可以反映数据的中间位置。
如果数据集的大小为奇数，则中位数为中间的数值；如果数据集的大小为偶数，则中位数为中间两个数值的平均值。
3. 众数（Mode）：众数是数据集中出现次数最多的数值，它可以反映数据的集中趋势。
一个数据集可能有一个众数，也可能有多个众数。
4. 标准差（Standard Deviation）：标准差是数据集中所有数值与均值之间的差异程度的一种度量，它可以反映数据的离散程度。
标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小。
5. 最大值（Maximum）和最小值（Minimum）：最大值是数据集中的最大数值，最小值是数据集中的最小数值。
6. 四分位数（Quartiles）：四分位数是将数据集按大小分成四等份后的三个分割点，分别是上四分位数、中位数和下四分位数。
它们可以帮助我们了解数据的分布情况和中位数的位置。
以上是常见的数字特征，它们可以帮助我们更全面地了解和描述数据集的特性和属性。
在接下来的部分，我们将介绍数字特征的计算方法和应用场景。
数字特征的计算方法计算数字特征的方法根据不同的特征有所不同，这里我们将介绍常见数字特征的计算方法。
1. 均值的计算方法：均值的计算方法是将所有数值相加，然后除以数据集的大小。
随机序列及数字特征
在统计学中的应用
样本均值和方差
在统计学中，随机序列用于计算样本的均值和方差，以评估数据 的集中程度和离散程度。
回归分析
在回归分析中，随机序列用于模拟自变量和因变量之间的关系，以 评估模型的预测能力。
假设检验
在假设检验中，随机序列用于生成随机对照样本，以评估实验组和 对照组之间的差异。
峰度系数检验
通过计算峰度系数并 与标准正态分布的峰 度系数进行比较，判 断序列的峰度是否与 正态分布一致。
偏度系数检验
通过计算偏度系数并 与标准正态分布的偏 度系数进行比较，判 断序列，观 察序列的分布形态是 否接近正态分布。
独立性检验
独立性检验
物理模拟
在物理模拟中，随机序列用于模拟各种物理现象，如粒子运动、波动等。
生物信息学
在生物信息学中，随机序列用于模拟基因突变、进化等过程。
社会科学
在社会科学中，随机序列用于模拟社会现象，如人口变化、经济发展等。
THANKS
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特性
方差具有可加性和线性性质，即对于两个随机序 列的和或差，其方差等于各自方差的和或差。
协方差与相关系数
协方差
协方差是两个随机序列的取值之间的 线性关系的度量，表示两个序列同时
偏离各自数学期望的程度。
相关系数
相关系数是协方差与各自方差的商， 用于消除两个序列量纲对比较的影响。
计算方法
协方差的计算方法是将两个随机序列 中对应位置的取值相乘，然后对所有 乘积求和，再除以各自序列长度的乘 积。
在计算机科学中的应用
加密通信
在计算机科学中，随机序列用于加密通信，确保数据传输 过程中的安全性和完整性。
随机变量的5个数字特征
随机变量的5个数字特征。
随机变量的5个数字特征
随机变量是一种可以在多种不同情况下表现出不同数值的变量，它的数字特征可以帮助我们更加深入的了解一个随机变量的性质。
下面就介绍随机变量的5个数字特征：
首先是均值，它是一个随机变量的平均数，用来反映其数值的平均水平，可以帮助我们预测其可能表现出的数值范围；
其次是方差，它反映了一个随机变量的数值水平差异程度，当方差较低时，意味着随机变量的数值波动不大；
接着是标准差，它是方差的平方根，可以反映一个随机变量的数值分散程度，标准差越小，意味着数值的分布越集中；
最后还有三个数字特征，分别是偏度、峰度和相关系数，它们分别反映一个随机变量数值分布的偏斜程度、峭度以及与其他变量之间的关联程度。
总之，随机变量的5个数字特征，即均值、方差、标准差、偏度、峰度和相关系数，可以帮助我们更加深入地了解一个随机变量的性质，从而更好地分析和预测数据作出正确的决策。
随机变量的数字特征精品文档
求其期望与方差.
〖解〗 E(X) kP{Xk} p k(1p)k1
k1
k1
p( xk)|x1p p(11x)|x1p
k0
p(11x)2 |x1p
p
1 p2
1; p
又
E(X2) k2P{Xk}p k2(1p)k1
求E(X)。
0,
其它.
分段函
〖解〗这是连续型随机数变的量积。由数学期望定义得：
1500 分
3000
E(X) xf(x)dx
dx x 2
1500 2
dx x (3000 x ) 15002
0
1500
115 2[0 1 3x 0 3|1 05 0 (1 3x 03 1x 5 2)|1 3 05 0 ]0 00 0
20(e01 4 1)10e 01 4
30 e1 4 0203 0.6 3.4 □
docin/sundae_meng
【例5】
〖解〗这是二维连续型随机变量函数的数学期望。 联合概率密度函数非零区域为
D :0yx,0x 1 . y
故由定理2得:
yx
E(X) xf(x,y)dxdy
[xX f(x)d]x[yfY(y)dy]
E(X)E(Y).
□
利用期望的性质可以简化某些期望的计算以及推
出其它数字特征的一些性质.
docin/sundae_meng
【例6】已知随机变量X的分布列为
X
-2
0
2
P
0.4
0.3
0.3
第五章第一节 简单随机样本
第五章 样本及其分布第五章基本内容与学习要求内容提要：1 随机样本。
2 抽样分布。
3 统计量及其分布。
重点难点：重点：2x 分布、t 分布、F 分布、正态总体的样本均值与样本方差的分布。
难点：分布之间的关系。
学习要求：1 理解总体、个体、样本和统计量的概念，掌握样本均值和样本方差的计算及基本性质。
2 了解2x 分布、t 分布、F 分布的定义。
3熟记几个常用的统计量及分布：2x 分布、t 分布、F 分布、正态总体的样本均值与样本方差的分布，会查表计算。
5.1 简单随机样本1．总体与个体数理统计中通常把研究对象的全体称为总体，而把总体中的每个对象称为个体.一个总体与体现它某一特征的指标以及随机变量X ，可以不加区分地加以运用，并记为总体X .2． 样本从总体X 中随机抽取的n 个个体（1X ,2X ,…,n X ）称为总体X 的一个样本。
记为（1X ，2X ，…，n X ），其中i X 称为第i 个样品，样本中所含样品个数n 称为样本容量. 样本（1X ，2X ，…，n X ）的一组观测值（1x ，2x ，…，n x ）称为样本值.样本值的全体构成一个n 维空间.这样，一次试验下的样本值便可以看作是这个n 维空间中的一个样本点.为使样本有利于对总体的考察，要求样本满足以下两点,即(1) 独立性——1X ，2X ，…，n X 是相互独立的随机变量.其全体即（1X ，2X ，…，n X ）构成一个n 维随机变量.(2) 代表性——1X ，2X ，…，n X 与总体X 有相同的分布.这样总体X 所具备的概率特性，当然每个样品i X 也同样具备.具有上述特点的样本称为简单随机样本，简称为样本3.样本的联合分布假设总体X 有分布函数F(x )，于是样本（1X ，2X ，…，n X ）的联合分布函数为 F (1x ，2x ，…，n x )=1()ni i F x =∏. （1）总体X 为离散型随机变量 {此时X 的概率分布为{}i i P X x p ==， i =1，2，….则样本（1X ，2X ，…，n X ）的联合概率分布为{P 11X x =，22X x =，…，n n X x =}={}1n i i i P Xx ==∏.其中1x ，2x ，…，n x 为1X ，2X ，…，n X 的任一组可能的观测值.(2) 总体X 为连续型随机变量此时总体X 有分布密度)(x p .则样本（1X ，2X ，…，n X ）的联合分布密度为p (1x ，2x ，…，n x )=1()nii p x =∏. (3) 如果总体X 的均值和方差分别为2,μσ，则2,,1,2,,.k k EX DX k n μσ=== （新浪微博：公共数学文传军，微信QQ ：35282571）。
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征包括均值、方差、标准差、偏度和峰度等。
其中，均值是衡量随机变量中心位置的指标，是所有取值的平均数；方差是随机变量离均值的距离平方的平均数；标准差是方差的算术平方根，也是随机变量离均值距离的度量，具有与随机变量相同的量纲；偏度是随机变量概率分布的偏斜程度，为其分布的非对称程度的度量；峰度则是随机变量概率分布的尖锐程度，衡量随机变量的概率分布在平均值附近的峰值高低。
可以通过计算公式来求解以上数字特征，例如均值的计算公式为所有取值的总和除以取值的数量；方差的计算公式为将每个取值与均值的差值平方后的总和除
以取值的数量；标准差的计算公式则是方差的算术平方根；偏度的计算公式为三阶中心矩与标准差的比值；峰度的计算公式为四阶中心矩与标准差的四次幂的比值。
了解随机变量的数字特征有助于描绘随机变量的特征与规律，进而分析和预测其行为。
同时，对于特定应用领域，也需要针对性地选择数字特征进行分析，以
更好地满足应用的需求。
《简单随机抽样》课件
实例二：社会调查中的简单随机抽样
总结词
社会调查中，简单随机抽样常用于了解社会 现象、公众意见等。
详细描述
在社会调查中，简单随机抽样常用于了解社 会现象、公众意见等。例如，在调查某城市 的居民对公共交通的满意度时，可以采用简 单随机抽样，从该城市的居民中随机抽取一 部分进行调查，以获得较为准确的公众意见 数据。
这种方法适用于总体数量较小或 总体分布均匀的情况。
简单随机抽样的特点
01
02
03
随机性
每个样本被选中的概率相 等，确保了样本的随机性 。
代表性
由于每个样本被选中的概 率相等，因此样本具有代 表性。
可重复性
简单随机抽样可以重复进 行，每次抽取的样本可能 不同，但结果具有一致性 。
简单随机抽样的应用场景
准确估计。
缺点
实施难度大
在某些情况下，由于总体单位分布不 均或存在其他限制条件，实施简单随 机抽样可能较为困难。
样本规模大时成本高
当总体规模较大时，简单随机抽样需 要抽取更多的样本单位，导致成本增 加。
对总体信息要求高
简单随机抽样要求对总体有较全面的 了解，包括总体规模、单位分布等情 况。
某些情况下不适用
市场调研
在市场调研中，简单随机 抽样常用于了解消费者行 为、产品需求和市场份额 等。
质量控制
在生产过程中，简单随机 抽样用于检测产品质量， 确保产品符合标准。
社会调查
在人口普查、社会调查等 领域，简单随机抽样用于 估计总体参数，如人口数 量、平均收入等。
02
简单随机抽样的方法
抽签法
定义
将总体中的每一个单位分别编上 号码，然后搅拌均匀，接着从中 逐个抽取需要数量的样本单位。
简单随机样本的性质
简单随机样本的性质在统计学中，简单随机样本是一种非常基础且重要的概念。
它在数据分析、推断统计以及各种研究领域中都扮演着关键的角色。
理解简单随机样本的性质，对于正确运用统计方法和得出可靠的结论至关重要。
简单随机样本具有几个显著的性质。
首先，它的随机性是其核心特点之一。
这意味着每个个体被选中进入样本的机会是均等的，不存在任何偏向或特殊的选择机制。
这种随机性保证了样本的代表性，减少了系统性偏差的可能。
样本的独立性也是一个关键性质。
在简单随机样本中，每个个体的选择都是相互独立的，一个个体的选择不会影响到其他个体被选中的概率。
这使得我们在进行统计分析时，可以基于一些基于独立性的假设和方法。
从数量上来说，简单随机样本中的个体数量是有限的。
这个数量的大小会影响到样本对总体的代表性和统计推断的准确性。
一般而言，样本量越大，对总体的估计就越准确，但同时也会增加调查的成本和工作量。
简单随机样本还有一个重要性质，就是它的分布特征。
如果总体是正态分布的，那么简单随机样本的均值也会服从正态分布。
即使总体不是正态分布，根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布也会近似于正态分布。
这为我们进行各种统计推断，如假设检验和置信区间的构建，提供了重要的理论基础。
再来说说简单随机样本的抽样误差。
由于样本只是总体的一部分，所以样本统计量（如均值、方差等）与总体参数之间必然存在一定的差异。
这种差异就是抽样误差。
抽样误差的大小与样本量密切相关，样本量越大，抽样误差通常越小。
在实际应用中，获取简单随机样本并不总是容易的。
有时候需要借助随机数生成器、抽签等方法来确保随机性。
而且，在一些复杂的情况中，可能需要分层抽样、整群抽样等方法来改进抽样效果，但这些方法本质上也是基于简单随机抽样的原理。
简单随机样本的性质在许多领域都有广泛的应用。
例如，在市场调查中，为了了解消费者的偏好和需求，常常会抽取简单随机样本进行问卷调查。
在医学研究中，为了测试某种药物的疗效，也会随机选取一定数量的患者作为样本进行临床试验。
《样本的数字特征》课件
参考文献
1 相关书籍
书名1, 书名2, 书名3
2 论文
论文1, 论文2, 论文3
3 网络资源
网址1, 网址2, 网址3
《样本的数字特征》
# 样本的数字特征 ## 什么是样本？ - 样本是指从总体中随机抽取的一部分个体。 - 抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样等。 ## 样本的数字特征有哪些？ - 样本的数字特征主要包括中心位置指标、离散程度指标和分布形态指标。
中心位置指标
平均数
样本所有观测值之和与观测值个数的比值。
离散程度指标
1 方差
观测值与平均数的差的平方和除以观测值个数。
2 标准差
方差的非负平方根。
分布形态指标
指标 偏度
峰度
定义
描述观测值分布偏离 对称的程度。
描述观测值分布尖峭 或平坦的程度。
公式及计算方法 计算公式
计算公式
适用情况 适用情况
适用情况
应用举例
实例分析
报告撰写
使用样本数字特征分析市场调研 数据，提供有针对性的决策建议。
中位数
将样本观测值按大小顺序排列，位于中间位置 的值。
离散程度指标
1
方差
观测值与平均数的差的平方和与观测值个数的比值。
2
ห้องสมุดไป่ตู้
标准差
方差的正平方根。
分布形态指标
偏度
描述观测值分布偏离对称的程度。
峰度
描述观测值分布尖峭或平坦的程度。
中心位置指标
1
平均数
所有观测值之和除以观测值个数。
中位数
2
将样本观测值按大小顺序排列，位于中 间位置的值。
随机序列及数字特征
当 时， 有
(1.2.13)
意义: 描述两个随机序列在不同时刻取值的关联程度.
(1.2.12)
定义:
互协方差函数
定义:
互相关函数
1.2.3 平稳随机序列及其数字特征
*
广义(宽)平稳随机序列: 均值和均方差不随时间改变, 其相关函数仅
和 之间的关系为： (1.2.31)
当 时, .
这里采用“现代数字信号处理简明教程”一书的符号Cxx.
随机变量在n时刻的取值
取值区间[x , x+x]上的微概率(密度函数)
*
均方值与方差 均方值 (二阶原点矩)
意义: 如果 代表电流或电压, 均方值则表示在 时刻消耗在1电阻上的集合平均功率。 方差 (二阶中心矩)
定义: (1.2.6)
定义: (1.2.7)
有时将x称为标准方差
意义: 方差表示 取值的分散程度（或偏离中心值的大小）。如果 代表电流或电压,方差则表示消耗在1电阻上的交变功率的集合平均. 相关函数与协方差函数 自相关函数(二阶联合原点矩) 定义: (1.2.8) 式中的“*”表示复共轭。 意义: 反映同一随机序列在不同时刻取值的关联程度。
机序列”.
均值: (1.2.13)
是时间差的函数. 下面重点研究广义平稳随机序列, 并简称为“平稳随
实平稳随机序列的数字特征 与时间 无关的数字特征：
均方值: (1.2.14)
(1.2.15) 与起始时间 无关, 仅与时间差 有关的数字特征
方差:
(1.2.16a)
自相关函数:
(1.2.16b)
或
3
2
4
1
自协方差函数: (1.2.17)
简单随机抽样的特点
1、简单随机抽样的特点：总体个数有限；逐个抽取；不放回；每个个体被抽到的机会相等2、简单随机抽样的实施方法：（1）抽签法：总体容量和样本容量均较小，适合抽签法．（2）随机数法第二节（一）用样本的频率分布估计总体分布1、画频率分布直方图——总体中的个体数取值较多:第一步: 求极差: (数据组中最大值与最小值的差距) 第二步: 决定组距与组数: （强调取整）组距：指每个小组的两个端点的距离，组距组数：将数据分组，当数据在100个以内时，按数据多少常分5-12组。
第三步: 将数据分组( 给出组的界限) 第四步: 列频率分布表. （包括分组、频数、频率、频率/组距）第五步: 画频率分布直方图（在频率分布表的基础上绘制，横坐标为样本数据尺寸，纵坐标为频率/组距.）注意：2、在频率分布直方图中，依次连接各小长方形上端的中点，就得到一条折线，这条折线称为频率分布折线图.当总体中的个体数很多时，作图时所分的组数增多，组距减少，相应的频率分布折线图越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线3、茎叶图——总体中的个体数取值很少优点：（1）保留了原始数据，没有损失样本信息；（2）数据可以随时记录、添加或修改. 缺点：不适合样本容量很大或茎、叶不分明的样本数据.（二）用样本的数字特征估计总体的数字特征1、众数、中位数或平均数2、标准差越大离散程度越大，数据较分散；标准差越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围.3、平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平.标准差描述一组数据围绕平均数波动的幅度4、方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差第几组频数(1)第几组频率样本容量 4.18.20.5极差组数＝组距(2)纵坐标为: 频率组距。
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一、复习引入 1．正分布的密度函数 （1）标准正态分布：， 2．正态分布的均值、方差 （1）标准正态分布：均值为0，方差为1 （2）一般正态分布：均值为，方差为 3．正态分布的概率： 若 （1）（2） （3）（4）
§5—1 简单随机样本及其数字特征
二、统计的思想与研究方法 1．统计的思想：从局部的观察资料的统计特 征，来推断随机现象整体的统计特征。 2．普查与抽样调查：各自优点和劣势。 3．统计所用的方法：从研究的全体对象中， 抽取一小部分来进行试验，然后进行分析和研 究，根据这一小部分所显示出来的统计特性， 来推断整体的统计特性。
§5—1 简单随机样本及其数字特征
四、样本均值与方差 设是总体X的容量为的样本， 则称 为样本均值，为样本方差。为样本标准差。 注：当泛指任意一次抽样时，样本均值、样本 方差都是随机变量。 当特指某一次具体的抽样结果时，样本值 是个具体的实数，从而样本均值的观测值、样 本方差的观测值也都是具体的实数。 样本均值的观测值为： 样本方差的观测值为：
§5—1 简单随机样本及其数字特征
五、归纳小结 1．几个统计概念：总体、个体、样本、样本 ．几个统计概念： 容量、样本观测值、简单随机抽样、简单随机 样本、简单随机样本的性质。 2．样本均值与方差 ． 样本均值： ； 样本均值的观测值为：样本方 差：；样本方差的观测值为：
§5—1 简单随机样本及其数字特征
6．简单随机抽样：总体中每个个体被抽到的机会是 ．简单随机抽样 均等的，并且每次抽取时总体的成分不变，这样的抽 取方法。 有放回抽样与无回抽样。 7．简单随机样本：由简单随机抽样得到的样本。 ．简单随机样本： 简单随机样本的性质： 简单随机样本的性质： （1）独立性：样本中的各个随机变量是相互独立的。 （2）代表性：样本中的各个个体与总体X都服从于同 一分布。
Hale Waihona Puke 5—1 简单随机样本及其数字特征三、几个基本概念 1．总体 ．总体：研究对象的全体。 是研究对象的某种数量指标，总体是一个随机变量。 记为 X 2．个体 ．个体：组成总的每个基本单元。 3．样本 ．样本：在一个总体X中，抽取个个体 ，这个个体 称为总体X的一个样本。 样本是从总体中随机抽取出来的可能结果，它是 个随机变量。 4．样本容量 ．样本容量：样本中所含个体的数目。 5．样本观测值 ．样本观测值：在一次具体的抽取后，样本的各个体 的取值。 记为