常微分方程试题库.

任一非零解在xoy平面上与x轴相切.
答：不能
19.若y,x), y2(x)是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们共同
零点・
答：没有
20.方程 矽..1一y2的常数解是.
dx
答：y1
21.向量函数组Y1(x),Y2(x),,Yn(x)在其定义区间I上线性相关的条件是
它们的朗斯基行列式W(x)0，x I.
答：充分
15.二阶线性齐次微分方程的两个解y1(x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件
是.
答：线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等于零)
16.方程y 2y y0的基本解组是
x x
答：e,xe
17.若y (x)在(,)上连续，则方程dy(x)y的任一非零解与
dx x轴相交.
答：不能
18.在方程y p(x)y q(x)y0中，如果p(x)，q(x)在(,)上连续，那么它的
)条件.
(A)充分(B)充分必要
10.二阶线性非齐次微分方程的所有解
(A)构成一个2维线性空间
(C)不能构成一个线性空间
(C)必要
(D)必要非充分
(B)
).
构成一个3维线性空间
(D)
构成一个无限维线性空间
11.方程dy,y的奇解是(D).
(A) y x
(B)y 1
(C)y 1
(ຫໍສະໝຸດ Baidu)y 0
12.若y,x),y2(x)是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的
解：
0(X)
0
1(x)
x
x
0
2
0(x)dx
2(X)
x
x
0
2
1(x) dx
12_x2
12
—x
2
15
一x
20
1511118
—xxx
204400160
3.讨论方程
dy
dx
y(i)
1的解的存在区间
dx
常微分方程
一、填空题
i•微分方程(dy)n dyyx2o的阶数是
dx dx
答：1
2.若M(x, y)和N(x,y)在矩形区域R内是(x,y)的连续函数,且有连续的一阶偏导数，则 方程M(x,y)dx N(x, y)dy0有只与y有关的积分因子的充要条件是
3.为齐次方程.
答：形如dyg(=)的方程
dx x
(A)n
(B)n-1
(C)n+1
(D)n+2
2.如果f (x, y),
都在xoy平面上连续，那么方程
y
dyf(x,y)的任一解的存在
dx
区间(D).
(A)必为(
(B)必为(0,
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
(C)必为(
1
方程dyx3
dx
,0)
(D)将因解而定
y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是(D).
答：必要
22.方程dyx2y2满足解的存在唯一性定理条件的区域是
dx
答：xoy平面
23.方程x(y21)dx y(x21)dy 0所有常数解是.
答：y1,x1
24.方程y 4y 0的基本解组是.
答:sin 2x, cos2x
25.一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线.
答：2
二、单项选择题
1.n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是(A)个.
(A)上半平面(B)xoy平面
(C)下半平面(D)除y轴外的全平面
一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差(
(A)不是其对应齐次微分方程组的解
(C)是其对应齐次微分方程组的解
方程dyJ_y2
dx
(A)一
方程dy. x y
dx
(A)有三个
过点(―，1)共有(
(B)无数
2(B)奇解.
(B)无
n阶线性齐次方程的所有解构成一个(
通解可用这两个解表示为(C
)•
13.
14.
15.
三、
(A)1(x)2(x)
(C)C(1(x)2(x))
1(x)
fy(x, y)连续是方程2
(B)必要非充分
(A)必要
方程屯、y
dx
(A)有一个
(B)1(x)2(x)
(D)C ,x)
2(X)
f(x,y)初值解唯一的(D)条件.
(C)充分必要
(D)充分
C)奇解.
(A)n维(B)n1维
方程dx3y3过点(a).
(A)有无数个解
C).
(B)是非齐次微分方程组的解
(D)是非齐次微分方程组的通解
)个解.
(C)两
(D)
(C)有一个
(D)有两个
(C)
)线性空间.
n1维
(D)n 2维
(B)只有三个解
(C)只有解
0(D)只有两个解
fy(x, y)连续是保证f(x, y)对y满足李普希兹条件的(
答：f(x,yj f(x,y2)Ny!y?
6.方程dyx2y2定义在矩形区域R:2 x 2, 2 y 2上，则经过点(0,0)的解的
dx
存在区间是
1
答：1
1
x_
4
7.若Xj(t)(i
4
1,2,.•…n)是齐次线性方程的n个解,w(t)为其伏朗斯基行列式，则w(t)满足
一阶线性方程
答：w a1(t)w 0
4•如果f (x, y)dyf (x, y)存在
dx
唯一的解y(x),定义于区间x x0h上，连续且满足初始条件yo(xo)，其中
h.
答：在R上连续且关于y满足利普希兹条件h min(a,^)
m
5•对于任意的(x,如)，(x, y2)R ( R为某一矩形区域),若存在常数N(N0)使
则称f(x,y)在R上关于y满足利普希兹条件.
8•若人(t)(i 1,2,••…n)为齐次线性方程的一个基本解组，X(t)为非齐次线性方程的一个
特解,则非齐次线性方程的所有解可表为
n
答：xcixix
i 1
9•若(X)为毕卡逼近序列n(X)的极限，则有(X).(刈
10.为黎卡提方程，若它有一个特解y(x)，则经过变换
，可化为伯努利方程.
答：形如dyp(x)y2q(x)y r(x)的方程y z y
dx
11.一个不可延展解的存在区间一定是区间.
答：开
12•方程dy、y1满足解的存在唯一性定理条件的区域是.
dx
答：D {(x,y) R2y 0},(或不含x轴的上半平面)
13.方程x2sin y的所有常数解是.
dx
答：y k ,k0, 1,2,
14.函数组1(x),2(x), ,n(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗 斯基行列式在区间I上不恒等于零.
(B)有两个
(C)
(D)有无数个
方程dy3y3过点(0, 0)有(A
dx
).
(A)无数个解(B)只有一个解
(C)
只有两个解(D)
只有三个解
求下列方程的通解或通积分
解：竺」
dy y
xy2，则
y
1
—dy
ey(
1
—dy
ydy c)所以
3
y
xcy
2
另外y0也是方程的解
2.求方程芸
x y2经过(0,0)的第三次近似解