三角形内心、外心专项训练
三角形五心的经典考题
有关三角形五心的经典试题三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. 例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP=NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点N 是△P ′PC 的外心.有∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ，∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC . ∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形O 1PO 2QO 3S 后再由外心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K =21(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2) A B C PP M N 'A B C QK P O O O ....S 123=21∠PO 1S =∠A ； 同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC . 二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别 作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′. 易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′，∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF .例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连DE到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF .(1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′. 不妨设a ≥b ≥c ，有 CF =2222221c b a -+， BE =2222221b ac -+， AD =2222221a cb -+. 将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =a 23，BE =b 23，AD =c 23. ∴CF :BE :AD =a 23:b 23:c 23=a :b :c .故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列.AA 'F F 'GE E 'D 'C 'P C B D当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′， ∴∆∆S S '＝(aCF )2. 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有∆∆S S '=43.∴22aCF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c2⇒a 2+c 2=2b 2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.例5．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.(1992，全国高中联赛) 分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知13212sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4； 由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2. 易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2， 故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称. 同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.例6．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2. 求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH2∥=∥=.OA A A A 1234H H 12H H HM AB BA ABC CC F12111222D E=r 2+(AM 2-MH 2)， ①又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2 =AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ② 而ABHAH ∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A ,Aa sin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有A 21A =r 2+bca cb 2222-+·bc -(4R 2-a 2)=21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2， 21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 故有AA 1=BB 1=CC 1.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I =A ′B =A ′C .换言之，点A ′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例7．ABCD 为圆内接凸四边形，取△DAB ，△ABC ，△BCD ， △CDA 的内心O 1， O 2，O 3， O 4.求证：O 1O 2O 3O 4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题)证明见《中等数学》1992；4例8．已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切.试证：EF 中点P 是△ABC之内心.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB =AC .当AB ≠AC ，怎样证明呢？A B C D O O O 234O 1如图，显然EF 中点P 、圆心Q ，BC 中点K 都在∠BAC 平分线上.易知AQ =αsin r . ∵QK ·AQ =MQ ·QN ，∴QK =AQQNMQ ⋅=αsin /)2(r rr R ⋅-=)2(sin r R -⋅α.由Rt △EPQ 知PQ =r ⋅αsin .∴PK =PQ +QK =r ⋅αsin +)2(sin r R -⋅α=R 2sin ⋅α. ∴PK =BK .α利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心. 五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.例9．在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p .式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p (p -c )=(p -a )(p -b ).∵p (p -c )=21(a +b +c )·21(a +b -c ) =41[(a +b )2-c 2]=21ab ； (p -a )(p -b )=21(-a +b +c )·21(a -b +c ) =41[c 2-(a -b )2]=21ab . ∴p (p -c )=(p -a )(p -b ). ①观察图形，可得 r a =AF -AC =p -b ， r b =BG -BC =p -a ，AααMBCK NE R OQFrP Kr r r r O O O 213AOE CBabcr c =CK =p .而r =21(a +b -c ) =p -c . ∴r +r a +r b +r c=(p -c )+(p -b )+(p -a )+p =4p -(a +b +c )=2p . 由①及图形易证.例10．M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明：11q r ·22q r =qr . (IMO -12)分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知OD =OA ′·2'sinA =A ′B ′·'''sin 2'sinB O A B ∠·2'sin A =A ′B ′·2''sin2'sin2'sin B A B A +⋅， O ′E = A ′B ′·2''sin2'cos2'cos B A B A +. ∴2'2''B tg A tg E O OD =. 亦即有11q r ·22q r =2222Btg CNB tg CMA tgA tg ∠∠ =22B tg A tg=qr. 六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =FA .试证：(1)AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点；A ...'B 'C 'O O 'ED(2)AB +BC +CD +DE +EF +FA ≥AK +BE +CF . (1991，国家教委数学试验班招生试题)分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分线，I 为△ACE的内心.从而有ID =CD =DE ， IF =EF =FA ， IB =AB =BC .再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 不等式有：BI +DI +FI ≥2·(IP +IQ +IS ).不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2IS .∴BI +DI +FI ≥IA +IE +IC . ∴AB +BC +CD +DE +EF +FA=2(BI +DI +FI ) ≥(IA +IE +IC )+(BI +DI +FI )=AD +BE +CF .I 就是一点两心.例12．△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心.证明OE 丄CD . (加拿大数学奥林匹克训练题)分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点F ，E 必在DF 上且DE :EF =2:1.设CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心. 连GE ，MF ，MF 交DC 于K .易证： DG :GK =31DC :(3121-)DC =2:1. ∴DG :GK =DE :EF ⇒GE ∥MF . ∵OD 丄AB ，MF ∥AB ，∴OD 丄MF ⇒OD 丄GE .但OG 丄DE ⇒G 又是△ODE 之垂心. 易证OE 丄CD . 例13．△ABC 中∠C =30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .求证：OI 丄DE ，OI =DE .(1988，中国数学奥林匹克集训题)分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，∠AID =∠AIB =∠EIB . 利用内心张角公式，有∠AIB =90°+21∠C =105°，∴∠DIE =360°-105°×3=45°. ∵∠AKB =30°+21∠DAO =30°+21(∠BAC -∠BAO ) Erdos ..I P AB CD E FQ SA B CD E F OKGO A BC DEFI K30°=30°+21(∠BAC -60°) =21∠BAC =∠BAI =∠BEI . ∴AK ∥IE .由等腰△AOD 可知DO 丄AK ，∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高. 同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE . 由∠DIE =∠IDO ，易知OI =DE .例14．锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂.求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重. 分析：这里用三角法.设△ABC 外接圆半径为1，三个内角记为A ，B ， C . 易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3 =cos A +co sB +cos C ，∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ① ∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C ， 同样可得BH 2·CH 3.∴3d 重=△ABC 三条高的和=2·(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ② ∴BCHBHsin =2，∴HH 1=cos C ·BH =2·cos B ·cos C . 同样可得HH 2，HH 3. ∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3=2(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B ) ③ 欲证结论，观察①、②、③，须证(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B )+( cos A + cos B + cos C )=sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B .即可.练 习 题1.I 为△ABC 之内心，射线AI ，BI ，CI 交△ABC 外接圆于A ′， B ′，C ′.则AA ′+BB ′+CC ′＞△ABC 周长.(1982，澳大利 亚数学奥林匹克)2.△T ′的三边分别等于△T 的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)3.I 为△ABC 的内心.取△IBC ，△ICA ，△IAB 的外心O 1，O 2，O 3.求证：△O 1O 2O 3与△ABC 有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)4.AD 为△ABC 内角平分线.取△ABC ，△ABD ，△ADC 的外心O ，O 1，O 2.则△OO 1O 2是等腰三角B C O IA O G H O G H GO G H 123112233。
三角形内心、外心专项训练
三角形内心、外心专项训练内心相关知识一、判断题1、在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个2、在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个3、三角形三条角平分线交于一点（三角形的内心）4、等腰三角形底边中点到两腰的距离相等5、三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形二、填空题6、如图（1），点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD__________PE__________PF.7、如图（2），P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是__________.8、如图（3），CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG ⊥AB，垂足为G，则CF__________FG，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=__________度，∠3__________∠4，CE__________CF.9、如右图，E、D分别是AB、AC上的一点，∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M，∠BED、∠EDC的角平分线交于N.求证：A、M、N在一条直线上.证明：过点N作NF⊥AB，NH⊥ED，NK⊥AC过点M作MJ⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC∴NF__________NH，NH__________NK∴NF__________NK∴N在∠A的平分线上又∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB∴__________=__________，__________=__________∴__________=__________∴M在∠A的__________上∴M、N都在∠A的__________上∴A、M、N在一条直线上三、作图题10、利用角平分线的性质，找到△ABC内部距三边距离相等的点.11、在下图△ABC所在平面中，找到距三边所在直线．．距离相等的点.12、如下图，一个工厂在公路西侧，在河的南岸，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，且与河上公路桥南首（点A）的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.四、解答题13、已知：如下图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离.外心相关知识一、判断题1、三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三角形的外心）2、以三角形两边的垂直平分线的交点为圆心，以该点到三角形三个顶点中的任意一点的距离为半径作圆，必经过另外两个顶点3、平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等4、三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称二、填空题5、如左下图，点P为△ABC三边中垂线交点，则PA__________PB__________PC.6、如右上图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1_______∠2，∠3______∠4，∠5______∠6，∠2+∠3=________度，∠1+∠4=______度，∠5+∠6=_______度，∠BOC=_______度.7、如左下图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD__________DC，点D在__________的垂直平分线上.8、如右上图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B__________∠1，∠C__________∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG=__________度.9、如左下图，AD是△ABC中BC边上的高，E是AD上异于A，D的点，若BE=CE，则△__________≌△__________(HL)；从而BD=DC，则△________≌△_________(SAS)；△ABC是__________三角形.10、如右上图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠AD B=_________度.三、作图题11、（1）分别作出点P，使得PA=PB=PC（2）观察各图中的点P与△ABC的位置关系，并总结规律：当△ABC为锐角三角形时，点P在△ABC的__________；当△ABC为直角三角形时，点P在△ABC的__________；当△ABC为钝角三角形时，点P在△ABC的__________；反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个.四、类比联想12、既然任意一个三角形的三边的垂直平分线交于一点，那三角形的三边上的中线是否也交于一点；三个角的平分线是否也交于一点；试通过折纸或用直尺、圆规画图验证这种猜想.。
数学初中竞赛《三角形的五心》专题训练(包含答案)
数学初中竞赛《三角形的五心》专题训练一．选择题1．如图，已知直线MN∥AB，把△ABC剪成三部分，点C在直线AB上，点O在直线MN上，则点O是△ABC的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心2．课本第5页有这样一个定义“三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心”．现在我们继续定义：①三角形三边上的高线的交点叫做三角形的垂心；②三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心；③三角形三边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心．在三角形的这四“心”中，到三角形三边距离相等的是（）A．重心B．垂心C．内心D．外心3．如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（）A．△ACD的重心B．△ABC的外心C．△ACD的内心D．△ABC的垂心4．如图，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF等于（）A．a：b：c B．：：C．sin A：sin B：sin C D．cos A：cos B：cos C5．在△ABC中，两中线AD与CF相交于点G，若∠AFC＝45°，∠AGC＝60°，则∠ACF的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°6．如图，已知△ABC的三个顶点分别在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，那么△ABC的（）也一定在该函数图象上．A．重心B．内心C．外心D．垂心7．如图，已知H是△ABC的垂心，△ABC的外接圆半径为R，△BHC的外接圆半径为r，则R 与r的大小关系是（）A．R＝r B．R＞r C．R＜r D．无法确定8．以Rt△ABC的两条直角边AB、BC为边，在三角形ABC的外部作等边三角形ABE和等边三角形BCF，EA和FC的延长线相交于点M，则点B一定是三角形EMF的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心9．如图，锐角△ABC的垂心为H，三条高的垂足分为D、E、F，则H是△DEF的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心10．三个等圆O 1，O 2，O 3有公共点H ，点A 、B 、C 是其他交点，则H 是三角形ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心二．填空题11．在半径为1的⊙O 中内接有锐角△ABC ，H 是△ABC 的垂心，角平分线AL 垂直于OH ，则BC ＝ ．12．如图，ADCFBE 是某工厂车间的一种剩余残料，且∠ACB ＝90°，现需要利用这块残料在△ABC 的外部制作3个等边△ADC 、△CBF 、△ABE 的内切圆⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3，若其中最大圆⊙O 3的半径为0.5米，可使生产成本节约3元（节约成本与圆面积成正比），照此计算，则10块这样的残料可使生产成本节约 元．13．如图，在△ABC 中M 为垂心，O 为外心，∠BAC ＝60°，且△ABC 外接圆直径为10，则AM ＝ ．14．如图，锐角三角形ABC 内接于半径为R 的⊙O ，H 是三角形ABC 的垂心，AO 的延长线与BC 交于点M ，若OH ⊥AO ，BC ＝10，OA ＝6，则OM 的长＝ ．15．设凸四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ，△OAB ，△OBC ，△OCD ，△ODA 的重心分别为E ，F ，G ，H ，则S EFGH ：S ABCD ＝ ．16．如图，I 是Rt △ABC （∠C ＝90°）的内心，过I 作直线EF ∥AB ，分别交CA 、CB 于E 、F ．已知EI＝m，IF＝n，则用m、n表示S△ABC＝．17．已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1、B1、C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点，若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于．三．解答题18．如图所示，已知锐角△ABC的外接圆半径R＝1，∠BAC＝60°，△ABC的垂心和外心分别为H、O，连接OH、BC交于点P（1）求凹四边形ABHC的面积；（2）求PO•OH的值．19．如图，AD，BE，CF是△ABC的高，K，M，N分别为△AEF，△BFD，△CDE的垂心，求证：△DEF≌△KMN．20．如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点．21．如图，△ABC的三边满足关系BC＝（AB+AC），O、I分别为△ABC的外心、内心，∠BAC 的外角平分线交⊙O于E，AI的延长线交⊙O于D，DE交BC于H，求证：（1）AI＝BD；（2）OI＝AE．22．如图，H是锐角△ABC的垂心，O为△ABC的外心，过O作OD⊥BC，垂足为D．（1）求证：AH＝2OD；（2）若AO＝AH，求∠BAC的度数．23．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且∠FDE ＝∠A ，∠DEF ＝∠B ．又设△AFE ，△BDF ，△CED 均为锐角三角形，它们的垂心依次为H 1，H 2，H 3，求证：1．∠H 2DH 3＝∠FH 1E ；2．△H 1H 2H 3≌△DEF ．24．如图，△ABC 为锐角三角形，CF ⊥AB 于F ，H 为△ABC 的垂心．M 为AH 的中点，点G 在线段CM 上，且CG ⊥GB ．（1）求证：∠MFG ＝∠GCF ；（2）求证：∠MCA ＝∠HAG ．25．如图，已知H 为锐角△ABC 的垂心，D 是使四边形AHCD 为平行四边形的一点，过BC 的中点M 作AB 的垂线，垂足为N ，K 为MN 的中点，过点A 作BD 的平行线交MN 于点G ，若A ，K ，M ，C 四点共圆．求证：直线BK 平分线段CG ．参考答案一．选择题1．解：如图1，过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F∵MN∥AB，OD＝OE＝OF（夹在平行线间的距离处处相等）如图2，过点O作OD'⊥BC于D'，作OE'⊥AC于E'，作OF'⊥AB于F'，由裁剪知，OD＝OD'，OE＝OE'，OF＝OF'，∴OD'＝OE'＝OF'，∴图2中的点O是三角形三个内角的平分线的交点，∴点O是△ABC的内心，故选：C．2．解：内心是三角形的三条内角平分线的交点，而角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以在三角形的四“心”中，到三角形三边距离相等的是内心；到三个顶点的距离相等的是外心．故选：C．3．解：如图，连接OA、OB、OC、OD，设每一个小方格的边长为1，由勾股定理可求得OA＝OB＝OC＝，OD＝2，∴O点在AB、AC、BC的垂直平分线上，∴点O为△ABC的外心，∵OA＝OC≠OD，∴点O即不是△ACD的重心，也不是△ACD的内心，故选：B．4．解：如图，连接OA、OB、OC；∵∠BOC＝2∠BAC＝2∠BOD，∴∠BAC＝∠BOD；同理可得：∠BOF＝∠BCA，∠AOE＝∠ABC；设⊙O的半径为R，则：OD＝R•cos∠BOD＝R•cos∠A，OE＝R•cos∠AOE＝R•cos∠B，OF＝R•cos∠BOF＝R•cos∠C，故OD：OE：OF＝cos∠A：cos∠B：cos∠C，故选：D．5．解：∵点G是△ABC的重心，∴＝2，作CE⊥AG于点E，连接EF，∴△CEG是直角三角形，∵∠EGC＝60°，∴∠ECG＝30°，那么EG＝CG＝GF，∴GE＝GF，∠FGE＝120°，∴∠GFE＝∠FEG＝30°，而∠ECG＝30°，∴EF＝EC，∵∠EFA＝45°﹣30°＝15°，∠FAD＝∠AGC﹣∠AFC＝15°，∴∠FAD＝∠EFA，∴EF＝AE，∴AE＝EC，∵△AEC是等腰直角三角形，∴∠ACE＝45°，∴∠ACF＝∠ACE+∠ECF＝30°+45°＝75°，故选：D．6．解：结论：△ABC的垂心也一定在该函数图象上；理由：∵A、B、C都在y＝上，∴可设A、B、C的坐标依次是：（a，）、（b，）、（c，）．令H的坐标为（x，y）．容易得出：AB的斜率＝＝﹣，BC的斜率＝＝﹣，AH的斜率＝，CH的斜率＝，∵AH⊥BC，CH⊥AB，∴＝，＝，∴a•＝c•，∴（k﹣ay）（c﹣x）＝（k﹣cy）（a﹣x），∴ck﹣kx﹣acy+axy＝ak﹣kx﹣acy+cxy，∴（a﹣c）xy＝（a﹣c）k．显然，a﹣c≠0，∴xy＝k，即：y＝．∴点H（x，y）在反比例函数y＝的图象上．故选：D．7．解：如图，延长AD交△ABC的外接圆于G，连接BG，CG，∴△ABC的外接圆的半径等于△BGC的外接圆的半径，∵△ABC的外接圆半径为R，∴△BGC的外接圆半径为R，∵点H是△ABC的垂心，∴AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠CAD+∠ACB＝90°，∠CBE+∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠CBE，∵∠CBG＝∠CAD，∴∠CBE＝∠CBG，同理：∠BCF＝∠BCG，在△BCH和△BCG中，，∴△BCH≌△BCG（ASA），∴△BHC的外接圆的半径等于△BGC的外接圆的半径，∵△BHC的外接圆半径为r，∴△BGC的外接圆的半径为r，∴R＝r，故选：A．8．解：如图，连接CE，AF，延长EB交MF于G，延长FB交ME于H，∵以Rt△ABC的两条直角边AB，BC为边作等边△ABE和等边△BCF，∴∠CBE＝90°+60°＝150°，∠FBE＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°，在△CBE与△FBE中，，∴△CBE≌△FBE（SAS）；∴CE＝FE，∠FEB＝∠CEB，∴BE⊥CF于G，∴EG是△MEF的边FM上的高，同理：FH是△MEF的边EM上的高，∴点B是△MEF的三边的高，即：点B是△MEF的垂心．故选：A．9．解：∵BE丄AC，CF丄AB，∴四点B、C、E、F共圆（以BC为直径），∴∠EBF＝∠FCE，∵HD丄BD，HF丄BF，∴四点B、D、H、F共圆（以BH为直径），∴∠HBF＝∠FDH，同理，四点C、D、H、E共圆，（以CH为直径），∠HDE＝∠HCE，∴∠HDE＝∠HDF，∴DA平分∠EDF即可．同理可证EB平分∠DEF，FC平分∠EFD，∴H是△DEF的角平分线的交点，∴H是△DEF的内心．故选：C．10．解：延长AH交BC于E点，延长CH交AB于F点，如图，∵三个等圆O1，O2，O3有公共点H，∴∠1所对的弧BH与∠4所对的弧BH为等弧；∠2所对的弧CH与∠5所对的弧CH为同弧；∠3所对的弧AH与∠6所对的弧AH为同弧，∴∠1＝∠4，∠2＝∠5，∠3＝∠6，∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝180°，∴2∠2+2∠3+2∠4＝180°，2∠1+2∠3+2∠2＝180°，∴∠2+∠3+∠4＝90°，∠1+∠3+∠2＝90°，∴AE⊥BC，CF⊥AB，∴点H为△ABC的垂心．故选：C．二．填空题（共7小题）11．解：设AL与⊙O交于点D，与OH交于点N，连接OD，交BC于点M，连接CO并延长交⊙O于点G，连接GA、GB、AO，如图所示，∵CG是⊙O的直径，∴∠CBG＝∠CAG＝90°，∴BG⊥BC，AG⊥AC．∵H为△ABC的垂心，∴AE⊥BC，BF⊥AC，∴AE∥BG，AG∥BF，∴四边形AGBH是平行四边形，∴BG＝AH．∵AL平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，根据垂径定理的推论可得：OD⊥BC．∵AE⊥BC，∴OD∥AE，∴∠ODA＝∠EAD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EAD．∵AL垂直于OH，∴∠ANO＝∠ANH＝90°．在△ANO和△ANH中，，∴△ANO≌△ANH（ASA），∴AO＝AH，∴BG＝AH＝AO＝1．在Rt△GBC中，∵BG＝1，GC＝2，∴BC＝＝．故答案为：．12．解：由勾股定理和相似图形的性质可知，⊙O1的面积+⊙O2的面积＝⊙O3的面积，∵⊙O3可使生产成本节约3元，∴1块这样的残料可使生产成本节约6元．则10块这样的残料可使生产成本节约6×10＝60元．故答案为：60．13．解：延长AM交BC于D，延长CM交AB于E，作直径BF，连结AF，如图，∵BF为⊙的直径，∴∠BAF＝90°，∴sin F＝＝，∴AB＝10•sin F＝10•sin∠ACB，又∵点M为△ABC的垂心，∴AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∴△AEM∽△ADB，∴＝，即AM＝，在Rt△AEC中，∠EAC＝60°，AC＝2AE，即AE＝AC，在Rt△ADC中，sin∠ACD＝，即AD＝AC•sin∠ACD，∴AM＝＝5．故答案为5．14．解：如图，连接BO并延长交圆于F，连接CF，AH，连接AF，CH，过点O作ON⊥BC于N，∵BF是⊙O的直径，∴∠BCF＝∠BAF＝90°，∴ON∥FC，∵OB＝OF，∴ON是△BCF的中位线，∴CF＝2ON．∴BN＝CN＝BC＝5，在Rt△OBN中，OB＝OA＝6，BN＝5，∴ON＝＝，∴CF＝2ON＝2，∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，∵CF⊥BC，∴AH∥CF，同理可得：CH∥AF，∴四边形AHCF是平行四边形，∴AH＝CF＝2∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，∵ON⊥BC，∴AH∥ON，∴∠OAH＝∠NOM，∵OH⊥AM，∴∠AOH＝∠ONM＝90°，∴△AOH∽△ONM，∴，∴，∴OM＝．故答案为．15．解：如图：∵E、F分别是△OAB与△OBC的重心，∴，∴EF∥AC，同理：FG∥BD，HG∥AC，HE∥BD，∴ERUQ，RUSF，USGT，THQU，EFGH是平行四边形，∵，∴，同理：，∴，∴，同理：，，．∴．16．解：如图，过I分别作三边的垂线，垂足为D、F、G，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，ID＝IH＝IG＝r，由△ABC∽△EIG∽△IFH，得＝，＝，解得a＝，b＝，由勾股定理，得c2＝a2+b2，得1＝+，解得r＝，又ab＝2S△ABC＝r（a+b+c），∴＝r（++c），解得c＝m+n+＝m+n+，∴S△ABC＝ab＝＝（）2（m+n+）2＝．故答案为：．17．解：∵I是锐角三角形ABC的内心，∴∠DBI＝∠ABC，∵A1、B1、C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点，∴ID＝A1D＝IA1，∠BDI＝90°，∵点B在△A1B1C1的外接圆上，∴IB＝IA1，∴ID＝IB，∴∠IBD＝30°，∴∠ABC＝60°．故答案为：60°．三．解答题（共8小题）18．解：（1）如图：连接BO并延长交⊙O于点G，连接AG、CG、CO，延长CH交AB于F，延长BH交AC于E，延长AH交BC于N，作OM⊥BC于M．∵BG是直径，∴GA⊥AB，GC⊥BC，∵H为垂心，∴BE⊥AC，CF⊥AB，AN⊥BC，∴GA∥CH，GC∥AH，∴AGCH是平行四边形，∴AG＝GC，∵∠BA C＝60°，OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴OM＝OB＝，BM＝，∴BC＝，又∵OM＝CG，∴AH＝2OM＝1，设凹四边形的面积为S，则S＝S△AHB+S△AHC＝×AH×BN+×AH×CN＝×AH×BC＝，（2）∵BE⊥AC，CF⊥AB，AN⊥BC，∠BAC＝60°，∴∠ACF＝30°，∴∠CHE＝60°，∴∠BHC＝120°，∴B、C、H、O四点共圆，∵∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠CHP＝∠OBC＝30°，∴∠OHC＝∠OCP＝150°，∴△OHC∽△OCP，∴OH•OP＝OC2＝1．19．证明：如图：∵OD⊥BC，FM⊥BC，∴OD∥FM，∵OF⊥AB，DM⊥AB，∴OF∥DM，∵DMFO是平行四边形，同理OFKE，ODNE均为平行四边形，∴MD∥KE，MD＝KE，∴MDEK也是平行四边形，∴DE＝MK，同理DF＝KN，EF＝MN∴△DEF≌△KMN（SSS）．于点Q，20．证明：如图，延长AP交⊙O2连接AH，BD，QB，QC，QH．因为AB为⊙O的直径，1所以∠ADB＝∠BDQ＝90°．（5分）故BQ为⊙O的直径．2于是CQ⊥BC，BH⊥HQ．（10分）又因为点H为△ABC的垂心，所以AH⊥BC，BH⊥AC．所以AH∥CQ，AC∥HQ，四边形ACQH为平行四边形．（15分）所以点P为CH的中点．（20分）21．证明：（1）作IG⊥AB于G点，连BI，BD，如图，∴AG＝（AB+AC﹣BC），而BC＝（AB+AC），∴AG＝BC，又∵AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角，∴∠EAD＝90°，∴O点在DE上，即ED为⊙O的直径，而BD弧＝DC弧，∴ED垂直平分BC，即BH＝BC，∴AG＝BH，而∠BAD＝∠DAC＝∠DBC，∴Rt△AGI≌Rt△BHD，∴AI＝BD；（2）∵∠BID＝∠BAI+∠ABI，而∠BAI＝∠DBC，∠ABI＝∠CBI，∴∠DBI＝∠BID，∴ID＝DB，而AI＝BD，∴AI＝ID，∴OI为三角形AED的中位线，∴OI＝AE．22．（1）证明：如图1，连接BH并延长交AC于E，∴BE⊥AC，过O作OF⊥AC于F，则F为AC的中点，连接CH，取CH中点N，连接FN，DN，则FN∥AM，AH＝2FN，DN∥BE，∵AM⊥BC，OD⊥BC，∴OD∥AM，∴FN∥OD，∵BE⊥AC，OF⊥AC，∴BE∥OF，∵OD⊥BC，∴D为BC中点，∵N为CH中点，∴DN∥BE，∴DN∥OF，∴四边形ODNF是平行四边形，∴OD＝FN，∵AH＝2FN，∴AH＝2OD．（2）解：如图2，连接OB，OC，∴OA＝OB，∵OA＝AH，∴OB＝AH，由（1）知，AH＝2OD，∴OB＝2OD，在Rt△ODB中，cos∠BOD＝＝，∴∠BOM＝60°，∵OD⊥BC，∴∠BOC＝2∠BOD＝120°，∴∠BAC＝∠BOC＝60°．23．证明：（1）∵H2是△BDF的垂心，⊥BF，∴DH2DB＝90°﹣∠B，∴∠H2同理：∠H 3DC ＝90°﹣∠C ，∴∠H 2DH 3＝180°﹣∠H 2DB ﹣∠H 3DC ＝∠B +∠C ， ∵H 1是△AEF 的垂心，∴∠H 1EF ＝90°﹣∠AFE ，∠H 1FE ＝90°﹣∠AEF ， ∴∠EH 1F ＝180°﹣∠H 1EF ﹣∠H 1FE ＝180°﹣（90°﹣∠AFE ）﹣（90°﹣∠AEF ） ＝180°﹣∠A ＝∠B +∠C ，∴∠H 2DH 3＝∠FH 1E ；（2）如图，由（1）知，∠FH 1E ＝∠B +∠C ， ∵∠FDE ＝∠A ，∠A +∠B +∠C ＝180°，∴∠FH 1E +∠EDF ＝180°，∴H 1在△DEF 的外接圆上，同理：H 2，H 3也在△DEF 的外接圆上，∴D ，H 2，F ，H 1，E ，H 3六点共圆，由（1）知，∠EH 1F ＝∠H 2DH 3，∴EF ＝H 2H 3，同理：DF ＝H 1H 3，DE ＝H 1H 2，∴△DEF ≌△H 1H 2H 3（SSS ）．24．证明：（1）如图延长AH 交BC 于T ．∵H 是△ABC 的垂心，∴∠THC ＝∠HFA ＝90°，∵∠THC ＝∠AHF ，∴∠HCT ＝∠FAH ，在Rt △AFH 中，∵AM ＝MH ，∴FM＝AM＝MH，∴∠FAH＝∠MFA，∴∠MFA＝∠HCT，∵BG⊥CM，∴∠BFC＝∠BGC＝90°，∴B、C、G、F四点共圆，∴∠AFG＝∠BCG，∴∠AFM+∠MFG＝∠HCT+∠MCF，∴∠MFG＝∠GCF．（2）∵∠FMG＝∠FMC，∠MFG＝∠MCF，∴△MFG∽△MCF，∴＝，∴MF2＝MG•MC，∵MA＝MF，∴MA2＝MG•MC，∴＝，∵∠AMG＝∠AMC，∴△MAG∽△MCA，∴∠MCA＝∠HAG．25．证明：如图，设BK交CG于E，连接AG，AK，∵A，K，M，C四点共圆，∴∠AC B＝∠AKG（外角等于内对角），∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，CH⊥AB，∵四边形AHCD是平行四边形，∴CH∥AD，AH∥CD，∴CD⊥BC，AD⊥AB，∴∠BCD＝∠BAD＝90°，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴点A，B，C，D四点共圆，∴∠5＝∠ACB＝∠AKG，∵AH⊥BC，MN⊥AB，AD⊥AB，∴∠1＝∠2＝∠4，∵AG∥BD，∴∠3＝∠4＝∠2，在△ANG和△ANK中，，∴△ANG≌△ANK，∴GN＝KN＝MK，∴MK＝KG，∵直线BKE截得△GMC，由梅涅劳斯定理得：，∵点M是CB中点，∴CB＝2BM，∴GE＝EC，∴直线BK平分线段CG．。
三角形内心典型题
1、三角形的三条角平分线交于一点，这一点是三角形的：A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心（答案：B）2、已知三角形的内心到三角形三边的距离分别为d1, d2, d3，若d1 + d2 + d3 = 6，且三角形的周长为12，则三角形的面积等于：A. 6B. 12C. 18D. 24（答案：B）3、在三角形ABC中，I为内心，若∠BIC = 130°，则∠A的度数为：A. 50°B. 65°C. 80°D. 100°（答案：B）4、设三角形ABC的内心为I，半径为r，若三角形ABC的面积为S，则以下关系正确的是：A. S = r(a + b + c) / 2B. S = r(a + b - c)C. S = r(a + b + c)D. S = 2r(a + b + c)（答案：A）5、三角形ABC的内心I到三边AB, BC, CA的距离分别为d1, d2, d3，若d1:d2 = 2:3:4，且三角形ABC的周长为27，则三角形ABC的最短边长为：A. 6B. 9C. 12D. 15（答案：A）6、在三角形ABC中，内心I到顶点A的距离为3，到边BC的距离为1，若∠BIC = 120°，则三角形ABC的面积为：A. 3√3B. 6√3C. 9√3D. 12√3（答案：A）7、三角形ABC的内心为I，若∠A = 60°，∠BIC = 125°，则∠C的度数为：A. 55°B. 65°C. 75°D. 85°（答案：B）8、在三角形ABC中，若内心I到三边AB, BC, CA的距离之和为6，且三角形ABC的周长为12，则三角形ABC的面积是：A. 12B. 18C. 24D. 36（答案：A）。
初中数学竞赛三角形的四心（含答案）
初中数学竞赛三⾓形的四⼼（含答案）三⾓形的四⼼三⾓形的四⼼，指的是三⾓形的垂⼼。
重⼼、内⼼、外⼼，它们的性质在⼏何证明与计算中具有重要的作⽤。
（1）三⾓形的垂⼼是指三条⾼线的交点。
垂⼼常⽤字母H来表⽰。
（2）三⾓形的垂⼼是指三条中线的交点。
重⼼常⽤字母G来表⽰。
重⼼到顶点的距离是它到对边中点距离的⼆倍。
（3）三⾓形的内⼼是指三条内⾓平分线的交点。
内⼼常⽤字母I来表⽰。
内⼼到三边的距离相等。
（4）三⾓形的外⼼是指三边的中垂线的交点外⼼常⽤字母O来表⽰。
外⼼到三⾓形三个顶点的距离相等。
例1已知G为△ABC的重⼼，不过三⾓形顶点的直线L过G点，从A、B、C三点向直线L引垂线AO， BE，CF，O，E，F为垂⾜。
求证：AO=BE+CF。
思路直接证AO=BE+CF⽐较困难。
可考虑连AG延长交BC于D，过D作于H，则可知DH为梯形BCFE的中位线，问题即可得证。
证明如图3-15-1所⽰，连AG并延长交BC于D。
∵G是重⼼，BD=DC。
过D点作于H，⼜∴DH为梯形BCFE的中位线，⼜∵△AOG∽△DHG,即因此，AO=BE+CF。
例2如图3-15-2， I 为△ABC的内⼼，且I，D，C，E在同⼀圆周上，若DE=1，试求ID和IE之长。
思路分析由I，D，C，E四点共圆可知，⼜由Ｉ为△ABC的内⼼知故可求得这时问题即可解决。
解∵I， D， C， E共圆，⼜∵I为△ABC的内⼼。
从⽽知连CI则∵I, D, C, E 共圆。
因⽽ID=IE。
在△DIE中，即由余弦定理解得例3已知△ABC的重⼼G和内⼼O的连线GO//BC，求证AB+CA=2BC。
思路1 由于题设中有内⼼O的条件，所以可考虑利⽤三⾓形内⾓平分线定理证之。
证明1 如图3-15-3，连AG， AO并延长交BC于M，T，连CO，则AG为中线，AO和CO分别为的平分线。
⼜∵CO是∠ACB的平分线，得CA=2CT。
同理可证AB=2BT。
∴AB+CA=2（BT+CT）=2BC。
几何三角形的五心练习及解答
第五讲 三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. 例1． 过等腰△底边上一点引∥交于；引∥交于.作点关于的对称点′.试证：′点在△外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)例．在△的边，，上分别取点，，.证明以△，△，△的外心为顶点的三角形与△相似.(·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》) 二、重心A BCPP MN'A BCQK P O O O ....S123三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比及中线长度公式，便于解题.例．，，是△的三条中线，是任意一点.证明：在△，△，△中，其中一个面积等于另外两个面积的和.(第届莫斯科数学奥林匹克)例．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真. 三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角AA 'F F 'GEE 'D 'C 'PCBD.OA A A A 1234H H 12形，给我们解题提供了极大的便利.例．设1A 2A 3A 为⊙内接四边形，，，，依次为△2A 3A ，△3A 4A ，△4A 1A ，△1A 2A 的垂心.求证：，，，四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.例．为△的垂心，，，分别是，，的中心.一个以为圆心的⊙交直线，，于，，，，，.求证：.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：H H H MA B B A A B C CC F12111222D E设为△的内心，射线交△外接圆于′，则有′′′.换言之，点′必是△之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例．已知⊙内接△，⊙切，于，且与⊙内切.试证：中点是△之内心. 五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切. 例．在直角三角形中，求证：.式中，，，分别表示内切圆半径及与，，相切的旁切圆半径，表示半周. 分析：设△中，为斜边，先来证明一个特性：()()(). ∵()21()·21() 41[()] 21； ()()21()·21()41[()]21.∴()()().① 观察图形，可得，，.而21(). ∴()()()().由①及图形易证.例．是△边上的任意一点，，分别是△，△，△内切圆的半径，，，分别是上述三角形在∠内部的旁切圆半径.证明：11q r ·22q r qr.()分析：对任意△′′′，由正弦定理可知′·2'sinA AααMBC NE R OQFr P A ...'B 'C 'O O 'ED′′·'''sin 2'sin B O A B ∠·2'sin A ′′·2''sin 2'sin2'sin B A B A +⋅，′ ′′·2''sin 2'cos2'cos B A B A +.∴2'2''B tg A tg E O OD =.亦即有11q r ·22q r 2222B tg CNB tg CMA tg A tg ∠∠22B tg A tg qr.六、众心共圆这有两种情况：()同一点却是不同三角形的不同的心；()同一图形出现了同一三角形的几个心.例．设在圆内接凸六边形中，，，.试证：()，，三条对角线交于一点；()≥.(，国家教委数学试验班招生试题)分析：连接，，，由已知可证，，是△的三条内角平分线，为△的内心.从而有，， .再由△，易证，，是它的三条高，是它的垂心，利用不等式有： ≥·(). 不难证明，，. ∴≥. ∴ ()≥()() 就是一点两心.例．△的外心为，，是中点，是△的重心. 证明丄.分析：设为高亦为中线，取中点，必在上且.设 交于，必为△重心.连，，交于.易证：31).∴⇒∥. ∵丄，∥，∴丄⇒丄.但丄⇒又是△之垂心.易证丄.例．△中∠°，是外心，是内心，边上的点与边上的点使得.求证：丄，. 分析：辅助线如图所示，作∠平分线交于.I PABCDEFQ SABCDE FOKG O ABCDEF I K30°易证△≌△≌△，∠∠∠. 利用内心张角公式，有∠°21∠°， ∴∠°°×°. ∵∠°21∠°21(∠∠)°21(∠°)21∠∠∠.∴∥. 由等腰△可知丄，∴丄，即是△的一条高. 同理是△之垂心，丄.由∠∠，易知.。
平面几何：有关三角形五心的经典试题及证明
平面几何：有关三角形五心的经典试题及证明咅部门：XXX时间：XXX整理范文，仅供参考，可下载自行编辑平面几何：有关三角形五心的经典试卷三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1.过等腰△ ABC底边BC上一点P弓I PM/ CA交AB于M引PN// BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P'.试证：P'点在厶ABC 外接圆上.b5E2RGbCAP（杭州大学《中学数学竞赛习题》＞p：「A分析：由已知可得MP =MP=MBNP二=NC故点皿是厶P‘ BP的外心，点3P CN是厶P‘ PC的外心.有/ BP P=0 / BMP= / BAC/ PP C= | Z PNC= / BAC.•••/ BP C=Z BP P+Z P‘ PC Z BAC.从而，P f点与A, B, C共圆、即P f在厶ABC外接圆上.由于P‘ P平分Z BP C,显然还有P‘ B:P ' C=BP:PC.例2 .在△ ABC的边AB, BC, CA上分别取点P, Q, S.证明以△ APS △ BQP △ CSQ的外心为顶点的三角形与△ ABC 相似.p1Ea nqFDPw(B •波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》 > AA.01P02Q0后再由外 心性质可知/ P01S=2A, / QO2P=2 B , / SO3Q=2 C.•••2 P01S 2 QO2P 2 SO3Q=36° .从而又知 2 01P02+2 O2QO32O3SO1=36°将 △ O2QO3绕着 03点旋转到 △ KS03 ,易判断△ KSO ^A 02P01 同时可得厶 0102*△ O1KO3.DXDiTa9E3d• 2 0201032 K0103= 2 0201K= 」(2 0201S 2 S01K>= |( 2 0201S 2 P0102>=勺 2 P01S 2 A ;同理有 2 0102032 B.故厶 01020^△ ABC. 、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题分析：设 01, 02 03是4 APS △ BQP P△ CSG 的外心，作出六边形KQ C，BC 相交.从A ，C, D, E ，F 分别 作该直线的垂线，垂足为 A', C ,有 S A PGE 二△PGD+S PGF.两边各扩大3倍，有S A PBE=S\ PAD+金 PCF.例4.如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将厶ABC 简记为△，由三中线 AD BE, CF 围成的三角形简记为△' .G 为重心，连DE 到H,使EH=DE 连HC HF,则△' 就是△ HCF.5PCzVD7HxA (1>a2, b2, c2成等差数列若厶ABC 为正三角形，易证 不妨设a >b >c ,有CF= ______ BE=I例3. AD, BE, CF 是厶ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△ PAD △ PBE △ PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积 的和只TCrpUDGiT第26届莫斯科数学奥林匹克> B分析: 设 GABC 重心，直线 PG 与 AB••• EE 易证 AA =2DD , CC =2FF‘，2EE=DD +FF .=AA +CC ,7-CPAD= || .将a2+c2=2b2,分别代入以上三式，得CF= | , BE= , AD=1J .••• CF:BE:AD =凶:|二1| : 2]=a:b:c.故有.（2>a2, b2, c2 成等差数列.当△中a>b>c时，△'中CF> BE> AD.•=（日>2.据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的勺”，有凶=].•••因二月回3a2=4CF2=2a2+b2-c2a2+c2=2b2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等（外接> 圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.jLBHrnAlLg例5.设A1A2A3A4为。
初三数学2019部审湘教版三角形的内心与外心规律题
初三数学部审湘教版三角形的内心与外心规律题
1、如图，△ABC内接于⊙O，其外角平分线AD交⊙O于DM⊥AC于M，下列结论：①DB=DC；
②AC-AB=2AM；答案B 解析
2、如图是一个包装纸盒的三视图(单位：cm)，则制作一个纸盒所需纸板的面积是(; 答案C 解析
3、下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是（;）．答案B 解析
4、（2014?兰山区一模）为了让返乡农民工尽快实现再就业，某区加强了对返乡农民工培训经费的投入．2008年投入30 答案A 解析试题分析：本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果这两年培训经费的年平均增长率为x，根据题意即可列出方程．解：∵增长后的量=增长前的量×（1+增长率），∴3000（1+x）2=5000故选A．点评：本题主要考查：复利公式：“a（1+x%）n=b”的应用，理解公式是解决本题的关键．
5、下列二次根式中与同类二次根式的是………………………（答案C 解析
6、在中，分式的个数是（）A 答案B 解析
7、己知A、B两点在数轴上表示的数分别为a，b，且a与b的积小于0，则A、B两点在数轴上的位置是( 答案D 解析
8、若，则有; 答案A 解析
9、如图,正方形图案绕中心O旋转180°后,得到的图案是( 答案D 解析
10、下列运算正确的是 A．x2+x3="x5" B．x8cedil;x2=" 答案D 解析
11、某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为答案C 解析
七年级数学苏科课标版用反比例函数解决实际问题
12，下面的几何体的左视图是答案C 解析
13、。
三角形内心外心综合问题-初中数学解题方法
试卷第 3页
④AC BC= 2 CD．
其中正确的是 _____________ ．（把你认为正确结论的序号都填上）
13．如图，O 是 ABC 的外接圆，BAC 45 ，AD BC 于点 D ，延长 AD 交 O 于点 E ，若 BD 4 ， CD 1，则 DE 的长是_________．
（1）求 AOB 的度数； （2）当点 C 沿着劣弧 AB 从点 A 开始，逆时针运动到点 B 时，求 ODE 的外心 P 所
经过的路径的长度；
（3）分别记 ODE, CDE 的面积为 S1, S2 ，当 S12 S22 21 时，求弦 AC 的长度．
试卷第 4页，总 7页
16．如图，在五边形 ABCDE 中，BCD EDC 90 ，BC ED ，AC CD AD ．
14．若△ABC 的三边长为 3、4、5，则△ABC 的外接圆半径 R 与内切圆半径 r 的差为___． 三、解答题
15．如图，半径为 4 的 O 中，弦 AB 的长度为 4 3 ，点 C 是劣弧 AB 上的一个动点，
点 D 是弦 AC 的中点，点 E 是弦 BC 的中点，连接 DE，OD，OE．
2
法的序号）
10．如图， ABC 中， BAC 90,B 40 ， BC 边上有一点 P（不与点 B,C 重
合），I 为 △APC 的内心，若 AIC 的取值范围为 m AIC n ，则 m n _______．
11．若三角形的三边长分别是 6、8、10，则这个三角形的内心与外心之间的距离为 ____________． 12．如图，AB 是⊙O 的直径，且 AB=4，点 C 是半圆 AB 上一动点（不与 A，B 重合）， CD 平分∠ACB 交⊙O 于点 D，点 I 是△ABC 的内心，连接 BD．下列结论： ①点 D 的位置随着动点 C 位置的变化而变化； ②ID=BD；
三角形内心和外心练习题
CEB 内心和外心一、选择题：1、对于三角形的外心，下列说法错误的是（）A.它到三角形三个顶点的距离相等B.它到三角形任意一个顶点的距离等于其外接圆的半径C.它是三角形三条角平分线的交点D.它是三角形三条边垂直平分线的交点2、下列命题正确的个数有（）○1过两点可以作无数个圆；○2经过三点一定可以作圆；○3任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；○4任意一个圆有且只有一个内接三角形.A.1个B.2个C.3个D.4个2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离是（）A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm3、下列说法错误的是（）A.三角形有且只有一个内切圆B.若I为△ABC的内心，则AI平分∠BACC.三角形的内心不一定都在三角形的内部D.等腰三角形的内心一定在它底边的高上4、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则△ABC的外接圆的面积为（）A.254cm2 B.5πcm2 C.254πcm2 D.25cm25、⊙O与△ABC分别相切于点D、E、F，△ABC的周长为20cm，AF=5cm，CF=3cm，则BE的长度为（）A.1cmB. 2cmC.3cmD.2.5cm第5题第7题第9题6、△ABC内接于⊙O，∠A=60°，⊙O的半径为5，则BC的长为（）527、已知，如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点为D、E、F，则⊙O的半径为（）A.12cm B.1cm C.32cm D.2cm8、等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，高为h，则r：R：h的值为（）A.1：2：3 B.1 2 C.2：1：3 D.19、如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O的半径为( )A.45B.54C.34D.5610、△ABC内接于⊙O，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的角平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F.以下四个结论：○1∠BFE=60°；○2BC=BD；○3EF=FD；○4BF=2DF.其中结论一定正确的是（）A. ○1○2○3B.○1○3C. ○1○2○4D. ○1○2○3○4第10题第15题第16题二、三、填空题11、已知I是△ABC的内心，且∠BIC=130°，则∠A= ；12、已知⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，则△DEF一定是三角形；13、已知等腰Rt△的外接圆半径是5，则其内切圆半径是；14、三角形的周长为20，面积为35，则其内切圆半径是；15、如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为16、如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，那么△ABC的外接圆半径是17、等边三角形的边长为6cm，则这个等边三角形的外接圆半径为 cm，外接圆的面积是 cm2；18、等腰△ABC的外接圆半径是5，其底BC=4 ，则S△ABC= .三、解答题19、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，求其内心和外心之间的距离.。
三角形的五心及相关习题.doc2
三角形的五心及相关习题三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍． 三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)． 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =Sp．特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )．3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2． 4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)． 每个三角形都有三个旁切圆． A 类例题 例1 证明重心定理。
证法1 如图，D 、E 、F 为三边中点，设BE 、CF 交于G ，连接EF ，显然EF ∥=12BC ，由三角形相似可得GB ＝2GE ，GC =2GF ．又设AD 、BE 交于G '，同理可证G 'B =2G 'E ，G 'A =2G 'D ，即G 、G '都是BE 上从B 到E 的三分之二处的点，故G '、G 重合．即三条中线AD 、BE 、CF 相交于一点G ．证法2 设BE 、CF 交于G ，BG 、CG 中点为H 、I ．连EF 、FH 、HI 、IE ，AB COABCDEFG AB CDEFI aIK HE FABCMABCDEFG因为EF ∥=12BC ，HI ∥=12BC ， 所以 EFHI 为平行四边形．所以 HG =GE 、IG=GF ，GB =2GE ，GC =2GF ．同证法1可知AG =2GD ，AD 、BE 、CF 共点． 即定理证毕．情景再现1．设G 为△ABC 的重心，M 、N 分别为AB 、CA 的中点，求证：四边形GMAN 和△GBC的面积相等．2．三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍．B 类例题例3 过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N . 作点P 关于MN 的对称点P '.试证：P '点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》) 分析 分析点M 和N 的性质，即能得到解题思路。
三角形内心和外心练习题上课讲义
CEB 内心和外心一、 选择题：1、 对于三角形的外心，下列说法错误的是（ ）A.它到三角形三个顶点的距离相等B.它到三角形任意一个顶点的距离等于其外接圆的半径C.它是三角形三条角平分线的交点D.它是三角形三条边垂直平分线的交点2、下列命题正确的个数有（ ）○1过两点可以作无数个圆；○2经过三点一定可以作圆；○3任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；○4任意一个圆有且只有一个内接三角形.A.1个B.2个C.3个D.4个2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，则它的外心与顶点C 的距离是（ ）A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm3、下列说法错误的是（ ）A.三角形有且只有一个内切圆B.若I 为△ABC 的内心，则AI 平分∠BACC.三角形的内心不一定都在三角形的内部D.等腰三角形的内心一定在它底边的高上4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，则△ABC 的外接圆的面积为（ ）A.254cm 2B.5πcm 2C. 254πcm 2 D.25cm 2 5、⊙O 与△ABC 分别相切于点D 、E 、F ，△ABC 的周长为20cm ，AF=5cm ，CF=3cm ，则BE 的长度为（ ）A.1cmB. 2cmC.3cmD.2.5cm第5题 第7题 第9题6、△ABC 内接于⊙O ，∠A=60°，⊙O 的半径为5，则BC 的长为（ ）527、已知，如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，则⊙O 的半径为（ ）A.12cm B.1cm C.32cm D.2cm8、等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，高为h，则r：R：h的值为（）A.1：2：3 B.1 2 C.2：1：3 D.19、如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O的半径为( )A.45B.54C.34D.5610、△ABC内接于⊙O，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的角平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F.以下四个结论：○1∠BFE=60°；○2BC=BD；○3EF=FD；○4BF=2DF.其中结论一定正确的是（）A. ○1○2○3B.○1○3C. ○1○2○4D. ○1○2○3○4第10题第15题第16题二、填空题11、已知I是△ABC的内心，且∠BIC=130°，则∠A= ；12、已知⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，则△DEF一定是三角形；13、已知等腰Rt△的外接圆半径是5，则其内切圆半径是；14、三角形的周长为20，面积为35，则其内切圆半径是；15、如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为16、如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，那么△ABC的外接圆半径是17、等边三角形的边长为6cm，则这个等边三角形的外接圆半径为 cm，外接圆的面积是 cm2；18、等腰△ABC的外接圆半径是5，其底BC=4 ，则S△ABC= .三、解答题19、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，求其内心和外心之间的距离.。
三角形的内心例题
一、选择题
1.三角形的内心是三角形哪三条线的交点？
A.三条高线
B.三条中线
C.三条角平分线（正确答案）
D.三条边的垂直平分线
2.三角形的内心到三角形三边的距离是怎样的？
A.相等（正确答案）
B.不等
C.无法确定
D.内心到一边的距离大于到另一边的距离
3.在一个等腰三角形中，内心位于三角形的哪个位置？
A.三角形内部（正确答案）
B.三角形外部
C.三角形边上
D.三角形的一个顶点上
4.三角形的内心是否一定在三角形内部？
A.是（正确答案）
B.否
C.只在等腰三角形中在内部
D.只在直角三角形中在内部
5.三角形的内心与哪个心重合时，三角形是等边三角形？
A.重心
B.垂心
C.外心
D.内心自身（正确答案），即所有心重合
6.已知三角形的内心，能否确定三角形的形状？
A.能，唯一确定
B.不能，因为内心位置不足以确定三角形形状（正确答案）
C.能，但仅当三角形是等腰三角形时
D.能，但仅当三角形是直角三角形时
7.三角形的内心将三角形的每条角平分线分为两部分，这两部分的长度关系是？
A.相等（正确答案）
B.不等
C.与三角形的形状有关
D.无法确定
8.若三角形的内心到三角形一边的距离等于这边所对边长的一半，则该三角形是？
A.等腰三角形
B.等边三角形（正确答案）
C.直角三角形
D.无法确定其形状。
平面几何：有关三角形五心的经典试题及证明
平面几何：有关三角形五心的经典试题及证明部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑平面几何：有关三角形五心的经典试卷三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM∥CA 交AB 于M ；引PN∥BA 交AC 于N.作点P 关于MN 的对称点P′.试证：P′点在△ABC 外接圆上.b5E2RGbCAP (杭州大学《中学数学竞赛习题》>分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′=NP=NC ，故点M 是△P′BP 的外心，点N 是△P′PC 的外心.有∠BP′P=∠BMP=∠BAC， ∠PP′C=∠PNC=∠BAC.∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.从而，P′点与A ，B ，C 共圆、即P′在△ABC 外接圆上. 由于P′P 平分∠BP′C，显然还有 P′B:P′C=BP:PC.例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S.证明以△APS，△BQP，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.p1EanqFDPw A BCP P MN'(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》> 分析：设O1，O2，O3是△APS，△BQP， △CSQ 的外心，作出六边形 O1PO2QO3S 后再由外 心性质可知∠PO1S=2∠A， ∠QO2P=2∠B， ∠SO3Q=2∠C.∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+∠O2QO3+∠O3SO1=360°将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1，同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.DXDiTa9E3d ∴∠O2O1O3=∠KO1O3=∠O2O1K =(∠O2O1S+∠SO1K> =(∠O2O1S+∠PO1O2> =∠PO1S=∠A；同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC. 二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.A BCQ K PO O O ....S123例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD，△PBE，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和.RTCrpUDGiT (第26届莫斯科数学奥林匹克> 分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别作该直线的垂线，垂足为A′，C′， D′，E′，F′.易证AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+CC′， ∴EE′=DD′+FF′.有S△PGE=S△PGD+S△PGF.两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连DE 到H ，使EH=DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF.5PCzVD7HxA (1>a2，b2，c2成等差数列△∽△′.若△ABC 为正三角形，易证△∽△′. 不妨设a≥b≥c，有 CF=， BE=，A A 'F F 'GEE 'D 'C 'PCB DAD=.将a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得CF=，BE=，AD=.∴CF:BE:AD =::=a:b:c.故有△∽△′.(2>△∽△′a2，b2，c2成等差数列.当△中a≥b≥c时，△′中CF≥BE≥AD.∵△∽△′，∴＝(>2.据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的”，有=.∴=3a2=4CF2=2a2+b2-c2a2+c2=2b2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接>圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.jLBHrnAILg例5．设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.xHAQX74J0X (1992，全国高中联赛>分析：连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径 为R.由△A2A3A4知=2RA2H1=2Rcos∠A3A2A4；由△A1A3A4得 A1H2=2Rcos∠A3A1A4.但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2.易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1A1H2，故得H1H2A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M ，故H1H2与A1A2关于M 点成中心对称.同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.LDAYtRyKfE 例6．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A1，A2，B1，B2，C1，C2.Zzz6ZB2Ltk 求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. ∥=∥=.OA A A A 1234H H 12H H H MA B BA A C CF121122D E(1989，加拿大数学奥林匹克训练题>分析：只须证明AA1=BB1=CC1即可.设BC=a， CA=b，AB=c，△ABC外接圆半径为R，⊙H的半径为r.连HA1，AH交EF于M.A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2=r2+(AM2-MH2>，①又AM2-HM2=(AH1>2-(AH-AH1>2=AH·AH1-AH2=AH2·AB-AH2=cosA·bc-AH2，②而=2R AH2=4R2cos2A,=2R a2=4R2sin2A.∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. ③由①、②、③有A=r2+·bc-(4R2-a2>=(a2+b2+c2>-4R2+r2.同理，=(a2+b2+c2>-4R2+r2，=(a2+b2+c2>-4R2+r2.故有AA1=BB1=CC1.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A′，则有A′I=A′B=A′C.换言之，点A′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用>.dvzfvkwMI1例7．ABCD 为圆内接凸四边形，取△DAB，△ABC，△BCD， △CDA 的内心O1， O2，O3， O4.求证：O1O2O3O4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题> 证明见《中等数学》1992；4例8．已知⊙O 内接△ABC，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切.试证：EF 中点P 是△ABC 之内心.(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》>分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB=AC.当AB≠AC ，怎样证明呢？rqyn14ZNXI 如图，显然EF 中点P 、圆心Q ，BC 中点K 都在∠BAC 平分线上.易知AQ=.∵QK·AQ=MQ·QN，∴QK===.由Rt△EPQ 知PQ=. ∴PK=PQ+QK=+=.ABCDO O O 234O 1AααMBCKNE R OQF r P∴PK=BK.利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心. 五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.例9．在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.式中r ，ra ，rb ，rc 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》>分析：设Rt△ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p(p-c>=(p-a>(p-b>.∵p(p -c>=(a+b+c>·(a+b-c> =[(a+b>2-c2]=ab ；(p-a>(p-b>=(-a+b+c>·(a-b+c> =[c2-(a-b>2]=ab.∴p(p -c>=(p-a>(p-b>. ① 观察图形，可得 ra=AF-AC=p-b ， rb=BG-BC=p-a ， rc=CK=p.Kr r r r O O O 213AOE CBabc而r=(a+b-c>=p-c.∴r+ra+rb+rc=(p-c>+(p-b>+(p-a>+p=4p-(a+b+c>=2p.由①及图形易证.例10．M是△ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△ABC内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径.证明：·=.EmxvxOtOco(IMO-12>分析：对任意△A′B′C′，由正弦定理可知OD=OA′·=A′B′··=A′B′·，O ′E= A′B′·.∴.亦即有·=A...'B'C'OO'E D==.六、众心共圆这有两种情况：(1>同一点却是不同三角形的不同的心；(2>同一图形出现了同一三角形的几个心.例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB=BC ，CD=DE ，EF=FA.试证：(1>AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点；SixE2yXPq5 (2>AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF. (1991，国家教委数学实验班招生试卷>分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分线，I 为△ACE 的内心.从而有ID=CD=DE ，6ewMyirQFL IF=EF=FA ， IB=AB=BC.再由△BDF，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 不等式有：BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS>.不难证明IE=2IP ，IA=2IQ ，IC=2IS.∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC. ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA =2(BI+DI+FI> ≥(IA+IE+IC>+(BI+DI+FI> =AD+BE+CF. I 就是一点两心.Erdos..I PABC DEFQ S例12．△ABC 的外心为O ，AB=AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心.证明OE 丄CD.(加拿大数学奥林匹克训练题> 分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点F ，E 必在DF 上且DE:EF=2:1.设 CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心. 连GE ，MF ，MF 交DC 于K.易证： DG:GK=DC:(>DC=2:1.∴DG:GK=DE:EFGE∥MF.∵OD 丄AB ，MF∥AB， ∴OD 丄MFOD 丄GE.但OG 丄DEG 又是△ODE 之垂心.易证OE 丄CD.例13．△ABC 中∠C=30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD=BE=AB.求证：OI 丄DE ，OI=DE.kavU42VRUs (1988，中国数学奥林匹克集训题>分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K. 易证△AID≌△AIB≌△EIB，∠AID=∠AIB=∠EIB.利用内心张角公式，有 ∠AIB=90°+∠C=105°， ∴∠DIE=360°-105°×3=45°.AB CDE FOKG O ABCDEF I K30°∵∠AKB=30°+∠DAO=30°+(∠BAC -∠BAO> =30°+(∠BAC -60°> =∠BAC=∠BAI=∠BEI. ∴AK∥IE.由等腰△AOD 可知DO 丄AK ， ∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高. 同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE. 由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.例14．锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距 离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂. 求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重.分析：这里用三角法.设△ABC 外接圆半径为1，三个内角记为A ，B ， C. 易知d 外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC ，∴2d 外=2(cosA+cosB+cosC>. ① ∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC>=2sinB·sinC， 同样可得BH2·CH3. ∴3d 重=△ABC 三条高的和=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB> ②BCO IAO G H O G H G O G H 123112233∴=2，∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC.同样可得HH2，HH3.∴d垂=HH1+HH2+HH3=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB>③欲证结论，观察①、②、③，须证(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB>+( cosA+ cosB+ cosC>=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.y6v3ALoS89练习题1.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′，B′，C′.则AA′+BB′+CC′＞△ABC周长.(1982，澳大利亚数学奥林匹克>2.△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克>M2ub6vSTnP3.I为△ABC的内心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，O2，O3.求证：△O1O2O3与△ABC有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克>0YujCfmUCw4.AD为△ABC内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形.eUts8ZQVRd5.△ABC中∠C＜90°，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.(IMO-7>sQsAEJkW5T6.△ABC的边BC=(AB+AC>，取AB，AC中点M，N，G为重心，I为内心.试证：过A，M，N三点的圆与直线GI相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克>GMsIasNXkA7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3，求作△ABC.(第7届莫斯科数学奥林匹克>TIrRGchYzg8.已知△ABC的三个旁心为I1，I2，I3.求证：△I1I2I3是锐角三角形.9.AB，AC切⊙O于B，C，过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证：(1>△AEF与△ABC有公共的内心；(2>△AEF与△ABC有一个旁心重合.7EqZcWLZNX申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
三角形的外接圆与外心精选题40道
三角形的外接圆与外心精选题40道一．选择题（共12小题）1．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100°2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则P A的长为（）A．5B．C．5D．53．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）A．55°B．65°C．60°D．75°4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为（）A．30°B．25°C．15°D．10°5．下列命题中，真命题的个数是（）①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．A．4个B．3个C．2个D．1个6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（）A．4B．4C．D．27．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（）A．（0，0）B．（1，0）C．（﹣2，﹣1）D．（2，0）8．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（）A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°B．淇淇说的不对，∠A就得65°C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D．两人都不对，∠A应有3个不同值9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（）A．4B．2C．3D．10．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（）A．B．C．D．11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠CAB＝30°，∠ACB＝105°，CD⊥AB于点D且CD ＝2，则⊙O的半径为（）A．2B．4C．4D．412．如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（）A．2B．C．D．二．填空题（共18小题）13．如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝．14．半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为．15．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是度．16．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD＝BD．若⊙O的半径OB＝2，则AC的长为．17．如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O．若∠A＝60°，∠B＝75°，则AB＝．18．若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角．已知△ABC是等径三角形，则等径角的度数为．19．如图，等腰△ABC中，底边BC长为8，腰长为6，点D是BC边上一点，过点B作AC 的平行线与过A、B、D三点的圆交于点E，连接DE，则DE的最小值是．20．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则P A的长为．21．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝40°，则∠ACB＝°．22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝30°，AB＝2cm，则⊙O的半径为cm．23．如图，在直角坐标系中，点A（0，3）、点B（4，3）、C（0，﹣1），则△ABC外接圆的半径为．24．如图，△ABC的外接圆O的半径为3，∠C＝55°，则劣弧的长是．（结果保留π）25．如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆，则的长等于．26．如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为．27．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ACO＝40°，则∠B的度数为．28．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为．29．如图，线段AB＝2，点C为平面上一动点，且∠ACB＝90°，将线段AC的中点P绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BQ，则线段BQ的最大值为．30．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是．三．解答题（共10小题）31．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．（1）求证：DE＝DB；（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．32．在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．33．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE ＝3，求GC和OF的长．34．如图，直角△ABC内接于⊙O，∠C＝90°，点P在弧AB上移动，P，C分别位于AB 的异侧（P不与A，B重合），△PCD也为直角三角形，∠PCD＝90°，且直角△PCD的斜边PD经过点B，BA，PC相交于点E．（1）当BA平分∠PBC时，求的值；（2）已知：AC＝1，BC＝2，求△PCD面积的最大值．35．如图，△ABC内接于⊙O（∠ACB＞90°），连接OA，OC．记∠BAC＝α，∠BCO＝β，∠BAO＝γ．（1）探究α与β之间的数量关系，并证明．（2）设OC与AB交于点D，⊙O半径为1，①若β＝γ+45°，AD＝2OD，求由线段BD，CD，弧BC围成的图形面积S．②若α+2γ＝90°，设sinα＝k，用含k的代数式表示线段OD的长．36．已知等腰三角形ABC，如图．（1）用直尺和圆规作△ABC的外接圆；（2）设△ABC的外接圆的圆心为O，若∠BOC＝128°，求∠BAC的度数．37．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．在同一平面内，△ABC内部一点O到AB，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．（1）直接写出a的值；（2）连接BO并延长，交AC于点M，过点M作MN⊥BC于点N．①求证：∠BMA＝∠BMN；②求直线MN与图形G的公共点个数．38．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BD是直径，且BC＝2，连接CD，求BD 的长．39．把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．（1）当DE⊥AC时，AD与BC的位置关系是，AE与BC的位置关系是．（2）如图2，当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数；（3）若△ABD的外心在边BD上，直接写出旋转角α的值．40．定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心．（1）如图①，小海同学在作△ABC的外心时，只作出两边BC，AC的垂直平分线得到交点O，就认定点O是△ABC的外心，你觉得有道理吗？为什么？（2）如图②，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF，连接DE，EF，DF，得到△DEF．若点O为△ABC的外心，求证：点O也是△DEF的外心．三角形的外接圆与外心精选题40道参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100°【分析】利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出∠BAC的度数．【解答】解：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC＝80°，∴∠A＝40°，∠A′＝140°，故∠BAC的度数为：40°或140°．故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，利用分类讨论得出是解题关键．2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则P A的长为（）A．5B．C．5D．5【分析】连接OA、OB，OB交P A于D，根据圆周角定理求得∠APB＝∠C＝30°，进而求得∠P AB＝∠APB＝30°，∠ABP＝120°，根据垂径定理得到OB⊥AP，AD＝PD，∠OBP＝∠OBA＝60°，即可求得△AOB是等边三角形，从而求得PB＝OA＝5，解直角三角形求得PD，即可求得P A．【解答】解：连接OA、OB，OB交P A于D，∵∠C＝30°，∴∠APB＝∠C＝30°，∵PB＝AB，∴＝，∴∠P AB＝∠APB＝30°∴∠ABP＝120°，∵PB＝AB，∴OB⊥AP，AD＝PD，∴∠OBP＝∠OBA＝60°，∵OB＝OA，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝5，则Rt△PBD中，PD＝cos30°•PB＝×5＝，∴AP＝2PD＝5，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定和性质以及解直角三角形等，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键．3．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）A．55°B．65°C．60°D．75°【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是边BC的中点，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠ODB＝∠ODC＝BDC＝65°，故选：B．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线（即连接CD）是解决本题的关键．4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为（）A．30°B．25°C．15°D．10°【分析】连接OB和OC，证明△OBC为等边三角形，得到∠BOC的度数，再利用圆周角定理得出∠A．【解答】解：连接OB和OC，∵圆O半径为2cm，BC＝2cm，∴OB＝OC＝BC，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠A＝∠BOC＝30°，故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．5．下列命题中，真命题的个数是（）①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】在同一直线上三点不能作圆，即可判定①；一个圆可以作无数个圆，判断②即可；每个三角形都有一个外接圆，外接圆的圆心是三角形三边的垂直平分线的交点，该点到三角形的三个顶点距离相等，即可判断③④．【解答】解：经过不在同一条直线上三点可以作一个圆，∴①错误；任意一个圆一定有内接三角形，并且有多个内接三角形，∴②错误；任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，∴③正确；三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，到三角形的三个顶点距离相等，∴④正确．故选：C．【点评】本题考查了确定圆的条件和三角形的外接圆与外心的应用，主要考查学生运用性质进行说理的能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（）A．4B．4C．D．2【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根据圆内接四边形的性质得到∠D＝180°﹣∠B＝60°，求得∠CAD＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接CD，∵AB＝BC，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∵∠CAD＝30°，AD＝8，∴CD＝AD＝4，∴AC＝＝＝4，故选：B．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（）A．（0，0）B．（1，0）C．（﹣2，﹣1）D．（2，0）【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．【解答】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，∴作图得：∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．故选：C．【点评】此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．8．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（）A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°B．淇淇说的不对，∠A就得65°C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D．两人都不对，∠A应有3个不同值【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．【解答】解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．故∠A′＝180°﹣65°＝115°．故选：A．【点评】此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（）A．4B．2C．3D．【分析】根据圆周角定理求得∠BOC＝120°，过点O作OM⊥BC，然后结合，等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质分析求解．【解答】解：过点O作OM⊥BC，交BC于点M，∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，又∵OB＝OC，OM⊥BC，∴∠COM＝∠BOC＝60°，MB＝MC，∴在Rt△COM中，∠OCM＝30°，∴OM＝OC＝1，CM＝OM＝，∴BC＝2CM＝2，故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，含30°直角三角形的性质，理解相关性质定理正确推理计算是解题关键．10．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（）A．B．C．D．【分析】作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠BDC，根据余弦的定义解答即可．【解答】解：如图，作直径BD，连接CD，由勾股定理得，BD＝＝2，在Rt△BDC中，cos∠BDC＝＝＝，由圆周角定理得，∠BAC＝∠BDC，∴cos∠BAC＝cos∠BDC＝，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠CAB＝30°，∠ACB＝105°，CD⊥AB于点D且CD ＝2，则⊙O的半径为（）A．2B．4C．4D．4【分析】连接OA，OC，根据圆周角定理得∠AOC＝90°，根据直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理求出OA．【解答】解：如图，连接OA，OC，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵∠CAB＝30°，CD＝2，∴AC＝2CD＝4，∵∠ACB＝105°，∠ACD＝60°，∴∠CBA＝45°，∵∠COA＝2∠CBA＝2×45°＝90°，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2＝OA2+OC2，∵OA＝OC，∴OA＝AC＝4，∴⊙O的半径为4，故选：B．【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，垂径定理定理，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，利用圆周角定理构造出Rt△AOC是解题的关键．12．如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（）A．2B．C．D．【分析】根据重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形，据此即可求解．【解答】解：作AM⊥BC于M，如图：重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形．∵△ABC是等边三角形，AM⊥BC，∴AB＝BC＝3，BM＝CM＝BC＝，∠BAM＝30°，∴AM＝BM＝，∴△ABC的面积＝BC×AM＝×3×＝，∴重叠部分的面积＝△ABC的面积＝×＝；故选：C．【点评】本题考查了三角形的外心、等边三角形的性质以及旋转的性质，理解连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都为全等的等边三角形是关键．二．填空题（共18小题）13．如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝2．【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．【解答】解：设点D为优弧AB上一点，连接AD、BD、OA、OB，如右图所示，∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，∴∠ADB＝45°，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB＝2，∴AB＝2，故答案为：2．【点评】本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．14．半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为5或5．【分析】如图1，当∠ODB＝90°时，推出△ABC是等边三角形，解直角三角形得到BC ＝AB＝5，如图2，当∠DOB＝90°，推出△BOC是等腰直角三角形，于是得到BC＝OB＝5．【解答】解：如图1，当∠ODB＝90°时，即CD⊥AB，∴AD＝BD，∴AC＝BC，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠DBO＝30°，∵OB＝5，∴BD＝OB＝，∴BC＝AB＝5，如图2，当∠DOB＝90°，∴∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴BC＝OB＝5，综上所述：若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为5或5，故答案为：5或5．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．15．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是120度．【分析】连接OA，OB，根据已知条件得到∠AOB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA＝30°，根据全等三角形的性质得到∠DOA＝∠BOE，于是得到结论．【解答】解：连接OA，OB，∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠OAD＝30°，∴∠OAD＝∠OBE，∵AD＝BE，∴△OAD≌△OBE（SAS），∴∠DOA＝∠BOE，∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝120°，故答案为：120．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．16．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD＝BD．若⊙O的半径OB＝2，则AC的长为2．【分析】连接OA、OC，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC＝45°，根据圆周角定理求出∠AOC，根据勾股定理计算即可．【解答】解：连接OA、OC，∵AD⊥BC，AD＝BD，∴∠ABC＝45°，由圆周角定理得，∠AOC＝2∠ABC＝90°，∴AC＝OA＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．17．如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O．若∠A＝60°，∠B＝75°，则AB＝．【分析】连接OA，OB，由三角形内角和可得出∠C＝45°，再根据圆周角定理可得∠AOB ＝90°，即△OAB是等腰直角三角形，又圆半径为1，可得出结论．【解答】解：如图，连接OA，OB，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝45°，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，∴△OAB是等腰直角三角形，∴AB＝OA＝．故答案为：．【点评】本题主要考查三角形内角和定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等内容，作出正确的辅助线是解题关键．18．若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角．已知△ABC是等径三角形，则等径角的度数为30°或150°．【分析】根据边长等于半径时，边长所对的圆心角为60°，根据圆周角与圆心角的关系和圆内接四边形的性质求出等径角的度数．【解答】解：如图边AB与半径相等时，则∠AOB＝60°，当等径角顶点为C时，∠C＝∠AOB＝30°，当等径角顶点为D时，∠C+∠D＝180°，∠D＝150°，故答案为：30°或150°．【点评】本题考查的是三角形的外接圆的知识，掌握圆周角与圆心角的关系和圆内接四边形的性质是解题的关键，根据等边三角形的性质求出圆心角是重点．19．如图，等腰△ABC中，底边BC长为8，腰长为6，点D是BC边上一点，过点B作AC 的平行线与过A、B、D三点的圆交于点E，连接DE，则DE的最小值是2．【分析】如图，连接AE，AD，OE，OD，作AJ⊥BC于J，OK⊥DE于K．首先证明∠EOD＝2∠C＝定值，推出⊙O的半径最小时，DE的值最小，推出当AB是直径时，DE 的值最小．【解答】解：如图，连接AE，AD，OE，OD，作AJ⊥BC于J，OK⊥DE于K．∵BE∥AC，∴∠EBC+∠C＝180°，∵∠EBC+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠C，∵∠EOD＝2∠EAD，∴∠EOD＝2∠C＝定值，∴⊙O的半径最小时，DE的值最小，∴当AB是⊙O的直径时，DE的值最小，∵AB＝AC＝6，AJ⊥BC，∴BJ＝CJ＝4，∴AJ＝＝＝2，∵OK⊥DE，∴EK＝DK，∵AB＝6，∴OE＝OD＝3，∵∠EOK＝∠DOK＝∠C，∴sin∠EOK＝sin∠C＝，∴＝，∴EK＝，∴DE＝2，∴DE的最小值为2．故答案为2．【点评】本题考查三角形的外接圆，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．20．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则P A的长为5．【分析】连接OA、OP，连接OB交AP于H，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠C＝60°，根据正弦的概念计算即可．【解答】解：连接OA、OP，连接OB交AP于H，由圆周角定理得，∠AOB＝2∠C＝60°，∵PB＝AB，∴∠POB＝60°，OB⊥AP，则AH＝PH＝OP×sin∠POH＝，∴AP＝2AH＝5，故答案为：5．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、解直角三角形的知识是解题的关键．21．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝40°，则∠ACB＝50°．【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理即可得到结论．【解答】解：连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣40°＝50°，∴∠ACB＝∠D＝50°．故答案为50．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝30°，AB＝2cm，则⊙O的半径为2cm．【分析】作直径AD，连接BD，得∠ABD＝90°，∠D＝∠C＝30°，则AD＝4．即圆的半径是2．（或连接OA，OB，发现等边△AOB．）【解答】解：作直径AD，连接BD，得∠ABD＝90°，∠D＝∠C＝30°，∴AD＝4，即圆的半径是2．【点评】能够根据圆周角定理发现等边三角形或直角三角形是解题的关键．23．如图，在直角坐标系中，点A（0，3）、点B（4，3）、C（0，﹣1），则△ABC外接圆的半径为2．【分析】连接AB，分别作AC、AB的垂直平分线，两直线交于点H，根据垂径定理、坐标与图形性质求出点H的坐标，根据勾股定理计算即可．【解答】解：连接AB，分别作AC、AB的垂直平分线，两直线交于点H，由垂径定理得，点H为△ABC的外接圆的圆心，∵A（0，3）、点B（4，3）、C（0，﹣1），∴点H的坐标为（2，1），则△ABC外接圆的半径＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、垂径定理、坐标与图形性质，掌握垂径定理、勾股定理是解题的关键．24．如图，△ABC的外接圆O的半径为3，∠C＝55°，则劣弧的长是．（结果保留π）【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求∠AOB＝110°，根据弧长公式可求劣弧的长．【解答】解：∵∠AOB＝2∠C且∠C＝55°∴∠AOB＝110°根据弧长公式的长＝＝故答案为【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，弧长公式，关键是熟练运用弧长公式解决问题．25．如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆，则的长等于π．【分析】由AB、BC、AC长可推导出△ACB为等腰直角三角形，连接OC，得出∠BOC ＝90°，计算出OB的长就能利用弧长公式求出的长了．【解答】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，∴AB＝2，AC＝，BC＝，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB为等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∴连接OC，则∠COB＝90°，∵OB＝，∴的长为：＝π，故答案为：π．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是利用三角形三边长通过勾股定理逆定理得出△ACB为等腰直角三角形．26．如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为（6，2）．【分析】本题可先设圆心坐标为（x，y），再根据“三角形外接圆的圆心到三角形三顶点的距离相等”列出等式，化简即可得出圆心的坐标．【解答】解：设圆心坐标为（x，y）；依题意得，A（4，6），B（2，4），C（2，0）则有＝＝，即（4﹣x）2+（6﹣y）2＝（2﹣x）2+（4﹣y）2＝（2﹣x）2+y2，化简后得x＝6，y＝2，因此圆心坐标为（6，2）．【点评】本题考查了三角形外接圆的性质和两点之间的距离公式．解此类题目时要注意运用三角形的外接圆圆心到三角形三点的距离相等这一性质．27．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ACO＝40°，则∠B的度数为50°．【分析】先根据OA＝OC，∠ACO＝40°可得出∠OAC＝40°，故可得出∠AOC的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：连接OA，如图，∵∠ACO＝40°，OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO＝40°，∴∠AOC＝100°，∴∠B＝50°．故答案为：50°．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．28．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为（6，6）．【分析】由题意得出M在AB、BC的垂直平分线上，则BN＝CN，求出ON＝OB+BN＝6，证△OMN是等腰直角三角形，得出MN＝ON＝6，即可得出答案．【解答】解：如图所示：∵⊙M是△ABC的外接圆，∴点M在AB、BC的垂直平分线上，∴BN＝CN，∵点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），∴OA＝OB＝4，OC＝8，∴BC＝4，∴BN＝2，∴ON＝OB+BN＝6，∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∵OM⊥AB，∴∠MON＝45°，∴△OMN是等腰直角三角形，∴MN＝ON＝6，∴点M的坐标为（6，6）；故答案为：（6，6）．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；证出OMN为等腰直角三角形是解题的关键．29．如图，线段AB＝2，点C为平面上一动点，且∠ACB＝90°，将线段AC的中点P绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BQ，则线段BQ的最大值为．【分析】证明△ADC∽△AEQ，求出QE＝，在Rt△ABE中求出BE＝，进而求出答案．【解答】解：如图，取AB的中点D，连接CD，过点A作AE⊥AB，使AE＝AD＝，连接QE、BE．∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴，∵∠QAC＝90°，∠EAB＝90°，∴∠QAE＝∠CAD，∵，，∴△ADC∽△AEQ，∴，∴，∵∠EAB＝90°，∴＝，当点Q、E、B三点共线时，BQ最大为＝．故答案为：．【点评】本题考查旋转变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．30．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是．【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，根据圆周角定理可得∠BOC＝2∠A＝120°，∴阴影部分的面积是＝π，故答案为：【点评】本题主要考查扇形面积的计算和圆周角定理，根据等边三角形性质和圆周角定理求得圆心角度数是解题的关键．三．解答题（共10小题）31．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．（1）求证：DE＝DB；（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．【分析】（1）由角平分线得出∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，得出，由圆周角定理得出∠DBC＝∠CAD，证出∠DBC＝∠BAE，再由三角形的外角性质得出∠DBE＝∠DEB，即可得出DE＝DB；（2）由（1）得：，得出CD＝BD＝4，由圆周角定理得出BC是直径，∠BDC＝90°，由勾股定理求出BC＝＝4，即可得出△ABC外接圆的半径．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，∴，∴∠DBC＝∠CAD，∴∠DBC＝∠BAE，∵∠DBE＝∠CBE+∠DBC，∠DEB＝∠ABE+∠BAE，∴∠DBE＝∠DEB，∴DE＝DB；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得：，∴CD＝BD＝4，∵∠BAC＝90°，∴BC是直径，∴∠BDC＝90°，∴BC＝＝4，∴△ABC外接圆的半径＝×4＝2．【点评】本题考查了三角形的外接圆的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．32．在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．【分析】（1）利用圆的定义得到图形G为△ABC的外接圆⊙O，由∠ABD＝∠CBD得到＝，从而圆周角、弧、弦的关系得到AD＝CD；（2）如图，证明CD＝CM，则可得到BC垂直平分DM，利用垂径定理得到BC为直径，再证明OD⊥DE，从而可判断DE为⊙O的切线，于是得到直线DE与图形G的公共点个数．【解答】（1）证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∴图形G为△ABC的外接圆⊙O，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴＝，∴AD＝CD；（2）如图，∵AD＝CM，AD＝CD，∴CD＝CM，∵DM⊥BC，∴BC垂直平分DM，∴BC为直径，∴∠BAC＝90°，∵＝，∴OD⊥AC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线，∴直线DE与图形G的公共点个数为1．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和圆周角定理、切线的判定．33．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE ＝3，求GC和OF的长．【分析】（1）根据垂径定理得到＝，根据圆周角定理证明结论；（2）根据勾股定理求出BE，根据垂径定理求出BC，根据圆周角定理得到∠BCG＝90°，根据勾股定理求出GC，证明△AFO∽△CFG，根据相似三角形的性质求出OF．【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，∴＝，∴∠BAD＝∠CAD；（2）解：在Rt△BOE中，OB＝5，OE＝3，∴BE＝＝4，∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，∴BC＝2BE＝8，∵BG是⊙O的直径，∴∠BCG＝90°，∴GC＝＝6，∵AD⊥BC，∠BCG＝90°，∴AE∥GC，∴△AFO∽△CFG，。
三角形四心习题及解析
三角形的四心习题及剖析一、单项选择题1. （）△ ABC 中，若∠ A ：∠ B ：∠ C ＝ 1：2： 3， G 为△ ABC 的重心，则△ GAB 面积：△ GBC面积：△ GAC 面积＝(Ａ) 1：2：3 (Ｂ) 1： 3 ：2 (Ｃ ) 2：1： 3 (Ｄ) 1：1：1。
答案： (Ｄ )剖析：∵ G 为△ ABC 的重心∴△ GAB 面积：△ GBC 面积：△ GAC 面积＝ 1： 1：12. （ ）如图，△ ABC 中， AB ＝ AC ，两腰上的中线订交与 G ，若∠ BGC ＝ 90°，且 BC ＝ 22 ，则 BE 的长为多少 (Ａ ) 2 (Ｂ) 2 2 (Ｃ)3 (Ｄ) 4。
答案： (Ｃ )剖析：∵ AB ＝ AC ，且 G 为△ ABC 的 重心∴BE ＝CD∴BG ＝CG 又∵∠ BGC ＝90°， BC ＝22∴BG ＝BC ＝2 2＝2 ∴BE ＝3BG ＝3×2＝32 22 23. （）如图，等腰△ ABC 中， AB ＝ AC ＝ 13， BD ＝ CD ＝ 5， O 为△ ABC 的外心，则 OD ＝ (Ａ) 117 (Ｂ ) 119 (Ｃ ) 121 (Ｄ )123 。
24 24 2424答案： (Ｂ )剖析：∵△ ABC 为等腰三角形，∴ AD ⊥BC ， AD ＝ 13 2－52 ＝12，连接 OB ，令 OD ＝x, 则 OB ＝OA ＝AD －OD ＝ 12－ x（12－x ）2＝x 2＋52x ＝119应选 (Ｂ)244. （ ）如图， D 、 E 分别为 AB 、 AC 中点， BE 、CD 交于 F ，若斜线部分的面积为 7 ，则△ACD 的面积为多少 (Ａ) 21(Ｂ ) 24(Ｃ ) 28(Ｄ ) 35。
答案： (Ａ)剖析：连接BC ，则△ BDF ＝ 1△ABC而△ ACD ＝1△ABC△ACD ＝3×7＝21 平方公分应选(Ａ)625. （）直角三角形ABC 中，∠A ＝ 90°， O 为外心，G 为重心，若AC ＝6， AB ＝ 8，则OG＝ (Ａ)2(Ｂ)4(Ｃ)5(Ｄ) 7。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形内心、外心专项训练
内心相关知识
一、判断题
1、在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个
2、在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个
3、三角形三条角平分线交于一点（三角形的内心）
4、等腰三角形底边中点到两腰的距离相等
5、三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形
二、填空题
6、如图（1），点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD__________PE__________PF.
7、如图（2），P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是__________.
8、如图（3），CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG ⊥AB，垂足为G，则CF__________FG，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=__________度，∠3__________∠4，CE__________CF.
9、如右图，E、D分别是AB、AC上的一点，∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M，∠BED、∠EDC的角平分线交于N.
求证：A、M、N在一条直线上.
证明：过点N作NF⊥AB，NH⊥ED，NK⊥AC
过点M作MJ⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC
∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC
∴NF__________NH，NH__________NK
∴NF__________NK
∴N在∠A的平分线上
又∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB
∴__________=__________，__________=__________
∴__________=__________
∴M在∠A的__________上
∴M、N都在∠A的__________上
∴A、M、N在一条直线上
三、作图题
10、利用角平分线的性质，找到△ABC内部距三边距离相等的点.
11、在下图△ABC所在平面中，找到距三边所在直线
．．距离相等的点.
12、如下图，一个工厂在公路西侧，在河的南岸，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，且与河上公路桥南首（点A）的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.
四、解答题
13、已知：如下图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离.
外心相关知识
一、判断题
1、三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三角形的外心）
2、以三角形两边的垂直平分线的交点为圆心，以该点到三角形三个顶点中的任意一点的距离为半径作圆，必经过另外两个顶点
3、平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等
4、三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称
二、填空题
5、如左下图，点P为△ABC三边中垂线交点，则PA__________PB__________PC.
6、如右上图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1_______∠2，∠3______∠4，∠5______∠6，∠2+∠3=________度，∠1+∠4=______度，∠5+∠6=_______度，∠BOC=_______度.
7、如左下图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD__________DC，点D在__________的垂直平分线上.
8、如右上图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B__________∠1，∠C__________∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG=__________度.
9、如左下图，AD是△ABC中BC边上的高，E是AD上异于A，D的点，若BE=CE，则△__________≌△__________(HL)；从而BD=DC，则△________≌△_________(SAS)；△ABC是__________三角形.
10、如右上图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠AD B=_________度.
三、作图题
11、（1）分别作出点P，使得PA=PB=PC
（2）观察各图中的点P与△ABC的位置关系，并总结规律：
当△ABC为锐角三角形时，点P在△ABC的__________；
当△ABC为直角三角形时，点P在△ABC的__________；
当△ABC为钝角三角形时，点P在△ABC的__________；
反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个.
四、类比联想
12、既然任意一个三角形的三边的垂直平分线交于一点，那三角形的三边上的中线是否也交于一点；三个角的平分线是否也交于一点；试通过折纸或用直尺、圆规画图验证这种猜想.。