高中数学导数压轴题专题拔高训练 (二)

高中数学导数压轴题专题拔高训练

一．选择题（共15小题）

1．已知可导函数f（x）（x∈R）满足f′（x）＞f（x），则当a＞0时，f（a）和e a f（0）大小关系为（）

A．f（a）＜e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．f（a）=e a f（0）D．f（a）≤e a f（0）

考点：利用导数研究函数的单调性．

专题：计算题；压轴题．

分析：设函数f（x）=e2x，则导函数f′（x）=2•e2x，显然满足f'（x）＞f（x），由f（a）=e2a，e a f（0）=e a，比较得出结论．

解答：解：由题意知，可设函数f（x）=e2x，

则导函数f′（x）=2•e2x，显然满足f'（x）＞f（x），

f（a）=e2a，e a f（0）=e a，当a＞0时，显然e2a＞e a ，即f（a）＞e a f（0），

故选B．

点评：本题考查求复合函数的导数的方法，以及指数函数的单调性，利用构造法求解是我们选择题常用的方法．2．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d在区间[﹣1，2]上是减函数，那么b+c（）

A．

有最大值B．

有最大值﹣

C．

有最小值

D．

有最小值﹣

考点：利用导数研究函数的单调性．

专题：压轴题．

分析：先对函数f（x）求导，然后令导数在[﹣1，2]小于等于0即可求出b+c的关系，得到答案．

解答：解：由f（x）在[﹣1，2]上是减函数，知

f′（x）=3x2+2bx+c≤0，x∈[﹣1，2]，

则

⇒15+2b+2c≤0⇒b+c≤﹣．

故选B．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．

3．对任意的实数a，b，记若F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），其中奇函数y=f（x）

在x=1时有极小值﹣2，y=g（x）是正比例函数，函数y=f（x）（x≥0）与函数y=g（x）的图象如图所示则下列关于函数y=F（x）的说法中，正确的是（）

A．y=F（x）为奇函数B．y=F（x）有极大值F（1）且有极小值F（﹣1）

C．y=F（x）的最小值为﹣2且最大值为2 D．y=F（x）在（﹣3，0）上不是单调函数

考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

专题：计算题；压轴题．

分析：在同一个坐标系中作出两函数的图象，横坐标一样时取函数值较大的那一个，如图，由图象可以看出选项的正确与否．

解答：解：∵f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}，

∴f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}的定义域为R，

f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}，画出其图象如图中实线部分，

由图象可知：y=F（x）的图象不关于原点对称，不为奇函数；故A不正确

y=F（x）有极大值F（﹣1）且有极小值F（0）；故B不正确

y=F（x）的没有最小值和最大值为，故C不正确

y=F（x）在（﹣3，0）上不为单调函数；故D正确

故选D．

点评：本题考点是函数的最值及其几何意义，本题考查新定义，需要根据题目中所给的新定义作出相应的图象由图象直观观察出函数的最值，对于一些分段类的函数，其最值往往借助图象来解决．本题的关键是读懂函数的图象，属于基础题．

4．已知函数f（x）=x3+ax2﹣bx+1（a、b∈R）在区间[﹣1，3]上是减函数，则a+b的最小值是（）A．B．C．2D．3

考点：利用导数研究函数的单调性．

专题：计算题；压轴题．

分析：求出f′（x），因为函数在区间[﹣1，3]上是减函数得到f（﹣1）和f（3）都小于0分别列出关于a与b的两个不等式，联立即可解出a的取值范围得到a的最小值，把a的最小值当然①即可求出b的最小值，求出a+b的值即可．

解答：解：f′（x）=x2+2ax﹣b，

因为函数f（x）在区间[﹣1，3]上是减函数即在区间[﹣1，3]上，f′（x）≤0，

得到f′（﹣1）≤0，且f′（3）≤0，代入得1﹣2a﹣b≤0①，且9+6a﹣b≤0②，

由①得2a+b≥1③，由②得b﹣6a≥9④，

设u=2a+b≥1，v=b﹣6a≤9，

假设a+b=mu+nv=m（2a+b）+n（﹣6a+b）

=（2m﹣6n）a+（m+n）b，

对照系数得：2m﹣6n=1，m+n=1，解得：m=，n=，

∴a+b=u+v≥2，

则a+b的最小值是2．

故选C

点评：此题考查学生会利用导数研究函数的单调性，灵活运用不等式的范围求未知数的最值，是一道综合题．5．定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，f（x）+f′（x）＜xf′（x）恒成立，a=f（2），b=f（3），c=

（+1）f（），则a，b，c的大小关系为（）

A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a

考点：利用导数研究函数的单调性．

专题：综合题；压轴题；导数的概念及应用．

分析：

根据x∈（1，+∞）时，f（x）+f′（x）＜xf′（x），可得g（x）=在（1，+∞）上单调增，由于，即可求得结论．

解答：解：∵x∈（1，+∞）时，f（x）+f′（x）＜xf′（x）

∴f′（x）（x﹣1）﹣f（x）＞0

∴[]′＞0

∴g（x）=在（1，+∞）上单调增

∵

∴g（）＜g（2）＜g（3）

∴

∴

∴c＜a＜b

故选A．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，确定函数的单调性是关键．

6．设f（x）是定义在R上的可导函数，且满足f′（x）＞f（x），对任意的正数a，下面不等式恒成立的是（）A．f（a）＜e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．D．

考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．

专题：压轴题；导数的概念及应用．

分析：

根据选项令f（x）=，可以对其进行求导，根据已知条件f′（x）＞f（x），可以证明f（x）为增函

数，可以推出f（a）＞f（0），在对选项进行判断；

解答：解：∵f（x）是定义在R上的可导函数，

∴可以令f（x）=，

∴f′（x）==，

∵f′（x）＞f（x），e x＞0，

∴f′（x）＞0，

∴f（x）为增函数，