三角函数模型及其应用
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解析 依题意是求函数 s＝6sin2πt＋π6 的周期，T＝22π π＝1 s. 答案 1
4.某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中，f(t)为血压，t为时间，则 此人每分钟心跳的次数是________. 解析 ∵T＝1260ππ＝810，∴f＝T1＝80.
解析 直接将 t＝2100代入计算即可. 当 t＝2100时，I＝5sin100π×2100＋π3 ＝5sin 5π 6 ＝52.
答案
5 2A
3.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置 O 的距离 s cm 和时间 t s 的函数关系 式为 s＝6sin2π t＋π6 ，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________ s.
描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示： (4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.
规律方法 解三角函数应用问题的基本步骤
【训练2】 如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟，其中心 O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距 离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：
时刻 9：00 12：00 15：00
水深(米) 2.5 5.0 7.5
时刻 18：00 21：00 24：00
水深(米) 5.0 2.5 5.0
(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深 的近似数值(精确到0.001). (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全 间隙(船底与洋底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ (3)若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每 小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
解 (1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图，根据图象，可 以考虑用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h来刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以 得出：
A＝2.5，h＝5，T＝12，φ＝0；
由 T＝2ωπ ＝12，得 ω＝π6 .
所以，这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为：
【训练 1】 交流电的电压 E(单位：V)与时间 t(单位：s)的关系可用 E＝220 3sin100π t＋π6 来 表示，求：
(1)开始时电压； (2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.
解 (1)当 t＝0 时，E＝110 3(V)，即开始时的电压为 110 3 V.
解析 该质点的振动周期为T＝2×(0.7－0.3)＝0.8 s，故①是错误的；该质点的振幅 为5 cm，故②是错误的；该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度是零，所以③是错误的； ④正确. 答案 ④
2.电流 I(A)随时间 t(s)变化的关系是 I＝5sin100π t＋π3 ，则当 t＝2100时，电流 I 为________.
解 (1)利用“五点法”可作出其图象(列表略).
(2)因为当 t＝0 时，s＝6sin
π 6
＝3，所以此时离开平衡位置
3
cm.
(3)离开平衡位置6 cm.
(4)因为 T＝22ππ ＝1，
所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.
规律方法 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子 和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物 理概念的意义和表示方法.
依题意选②y＝Acos(ωt＋φ)＋b作为函数模型，
∴A＝2.4－2 0.6＝0.9，b＝2.4＋2 0.6＝1.5， ∵T＝2ωπ ＝12，∴ω ＝π6 ， ∴y＝0.9cosπ6 t＋φ＋1.5. 又∵函数 y＝0.9cosπ6 t＋φ＋1.5 的图象过点(3，2.4)， ∴2.4＝0.9×cosπ6 ×3＋φ＋1.5 ∴cosπ2 ＋φ＝1，
y＝2.5sin
π 6
x＋5，
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：
时刻 0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00 水深 5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 时刻 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00 水深 5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
解 (1)可以用余弦函数表示该函数的关系式，由已知可设 y＝40.5－40cos ω t，t≥
0，由周期为 12 分钟可知当 t＝6 时，摩天轮第 1 次到达最高点，即此函数第 1 次取
答案 80
5.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置 将移至________.
解析 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点. 答案 最高点
知识梳理
1.解三角函数模型应用问题的一般步骤是：
(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图. (2)建模：根据已知条件与求解目标，建立数学模型. (3)求解：利用三角形，求得数学模型的解. (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.
考点三 三角函数模型的拟合应用
【例3】 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮， 晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返 回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：
时刻 0：00 3：00 6：00
水深(米) 5.0 7.5 5.0
(2)货船需要的安全水深为4＋1.5＝5.5(米)，所以y≥5.5时就可以进港.
令 2.5sin
π 6
x＋5＝5.5，化简得
sin
π 6
x＝0.2，
由计算器计算可得π6 x≈0.201 4，或π －π6 x≈0.201 4.
解得xA≈0.384 8，xB≈5.615 2. 因为x∈[0，24]，所以有函数周期性易得 xC≈12＋0.384 8＝12.384 8 xD≈12＋5.615 2＝17.615 2. 因此，货船可以在凌晨零时30分左右进港，早晨5时30分左右出港；或在中午12时 30分左右进港，下午17时30分左右出港，每次可以在港口停留5小时左右. (3)设在时刻x船舶的安全水深为y，那么y＝5.5－0.3(x－2)(x≥2)，在同一坐标系内 作出这两个函数的图象，可以看到在6时到7时之间两个函数图象有一个交点.
∴2kπ －π6 ≤π6 t≤2kπ ＋76π(k∈Z)， ∴12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)， 又∵5≤t≤18， ∴5≤t≤7或11≤t≤18， ∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训 队员的安全.
∴sin φ＝－1， 又∵－π<φ<0，∴φ＝－π2， ∴y＝0.9cosπ6 t－π2 ＋1.5＝0.9sinπ6 t＋1.5. (2)由(1)知：y＝0.9sinπ6 t＋1.5， 令 y≥1.05，即 0.9sinπ6 t＋1.5≥1.05， ∴sinπ6 t≥－12，
(2)T＝120π0π ＝510(s)，即时间间隔为 0.02 s. (3)电压的最大值为 220 3 V，当 100π t＋π6 ＝π2 ，即 t＝3100 s 时第一次取得最 大值.
考点二 三角函数模型在实际生活中的应用
【例2】 心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压 和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值.设 某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间 (min)，试回答下列问题： (1)求函数p(t)的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数p(t)的草图； (4)求出此人的血压在血压计上的读数.
解 (1)由于 ω＝160π ，代入周期公式 T＝2|ωπ|，可得 T＝126π0π ＝810(min)，所以函数 p(t) 的周期为810 min. (2)每分钟心跳的次数即为函数的频率 f＝T1＝80(次).
(3)列表：
t
0
1 320
1 160
3 320
1 80
p(t) 115 140 115 90 115
【训练3】 平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海 滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)是随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：小 时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如下表：
t(时) y(米)
0
3
6
9 12 15 18 21 24
1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5
2.解题流程：
考点一 三角函数模型在物理中的应用
【例 1】 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离 s (单位：cm)和时间 t (单位：s) 的函数关系式为 s＝6sin2π t＋π6 .
(1)作出函数的图象； (2)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？ (3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？ (4)单摆来回摆动一次需多长时间？
通过计算可得在6时的水深约为5米，此时船舶的安全水深约为4.3米；6.5时的水深 约为4.2米，此时船舶的安全水深约为4.1米；7时的水深约为3.8米，而船舶的安全 水深约为4米，因此为了安全，船舶最好在6时30分之前停止卸货，将船舶驶向较深 的水域.
规律方法 (1)三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型， 利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及其变量与函 数之间的对应法则；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再 利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模. (2)三角函数模型的拟合应用 我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据 拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.
第26讲 三角函数模型及其应用
考试要求 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解 决一些简单实际问题(B级要求)；2.掌握三角函数模型的应用(B级要求).
诊断自测 1.如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是________(填序号).
①该质点的振动周期为0.7 s； ②该质点的振幅为－5 cm； ③该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大； ④该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零.
(1)根据表中近似数据画出散点图.观察散点图，从①y＝Asin(ωx＋φ)，②y＝Acos(ωx ＋φ)＋b，③y＝－Asin ωt＋b(A>0，ω>0，－π<φ<0)中选择一个合适的函数模型，并 求出该拟合模型的函数解析式；
(2)为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练， 根据(1)中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能 确保集训队员的安全. 解 (1)根据表中近似数据画出散点图，如图所示：
得最大值，所以 6ω＝π ，即 ω＝π6 ，所以 y＝40.5－40cos
π 6
t(t≥0wk.baidu.com.
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，
由 60.5＝40.5－40cos
π 6
t0，得
cos
π 6
t0＝－12，
所以π6 t0＝2π3 或π6 t0＝4π3 ，
解得t0＝4或8， 所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝ 20(分钟).
4.某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中，f(t)为血压，t为时间，则 此人每分钟心跳的次数是________. 解析 ∵T＝1260ππ＝810，∴f＝T1＝80.
解析 直接将 t＝2100代入计算即可. 当 t＝2100时，I＝5sin100π×2100＋π3 ＝5sin 5π 6 ＝52.
答案
5 2A
3.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置 O 的距离 s cm 和时间 t s 的函数关系 式为 s＝6sin2π t＋π6 ，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________ s.
描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示： (4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.
规律方法 解三角函数应用问题的基本步骤
【训练2】 如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟，其中心 O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距 离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：
时刻 9：00 12：00 15：00
水深(米) 2.5 5.0 7.5
时刻 18：00 21：00 24：00
水深(米) 5.0 2.5 5.0
(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深 的近似数值(精确到0.001). (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全 间隙(船底与洋底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ (3)若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每 小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
解 (1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图，根据图象，可 以考虑用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h来刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以 得出：
A＝2.5，h＝5，T＝12，φ＝0；
由 T＝2ωπ ＝12，得 ω＝π6 .
所以，这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为：
【训练 1】 交流电的电压 E(单位：V)与时间 t(单位：s)的关系可用 E＝220 3sin100π t＋π6 来 表示，求：
(1)开始时电压； (2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.
解 (1)当 t＝0 时，E＝110 3(V)，即开始时的电压为 110 3 V.
解析 该质点的振动周期为T＝2×(0.7－0.3)＝0.8 s，故①是错误的；该质点的振幅 为5 cm，故②是错误的；该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度是零，所以③是错误的； ④正确. 答案 ④
2.电流 I(A)随时间 t(s)变化的关系是 I＝5sin100π t＋π3 ，则当 t＝2100时，电流 I 为________.
解 (1)利用“五点法”可作出其图象(列表略).
(2)因为当 t＝0 时，s＝6sin
π 6
＝3，所以此时离开平衡位置
3
cm.
(3)离开平衡位置6 cm.
(4)因为 T＝22ππ ＝1，
所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.
规律方法 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子 和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物 理概念的意义和表示方法.
依题意选②y＝Acos(ωt＋φ)＋b作为函数模型，
∴A＝2.4－2 0.6＝0.9，b＝2.4＋2 0.6＝1.5， ∵T＝2ωπ ＝12，∴ω ＝π6 ， ∴y＝0.9cosπ6 t＋φ＋1.5. 又∵函数 y＝0.9cosπ6 t＋φ＋1.5 的图象过点(3，2.4)， ∴2.4＝0.9×cosπ6 ×3＋φ＋1.5 ∴cosπ2 ＋φ＝1，
y＝2.5sin
π 6
x＋5，
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：
时刻 0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00 水深 5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 时刻 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00 水深 5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
解 (1)可以用余弦函数表示该函数的关系式，由已知可设 y＝40.5－40cos ω t，t≥
0，由周期为 12 分钟可知当 t＝6 时，摩天轮第 1 次到达最高点，即此函数第 1 次取
答案 80
5.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置 将移至________.
解析 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点. 答案 最高点
知识梳理
1.解三角函数模型应用问题的一般步骤是：
(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图. (2)建模：根据已知条件与求解目标，建立数学模型. (3)求解：利用三角形，求得数学模型的解. (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.
考点三 三角函数模型的拟合应用
【例3】 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮， 晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返 回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：
时刻 0：00 3：00 6：00
水深(米) 5.0 7.5 5.0
(2)货船需要的安全水深为4＋1.5＝5.5(米)，所以y≥5.5时就可以进港.
令 2.5sin
π 6
x＋5＝5.5，化简得
sin
π 6
x＝0.2，
由计算器计算可得π6 x≈0.201 4，或π －π6 x≈0.201 4.
解得xA≈0.384 8，xB≈5.615 2. 因为x∈[0，24]，所以有函数周期性易得 xC≈12＋0.384 8＝12.384 8 xD≈12＋5.615 2＝17.615 2. 因此，货船可以在凌晨零时30分左右进港，早晨5时30分左右出港；或在中午12时 30分左右进港，下午17时30分左右出港，每次可以在港口停留5小时左右. (3)设在时刻x船舶的安全水深为y，那么y＝5.5－0.3(x－2)(x≥2)，在同一坐标系内 作出这两个函数的图象，可以看到在6时到7时之间两个函数图象有一个交点.
∴2kπ －π6 ≤π6 t≤2kπ ＋76π(k∈Z)， ∴12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)， 又∵5≤t≤18， ∴5≤t≤7或11≤t≤18， ∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训 队员的安全.
∴sin φ＝－1， 又∵－π<φ<0，∴φ＝－π2， ∴y＝0.9cosπ6 t－π2 ＋1.5＝0.9sinπ6 t＋1.5. (2)由(1)知：y＝0.9sinπ6 t＋1.5， 令 y≥1.05，即 0.9sinπ6 t＋1.5≥1.05， ∴sinπ6 t≥－12，
(2)T＝120π0π ＝510(s)，即时间间隔为 0.02 s. (3)电压的最大值为 220 3 V，当 100π t＋π6 ＝π2 ，即 t＝3100 s 时第一次取得最 大值.
考点二 三角函数模型在实际生活中的应用
【例2】 心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压 和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值.设 某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间 (min)，试回答下列问题： (1)求函数p(t)的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数p(t)的草图； (4)求出此人的血压在血压计上的读数.
解 (1)由于 ω＝160π ，代入周期公式 T＝2|ωπ|，可得 T＝126π0π ＝810(min)，所以函数 p(t) 的周期为810 min. (2)每分钟心跳的次数即为函数的频率 f＝T1＝80(次).
(3)列表：
t
0
1 320
1 160
3 320
1 80
p(t) 115 140 115 90 115
【训练3】 平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海 滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)是随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：小 时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如下表：
t(时) y(米)
0
3
6
9 12 15 18 21 24
1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5
2.解题流程：
考点一 三角函数模型在物理中的应用
【例 1】 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离 s (单位：cm)和时间 t (单位：s) 的函数关系式为 s＝6sin2π t＋π6 .
(1)作出函数的图象； (2)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？ (3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？ (4)单摆来回摆动一次需多长时间？
通过计算可得在6时的水深约为5米，此时船舶的安全水深约为4.3米；6.5时的水深 约为4.2米，此时船舶的安全水深约为4.1米；7时的水深约为3.8米，而船舶的安全 水深约为4米，因此为了安全，船舶最好在6时30分之前停止卸货，将船舶驶向较深 的水域.
规律方法 (1)三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型， 利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及其变量与函 数之间的对应法则；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再 利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模. (2)三角函数模型的拟合应用 我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据 拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.
第26讲 三角函数模型及其应用
考试要求 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解 决一些简单实际问题(B级要求)；2.掌握三角函数模型的应用(B级要求).
诊断自测 1.如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是________(填序号).
①该质点的振动周期为0.7 s； ②该质点的振幅为－5 cm； ③该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大； ④该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零.
(1)根据表中近似数据画出散点图.观察散点图，从①y＝Asin(ωx＋φ)，②y＝Acos(ωx ＋φ)＋b，③y＝－Asin ωt＋b(A>0，ω>0，－π<φ<0)中选择一个合适的函数模型，并 求出该拟合模型的函数解析式；
(2)为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练， 根据(1)中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能 确保集训队员的安全. 解 (1)根据表中近似数据画出散点图，如图所示：
得最大值，所以 6ω＝π ，即 ω＝π6 ，所以 y＝40.5－40cos
π 6
t(t≥0wk.baidu.com.
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，
由 60.5＝40.5－40cos
π 6
t0，得
cos
π 6
t0＝－12，
所以π6 t0＝2π3 或π6 t0＝4π3 ，
解得t0＝4或8， 所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝ 20(分钟).