第十章 随机过程的基本知识

(二)随机过程的数字特征
X (t ) E ( X (t )) 称作随机过程{X(t),t属于T}的 • 1、 均值函数。 • 例：设随机过程X(t)=A cos(t), t实数，其中A是 随机变量，其分布律为： P{A=1}=P{A=2}=P{A=3}=1/3 数 • 求X(t)的均值函数 • 解：E(X(t))=E(Acos(t))=cos(t)E(A) • E(A)=1x(1/3)+2x(1/3)+3x(1/3)=2 • 所以E(X(t))=2cos(t)
(a cos(0t )) f ( )d
2 0
连续型 随机变量
2 1 a (a cos(0t )) d sin(0t ) | 0 0 2 2
RX (t1, t2 ) E( X (t1 ) X (t2 )) E{a cos(0t1 )a cos(0t2 )}
(t ) Cov ( X (t ), X (t ))
2 X 2 E ( X 2 (t )) E 2 ( X (t )) R X (t , t ) X (t )
作业
P315.
1、
(二)随机过程的数字特征
• 例设随机过程X(t)=A cos(t), t实数，其中A是随机变量，
• 解：1、一维分布 固定t, X(t)=A+Bt 是正 态随机变量的线性组合，应服从N( , ) • E(X(t))=E(A+Bt)=E(A)+tE(B)=0+tx0=0 • D(X(t))=D(A+Bt)=D(A)+D(tB)=1+t^2x1 • 所以X(t)服从N(0,1+t^2)分布 • 2、二维分布 对于任意t1,t2,考虑 (X(t1),X(t2))是正态随机变量的组合构成， 应该服从二维正态分布
例3：股票的价格
• 记t时刻股票的价格为Y(t),则{Y(t),t>0}是一个随机 过程。 • 图
• 特点1：给定时刻t，股票价格Y(t)不可预测，可以 认为是随机变量。 • 特点2：股票价格Y(t)随时间t的变化在不断变化。
例4 排队问题
• 记X(t)表示[0,t)小时内通过柜台的人数，则 {X(t),t>0}是一个随机过程。 • 特点1：在时刻t通过柜台的人数是不确定的， 固定t,X(t)是随机变量。 • 特点2：通过柜台的人数X(t)随时间的增加 在变化（增加）。
定义
• 称作随机过程{X(t),t属于T}的一个n维分布函数。
n维分布函数的意义
• (X(1),X(2))是二维随机变量，它的分布函数 就是一个二维分布函数 • (X(3),X(1/2))也有相应的分布函数 • 二维分布函数可以有无穷多个 • 一个随机过程完全取决于它的有限维分布.
例1：设随机过程X(t)=A+Bt, t>=0. 其中A,B是相互 独立的随机变量，都服从正态分布N(0,1)，求X(t)的 一维和二维分布。
二维正态分布取决于E(X(t1)),E(X(t2)),以及协 方差矩阵
显然E ( X (t1 )) 0, E ( X (t2 )) 0, Cov( X (t1 ), X (t 2 )) E ( X (t1 ) X (t 2 )) E ( X (t1 ))E ( X (t 2 )) E{( A Bt1 )( A Bt2 )} E ( A Bt1 ) E ( A Bt2 ) E{ A2 AB(t1 t 2 ) B 2t1t2 } ( E ( A) t1 E ( B))(E ( A) t2 E ( B)) E ( A2 ) (t1 t 2 ) E ( A) E ( B) t1t2 E ( B 2 ) 0 E ( A2 ) t1t 2 E ( B 2 ) 1 t1t 2
例2：信号干扰
• 电子元器件由于内部微粒子随机热骚动引起的端电压称为 热噪声电压。记t时刻的热噪声电压为X(t).则{X(t),t>0}是一 个随机过程。
V(t) V(t) V(t)
t
t
t
• 特点1：每时刻t, 热噪声电压X(t)的取值是随机的， X(t)是随机变量 • 特点2：随时间t的变化，X(t)在延续变化。
• (一)随机过程的分布函数族 • 对于固定的t,X(t)是一个随机变量，考虑X(t)的分布 函数(一维分布)，还可以考虑(X(t1),X(t2))的联合分 布函数(二维分布)… • 定义：
对于任意的正整数 n, 任意的实数t1 , t2 ,...,tn属于T F ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t2 ,...,tn ) P{ X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ,..., X (tn ) xn }
其分布律为：P{A=1}=P{A=2}=P{A=3}=1/3 • 求X(t)的均方值函数、方差函数以及均方差函数。 2 X (t ) =E(X(t)X(t))=E{AAcos(t)cos(t)}=cos^2(t)E(A^2) • 解： • =cos^2(t)(1x1+2x2+3x3)/3= 14 cos 2 (t )
3
2 X (t ) E{[ X (t ) E( X (t ))]2} E{[ A cos(t ) cos(t ) E( A)]2}
E{[ A cos(t ) 2 cos(t )]2} E{cos2 (t )( A2 4 A 4)}
2 cos2 (t ) cos (t ) E ( A 4 A 4) cos (t )(14 / 3 4 2 4) 3
2 2 2
2 X (t ) X (t )
2 cos(t ) 3
例：设随机过程X(t)=A cos(t), t实数，其中A是随机 变量，其分布律为：P{A=1}=P{A=2}=P{A=3}=1/3 求X(t)的自相关函数、协方差函数。
• 解： R(t1,t2)=E(X(t1)X(t2))=E(Acos(t1)Acos(t2)) • =cos(t1)cos(t2)E(A^2)=14cos(t1)cos(t2)/3 • C(t1,t2)=Cov(X(t1),X(t2)) • =E(X(t1)X(t2))-E(X(t1))E(X(t2)) • =R(t1,t2)-E(X(t1))E(X(t2)) • =14cos(t1)cos(t2)/3-2cos(t1)x2cos(t2) • =2cos(t1)cos(t2)/3
随机过程的分类
• 按随机变量的类型划分： • 1、连续型随机过程 • 若{X(t),t属于T}在t=t0时所取随机变量X(t0) 是连续型，称该过程为连续型随机过程。 • 例：热噪声电压X(t)服从(a,b)上均匀分布 • 2、离散型 当X(t)是离散型，如排队问题 是离散型随机过程，t时刻通过的人数X(t)只 能取可数个值。据研究，X(t)服从泊松分布。
随机过程的意义
• 孤立地研究一个随机变量有时不能满足生 活需要。或者说人们对单个随机变量掌握 的信息不够多，需要将所有相关的历史信 息联系在一起考虑。 • 如股票的价格，人们需要了解过去的价格 分布，以帮助我们预测未来。 • 热噪声电压是随机的，从其历史分布状况 能够有助于检测它、避开它。
第二节 随机过程的统计描述
例2：随机相位正弦波 X (t ) a cos(0t ) t 其中a, 0 是大于零的常数，随机变量 服从 [0,2 ] 上的均匀分布，求X(t)的均值函数以及自相关函数。 • 解： (t ) E( X (t )) E(a cos( t )) X 0
1 2
2 解：这是一维分布，即 X ( )的分布,因为X ( / 4) A cos( / 4) A 4 2
2 2 2 X ( )所有可能的取值为 1 ， 2， 3 4 2 2 2
2 P{ X ( ) } P{ A 1} 1 / 3 4 2

2 P{ X ( ) 2} P{ A 2} 1 / 3 4 2
所以 1 t12 1 t1t 2 C 1 t t 1 t 2 1 2 2
故( X (t1 ), X (t2 ))服从以(0,0) 为均值向量，C为协方差矩阵 的二维正态分布
例2：设随机过程X(t)=A cos(t), t实数，其中A是随 机变量，其分布律为：P{A=1}=P{A=2}=P{A=3}=1/3 求(1)X(t)的一维分布函数 F ( x; 4) (2)二维分布函数 F ( x , x ;0, ) 3
2 P{ X ( ) 3} P{ A 3} 1 / 3 4 2
0 1 F ( x; ) 3 4 2 3 1
x
2 2
2 x 2 Hale Waihona Puke Baidu 3 2 2x 2 3 2 x 2
( 2)求F ( x1 , x2 ;0,

3
)
A X (0) A cos( 0) A, X ( ) A cos( ) 3 3 2
随机过程的定义
• 随时间t变化的一族随机变量{X(t),t属于T}称 作随机过程。
• t称作时间参数。T称作时间参数集。 • 具体的一次实现称作一条样本曲线。 • t固定, X(t)是随机变量。
随机过程的分类
• 按时间参数集进行划分: • 随机序列：时间参数集T为可数集，则称 {X(t),t属于T}为时间序列。 • 例:股票价格X(t)的时间参数集按日、周计算, • 可以认为是时间序列。 • 连续时间过程：时间参数集T为连续统，则 称过程为连续时间过程。 • 例：热噪声电压
第一节 随机过程的概念和记号
• 第一节 随机过程的概念和记号
• 随机过程研究的是随时间变化的随机现象
• 例1：(随机游动)研究一醉汉醉酒后的行走路线， t时刻他所在的位置记作(X(t),Y(t)), • 则{(X(t),Y(t)),t>0}为一个(二维)随机过程。
• 特点1：每一时刻t，这个位置是不确定的，有 随机性，是随机变量。 • 特点2：整个过程随时间t在不断变化。


X (0)所有可能取值为 1 ， 2， 3；X ( / 3)的取值 1/ 2， 1 ， 3/ 2
P{X (0) 1, X ( / 3) 1 / 2} P{A 1, A / 2 1 / 2} P{A 1} 1 / 3
P{X (0) 1, X ( / 3) 1} P{A 1, A / 2 1} 0其它类似
2 X
(二)随机过程的数字特征
• 自相关函数 RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] • 自协方差函数
C X (t1 , t2 ) Cov( X (t1 ), X (t2 )) E ( X (t1 ) X (t2 )) E ( X (t1 ))E ( X (t2 ))
定义
(二)随机过程的数字特征
• 均值函数E(X(t)) 2 2 • 均方值函数 X (t ) E( X (t )) • 方差函数 2 2 2 X (t ) E{[ X (t ) X (t )] } E{[ X (t ) E( X (t ))] } • 均方差函数
X (t ) (t )
X(p/3) X(0) 1
2
3
1/2
1 3/2
1/3 0
0 0
0
1/3 0 0 1/3
分布函数
X2 D3 1 D2 (2,1)
D4
(3,3/2)
(1,1/2) D1 1 2 3 X1
0 1 F ( x1 , x2 ;0, ) 3 2 3 3 1
D1 : x1 1或x2 1 / 2 D 2 : 1 x1 2, x2 1 / 2或x1 1,1 / 2 x2 1 D3 : 2 x1 3, x2 1或x1 2,1 x2 3 / 2 D 4 : x1 3, x2 3 / 2