第十章 随机过程的基本知识
随机过程基础
概率论的基本概念随机试验E 的最简单不能再分的每个结果为E 的样本点，记为ω或e 。
由所有样本点组成的集合Ω称为E 的样本空间或必然事件。
称不含样本点的空集ϕ为不可能事件。
如果Ω中的某些子集组成的集类F 满足下列3个条件：(1) Ω∈F ；(2) 如果A ∈F ，则A ∈F ；(3) 如果i A ∈F ，123i =，，，，则1i i A ∞=∈F 。
则称F 为E 的事件域。
称且仅称F 中的元素为随机事件，简称为事件。
如果定义于F 上的实值集合函数P 满足下列3个条件：(1) 如A ∈F ，则()0P A ≥； (2) ()1P Ω=；(3) 设i A ∈F ，123i =，，，，且当i j ≠时，i j A A ϕ=，则()11i i i i P A P A ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑。
则称P 为概率测度，简称为概率。
称()P Ω，，F 为概率空间。
如果定义于样本空间Ω上单值实函数ξ对任意实数x ，(){}:x ωξω<（简记为{}x ξ<）均为事件，即{}x ξ<∈F ，则称ξ为随机变量。
称概率(){}F x P x x ξξ<∈， (1.1.1) 为ξ的分布函数。
分布函数()F x ξ有3个基本性质：(1) 如果a b <，则()()F a F b ξξ≤； (2) ()0F ξ-∞=，()1F ξ+∞=，其中()()lim x F F x ξξ→-∞-∞=，()()lim x F F x ξξ→+∞+∞=；(3) ()()0F x F x ξξ-=。
如果随机变量ξ只能取可数多个不同的实数值，则称ξ为离散型随机变量。
如果存在非负函数()f x ξ，使得对任意x ∈，有()()xF x f t dt ξξ-∞=⎰，则称ξ为连续型随机变量。
称()f x ξ为ξ的密度函数。
随机变量ξ的k 阶原点矩记为()kE ξ，如果()k x dF x ξ+∞-∞<+∞⎰，则它定义为()(){}()()12k k k i i i i k E x dF x x P x x x x x f x dx f x ξξξξξξξ+∞-∞+∞-∞=⎧=⎪=⎨⎪⎩⎰∑⎰，当为离散型且仅取值，，，时，当为连续型且有密度函数 (1.1.2)其中()k x dF x ξ+∞-∞⎰为勒贝格-司蒂阶（Lebesgue-Stieltjes ）积分。
随机过程知识点汇总
随机过程知识点汇总随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。
２．随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。
连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。
３．随机过程的数字特征随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。
均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。
自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。
４．平稳随机过程平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。
弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。
强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。
５．高斯随机过程高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。
高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。
６．马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。
马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。
７．泊松过程泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。
泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。
８．随机过程的应用随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。
例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。
t)|^2]协方差函数BZs,t)E[(ZsmZs))(ZtmZt))]，其中Zs和Zt是Z在时刻s和t的取值。
复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。
协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。
复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。
随机过程基本概念
定义
随机过程{(X(t),Y(T)), tÎT}的任意有限维分布都是正态分布
随机过程{X(t), tÎT}和{Y(t), tÎT}相互独立的充要条件是不相关
复值二阶矩过程
数字特征
独立增量过程
实值随机过程{X(t), tÎT}，对任意的 相互独立
,随机变量
二阶矩过程{X(t), tÎT}是独立增量过程，其中T=[a,¥)，且X(a)=c,c为实常数
性质
非负性 对称性 非负定性
换算
二维随机过程和复值随机过程
二维随机过程 复值随机过程
两个随机过程{X(t), tÎT}和{Y(t), tÎT}，{(X(t),Y(T)), tÎT}为二维随机过程，可 简记为{(X(t),Y(T))}或(X(t),Y(T))
二维随机过程{(X(t),Y(T)), tÎT}为m+n维分布函数:
有限维分布族
二维随机过程{(X(t),Y(T)), tÎT}的所有1+1维分布函数、1+2维分布函数、2+1 维分布函数···构成的分布函数族为二维随机过程{(X(t),Y(T)), tÎT}有限维分布函 数组
独立
随机过程{X(t), tÎT}和{Y(t), tÎT}相互独立
数字特征
二维随机过程{(X(t),Y(T)), tÎT}，随机过程{X(t), tÎT}和{Y(t), tÎT}的互相关函 数
有限维分布函数族：一维，二维···分布函数族的全体
有限维分布函数的性质
对称性 相容性
对(1,2,···,n)的任一排列(j1,j2,···,jn)有 对m<n,有
密度函数
一维密度函数:对每一个tÎT,X(t)有密度函数 一维密度函数族: n维密度函数: n维密度函数族：
随机过程的基本概念和分类
随机过程的基本概念和分类随机过程是一种随时间和其他随机变量而变化的数学对象，是概率论和统计学中的重要概念。
它被广泛应用于自然科学、工程学、经济学、金融学和社会科学等领域。
本文将介绍随机过程的基本概念和分类，帮助读者更好地理解随机过程的本质和应用。
1. 随机过程的基本概念随机过程是由一组随机变量组成的序列或函数，它表示在一定随机环境下某个系统或现象的发展过程。
在随机过程中，时间通常是一个自变量，而随机变量则是随时间变化的函数或序列。
根据定义域的不同，随机过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。
离散时间的随机过程是在离散时间点上的序列，例如投骰子的过程。
连续时间的随机过程是在连续时间上的函数，例如天气的变化。
在通常情况下，连续时间的随机过程被认为是一个时间的连续函数，而离散时间的随机过程则表示为时间的离散序列。
随机过程可以用概率分布函数来表达。
对于连续时间的随机过程，它的概率分布函数是一个满足概率公理的函数。
对于离散时间的随机过程，概率分布可以用概率质量函数来描述。
概率分布函数可以通过研究随机过程的瞬时状态来推导。
随机过程的瞬时状态指位置和方向的一切资料，包括当前位置、速度和加速度等。
2. 随机过程的分类随机过程可以按照多种方式进行分类。
以下是一些常见的分类方式。
2.1 马尔可夫过程马尔可夫过程是一种随机过程，它的状态转移只与它的当前状态有关，而与过去状态和未来状态无关。
马尔可夫过程被广泛应用于物理、经济、金融和信号处理等领域。
根据定义域的不同，马尔可夫过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。
离散时间的马尔可夫过程可以用转移矩阵来描述，而连续时间的马尔可夫过程则可以用转移概率密度函数来描述。
2.2 平稳过程平稳过程是指在不同时间段内，随机过程的统计分布不随时间而改变的随机过程。
这意味着它的瞬时状态空间必须一致，并且在不同的时间点上具有相同的概率分布。
平稳过程的例子包括白噪声、布朗运动和马尔可夫过程等。
考研随机过程知识点浓缩
考研随机过程知识点浓缩随机过程是概率论中的重要分支，研究随机事件在时间上的演变规律。
在考研数学中，随机过程是一个重要的知识点，涉及到概率论和数理统计等多个领域。
本文将对考研随机过程的知识点进行浓缩总结，帮助考生更好地掌握重点内容。
1. 随机过程的定义随机过程是一个定义在时间轴上的随机变量族，即一系列随机变量组成的集合。
随机过程可分为连续时间随机过程和离散时间随机过程，根据时间参数的取值范围来进行区分。
2. 随机过程的分类根据随机过程的状态空间，可以将随机过程分为离散状态随机过程和连续状态随机过程。
离散状态随机过程中，状态空间为有限集合或者可列无限集合，如泊松过程；连续状态随机过程中，状态空间为连续集合，如布朗运动。
3. 马尔可夫性质马尔可夫性质是随机过程的重要性质之一，指的是在给定当前状态的条件下，未来的发展只依赖于当前状态，与过去的状态无关。
具有马尔可夫性质的随机过程可以简化计算和分析。
4. 随机过程的平稳性平稳性是随机过程的另一个重要性质，分为弱平稳和严平稳。
弱平稳指的是均值和自协方差不依赖于时间的特性；严平稳则要求联合分布在时间上的平移具有不变性。
平稳性的性质可以简化对随机过程的研究。
5. 随机过程的独立增量性质随机过程的独立增量性质指的是在不相交的时间间隔内，随机变量之间是相互独立的。
具有独立增量性质的随机过程可以通过对各个时间间隔内的随机变量进行独立分析。
6. 随机过程的马尔可夫链马尔可夫链是一种特殊的离散时间随机过程，具有马尔可夫性质。
马尔可夫链的状态空间是离散的，状态转移概率只与当前状态有关，与过去的状态无关。
马尔可夫链通常用状态转移矩阵来描述状态之间的转移规律。
7. 泊松过程泊松过程是一类具有无记忆性的离散状态随机过程，是一种常用的数学模型。
泊松过程描述了在一段时间内随机事件发生的次数，具有独立增量和稳定增量的性质。
8. 布朗运动布朗运动是连续时间的连续状态随机过程，具有平稳增量、独立增量和高斯增量的特性。
随机过程讲义
随机过程讲义
随机过程是一种抽象概念，它表示一个连续的或离散的时间点上发生的一系列事件或值的集合。
它主要用于表示不确定性和不确定性，在工程领域中有着广泛的应用。
本文将从定义和性质出发，论述随机过程的基本概念。
随机过程可以分为离散和连续两类。
离散随机过程是指在一定时间间隔内，其值只能在有限的取值集合中取值的变量。
例如，随机游戏的获胜概率可以用离散随机过程来表示。
连续随机过程是指在一定时间间隔内，其值可以取任何实数值的变量。
例如，温度变化可以用连续随机过程来表示。
随机过程有几个基本性质，如期望值、方差、协方差、自相关系数、相关系数和谱密度等。
期望值是指在一定时间间隔内，一个随机变量的预期值；方差表示变量的变化范围；协方差表示两个变量的关联性；自相关系数表示一个变量的变化，对另一个变量的影响；相关系数表示两个变量之间的相关性；谱密度表示变量的频率分布。
随机过程的应用非常广泛，它可以用于统计学、信号处理、系统建模和控制等领域。
它可以用于模拟不确定性或不确定性的系统，并分析系统的性质，以及系统响应的变化。
它还可以用于分析信号传输系统中的信号噪声，以及与环境变量相关的随机变量。
总之，随机过程是一种抽象概念，它表示一个连续的或离散的时间点上发生的一系列事件或值的集合。
它有几个基本性质，可以用于模拟不确定性或不确定性的系统，它在工程领域有着广泛的应用，可以用于控制、分析、模拟等众多方面。
简述随机过程的基本概念
简述随机过程的基本概念随机过程是概率论的一个重要分支，研究随时间变化的随机现象。
它描述的是随机变量随时间的变动规律，并通过概率论的方法研究其统计特性。
随机变量是随机过程的基本组成部分，表示在给定的实验空间中，某一随机事件所对应的数值。
随机变量可以是离散的（比如抛硬币的正反面），也可以是连续的（比如投掷骰子的点数）。
随机过程可分为离散时间随机过程和连续时间随机过程两种类型。
离散时间随机过程是指在离散的时间点上进行观测，比如某一事件在每个小时的发生概率。
离散时间随机过程通常用随机序列来描述，其中每个随机序列代表不同的事件。
连续时间随机过程是指在连续的时间段内进行观测，比如某一事件在每个时间段内的发生概率。
连续时间随机过程可以通过概率密度函数来描述。
随机过程有两个重要的性质：平稳性和马尔可夫性。
平稳性是指随机过程的统计特性在时间上保持不变。
强平稳性要求整个随机过程的概率分布在时间上保持不变，弱平稳性只要求随机过程的均值和自相关函数在时间上保持不变。
马尔可夫性是指在给定过去的条件下，未来的状态只与当前状态有关。
这意味着给定当前的状态，过去的状态对于预测未来的状态是无关的。
随机过程可以通过随机过程的定义、概率密度函数、特征函数等进行建模和描述。
常用的随机过程模型包括泊松过程、马尔可夫链、布朗运动等。
泊松过程是离散时间且符合强平稳性和马尔可夫性的随机过程。
泊松过程描述了在一段时间内随机事件发生的次数，常用于描述到达某个服务中心或系统的流量。
马尔可夫链是具有马尔可夫性的随机过程。
在马尔可夫链中，系统的状态在不同的时间段内转移，且转移的概率只与当前的状态有关。
这种随机过程常用于描述具有一定变化规律的系统，如天气系统、金融市场等。
布朗运动是连续时间且连续状态的随机过程，它具有良好的连续性和马尔可夫性质。
布朗运动常用于建模和描述股票价格、汇率波动等金融领域中的随机变动。
随机过程的研究可以用于预测和分析各种现实生活中的随机变化。
随机过程的基本概念和分类
随机过程的基本概念和分类随机过程是概率论中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，包括金融、电信、工程等。
本文将介绍随机过程的基本概念和分类，以帮助读者更好地理解和应用随机过程。
一、基本概念随机过程是指一簇随机变量的集合，其中每个随机变量代表某个时间点的取值。
随机过程可以用数学形式表示为{X(t), t∈T}，其中X(t)表示时间t时刻的取值，T表示时间的取值范围。
在随机过程中，时间是一个重要的概念。
时间可以是离散的，也可以是连续的。
当时间是离散的时候，随机过程称为离散随机过程；当时间是连续的时候，随机过程称为连续随机过程。
离散随机过程常用于描述离散事件，如投掷硬币的结果；而连续随机过程常用于描述连续变化的现象，如股票价格的变动。
二、分类随机过程可以根据其状态空间和时间的特性进行分类。
下面将介绍常见的几种分类方式。
1. 马尔可夫过程(Markov Process)马尔可夫过程是一种具有"无记忆性"的随机过程，即在给定当前状态下，未来的发展仅依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
马尔可夫过程可以是离散的或连续的，常用于建模和分析具有动态特性的系统，如排队论、信道传输等。
2. 马尔可夫链(Markov Chain)马尔可夫链是马尔可夫过程的特例，它具有离散的状态空间和离散的时间。
马尔可夫链是一种时间齐次的马尔可夫过程，即系统的转移概率在不同的时间点保持不变。
马尔可夫链常用于描述离散状态的随机系统，如天气的转变、赌博游戏的输赢等。
3. 马尔可夫跳过程(Markov Jump Process)马尔可夫跳过程是一种具有离散和连续混合特性的随机过程。
它在连续时间间隔内可能发生状态的跳跃，并且在一个状态下停留的时间是指数分布的。
马尔可夫跳过程广泛应用于电信系统、金融市场等领域。
4. 广义随机过程(Generalized Stochastic Process)广义随机过程是一种对传统随机过程进行扩展的概念。
概率论与数理统计经典课件随机过程
一维、二维或一般的多维随机变量的研究是概率论的研究内容，而 随机序列、随机过程则是随机过程学科的研究内容。从前面的描述中看 到，它的每一样本点所对应的，是一个数列或是一个关于t的函数。
定义：设T是一无限实数集，X (e,t), e S,t T是对应于e和t的实数，
即为定义在S 和T 上的二元函数。
DX
(t)
E
[ X (t) X (t)]2
---方差函数
X (t)
2 X
(t
)
---标准差函数
又设任意t1,t2 T RXX (t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] (自)相关函数
CXX (t1,t2 ) Cov[ X (t1), X (t2 )]
E [ X (t1) X (t1)][ X (t2 ) X (t2 )] (自)协方差函数
定义： X (t),t T是一随机过程，若它的每一个有限维分布
都是正态分布，即对任意整数n 1及任意t1,t2,
X (t1), X (t2 ), X (tn )服从n维正态分布， 则称X (t),t T是正态过程
tn T ,
正态过程的全部统计特性完全由它的均值函数和自协方差函数所确定。
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例3：设A, B是两个随机变量，试求随机过程:
当A
N 1,4, B
U 0, 2时，E(A) 1, E( A2 ) 5, E(B) 1, E(B2)
4 3
又因为A, B独立， 故E(AB) E(A)E(B) 1
X (t) t 3, RX (t1, t2 ) 5t1t2 3(t1 t2 ) 12 t1, t2 T
17
例4：求随机相位正弦波X (t) acos(t ) t ,
随机过程 通俗易懂
随机过程通俗易懂随机过程是现代数学的一个重要分支，它的研究对象是一些具有随机性质的变量序列。
在实际生活中，我们经常遇到许多随机现象，如天气变化、股票价格波动、彩票开奖等等，这些都可以看做是随机过程的例子。
本文将从随机过程的定义、分类和应用方面进行简单介绍。
一、随机过程的定义随机过程是一个含有随机变量的序列，它可以用数学公式表示为X(t)，其中t表示时间，X(t)表示在时间t时随机变量的取值。
随机过程可以用概率统计的方法进行研究，其中最重要的是随机过程的平均值和方差。
一般来说，随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程两种。
二、随机过程的分类1. 离散时间随机过程在离散时间随机过程中，时间是按照一定时间步长间隔离散化的。
典型的离散时间随机过程包括二项分布、泊松分布和马尔可夫链等。
其中，马尔可夫链是最具有代表性的离散时间随机过程，它具有“无记忆性”和“马尔可夫性质”，在概率论的研究、金融市场分析等方面有广泛的应用。
2. 连续时间随机过程在连续时间随机过程中，时间是连续的，可以看成是一个时间轴上的曲线。
典型的连续时间随机过程有布朗运动、随机游走等。
其中，布朗运动是最具有代表性的连续时间随机过程之一，它是自然界中许多现象的基础模型，如气体分子的运动、股票价格的波动等。
在金融市场、信号处理等领域也有广泛的应用。
三、随机过程的应用随机过程在各个领域中都有重要的应用，其中最典型的应用领域包括金融市场、信号处理和通信系统等。
1. 金融市场金融市场中充斥着大量的随机性，如股票价格、汇率等都具有随机行为。
通过研究随机过程，可以为投资者提供更精准的预测和决策依据。
同时，也可以设计更好的金融衍生品，如期权、期货等，来降低市场风险。
2. 信号处理信号处理中的信号通常具有多变的随机性质，如噪声、失真等。
随机过程可以用来建立信号模型，在信号处理中具有广泛的应用，如图像处理、语音识别等。
3. 通信系统通信系统中的信息传输受到了许多随机因素的干扰，如噪声、多径效应等。
数学中的随机过程
数学中的随机过程一、引言在数学领域中，随机过程是研究随机事件随时间的演变规律的数学模型。
它既具有随机性，又具有确定性，广泛应用于概率论、统计学和其他相关领域。
本文将介绍随机过程的基本概念、分类及其在现实生活中的应用。
二、随机过程的定义随机过程是一类随机变量的集合，表示随机事件随时间变化的模型。
随机过程通常用X(t)表示，其中t是时间参数，X(t)是在某一时刻t的取值。
随机过程可以分为离散和连续两种类型。
三、离散时间随机过程离散时间随机过程是指在一系列离散时间点上定义的随机变量序列。
常见的离散时间随机过程有伯努利过程、泊松过程等。
1. 伯努利过程伯努利过程是最简单的离散时间随机过程，它是一种只有两个取值的随机过程。
以掷硬币为例，假设正面出现的概率为p，反面出现的概率为1-p，掷硬币的结果序列就是伯努利过程。
2. 泊松过程泊松过程描述了随机事件在时间上的独立出现，并且满足平稳性和无记忆性。
在实际应用中，泊松过程可以用来模拟各种随机事件的发生，如电话呼叫到达、交通事故发生等。
四、连续时间随机过程连续时间随机过程是指在连续时间区间上定义的随机变量。
其中最常见的连续时间随机过程是布朗运动和随机行走。
1. 布朗运动布朗运动是一种连续的、无界变差的随机过程，其特点是随机变量在任意时间间隔上的累积值符合正态分布。
布朗运动经常用来模拟金融市场的波动、温度变化等。
2. 随机行走随机行走是一种描述随机变量在空间上随机移动的随机过程。
它的最简单形式是一维随机行走，即随机变量只能在一维空间上左右移动。
随机行走在金融市场中的应用较广，可以用来模拟股票价格的变化。
五、随机过程的应用随机过程在现实生活中有着广泛的应用，以下两个领域是典型的例子。
1. 通信网络随机过程在通信网络中扮演着重要的角色。
例如，通过对网络中的数据流量建模，可以使用随机过程来优化网络的传输效率和资源分配。
2. 金融领域在金融领域中，随机过程被广泛应用于期权定价、风险管理和投资组合优化等方面。
随机过程的基本概念与应用
随机过程的基本概念与应用随机过程是概率论中研究一系列随机事件在时间上的演化规律的重要分支。
它在各个领域都有着广泛的应用，在通信、控制、金融、生物、物理等方面都发挥着重要作用。
一、随机过程的基本概念1.1 随机过程的定义随机过程是指一组随机变量${X_t}$，其中$t$表示时间，$X_t$表示在时间$t$时刻随机变量的取值。
随机过程是随机变量的函数族，常用记号为${X_t:t\in T}$。
其中$t$取遍$T$所表示的时间集合，$T$可以是实数集、整数集或其他有限或无限集合。
1.2 随机过程的分类随机过程根据其时间变化的连续性与离散性可以分为连续时间随机过程和离散时间随机过程两种。
连续时间随机过程是指随机变量在时间上是连续的，如布朗运动、泊松过程等。
离散时间随机过程是指随机变量在时间上是离散的，如马尔可夫过程、随机游走等。
1.3 随机过程的性质随机过程具有多种性质，包括平稳性、独立性、齐次性等。
其中比较重要的平稳性是指在时间平移下，随机过程的统计性质保持不变，即一个随机过程是平稳的，当且仅当对于任意$t_1,t_2$，其一阶矩和二阶矩不随时间变化而改变。
例如，设随机过程${X_t:t\geq 0}$的均值为$\mu$，方差为$\sigma^2$，则其平稳性条件为：$$\mathbb{E}[X_t]=\mu, \ \forall t\geq 0$$$$\mathbb{E}[(X_s-\mu)(X_t-\mu)]=\sigma^2, \ \forall s,t\geq 0$$二、随机过程的应用随机过程在许多领域中都有着广泛的应用。
以下列举其中几个典型应用。
2.1 通信领域随机过程在通信领域中是必不可少的工具。
通信信号可以看作是一种随时间变化的随机过程，而信道则可看作是一种将输入信号映射成输出信号的随机过程。
因此，随机过程在信号调制、信噪比估计、编码等方面都有着广泛的应用。
2.2 控制领域在控制领域中，随机过程被广泛用于表示、建模和分析控制系统的动态特性。
随机过程的基本概念
简称平稳过程
注1 严平稳过程不一定是宽平稳过程。
因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。 若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。
注2 宽平稳过程也不一定是严平稳过程。
因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间 推移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随 时间而推移。
F (x , x , t j1,t j2 , ,t jn j1 j2 , x jn ) P{X (t j1 ) x j1 , X (t jn ) x jn } P{X (t1 ) x1, X (tn ) xn} =Ft1,t2 , ,tn (x1 , x2 , , xn )
(2)相容性 对于m n, 有
t∈T}使 {Ft1,t2 , ,tn (x1, x2 , , xn ), t1, t2 , , tn T , n 1}
恰好是{X(t), t∈T}的有限维分布。
前苏联数学家1931年证明了此定理 说明随机过程的有限分布函数族可以完整描述随 机过程的统计规律性.
例1
袋中放有一个白球，两个红球，每隔
分 联合分布函数
布 函
Ft1,t2 , ,tn (x1 , x2 , , xn )
数 P{X(t1) x1, X(t2 ) x2,，X(tn ) xn }
有限维分布族
一维，二维，…，n维分布等的全体：
{Ft1,t2 , ,tn (x1 , x2 , , xn ), t1, t2 , , tn T , n 1} 称为随机过程{ X (t), t T }的有限分布族 .
例1（随机游动）一个醉汉在路上行走，以 概率p前进一步，以概率1-p后退一步（假定 其步长相同）。以X(t)记他t时刻在路上的位 置,则{X(t)}就是直线上的随机游动
随机过程课件
随机过程课件随机过程课件随机过程是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了随机变量随时间的演化规律。
在现代科学和工程领域，随机过程被广泛应用于信号处理、通信系统、金融市场等众多领域。
本文将介绍随机过程的基本概念、分类以及一些常见的应用。
一、随机过程的基本概念随机过程是一族随机变量的集合，它描述了随机变量随时间的变化。
在数学上，随机过程可以用函数的形式表示，即X(t)，其中t表示时间，X(t)表示在时间t时刻的随机变量。
随机过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。
离散时间随机过程是指随机变量在离散时间点上的演化，例如抛硬币的结果、骰子的点数等。
连续时间随机过程是指随机变量在连续时间上的演化，例如股票价格的变动、电信号的传输等。
二、随机过程的分类根据随机过程的性质和演化规律，可以将其分为多种类型。
常见的分类包括马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动等。
1. 马尔可夫过程马尔可夫过程是指在给定当前状态下，未来的演化只与当前状态有关，与过去的状态无关。
马尔可夫过程具有“无记忆”的特性，常用于描述具有时序性质的问题，如排队系统、信道传输等。
2. 泊松过程泊松过程是一种用于描述随机事件的发生次数的随机过程。
它具有独立增量和无记忆性的特点，常用于描述到达率恒定的随机事件，如电话呼叫、交通流量等。
3. 布朗运动布朗运动是一种连续时间的随机过程，其演化规律由随机变量驱动。
布朗运动具有连续性、无界性和马尔可夫性等特点，广泛应用于金融市场、物理学等领域。
三、随机过程的应用随机过程在现代科学和工程领域有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用领域。
1. 信号处理随机过程在信号处理中起到了重要的作用。
通过对信号进行建模，可以利用随机过程的理论和方法对信号进行分析和处理，如图像压缩、语音识别等。
2. 通信系统随机过程在通信系统中也有着重要的应用。
通过对信道的建模，可以利用随机过程的理论来分析和优化通信系统的性能，如误码率分析、信道编码等。
随机过程知识点
随机过程知识点随机过程是现代概率论的重要分支之一，它描述的是一个或多个随机变量随时间的变化规律。
在实际应用中，随机过程经常被用来建立模型，进行仿真以及预测未来的变化趋势等。
随机过程知识点众多，本文将从概念、分类、建模等方面进行探讨。
一、概念随机过程指的是一个定义在时间集合T上的随机变量的集合{Xt:t∈T}。
其中，T表示时间的取值范围，Xt是一个随机变量。
每个时刻t对应一个随机变量Xt，称为随机过程在时刻t的取值。
二、分类根据随机变量的值域，随机过程可以分为离散随机过程和连续随机过程两类。
1. 离散随机过程离散随机过程的取值集合为有限或可数集合。
在离散随机过程中，随时间变化的变量通常被称为时间序列。
离散随机过程可以进一步分为如下几类：（1）马尔可夫链马尔可夫链是最简单的离散随机过程模型，假设当前时刻状态只与前一时刻状态有关。
马尔可夫链的基本性质是：状态转移概率只与当前状态有关，而与历史状态无关。
（2）泊松过程泊松过程是一种间断性随机过程，它描述了单位时间或者单位面积内，某事件发生次数的概率分布。
泊松过程的关键特征是时间和事件之间的指数分布关系，即事件之间的时间间隔是独立且指数分布的。
2. 连续随机过程连续随机过程是取值集合为实数（或实数集合的子集）的随机过程。
在连续随机过程中，随时间变化的变量通常被称为随机过程信号。
连续随机过程可以进一步分为如下几类：（1）布朗运动布朗运动是最基本的连续随机过程，描述了物体在连续介质中的随机运动。
其轨迹连续但不光滑，呈现出瞬时变化的特点。
（2）随机游走随机游走是一种简单的随机过程模型，它描述了物体在一组不断变化的环境下进行的随机运动。
其主要特征是不规则的移动和不可预测性。
三、建模在实际应用中，随机过程的建模是非常重要的。
通过从数学模型中提取重要的特征和参数，可以更好地理解随机过程的行为，从而更好地预测未来的变化。
1. 马尔可夫模型马尔可夫模型是一种广泛使用的随机过程模型，其基本假设是状态的未来只与当前状态有关。
随机过程基础
随机过程基础随机过程是概率论中一个重要的分支，用于描述随机现象的演化规律和统计特性。
本文将介绍随机过程的基础概念、性质和常见的模型类型。
一、随机过程的概念随机过程是指由一组随机变量组成的函数族 {X(t), t ∈ T}，其中 T是一组时间指标。
随机过程可以看作是随机变量随时间的变化过程。
随机过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。
离散时间随机过程：当时间指标集 T 为离散集合时，称为离散时间随机过程。
常见的离散时间随机过程有马尔可夫链和泊松过程。
连续时间随机过程：当时间指标集 T 为连续集合时，称为连续时间随机过程。
连续时间随机过程可以用随机微分方程进行描述，常见的连续时间随机过程有布朗运动和扩散过程。
二、随机过程的性质1. 状态空间：随机过程的状态空间是指随机变量 X(t) 可能取值的集合。
2. 轨道：对于固定的时间参数 t，随机过程的轨道是随机过程的一个实现，称为一个样本函数。
3. 随机过程的均值函数和自相关函数：对于随机过程 {X(t), t ∈ T}，定义均值函数和自相关函数如下：均值函数：μ(t) = E[X(t)]自相关函数：R(t1, t2) = E[(X(t1) - μ(t1))(X(t2) - μ(t2))]均值函数描述了随机过程在不同时间点的平均值，自相关函数描述了不同时刻的随机变量之间的相关性。
4. 平稳性：如果对于任意的时刻 t1 和 t2，二者的联合分布仅仅依赖于时间差 t2 - t1，而不依赖于具体的时刻 t1 和 t2，那么称该随机过程是平稳的。
三、常见的随机过程模型1. 马尔可夫过程：马尔可夫过程是一类具有马尔可夫性质的随机过程。
在马尔可夫过程中，未来的状态只与当前的状态有关，与过去的状态无关。
2. 泊松过程：泊松过程是一类具有独立增量和平稳增量的随机过程。
泊松过程常用于描述具有随机到达时间和随机离去时间的事件。
3. 布朗运动：布朗运动是一类连续时间的随机过程，具有无记忆性和独立增量性质。
随机过程的基本概念 精华版
-1 0 20 40 60
二、随机过程的数字特征
•均值 均值 •方差 方差
2 σ X (t ) = E{[ X (t ) − mX (t )]2}
2 = E{X 2 (t )} − mX (t )
mX (t ) = E{X (t )} = ∫ xf X ( x, t )dx
−∞
+∞
•均值与方差的物理意义： 均值与方差的物理意义： 均值与方差的物理意义
每次观测所得结果都不同，都是时间t 每次观测所得结果都不同，都是时间t的 不同函数，观测前又不能预知观测结果， 不同函数，观测前又不能预知观测结果， 没有确定的变化规律。 没有确定的变化规律。
实际过程
正弦信号
调制信号
周期性脉冲信号
雷达接收机的噪声
鸟叫声
爆破信号
2.1 随机过程的基本概念及定义 2.2 随机过程的统计描述 2.3 平稳随机过程 2.4 随机过程的联合分布和互相关函数 2.5 随机过程的功率谱密度
RX (t1 , t 2 ) = 0 ，则称 X (t1 ) 和 X(t2 ) 是相互正交的。如果 是相互正交 正交的
f X ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) = f X ( x1 , t1 ) f X ( x 2 , t 2 ) ，则称随机过程在
t1
和 t 2 时刻的状态是相互独立的。 时刻的状态是相互独立的 独立
二、平稳随机过程自相关函数性质
RX (0)
2 σX
2 mX
RX (τ )
τ
0
相关函数示意图
RX (−τ ) = RX (τ )
RX (0) ≥ RX (τ )
2 2 RX (0) = σ X + mX
随机过程理论的基础知识和应用场景
随机过程理论的基础知识和应用场景随机过程是指随机事件在时间或空间维度上的演变过程，广泛应用于信号处理、经济学、物理学等领域。
而随机过程理论是研究随机过程的数学工具，主要包括随机变量、概率论、统计学、测度论等基础知识。
在本文中，将介绍随机过程理论的基础知识和应用场景，并通过实例分析展示其实际应用。
一、随机过程理论基础知识1.随机变量与概率论随机变量是指随机现象的数学表示，用来描述事件结果的不确定性。
常见的随机变量包括离散型随机变量和连续型随机变量。
概率论则是研究随机现象的分布规律和概率问题的一门数学分支，主要包括概率分布、期望、方差等内容。
在随机过程理论中，随机变量和概率论是非常基础而重要的概念。
2.统计学原理统计学是研究数据收集、分析和解释的一门学科，主要包括描述统计学和推断统计学两个部分。
前者主要是对数据进行整理、分类、图表展示等描述性统计分析，后者则是利用样本数据推断总体的参数。
在随机过程理论中，统计学原理可以用来对随机过程进行统计分析，从而更好地了解其规律和特性。
3.测度论测度论是研究度量和测量问题的一门数学学科，主要包括测度的概念、性质、测度空间等内容。
在随机过程理论中，测度论可用来定义随机过程的测度空间、概率空间等基础概念。
二、随机过程应用场景1.信号处理随机过程在信号处理中广泛应用，例如在噪声抑制、信号分析、同步定时等方面发挥着重要作用。
例如，在噪声抑制领域，随机过程可以用于描述噪声和信号的关系，进而采用滤波等方式降低噪声干扰，提高信号的质量和可靠性。
2.经济学随机过程在经济学领域中也起到了关键作用。
例如，在金融市场中，随机过程可以用于建立股票、期货、期权等金融工具的价格模型，对投资决策和风险管理具有重要意义。
另外，在经济预测、宏观调控等方面，随机过程也具有广泛的应用。
3.物理学随机过程在物理学中的应用也非常广泛。
例如，在分子动力学、核物理、天体物理等领域，随机过程可以用于描述微观粒子的运动规律和宏观物体的演化过程。
概率论与数理统计及其应用第15讲 随机过程的概念
工程技术中有很多随机现象:地震波幅、结构物承受的
风荷载、通讯系统和自动控制系统中的各种噪声和干扰，
以及生物群体的生灭问题，数量遗传学，竞争现象，传染
病扩散，癌细胞扩散，质点的随机游动，排队问题等变化
过程都可以用随机过程这一数学模型来描述． 但是，这些随机过程都不能像随机相位正弦波那样，
很方便、很具体地用时间和随机变量（一个或几个）的关
例 10.2 （热噪声电压）电子元件或器件由于内部微观粒 子的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压,它在任一确 定时刻t的值是随机变量,记为V(t).不同时刻对应着不同的随机 变量,当时间在某区间,譬如[0,+)上推移时,热噪声电压表现 为一簇随机变量.在无线电通讯技术中,接收机在接收信号时, 机内的热噪声电压要对信号产生持续的干扰,为消除这种干扰, 就必须考虑热噪声电压随时间变化的过程.为此,我们通过某种 装臵对电阻两端的热噪声电压进行长时间的测量,并把结果自 动记录下来,这作为一次试验结果,便得到一个电压—时间函数 v1(t),t0.这个电压—时间函数是不可能预先确知的,只有通过 测量才能得到.如在相同条件下独立地再进行一次测量,则得到 的记录是不同的,事实上,由于热骚动的随机性,在相同条件下 每次测量都将产生不同的电压—时间函数．这样,不断地独立 重复第一次测量就可以得到一簇不同的电压—时间函数 ,这簇函数从另一个角度刻画了热噪声电压．
y 1 dF ( y; t ) f X (ln ) t y f ( y ;t ) dy 0
t 1 y 0 0
, y 0, , y 0.
t 1 y , ln 0, y t 0 , y 0.
1 2 x (t ) gt 2
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(二)随机过程的数字特征
• 均值函数E(X(t)) 2 2 • 均方值函数 X (t ) E( X (t )) • 方差函数 2 2 2 X (t ) E{[ X (t ) X (t )] } E{[ X (t ) E( X (t ))] } • 均方差函数
X (t ) (t )
(a cos(0t )) f ( )d
2 0
连续型 随机变量
2 1 a (a cos(0t )) d sin(0t ) | 0 0 2 2
RX (t1, t2 ) E( X (t1 ) X (t2 )) E{a cos(0t1 )a cos(0t2 )}
1 2
2 解：这是一维分布，即 X ( )的分布,因为X ( / 4) A cos( / 4) A 4 2
2 2 2 X ( )所有可能的取值为 1 ， 2， 3 4 2 2 2
2 P{ X ( ) } P{ A 1} 1 / 3 4 2
2 P{ X ( ) 2} P{ A 2} 1 / 3 4 2
(二)随机过程的数字特征
X (t ) E ( X (t )) 称作随机过程{X(t),t属于T}的 • 1、 均值函数。 • 例：设随机过程X(t)=A cos(t), t实数，其中A是 随机变量，其分布律为： P{A=1}=P{A=2}=P{A=3}=1/3 数 • 求X(t)的均值函数 • 解：E(X(t))=E(Acos(t))=cos(t)E(A) • E(A)=1x(1/3)+2x(1/3)+3x(1/3)=2 • 所以E(X(t))=2cos(t)
所以 1 t12 1 t1t 2 C 1 t t 1 t 2 1 2 2
故( X (t1 ), X (t2 ))服从以(0,0) 为均值向量，C为协方差矩阵 的二维正态分布
例2：设随机过程X(t)=A cos(t), t实数，其中A是随 机变量，其分布律为：P{A=1}=P{A=2}=P{A=3}=1/3 求(1)X(t)的一维分布函数 F ( x; 4) (2)二维分布函数 F ( x , x ;0, ) 3
2 P{ X ( ) 3} P{ A 3} 1 / 3 4 2
0 1 F ( x; ) 3 4 2 3 1
x
2 2
2 x 2 2 3 2 2x 2 3 2 x 2
( 2)求F ( x1 , x2 ;0,
3
)
A X (0) A cos( 0) A, X ( ) A cos( ) 3 3 2
第一节 随机过程的概念和记号
• 第一节 随机过程的概念和记号
• 随机过程研究的是随时间变化的随机现象
• 例1：(随机游动)研究一醉汉醉酒后的行走路线， t时刻他所在的位置记作(X(t),Y(t)), • 则{(X(t),Y(t)),t>0}为一个(二维)随机过程。
• 特点1：每一时刻t，这个位置是不确定的，有 随机性，是随机变量。 • 特点2：整个过程随时间t在不断变化。
其分布律为：P{A=1}=P{A=2}=P{A=3}=1/3 • 求X(t)的均方值函数、方差函数以及均方差函数。 2 X (t ) =E(X(t)X(t))=E{AAcos(t)cos(t)}=cos^2(t)E(A^2) • 解： • =cos^2(t)(1x1+2x2+3x3)/3= 14 cos 2 (t )
3
2 X (t ) E{[ X (t ) E( X (t ))]2} E{[ A cos(t ) cos(t ) E( A)]2}
E{[ A cos(t ) 2 cos(t )]2} E{cos2 (t )( A2 4 A 4)}
2 cos2 (t ) cos (t ) E ( A 4 A 4) cos (t )(14 / 3 4 2 4) 3
例2：随机相位正弦波 X (t ) a cos(0t ) t 其中a, 0 是大于零的常数，随机变量 服从 [0,2 ] 上的均匀分布，求X(t)的均值函数以及自相关函数。 • 解： (t ) E( X (t )) E(a cos( t )) X 0
随机过程的分类
• 按随机变量的类型划分： • 1、连续型随机过程 • 若{X(t),t属于T}在t=t0时所取随机变量X(t0) 是连续型，称该过程为连续型随机过程。 • 例：热噪声电压X(t)服从(a,b)上均匀分布 • 2、离散型 当X(t)是离散型，如排队问题 是离散型随机过程，t时刻通过的人数X(t)只 能取可数个值。据研究，X(t)服从泊松分布。
定义
• 称作随机过程{X(t),t属于T}的一个n维分布函数。
n维分布函数的意义
• (X(1),X(2))是二维随机变量，它的分布函数 就是一个二维分布函数 • (X(3),X(1/2))也有相应的分布函数 • 二维分布函数可以有无穷多个 • 一个随机过程完全取决于它的有限维分布.
例1：设随机过程X(t)=A+Bt, t>=0. 其中A,B是相互 独立的随机变量，都服从正态分布N(0,1)，求X(t)的 一维和二维分布。
2 X
(二)随机过程的数字特征
• 自相关函数 RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] • 自协方差函数
C X (t1 , t2 ) Cov( X (t1 ), X (t2 )) E ( X (t1 ) X (t2 )) E ( X (t1 ))E ( X (t2 ))
(t ) Cov ( X (t ), X (t ))
2 X 2 E ( X 2 (t )) E 2 ( X (t )) R X (t , t ) X (t )
作业
P315.
1、
(二)随机过程的数字特征
• 例设随机过程X(t)=A cos(t), t实数，其中A是随机变量，
X (0)所有可能取值为 1 ， 2， 3；X ( / 3)的取值 1/ 2， 1 ， 3/ 2
P{X (0) 1, X ( / 3) 1 / 2} P{A 1, A / 2 1 / 2} P{A 1} 1 / 3
P{X (0) 1, X ( / 3) 1} P{A 1, A / 2 1} 0其它类似
2 2 2
2 X (t ) X (t )
2 cos(t ) 3
例：设随机过程X(t)=A cos(t), t实数，其中A是随机 变量，其分布律为：P{A=1}=P{A=2}=P{A=3}=1/3 求X(t)的自相关函数、协方差函数。
• 解： R(t1,t2)=E(X(t1)X(t2))=E(Acos(t1)Acos(t2)) • =cos(t1)cos(t2)E(A^2)=14cos(t1)cos(t2)/3 • C(t1,t2)=Cov(X(t1),X(t2)) • =E(X(t1)X(t2))-E(X(t1))E(X(t2)) • =R(t1,t2)-E(X(t1))E(X(t2)) • =14cos(t1)cos(t2)/3-2cos(t1)x2cos(t2) • =2cos(t1)cos(t2)/3
二维正态分布取决于E(X(t1)),E(X(t2)),以及协 方差矩阵
显然E ( X (t1 )) 0, E ( X (t2 )) 0, Cov( X (t1 ), X (t 2 )) E ( X (t1 ) X (t 2 )) E ( X (t1 ))E ( X (t 2 )) E{( A Bt1 )( A Bt2 )} E ( A Bt1 ) E ( A Bt2 ) E{ A2 AB(t1 t 2 ) B 2t1t2 } ( E ( A) t1 E ( B))(E ( A) t2 E ( B)) E ( A2 ) (t1 t 2 ) E ( A) E ( B) t1t2 E ( B 2 ) 0 E ( A2 ) t1t 2 E ( B 2 ) 1 t1t 2
例3：股票的价格
• 记t时刻股票的价格为Y(t),则{Y(t),t>0}是一个随机 过程。 • 图
• 特点1：给定时刻t，股票价格Y(t)不可预测，可以 认为是随机变量。 • 特点2：股票价格Y(t)随时间t的变化在不断变化。
例4 排队问题
• 记X(t)表示[0,t)小时内通过柜台的人数，则 {X(t),t>0}是一个随机过程。 • 特点1：在时刻t通过柜台的人数是不确定的， 固定t,X(t)是随机变量。 • 特点2：通过柜台的人数X(t)随时间的增加 在变化（增加）。
随机过程的意义
• 孤立地研究一个随机变量有时不能满足生 活需要。或者说人们对单个随机变量掌握 的信息不够多，需要将所有相关的历史信 息联系在一起考虑。 • 如股票的价格，人们需要了解过去的价格 分布，以帮助我们预测未来。 • 热噪声电压是随机的，从其历史分布状况 能够有助于检测它、避开它。
第二节 随机过程的统计描述
例2：信号干扰
• 电子元器件由于内部微粒子随机热骚动引起的端电压称为 热噪声电压。记t时刻的热噪声电压为X(t).则{X(t),t>0}是一 个随机过程。
V(t) V(t) V(t)
t
t
t
• 特点1：每时刻t, 热噪声电压X(t)的取值是随机的， X(t)是随机变量 • 特点2：随时间t的变化，X(t)在延续变化。
随机过程的定义
• 随时间t变化的一族随机变量{X(t),t属于T}称 作随机过程。
• t称作时间参数。T称作时间参数集。 • 具体的一次实现称作一条样本曲线。 • t固定, X(t)是随机变量。
随机过程的分类