一元二次方程概念和解法测试题
一元二次方程的解法综合练习题及答案
一元二次方程之概念一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5x=0A．1个B．2个C．3个D．4个2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数二、填空题1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．2．一元二次方程的一般形式是__________．3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．三、综合提高题1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）x-（x+1）是一元二次方程？2．关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？一元二次方程之根一、选择题1．方程x（x-1）=2的两根为（）．A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=22．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（）．A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2=1aC．x1=a，x2=1aD．x1=a2，x2=b23．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0）（）．A．1 B．-1 C．0 D．2二、填空题1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．3．方程（x+1）2x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．三、综合提高题1．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．一元二次方程之根的判别一、选择题1.一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（）．A．a=0 B．a=2或a=-2C．a=2 D．a=2或a=02．已知k≠1，一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（）．A．k≠2 B．k>2 C．k<2且k≠1 D．k为一切实数二、填空题1．已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________．2．不解方程，判定2x2-3=4x的根的情况是______（•填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）．3．已知b≠0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程x2-（2a+b）x+（a+ab-2b2）•=0的根的情况是________．三、综合提高题1．不解方程，试判定下列方程根的情况．（1）2+5x=3x2（2）x2-（+4=02．当c<0时，判别方程x2+bx+c=0的根的情况．3．不解方程，判别关于x的方程x2-2kx+（2k-1）=0的根的情况．4．某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金，该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元，2002年销售总额为7.2亿元，求该集团2000年到2002年的年销售总额的平均增长率．一元二次方程解法1、利用因式分解法解下列方程(x －2) 2＝(2x-3)2 042=-x x 3(1)33x x x +=+x 2-23x+3=0 ()()0165852=+---x x2、利用开平方法解下列方程51)12(212=-y 4（x-3）2=25 24)23(2=+x3、利用配方法解下列方程25220x x -+= 012632=--x x7x=4x 2+2 01072=+-x x4、利用公式法解下列方程－3x 2＋22x －24＝0 2x （x －3）=x －3． 3x 2+5(2x+1)=039922=--x x课后练习1、方程2x2-3x+1=0化为(x+a)2=b的形式,正确的是 ( )A、23162x⎛⎫-=⎪⎝⎭B、2312416x⎛⎫-=⎪⎝⎭C、231416x⎛⎫-=⎪⎝⎭D、以上都不对2、用__________________法解方程(x-2)2=4比较简便。
一元二次方程专项训练
一元二次方程专题讲练一、知识点归纳及题型：概念——解法——实际应用——根的判别式、根系关系——二次函数 （一）概念：)0(02≠=++a c bx ax 叫一元二次方程。
相关题型：1、判断一个方程是否是一元二次方程；2、求一个一元二次方程中相关字母的值。
例：○1、下列方程中，不是一元二次方程的是_________．[ ] A ．2x 2+7=0 B ．2x 2+23x +1=0 C ．5x 2+x1+4=0 D ．3x 2+(1+x ) 2+1=0 小结：判断一个方程是否是一元二次方程的条件是：○1是整式方程；○2未知数的指数为2；○3二次项系数不等于0，即a ≠0。
○2、若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是_________． 判断a 的取值范围需要把方程整理为一般形式后才进行解答。
（二）解法：1、 直接开平方法：方程有根的前提：A ≥02、 配方法：（适用所有方程，但方程易化成022=++C kx x 的形式）3、 公式法：02=++c bx ax 有根的前提⊿≥0，aac b b x 2422,1-±-=一元二次方程根02=++c bx ax 的判别式：⊿另外：⊿≥0时，方程有实数根；4、因式分解法：提公因式法、公式法（完全平方公式、平方差公式）、十字相乘法、5、换元法解方程解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，它可以化高次为低次、化分式为整式。
换元法体现了数学中的转化思想。
6、解含绝对值的方程。
相关题型：1、解方程；2、利用配方法求代数式的最值或证明恒为正（负）；3、利用根的判别式判断根的几种情况或相关字母的取值范围；4、用换元法解方程。
5、解含绝对值的方程 例：1、请你选择最恰当的方法解下列一元二次方程ac b 42-=1、3x ² -1=02、x （2x +3）=5（2x +3）3、x ² - 3 x +2=04、2 x ² -5x+1=0小结：○1、形如（x-k ）²=h 的方程可以用直接开平方法求解○2、千万记住：方程的两边有相同的含有未知数的因式的时候不能两边都除以这个因式，因为这样能把方程的一个跟丢失了，要利用因式分解法求解。
一元二次方程经典例题及详细解答
一、概述二、一元二次方程的定义三、一元二次方程的解法1.配方法2.公式法四、一元二次方程的经典例题及详细解答1.例题一2.例题二3.例题三五、总结概述一元二次方程是数学中常见的代数方程，它的解法丰富多样，具有很高的实用价值。
本文将详细介绍一元二次方程的定义、解法，以及一些经典例题的详细解答。
一元二次方程的定义一元二次方程是指形式为ax²+bx+c=0的方程，其中a≠0，x是未知数，a、b、c均为已知系数。
一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0，其中a、b、c是常数，且a≠0。
一元二次方程的解法一元二次方程的解法主要包括两种：配方法和公式法。
1.配方法配方法也称补全平方法，是指利用平方公式将一元二次方程转化为一个完全平方式。
这种方法常用于一元二次方程系数a=1的情况。
2.公式法公式法是通过一元二次方程的求根公式来解方程，一元二次方程ax²+bx+c=0的根可以用公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)求得。
一元二次方程的经典例题及详细解答下面将结合具体的例题，详细解答一元二次方程的解题过程。
1.例题一已知一元二次方程x²-5x+6=0，求方程的根。
解：根据公式法，将方程的系数代入求根公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)中，得到：x1,2=(5±√(5²-4*1*6))/(2*1)= (5±√1)/2即x1=3，x2=2。
所以方程的根为x1=3，x2=2。
2.例题二已知一元二次方程2x²-7x+3=0，求方程的根。
解：同样使用公式法，将方程的系数代入求根公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)中，得到：x1,2=(7±√(7²-4*2*3))/(2*2)即x1=3/2，x2=2。
所以方程的根为x1=3/2，x2=2。
一元二次方程的解法综合练习题及答案
3 4
2
1 16
3x2+5(2x+1)=0
D、以上都不对
D、
2x2 1
3
=
3
（x-4）2=21
11、关于 x 的一元二次方程（m-2）x2+（2m—1）x+m2—4=0 的一个根是 0，则
m 的值是（ A、 2
） B、—2
x2 2x 3 12、要使代数式 x2 1 的值等于 0，则 x 等于（ ）
二、填空题 1．已知方程 x2+px+q=0 有两个相等的实数，则 p 与 q 的关系是________． 2．不解方程，判定 2x2-3=4x 的根的情况是______（填“二个不等实根”或“二个相等
实根或没有实根”）． 3．已知 b≠0，不解方程，试判定关于 x 的一元二次方程 x2-（2a+b）x+（a+ab-2b2）=0
3 4
2
2x（x－3）=x－3．
3、一元二次方程 x2-ax+6=0, 配方后为(x-3)2=3, 则 a=______________.
4、解方程（x+a）2=b 得（
A、x=± b -a
C、当 b≥0 时，x=-a± b
1 16
）
C、
B、x=±a+ b
x
D、当 a≥0 时，x=a± b
x2 7x 10 0
例 4、利用公式法解下列方程
2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决，机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料；中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整，中核或资对者料定对试值某卷，些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置，卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线，高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试，高方要中案求资，技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高，料术课中并3试中、件资且卷包管中料拒试含路调试绝验线敷试卷动方槽设技作案、技术，以管术来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案，中；为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中，料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工，置作合调并理试且利技进用术行管，过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指：灵导在活。分。对线对于盒于调处差试，动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术，调问应试题采技，用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一，隔变需开压要处器在理组事；在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资，障料强时、电，设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具习源高题高中电中资源资料，料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与，采相要用关进高技行中术检资资查料料和试，检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
一元二次方程经典例题及答案
一.一元二次方程的概念：例1;若关于的方程(a-5)x ∣a ∣-3+2x-1=0是一元二次方程，求a 的值?1、下列方程：(1)x 2-1=0； (2)4 x 2+y 2=0； (3)（x-1）（x-3）=0； (4)xy+1=3． (5)3212=-x x其中，一元二次方程有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2、一元二次方程（x+1）（3x-2）=10的一般形式是 ，二次项 ， 二次项系数 ，一次项 ，一次项系数 ，常数项 。
3.判断下列关于x 的方程是否为一元二次方程： (1)2（x 2－1）=3y ； (2)4112=+x ； (3)（x －3）2=（x ＋5）2； (4)mx 2＋3x －2=0； (5)（a 2＋1）x 2＋（2a －1）x ＋5―a =0.4.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数及常数项。
(1)(3x-1)(2x+3)=4； (2)(x+1)(x-2)=-2.5.当m 为何值时，关于x 的方程(m-2)x 2-mx+2=m-x 2是关于x 的一元二次方程？二.一元二次方程的解法（1）直接开平方法1.方程036)5(2=--x 的解为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、以上均不对2.已知一元二次方程)0(02≠=+m n mx ，若方程有解，则必须（ ）A 、n=0B 、n=0或m ，n 异号C 、n 是m 的整数倍D 、m ，n 同号 3.方程(1)x 2＝2的解是 ； (2)x 2=0的解是 。
4.用直接开平方法解方程（x ＋h ）2=k ，方程必须满足的条件是（ ） A ．k≥o B ．h≥o C ．hk ＞o D ．k ＜o 5.方程（1-x ）2=2的根是（ ）A.-1、3B.1、-3C.1-2、1+2D.2-1、2+16.、方程 (3x －1)2=－5的解是 。
7.用直接开平方法解下列方程：(1)4x 2=9； (2)（x+2）2=16(3)(2x-1)2=3; (4)3(2x+1)2=12三.一元二次方程的解法（2）配方法例：试用配方法证明：代数式x 2+3x-23的值不小于-415。
一元二次方程单元测试题(含答案) (24)
一元二次方程单元测试题（典型题汇总）测试1 一元二次方程的有关概念及直接开平方法学习要求1．掌握一元二次方程的有关概念，并应用概念解决相关问题． 2．掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法．课堂学习检测一、填空题1．一元二次方程中，只含有______个未知数，并且未知数的______次数是2．它的一般形式为__________________．2．把2x 2－1=6x 化成一般形式为__________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．3．若(k ＋4)x 2－3x －2=0是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是______．4．把(x ＋3)(2x ＋5)－x (3x －1)=15化成一般形式为______，a =______，b =______，c =______． 5．若x x m －m+-222)(－3=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是______．6．方程y 2－12=0的根是______． 二、选择题7．下列方程中，一元二次方程的个数为( )． (1)2x 2－3=0 (2)x 2＋y 2=5 (3)542=-x (4)2122=+xx A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．在方程：3x 2－5x =0，,5312+=+x x7x 2－6xy ＋y 2=0，322,052222--=+++xx x x ax =0，3x 2－3x =3x 2－1中必是一元二次方程的有( )． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 9．x 2－16=0的根是( )． A ．只有4 B ．只有－4 C ．±4 D ．±8 10．3x 2＋27=0的根是( )．A ．x 1=3，x 2=－3B ．x =3C ．无实数根D ．以上均不正确 三、解答题(用直接开平方法解一元二次方程) 11．2y 2=8． 12．2(x ＋3)2－4=0．13．.25)1(412=+x14．(2x ＋1)2=(x －1)2．综合、运用、诊断一、填空题15．把方程x x x +=-2232化为一元二次方程的一般形式(二次项系数为正)是______ ____，一次项系数是______．16．把关于x 的一元二次方程(2－n )x 2－n (3－x )＋1=0化为一般形式为_______________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______． 17．若方程2kx 2＋x －k =0有一个根是－1，则k 的值为______． 二、选择题18．下列方程：(x ＋1)(x －2)=3，x 2＋y ＋4=0，(x －1)2－x (x ＋1)=x ，,01=+xx ,5)3(21,42122=+=-+x x x 其中是一元二次方程的有( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个19．形如ax 2＋bx ＋c =0的方程是否是一元二次方程的一般形式，下列说法正确的是( )．A ．a 是任意实数B ．与b ，c 的值有关C ．与a 的值有关D ．与a 的符号有关 20．如果21=x 是关于x 的方程2x 2＋3ax －2a =0的根，那么关于y 的方程y 2－3=a 的解是( )． A ．5±B ．±1C ．±2D ．2±21．关于x 的一元二次方程(x －k )2＋k =0，当k ＞0时的解为( )．A ．k k +B ．k k -C ．k k -±D ．无实数解三、解答题(用直接开平方法解下列方程) 22．(3x －2)(3x ＋2)=8． 23．(5－2x )2=9(x ＋3)2．24．.063)4(22=--x25．(x －m )2=n ．(n 为正数)拓广、探究、思考26．若关于x 的方程(k ＋1)x 2－(k －2)x －5＋k =0只有唯一的一个解，则k =______，此方程的解为______．27．如果(m －2)x |m ｜＋mx －1=0是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为( )．A ．2或－2B ．2C ．－2D ．以上都不正确 28．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2x ＋m 2－1=0有一个根是0，求m 的值．29．三角形的三边长分别是整数值2cm ，5cm ，k cm ，且k 满足一元二次方程2k 2－9k －5=0，求此三角形的周长．测试2 配方法与公式法解一元二次方程学习要求掌握配方法的概念，并能熟练运用配方法与公式法解一元二次方程．课堂学习检测一、填空题1．+-x x 82_________=(x －__________)2． 2．x x 232-＋_________=(x －_________)2． 3．+-px x 2_________=(x －_________)2．4．x abx -2＋_________=(x －_________)2． 5．关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的根是______．6．一元二次方程(2x ＋1)2－(x －4)(2x －1)=3x 中的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______． 二、选择题 7．用配方法解方程01322=--x x 应该先变形为( )． A ．98)31(2=-xB ．98)31(2-=-x C ．910)31(2=-xD ．0)32(2=-x8．用配方法解方程x 2＋2x =8的解为( )． A ．x 1=4，x 2=－2 B ．x 1=－10，x 2=8 C ．x 1=10，x 2=－8 D ．x 1=－4，x 2=29．用公式法解一元二次方程x x 2412=-，正确的应是( )． A ．252±-=xB ．252±=x C ．251±=x D ．231±=x 10．方程mx 2－4x ＋1=0(m ＜0)的根是( )．A ．41 B ．m m-±42 C ．mm-±422D ．mm m -±42 三、解答题(用配方法解一元二次方程)11．x 2－2x －1=0． 12．y 2－6y ＋6=0．四、解答题(用公式法解一元二次方程) 13．x 2＋4x －3=0．14．.03232=--x x五、解方程(自选方法解一元二次方程) 15．x 2＋4x ＝－3．16．5x 2＋4x =1．综合、运用、诊断一、填空题17．将方程x x x 32332-=++化为标准形式是______________________，其中a =____ __，b =______，c =______．18．关于x 的方程x 2＋mx －8=0的一个根是2，则m =______，另一根是______． 二、选择题19．若关于x 的二次三项式x 2－ax ＋2a －3是一个完全平方式，则a 的值为( )．A ．－2B ．－4C ．－6D ．2或6 20．4x 2＋49y 2配成完全平方式应加上( )．A ．14xyB ．－14xyC ．±28xyD ．0 21．关于x 的一元二次方程ax a x 32222=+的两根应为( )．A ．22a±-B ．a 2，a 22C ．422a± D ．a 2±三、解答题(用配方法解一元二次方程) 22．3x 2－4x =2． 23．x 2＋2mx =n ．(n ＋m 2≥0)．四、解答题(用公式法解一元二次方程)24．2x －1=－2x 2．25．x x 32132=+26．2(x －1)2－(x ＋1)(1－x )=(x ＋2)2．拓广、探究、思考27．解关于x 的方程：x 2＋mx ＋2=mx 2＋3x ．(其中m ≠1)28．用配方法说明：无论x 取何值，代数式x 2－4x ＋5的值总大于0，再求出当x 取何值时，代数式x 2－4x ＋5的值最小?最小值是多少?测试3 一元二次方程根的判别式学习要求掌握一元二次方程根的判别式的有关概念，并能灵活地应用有关概念解决实际问题．课堂学习检测一、填空题1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)根的判别式为∆=b 2－4ac ， (1)当b 2－4ac ______0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当b 2－4ac ______0时，方程有两个相等的实数根； (3)当b 2－4ac ______0时，方程没有实数根．2．若关于x 的方程x 2－2x －m =0有两个相等的实数根，则m =______． 3．若关于x 的方程x 2－2x －k ＋1=0有两个实数根，则k ______． 4．若方程(x －m )2=m ＋m 2的根的判别式的值为0，则m =______． 二、选择题5．方程x 2－3x =4根的判别式的值是( )． A ．－7 B ．25 C ．±5 D ．56．一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0有两个实数根，则根的判别式的值应是( )． A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．零 7．下列方程中有两个相等实数根的是( )． A ．7x 2－x －1=0 B ．9x 2=4(3x －1) C ．x 2＋7x ＋15=0D ．02322=--x x8．方程03322=++x x 有( )．A ．有两个不等实根B ．有两个相等的有理根C ．无实根D ．有两个相等的无理根 三、解答题9．k 为何值时，方程kx 2－6x ＋9=0有：(1)不等的两实根；(2)相等的两实根；(3)没有实根．10．若方程(a －1)x 2＋2(a ＋1)x ＋a ＋5=0有两个实根，求正整数a 的值．11．求证：不论m 取任何实数，方程02)1(2=++-mx m x 都有两个不相等的实根．综合、运用、诊断一、选择题12．方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)根的判别式是( )．A ．242ac b b -±- B ．ac b 42-C ．b 2－4acD ．abc13．若关于x 的方程(x ＋1)2=1－k 没有实根，则k 的取值范围是( )．A ．k ＜1B ．k ＜－1C ．k ≥1D ．k ＞1 14．若关于x 的方程3kx 2＋12x ＋k ＋1=0有两个相等的实根，则k 的值为( )．A ．－4B ．3C ．－4或3D ．21或32- 15．若关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2mx ＋m ＋3=0有两个不等的实根，则m 的取值范围是( )．A ．23<m B ．23<m 且m ≠1 C ．23≤m 且m ≠1 D ．23>m16．如果关于x 的二次方程a (1＋x 2)＋2bx =c (1－x 2)有两个相等的实根，那么以正数a ，b ，c为边长的三角形是( )． A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．任意三角形 二、解答题17．已知方程mx 2＋mx ＋5=m 有相等的两实根，求方程的解．18．求证：不论k 取任何值，方程(k 2＋1)x 2－2kx ＋(k 2＋4)=0都没有实根．19．如果关于x 的一元二次方程2x (ax －4)－x 2＋6=0没有实数根，求a 的最小整数值．20．已知方程x 2＋2x －m ＋1=0没有实根，求证：方程x 2＋mx =1－2m 一定有两个不相等的实根．拓广、探究、思考21．若a ，b ，c ，d 都是实数，且ab =2(c ＋d )，求证：关于x 的方程x 2＋ax ＋c =0，x 2＋bx ＋d =0中至少有一个方程有实数根．测试4 因式分解法解一元二次方程学习要求掌握一元二次方程的重要解法——因式分解法．课堂学习检测一、填空题(填出下列一元二次方程的根) 1．x (x －3)=0．______ 2．(2x －7)(x ＋2)=0．______ 3．3x 2=2x ．______ 4．x 2＋6x ＋9=0．______ 5．.03222=-x x ______ 6．.)21()21(2x x -=+______7．(x －1)2－2(x －1)=0．______． 8．(x －1)2－2(x －1)=－1．______ 二、选择题9．方程(x －a )(x ＋b )=0的两根是( )． A ．x 1=a ，x 2=b B ．x 1=a ，x 2=－b C ．x 1=－a ，x 2=b D ．x 1=－a ，x 2=－b 10．下列解方程的过程，正确的是( )．A ．x 2=x ．两边同除以x ，得x =1．B ．x 2＋4=0．直接开平方法，可得x =±2．C ．(x －2)(x ＋1)=3×2．∵x －2=3，x ＋1=2， ∴x 1=5， x 2=1．D ．(2－3x )＋(3x －2)2=0．整理得3(3x －2)(x －1)=0，.1,3221==∴x x 三、解答题(用因式分解法解下列方程，*题用十字相乘法因式分解解方程) 11．3x (x －2)=2(x －2)．12．.32x x =*13．x 2－3x －28=0． 14．x 2－bx －2b 2=0．*15．(2x －1)2－2(2x －1)=3． *16．2x 2－x －15=0．四、解答题17．x 取什么值时，代数式x 2＋8x －12的值等于2x 2＋x 的值．综合、运用、诊断一、写出下列一元二次方程的根18．0222=-x x ．______________________． 19．(x －2)2=(2x ＋5)2．______________________． 二、选择题20．方程x (x －2)=2(2－x )的根为( )．A ．－2B ．2C ．±2D ．2，2 21．方程(x －1)2=1－x 的根为( )．A ．0B ．－1和0C ．1D ．1和022．方程0)43)(21()43(2=--+-x x x 的较小的根为( )．A ．43-B ．21C ．85D ．43 三、用因式分解法解下列关于x 的方程23．.2152x x =- 24．4(x ＋3)2－(x －2)2=0．25．.04222=-+-b a ax x26．abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab =0．(ab ≠0)四、解答题27．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m 2＋2)x ＋2m =0．(1)求证：当m 取非零实数时，此方程有两个实数根； (2)若此方程有两个整数根，求m 的值．测试5 一元二次方程解法综合训练学习要求会用适当的方法解一元二次方程，培养分析问题和解决问题的能力．课堂学习检测一、填空题(写出下列一元二次方程的根) 1．3(x －1)2－1=0．__________________2．(2x ＋1)2－2(2x ＋1)=3．__________________ 3．3x 2－5x ＋2=0．__________________ 4．x 2－4x －6=0．__________________二、选择题5．方程x 2－4x ＋4=0的根是( )． A ．x =2 B ．x 1=x 2=2C ．x =4D ．x 1=x 2=46．5.27.0512=+x 的根是( )．A ．x =3B ．x =±3C ．x =±9D ．3±=x7．072=-x x 的根是( )． A ．77=x B ．77,021==x x C ．x 1=0，72=xD ．7=x8．(x －1)2=x －1的根是( )． A ．x =2 B ．x =0或x =1 C ．x =1 D ．x =1或x =2 三、用适当方法解下列方程 9．6x 2－x －2=0． 10．(x ＋3)(x －3)=3．11．x 2－2mx ＋m 2－n 2=0． 12．2a 2x 2－5ax ＋2=0．(a ≠0)四、解下列方程(先将你选择的最佳解法写在括号中) 13．5x 2=x ．(最佳方法：______)14．x 2－2x =224．(最佳方法：______)15．6x 2－2x －3=0．(最佳方法：______)16．6－2x 2=0．(最佳方法：______)17．x 2－15x －16=0．(最佳方法：______)18．4x 2＋1=4x ．(最佳方法：______)19．(x －1)(x ＋1)－5x ＋2=0．(最佳方法：______)综合、运用、诊断一、填空题20．若分式1872+--x x x 的值是0，则x =______．21．关于x 的方程x 2＋2ax ＋a 2－b 2=0的根是____________． 二、选择题22．方程3x 2=0和方程5x 2=6x 的根( )．A ．都是x =0B ．有一个相同，x =0C ．都不相同D ．以上都不正确 23．关于x 的方程abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab =0(ab ≠0)的根是( )．A ．b ax a b x 2,221==B ．b ax a b x ==21,C ．0,2221=+=x abb a xD ．以上都不正确三、解下列方程24．(x ＋1)2＋(x ＋2)2=(x ＋3)2． 25．(y －5)(y ＋3)＋(y －2)(y ＋4)=26．26．.02322=+-x x 27．kx 2－(k ＋1)x ＋1=0．四、解答题28．已知：x 2＋3xy －4y 2=0(y ≠0)，求yx yx +-的值．29．已知：关于x 的方程2x 2＋2(a －c )x ＋(a －b )2＋(b －c )2=0有两相等实数根．求证：a ＋c =2b ．(a ，b ，c 是实数)拓广、探究、思考30．若方程3x 2＋bx ＋c =0的解为x 1=1，x 2=－3，则整式3x 2＋bx ＋c 可分解因式为______________________．31．在实数范围内把x 2－2x －1分解因式为____________________．32．已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)中的两根为,24,221aac b b x x -±-=请你计算x 1＋x 2=____________，x 1·x 2=____________．并由此结论解决下面的问题：(1)方程2x 2＋3x －5=0的两根之和为______，两根之积为______．(2)方程2x 2＋mx ＋n =0的两根之和为4，两根之积为－3，则m =______，n =______．(3)若方程x 2－4x ＋3k =0的一个根为2，则另一根为______，k 为______．(4)已知x 1，x 2是方程3x 2－2x －2=0的两根，不解方程，用根与系数的关系求下列各式的值： ①;1121x x + ②;2221x x + ③｜x 1－x 2｜； ④;221221x x x x + ⑤(x 1－2)(x 2－2)．测试6 实际问题与一元二次方程学习要求会灵活地应用一元二次方程处理各类实际问题．课堂学习检测一、填空题1．实际问题中常见的基本等量关系。
一元二次方程概念同步练习含答案
一元二次方程概念1、了解一元二次方程的概念和它的一般形式ax 2+bx+c= 0（a≠0），正确理解和掌握一般形式中的a≠0，“项”和“系数”等概念；会根据实际问题列一元二次方程；一、磨刀不误砍柴工，上新课之前先来热一下身吧！1、下列方程：(1)x 2-1=0； (2)4 x 2+y 2=0； (3)（x-1）（x-3）=0； (4)xy+1=3． (5)3212=-x x 其中，一元二次方程有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2、一元二次方程（x+1）（3x-2）=10的一般形式是 ，二次项，二次项系数 ，一次项 ，一次项系数 ，常数项 。
二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！3、小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？4、一个数比另一个数大3，且两个数之积为10，求这两个数。
5、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）A.3(x+1)2= 2(x+1) B .05112=-+x xC.ax 2+bx+c= 0D.x 2+2x= x 2-1 6、把下列方程化成ax 2+bx+c= 0的形式，写出a 、b 、c 的值：(1)3x 2= 7x-2 (2)3(x-1)2 = 2(4-3x)7、当m 为何值时，关于x 的方程(m-2)x 2-mx+2=m-x 2是关于x 的一元二次方程？8、若关于的方程(a-5)x ∣a ∣-3+2x-1=0是一元二次方程，求a 的值?三、新知识你都掌握了吗？课后来这里显显身手吧！9、一个正方形的面积的2倍等于15，这个正方形的边长是多少？10、一块面积为600平方厘米的长方形纸片，把它的一边剪短10厘米，恰好得到一个正方形。
求这个正方形的边长。
11、判断下列关于x 的方程是否为一元二次方程：(1)2（x 2－1）=3y ； (2)4112=+x ； (3)（x －3）2=（x ＋5）2； (4)mx 2＋3x －2=0；(5)（a 2＋1）x 2＋（2a －1）x ＋5―a =0.12、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数及常数项。
一元二次方程解法练习题
一元二次方程解法练习题在数学学习中，我们经常会遇到一元二次方程，它是一个常见而重要的数学概念。
掌握一元二次方程的解法对于解决实际问题和提高数学思维能力都具有重要意义。
在本文中，我们将通过一些练习题来巩固和应用我们对一元二次方程解法的理解。
练习题1：解下列一元二次方程：1. x^2 - 4x + 3 = 02. 2x^2 + 5x - 3 = 03. 3x^2 - 6x - 9 = 04. -x^2 + 7x - 10 = 0练习题2：根据以下条件列出一元二次方程，并求解：1. 已知方程有两个实数解，且解为3和-1。
2. 已知方程有一个实数解x=4，并且另一个解是方程x^2 + bx + c = 0的解。
练习题3：解下列一元二次方程组：1.x^2 - y^2 = 16x + y = 62.2x^2 + xy = 153x - y = 2练习题4：解下列应用题：1. 一个长方形的长比宽多2cm，长方形的周长是26cm，求长和宽分别是多少？2. 小明和小红两人总共获得了36个奖牌，小明获得的奖牌数是小红的两倍，小红获得了几个奖牌？练习题5：解下列一元二次不等式：1. x^2 - 4x > 02. 2x^2 - 3x < 03. x^2 + 6x + 8 ≥ 0以上是一些一元二次方程解法的练习题。
通过解这些题目，我们可以巩固和提高对一元二次方程解法的掌握程度。
在解题过程中，我们要注意将方程转化为标准形式，分离出x的系数、常数项，并应用求根公式或配方法进行求解。
此外，对于一些实际问题，我们需要将问题抽象为一元二次方程，再进行求解。
掌握一元二次方程的解法不仅仅是为了解答数学题目，更重要的是培养我们的逻辑思维和解决实际问题的能力。
通过反复练习和深入理解解题过程，我们可以在数学学习和实际生活中更加灵活地应用一元二次方程解法，进一步提高自己的数学水平。
这些练习题只是一元二次方程解法的一小部分，希望大家能够通过这些练习题加深对一元二次方程解法的理解，提高解题的准确性和效率。
一元二次方程的解法及其根的判别式
§2.2 一元二次方程的解法及其根的判别式一、温故互查知识要点一元二次方程的概念及解法，根的判别式，根与系数的关系（选学）．二、题组训练一1．(2011钦州)下列方程中，有两个不相等的实数根的是 （ ）A ．x 2+1=0B ．x 2-2x +1=0C ．x 2+x +2=0D ．x 2+2x -1=02．用配方法解方程x 2-4x +2=0，下列配方正确的是（ ）A ．(x -2)2=2B ．(x +2)2=2C ．(x -2)2=-2D ．(x -2)2=63．已知关于x 的方程250x mx +-=的一个根是5，那么m = ，另一根是 .4．若关于x 的一元二次方程kx 2-3x +2=0有实数根，则k 的非负整数值是 .三、题组训练二1 解下列方程：(1) 3(x +1)2=13; (2) 3(x -5)2=2(x -5)；(3) x 2+6x -7=0； (4) x 2-4x +1=0（配方法）．例2 关于x 的一元二次方程2(4)210k x x ---= ． (1)若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；(2)在（1）的条件下，自取一个整数k 的值，再求此时方程的根.四、中考连接1．下列方程中有实数根的是( )A ．x 2+2x +3＝0B ．x 2+1＝0C ．x 2+3x +1＝0D ．x x -1= 1x -12．若关于x 的方程(a -1)x 2-2x +1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜2B ．a ＞2C ．a ＜2且a ≠1D ．a ＜-23．若直角三角形的两条直角边a 、b 满足(a 2+b 2)(a 2+b 2+1)=12，则此直角三角形的斜边长为 ．4．阅读材料：若一元二次方程ax 2+bx+c =0(a ≠0)的两个实数根为x 1、x 2，则两根与方程系 数之间有如下关系：x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 根据上述材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2+4x +2=0的两个实数根，则1x 1 + 1x 2= ． 5．解下列方程：（1）(y +4)2=4y ； （2）2x 2+1=3x （配方法）；（3）2x (x -1)=x 2-1； （4）4x 2-(x -1)2=0．6．先阅读，然后回答问题：解方程x 2-|x |-2=0，可以按照这样的步骤进行：(1)当x ≥0时，原方程可化为x 2-x -2=0，解得x 1=2，x 2=-1（舍去）．(2)当x ≤0时，原方程可化为x 2+x -2=0，解得x 1=-2，x 2=1（舍去）．则原方程的根是_____________________．仿照上例解方程：x 2 -|x -1|-1=0．。
一元二次方程解法及其配套练习-精心--方法全面-例题经典
一元二次方程解法及其配套练习定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项．解法一: ——直接开方法适用围：可解部分一元二次方程直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±√n我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，我们也可以用直接开方法来解方程。
例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．解：(2)由已知，得：（x+3）2=2直接开平方，得：x+3=即所以，方程的两根x1，x2例2．市政府计划2年将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．例3．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s•的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，•P、Q都从B点同C时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？解：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2 则PB=x，BQ=2x依题意，得：12x·2x=8x2=8根据平方根的意义，得x=±即x1，x2可以验证，和都是方程12x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以PBQ的面积等于8cm2．例4．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，•那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31把（1+x）当成一个数，配方得：（1+x+12）2=2.56，即（x+32）2=2．56x+32=±1.6，即x+32=1.6，x+32=-1.6方程的根为x1=10%，x2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．归纳小结：共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=p＜0则方程无解配套练习题一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-22．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根3．用配方法解方程x2-23x+1=0正确的解法是（）．A．（x-13）2=89，x=13B．（x-13）2=-89，原方程无解C ．（x-23）2=59，x 1=23x 2 D ．（x-23）2=1，x 1=53，x 2=-13二、填空题1．若8x 2-16=0，则x 的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a 、b 2-12b+36=0，那么ab 的值是_______．三、综合提高题1．解关于x 的方程（x+m ）2=n ．2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m ），•另三边用木栏围成，木栏长40m ．（1）鸡场的面积能达到180m 2吗？能达到200m 吗？（2）鸡场的面积能达到210m 2吗？3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，•并说明你制作的理由吗？解法二——配方法适用围：可解全部一元二次方程引例：要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m 2,场地的长和宽各是多少？ 列出方程化简后得：x 2+6x-16=0 x 2+6x-16=0移项→x 2+6x=16两边加（6/2）2使左边配成x 2+2bx+b 2的形式 → x 2+6x+32=16+9左边写成平方形式 → （x+3）2=25 降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5 解一次方程→x 1=2，x 2= -8可以验证：x 1=2，x 2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m ，常为8m. 像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边； （4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根．用配方法解一元二次方程小口诀 二次系数化为一 常数要往右边移 一次系数一半方两边加上最相当例1．用配方法解下列关于x的方程（1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-12=0分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．解：略例2．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B•两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，•几秒后△PCQ•的面积为Rt△ACB面积的一半．分析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．•根据已知列出等式．解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．根据题意，得：12（8-x）（6-x）=12×12×8×6整理，得：x2-14x+24=0（x-7）2=25即x1=12，x2=2x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．例3．解下列方程（1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．解：略例4．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=12（6x+7）+12，x+1=16（6x+7）-16，因此，方程就转化为y•的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．解：设6x+7=y则3x+4=12y+12，x+1=16y-16依题意，得：y2（12y+12）（16y-16）=6去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72 y2（y2-1）=72，y4-y2=72（y2-12）2=2894y2-12=±172y2=9或y2=-8（舍）∴y=±3当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-2 3当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-5 3所以，原方程的根为x1=-23，x2=-53CAQP例5. 求证:无论y 取何值时,代数式-3 y 2+8y-6恒小于0. 解：略配套练习题一、选择题1．配方法解方程2x 2-43x-2=0应把它先变形为（ ）． A ．（x-13）2=89 B ．（x-23）2=0C ．（x-13）2=89D ．（x-13）2=1092．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．A ．x 2+1=0 B ．（2x+1）2=0 C ．（2x+1）2+3=0 D ．（12x-a ）2=a 3．已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z 的值是（ ）． A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-24．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）．A ．（x-2）2+3B ．（x-2）2-3C ．（x+2）2+3D ．（x+2）2-35．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）．A ．x 2-8x+（-4）2=31B ．x 2-8x+（-4）2=1C ．x 2+8x+42=1D ．x 2-4x+4=-116．如果mx 2+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ）． A ．1 B ．-1 C ．1或9 D ．-1或9二、填空题1．方程x 2+4x-5=0的解是________．2．代数式2221x x x ---的值为0，则x 的值为________．3．已知（x+y ）（x+y+2）-8=0，求x+y 的值，若设x+y=z ，则原方程可变为_______，所以求出z 的值即为x+y 的值，所以x+y 的值为______．4．如果x 2+4x-5=0，则x=_______．5．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2-2x-4y+16的值总是_______数．6．如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________． 三、综合提高题1．用配方法解方程．（1）9y 2-18y-4=0 （2）x 2x2．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．3．如果x 2-4x+y 2，求（xy ）z的值．4．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500•元，•市场调研表明：•当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？ 5．已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求222x yx y-+的值．6．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，•为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，•如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件． ①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．解法三——公式法适用围：可解全部一元二次方程首先，要通过Δ=b 2-4ac 的根的判别式来判断一元二次方程有几个根 1.当Δ=b 2-4ac<0时 x 无实数根（初中）2.当Δ=b 2-4ac=0时 x 有两个相同的实数根 即x1=x2 3.当Δ=b 2-4ac>0时 x 有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：求根公式的推导用配方法解方程（1） ax 2－7x+3 =0 (2)a x 2+bx+3=0(3)如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0），试推导它的两个根x 1=2b a -+，x 2=2b a--(这个方程一定有解吗?什么情况下有解？)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a 配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a）2 即（x+2b a）2=2244b aca -∵4a 2>0，4a2＞0,当b 2-4ac ≥0时2244b aca-≥0∴（x+2b a）2)2直接开平方，得：x+2ba = 即∴x 1x 2 由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。
一元二次方程知识点总结及习题
【基础知识巩固】知识点1. 一元二次方程概念只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。
1、判别下列方程是不是一元二次方程，(1)2x 2-x-3=0. (2)4y -y 2=0. (3) t 2=0. (4) x 3-x 2=1. (5) x 2-2y-1=0. (6) 21x -3=0. (7)x x 32- =2. (8)(x+2)(x-2)=(x+1)2.(9)3x 2-x4+6=0. (10)3x 2=4x-3.2、判断下列方程是否为一元二次方程：)0(0).7(0).6()2)(1(3).5(023).4(1).3(1).2(1).1(222222的常数为不等于m mx c bx ax x x x y x x xx x x x ==+++-=-=+-===+3、下列方程中，关于x 的一元二次方程是 （ ）（A ）()()23121x x +=+ （B ）21120x x +-=（C ）20ax bx c ++= （D ）2221x x x +=+4、下列方程中，不是一元二次方程的是 （ ）（A ）2x 2+7=0 （B ）2x 2+23x+1=0（C ）5x 2+x 1+4=0 （D ）3x 2+(1+x) +1=05、若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是 （ ）（A ）2 （B ）－2 （C ）0 （D ）不等于26、已知关于x 的方程()()03122=+-++p x n x m ，当 时，方程为一次方程；当时，两根中有一个为零a 。
7、已知关于x 的方程()2220m m x x m --+-=：（1） m 为何值时方程为一元一次方程；（2） m 为何值时方程为一元二次方程。
知识点二.一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是：()200ax bx c a ++=≠，其中2ax 是二次项，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数，c 是常数项。
《一元二次方程》知识梳理及经典例题
《一元二次方程》知识梳理及经典例题【知识梳理】考点一、概念(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
(2)一般表达式：ax2+bx+c=0(a≠0)⑶难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；考点三、解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次类型一、直接开方法：x2=m(m≥0),⇒x=±√m对于(x+a)2=m，(ax+m)2=(bx+n)2等形式均适用直接开方法类型二、因式分解法:(x−x1)(x−x2)=0⇒x=x1,或x=x2方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如(ax+m)2=(bx+n)2，(x+a)(x+b)=(x+a)(x+c)，x2+2ax+a2=0类型三、配方法ax2+bx+c=0(a≠0)⇒(x+b2a )2=b2−4ac4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
类型四、公式法⑴条件：(a≠0,且b2−4ac≥0)⑵公式：x=−b±√b2−4ac2a,(a≠0,且b2−4ac≥0)类型五、“降次思想”的应用⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。
.考点四、根的判别式b2−4ac根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。
考点五、应用解答题⑴“握手”问题；⑵“利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题考点六、根与系数的关系⑴前提：对于ax2+bx+c=0而言，当满足①a≠0、②Δ≥0时，才能用韦达定理。
⑵主要内容：x1+x2=−ba ,x1x2=ca⑶应用：整体代入求值。
一元二次方程(含答案)
第二十二章 一元二次方程测试1 一元二次方程的有关概念及直接开平方法学习要求1．掌握一元二次方程的有关概念，并应用概念解决相关问题． 2．掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法．课堂学习检测一、填空题1．只含有______个未知数，并且未知数的______次数是2的方程，叫做一元二次方程，它的一般形式为________________________．2．把2x 2－1＝6x 化成一般形式为____________，二次项系数为______，一次项系数为____ ____，常数项为______．3．若(k ＋4)x 2－3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是______．4．把(x ＋3)(2x ＋5)－x (3x －1)＝15化成一般形式为____________，a ＝______，b ＝______，c ＝______． 5．若(m －2)22-mx ＋x －3＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是______．6．方程y 2－12＝0的根是______． 二、选择题7．下列方程中一元二次方程的个数为( )．①2x 2－3＝0； ②x 2＋y 2＝5； ③542=-x ； ④.2122=+x x (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 8．ax 2＋bx ＋c ＝0是关于x 的一元二次方程的条件是( )． (A)a 、b 、c 为任意实数 (B)a 、b 不同时为零 (C)a 不为零 (D)b 、c 不同时为零 9．x 2－16＝0的根是( )． (A)只有4 (B)只有－4 (C)±4 (D)±8 10．3x 2＋27＝0的根是( )．(A)x 1＝3，x 2＝－3 (B)x ＝3 (C)无实数根 (D)以上均不正确 三、解答题(用直接开平方法解一元二次方程) 11．2y 2＝8． 12．(x ＋3)2＝2． 13．.25)1(412=+x14．3(2x －1)2－12＝0．综合、运用、诊断一、填空题 15．把方程x x x +=-2232化为一元二次方程的一般形式(二次项系数为正)是________________________，一次项系数是______． 16．把关于x 的一元二次方程(2－n )x 2－n (3－x )＋1＝0化为一般形式为__________________，二次项系数为____________，一次项系数为______，常数项为______．17．关于x 的方程(m 2－9)x 2＋(m ＋3)x ＋5m －1＝0，当m ＝______时，方程为一元二次方程；当m ______时，方程为一元一次方程． 二、选择题18．若x ＝－2是方程x 2－2ax ＋8＝0的一个根．则a 的值为( )．(A)－1 (B)1 (C)－3 (D)3 19．若x ＝b 是方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根，b ≠0，则a ＋b 的值是( )．(A)－1 (B)1 (C)－3 (D)3 20．若4)1(2=+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是( )．(A)m ≠1 (B)m ＞1(C)m ≥0且m ≠1(D)任何实数三、解答题(用直接开平方法解下列方程) 21．(3x －2)(3x ＋2)＝8． 22．(5－2x )2＝9(x ＋3)2．23．.063)4(22=--x24．(x －m )2＝n ．(n 为正数)拓展、探究、思考一、填空题25．如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个根1和－1，那么a ＋b ＋c ＝______，a －b ＋c ＝______． 二、选择题26．如果(m －2)x |m|＋mx －1＝0是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为( )．(A)2或－2 (B)2 (C)－2 (D)以上都不正确 三、解答题27．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2x ＋m 2－1＝0有一个根是0，求m 的值．28．已知m 是方程x 2－x －1＝0的一个根，求代数式5m 2－5m ＋2004的值．测试2 配方法解一元二次方程学习要求掌握配方法的概念，会用配方法解一元二次方程．课堂学习检测一、填上适当的数使下面各等式成立1．x 2－8x ＋______＝(x －______)2． 2．x 2＋3x ＋______＝(x ＋______)2．3．x x 232-＋______＝(x －______)2． 4．x x 322+＋______＝(x ＋______)2． 5．x 2－px ＋______＝(x －______)2． 6．x ab x -2＋______＝(x －______)2．二、选择题7．用配方法解方程01322=--x x ，应该先把方程变形为( )． (A)98)31(2=-x(B)98)31(2-=-x(C)910)31(2=-x(D)0)32(2=-x8．用配方法解一元二次方程x 2－4x ＝5的过程中，配方正确的是( )． (A)(x ＋2)2＝1 (B)(x －2)2＝1 (C)(x ＋2)2＝9 (D)(x －2)2＝9 9．x x 212-配成完全平方式需加上( )． (A)1 (B)41(C)161 (D)81 10．若x 2＋px ＋16是一个完全平方式，则p 的值为( )．(A)±2 (B)±4 (C)±8 (D)±16 三、解答题(用配方法解一元二次方程) 11．x 2－2x －1＝0． 12．y 2－6y ＋6＝0．综合、运用、诊断一、选择题13．用配方法解方程3x 2－6x ＋1＝0，则方程可变形为( )(A)31)3(2=-x (B)31)1(32=-x (C)(3x －1)2＝1 (D)32)1(2=-x 14．若关于x 的二次三项式x 2－ax ＋2a －3是一个完全平方式，则a 的值为( )．(A)－2 (B)－4 (C)－6 (D)2或6 15．将4x 2＋49y 2配成完全平方式应加上( )．(A)14xy (B)－14xy (C)±28xy (D)0 16．用配方法解方程x 2＋px ＋q ＝0，其配方正确的是( )．(A).44)2(22qp p x -=+ (B).44)2(22qp p x -=- (C).44)2(22p q p x -=+ (D).44)2(22p q p x -=- 二、解答题(用配方法解一元二次方程)17．3x 2－4x ＝2．18．.231322=+x x拓展、探究、思考19．用配方法说明：无论x 取何值，代数式x 2－4x ＋5的值总大于0，再求出当x 取何值时，代数式x 2－4x ＋5的值最小?最小值是多少?测试3 公式法解一元二次方程学习要求熟练掌握用公式法解一元二次方程．课堂学习检测一、填空题1．关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根是______．2．一元二次方程(2x ＋1)2－(x －3)(2x －1)＝3x 中的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______． 二、选择题3．方程x 2－2x －2＝0的两个根为( )． (A)x 1＝1，x 2＝－2 (B)x 1＝－1，x 2＝2 (C)31,3121-=+=x x (D)13,1321+=-=x x4．用公式法解一元二次方程x x 2412=-，它的根正确的应是( )． (A)2522,1±-=x(B)2522.1±=x (C)2512,1±=x (D)2312,1+=x 5．方程mx 2－4x ＋1＝0(m ≠0)的根是( )． (A)4121==x x(B)mmx -±=422,1 (C)m m x -±=4222,1 (D)mmm x -±=422,1 6．若代数式x 2－6x ＋5的值等于12，则x 的值应为( )． (A)1或5 (B)7或－1 (C)－1或－5 (D)－7或1 三、解答题(用公式法解一元二次方程) 7．x 2＋4x －3＝0． 8．3x 2－8x ＋2＝0．综合、运用、诊断一、填空题9．若关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根是2，则m ＝______，另一根是______． 二、选择题10．关于x 的一元二次方程ax a x 32222=+的两个根应为( )．(A)222,1ax ±-=(B)a x 21=，a x 222=(C)4222,1ax ±=(D)a x 22,1±=三、解答题(用公式法解下列一元二次方程)11．2x －1＝－2x 2．12．(x ＋1)(x －1)＝x 22拓展、探究、思考一、解答题(用公式法解关于x 的方程) 13．x 2＋mx ＋2＝mx 2＋3x (m ≠1)． 14．x 2－4ax ＋3a 2＋2a －1＝0．测试4 一元二次方程根的判别式学习要求掌握一元二次方程根的判别式的有关概念，能灵活应用有关概念解决实际问题．课堂学习检测一、填空题1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)根的判别式为∆＝b 2－4ac ， 当b 2－4ac ______0时，方程有两个不相等的实数根； 当b 2－4ac ______0时，方程有两个相等的实数根； 当b 2－4ac ______0时，方程没有实数根．2．若关于x 的方程x 2－2x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m ______． 3．若关于x 的方程x 2－2x －k ＋1＝0有两个实数根，则k ______．4．若方程2x 2－(2m ＋1)x ＋m ＝0根的判别式的值是9，则m ＝______． 二、选择题5．方程x 2－3x ＝4根的判别式的值是( )． (A)－7 (B)25 (C)±5 (D)56．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根，则根的判别式的值应是( )． (A)正数 (B)负数 (C)非负数 (D)零 7．下列方程中有两个相等实数根的是( )． (A)7x 2－x －1＝0 (B)9x 2＝4(3x －1) (C)x 2＋7x ＋15＝0(D)02322=--x x8．方程03322=++x x ( )．(A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的有理根 (C)没有实数根 (D)有两个相等的无理根 三、解答题9．k 为何值时，一元二次方程kx 2－6x ＋9＝0①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．10．关于x 的一元二次方程－x 2＋(2k ＋1)x ＋2－k 2＝0有实数根，求k 的取值范围．11．求证：不论m 取任何实数，方程02)1(2=++-mx m x 都有两个不相等的实数根．综合、运用、诊断一、选择题12．方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)根的判别式是( )．(A)242ac b b -±-(B)ac b 42-(C)b 2－4ac (D)a 、b 、c13．若关于x 的方程(x ＋1)2＝1－k 没有实数根，则k 的取值范围是( )．(A)k ＜1 (B)k ＜－1 (C)k ≥1 (D)k ＞114．若关于x 的方程3kx 2＋12x ＋k ＋1＝0有两个相等的实数根，则k 的值为( )．(A)－4 (B)3(C)－4或3(D)21或32- 15．若关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2mx ＋m ＋3＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )．(A)23<m (B)23<m 且m ≠1 (C)23≤m 且m ≠1(D)23>m16．如果关于x 的二次方程a (1＋x 2)＋2bx ＝c (1－x 2)有两个相等的实数根，那么以正数a 、b 、c 为边长的三角形是( )． (A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)任意三角形 二、解答题17．已知方程mx 2＋mx ＋5＝m 有两个相等的实数根，求方程的解．18．求证：不论k 取何实数，方程(k 2＋1)x 2－2kx ＋(k 2＋4)＝0都没有实根．拓展、探究、思考19．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三边，其中a ＝1，c ＝4，且关于x 的方程x 2－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状．20．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2(k －1)x ＋k 2－1＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k 的取值范围：(2)0可能是方程的一个根吗?若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．测试5 因式分解法解一元二次方程学习要求掌握一元二次方程的重要解法——因式分解法．课堂学习检测一、写出下列一元二次方程的根 1．x (x －3)＝0 ______． 2．(2x －7)(x ＋2)＝0______． 3．3x 2＝2x ______． 4．x 2＋6x ＋9＝0 ______．5．03222=-x x______．6．x x )21()21(2-=+ ______．7．(x －1)2－2(x －1)＝0 ______． 8．(x －1)2－2(x －1)＝－1 ______． 二、选择题9．方程(x －a )(x －b )＝0的两个根是( )． (A)x 1＝a ，x 2＝b (B)x 1＝a ，x 2＝－b (C)x 1＝－a ，x 2＝b (D)x 1＝－a ，x 2＝－b 10．下列解方程的过程，正确的是( )．(A)x 2＝x ，两边同除以x ，得x ＝1(B)x 2＋4＝0，直接开平方法可得，x ＝±2(C)(x －2)(x ＋1)＝3³2 ∵x －2＝3，x ＋1＝2， ∴x 1＝5，x 2＝1(D)(2－3x )＋(3x －2)2＝0整理得 3(3x －2)(x －1)＝0 ∴x 1＝32，x 2＝1 三、用因式分解法解下列方程(*题用十字相乘法因式分解解方程) 11．3x (x －2)＝2(x －2)． 12．x 2－4x ＋4＝(2－3x )2．*13．x 2－3x －28＝0． *14．x 2－6x ＋8＝0．*15．(2x －1)2－2(2x －1)＝3． *16．x (x －3)＝3x －9．综合、运用、诊断一、写出下列一元二次方程的根17．.06222=-x x ______________________________． 18．(x ＋1)(x －1)＝2．_______________________________． 19．(x －2)2＝(2x ＋5)2．______________________________． 二、选择题20．方程x (x －2)＝2(2－x )的根为( )．(A)x ＝－2 (B)x ＝2 (C)x 1＝2，x 2＝－2 (D)x 1＝x 2＝2 21．方程(x －1)2＝1－x 的根为( )．(A)0 (B)－1和0 (C)1(D)1和0 22．若实数x 、y 满足(x －y )(x －y ＋3)＝0，则x －y 的值是( )．(A)－1或－2 (B)－1或2 (C)0或3 (D)0或－3三、用因式分解法解下列关于x 的方程 23．x 2＋2mx ＋m 2－n 2＝0． 24．.04222=-+-b a ax x25．x 2－bx －2b 2＝0．拓展、探究、思考一、解答题26．已知x 2－5x ＝14，求(x －1)(2x －1)－(x ＋1)2＋1的值．27．解关于x 的方程：x 2－2x ＋1－k (x 2－1)＝0．测试6 一元二次方程解法综合训练学习要求会用适当的方法解一元二次方程，培养分析问题和解决问题的能力．课堂学习检测一、写出下列一元二次方程的根1．3(x －1)2－1＝0．_____________________________． 2．(2x ＋1)2－2(2x ＋1)＝3．_______________________． 3．3x 2－5x ＋2＝0．_____________________________． 4．x 2－4x －6＝0．______________________________． 二、选择题5．方程x 2－4x ＋4＝0的根是( )． (A)x ＝2 (B)x 1＝x 2＝2 (C)x ＝4 (D)x 1＝x 2＝4 6．5.27.0512=+x 的根是( )． (A)x ＝3(B)x ＝±3(C)x ＝±9(D)3±=x7．072=-x x 的根是( )． (A)77=x(B)x 1＝0，x 2＝77(C)x 1＝0，x 2＝7(D)x ＝78．(x －1)2＝x －1的根是( )． (A)x ＝2 (B)x ＝0或x ＝1 (C)x ＝1 (D)x ＝1或x ＝2 三、用适当方法解下列方程 9．6x 2－x －2＝0． 10．(x ＋3)(x －3)＝3．四、解关于x 的方程11．x 2－2mx ＋m 2－n 2＝0． 12．2a 2x 2－5ax ＋2＝0(a ≠0)．综合、运用、诊断一、填空题13．若分式1872+--x x x 的值是0，则x ＝______．14．x 2＋2ax ＋a 2－b 2＝0的根是____________． 二、选择题15．关于方程3x 2＝0和方程5x 2＝6x 的根，下列结论正确的是( )．(A)它们的根都是x ＝0 (B)它们有一个相同根x ＝0(C)它们的根都不相同 (D)以上结论都不正确 16．关于x 的方程abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab ＝0(ab ≠0)的根是( )．(A)x 1＝a b 2，x 2＝ba 2 (B)x 1＝a b ，x 2＝ba(C)x 1＝abb a 22+，x 2＝0(D)以上都不正确三、解下列方程17．.02322=+-x x 18．(y －5)(y ＋3)＋(y －2)(y ＋4)＝26．19．x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k －6． 20．.066)3322(2=++-x x四、解答题21．已知：x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，求yx yx +-的值．22．求证：关于x 的方程(a －b )x 2＋(b －c )x ＋c －a ＝0(a ≠b )有一个根为1．拓展、探究、思考一、填空题23．若方程3x 2＋bx ＋c ＝0的解为x 1＝1，x 2＝－3，则整式3x 2＋bx ＋c 可分解因式为______________．24．在实数范围内把x 2－2x －1分解因式为__________．测试7 实际问题与一元二次方程学习要求会应用一元二次方程处理常见的各类实际问题．课堂学习检测一、填空题1．实际问题中常见的基本等量关系：(1)工作效率＝__________________；(2)距离＝__________________．2．某工厂2006年的年产量为a (a ＞0)，如果每年递增10％，那么2007年的年产量是______，2008年的年产量是______，这三年的总产量是____________．3．某商品连续两次降价10％后的价格为a 元，该商品的原价为____________．4．两个连续奇数中，设较大一个为x，那么另一个为( )．(A)x＋1 (B)x＋2 (C)2x＋1 (D)x－25．某厂一月份生产产品a件，如果二月份比一月份增加2倍，三月份的产量是二月份的2倍，那么三个月的产品总件数是( )．(A)5a(B)7a(C)9a(D)10a三、解答题6．三个连续奇数的平方和为251，求这三个数．2 ，斜边上的中线长为1，求这个直角三角形的三边长．7．直角三角形的周长为68．某工厂1月份产值是5万元，3月份的产值是11.25万元，求2、3月份的月平均增长率．综合、运用、诊断一、填空题9．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，则列出的方程为______．10．一种药品经过两次降价，药价从原来的每盒60元降至现在的48.6元，则平均降价的百分率是______．11．在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一圈金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是1800cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程为____________．二、选择题12．某市2008年国内生产总值(GDP)比2007年增长了12％，由于受到国际金融危机的影响，预计2009年比2008年增长7％，则这两年GDP年平均增长率x％满足的关系是( )．A．12％＋7％＝x％B．(1＋12％)(1＋7％)＝2(1＋x％)C．12％＋7％＝2x％D．(1＋12％)(1＋7％)＝(1＋x％)213．上海市某电脑公司2007年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40％．该公司预计2009年经营总收入要达到2160万元，且计划从2007年到2009年，每年经营总收入的年增长率相同．问2008年经营总收入为多少万元?14．某商场销售一批衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元．为扩大销售量，增加盈利，减少库存，商场决定采用适当降价的措施．经调查发现，如果每件衬衫的售价每降低1元，那么商场平均每天可多售出2件，商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元?15．在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是2∶1。
一元二次方程的解法练习题(带答案))
【答案】（ 1 ） ① ②
（2） （3）
【解析】（ 1 ） （ 2 ） 方程 ∴
． ． ． ．
的解为
， ．
6
（ 3 ） 解方程
得
∴
【标注】【知识点】算式找规律
， ．
四、 因式分解法
1. 用因式分解法解方程：
（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
【答案】（ 1 ） （2） （3） （4）
，
．
，
．
，
．
，
．
【解析】（ 1 ） （2） （3） （4）
3. 阅读材料，解答问题．
阅读材料：为解方程
，我们可以将 视为一个整体，然后设
，则
，原方
程化为
．解得
，
．当 时，
，
∴
；当 时，
，∴
．
∴原方程的解为
，
，
，
．
解答问题：请你仔细阅读上述材料，深刻领会解题过程中所包含的数学思想和方法，然后解方程
．
【答案】
，
．
【解析】 设
，则原方程化为
．
解这个方程，得
，．
当
， ，
． ．
【解析】（ 1 ） （2）
， ，
． ．
【标注】【知识点】公式法求一元二次方程的根
2. 公式法解方程：
（1）
．
（2）
．
（3）
．
【答案】（ 1 ） （2） （3）
，
．
，
．
，
．
【标注】【知识点】公式法求一元二次方程的根
3. 在实数范围内因式分解：
一元二次方程知识点总结&练习
一元二次方程专题（一）、一元二次方程的解法：【知识点归纳与总结】一、概念：一元二次方程的一般形式为：ax 2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
二、基本思路与方法: 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
1 用直接开平方法解形如 (x-m)2=n (n≥0) 的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）75(3x+1)2=7 （2）9x 2-24x+16=112．配方法：用配方法解方程ax 2+bx +c=0 (a≠0)先将常数c 移到方程右边：ax 2+bx=-c将二次项系数化为1：x 2+b a x=-c a方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x 2+b a x+(b 2a )2=-c a +(b 2a)2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2= 当b 2-4ac≥0时，x+=±∴ x= (这就是求根公式)例2．用配方法解方程 3x 2-4x-2=03．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b 2-4ac 的值，当b 2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c 的值代入求根公式x= (b 2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程 2x 2-8x=-54．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x 2+3x=0 (3) 6x 2+5x-50=0 (4)x 2-2(+)x+4 =0小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。
一元二次方程的概念练习题
一元二次方程的概念练习题1.选B。
因为B是形如ax^2+bx+c=0的一元二次方程。
2.选C。
将方程整理得到-25x^2+30x+15=0，再将其除以-5即可得到x^2-(6/5)x-(3/5)=0，即选C。
3.选C。
将方程变形得到3x^2-2x+1=0，与一般形式ax^2+bx+c=0对比，可知二次项系数为3，一次项系数为-2，常数项系数为1，故选C。
4.选D。
将(x+2)(x-3)=4展开得到x^2-x-10=0，即选D。
5.选B。
将方程合并同类项得到x^2+2x+1=0，再将其化简得到(x+1)^2=0，即x=-1，故一次项系数为-1，选B。
6.选A。
要使分式的值为0，分母应该为0，即x-4=0或x-5=0，故x=4或x=5，选A。
7.选A。
设2x+1=p，2x-1=q，则p和q互为倒数，即pq=1，解得p=1/2，q=-2，故2x+1=1/2，解得x=-3/4，满足±1/2和±3/4，选A。
8.选B。
将ax^2+b+c=0化简得到(a-1)x^2-x=0，当a=0时不是一元二次方程，故无论a取何值，选B。
9.选B。
第一次降价后价格为0.8m，第二次降价后价格为0.8*0.8m=0.64m，即0.64m=m*(1-0.2)^2，解得m=1.2m/(0.8*0.8)=1.5m，故原价为1.5m，选B。
10.选C。
由已知可得a=(a+b+c)-(a-b+c)-2b=2c，将ax^2+bx+c=0代入得到2cx^2+bx+c=0，由于a≠0，故c≠0，故方程的根为1和-1，选C。
11.选B。
将方程移项得到ax^2-5x+3=0，由于a≠0，故x的取值不影响方程为一元二次方程，将不等式化简得到a>-2/3，故选B。
12.选C。
方程x^2=0的解只有一个x=0，故选C。
13.选A。
只有①、②、③是一元二次方程，故选A。
一次项系数和常数项。
14.若方程（m^2-1）x^2+x+m=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）。
一元二次方程的解法(公式法)练习题
一元二次方程的解法(公式法)练习题本文将会提供针对一元二次方程解法的公式法练题。
在练中我们将回顾一下方程的基本概念并且深入理解方程的求解过程。
第一部分：选择题1. 求解方程 $x^2 + 5x - 14 = 0$ 的根，正确的式子是：A. $x = \frac{-5 \pm \sqrt{219}}{2}$B. $x = \frac{-5 \pm \sqrt{209}}{2}$C. $x = \pm \frac{5 \pm \sqrt{219}}{2}$2. 求解方程 $3x^2 - 7x + 2 = 0$ 的根，正确的式子是：A. $x = \frac{-1}{3}$ 或 $x = \frac{2}{7}$B. $x = \frac{1}{3}$ 或 $x = \frac{2}{7}$C. $x = \frac{-1}{3}$ 或 $x = \frac{-2}{7}$3. 求解方程 $4x^2 - 9x + 2 = 0$ 的根，正确的式子是：A. $x = \frac{1}{4}$ 或 $x = \frac{2}{3}$B. $x = \frac{-1}{4}$ 或 $x = \frac{-2}{3}$C. $x = \frac{1}{4}$ 或 $x = \frac{-2}{3}$4. 求解方程 $6x^2 - 13x + 5 = 0$ 的根，正确的式子是：A. $x = \frac{1}{3}$ 或 $x = \frac{5}{2}$B. $x = \frac{-1}{3}$ 或 $x = \frac{5}{2}$C. $x = \frac{1}{2}$ 或 $x = \frac{5}{3}$第二部分：计算题1. 求解方程 $x^2 - 4x - 45 = 0$ 的根。
2. 求解方程 $x^2 - 2x + 5 = 0$ 的根。
3. 求解方程 $3x^2 - 4x - 2 = 0$ 的根。
4. 求解方程 $2x^2 + 7x - 10 = 0$ 的根。
《一元二次方程的解法》测试题
《一元二次方程的解法》测试题解题示范例 用配方法解下列一元二次方程： （1）x 2+12x=9 964； （2）9x 2-12x=1．审题 本题要求用配方法解一元二次方程，因此方程的左边应先化成（ax+b ）2•的形式．方案 对于第（1）小题，配方较为容易，只需两边都加上36即可．对于第（2）小题，联想公式（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，应在方程两边都加上4，才能把左边的式子化成（ax+b ）•的形式． 实施 （1）x 2+12x=9 964．两边都加上36，得x 2+12x+36=9 964+36． 即（x+6）2=10 000． ∴ x+6=100，或x+6=-100． 解得x 1=94，x 2=-106． （2）9x 2-12x=1．两边都加上4，得9x 2-12x+4=1+4，即（3x-2）2=5．∴解得 x 1=23+，x 2=23． 反思 对二次项系数为1的一元二次方程进行配方，应在方程两边都加上一次项系数一半的平方． 课时训练1．填上适当的数，使下列等式成立：（1）x 2+2x+________=（x+______）2；（2）x 2-6x+________=（x-______）2；（3）t 2-10t+________=（t-_______）2；（4）y 2+_____y+121=（y+_______）2．2．方程（x+1）2=9的解是_________．3．在横线上填上适当的数或式，使下列等式成立：（1）x2+px+________=（x+_______）2；（2）x2+bax+_________=（x+_______）2．4．解方程：（1）x2=121；（2）（x-3）2=16．5．用配方法解下列方程：（1）x2-2x=1；（2）x2+24=10x；（3）x（x+2）=323；（4）x2+6x-91=0．6．当x 取何值时，代数式x 2-3x+3的值等于7．7．用一根长为24m 的绳子围成面积为18m 2的矩形，•请问这个矩形的长与宽各是多少？8．在实数范围内，方程x 2+1=0有解吗？x 2-2x+2=0呢？ 答案：1．（1）1；1 （2）9；3 （3）25；5 （4）22；11 2．2或-43．（1）（2p ）2；2p（2）（2b a ）2；2b a4．（1）x 1=11，x 2=-11 （2）x 1=7，x 2=-15．（1）x 1，x 2 （2）x 1=4，x 2=6 （3）x 1=17，x 2=-19 （4）x 1=7，x 2=-136．x 等于4或-1 7．长为（）m ，宽为（）m 8．在实数范围内x 2+1=0无解，x 2-2x+2=0也无解．2．2 一元二次方程的解法（2）解题示范例用配方法解一元二次方程：4x2-12x+7=0．审题本题要求用配方法解方程，因此把方程化为（x+a）2=b或（ax+b）2=c的形式，•再用开平方法进行解题．方案可采用两种方法进行配方，一是先把二次项系数化为1，再配方；另一种是把4x-12x看作整体进行配方．实施方法一：方程两边都除以4，得x2-3x+74=0．移项，得x2-3x=-74．方程两边同加上（32）2，得x2-3x+（32）2=（32）2-74．即（x-32）2=12．∴x-32=12，或x-32=-12．解得x1x2方法二：由于4x2可以看成（2x）2，-12x可以看成-2×2x·3，因此，可以把4x2-12x配上一个常数项使它们成为完全平方式．移项，得4x2-12x=-7．方程两边同加上9，得4x2-12x+9=9-7，即（2x-3）2=2．∴，或．解得x1x2反思用配方法解一元二次方程的基本思路是把方程先化为（x+a）2=b或（ax+b）2=c的形式，因此可根据不同方程的特点进行灵活的配方．另外，•由于一个正数有正负两个平方根，因此开方时，要防止发生漏根的错误．课时训练1．方程x2-8x+6=0的左边配成完全平方式后，所得的方程是（）．（A）（x-6）2=10 （B）（x-4）2=10 （C）（x-6）2=6 （D）（x-4）2=62．不论x，y是什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（）．（A）总不小于2 （B）总不小于7；（C）为任意实数（D）为负数3．x2（x-______）2．4．用配方法解下列方程：（1）x2-3x+1=0；（2）2x2+6=7x；（3）3x2-9x+2=0；（4）5x2=4-2x；（5）x2；（6）0.1x2-x-0.2=0．5．已知y=2x2+7x-1．当x为何值时，y的值与4x+1的值相等？x为何值时，y•的值与x2-19的值互为相反数．6．一小球以15m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h （m ）与时间t （s ）满足关系：h=15t-5t 2．小球何时能达到10m 高？ 答案：1．B 2．A 3．12；24．（1）x 1=32+，x 2=32- （2）x 1=2，x 2=32 （3）x 1,2=96±（4）x 1,2=15-； （5）x 1,2 （6）x 1,2=5±5．当x=-2或12时，y的值与4x+1的值相等；当x=-4或53时，y的值与x2-19•的值互为相反数6．当t=1（s）或2（s）时，小球能达到10m高2．2 一元二次方程的解法（3）解题示范例 用公式法解下列方程：（1）25x 2-15x-1=0； （2）（x-2）（3x-5）=1．审题 本例两小题要求使用公式法解一元二次方程，•关键要把方程化为一般形式，弄清a ，b ，c 的值．方案 第（1）小题可先把各项系数化为整数，然后使用公式法．第（2）小题则需先把方程化为一般形式，再求解．实施 （1）25x 2-15x-1=0，方程两边都乘以5，得2x 2-x-5=0．∴ a=2，b=-1，c=-5，b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-5）=41．∴ x=14±，即x 1=14+，x 2=14-．（2）（x-2）（3x-5）=1． 原方程可化为3x 2-11x+9=0． ∴ a=3，b=-11，c=9． b 2-4a=（-11）2-4×3×9=13．∴即 x 1=x 2反思 用公式法解一元二次方程的关键是先弄清方程中的a ，b ，c 的值．当系数不是整数时，要先把系数化为整数，可使计算变得简单．当原方程不是一般形式时，先要把它化为一般形式．课时训练1．下列方程中，无实数根的是（）．（A）x2+1=0 （B）x2+x=0 （C）x2+x-1=0 （D）x2-x-1=0 2．方程2x（x-3）+3=0的二次项系数、一次项系数及常数项的和是（）．（A）2 （B）3 （C）-3 （D）-13．当x=________时，代数式x2+2x-3的值等于0．4．若方程x2-6x+5a=0有一根是5，那么a=______，另一根为________．5．方程3x2+12x=1的b2-4ac的值为_______．6．已知x2-2x-3与x+7的值相等，则x的值是________．7．用公式法解下列方程：（1）x2-2x-8=0；（2）x2-3x-2=0；（3）2x2-9x+8=0；（4）9x2+6x+1=0；（5）16x2+8x=3；（6）（2x+1）（x+3）=12．8．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高，广各几何？”大意是说：“已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？”请你回答这个问题？9．判别下列一元二次方程的实数根的情况：（1）3x2+4x-7=0；（2）x2-4x+4=0；（3）2x2+x+3=0．答案：1．A 2．D 3．1或-3 4．1；1 5．12146．5或-27．（1）x1=4，x2=-2 （2）x1,2（3）x1,2（4）x1=x2=-13；（5）x1=14，x2=-34（6）x1=1，x2=-928．设宽为x尺，则高为（x+6.8）尺．由题意得x2+（x+6.8）2=102．解得x1=-9.6（舍去），x2=2.8（尺），∴宽为2.8尺，高为9.6尺．9．（1）有两个不相等实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）无实数根。
一元二次方程练习题及答案
一元二次方程练习题及答案一元二次方程是初中数学中的重要内容，也是高中数学中的基础知识。
掌握一元二次方程的解法对于学生来说至关重要。
本文将介绍一些一元二次方程的练习题及其答案，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、基础练习题1. 解方程：x^2 - 5x + 6 = 0解答：首先，我们可以尝试因式分解来解这个方程。
将方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，得到两个解：x = 2和x = 3。
2. 解方程：2x^2 + 3x - 2 = 0解答：这个方程无法直接因式分解，我们可以使用求根公式来解。
根据求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a，代入a = 2，b = 3，c = -2，得到两个解：x = 0.5和x = -2。
3. 解方程：3x^2 + 7x + 2 = 0解答：这个方程也无法直接因式分解，我们继续使用求根公式。
代入a = 3，b = 7，c = 2，得到两个解：x = -0.333和x = -2。
二、进阶练习题1. 解方程：4x^2 - 12x + 9 = 0解答：这个方程看起来可以因式分解，但是我们发现无法找到两个数相乘为9且相加为-12的情况。
因此，我们需要使用求根公式。
代入a = 4，b = -12，c = 9，得到两个解：x = 1.5和x = 1.5。
2. 解方程：x^2 + 4 = 4x解答：将方程移项得到x^2 - 4x + 4 = 0。
这个方程可以因式分解为(x - 2)^2 =0，得到一个解x = 2。
3. 解方程：2x^2 - 5x + 2 = 0解答：这个方程无法直接因式分解，我们使用求根公式。
代入a = 2，b = -5，c = 2，得到两个解：x = 0.5和x = 2。
三、挑战练习题1. 解方程：x^2 + 2x + 1 = 0解答：这个方程可以因式分解为(x + 1)^2 = 0，得到一个解x = -1。
2. 解方程：3x^2 + 2x + 1 = 0解答：这个方程无法直接因式分解，我们使用求根公式。
专题21.4一元二次方程的解法(精选精练100题)(专项练习)1「含答案」
专题21.4 一元二次方程的解法（精选精练100题）（专项练习）【题型目录】1、直接开平方法解一元二次方程（1-20题）；2、配方法解一元二次方程（21-40题）；3、公式法解一元二次方程（41-60题）；4、因式分解法解一元二次方程（61-80题）；5、换元法解一元二次方程（81-90题）；6、解可化以一元二次方程的分式方程（91-100题）．四、因式分解法解一元二次方程1．用因式分解法解方程:(1)2411x x =；(2)()2224x x -=-2．用因式分解法解下列方程：(1)()()()262x x x --=-；(2)()()22167920x x --+=．3．用因式分解法解下列方程：(1)()()120x x +-=；(2)()()3521127x x x --=-+．4．用因式分解法解下列方程：(1)269x x -=-；(2)224(3)25(2)0x x ---=．5．用因式分解法解下列方程：(1)250x x +=；(2)(5)(6)5x x x --=-．6．用因式分解法的方法解下列方程：(1)22150x x --＝ ；(2)2326x x （＋）＝＋7．因式分解法解方程：(1)()()23525x x -=-；(2)()()22200abx a b x ab ab -++=¹；8．用因式分解法解下列方程：(1)()2236x x +=+；(2)231212x x +=；(3)()223240x x +-=；(4)()()()521123x x x -=-+．9．用因式分解法解下列一元二次方程：(1)21502x x -=；(2)()()23727x x -=-；(3)()22210x x +-=．10．用因式分解法解下列方程：(1))23x x =；(2)()()221210x x x ---=．11．用因式分解法解下列方程．(1)2560x x --=(2)3(2)2(2)x x x -=-12．用因式分解法解下列方程：(1)()2218x x -=-；(2)()()2222x x x -=-；(3)23x -=-．13．用因式分解法解下列方程：(1)2350y y -=；(2)2412x x =；(3)296x x +=-；(4)229(1)x x =-．14．用因式分解法解下列方程．(1)()()222320x x ---=；(2)()2211t t -+=．15．用因式分解法解下列方程：(1)()2212x x -=；(2)()()222310y y +--=．16．用因式分解法解下列方程：（1）(2)(4)0x x +-=； （2）4(21)3(21)x x x +=+．17．用因式分解法解下列方程：(1)(2)(23)6x x --=；(2)()44x x -=-．18．用因式分解法解方程：(1)3x (2x +1)=2(2x +1)；(2)22(3)(52)x x -=-．19．用因式分解法解方程．(1)22437365x x x x +-=--(2)()233x x x -=-20．用因式分解法解一元二次方程(1)()()41570x x +-=；(2)2(23)4(23)x x +=+．五、换元法解一元二次方程21．()()233320y y -+-+=．22．解方程：2231712x x x x -+=-．23．若实数x ，y 满足2222()(2)3x y x y ++-=，求22x y +的值．24．解方程：226212x x x x--=-．25．解方程()225160x --=．26．如果2222()(2)3x y x y ++-=，请你求出22xy +的值．27．阅读下面的例题，回答问题：例：解方程：220x x --=令y x =，原方程化成220y y --=解得122,1y y ==-（不合题意，舍去） 2,2x x \=\=±\ 原方程的解是122,2x x ==-．请模仿上面的方法解方程：()21160x x ----=28．阅读下列材料：为解方程4260x x --=可将方程变形为()22260x x --=然后设2x y =，则()222x y =．例：4260x x --=，解：令2x y =，原方程化为260y y --=，解得12y =-，23y =，当12y =-时，22x =-（无意义，舍去）当23y =时，23x =，解得x =\原方程的解为1x =2x =．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：(1)()()22225260x x x x ----=；(2)()23511x x ++-=．29．阅读材料：在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：2–320x x +=．解：设x t =，则原方程可化为：2–320t t +=．解得：1212t t ==，．当1t =时，1x =，∴1x =±；当2t =时，2x =，∴2x =±．∴原方程的解是：12341122x x x x ==-==-，，，．上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：(1)解方程：220x x -=；(2)解方程：42–1090x x +=．(3)解方程：221211x x x x +-=+．30．换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组2()3()22()3x y x y x y x y ++-=-ìí+--=î，按常规思路解方程组计算量较大．可设x y a +=，x y b -=，那么方程组可化为23223a b a b +=-ìí-=î，从而将方程组简单化，解出a 和b 的值后，再利用x y a +=，x y b -=解出x 和y 的值即可．用上面的思想方法解方程：(1)222432x x x x ++=+；(2)2250x x ++-=六、解可化以一元二次方程的分式方程31．解分式方程：2216111x x x +-=--．32．解分式方程：221226x x x x+++=．33．解分式方程：11133x x +=+-34．解分式方程：()2218111x x x --=+-35．解分式方程：241142x x +=--．36．解分式方程：224124x x x -=-+-37．解分式方程21211x x x -=++38．解分式方程：252112x x x+-＝3．39．解分式方程：2164122x x x x +=--40．解分式方程：2212111x x x -+=--1．(1)10x =，2114x =(2)12x =，24x =【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的方法是解题的关键；（1）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程；（2）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：移项，得：24110x x -=，因式分解，得：(411)0x x -=于是，得：0x =或4110x -=，∴10x =，2114x =．（2）移项，得()22240x x --+=，即()()22220x x ---=，因式分解，得：(2)(22)0x x ---=，整理，得：(2)(4)0x x --=，于是，得20x -=或40x -=，∴12x =，24x =．2．(1)12x =，27x =(2)1227x =，234x =【详解】（1）方程左右两边都有因式()2x -，先移项，然后利用提公因式法将等式的左边因式分解；（2）直接利用平方差公式将方程的左边因式分解．（1）移项，得()()()2620x x x ----=，∴()()2610x x ---=，即()()270x x --=，∴20x -=或70x -=，∴12x =，27x =．（2）因式分解，得()()42836428360x x x x -++---=．化简，得()()072234x x --=，∴7220x -=或340x -=，∴1227x =，234x =．3．(1)11x =-，22x =(2)112x =-，223x =【详解】解：（1）()()120x x +-=Q ，10x \+=或20x -=，11x \=-，22x =．（2）原方程可化为2620x x --=，()()21320x x \+-=，210x \+=或320x -=，112x \=-，223x =．4．(1)123x x ==(2)12164,73x x ==【分析】（1）先移项，然后利用完全平方公式因式分解求解；（2）先移项，然后直接开平方即可解答此方程．【详解】（1）解：269x x -=-2690x x -+=()230x -=解得：123x x ==；（2）解：224(3)25(2)0x x ---=[][]220()5232()x x --=-，[][]2(3)5(2)2(3)5(2)0x x x x -+----=，()5()0232x x --+=或()5()0232x x ---=，解得12164,73x x ==．【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是明确方程的特点，选择合适的方法解方程．5．(1)10x =，25x =-(2)15=x ，27x =【分析】（1）直接用因式分解法求解即可；（2）先移项，再用因式分解法求解即可．【详解】（1）∵250x x +=∴()50x x +=∴0x =或50x +=∴10x =，25x =-（2）∵(5)(6)5x x x --=-∴()(5)(6)50x x x ----=∴(5)(61)0x x ---=∴50x -=或610x --=∴15=x ，27x =【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解答本题的关键．6．(1)15x ＝，23x -＝；(2)13x -＝，21x -＝【分析】（1）直接利用因式分解法求解即可；（2）先移项，再利用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：22150x x --＝ ，（x ﹣5）（x +3）＝0，则x ﹣5＝0或x +3＝0，∴15x ＝，23x -＝；（2）解：2326x x ++（）＝，2323x x ++（）＝（），移项，得23230x x ++（）﹣（）＝，则（x +3）（x +1）＝0，∴x +3＝0或x +1＝0，∴1231x x --＝，＝．【点睛】本题考查了因式分解法求解一元二次方程，熟练进行因式分解是解题的关键．7．(1)121353x x ==，(2)12b a x x a b==【分析】（1）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；【详解】（1）解：()()23525x x -=-方程变形为：()()23525x x -+-=0，∴()()50532x x éù+ë-=û-，∴()()53130x x --=，∴12135,3x x ==；（2）解：()()22200abx a b x ab ab -++=¹()()0ax b bx a --=，∵0ab ¹，∴0,0a b ¹¹，∴12,ba x x a b==【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解此题的关键．12(2)122x x ==(3)12x =-，225x =-(4)112x =，28x =-【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）原方程可变形为()()2230x x ++-=，即()()210x x +-=，所以20x +=或10x -=，即12x =-，21x =．（2）原方程可变形为2440x x -+=，即()220x -=，所以122x x ==．（3）原方程可变形为()()3223220x x x x +-++=，即()()2520x x ++=，所以20x +=或520x +=，即12x =-，225x =-．（4）原方程可变形为()()21530x x -++=，即()()2180x x -+=，210x -=或80+=x ，∴112x =，28x =-．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握适合因式分解法解一元二次方程——把方程的右边化为0，左边能通过因式分解化为两个一次因式的积的形式的方程是解题的关键．12(2)17x =，2193x =(3)113x =-，21x =-【分析】（1）利用提公因式法进行因式分解，求解即可；（2）通过移项，提公因式法进行因式分解，求解即可；（3）利用平方差公式，进行因式分解，求解即可．【详解】（1）解：21502x x -=因式分解，得1502x x æö-=ç÷èø．于是0x =，1502x -=，解得10x =，210x =；（2）()()23727x x -=-移项，得()()237270x x ---=，因式分解，得()()73720x x --+=éùëû，于是70x -=，3190x -=，解得17x =，2193x =；（3）()22210x x +-=因式分解，得()()21210x x x x éùéù+++-=ëûëû，于是310x +=，10x +=，解得113x =-，21x =-．【点睛】此题考查了因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解的有关方法．10．(1)120x x =，(2)12112x x ==，【分析】利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵)23x x =，∴)230x x -=，∴)310x x éù-=ëû，∴)310x -=或0x =，解得120x x ==，；（2）解：∵()()221210x x x ---=，∴()()21210x x x ---=，即()()1210x x --=，∴10x -=或210x -=，解得12112x x ==，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．11．(1)18x =，27x =-(2)12x =，223x =【分析】（1）首先把方程变形可得(8)(7)0x x -+=，进而得到两个一元一次方程，然后分别求出x 的值即可；（2）首先对方程进行整理，得出3(2)2(2)0x x x ---=，再因式分解可得(2)(32)0x x --=，然后得出两个一元一次方程，求解即可得出答案．【详解】（1）2560x x --=，(8)(7)0x x \-+=，80x \-=或70x +=，18x \=；27x =-；（2）3(2)2(2)x x x -=-，移项，得3(2)2(2)0x x x ---=，(2)(32)0x x \--=，20x \-=或320x -=，12x \=；223x =．【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程的方法和步骤是解题关键．12．(1)1212x x ==-(2)12x =，22x =-(3)12x x ==【分析】（1）先移项，再把括号展开进行因式分解，即可求解；（2）先移项，再提取公因式()2x -进行因式分解，即可求解；（3）先移项，再用完全平方公式进行因式分解，即可求解．【详解】（1）解：()22180x x +-=，241840x x x -+=+，24410x x ++=，()2210x +=，210x +=，21x =-，1212x x ==-．（2）解：()()22220x x x ---=，()()2220x x x ---=，()()220x x ---=，20x -=或20x --=，12x =，22x =-．（3）解：230x -+=，(20x =，0x =，12x x ==【点睛】本题主要考查了用因式分解法求解二元一次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．13．(1)1250,3y y ==(2)120,3x x ==(3)123x x ==-(4)1211,42x x ==-【分析】（1）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（2）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（3）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（4）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：2350y y -=，()350y y -=，解得：1250,3y y ==；（2）解：2412x x =，24120x x -=，()430x x -=，解得：120,3x x ==；（3）解：296x x+=-2690x x ++=即()230x +=，解得：123x x ==-；（4）解：229(1)x x =-，()22910x x --=，即()()22310x x --=，∴()()31310x x x x +--+=，即()()41210x x -+=，解得：1211,42x x ==-．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．14．(1)125,13x x ==(2)1211,2t t ==【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解．【详解】（1）解：()()222320x x ---=，∴()()()()2322320x x x x -+--éùé-ùëûëû-=，∴()()3510x x --=，∴350x -=或10x -=，∴125,13x x ==．（2）解：()2211t t -+=∴()22110t t -+-=，∴()()1210t t --=，∴1211,2t t ==．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．123(2)1213,42y y =-=【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：移项，得()22120x x --=，因式分解，得()()12120x x x x -+--=，得10,130x x -=-=或，解得：1211,3x x ==；（2）解：因式分解，得()()2312310y y x y ++-+-+=，合并同类项，得()()41230y y +-+=，得410230y y +=-+=或，解得：1213,42y y =-=．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．16．（1）12=2,=4x x -；（2）1213,24x x =-=．【分析】运用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：（1）∵(2)(4)0x x +-=；∴20x +=，40x -=，∴12x =-，24x =；（2）4(21)3(21)x x x +=+，4(21)3(21)0x x x +-+=，(21)(43)0x x +-=，∴210x +=或430x -=，∴112x =-，234x =．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．122(2)122x x ==【分析】（1）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程；（2）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：(2)(23)6x x --=，223466x x x --+=，即2270x x -=，∴()270x x -=，解得：12720,x x ==；（2）解：()44x x -=-，即2440x x -+=，()220x -=，解得：122x x ==．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．18．(1)1x =-12，2x =23；(2)1x =2，2x =83．【分析】（1）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值；（2）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值．【详解】（1）解：∵3x （2x +1）-2（2x +1）=0，∴（2x +1）（3x -2）=0，∴2x +1=0或3x -2=0，解得1x =-12，2x =23；（2）解：∵22(3)(52)x x -=-，∴22(3)(5)02x x --=-，∴(352)(3520)x x x x +---+=-，即(2)(308)x x --=，∴2-x =0或3x -8=0，解得1x =2，2x =83．【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤．19．(1)113x =-，213x =(2)112x =，23x =【分析】（1）先将原方程化成一般式，然后再因式分解法求解即可；（2）先将原方程化成一般式，然后再因式分解法求解即可．【详解】（1）解：22437365x x x x +-=--2910x -=（3x +1）（3x -1）=03x +1=0，3x -1=0113x =-，213x =．（2）解：()233x x x -=-2263x x x -=-22730x x -+=（2x -1）（x -3）=02x -1=0，x -3=0112x =，23x =．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键．20．(1)114x =-，275x =(2)132x =-，212x =【分析】（1）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可；（2）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可．【详解】（1）解：()()41570x x +-=；410x +=，570x -=，解得：114x =-，275x =（2）解：()()223423x x +=+，()()2234230x x +-+=，()()232340x x ++-=；()230x +=，()2340x +-=解得：132x =-，212x =．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键是将它化为两个一元一次方程．21．2y =或1y =【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，将()3y -看作一个整体，设3y t -=，利用因式分解法求得t 的值，进而即可求得y ．【详解】解：设3y t -=，则原方程即2320t t ++=，∴()()120t t ++=，∴10t +=或20t +=，解得1t =-或2t =-，∴31y -=-或32y -=-，解得，2y =或1y =．22．1234111,22x x x x =+==-=【分析】本题考查了换元法解可以化为一元二次方程的分式方程等知识．设21x y x =-，原方程变为1732y y +=，解得12y =或23y =．再分别代入21x y x =-，求出1x =或12x =-或2x =，代入最简公分母进行检验即可求解．【详解】解：设21x y x =-，则211x x y-=，原方程变为1732y y +=，去分母得：26720y y -+=，解得12y =或23y =．当2112x x =-时，去分母得：2210x x --=，解得：1x =当2213x x =-时，去分母得：22320x x --=，解得：12x =-或2x =，检验：当1x =()()2110x x x +-¹，当12x =-或2x =时，()()2110x x x +-¹，∴分式方程的解为1234111,22x x x x ===-=．23．223x y +=．【分析】本题主要考查用换元法解一元二次方程，解答本题的关键在于，掌握整体代换思想方法的应用，将22x y +看成一个整体t ，转换成一个关于t 的一元二次方程求解即可．【详解】解：令22x y t +=，则，原方程变为，()23t t -=，即，2230t t --=，()()310t t -+=解得：13t =，21t =-；又220x y +³Q ，∴223x y +=．24．123,1x x ==-【分析】本题考查用换元法解分式方程的能力，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．可根据方程特点设22y x x =-，则原方程可化为260y y --=，解一元二次方程求y ，再求x ．【详解】设22y x x =-，则原方程化为61y y-=\260y y --=，即()()320y y -+=，解得12y =-，23y =．当12y =-时，222x x -=-，该方程无解，当23y =时，223x x -=．解得13x =，21x =-，检验：当13x =时，原方程左边69632196=--=-==-右边，当21x =-时，原方程左边61232112=+-=-==+右边，∴13x =，21x =-都是原方程的根，∴原方程的根是13x =，21x =-．25．13x =，23x =-，31x =，41x =-【分析】设25y x =-，求出y 后，可得关于x 的方程，再解方程即可．【详解】设25y x =-，原方程化为2160y -=，解得14y =，24y =-，当14y =时，254x -=，29x =，则13x =，23x =-；当24y =-时，254x -=-，21x =，则31x =，41x =-，所以原方程的解为13x =，23x =-，31x =，41x =-．【点睛】本题考查了换元法和直接开平方法解方程，掌握求解的方法是关键．26．22x y +的值为3【分析】设22x z y +=，然后用因式分解法求解即可，求解时注意220x y +>.【详解】设22x z y +=，∴(2)3z z -=．整理得：2230z z --=，∴(3)(1)0z z -+=．∴121,3z z ==-．∵220z x y =+>，∴1z =- (不合题意，舍去)∴3z =．即22x y +的值为3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．27．1224x x =-=，【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令1m x =-，则原方程化为260m m --=，解方程得到3m =，则1=3x -，据此求解即可．【详解】解：令1m x =-，则原方程化为260m m --=，∴()()320m m -+=，解得3m =或2m =-（不合题意，舍去），∴1=3x -，∴13x -=±，解得1224x x =-=，．28．(1)11x =，21x =，341x x ==(2)10x =、25x =-【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；（1）令22x x y -=，原方程化为2560y y --=，进而得出226x x -=，221x x -=-，解方程，即可求解；（2y =，原方程化为2321y y -=，解得113y =-，21y =，进而分别解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：令22x x y -=，原方程化为2560y y --=，解得16y =，21y =-．当16y =时，226x x -=，解得1x =．当21y =-时，221x x -=-，解得1x =．\原方程的解为：11x =，21x =，341x x ==（2y =，原方程化为2321y y -=，解得113y =-，21y =当113y =-13=-（无意义舍去）当21y =1=，解得10x =、25x =-．\原方程的解为10x =、25x =-．29．(1)1234022x x x x ====-，，；(2)12341133x x x x ==-==-，，，；(3)1x =和12x =-．【分析】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．（1）设x t =，则原方程可化为220t t -=，解方程求得t 的值，再求x 的值即可；（2）设2x a =，则原方程可化为2–1090a a +=，解方程求得a 的值，再求x 的值即可；（3）设21x m x +=，则原方程可化为2–1m m=，整理得2––20m m =，解方程求得m 的值，再求x 的值，检验后即可求得分式方程的解．【详解】（1）解：设x t =，则原方程可化为：220t t -=．解得：1202t t ==，．当0=t 时，0x =，∴0x =；当2t =时，2x =，∴2x =±．∴原方程的解是：1234022x x x x ====-，，；（2）解：设2x a =，则原方程可化为2–1090a a +=，即()()190a a --=，解得：1a =或9a =，当1a =时，21x =，∴1x =±；当9a =时，29x =，∴3x =±；∴原方程的解是：12341133x x x x ==-==-，，，；（3）解：设21x m x +=，则原方程可化为2–1m m=，整理得2––20m m =，∴()()120m m +-=，解得：1m =-或2m =，当1m =-时，211x x+=-，即210x x ++=，由141130D =-´´=-<知此时方程无解；当2m =时，212x x+=，即2210x x --=，解得：1x =或12x =-，经检验1x =和12x =-都是原分式方程的解．30．(1)1=1x -；2=2x ；31x =41x =(2)11x =-，21x =【分析】该题主要考查了换元思想解方程，一元二次方程的解答，分式方程的解答，解题的关键是运用换元法进行整体代换；（1）设2(0)2x t t x =¹+，将原方程化为2320t t -+=，解得2t =或1t =，再分别代入22x t x =+求解分式方程的解即可；（2()0t t =³，则有222x x t +=，将原方程化为：2450t t +-=，解得5t =-（舍）或1t =t =求解即可；【详解】（1）设2(0)2x t t x =¹+，\原方程化为23t t+=，\2320t t -+=，解得2t =或1t =，当1t =时，212x x =+，解得2x =或=1x -，经检验，=1x -或2x =是方程的解；当2t =时，222x x =+，解得1x =1x =-，经检验，1x =或1x =∴原方程的解为：1=1x -；2=2x ；31x =；41x =（2()0t t =³，则有222x x t +=，\原方程可化为：2450t t +-=，解得5t =-（舍）或1t =，1=，\2210x x +-=，解得11x =-或21x =-；经检验：11x =，21x =是原方程的解．31．4x =-【分析】本题主要考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤求解即可，注意解分式方程最后要验根，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．【详解】解：2216111x x x +-=--方程左右同乘以21x -、去分母得：()()()221116x x x ++--=，去括号得：2222116x x x x +++-+=，移项、合并同类项得：2340x x +-=，因式分解得：()()410x x +-=，∴40x +=或10x -=，解得：14x =-，21x =，检验：14x =-，则211150x -=¹，故是原分式方程的根，21x =，则2210x -=，故是原分式方程的增根，∴原分式方程的解为4x =-．32．12x =-，22x =-，31x =【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，能把解分式方程转化成解一元二次方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验．原方程化为211226x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø，设1x a x +=，则原方程变形为2226a a +-=，求出a 的值，当4a =-时，方程为14x x+=-，求出方程的解，当2a =时，方程为12x x +=，求出方程的解，最后进行检验即可．【详解】解：原方程化为：211226x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø，设1x a x+=，则原方程化为：2226a a +-=，即2280a a +-=，解得：4a =-或2a =，当4a =-时，14x x+=-，整理得：2410x x ++=，Q 24411120D =-´´=>，x \=解得：12x =-，22x =-；当2a =时，12x x +=，整理得：2210x x -+=，()210x -=，解得：1x =，经检验12x =-，22x =-，31x =都是原方程的解，所以原方程的解是12x =-22x =-，31x =．33．12x x ==【分析】方程两边同乘以()()33x x +-可得一个关于x 的一元二次方程，再利用直接开平方法解一元二次方程即可得．【详解】解：11133x x +=+-，方程两边同乘以()()33x x +-，得()()3333x x x x +--+=+，去括号，得2933x x x --+=+，移项、合并同类项，得215x =，直接开平方，得12x x ==经检验，12x x ==【点睛】本题考查了解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键，需注意的是，分式方程的解要进行检验．34．5x =【分析】根据分式方程的解法步骤求解即可．【详解】解：去分母，得()222181x x --=-，去括号，得2224281x x x -+-=-移项、合并同类项，得2450x x --=，解得11x =-，25x =，经检验，5x =是方程的解．【点睛】本题考查解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法步骤是解答的关键．35．=1x -【分析】方程两边同时乘以()24x -，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．【详解】解：241142x x +=--，方程两边同时乘以()24x -，得()2442x x +-=+，即220x x --=，()()210x x -+=，解得122,1x x ==-，检验：当2x =时，()24x -0=，当=1x -时，()240x -¹．∴=1x -是原方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键，注意要检验．36．x =4【分析】两边都乘以x 2-4化为整式方程求解，然后验根即可．【详解】解：224124x x x -=-+-，两边都乘以x 2-4，得2(x -2)-4x =-(x 2-4)，x 2-2x -8=0，(x +2)(x -4)=0，x 1=-2，x 2=4，检验：当x =-2时，x 2-4=0，当x =4时，x 2-4≠0，∴x =4是原分式方程的根．【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．37．x =3【分析】将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可．【详解】解：21211x x x -=++化为整式方程得()2211x x -+=，整理得2230x x --=，解得123,1x x ==-，检验：当x =3时，x +1¹0；当x =-1时，x +1=0，∴原分式方程的解是x =3．【点睛】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的法则及步骤是解题的关键．38．x 1＝56，x 2＝18【分析】观察可得最简公分母是12x （2x ﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：方程的两边同乘12x （2x ﹣1），得24x 2+5（2x ﹣1）＝36x （2x ﹣1），整理，得48x 2﹣46x +5＝0，即()()65810x x --=解得x 1＝56，x 2＝18，检验：当x ＝56或18时，x （2x ﹣1）≠0．即原方程的解为：x 1＝56，x 2＝18．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．39．83x =-【分析】将分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，注意分式方程的结果要进行检验．【详解】解：整理，得：1641(2)2xx x x +=--，去分母，得：216(2)4x x x +-=，221624x x x +-=，232160x x +-=，(2)(38)0x x -+=，解得：12x =，283x =-，检验：当2x =时，(2)0x x -=，2x \=不是原分式方程的解，当83x =-时，(2)0x x -¹，83x \=-是原分式方程的解，\分式方程的解为83x =-．【点睛】本题考查解分式方程，解一元二次方程，掌握解分式方程和因式分解法解一元二次方程的步骤是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验．40．2x =-【分析】先去分母化为整式方程求解，最后记得检验即可．【详解】解：原方程可化为()()2121111x x x x --=-+-去分母得()()()()211211x x x x -+-=+-，解得11x =，22x =-经检验11x =是增根，2x =-是原方程的解，\原方程的解为2x =-．故答案为2x =-．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握一般步骤是解题的关键，需要注意的是最后要记得检验是否为方程的根．。
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一元二次方程概念与解法测试题
姓名： 得分： ⑤2
2230x x x
+-=；⑥x x 322
+=；⑦231223x x -+=
；是一元二次方程的是 。
3．下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A .2(2)210m x x ---=
B .2530k x k ++=
C 21203x --= D.22
340x x +-=
4、已知关于x 的一元二次方程5)12(2
=+--a x a x 的一个解为1，则a= 。
5．方程22(4)(2)310m x m x m -+-+-=，当m = 时，为一元一次方程； 当m 时，为一元二次方程。
6．已知关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=有一个解是0，则m = 。
8、2
2
___)(_____6+=++x x x ； 2
2
____)(_____3-=+-x x x
9、方程0162
=-x 的根是 ; 方程 0)2)(1(=-+x x 的根是 ;
10、如果二次三项式16)122
++-x m x （
是一个完全平方式，那么m 的值是_______________. 11、下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）； A 、02
=++c bx ax B 、
2112
=+x x
C 、122
2-=+x x x D 、)1(2)1(32+=+x x 12、方程()()2
4330x x x -+-=的根为（ ）；
（A ）3x = （B ）125x = （C ）12123,5
x x =-= （D ）1212
3,5x x ==
13、解下面方程：（1）()2
25x -=（2）2320x x --=（3）2
60x x +-=，较适当的方法分别为（ ） （A ）（1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法（B ）（1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法 （C ）（1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法（D ）（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法 14、方程5)3)(1(=-+x x 的解是 （ ）；
A. 3,121-==x x
B. 2,421-==x x
C. 3,121=-=x x
D. 2,421=-=x x 15、方程0322
=-+x x 的两根的情况是（ ）；
A 、没有实数根；
B 、有两个不相等的实数根
C 、有两个相同的实数根
D 、不能确定 16、一元二次方程0624)2(2
=-+--m mx x m 有两个相等的实数根，则m 等于 （ ） A. 6- B. 1 C. 6-或1 D. 2
17、以3和1-为两根的一元二次方程是 （ ）；
（A ）0322=-+x x （B ）0322=++x x （C ）0322=--x x （D ）0322
=+-x x
18．用适当的方法解下列方程：
（1）2925x = （2）216810x -= （直接开平方法） （3）24(3)250x --=
（4）x x 432
=
（5）0)2(3)2(5=---x x x
（6）204)5(2
+=+x x
（7）x （x ＋1）－5x ＝0. （8）)3(2)3(32
x x -=- （因式分解法）（9）(23)(4)(32)(15)x x x x -+=--
（10）2
2
)23(x x =-
（11）=++1692
x x 0
（12）=+-3322
y y 0
（13）2314x x -= （公式法） （14）235(21)0x x ++= （配方法） 解方程x 2－|x －1|－1=0.。