高中数学§9.3.1直线与平面垂直的判定教案
直线与平面垂直的判定教案
直线与平面垂直的判定教案教案目标：1. 学生理解直线与平面垂直的定义和性质。
2. 学生了解判断直线与平面垂直的方法和步骤。
3. 学生能够独立判断直线与平面是否垂直。
教学重点：1. 直线与平面垂直的定义和性质。
2. 判断直线与平面垂直的方法和步骤。
教学难点：学生能够独立判断直线与平面是否垂直。
教学准备：1. 教师准备黑板、白板、多边形立体模型、教案、ppt等教学工具。
2. 学生准备课本、笔记本等学习工具。
教学过程：Step 1：导入新课（10分钟）1. 教师出示一张图片，上面有一根直线和一个平面。
2. 教师向学生提问：“你知道什么是直线与平面垂直吗？”3. 学生回答后，教师引导学生回忆直角三角形的概念和性质。
Step 2：讲解直线与平面垂直的定义和性质（10分钟）1. 教师向学生介绍直线与平面垂直的定义和性质。
2. 讲解直线与平面垂直的性质包括：从直线外到直线的过渡线段与平面的交点恰好一个。
Step 3：讲解判定直线与平面垂直的方法和步骤（10分钟）1. 教师向学生介绍判定直线与平面垂直的方法和步骤。
2. 讲解判定直线与平面垂直的方法包括确定直线的方向向量和平面的法向量，判定直线与平面垂直的方法包括直线的方向向量和平面的法向量相互垂直。
Step 4：练习判定直线与平面垂直的方法（15分钟）1. 教师出示多边形立体模型，向学生提问：判断模型中的哪些直线与平面垂直？2. 学生进行思考并回答。
3. 教师讲解判断的具体步骤和方法。
4. 学生进行练习，判断多边形立体模型中的其他直线与平面是否垂直。
Step 5：巩固和拓展（10分钟）1. 教师设计一些情境问题，让学生运用所学知识判断直线与平面是否垂直。
2. 学生主动回答问题，教师进行指导和解答。
Step 6：总结课堂内容（5分钟）1. 教师让学生总结本节课的内容和重点。
2. 教师回顾本节课的重点和难点，并展示总结。
Step 7：家庭作业布置（5分钟）1. 教师布置家庭作业，要求学生练习判定直线与平面垂直的方法。
直线与平面垂直判定 说课稿 教案 教学设计
直线与平面垂直判定(一)教学目标1、知识与技能:掌握直线与直线、直线与平面垂直的定义以及直线与平面垂直判定定理及推论2、过程与方法:在教学过程中不断渗透数学思想,培养学生的数学能力.(1)空间想象能力:通过实际操作和联系实际,发展学生的几何直观能力;对空间图形位置关系的认识,遵循了从直观到抽象,从特殊到一般的过程,从平面到空间的过程;图形的运动,帮助学生理清空间关系,这些过程都培养了学生空间想象能力(2)逻辑思维能力:通过对判定定理和其推论的证明以及应用,加强学生逻辑思维能力和推理论证能力的培养.(3)转化的思想方法:把空间中的线面关系转化为熟知的线线关系.(4)应用意识和能力:用向量来证明直线与平面垂直判定定理培养了学生应用向量知识来解决实际问题得意识和能力.例题是实际问题培养了学生应用数学知识解决实际生活中的问题的应用意识.3、情感、态度与价值观: 直线与平面垂直判定定理的教学让学生体验“提出问题-------思考------实验发现-------猜想(调整猜想)------论证-----结论-------反思”这一研究问题的全过程,调动了学生发现并解决问题的积极性,教育学生在研究问题时要有严谨的态度,科学的方法.(二)教学重点与难点教学重点:直线与平面垂直的定义,直线与平面垂直判定定理及应用.教学难点:直线与平面垂直判定定理的发现与用向量知识进行证明的过程复习巩固目前学习的空间直线有哪些位置关系?新课讲解一、直线与平面垂直的概念(一)空间中直线与直线垂直:强调:(1)两直线交于一点或平移后交于一点(2)交角为直角特别强调两条异面直线垂直是指将其中一条直线平移与另一条直线相交且交角为直角.请学生在教室中找出一些互相垂直的异面直线.设计意图:(二)直线与平面垂直1、观察:旗杆与地面的位置关系,直立的人与地面的位置关系,吊灯的线与地面的位置关系.设计意图:2、操作:一名学生演示一根细木棍l 固定,另一支细木棍m 绕的l 中点保持垂直同时旋转(其他学生可以用两只笔进行实验),学生观察并思考:(1)木棍m 所在直线运动轨迹是什么?(2)木棍l 与木棍m 的运动轨迹的位置关系是什么?教师演示电脑课件:两条直线垂直相交,其中一条旋转,形成一个平面.设计意图:通过实际操作让学生加深对线面垂直的理解;通过观察直线绕一点旋转成面的过,让学生体会直线不仅通过平移运动能成平面,旋转运动也能成平面,但注意旋转的条件,增强学生从运动的观点看线面关系的意识,同时培养学生的空间想象能力.3、直线与平面垂直的定义:文字语言:图形语言:符号语言:注:直线与平面垂直的定义中我们可以得到(1) 直线与平面垂直的性质:如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直线垂直.即 直线,l a l a αα⊥⊂⇒⊥平面且直线(2) 直线与平面垂直的判定:定义本身二、直线与平面垂直判断定理的教学思考:直线与平面互相垂直的定义为判段直线与平面平行提供了一种方法,但证明一条直线与平面内任意一条直线垂直是不可操作的,能否将这个条件简化,通过直线与平面内的有限条直线垂直来判断出直线与平面垂直呢?操作:拿一张矩形的纸对折后略微展开,判断折痕AB 与线段CB,BD 的位置关系; (,AB CB AB DB ⊥⊥);将折后的纸竖立在桌面上,观察折痕与桌面的关系.(折痕与桌面垂直)猜想:若学生猜想:若一条直线垂直与平面内的两条直线,则这条直线垂直于已知平面;反例,如图引导学生观察: “操作”中CB,BD 交于点D,因此调整猜想: 一条直线垂直与平面内的两条相交直线,则这条直线垂直于已知平面;论证:已知：直线,,a b l 和平面α，,a b αα⊂⊂,a b O ⋂=,且,la lb ⊥⊥求证：l α⊥证明：如图,设i 与j 分别是直线a ,b 上的单位向量, 平面α内任意一条直线c ,c 是直线c 上一单位向量,l 是直线l 上的单位向量,以{},i j 为基底, c =m i +n j因为,la lb ⊥⊥ 所以,l i l j ⊥⊥所以0,0l i l j ==所以()0l c l mi n j ml i nl j =+=+=所以l c ⊥,所以直线l c ⊥因为c 为平面α内任意一条直线所以l α⊥结论:直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这直线与这个平面垂直条数学语言：,,a b a b O l l a l b ααα⊂⊂⎫⎪⋂=⇒⊥⎬⎪⊥⊥⎭图形语言： 反思:判定一条直线与平面垂直的条件可以简化为:这条直线与平面内的一条直线垂直吗?不能,举反例设计意图:“提出问题-------思考------实验发现-------猜想(调整猜想)------论证-----结论-------反思”这一研究问题的全过程,教给学生研究问题的方法,培养学生发现问题,研究问题,解决问题的意识和能力; “操作”同过直观培养了学生的空间想象能力, 从“操作”到“猜想”是从直观到抽象的过程,这个过程培养了学生把生活中的问题抽象成数学问题的能力;整个研究过程不断引导学生进行思考,能很好地调动学生的思维.选择向量的方法证明判定定理，既可以便于学生理解，又能巩固向量的知识，应用向量知识来解决问题，体现向量的工具作用，培养学生用向量知识解决几何问题的意识。
直线与平面垂直的判定教学设计及反思
直线与平面垂直的判定一、教学目标1、知识与技能（1）掌握直线和平面垂直的定义及判定定理（2）掌握判定直线和平面垂直的方法（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
2、过程与方法（1）感受直线和平面垂直的定义的形成过程；（2）探究判定直线与平面垂直的方法。
3、情感态度与价值观：培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。
二、教学重点、难点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
三、教学设计（一）创设情景，揭示课题举例：旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系。
模型演示：直棱柱的侧棱与底面的位置关系。
教师让学生观察旗杆与地面的位置关系，观察课桌腿与教室地面及立在桌上的课本和桌面的位置关系并请同学们交流讨论怎样定义直线与平面垂直？（二）研探新知1. 教师提出问题：（1）一条直线垂直于一个平面内的一条直线那么这条直线垂直于这个平面吗？（2）一条直线垂直于一个平面内的无数条直线那么这条直线垂直于这个平面吗？（3）一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线那么这条直线垂直于这个平面吗？（通过学生的交流讨论教师补充）结论：直线与平面垂直的定义：直线l与平面内α的任意一条直线都垂直则这条直线垂直于这个平面。
记作：l ⊥α。
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，垂线与平面的交点P叫做垂足。
2. 教师再次提出问题：如何判定一条直线垂直于一个平面呢？同学们有什么方法吗？下面我和同学们一起做这样一个活动（1）探究：准备一块三角形纸片。
过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD 、DC 与桌面接触）。
问题：① 折痕AD 与桌面所在平面α垂直吗？② 如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在平面α垂直？（AD 是BC 边上的高）（2）同学们思考：① 有人说，折痕AD 所在直线已桌面所在平面α上的一条直线垂直，就可以判断AD 垂直平面α ，你同意他的说法吗？② 如图，由折痕AD ⊥BC ，翻折之后垂直关系不变，即AD ⊥CD ，AD ⊥BD ，由此你能得到什么结论？（3）归纳结论：直线与平面垂直的判定定理 ：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
直线与平面垂直的判定(教学设计)
教学设计直线与平面垂直的判定一．教材分析直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的根底，是空间中垂直关系转化的重心，同时它又是直线和平面所成的角、直线与平面、平面与平面距离等内容的根底，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。
二．学情分析学生已经学习了直线、平面平行的判定及性质，学习了两直线〔共面或异面〕互相垂直的位置关系，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论〞的体会，有了一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能力。
三．教学目标根据新课标要求和和教学内容的构造特征，学生获得知识、技能、方法及情感、态度、价值观等方面的要求，结合学生的实际水平，制定本节课的教学目标如下：〔1〕使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；〔2〕使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；〔3〕引导学生学会观察、发现问题、提炼结论，使他们在直观感知，操作确认的根底上学会归纳、概括结论。
〔1〕通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；〔2〕通过学生动手实践，亲身经历数学知识的形成过程，体验探究的乐趣，增强学习数学的兴趣。
培养学生学会从“感性认识〞到“理性认识〞过程中获取新知。
培养学生认真参与积极交流的主观意识；勇于探索新知的精神。
渗透由具体到抽象的思想及事物间相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。
四．教学重点、难点依据新课标要求及本节课在高中数学中的地位和作用确定以下重点和难点教学重点：直线与平面垂直的定义和判定定理。
教学难点：直线与平面垂直定义的正确理解；判定定理的探究和线线垂直与线面垂直关系的灵活相互转化。
五．教法和学法教法：讲授法；探究法；多媒体辅助教学法。
学法：本节课注重让学生认真观察分析、积极思考、主动探索、合作交流，尽可能增加学生参与课堂的时间；通过练习使学生稳固知识，熟练应用知识解决简单问题。
六．教学环境和教学用具教学环境：多媒体教室；教学用具：利用计算机多媒体课件辅助教学，黑板、三角板，自制三角形纸片，正方体模型，课本〔表示平面、书脊表示直线〕。
直线与平面垂直的判定—教学设计【教学参考】
直线与平面垂直的判定 (1)—教学设计【教学参考】
2.3.1直线与平面垂直的判定
教学目标
1. 知识目标
（1）掌握直线与平面垂直的定义
（2）理解并掌握直线与平面垂直的判定定理
（3）会判断一条直线与一个平面是否垂直
2.能力目标
（1）培养学生的空间想象能力和对新知识的探索能力
（2）加强学生空间与平面之间的转化意识，训练学生的思维灵活性
3.情感目标
（1）培养学生的探索精神
（2）加强学生对数学的学习兴趣
二、重点难点
1.教学重点：直线与平面垂直的定义及其判定定理
2.教学难点：直线与平面垂直判定定理的理解
三、。
直线与平面垂直的判定教案.doc
直线与平面垂直的判定一、教学目标1.借助对实例、图片的观察，能够准确说出直线与平面垂直的定义，并能写出其符号的表达式。
2.学生能够归纳出直线与平面垂直的判定定理，说出其中的关键字眼。
3.能够运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
二、教学重点、难点重点：直线与平面垂直的定义和直线与平面垂直判定定理的探究；难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用．三、教学过程1. 从实际背景中感知直线与平面垂直的形象问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？(一学生用教具演示)问题2：在日常生活中你见到最多的直线与平面垂直的情形是哪种？试举例说明．（师生互动）2.提炼直线与平面垂直的定义问题3：(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子的位置也会移动,而旗杆AB与影子所成的角度是否会发生改变?教师引导学生发现：旗杆AB所在的直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直．(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么？引导学生再发现：旗杆AB所在的直线也与地面上任意一条不过点B的直线垂直．教师：现在，你能给直线与平面垂直下个定义吗？请学生用自己理解的语言概括定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.教师继而引导学生用数学符号与图形语言表述之）教师：这样我们就从线与线的垂直来定义线面垂直．即把空间问题转化为了平面问题．你对定义中的“任意”两个字是如何理解的？思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？对问（1），在学生回答的基础上教师可用直角三角板在黑板上直观演示,或引导学生：可将教材中每一行字看成平行线,当钢笔所在直线与其垂直时,钢笔不一定就与教材所在平面垂直；教师引导学生体悟：线线垂直线面垂直线线垂直的转化思想教师：通常定义可以作为判定依据，但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，因为我们无法去一一检验．那么，是否有更简捷、可行的方法来判定直线与平面垂直呢？3.探究直线与平面垂直的判定定理（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们先一起来做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）问题4：（1）折痕AD与桌面所在的平面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？提出问题让学生思考：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？根据学生思考情况启发学生可从线与线的位置关系来考虑．再提出:使得折痕与桌面所在平面垂直的的关键因素是什么？问题5：如果我们把折痕抽象为直线，把桌面抽象为平面(如图3)，那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？对于两条相交直线必须在平面内这一点，教师可引导学生操作：将纸片绕直线AD（点D始终在桌面内）转动，使得直线CD、BD不在桌面所在平面内．问：直线AD现在还垂直于桌面所在平面吗？（此处引导学生认识到直线CD、BD都必须是平面内的直线）问题6：如果，将图3中的两条相交直线、的位置改变一下，仍保证，（如图4）你认为直线还垂直于平面吗？教师:这说明了什么?要判断一条直线和一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的.根据试验，你能给出直线与平面垂直的判定方法吗？学生叙写判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则称该直线与此平面垂直.给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化，然后紧接着进行相应的命题巩固练习。
直线与平面垂直的判定教案
直线与平面垂直的判定教案教案标题：直线与平面垂直的判定教案教学目标：1. 理解直线与平面垂直的概念，并能判断给定直线与平面是否垂直。
2. 掌握判定直线与平面垂直的条件。
3. 运用所学知识解决相关问题并拓展思维。
教学内容：1. 直线与平面垂直的概念2. 判定直线与平面垂直的条件3. 相关问题的解决和应用教学步骤：Step 1: 引入新概念在课堂一开始，通过问题或实例引入直线与平面垂直的概念。
可以使用身边的物体作为例子，如直线与桌面的垂直关系等，引起学生的兴趣。
Step 2: 讲解直线与平面垂直的概念通过讲解和示意图，向学生明确直线与平面垂直的定义。
强调直线与平面的交角为90度。
Step 3: 判定直线与平面垂直的条件详细讲解判定直线与平面垂直的条件，并提供示例进行讲解和演示。
可通过几何性质、垂直投影等方法探讨。
Step 4: 练习与巩固让学生进行一些练习，巩固所学内容。
可以包括选择题、判断题、填空题和应用题等多种形式，以检验学生的理解和掌握。
Step 5: 拓展思维针对学生思维的扩展，提供一些拓展问题，让学生运用所学知识解决更复杂的问题，激发学生的思考和创造力。
Step 6: 总结与归纳对直线与平面垂直的判定条件进行总结和归纳，让学生对所学知识形成更加清晰的概念框架。
Step 7: 实例分析选择一个实际问题，如垂直过马路的斑马线设计等，引导学生运用所学知识分析并解决该问题，培养学生应用知识解决实际问题的能力。
Step 8: 作业布置布置相关作业，包括练习题和思考题，让学生巩固所学内容，并鼓励他们在课外积极拓展学习。
Step 9: 教学反思回顾教学过程，总结教学效果，尝试找出不足之处，以便今后的教学改进。
教学资源：1. 手绘的直线与平面垂直示意图2. 相关练习题和答案3. 讲义和教学课件（可选择性使用）教学评估：通过课堂练习、问题解答以及作业的批改等方式进行学生的教学评估。
评估可以分为定性和定量评估，以全面了解学生对直线与平面垂直判定的掌握情况。
《直线与平面垂直的判定》教学设计
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与直线与平面垂直相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用三角板和直尺制作一个垂直于地面的直线模型。
-举例：分析建筑设计中的垂直结构，如墙壁与地面、柱子与梁的垂直关系，让学生学会在实际问题中运用判定定理。
在教学过程中，教师应针对重点内容进行详细讲解和强调，通过举例、演示等方式帮助学生突破难点，确保学生能够透彻理解直线与平面垂直的判定方法及其在实际问题中的应用。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
《直线与平面垂直的判定》核心素养目标：
1.培养学生的空间观念：通过直观演示、动手操作和合作交流，让学生掌握直ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与平面垂直的定义及判定方法，提高对空间几何体的认识和理解，发展空间想象力。
2.培养学生的逻辑推理能力：在学习直线与平面垂直判定定理的过程中，引导学生运用逻辑推理方法，学会从特殊到一般、从具体到抽象的分析和解决问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解直线与平面垂直的基本概念。直线与平面垂直是指直线与平面内的任意一条直线都垂直。这个概念在几何学中具有重要意义，它帮助我们更好地理解和分析空间几何体的结构。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以教室里的黑板为例，分析黑板与地面、墙壁与地面的垂直关系，展示直线与平面垂直在实际中的应用。
3.培养学生的数学建模能力：通过实际生活中的实例，让学生学会将实际问题抽象为数学模型，运用数学知识解决实际问题，提高数学应用意识。
直线与平面垂直的性质教案
直线与平面垂直的性质教案教案：直线与平面垂直的性质一、教学目标1.知识目标：了解直线与平面的垂直关系，并掌握直线与平面垂直的性质。
2.能力目标：能够判断直线与平面是否垂直，并能够运用垂直的性质解决问题。
3.情感目标：培养学生对数学的兴趣，激发学习的主动性。
二、教学重点三、教学难点如何判断直线与平面是否垂直。
四、教学准备教师准备：教学课件、黑板、白板、绘图工具等。
学生准备：课本、笔记本等。
五、教学过程Step1：导入新知1.通过引入两个概念：“直线”和“平面”，并介绍其定义、性质和符号表示。
2.通过实际示例，引导学生思考并提出问题：“直线与平面之间是否存在一种特殊的关系？”“你认为直线与平面有什么样的垂直关系？”3.引导学生观察周围环境中直线与平面的垂直关系，并与学生一起讨论。
Step2：理论讲解1.引入直线与平面垂直的定义：“如果直线与平面上的任意一条直线都垂直相交，那么称这条直线与这个平面垂直。
”2.讲解直线与平面垂直的性质：（1）直线与平面垂直的定理：在同一个平面内，如果一条直线与另一条直线垂直相交，则它们与该平面垂直。
（2）直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面垂直的充分必要条件是这条直线上有一点在这个平面上，且在这个平面上有一般的直线与这条直线垂直。
3.讲解直线飞平面垂直的表示方法：以垂直符号“⊥”表示。
Step3：示例演练1.给出一些具体问题，引导学生分析并判断直线与平面是否垂直，并用判定定理进行解答。
例如：过一个点作平面外的一条直线，该直线与这个平面有什么样的关系？2.引导学生根据给定的条件使用垂直的性质进行证明，以锻炼思维能力。
Step4：归纳总结1.让学生复习并总结判定直线与平面垂直的方法和性质。
2.强化学生对垂直符号“⊥”的理解和应用。
Step5：拓展应用将所学的直线与平面垂直的知识应用到实际问题中，例如建筑工程、地理测量等领域，培养学生运用数学知识分析和解决实际问题的能力。
《直线与平面垂直的判定》教学设计(优质课)
直线与平面垂直的判定（一）教学目标1．知识与技能（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）使学生掌握直线和平面所成的角求法；（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论.2．过程与方法（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；（2）探究判定直线与平面垂直的方法.3．情态、态度与价值观培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.（二）教学重点、难点重点：（1）直线与平面垂直的定义和判定定理；（2）直线和平面所成的角.难点：直线与平面垂直判定定理的探究.将翻折后的纸片竖起放线还是两条直线？师：怎么证明？证明：在平面α内作两条相交但不与这个平面垂直，和平面A1B1CD所成2．过△ABC所在平面P，作PO⊥α，垂足为1．直线和平面垂直的定义判定2．直线和平面所成的角定义与备选例题例1 如图，在空间四边形ABCD 中，AB = AD ，CB = CD ，M 为BD 中点，作AO ⊥MC ，交MC 于O ．求证：AO ⊥平面BCD ．【解析】连结AM∵AB = AD ，CB = CD ，M 为BD 中点． ∴BD ⊥AM ，BD ⊥CM ．又AM ∩CM = M ，∴BD ⊥平面ACM ． ∵AO 平面ACM ，∴BD ⊥AO ．又MC ⊥AO ，BD ∩MC = M ，∴AO ⊥平面貌BCD ．【评析】本题为了证明AO ⊥平面BCD ，先证明了平面BCD内的直≠线垂直于AO 所在的平面．这一方法具有典型性，即为了证明线与面的垂直，需要转化为线与线的垂直；为了解决线与线的垂直，又需转化为另一个线与面的垂直，再化为新的线线垂直．这样互相转化，螺旋式往复，最终使问题得到解决．例2 已知棱长为1的正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值．【解析】取CD 的中点F ，连接EF 交平面ABC 1D 1于O ，连AO ． 由已知正方体，易知EO ⊥ABC 1D 1，所以∠EAO 为所求． 在Rt △EOA 中，11122EO EF AD ===，AE =，sin ∠EAO =EO AE =．所以直线AE 与平面ABC 1D 1 【评析】求直线和平面所成角的步骤： （1）作——作出斜线和平面所成的角；（2）证——证明所作或找到的角就是所求的角；（3）求——常用解三角形的方法（通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角形） （4）答．。
《直线与平面垂直的判定》教学设计
《直线与平面垂直的判定》教学设计一、背景分析：直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中线线垂直位臵关系的拓展，又是面面垂直的基础，是空间中垂直位臵关系间转化的重心，同时它又是直线和平面所成的角等内容的基础，因而它是点、直线、平面间位臵关系中的核心概念之一．对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程展开，而对直线与平面垂直的判定定理的研究则遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程展开，通过该内容的学习，能进一步培养学生空间想象能力，发展学生的合情推理能力和一定的推理论证能力，同时体会“平面化”思想和“降维”思想．教学重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理．二、学情分析：学生已经学习了直线、平面平行的判定及性质，学习了两直线（共面或异面）互相垂直的位臵关系，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能力．在直线与平面垂直的判定定理中，为什么至少要两条直线，并且是两条相交直线，学生的理解有一定的困难，因为定义中“任一条直线”指的是“所有直线”，这种用“有限”代替“无限”的过程导致学生形成理解上的思维障碍．同时，由于学生的空间想象能力、推理论证能力有待进一步加强，在直线与平面垂直判定定理的运用中，不知如何选择平面内的两条相交直线证线面垂直（抑或选择平面证线面垂直从而得到线线垂直）导致证明过程中无从着手或发生错误．教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用．三、教学目标：1.借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义．2.通过直观感知、操作确认，归纳、概括出直线与平面垂直的判定定理．3.能运用直线与平面垂直的判定定理，证明与直线和平面垂直有关的简单命题。
四、教学过程：环节一：（复习引入）1.直线和平面的位臵关系是什么?（1）直线在平面内（无数个公共点）（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）（3）直线和平面平行（没有公共点）2.线面平行的判定定理的内容是什么?如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.3.线面平行的性质定理的内容是什么?如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行设计意图：通过对所学知识的提问与回答能使学生较快的进入到课堂情景环节二：观察归纳直线与平面垂直的定义1.直观感知问题1：请同学们观察图片，说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位臵关系？你能举出一些类似的例子吗？设计意图：从实际背景出发，直观感知直线和平面垂直的位臵关系，使学生在头脑中产生直线与地面垂直的初步印象，为下一步的数学抽象做准备．师生活动：观察图片，引导学生举出更多直线与平面垂直的例子，如教室内直立的墙角线和地面位臵关系，桌子腿与地面的位臵关系，直立书的书脊与桌面的位臵关系等，由此引出课题．2.探究:什么叫做直线和平面垂直呢?当直线与平面垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢?我们已经学过直线和平面平行的判定和性质，知道直线和平面平行的问题可转化为考察直线和平面内直线平行的关系,直线和平面垂直的问题同样可以转化为考察一条直线和一个平面内直线的关系，然后加以解决．问题2：（1）如图1，在阳光下观察直立于地面旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在的直线与影子所在直线位臵关系是什么？（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位臵关系又是什么？随着时间的变化，尽管影子的位臵在移动，但是旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直（如图），事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线也是垂直的。
直线与平面垂直的判定教学设计
直线与平面垂直的判定教学设计【教学目标】知识与技能1、明白得直线与平面垂直的相关概念。
2、把握直线与平面垂直的判定定理。
过程与方法1、通过定理的探究过程，培养和提高学生的探究能力和动手能力。
2、通过对直线与平面垂直的感性认识进一步培养学生的空间想象能力。
情感态度价值观通过探究过程进一步培养学生学习空间几何的爱好。
【重点难点】重点1、直线与平面垂直的相关概念。
2、直线与平面垂直的判定定理。
难点直线与平面垂直的判定定理的应用。
【教学过程】一、新课引入与讲授I 直线与平面垂直的定义教学1、举现实生活中直线与平面垂直的实例，并结合课件中图片在课堂展现，给学生直线与平面垂直的感性认识。
进而提出问题：一条直线与一个平面垂直的数学定义是什么?2、课件展现课本P67图2.3-2，并进行相关的分析说明，从而引出直线与平面垂直的定义。
3、引出定义后介绍相关名词，如垂足等。
4、叫几个学生上台在黑板上表示一条直线与一平面垂直，这时学生可能会画出多种表示形式，再依照学生的画法，纠正错误的，确信正确的(要是有正确画法的话)，再引导学生给出正确的表示方法。
II 直线与平面垂直的判定定理教学1、学习过定义后，提出问题：定义尽管能够判定一条直线与一个平面垂直，然而比较困难，那么除此之外还有什么方法呢?2、带领学生带着上述问题做课本P68的探究试验(该试验已于上次课布置学生作了必要的预备，如三角形纸片等)。
3、在试验中引导学生发觉当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直;引导学生这时AD的特点：与BD、CD垂直，顺势引出判定定理。
4、结合图形，让学生上台写出定理的符号形式，并加以更正讲解。
5、点评定理的地位：表达线面垂直与线线垂直互相转化的数学思想;及注意点：两条直线要相交。
6、讲解例1及例2，其中讲解例2时补充一个证明方法(利用定理直截了当证明)并点评。
7、让给一定时刻让学生做课堂练习并讲解。
二、小结1、回忆直线与平面垂直的定义。
高中数学直线与平面垂直的判断教案
2.3.1直线与平面垂直的判定(第1课时)一、教学目标1、学生能从生活中的具体实例感知概括线面垂直的特征，解释“直线与平面垂直〞的含义．2、学生通过参与折纸试验，归纳和确认直线与平面垂直的判定定理，并尝试用数学语言〔文字、符号、图形语言〕对定义、定理进行准确表述．3、学生在探究活动中会用直线与平面垂直的定义和判定定理进行简单的推理论证，并体会线线垂直与线面垂直相互转化的数学思想，从而更好地开展学生的合情推理能力和演绎推理能力，培养其空间想象能力．二、难点及突破策略难点：对直线与平面垂直的定义的理解和对判定定理的探究．突破策略：1．理解直线与平面垂直的定义，让学生认识到线面垂直是用线线垂直来刻画的，逐步形成概念体系，体会其中的转化思想，这对于高一的学生来讲是比拟困难的．所以在设计教学时，首先通过一组图片让学生直观感知直线与平面垂直的具体形象，然后将其抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确的描述，让学生在此过程中体会直线与平面垂直定义的合理性．2．用定义去判定直线与平面垂直是不方便的，如何在较短的时间内，让多数学生找到判定直线与平面垂直的简便方法，这需要一个较好的载体，去引导学生探究直线与平面垂直的判定定理，同时完成对定理条件确实认．三、教学方法〔1〕建构直线与平面垂直的概念时，学生自主举例，归纳特征，数学语言〔文字、符号、图形语言〕对定义、定理进行准确表述，完善概念．〔2〕探究直线与平面垂直的判定定理时，根据学生已有学习根底，通过观察、感知、实践、比照，开展自主研究，并通过汇报交流相互提升．〔3〕定理应用阶段，学生自主研讨发现垂直关系的转化，初步体验定理的应用．四、教学过程1、创设情境引入新课复习空间直线与平面的位置关系，在此根底上提出本节课将重点研究线面的垂直关系．前几节课我们已经对直线与平面平行的概念、判定、性质进行了研究，对于直线与平面相交存在着一种特殊位置关系——垂直．前面我们已经学习了通过两条异面直线所成角为90来判断两条直线垂直，那么直线与平面的垂直关系如何从理论上认识呢？2、联系实际感知定义师：同学们能否举出一些日常生活中直线与平面垂直的例子吗？师：引导学生动手操作身边实例：将书翻开直立于桌面．[问题1]将一本书翻开直立在桌面上，观察书脊〔想象成一条直线〕与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？[问题2]地面上竖立的旗杆与地面的位置关系给人以什么感觉？[问题3]在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，影子BC的位置在移动，在各时刻旗杆AB所在直线与影子BC所在直线的位置关系如何？使其发现：旗杆所在直线l与地面所在平面α内经过点B的直线都是垂直的．进而提出问题：那么直线l 与平面α内不经过点B的直线垂直吗？为什么？三、实验探索互动交流1．总结定义师生活动：学生答复，教师补充完善，指出定义中的“任意一条直线〞与“所有直线〞是同意词，同时给出直线与平面垂直的记法与画法．定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l与平面α互相垂直，记作：l⊥α．直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．2．理解定义练习1：以下命题：①如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l 与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；④如果直线l⊥α，则直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直．其中正确命题的序号是3、归纳定理师：如果用定义判断一条直线与一个平面是否垂直，需要寻求平面内的任意一条直线都与该直线垂直，显然不好操作．能否在平面内寻求有限条直线与该直线存在某种位置关系，从而，推断出直线与平面垂直呢？问题1：〔1〕折痕AD与桌面垂直吗？〔2〕如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？师生活动：在折纸试验中，学生会出现“垂直〞与“不垂直〞两种情况，引导学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直〞的原因．学生再次折纸，经过讨论交流，发现当且仅当折痕AD是BC 边上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD与桌面垂直．问题2: 由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系，即AD⊥CD，AD⊥BD发生变化吗？由此你能得到什么结论？师生活动：师生共同分析折痕AD是BC边上的高时，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD．这就是说，当AD垂直于桌面内的两条两条相交直线CD、BD时，它就垂直于桌面．问题3：〔1〕〔如图3〕把AD、BD、CD抽象为直线l、m、n，把桌面抽象为平面α，直线l与平面α垂直的条件是什么？〔2〕〔如图4〕假设α内两条相交直线m、n与l无公共点且l⊥m、l⊥n，直线l还垂直平面α吗？由此你能给出判定直线与平面垂直的方法吗？师生活动：学生表达结论，不完善的地方教师引导、补充完整，并结合“两条相交直线确定一个平面〞的事实作简要说明．然后让学生用图形语言与符号语言来表示定理．指出定理表达了“直线与平面垂直〞与“直线与直线垂直〞互相转化的数学思想．定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号语言：.,,,,ααα⊥⇒=⊂⊂⊥⊥l A n m n m n l m l四、新知举例1．例题剖析例1 ：.,//α⊥a b a 求证：.α⊥b证明：在平面α内作两条相交直线n m ,．因为直线α⊥a ，根据直线与平面垂直的定义知n a m a ⊥⊥,；又因为b a //，所以n b m b ⊥⊥,；又因为α⊂m ，，α⊂n ，n m ,是两条相交直线，所以α⊥b ．２．随堂练习练习2 如图，在三棱锥V-ABC 中，VA=VC ，AB=BC ．求证：VB ⊥AC ． 生：学生小组讨论，代表发言，不完善之处，通过合作交流完善补充． 师：巡视，必要时参与讨论，关注局部探究意识与能力都薄弱的学生的表现，鼓励他们大胆发言．配合发言学生利用多媒体课件进行展示证明过程．α l n m Ol α n m O m α n a bVA CO]练习3 在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，PA=AB ，D 为PB 的中点，求证：AD ⊥PC ．探究题：1111D C B A ABCD -中，当底面四边形ABCD 满足什么条件时，有111D B C A ⊥，说明你的理由.[来源:学科网] 师生活动：学生小组合作分析：要证线线垂直，只需满足线面垂直，而要满足线面垂直，还需线线垂直，体会数学中线线垂直与线面垂直相互转化的思想．教师适当加以点拨．五、总结提炼〔1〕本节课我们学习了哪些知识？你有什么收获?〔2〕上述判断直线与平面垂直的方法表达了什么数学思想？六、课后思考〔1〕一个平面α和一个定点A ，则过A 点可作多少条直线与平面α垂直？〔2〕一条直线 l 和一个定点A ，则过A 点可作多少个平面与直线 l 垂直？〔3〕在正方体1AC 中，与直线1AC 垂直的棱和对角线有哪些？C 1 A A 1 B CD B 1 D 1。
直线与平面垂直的判定 说课稿 教案 教学设计
直线与平面垂直的判定●三维目标1．知识与技能(1)经历对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义．(2)通过直观感知、操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题．(3)理解直线与平面所成的角的概念，并能解决简单的线面角问题．2．过程与方法(1)通过类比空间的平行关系提高提出问题、分析问题的能力．(2)在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等化归的数学思想．(3)尝试用数学语言(文字、符号、图形语言)对定义和定理进行准确表述和合理转换．3．情感、态度与价值观经历线面垂直的定义和定理的探索过程，培养严谨与求实的学习作风，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度．●重点难点重点：直线与平面垂直的定义和判定定理．难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理．重难点突破：以日常生活中见到的线面垂直的实例为切入点，通过“展示物体的支架图片直观感知”和“折纸的操作探究”两条途径让学生经历由特殊到一般，由具体到抽象，让学生增加线面垂直的感性认识的同时突出重点、突破难点．【课前自主导学】课标解读1.了解直线与平面垂直的定义．(重点)2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(重点、难点)3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(重点、易错点)直线与平面垂直的定义【问题导思】1．在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线什么关系？【提示】垂直．2．如图，直线l与平面α内的无数条直线a，b，c，…都垂直，直线l与平面α一定垂直吗？为什么？【提示】不一定．当平面α内的无数条直线a，b，c…都互相平行时，直线l在保证与直线a，b，c，…都垂直的条件下，与平面α可能垂直也可能斜交．直线与平面垂直的定义文字语言图形语言符号语言如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们惟一的公共点P叫做垂足l⊥α直线和平面垂直的判定定理【问题导思】将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．观察折痕AD与桌面的位置关系．1．折痕AD与桌面一定垂直吗？【提示】不一定．2．当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？【提示】当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．文字语言图形语言符号语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥al⊥ba⊂αb⊂αa∩b＝P⇒l⊥α直线与平面所成的角1．定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．2．范围：设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°.3．画法：如图所示，斜线AP与平面α所成的角是∠P AO.【课堂互动探究】直线和平面垂直的定义下面叙述中：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【思路探究】与线面垂直的定义及线面垂直的判定定理进行对照，区分异同，分析条件变换的影响，辨析正误．【自主解答】①中若两条直线为平行直线，则这条直线不一定与平面垂直，所以不正确；②由定义知正确；③中直线与梯形的两腰所在直线垂直，则与梯形所在平面垂直，由定义知也与两底边所在直线垂直，所以正确；④中直线与梯形两底边所在直线垂直，则不一定与梯形所在平面垂直，故不一定与两腰所在直线垂直，不正确．故选B.【答案】 B1．直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．2．直线与平面垂直的定义的“双向”作用(1)证明线面垂直．若一条直线与一平面内任意一条直线都垂直，该直线与已知平面垂直．即线线垂直⇒线面垂直．(2)证明线线垂直．若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直．即线面垂直⇒线线垂直．有下列说法：①如果一条直线和一个平面平行，那么它和这个平面内的任意直线都不垂直．②如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．③过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A且垂直于a的平面内．其中错误的是()A．①②B．①③C．②③D．①②③【解析】①直线与平面平行，过该直线任作平面与已知平面相交，则直线与交线平行，可知平面内与交线垂直的所有直线都与已知直线垂直，①错误；②如果平面内的无数条直线是平行的，那么就不能得到直线和平面垂直的结论，②错误；③因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，所以过点A与直线a垂直的直线都在过点A且与a垂直的平面内，③正确．【答案】 A线面垂直的判定如图所示，Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.【思路探究】由于D是AC中点，SA＝SC，所以SD是AC边上的高，可证△SDB≌△SDA.由AB＝BC，则Rt△ABC是等腰直角三角形，所以BD⊥AC，利用线面垂直的判定定理即可得证．【自主解答】(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又SA＝SB，∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.(2)∵BA＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD，于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线．∴BD⊥平面SAC.1．使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决．2．证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义．(2)线面垂直的判定定理．(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.【证明】∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，又EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.求直线与平面所成的角如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角．【思路探究】(1)找A1B在平面AA1D1D内的射影，即为A1A.(2)找A1B在平面BB1D1D内的射影←证A1C1⊥平面BB1D1D←正方体的性质【自主解答】(1)∵AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，∴∠AA1B＝45°，∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.(2)连接A1C1交B1D1于点O，连接BO，∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，∴A1O⊥平面BB1D1D，∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角，设正方体的棱长为1，∴A1B＝2，A1O＝22.又∵∠A1OB＝90°，∴sin∠A1BO＝A1OA1B＝12，∴∠A1BO＝30°.∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.1．求直线和平面所成角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．2．在上述步骤中，作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口．如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值．【解】由题意知，A是M在平面ABC内的射影，∴MA⊥平面ABC，∴MC在平面CAB内的射影为AC.∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角．又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，∴MC＝BM sin∠MBC＝5sin 60°＝5×32＝532.在Rt△MAB中，MA＝MB2－AB2＝52－42＝3.在Rt△MAC中，sin∠MCA＝MAMC＝3532＝235.即MC与平面CAB所成角的正弦值为235.【易错易误辨析】因考虑不周全致误已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在平面α内的射影之间的距离为3，求直线AB和平面α所成的角．【错解】如图，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1，则AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝ 3.由点A向BB1作垂线，垂足为H，则AB与平面α所成的角即为AB与AH所成的角，即∠BAH为AB与平面α所成的角．在Rt△BHA中，AH＝A1B1＝3，BH＝BB1－AA1＝1，∴tan∠BAH＝BHAH＝13＝33，∴∠BAH＝30°，∴AB与平面α所成的角为30°.【错因分析】 上述错解的原因是思维不周密，没有考虑问题可能出现的其他情况．【防范措施】 平面α外两点A 、B 到平面α的距离分别为1和2，首先应想到A 、B 两点与平面α的位置关系，可分点A 、B 位于平面α的同侧和点A 、B 位于平面α的异侧两种情况分别求解．【正解】 ①当点A 、B 在平面α的同侧时，由以上知直线AB 与平面α所成的角为30°.②当点A 、B 位于平面α的异侧时，如图，由点A 、B 分别向平面α作垂线，垂足分别为A 1、B 1，AB 与平面α相交于点C ，A 1B 1为AB 在平面α上的射影，∴∠BCB 1或∠ACA 1为AB 与平面α所成的角．在Rt △BCB 1中，BB 1＝2，在Rt △AA 1C 中，AA 1＝1.∵△BCB 1∽△ACA 1，∴BB 1AA 1＝B 1C CA 1＝2， ∴B 1C ＝2CA 1，而B 1C ＋CA 1＝3，∴B 1C ＝233，∵tan ∠BCB 1＝BB 1B 1C ＝2233＝3，∴∠BCB 1＝60°，∴AB 与平面α所成的角为60°. 综合①、②可知：直线AB 与平面α所成的角为30°或60°.【课堂小结】1．线面垂直的定义具有双重性，既可以由线面垂直得出线线垂直，也可以由线线垂直得出线面垂直．2．求线面角的关键是找直线在相应平面内的射影，并借助直角三角形的边角关系求线面角．3．线线垂直和线面垂直体现了知识间的互化，在学习中体会等价转化思想．。
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§9.3.1直线与平面垂直的判定（2）
时间：2018、12、13 （总第69课时）
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；
（2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；
（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
2、过程与方法
（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；
（2）探究判定直线与平面垂直的方法。
3、情态与价值
培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。
二、教学重点、难点
直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
三、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。
2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。
（二）研探新知
1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。
然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。
如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
并对画示表示进行说明。
L
p
α
图2-3-1
2、老师提出问题，让学生思考：
（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。
有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？
（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？
A
B D C
图2.3-2
（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
老师特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思
想。
（三）实际应用,巩固深化
（1）课本P69例1教学
（2）课本P69例2教学
（四）归纳小结，课后思考
小结：采用师生对话形式，完成下列问题：
①请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。
②直线与平面垂直的判定
定理，体现的教学思想方法是什么？
课后作业:
①课本P70练习2
②求证：如果一条直线平行于一个平面，那么这个平面的任何垂线都和这条直线垂直。
思考题：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线就和这个平面垂直，这个结论对吗？为什么？
板书设计：
1、定义
2、判定
3、性质。