衔接点01 十字相乘法因式分解的强化-2020年【衔接教材暑假作业】初高中衔接数学(人教版)
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2020初高中数学衔接教材爱的新高一的同学们：祝贺你们步入高中时代，下面有一个摆在我们面前的棘手问题急需我们师生共同努力才能解决，即“初高中衔接问题”。
由于课程改革，目前我区初中是新课标，而高中也是新课程的学习，初高中不衔接问题现在显得比较突出。
面对教学中将存在的问题，我们高一数学组的老师们假期里加班加点，赶制了一份校本衔接教材，意在培养大家自学能力，同时降低同学们初高中衔接中的不适应度，希望大家将假期利用起来，一开学对这篇自学教材的学习将有相应的检测，愿大家为新学期做好准备。
现有初高中数学教材存在以下“脱节”：1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧；5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。
而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领；8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。
高中数学初高中衔接读本专题1.2十字相乘法高效演练学案word格式
第 2 讲十字相乘法因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。
在分式运算、解方程及各种恒等变形中起重视要的作用，是连续高中数学学习的一项基本技术。
因式分解的方法好多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法( 平方差公式和完满平方公式) 外，还有公式法( 立方和、立方差公式) 、十字相乘法和分组分解法等。
【知识梳理】1.乘法公式：初中已经学习过了以下乘法公式：（ 1）平方差公式(a b)(a b)a2b2；（ 2）完满平方公式(a b)2a22ab b2．（ 3）立方和公式(a b)(a2ab b2 )a3b3；（ 4）立方差公式(a b)( a2ab b2 )a3b3；2．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这类变形叫做把这个多项式分解因式．3．因式分解与整式乘法的差别和联系：因式分解与整式乘法是互逆关系．（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘．4．因式分解的思路：（1）先看各项有没有公因式，如有，则先提取公因式；（2）再看能否使用公式法；（3）用分组分解法，即经过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；（4）因式分解的最后结果必然是几个整式的乘积，不然不是因式分解；（5）因式分解的结果必然进行到每个因式在要求的范围内（比方有理数范围内）不可以再分解为止．5．因式分解的解题步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完满平方公式）、三检查（完满分解）．【高效演练】1．将以下各式因式分解：（ 1）x26x 7；（ 2）2x ﹣ 6x +4x；32（ 3）a24ab5b2；（ 4）x22x 3；（ 5）ax510ax416ax3；（ 6）a2b216ab39 ；（ 7）152 n7n n 142n 2；y yx x（ 8）x2222x 23x72 ；3x【答案】 (1)( x1)(x7) ；（ 2） 2x（ x﹣ 1）（ x﹣2）；（3）(a 5b)(a b)；（ 4）x22x14( x1) 222( x 12)( x12)( x3)( x1) ；（ 5）ax3( x 2)( x8) ；（ 6）原式ab 2ab39ab3ab1316（ 7）原式3x n y n15x n 4 y n1（ 8）原式x 23x 4 x23x18x4x 1x 6 x32. 把4x4y25x 2 y 29 y2分解因式的结果是________________。
初升高衔接一一十字相乘法分解因式
初升高衔接一一十字相乘法分解因式因式分解是高中数学常用的变形方式，它能把一个多项式化为几个整式的积。
在以下几个方面应用广泛：1、求解一元二次方程，一元二次不等式常用因式分解2、用定义法证明函数单调性，变形时常用因式分解3、此较大小和不等式证明中，作差后常用因式分解判定符号4、函数求导后因式分解判定符号5、初中数学解决一元二次多项式因式分解局限于二次项系数为1，而高中数学常常是二次项系数不是1，且含有多个字母。
6、因式分解方法很多，这节专讲“十字相乘法'。
“十字相乘法'分解因式，方法是“拆两头凑中间，横写加法，因式相乘”。
题型一、二次项系数为1的二次三项式X^2+(a+b)X+ab=(X+a)(X+b)例：题型二、二次项系数≠1的二次三项式因式分解。
思路探寻：以二次项系数是正数为例(如果二次项系数是负教，可以提一个负号变为正数)，二次项分解为两个正因数的积，常数项是正数时，分解为两个同号因数的积，符号与一次项系数符号相同;如果是负数，分解为两个异号因数的积，绝对值较大的数的符号与一次项系数符号相同。
题型三、含有两个字母的二次三项式的因式分解思路探寻：把其中任意一个字母当作“主”元，另一个当作一个数，然后写成“主'元降幂排列的二次三项式。
分解方法仍然是“拆两头，凑中间。
横写加法，因式相乘。
'只是记住写上字母。
题型四、“双十字相乘法”“双十字相乘法”指用此法两次。
方法一、①前三项结合分解成两个因式的积;②把这两个因式当作两个数，再用十字相乘法。
因为有两个字母，所以凑中间时一定要检验每一个字母的系数是否相同。
方法二、把其中一个字母当做“主元”，然后按“主元”降幂排排列写成二次三项式，这时常数项是另外一个字母的二次三项式。
先对常数项用十字相乘法分解，把分解后的两个因式当作两个数再次用“十字相乘法”分解。
题型五、转化为用“十字相乘法”分解的形式。
①分解因式ab+b^2+a一b一2=b^2+(a一1)b+(a一2)思路探寻：转化为关于b的二次三项式，再用“十字相乘法'分解。
初高中数学衔接教材(已整理精品)
初高中数学衔接教材1.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式2 2 (a b)(a b) a b ；（2）完全平方公式 2 2 2(a b) a 2 a b ．b我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2 2 3 3(a b) (a a b b ) a ；b（2）立方差公式 2 2 3 3(a b) (a a b b ) a ；b（3）三数和平方公式2 2 2 2 (a b c ) a b c 2 ( a b b c ；)a c（4）两数和立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3 a b 3 a b ；b（5）两数差立方公式3 3 2 2 (a b) a 3 a b 3 a b ．b 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例 1 计算：2 2 (x 1)(x 1)(x x 1)(x x 1)．解法一： 原式= 2 2 2 2(x 1) (x 1) x = 2 4 2 (x 1)(x x 1)= 6 1 x ．解法二： 原式=2 2 (x 1)(x x 1)(x 1)(x x1)= 3 3 (x 1)(x1)= 6 1x ．例 2 已知 a b c 4，ab bc ac 4，求2 2 2 a b c 的值．解：2 2 2 ( )22( ) 8a b c a b c ab bc ac ．练 习1．填空：（1）1 1 1 12 2a b ( b a) （ ）； 9 4 2 3（2）(4 m 22 ) 16m 4m ( ) ；(3 )2 2 2 2 (a 2b c) a 4b c ( ) ． 2．选择题：（1）若2 1x mx k 是一个完全平方式，则k 等于（）2（A ）2m （B）142m （C）132m （D）1162m（2）不论 a，b 为何实数， 2 2 2 4 8a b a b 的值（）（A ）总是正数（B）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数2．因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：2 2（1）x －3x＋2；（2）x ＋4x－12；2 ( ) 2（3）x a b xy aby ；（4）xy 1 x y ．2解：（1）如图1．1－1，将二次项 x 分解成图中的两个x 的积，再将常数项 2 分解成－1初中升高中数学教材变化分析2与－2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x －3x＋2 中的一次项，所以，有2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．xx 1－1 1 －2 x －ay－1x －2 x1 －2 6 －by1图 1．1－1 图 1．1－3 图1．1－4图 1．1－2说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1 中的两个x 用 1 来表示（如图1．1－2 所示）．（2）由图 1．1－3，得2x ＋4x－12＝(x－2)( x＋6)．（3）由图 1．1－4，得2 ( ) 2x a b xy aby ＝(x ay)( x by)x －1（4）xy 1 x y ＝xy＋(x－y)－1＝(x－1) (y+ 1) （如图 1．1－5 所示）．课堂练习一、填空题：y图 1．1－511、把下列各式分解因式：2 x（1） 5 6x __________________________________________________ 。
初升高数学衔接教材(完整)(2020年8月整理).pdf
第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪−<⎩（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a −表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式①()(0)f x a a <>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a −<<。
②()(0)f x a a >>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><−或。
③22()()()()f x g x f x g x >⇔>。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1.求不等式354x −<的解集例2.求不等式215x +>的解集例3.求不等式32x x −>+的解集例4.求不等式|x ＋2|＋|x －1|＞3的解集．例5.解不等式|x －1|＋|2－x |＞3－x ．例6.已知关于x 的不等式|x －5|＋|x －3|＜a 有解，求a 的取值范围． 练习解下列含有绝对值的不等式： （1）13x x −+−＞4+x （2）|x +1|<|x －2| （3）|x －1|+|2x +1|<4 （4）327x −< (5)578x +>3、因式分解 乘法公式（1）平方差公式22()()a b a b a b +−=− （2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+ （3）立方和公式2233()()a b a ab b a b +−+=+ （4）立方差公式2233()()a b a ab b a b −++=−（5）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++（7）两数差立方公式33223()33a b a a b ab b −=−+−因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法 例1分解因式：（1）x 2－3x ＋2；（2）2672x x ++（3）22()x a b xy aby −++；（4）1xy x y −+−．2．提取公因式法例2.分解因式： （1）()()b a b a −+−552（2）32933x x x +++3．公式法例3.分解因式： （1）164+−a （2）()()2223y x y x −−+4．分组分解法例4.（1）x y xy x 332−+−（2）222456x xy y x y +−−+− 5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x −−.例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式： （1）221x x +−；（2）2244x xy y +−．练习（1）256x x −−（2）()21x a x a −++（3）21118x x −+（4）24129m m −+（5）2576x x +−（6）22126x xy y +−（7）()()3211262+−−−p q q p （8）22365ab b a a +−（9）()22244+−−x x （10）1224+−x x （11）by ax b a y x 222222++−+−（12）91264422++−+−b a b ab a (13)x 2－2x －1（14）31a +；（15）424139x x −+；（16）22222b c ab ac bc ++++； （17）2235294x xy y x y +−++−第二讲一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1)根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． (2)根与系数的关系（韦达定理）如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a −，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2y ax bx c =++的性质1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =−，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，。
初升高数学衔接教材(完整)
第一讲 数与式1、 绝对值(1)绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2)绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上,数a 和数b 之间的距离．2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式①()(0)f x a a <>，去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a -<<。
②()(0)f x a a >>，去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><-或。
③22()()()()f x g x f x g x >⇔>。
（2)利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1 段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1。
求不等式354x -<的解集例2.求不等式215x +>的解集例3.求不等式32x x ->+的解集例4。
求不等式｜x ＋2｜＋｜x －1|＞3的解集．例5。
解不等式｜x －1|＋|2－x ｜＞3－x ．例6。
已知关于x 的不等式｜x －5|＋｜x －3|＜a 有解，求a 的取值范围． 练习解下列含有绝对值的不等式：（1）13x x -+-＞4+x（2）｜x +1｜<｜x －2| （3）｜x －1｜+|2x +1|<4 (4）327x -<（5)578x +>3、因式分解 乘法公式（1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+ (3)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+ （4)立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++ （7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法 例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）2672x x ++（3)22()x a b xy aby -++； (4)1xy x y -+-．2．提取公因式法例2.分解因式:（1）()()b a b a -+-552(2）32933x x x +++3．公式法例3.分解因式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+4．分组分解法例4.（1)x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+- 5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c （a ≠0）的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ,则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-; （2）2244x xy y +-．练习(1）256x x -- （2）()21x a x a -++ （3）21118x x -+（4)24129m m -+ （5)2576x x +- (6）22126x xy y +-(7）()()3211262+---p q q p (8）22365ab b a a +- (9)()22244+--x x（10）1224+-x x （11）by ax b a y x 222222++-+-（12）91264422++-+-b a b ab a （13）x 2－2x －1（14) 31a +； （15）424139x x -+;（16）22222b c ab ac bc ++++； （17)2235294x xy y x y +-++-第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 （1)根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有：（1） 当Δ＞0时,方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a; （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．(2）根与系数的关系（韦达定理)如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -,x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2y ax bx c =++的性质1。
《初高中衔接教材数学》第四讲：分解因式
初高中衔接教材第四讲：分解因式一、分解因式的主要方法有：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法、换元法、添项拆项法、配方法、待定系数法、求根法二、例题分析（一）、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)（二）、运用公式法.平方差公式：2a 2b -=(a+b)(a-b)； 完全平方公式：2a ±2ab ＋2b ＝()2b a ± 立方和公式： 33b a +=(a+b)( 2a -ab+2b )； 立方差公式：33b a - =(a-b)( 2a ab ++2b )； 两数和立方公式:3223333()a a b ab b a b +++=+；两数差立方公式:3223333()a a b ab b a b -+-=-．公式：))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++例1、分解因式： (1) 38x +(2) 30.12527b -例2、分解因式：(1) 34381a b b -(2) 76a ab -（三）、分组分解法1．分组后能提取公因式例1、分解因式：bn bm an am +++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-51022．分组后能直接运用公式例1、把22x y ax ay -++分解因式。
例2、把2222428x xy y z ++-分解因式。
（四）、十字相乘法1、二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例1、分解因式：652++x x 例2、分解因式：672+-x x练习：分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x例3、把下列各式因式分解： (1) 226x xy y +-(2) 222()8()12x x x x +-++2、二次项系数为1的齐次多项式例1、把下列各式因式分解：（1）2(1)x a x a -++ （2）2(2)2x a x a -++（3）2223x ax a -- （4）223()x a a x a -++练习:分解因式(1)2223y xy x +- (2)2286n mn m +- (3)226b ab a --3、二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例1、分解因式：101132+-x x练习:分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x （3）317102+-x x （4）101162++-y y4、二次项系数不为1的齐次多项式 例1、22672y xy x +- 例2、2322+-xy y x练习:1、分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a (3) 22568x xy y +- （4）22151112y xy x --2、分解因式：（1）10)(3)(2-+-+y x y x （2）344)(2+--+b a b a（3）222265x y x y x -- （4）2634422++-+-n m n mn m（5）3424422---++y x y xy x例3、把下列各式因式分解： (1) 2(1)1ax a x -++ (2) 2(21)2ax a x -++ (3) 2(23)3ax a x a -+++练习：把下列各式因式分解： (1) 22(4)2ax a x -++(2) 22(1)21a x ax -++五、换元法。
专题1.2 十字相乘法(高效演练)-拾阶而上之初高中数学衔接读本(原卷版)
第一章 因式分解第2讲 十字相乘法因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。
在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用，是继续高中数学学习的一项基本技能。
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法 (立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等。
【知识梳理】1.乘法公式：初中已经学习过了下列乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．（3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；2．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．3．因式分解与整式乘法的区别和联系：因式分解与整式乘法是互逆关系．（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘．4．因式分解的思路：（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；（2）再看能否使用公式法；（3）用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；（4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；（5）因式分解的结果必须进行到每个因式在要求的范围内（比如有理数范围内）不能再分解为止．5．因式分解的解题步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解）． 【高效演练】1．将下列各式因式分解：（1）x x --267； （2）2x 3﹣6x 2+4x ；（3）a ab b +-2245； （4）x x 223+-；（5）5431016ax ax ax -+；（6）a b ab 221639++ ；（7）15742122x x y y n n n n +-++；（8）()()x xx x 222322372+-++； 2.把22224954y y x y x --分解因式的结果是________________。
2020年初升高数学衔接辅导之分解因式(含答案)
02 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．高中必备知识点1：十字相乘法要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项2 pq c 2式x2bx c ，若存在，则x2bx c x p x q .p q b要点诠释：（1）在对x2bx c 分解因式时，要先从常数项c的正、负入手，若c 0，则p、q同号（若c 0，则p、q异号），然后依据一次项系数b 的正负再确定p、q的符号（2）若x2bx c中的b、c 为整数时，要先将c分解成两个整数的积（要考虑到分解的各种可能），然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止.要点二、首项系数不为 1 的十字相乘法2在二次三项式ax2bx c（a≠0中），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a a1a2 ，常数项c可以分解成两个因数之积，即c c1c2 ，把a1，a2，c1，c2 排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2 a2c1 ，若它正好等于二次三项式ax2bx c 的一次项系数b ，即a1c2 a2c1 b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x c1与a2x c2之2积，即ax bx c a 1x c 1 a 2x c 2 .要点诠释：（ 1）分解思路为 “看两端，凑中间 ”（2）二次项系数 a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上典型考题【典型例题】阅读与思考：将式子 分解因式． 法一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形 . 由 ，； 分析：这个式子的常数项 ，一次项系数，所以 . 解： .请仿照上面的方法，解答下列问题： （1）用两种方法分解因式： ；（2）任选一种方法分解因式：.【变式训练】阅读材料题：在因式分解中，有一类形如 x 2+（m+n ）x+mn 的多项式，其常数项是两个因数 的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成 x 2+（ m+n ）x+mn ＝（x+m ）（x+n ）．例如： x 2+5x+6＝x 2+（2+3） x+2×3＝（ x+2）（ x+3）． 运用上述方法分解因式： （1）x2+6x+8； （2）x 2﹣x ﹣6；（3）x2﹣5xy+6y2；（4）请你结合上述的方法，对多项式x3﹣2x2﹣3x 进行分解因式．【能力提升】由多项式的乘法：（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋（a＋b）x＋ab＝（x＋a）（x＋b）．实例分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋（2＋3）x＋2×3＝（x＋2）（x＋3）．（1）尝试分解因式：x2＋6x＋8；（2）应用请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.高中必备知识点2：提取公因式法与分组分解法1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
初高中数学衔接材料之三--十字相乘法及三次式的因式分解
初高中数学衔接材料之三 十字相乘法及三次式的因式分解一．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．2．提取公因式法与分组分解法例2 分解因式：（1）32933x x x +++； （2）222456x xy y x y +--+-．3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．练习 1．多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -2．分解因式：（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；（3）x 2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．3．ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状．4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．二．双十字相乘法例4.因式分解:2223116x xy y x y ---+-.练习: 因式分解:⑴2223372x xy y x y ---+-.⑵224443x y x y --+-.⑶22536x xy x y y ++++.三.解三次方程例5:解方程:⑴3431150x x -+=⑵3760x x -+=练习: :解方程3221360x x x +-+=四．练习:1．分解因式：（1） 31a +；（2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++；（4）2235294x xy y x y +-++-．2．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ；（2）23x --；（3）2234x xy y +-；（4）222(2)7(2)12x x x x ---+．3.分解因式:⑴~⑺⑴22010(2009*2011)2010x x --⑵22423a b a b -+++⑶(1)(2)(3)(4)120x x x x -----)⑷233x xy y x -+-⑸22243x y x y ----⑹(1)(1)2x x y y xy -++-⑺2224912x y z yz ---4.解下列三次方程:⑴322560x x x +--=⑵322540x x x -+-=⑶32284510x x +-=。
初高中衔接教材因式分解
= (a - 1)(b + 1)
因式分解
• 练习6: m3 + 4m4 - 5 - 20m
解原式 = (m3 - 5) + 4m(m3 - 5) = (m3 - 5)(1 + 4m)
解原式= m3(1 + 4m) - 5(1 + 4m) = (1+4m)(m3 - 5)
因式分解
• 练习7: 3x3 + 6x2y - 3x2z - 6xyz
在分组分解法中，我们学习 了形如 x2＋(p＋q)x＋pq 的式子 的因式分解问题。 即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
实际在使用此公式时，需要 把一次项系数和常数项进行分拆， 在试算时，会带来一些困难。
下面介绍的方法，正好解决了 这个困难。
即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
因式分解
•分 析
• 在用分组分解法因式分解时，要注意分 组不能使一个多项式变为乘积形式，分 组的目的是分好的各组能提取各自的公 因式同时使各组提取公因式后剩下的多 项式又是各组的公因式，可以再提取， 从而使问题得到解决，上述规律可以通
俗的归纳成：“分组的目的是为了提 取，提取的目的是为了再提取”。
因式分解
-4yz + 3x2 - 2xz + 6xy
解原式 = (6xy - 4yz) + (3x2 - 2xz) = 2y(3x - 2z) + x(3x - 2z) = (3x - 2z)(2y + x)
解原式 = (6xy + 3x2) - (4yz + 2xz) = 3x(2y + x) - 2z(2y + x) = (2y + x)(3x - 2z)
初升高数学衔接教材(完整)
第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a, a 0,|a|0, a 0,a, a 0.（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数a和数b之间的距离．2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式① f (x) a(a 0), 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。
② f (x) a(a 0) , 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a或f (x) a 。
③ 2 2f (x) g(x) f (x)g (x)。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论．③将分段求得解集，再求它们的并集．例1. 求不等式3x 5 4的解集例2. 求不等式2x 1 5的解集例3. 求不等式x 3 x 2 的解集例4. 求不等式| x＋2| ＋| x－1| ＞3 的解集．1例5. 解不等式| x－1| ＋|2 －x| ＞3－x．例6. 已知关于x 的不等式| x－5| ＋| x－3| ＜a 有解，求 a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（1）x 1 x 3 ＞4+x（2）| x+1|<| x－2|（3）| x－1|+|2 x+1|<4（4）3x 2 7(5) 5x 7 83、因式分解乘法公式（1）平方差公式 2 2(a b)( a b) a b（2）完全平方公式 2 2 2(a b) a 2ab b（3）立方和公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（4）立方差公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（5）三数和平方公式 2 2 2 2(a b c) a b c 2(ab bc ac)（6）两数和立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b2（7）两数差立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：2（1）x －3x＋2；（2）26x 7x 2（3） 2 ( ) 2x a b xy aby ；（4）xy 1 x y ．2．提取公因式法例2. 分解因式：2 （2）x3 9 3x2 3x （1）ab 5 a 5 b3．公式法例3. 分解因式：（1）a4 16 （2） 23x 2y x y2 4．分组分解法2例4. （1）x xy 3y 3x （2）2 22x xy y 4x 5y 65．关于x 的二次三项式ax2+bx+c( a≠0) 的因式分解．若关于x 的方程 2 0( 0)ax bx c a 的两个实数根是x1 、x2 ，则二次三项式2 ( 0)ax bx c a 就可分解为a(x x )(x x ).1 2例5. 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1） 2 2 1x x ；（2）2 4 4 2 x xy y ．3练习 （1） 25 6xx （2） 21 x ax a（3） 2 11 18xx （4）24m 12m 9（5）25 7x 6x（6） 2212xxy 6y2q p （ 7） 6 2p q 1123（ 8 ）35a 2b 6ab2a（ 9 ）24 2 4 xx2（10） x 42x 2 1 （11） x 2 y 2 a 2 b 2 2ax 2by（12） a 24ab 4b 2 6a 12b 9(13) x 2－2x －1（14） 31a；（15）4 24x 13x 9 ；（16）2 22 2 2b cab ac bc ；（17）2 23x 5xy 2y x 9y 4第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1) 根的判别式2对于一元二次方程 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1） 当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝，2＝24 bbac 2a；（2）当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－ b 2a；（3）当 Δ＜0 时，方程没有实数根． (2) 根与系数的关系（韦达定理）2如果 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是 x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝b a ，x 1· x 2＝c a．这一关系也被称为韦达 定理．2、二次函数2y ax bx c 的性质1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb 2a，顶点坐标为 2b4ac b ， 。
十字相乘法-走进新高一之2020年暑假初升高数学完美衔接课
十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，将二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法，主要分为以下两类：1.二次项系数是1的二次三项式的十字相乘法对首项是1的二次三项式的十字相乘法主要就是要能够运用公式进行因式分解.对于二次三项式，若存在则，即把常数项分解成两个数的积，且其和刚好等于一次项系数.技巧1：在对分解因式时，先从常数项c的正负入手：若，则、同号，若，则、异号，然后根据一次项系数的正负进一步确定、的符号；技巧2：若中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积，然后再考虑这两个整数和能否等于一次项系数（再分解时，要考虑分解的多种可能，直至凑对为止）.2.二次项系数不为1的十字相乘在二次三项式中，如果二次项系数a可以分解成两个因数的积，常数项c也可以分解成两个因数的积，即，将、、、按照以下进行排列：按照斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式一次项系数b，即，那么二次三项式就可以分解成两个因式与之积，即.PS：若二次项系数是负数，可以先提个负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记添上负号.例1：二次项系数为1的二次三项式分解因式：（1）（2）（3）（4）【解答】见解析【解析】（1）；（2）（3）；（4）例2：二次项系数不为1的二次三项式分解因式：（1）（2）【解答】见解析【解析】（1）；（2）.例3：待定系数法求字母的值若能分解成两个一次因式的积，则的值为（）A. 1B.C.D. 2【解答】C【解析】，，分以下两种情况考虑：由①可得m＝1，由②可得，故选C.例4：解决几何类问题已知长方形的长、宽分别为x、y，周长为16，求此长方形的面积.【解答】15或15.75【解析】又解得，∴长方形的面积为15或15.75.例5：十字相乘法综合求证：若是7的倍数，其中x、y都是整数，则是49的倍数.【解答】见解析【解析】证明：∵是7的倍数，设（m为整数），则，∵x、m也是整数，∴是49的倍数.巩固练习一．选择题1．把多项式x2+x﹣2分解因式，下列结果正确的是（）A．（x+2）（x﹣1）B．（x﹣2）（x+1）C．（x﹣1）2D．（2x﹣1）（x+2）【解答】A【解析】x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2），故选：A．2．下列因式分解正确的是（）A．4m2﹣4m+1＝4m（m﹣1）B．a3b2﹣a2b+a2＝a2（ab2﹣b）C．x2﹣7x﹣10＝（x﹣2）（x﹣5）D．10x2y﹣5xy2＝5xy（2x﹣y）【解答】D【解析】A、4m2﹣4m+1＝（2m﹣1）2，故本选项错误；B、a3b2﹣a2b+a2＝a2（ab2﹣b+1），故本选项错误；C、（x﹣2）（x﹣5）＝x2﹣7x+10，故本选项错误；D、10x2y﹣5xy2＝xy（10x﹣5y）＝5xy（2x﹣y），故本选项正确；故选：D．3．下列多项式不能分解的是（）A．（ab+cd）2+（bc﹣ad）2B．x2﹣y2﹣6x+9C．x2﹣2xy﹣3y2+4x+8y﹣5D．x2+2x+4【解答】D【解析】A．（ab+cd）2+（bc﹣ad）2＝（a2+c2）（b2+d2），故本选项能分解；B．x2﹣y2﹣6x+9＝（x﹣3+y）（x﹣3﹣y），故本选项能分解；C．x2﹣2xy﹣3y2+4x+8y﹣5＝（x+y﹣1）（x﹣3y+5），故本选项能分解；D．x2+2x+4不能分解，故本选项符合题意；故选：D．4．把多项式（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8分解因式，正确的结果是（）A．（x﹣y+4）（x﹣y+2）B．（x﹣y﹣4）（x﹣y﹣2）C．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）D．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）【解答】C【解析】（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8，＝（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）．故选：C．二．填空题5．若对于一切实数x，等式x2﹣px+q＝（x+1）（x﹣2）均成立，则p2﹣4q的值是．【解答】9【解析】由题意得：﹣p＝1﹣2，q＝1×（﹣2），∴p＝1，q＝﹣2，∴p2﹣4q＝1﹣4×（﹣2）＝1+8＝9．6．分解因式：x2﹣3xy﹣4y2＝．【解答】（x﹣4y）（x+y）【解析】x2﹣3xy﹣4y2＝（x﹣4y）（x+y），7．若x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），则m﹣n的值为．【解答】3【解析】∵（x+3）（x+n）＝x2+nx+3x+3n＝x2+（n+3）x+3n，∴，解得：m＝﹣2，n＝﹣5，则m﹣n＝﹣2+5＝3.8．若x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），则m+n的值为．【解答】﹣1【解析】∵x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），∴x2+mx+n＝x2+x﹣2，∴m＝1，n＝﹣2，∴m+n＝1﹣2＝﹣1.9．阅读下列文字与例题：将一个型如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）．例如（1）x2+3x+2＝（x+1）（x+2）（2）x2﹣3x﹣10＝（x﹣5）（x+2）．要使二次三项式x2+mx﹣6能在整数范围内分解因式，则m可取的整数为．【解答】﹣5，﹣1，1，5【解析】∵﹣6＝﹣1×6＝﹣2×3＝1×（﹣6）＝2×（﹣3），∴m＝﹣1+6＝5或m＝﹣2+3＝1或m＝1+（﹣6）＝﹣5或m＝2+（﹣3）＝﹣1.10．多项式kx2﹣9xy﹣10y2可分解因式得（mx+2y）（3x﹣5y），则k＝，m＝．【解答】9，3【解析】∵kx2﹣9xy﹣10y2＝（mx+2y）（3x﹣5y），∴kx2﹣9xy﹣10y2＝3mx2﹣5mxy+6xy﹣10y2，∴，解得：.三．解答题11．分解因式：x2+12x﹣189，分析：由于常数项数值较大，则将x2+12x﹣189变为完全平方公式，再运用平方差公式进行分解，这样简单易行．x2+12x﹣189＝x2+2*6x+62﹣36﹣189＝（x+6）2﹣225＝（x+6）2﹣152＝（x+6+15）（x+6﹣15）＝（x+21）（x﹣9）请按照上面的方法分解因式：x2﹣60x+884．【解答】（x﹣26）（x﹣34）【解析】x2﹣60x+884＝x2﹣2×30x+900﹣900+884＝（x﹣30）2﹣16＝（x﹣30+4）（x﹣30﹣4）＝（x﹣26）（x﹣34）．12．李伟课余时间非常喜欢研究数学，在一次课外阅读中遇到一个解一元二次不等式的问题：x2﹣2x﹣3＞0．经过思考，他给出了下列解法：左边因式分解可得：（x+1）（x﹣3）＞0，或，解得x＞3或x＜﹣1．聪明的你，请根据上述思想求一元二次不等式的解集：（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＞0．【解答】x＞3或1＜x＜2【解析】由题意知x﹣1、x﹣2、x﹣3中负数的个数为偶数个，则①，解得：x＞3；②，解得：1＜x＜2；∴x＞3或1＜x＜2．13．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x﹣1）（x﹣9），乙同学因看错常数项而将其分解为2（x﹣2）（x﹣4），请你写出这个二次三项式，并将其进行正确的因式分解．【解答】2x2﹣12x+18＝2（x﹣3）2【解析】甲：2（x﹣1）（x﹣9）＝2x2﹣20x+18，乙：2（x﹣2）（x﹣4）＝2x2﹣12x+16，∵甲同学看错了一次项系数，但没有看错常数项，乙同学看错了常数项，但没有看错一次项系数，∴原多项式为2x2﹣12x+18，将其分解因式为：2x2﹣12x+18＝2（x﹣3）2．14．我们知道，多项式a2+6a+9可以写成（a+3）2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解，当一个多项式（如a2+6a+8）不能写成两数和（成差）的平方形式时，我们可以尝试用下面的办法来分解因式．a2+6a+8＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]＝（a+4）（a+2）请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：（1）x2﹣6x﹣27（2）x2﹣2xy﹣3y2．【解答】（1）原式＝（x+3）（x﹣9）；（2）原式＝（x+y）（x﹣3y）【解析】（1）原式＝x2﹣6x+9﹣36＝（x﹣3）2﹣36＝（x﹣3+6）（x﹣3﹣6）＝（x+3）（x﹣9）；（2）原式＝x2﹣2xy+y2﹣4y2＝（x﹣y）2﹣4y2＝（x﹣y+2y）（x﹣y﹣2y）＝（x+y）（x﹣3y）．15．找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解（在整数范围内）的整数值a，并且将其进行因式分解．【解答】见解析【解析】x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2）；x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）；x2+5x﹣6＝（x+6）（x﹣1）；x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）．16．先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．分解因式：x4+4x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）以上解法中，在x4+4的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与x4+4的值保持不变，必须减去同样的一项．按照这个思路，试把多项式x4+x2y2+y4分解因式．【解答】见解析【解析】x4+x2y2+y4＝x4+2x2y2+y4﹣x2y2＝（x2+y2）2﹣x2y2＝（x2+y2+xy）（x2+y2﹣xy）．。
5—16学年初升高知识衔接《十字相乘法》(无答案)
初高中知识衔接（一）-------十字相乘法一、十字相乘法分解因式的意义利用画十字交叉线分解系数，来把二次三项式分解因式的方法叫十字相乘法．（1）∵(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab∴x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 如图（1）（2）又∵(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2∴a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2) 如图（2）二、为什么学习十字相乘法？学习关键是什么？十字相乘法能把某些二次三项式ax2+bx+c(a≠0)分解因式．这种方法的关健是把二次项的系数a可以分解成两个因数a1，a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2), 在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号.三、例题分析例1.把下列各式分解因式：(1)x2+2x-15 (2)x2-6x+8(1)分析：常数项(-15)＜0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2．在分解时，可用下面的式子进行验算．说明：在竖式验算后写分解结论时千万不要对角写，应横向写，否则，当二次项系数不为1 时，会出现错误的.(2)分析：常数项8可以分解为两个同号整数的积，即为8=1×8，8=(-1)(-8)；或8=2×4，8=(-2)(-4)．其中只有-2与-4的和为-6.解：x 2-6x+8=(x-2)(x-4)例2. 把下列各式分解因式：(1)2x 2-5x-3 (2)5x 2-21x+18(1)分析：我们要把这个多项式分解成形如(11c x a +)·(22c x a +)的形式，这里的a 1a 2=2，c 1c 2=-3，a 1c 2+a 2c 1=-5，由十字相乘法竖式（怎么写？）可知关键问题在于确定二次项系数2的两个因数a 1和a 2、常数项-3的两个因数c 1和c 2.二次项系数2可分解为2×1，常数项-3＜0可分解为两个异号整数的积即为(-3)×(1)，3×(-1)，最后考虑一次项系数-5，它是十字相乘法寻找这四个数的关键，因为-5＜0，所以a 1c 2+a 2c 1＜0.而a 1＞0，a 2＞0，所以1c ，2c 的寻找就相对容易了.解：2x 2-5x-3 =(x-3)(2x+1)说明：通过十字相乘的验算公式后写结果时要横向写，不要对角写结论，注意避免出现2x 2-5x-3=(x+1)(2x-3)这样的错误.(2)分析：因为二次项系数为质数5，可分解为1×5竖式中可将左边先固定，再分解常数项18，18＞0，∴18=(1)(18)，18=(-1)(-18)，18=2×9，18=(-2)×(-9)，18=3×6，18=(-3)(-6)．根据一次项系数为-21，所以只可选用(-3)(-6).解：5x 2-21x+18 =(x-3)(5x-6)例3.把下列各式分解因式：（1）(x+y)2+2(x+y)-24 （2）a 2-5ab-24b 2（1）分析：把(x+y)看成一个整体，这样，这个多项式就是关于(x+y)的二次三项式，很容易依照前面的方法分解：解：(x+y)2+2(x+y)-24=[(x+y)+6][(x+y)-4]=(x+y+6)(x+y-4)（2）分析：把原式变形为式a 2-(5b)a-24b 2，即把-5b 看作a 的系数，把-24b 2看作常数项，这样可将原式看成a 的二次三项式，用十字相乘法分解.解：a 2-5ab-24b 2=a 2-(5b)a-24b 2=(a+3b)(a-8b)说明：要注意避免a 2-5ab-24b 2=(a+3)(a-8)这类的错误，也要避免a 2-5ab-24b 2=(a+8b)(a-3b)这类的错误.例4. 把下列各式分解因式：(1)x 4-3x 2-4 (2)x 4-10x 2y 2+9y 4(1)分析：把原式写成(x 2)2-3(x 2)-4，它仍旧是x 2的二次三项式，可以用十字相乘法分解．-4=(-4)×1而-3=-4+1解：x 4-3x 2-4=(x 2)2-3(x 2)-4=(x 2-4)(x 2+1)=(x 2+1)(x+2)(x-2)(2)分析：原式可变形为(x 2)2-10y 2(x 2)+9(y 2)2即可看成x 2的二次三项式，再采用十字相乘法分解因式．解：x 4-10x 2y 2+9y 4=(x 2)2-10y 2(x 2)+9(y 2)2=(x 2-y 2)(x 2-9y 2)=(x+y)(x-y)(x+3y)(x-3y)说明：应用十字相乘法分解后原式为(x 2-y 2)(x 2-9y 2)，要再对它进行分解后方为最后结果（两个因式都分别应用平方差公式即可）.四、 求下列方程的根（试一试）（1）27180x x --= （2） 2(2)x x x -=-（3）06332=+-x x （4）23830x x +-=（5）242560x x ++= （6)241160x x -+=（7)2220x mx m --= ()m R ∈ （8) 2(1)0x ax a -+-=()a R ∈（9）025562=--x x *（10)2(21)20ax a x -++=()a R ∈五、讨论 解下列方程04522=--x x , 2x 2-50=0, 3(4x-1)2=(1-4x), 3x 2-5x-6=0时，你认为较简便的方法是?（配方法、直接开平方法、因式分解法、公式法）六、注意问题提示：1.对所给的多项式应先整理，包括去括号，按某一字母的降幂排列等；2.因式分解时首先考虑公因式的提取；3.使用十字相乘法分解因式时，务必注意各项系数的符号，掌握同号、异号两数相乘相加的法则，符号规律；4.要能灵活地运用提取公因式、公式法、分组分解法、十字相乘法进行多项式的因式分解，有时，各种方法交替进行，反复使用.。
初高中衔接十字相乘法分解因式
因式分解的一点补充——十字相乘法同学们都知道，型的二次三项式是分解因式中的常见题型，那么此类多项式该如何分解呢？观察=，可知=。
这就是说，对于二次三项式，如果常数项b可以分解为p、q的积，并且有p+q=a，那么=。
这就是分解因式的十字相乘法。
下面举例具体说明怎样进行分解因式。
例1、因式分解。
分析：因为7x + (-8x) =-x解：原式=（x+7）（x-8）例2、因式分解。
分析：因为-2x+（-8x）=-10x解：原式=（x-2）（x-8）从上面几个例子可以看出十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握。
但要注意，并不是所有的二次三项式都能进行因式分解，如在实数范围内就不能再进一步因式分解了课前练习：下列各式因式分解1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+483．x4-7x2+18 4．x2-5xy+6y2我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。
对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。
例3 把2x2-7x+3因式分解。
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。
分解二次项系数（只取正因数）：2=1×2=2×1；分解常数项：3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1 1 1 3 1 -1 1 -32 ×3 2 ×1 2 ×-3 2 ×-11×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3）=5 =7 = -5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。
高一数学衔接教材 分解因式
芯衣州星海市涌泉学校]南江四中高一数学初高中衔接教材：分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应理解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1分解因式：〔1〕x2－3x ＋2；〔2〕x2＋4x －12；〔3〕22()x a b xy aby -++；〔4〕1xy x y -+-． 解：〔1〕如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x2－3x ＋2中的一次项，所以，有 x2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示〔如图1．2－2所示〕． 〔2〕由图1．2－3，得x2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．〔3〕由图1．2－4，得 22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by --〔4〕1xy x y -+-＝xy ＋(x －y)－1＝(x －1)(y+1)〔如图1．2－5所示〕．练习：把以下各式分解因式：〔1〕=-+652x x __________________________________________________。
－1 －2x x 图1．2－1－1 －2 1 1 图1．2－2 －2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4－1 1 x y 图1．2－5〔2〕=+-652x x__________________________________________________。
〔3〕=++652x x__________________________________________________。
〔4〕=--652x x __________________________________________________。