《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理.ppt

z x y z yx
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
1.3 本构（物理）方程（六个）
ij
w
ij
线性关系 ij
Eijkl kl
各向同性
指标符号表示
ij 2G ij ij kk
E
(1 )
( ij
1
ij kk
)
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
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§5-2 位移法
位移法求解思想：
选取 ui 为基本未知函数，而 ij 和 ij
均看成是由ui导出的未知函数，这样15
个方程中某些方程成为的ui ij ij
关系式。
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§5-2 位移法
位移法基本步骤：
基本未 几何方程 知
函数ui
应 变 kl 用 ui 物理方程
u j,i )
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
yz
v z
w y
zx
w x
u z
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
b. 变形协调方程
指标符号表示
ij,kl kl,ij ik, jl jl,ik 0
2 x
y 2
2 y
x 2
2 xy
xy
2 y 2 z 2 yz
第五章 线弹性力学问题的基本解 法和一般性原理
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
§5-2 位移法 §5-3 应力法
§5-4 线弹性力学的几个原理
§5-5 线弹性力学的几个简单 问题的求解
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
在第二、三、四章较全面的讨论了弹性变 形体在承受外力作用时，发生变形和抗力（内 力），这些变形和内力应遵循的三个基本规律， 从而导出了待求物理量（应力、应变、位移） 所须满足的基本方程，共十五个，现汇总如下。
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
1.1 基本方程汇总
1.1.1 平衡微分方程（3个）
体力与应力之关系：指标符号表示 ji,j+fi=0
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x1
21
x2
31
Βιβλιοθήκη Baidux3
f1
01
12
x1
22
x2
32
x3
f2
0
13
x1
23
x2
33
x3
f3
0
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
1.1.2 几何方程（六个） 或变形协调方程（六个）
几何方程表示了位移与应变之关系，当由 位移场确定应变场时仅利用几何方程就够了， 但反之，应变场还需补充变性协调条件。
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
a. 几何方程 指标符号表示
ij
1 2 (ui, j
1.3 本构（物理）方程（六个）
指标符号表示
ij
(1
E
)
ij
E
ij
kk
上述所有方程为 ij 、 ij、ui在V上必须满足的
方程，同时在S上（边界上）有边界力或边界 位移。
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
1.2边界条件
1.2.1力的边界条件 Fi X i n j ji 在S 上
z 2 y2 zy
2 x
z 2
2 z
x 2
2 zx
xz
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
b. 变形协调方程
( yz zx xy ) 2 2 x
x x y z yz
( yz zx xy ) 2 2 y
y x y z zx
( yz zx xy ) 2 2 z
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§5-2 位移法
力的边界条件转为用ui的偏微分表示的。 这类边界条件从形式上看可以处理，但实际操 作上有时较难处理。
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X l x m yx n zx n111 n2 21 n3 31
Y l xy m y n zy n112 n2 22 n3 32
Z l xz m yz n z n113 n2 23 n3 33
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
1.2.2 位移边界条件
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§5-2 位移法
弹性力学问题的待求函数共15个（ij、ij、 ui），如果一视同仁的同等看待，由给定的边界
条件下求偏微分方程组的定解是不可能的。由 物理量所满足的方程组中显示出来）。
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§5-2 位移法
为了有效地求解，从15个量中选取一部分 作为基本待求未知函数，而其它待求函数看成 由基本待求函数导出的未知函数，这样使得求 解方程减少，且主攻方向明确（求基本未知 量），基本未知函数选取不同，导出的求解步 骤和方程名称不同，如：位移法、应力法和混 合法。
ui ui 在 Su 上
uu vv ww
由三个基本规律导出的应力、应变和位移 满足的基本方程加上相应的边界条件建立了线 弹性问题解析法（微分提法）体系，从数学上 看是求偏微分方程组的边值问题。
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
当 S = S时称为微分方程第一边值问题； 当 Su = S时称为偏微分方程第二边值问题； 当 Su +S = S 称为偏微分方程第三边值问题。
表示
应 力 kl 用 ui
表示
kl 用ui 表示
用ui表示的平衡 微分方程
用ui表示的力的边界条 件（在S上）
位移边界条件（在Su上）
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§5-2 位移法
位移法的基本方程（3个） 推导（用指标符号 表示）
应变用位移表示
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
线性各向同性材料的应力用位移表示：
ij G(ui, j u j,i ) ijuk,k
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§5-2 位移法
ij G(ui, j u j,i ) ijuk,k
上式代入平衡微分方程，得到位移法 的基本方程
G(ui, j u j,i ), j ijuk,kj fi 0 在V上
或
G2ui ( G)u j, ji fi 0 在V上
（拉米－纳维叶方程）
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§5-2 位移法
由于 u j, j e ——为体积应变
G2ui ( G)e,i fi 0
在V上
边界条件：a. ui ui （在Su上）
b. X n j ji n j G(ui, j u j,i ) ijuk,k
或
(在S 上 )
X i n jG(ui, j u j,i ) niuk,k (在S 上)