排列组合问题的常见模型(详解)

排列组合问题的常见模型

一、相异元素不许重复的排列组合问题

这类问题有两个条件限制，一是给出的元素是不同的，即不允许有相同的元素；二是取出的元素也是不同的，即不允许重复使用元素。这类问题有如下一些常见的模型。

模型１：从n 个不同的元素中每次取出m 个不同元素作排列或组合，规定某k 个元素都包含在内，则：

组合数：1m k n k N C --= 排列数：2m m k m n k N A C --=

例１．全组有12个同学，其中有３个女同学，现要选出５个，如果３个女同学都必须当选，试问在下

列情形中，各有多种不同的选法？

（１）组成一个文娱小组；（２）分别担任不同的工作．

解：（１）由于要选出的５人中，３个女同学都必须当选，因此还需要选２人．这可从９个男同学中

选出，故不同的选法有：53112336(N C --==种)

（２）在上述组合的基础上，因为还需要考虑选出５人的顺序关系，故不同的选法有：

553522512359120364320(N A C A C --===⨯=种)

模型２．从n 个不同的元素中每次取出m 个不同元素作排列或组合，规定某k 个元素都不包含在内，

则： 组合数：1m n k N C -= 排列数：2m m m m n k n k N A C A --==

例２．某青年突击队有15名成员，其中有５名女队员，现在选出７人，如果５名女队员都不当选，试

问下列情形中，各有多少种不同的选法？

(1)组成一个抢修小组；（２）分别但任不同的抢修工作．

解：（１）由于５名女队员都不当选，因此只能从10名男同学选出，故不同的选法有：

77311551010120N C C C -====（种）

（２）由于还需考虑选出的７个人的顺序问题，故不同的选法有：

7721551010987654604800N A A -===⨯⨯⨯⨯⨯⨯=（种）

模型３．从n 个不同的元素中每次取出m 个不同元素作排列或组合，规定每一个排列或组合，都只包

含某k 个元素中的某s 个元素。则组合数：1m s n k N C --= 排列数：2m m s m n k N A C --=

例3．全组12个同学，其中有3个女同学，现要选出5人，如果3个女同学中，只有甲当选，试问在

下列情形中，各有多少种不同的选法？

（１）组成一个数学小组；（２）分别担任不同的工作．

解：（１）由于女同学中只有甲当选，所以还需４人，这４人要从男同学中选，因此不同选法有： 514

11239126()N C C --===种

（２）由于选出的人要分别担任不同的工作，所以不同的选法有：55154251235915120()N A C A C --===种． 模型４．从n 个不同的元素中每次取出k 个不同元素作排列或组合，规定每一个排列或组合，都只包

含某r 个元素中的s 个元素。则：组合数：1s k s r n r N C C --= 排列数：2k s k s k r n r N A C C --=

例４．全组12个同学，其中有3个女同学，现要选出5人，如果3个女同学中，只有１人当选，试问

在下列情形中，各有多少种不同的选法？

（１）组成一个数学小组；（２）分别担任不同的工作．

解：（１）由于女同学中只有１人当选，所以从３个女同学中选１人，从９个男同学中选４人，不同

的选法有：151141312339378()N C C C C --===种

（２）由于选出的人要分别担任不同的工作，所以不同的选法有：

515151425312353945360()N A C C A C C --===种．

模型５．从n 个不同的元素中每次取出k 个不同元素作排列或组合，规定每一个排列或组合，都至少

包含某r 个元素中的s 个元素．则：

组合数：11221s k s s k s s k s r k r r n r r n r r n r r n r N C C C C C C C C -+--+-------=++++

排列数：11222()k s k s s k s s k s r k r k r n r r n r r n r r n r N A C C C C C C C C -+--+-------=++++

例５．全组12个同学，其中有3个女同学，现要选出5人，如果3个女同学中至少有１人当选，试问

在下列情形中，各有多少种不同的选法？

（１）组成一个数学小组；（２）分别担任不同的工作．

解：1423321393939666(N C C C C C C =++=种)，

514233225393939()12066679920(N A C C C C C C =++=⨯=种)

模型６．从n 个不同的元素中每次取出k 个不同元素作排列或组合，规定每一个排列或组合，都至多

包含某r 个元素中的s 个元素．则：

组合数：011221k k k s k s r n r r n r r n r r n r N C C C C C C C C -------=++++

排列数：50112225()k k k s k s r n r r n r r n r r n r N A C C C C C C C C -------=++++

例６．全组12个同学，其中有3个女同学，现要选出5人，如果3个女同学中至多有２人当选，试问

在下列情形中，各有多少种不同的选法？

（１）组成一个数学小组；（２）分别担任不同的工作．

解：0514231393939766(N C C C C C C =++=种)，

505142325393939()12076691920(N A C C C C C C =++=⨯=种)

模型７．从n 个不同的元素中每次取出k 个不同元素作排列，规定某r 个元素都包含在内，并且分别

占据指定的位置．则k r n r N A --=

例７．用1;2;3;4;5这五个数字，能组成多少个没有重复数字且能被25整除的四位数？

解：∵能被25整除的数的末两位能被25整除，又∵1;2;3;4;5四个数字中没有0

∴要求四位数能被25整除，最后两位只能是25．∴能组在被25整除的四位数只要选取前两位数就可以，所以有 422

5236N A A --===（个）．

模型8．从n 个不同的元素中每次取出k 个不同元素作排列，规定某个元素不能占据某个位置．

则11k k n n N A A --=-

例８．用0;1;2;3;4;5这六个数字，能组成多少个没有重复数字的四位数？

解：∵０不能排在首位，∴能组成四位数有4365300N A A =-=（个）