梅涅劳斯定理复习过程
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梅涅劳斯定理
对于给定的三点或四点,更多的点 的位置关系是什么情况呢？
研究问题，先简单后复杂，对于 三点，我们研究平面图形中边数 最少的封闭图形三角形中三点共 线的问题.
梅涅劳斯（ Menelaus ）定理
设XY , Z,分别为 AB三 C 边 BCC, AA,B 或其 延长线上的点共 ，线 则的 它充 们要条
B
●
CX
④定理的推广研究
• 思考1：对于任意的凸四边形，凸五边
形呢？ B4
A1
B1
A4
B3
A2
A3 B 2
A1B1 • A2B2 • A3B3 • A4B4 ? B1A2 B2A3 B3A4 B4A1
思 设D, E, F分别在三角形ABC的
共 线
边BC,CA, AB上，
考 2：
且
AF FB
1,
BD DC
2
,
CE EA
3
,
则 S D E1 F S A 1 1 B 1 C 2 1 1 2 3 3
三 点 推 广 为
A
A
不
Z●
●Y
共
F
线
E的
三
B
C
●
X
B
D
C点
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
BX•CY•AZ1 XCYAZB
A
Z●
或 XB•YC •ZA1
●Y
XCYAZB B
▪说明：本节出现的比值都是指有向线段的比
C
●
X
证明：（必要性）
过点 C作CD//XY交 ZAB 于D
BX BZ
A
XC ZD
Z●
CY DZ
D
●Y
YA ZA
从而
B
●
CX
B XX C•C YA Y•A ZZ BZBD Z•D ZAZ•A ZZB1
Z′，并且约定
AZ 1
A
ZB
这样，命题依然成立
●Y
B
●
X
C
• ②定理的结构分析。
BX •CY •AZ1或 XCYAZB
XB•Y C •ZA1 XCY AZB
A
Z●
●Y
B
●
CX
• 利用梅涅劳定理证明时， • 必须先找一个三角形， • 使得X、Y、Z刚好在我们 • 要找的三角形三边所在 • 的直线上.
BX XC
SABX SACX
1
2 1
AB• AXs inBAX AC• AXs inXAC
2
A
Z●
●Y
B
●
CX
• ③定理的变形。
梅涅劳斯定理（角元形式）
s iB n• A s iX C n• B s iY A n C 1Z s iX n A s iC Y nB s iA Z nCB
A
Z●
●Y
（充分性）
• 设直线XY与AB相交于点Z′，由上述定 理有：
BX •C• YAZ1
A
XCYAZB
Z●
又已知
wk.baidu.com
Z′
●Y
BX •CY •AZ1B XCYAZB
AZ AZ ZB ZB
●
CX
Z和Z重合
说明：
• ①在证明的过程中，假设了点Z′的存在， 若Z′不存在,则XY∥AB，
我们称XY交AB于AB上的无穷远点
对于给定的三点或四点,更多的点 的位置关系是什么情况呢？
研究问题，先简单后复杂，对于 三点，我们研究平面图形中边数 最少的封闭图形三角形中三点共 线的问题.
梅涅劳斯（ Menelaus ）定理
设XY , Z,分别为 AB三 C 边 BCC, AA,B 或其 延长线上的点共 ，线 则的 它充 们要条
B
●
CX
④定理的推广研究
• 思考1：对于任意的凸四边形，凸五边
形呢？ B4
A1
B1
A4
B3
A2
A3 B 2
A1B1 • A2B2 • A3B3 • A4B4 ? B1A2 B2A3 B3A4 B4A1
思 设D, E, F分别在三角形ABC的
共 线
边BC,CA, AB上，
考 2：
且
AF FB
1,
BD DC
2
,
CE EA
3
,
则 S D E1 F S A 1 1 B 1 C 2 1 1 2 3 3
三 点 推 广 为
A
A
不
Z●
●Y
共
F
线
E的
三
B
C
●
X
B
D
C点
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BX•CY•AZ1 XCYAZB
A
Z●
或 XB•YC •ZA1
●Y
XCYAZB B
▪说明：本节出现的比值都是指有向线段的比
C
●
X
证明：（必要性）
过点 C作CD//XY交 ZAB 于D
BX BZ
A
XC ZD
Z●
CY DZ
D
●Y
YA ZA
从而
B
●
CX
B XX C•C YA Y•A ZZ BZBD Z•D ZAZ•A ZZB1
Z′，并且约定
AZ 1
A
ZB
这样，命题依然成立
●Y
B
●
X
C
• ②定理的结构分析。
BX •CY •AZ1或 XCYAZB
XB•Y C •ZA1 XCY AZB
A
Z●
●Y
B
●
CX
• 利用梅涅劳定理证明时， • 必须先找一个三角形， • 使得X、Y、Z刚好在我们 • 要找的三角形三边所在 • 的直线上.
BX XC
SABX SACX
1
2 1
AB• AXs inBAX AC• AXs inXAC
2
A
Z●
●Y
B
●
CX
• ③定理的变形。
梅涅劳斯定理（角元形式）
s iB n• A s iX C n• B s iY A n C 1Z s iX n A s iC Y nB s iA Z nCB
A
Z●
●Y
（充分性）
• 设直线XY与AB相交于点Z′，由上述定 理有：
BX •C• YAZ1
A
XCYAZB
Z●
又已知
wk.baidu.com
Z′
●Y
BX •CY •AZ1B XCYAZB
AZ AZ ZB ZB
●
CX
Z和Z重合
说明：
• ①在证明的过程中，假设了点Z′的存在， 若Z′不存在,则XY∥AB，
我们称XY交AB于AB上的无穷远点