2020高考数学刷题首选卷考点测试7函数的奇偶性与周期性(理)(含解析)

考点测试7 函数的奇偶性与周期性

高考概览

本考点是高考的必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度

考纲研读

1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义 2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性

3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性

一、基础小题

1．若函数f (x )＝x

(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则实数a ＝( )

A ．12

B ．23

C ．3

4 D ．1 答案 A

解析 函数f (x )的定义域为xx ≠－1

2且x ≠a ．

∵奇函数定义域关于原点对称． ∴a ＝1

2

．故选A ．

2．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)＝( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．4 答案 B

解析 由题意知f (－x )＝－f (x )且f (x ＋2)＝f (x )，所以f (1)＋f (4)＋f (7)＝f (1)＋

f (0)＋f (－1)＝0．故选B ．

3．已知f (x )为奇函数，在[3，6]上是增函数，且在[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f (－6)＋f (－3)＝( )

A ．－15

B ．－13

C ．－5

D ．5 答案 A

解析 因为函数在[3，6]上是增函数，所以f (6)＝8，f (3)＝－1．又因为函数为奇函数，所以2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－2×8＋1＝－15．故选A ．

4．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2

－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为( )

A ．－14

B ．14

C ．12

D ．－12

答案 B

解析 解法一：设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x ，又函数f (x )为奇函数，所以

f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝

⎛⎭

⎪⎫

x ＋12

2＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14

．故选B ．

解法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14

，最小值为－14，

因为函数f (x )为奇函数，

所以当x <0时，函数f (x )的最大值为1

4

．故选B ．

5．已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2

，则f (7)＝( )

A ．－2

B ．2

C ．－98

D ．98 答案 A

解析 由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (7)＝－f (5)＝f (3)＝－f (1)＝－2．故选A ． 6．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x

，则g (x )＝( ) A ．e x －e －x

B ．12(e x ＋e －x )

C ．e x ＋e －x

D ．12(e x －e －x )

答案 D

解析 因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x

，所以g (x )＝12(e

x －e －x

)．故选D ．

7．已知函数f (x )＝g (x )＋x 2

，对于任意x ∈R 总有f (－x )＋f (x )＝0，且g (－1)＝1，则g (1)＝( )

A ．－1

B ．1

C ．3

D ．－3

答案 D

解析因为对于任意x∈R总有f(－x)＋f(x)＝0，所以f(x)为奇函数，f(－1)＝g(－1)＋1＝－g(1)－1＝－f(1)，所以g(1)＝－3，故选D．

8．若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则( )

A．f(2)>f(3) B．f(2)>f(5)

C．f(3)>f(5) D．f(3)>f(6)

答案 D

解析由y＝f(x＋4)为偶函数，得f(－x＋4)＝f(x＋4)，则f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5)，C错误；又f(x)在(4，＋∞)上为减函数，则f(5)>f(6)，即f(3)>f(2)，A错误；f(5)>f(2)，B错误；f(3)>f(6)，D正确．故选D．

9．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若不等式f(a)≥f(x)对任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，1] B．[－1，1]

C．(－∞，2] D．[－2，2]

答案 B

解析因为函数f(x)为偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，所以函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则不等式f(a)≥f(x)对任意x∈[1，2]恒成立等价于f(a)≥f(x)max＝f(1)，所以|a|≤1，解得－1≤a≤1，即实数a的取值范围为[－1，1]，故选B．

10．已知函数f(x)满足f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0，则f(x)( ) A．为奇函数B．为偶函数

C．为非奇非偶函数 D．奇偶性不能确定

答案 B

解析令x＝y＝0，则2f(0)＝2f2(0)，又f(0)≠0，所以f(0)＝1．令x＝0，则f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)，即f(－y)＝f(y)，所以函数f(x)是偶函数．故选B．11．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________．

答案 4

解析因为f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)对于任意的x都成立，即(x＋a)(x－4)＝(－x＋a)(－x－4)，

所以x2＋(a－4)x－4a＝x2＋(4－a)x－4a，所以a－4＝4－a，即a＝4．

12．设函数f(x)＝x3cos x＋1．若f(a)＝11，则f(－a)＝________．

答案－9

解析记g(x)＝x3cos x，则g(x)为奇函数，故g(－a)＝－g(a)＝－[f(a)－1]＝－10，故f(－a)＝g(－a)＋1＝－9．