02-边缘分布
《边缘分布》课件
边缘计算在智能制造中的应用
1 2
智能制造系统
工业自动化、工业物联网、智能工厂等。
边缘计算在智能制造中的作用
实时监测和优化生产过程，提高生产效率和产品 质量。
3
边缘计算在智能制造中的优势
减少数据传输延迟，提高生产过程的实时性和可 控性，降低生产成本。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
05
边缘计算的发展趋势与未来展望
边缘计算的发展趋势
边缘计算技术的普及
与云计算的协同发展
随着5G、物联网等技术的快速发展，越来 越多的设备将接入到边缘计算网络中，实 现更高效的数据处理和实时响应。
边缘计算将与云计算形成互补，共同构建 更加智能、高效的数据处理体系。
安全性和隐私保护的重视
垂直行业的深度融合
平台，就近提供最近端服务。
边缘计算发展历程
从云计算到边缘计算，随着物联网 、5G等技术的快速发展，数据处 理和分析的需求逐渐向设备端转移 。
边缘计算应用场景
智能制造、智慧城市、智能交通、 智能家居等众多领域，实现高效、 低延迟的数据处理和分析。
边缘计算的关键技术
01
02
03
04
分布式存储技术
实现数据的分布式存储和管理 ，确保数据的安全性和可靠性
通过传感器、控制器等设备实现车辆自主驾驶的技术。
02
边缘计算在自动驾驶中的作用
在自动驾驶过程中，边缘计算能够实时处理车辆传感器采集的数据，提
供快速响应和决策支持。
03
自动驾驶技术的应用场景
包括智能交通、物流运输、共享出行等领域。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
概率论与数理统计教学课件-3-2边缘分布
边缘分布与联合分布的关系
联合分布
描述多个随机变量同时发生的概率分 布。
关系
对于离散型随机变量，边缘分布可以 通过求和联合分布中相应事件的概率 得到；对于连续型随机变量，边缘分 布可以通过积分联合分布得到。
边缘分布的几何意义
几何解释
在概率空间中，边缘分布描述了一个随机变量在固定其他随机变量取值时的概 率分布情况。
边缘分布的数学表达式为 $f(x) = frac{1}{b-a}$，其中 $a$ 和 $b$ 是给定的范围。
对于均匀分布，其概率密度函 数为 $f(x) = frac{1}{b-a}$，其 中 $a$ 和 $b$ 是随机变量 $X$ 的取值范围。这个表达式表示 在给定范围内，随机变量 $X$ 的取值是均匀分布的。
3
边缘分布的计算
对于超几何分布，其边缘分布就是抽取某一特定 类型的样本的概率。
04
边缘分布的应用场景
统计分析
描述性统计
在统计分析中，边缘分布用于描 述数据的基本特征，如均值、中 位数、众数等。这些统计量可以 帮助我们了解数据的集中趋势和 离散程度。
异常值检测
通过比较数据点与边缘分布的统 计量，可以检测出异常值，这些 值可能对数据分析产生重大影响。
在概率论与数理统计中，边缘分布在处理多维随机变量问 题时具有重要作用，可以帮助我们简化问题，提取所需的 信息。
下节预告
条件分布的概念
在概率论与数理统计中，条件分布是指在某个随机变量取值的条件下，其他随机变量的 概率分布。
条件分布的性质
条件分布具有依赖性，即条件分布的取值受其他随机变量的影响；同时，条件分布的取 值范围和概率密度函数形式与联合概率分布有关。
数据可视化
边缘分布可以用于绘制直方图、 箱线图等，帮助我们直观地了解 数据分布情况。
第二节边缘分布
x
y
2
)( C arctan y )
0 lim F ( x , y ) A( B arctan x )( C
2
)
联立这三个方程可得
A=1/π2, B=π/2,C=π/2. 从而
1 F ( x , y ) 2 arctanx arctany 2 2
p
i xi x , y j y
p
p j
xi x
p p
i yjy
j
FX ( x ) FY ( y )
所以X与Y相互独立。 (2)必要性。若X与Y相互独立，对于任意实数 x1<x2，y1<y2，有 P{x1<X≤x2，y1<Y≤y2}=P{x1<X≤x2}P{y1<Y≤y2} 于是，对于任意i，j，由概率的连续性
x
1 1 arctan y 2
例2: 设(X,Y)在单位圆D{(x,y)|x2+y2<1}上服从均匀分布, 求边缘概率密度fx(x),fY(y)。 y 解 (X,Y)的p,d为：
1 f ( x , y ) 0 x2 y2 1 其他
-1
0 x
1
x
先求fx(x) :
1 ( 2) FX ( x ) limF ( x , y ) 2 arctanx y 2 2 2 1 1 1 arctanx arctanx 2 2
FY ( y ) lim F ( x , y )
X
x
X
X
边缘分布2
F ( x)
f ( x)dx
Y ~ FY ( y) F (, y) P{ X , Y y}
定义：称 f X ( x)
f
( x) dx
x
x y y
0
f(x)>0 称为X 密度函数
f ( x, y)dx f
y Y
y
xi pi1 pi 2 pij pi
Y ~ p j p1 p 2 p j 1即是Y的分布律。来自注意满足条件 1 各元素非负 2
p
i j
ij
1, pi 1
i
X 的分布律
X
p
j
j
1
例1：已知（X,Y）的联合分布律如下表，求X,Y 的边缘分布律。
分限
x +y =1
1
y y =1-x D
x x
x
y x x D x
x =1-y
2dx 2(1 y ), 0 y 1; Y ~ fY ( y) f ( x, y)dx 0 其他 0
1 y
注意取值范围
x
由本例看出二维随机变量在D上均匀分布，但边缘概率密度不一定是均匀 分布。容易证明，仅在矩形域上均匀分布的（X,Y）其边缘密度仍是均匀 分布。
Y
0 0 1 8 1 8
1 2
1 3 8 0
2 2 8 0
pi
3 8
2 8
3 1 8 1 8 2 8
p j 即知： X 6 pi 8 2 Y 8 p j 1
0 1 8 1 3 4
1 3 8 2 1 4
2 1 4
联合分布与边缘分布的关系
目录
• 联合分布与边缘分布的定义 • 联合分布与边缘分布的应用场景 • 联合分布与边缘分布的实例分析 • 总结与展望
01
联合分布与边缘分布的定义
联合分布的定义
1
联合分布描述了随机变量之间的共同概率分布， 表示多个随机变量同时发生的概率。
2
联合分布函数通常用大写字母表示，例如F(x,y)， 表示随机变量X和Y的联合分布函数。
感谢您的观看
THANKS
的影响。
联合分布与边缘分布的关系
• 联合分布和边缘分布在描述随机变量之间的关系时具有互补性。联合分布描述 了多个随机变量的共同概率特性，而边缘分布描述了单个随机变量的概率特性。
• 当一个随机变量是其他随机变量的函数时，该随机变量的边缘分布可以通过对 联合分布进行积分得到。例如，如果X和Y是两个随机变量，且Y=g(X)，那么X 的边缘分布可以通过对X和Y的联合分布积分得到。
联合分布和边缘分布在二维正态分布中具有以下关系：联合分布的概率 密度函数是边缘分布概率密度函数的乘积，即f(x, y)=f(x)f(y)。
多维正态分布的联合分布与边缘分布
01
多维正态分布的联合分布表示多个随机变量的概率分布情况，其概率密度函数 由均值向量和协方差矩阵决定。
02
对于多维正态分布，其边缘分布是低维正态分布。对于每个随机变量，其边缘 分布的概率密度函数由该变量的均值和标准差决定，与其他变量的取值无关。
联合分布与边缘分布在金融领域的应用
风险评估
联合分布和边缘分布在金融领域 中用于评估投资组合的风险，例 如计算投资组合的预期收益和风 险。
资产定价
联合分布和边缘分布在资产定价 中用于确定资产的合理价格，例 如通 结构中用于分析市场交易行为和 市场价格形成机制。
第二节边缘分布概率论与数理统计
同理, 2 fY ( y)
0
1 y2 | y | 1 | y | 1
1 X
y 1 x2
例6 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
e y , f (x, y)
0,
0 x y ⑴ 求随机变量X的密度函数； 其他 ⑵ 求概率P{X+Y≤1}.
解:(1)x≤0时, fX(x)=0;
e y
pij
xi x j
例2 从三张分别标有1,2,3号的卡片中任意抽取一张， 以X 记其号码，放回之后拿掉三张中号码大于X的卡片 （如果有的话），再从剩下的卡片中任意抽取一张，以
Y 记其号码. 求二维随机变量（X, Y）的联合分布和边 缘分布. 解 由乘法公式，得 （X，Y）的联合分布为
P{X i,Y j} P{X i}P{Y j | X i} (i 1, 2,3).
解 由乘法公式，得 （X，Y）的联合分布为
P{X i,Y j} P{X i}P{Y j | X i} (i 1, 2,3).
由此可得（X, Y)的联合分布和边缘分布如下：
Y
X
1
2
3
Pi•
1
1
3
1
0
0
3
1
2
6
3
1 9
P• j
11 18
1
1
6
0
3
1
1
1
9
9
3
5
2
18
18
关于X和Y的边缘分布如下：
y 故（X, Y）的概率密度为
O x
例5 .设随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,其中
D={(x,y),x2+y2≤1},求X,Y的边缘密度函数fX(x)和fY(y).
第二节 边缘分布
2
1
2 ) 1
1
2
e
2 (1
2
[ 2 )
( x 1 )( y 2 )
1 2
2 2
]
dy
2
( x 1 ) 2 (1
2
2
1
1
e
2
2 ) 1
e
2 (1
2
[( )
y2
2
x 1
1
)
2
2
( x 1 )
2 1
]
dy
( x 1 ) 2 1
2
2
1
e
2
1
e
2 (1
2
( )
y2
2
x 1
1
)
2
dy
fX (x)
1 2 π σ 1σ 2
t 1
( x μ1 ) 2 σ1
2
2
1
e
2
e
y μ2 x μ1 ρ 2 σ1 2 (1 ρ ) σ 2 1
0
1 10
1 2
P{D i}
0 0
4 10
0
0 2 10 1 10
0
2 10 3 10
1 10 4 10
2 10
1
或将边缘分布律表示为
D
1 2
4 10
3
4
F
pk
0
1 10
1
7 10
2
2 10
p k 1 10
概率论-二元分布和边缘分布独立
dy
2
令 y- x 2 1-
则有
f exp( x )
(x)
2
X
2
-
exp
2
2
dv
同理可得：
f (y) Y
1
exp
2
x
(- x )
2 2
1
2
exp -
2
y
2
(- y )
例2. 设(X,Y)的分布密度是
6e(3x2y) , x 0, y 0
f (x, y)
例1：设随机变量( X ,Y )的分布函数为
F (x,
y)
sin
x sin
y
0
0x π ,0 y π
2
2
其它
求（X，Y）落入矩形域 0 x π , π y π 的概率
46
3
Y
解：P{0 x π , π y π }
3
46
3
6
F( π , π ) F( π , π ) F(0, π ) F(0, π )
<3> 对于固定的y,当 x1 x2 时 有 F(x1,y) F(x2,y)
对于固定的x,当 y1 y2 时 有 F(x,y1) F(x,y2 )
<4>
F (x 0, y) F (x, y)
F (x, y 0) F (x, y)
例2：设二维随机变量（X,Y）的分布
函数为 Fx, y A B arctg x C arctg y
e (xy ) 0
x 0,y0 其他
(2)
yx
F(x, y)
f (u, v)dudv
当 x 0, y 0 时
边缘分布
y 1
fY ( y )
y
0
2
6 xydx 6 y
x 2
2
y
R
3y (2) 当 y [0,1] 时，有 fY ( y ) 0
0
O
y x2 x 1
3 y2 故 fY ( y ) 0
0 y1 其它
例：设二维随机变量 (X, Y) 的概率密度为
例3 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度
6, x 2 y x , p( x , y ) 0, 其它. 求边缘概率密度 p X ( x ), pY ( y ).
y
(1,1)
y x
y x2
O
x
例： 已知二维随机变量(X, Y)的概率密度为
6 xy f ( x, y) 0
一般地，已知连续型随机变量(X, Y)的联合概率密度为
f ( x , y ) ( x , y )
则
y F ( x , y ) f ( u, v )dv du 根据边缘分布函数的定义 x
FX ( x ) F ( x , ) lim F ( x , y )
所有计算结果列表如下 ：
Y
0 1 2 pi
( X,Y )关于Y
X
的边缘分布律
2 1 9 0 0 1 9 p j 4 9 4 9 1 9
0 1 9 2 9 1 9 4 9
1 2 9 2 9 0 4 9
( X,Y )关于X
的边缘分布律
X 和Y的边缘分布律可由( X , Y )的分布律确定
四、连续型随机变量的边缘概率密度
§2、边缘分布
F (, y ) FY ( y ),
分别是随机变量(X,Y)中变量X 与Y 的边缘分布函数． 并且由分布函数性质可知， F ( , ) 0,
F ( , ) 0.
下面分别讨论离散型与连续型二维随机变量(X,Y) 的边缘分布公式．
3
下面分别讨论离散型与连续型二维随机变量(X,Y) 的边缘分布公式． 1、设离散型二维随机变量(X,Y)的分布律为
公式
f X ( x) fY ( y)
f ( x, y)dy
— (X,Y)关于X的 边缘概率密度 — (X,Y)关于Y的 边缘概率密度
f ( x, y)dx
由联合概率密度可求得各个边缘概率密度：对某 一个变量在(-∞,+∞)上积分，另一个变量作为所对 应随机变量密度函数自变量取值于全体实数范围.
FX ( x ) F ( x,) f ( x , y )dy dx, 两边求导数，即得X的边缘概率密度为
x
f X ( x)
f ( x, y)dy;
同理，可得关于Y的边缘概率密度为
fY ( y )
6
f ( x, y)dx.
联合分布
边缘分布
下面就来讨论边缘分布的问题．
1
二、边缘分布的公式 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x, y)已知， 则随机变量X的边缘分布函数为
FX ( x ) P{ X x} P{ X x, Y } F ( x ,);
类似地，Y的边缘分布函数为
FY ( y) F (, y).
于是，有
f X ( x)
边缘分布说课讲解
边缘分布11.边缘分布【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》第三章第§2边缘分布【教材分析】：前一节我们已经研究了二维随机变量的一些有关概念、性质和计算，二维联合分布函数（二维联合分布律，二维联合密度函数也一样）含有丰富的信息，如每个分量的分布，即边缘分布等。
本节的目的是将这些信息从联合分布中挖掘出来，主要从离散型随机变量出发讨论边缘分布。
【学情分析】：1、知识经验分析学生已经学习了一维随机变量的分布函数、分布律、概率密度函数的概念、性质和相应的计算。
已经有了一定的理论基础和计算技能。
2、学习能力分析学生虽然具备一定的基础知识，但解决问题的能力不高，知识没有融会贯通。
【教学目标】：1、知识与技能理解并掌握边缘分布的概念，能熟练求解随机变量的边缘分布函数和边缘分布律。
2、过程与方法根据本节课的知识特点和学生的认知水平，教学中采用类比的方法，讲、将一维随机变量的相关知识引入课题，层层设问，经过思考交流、概括归纳，得到边缘分布的概念，使学生对问题的理解从感性认识上升到理性认识。
3 、情感态度与价值观培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，加深学生对从特殊到一般的思想认知规律的认识，树立学生善于创新发现的思维品质.【教学重点、难点】：重点：理解二维随机变量(X ,Y)关于X和Y的边缘分布函数和边缘分布律的概念。
并会求随机变量的边缘分布律。
难点：求离散型型随机变量的边缘分布律。
【教学方法】：讲授法启发式教学法【教学课时】：1个课时【教学过程】：一、问题引入(复习)第二章中我们已经学习了随机变量的分布(分布函数、分布律和概率密度)。
定义1设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x) P(X x) ( x )称为X的分布函数。
有时记作X ~ F (x)或F X (x)。
定义2 一般，设离散型随机变量X的分布律为P(X X k) P k,k 1,2,••…定义3如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数f (x)，使得对于任意实数x有xF(x) P{X x} f(t)dt.则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数【设计意图】：通过复习一维随机变量的分布，加深学生对一维随机变量和它的分布的理解，将二维随机变量的分布转化成一维的情形研究，进而得到边缘分布。
概率论与数理统计课件-第二节边缘分布
2
解：
fX (x)
f (x, y)dy
1
x2y2
e 2 (1 sin x sin y)dy
2
1
x2y2
e 2 dy
1
x2y2
e 2 sin x sin ydy
2
2
1
x2
e 2
2
1
y2
e 2 dy
1
x2
e 2 ( x )
2
2
同理，
fY (y)
1
y2
e 2
有 P{X xi ,Y y j} P{X xi}P{Y y j} 即 pij pi. p. j .
《概率统计》
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例1．已知（X，Y）的邊緣分佈律，且X與Y 相互獨立， 求（X，Y）的聯合分佈律。
X1
2
pi · 1/3
2/3
Y1 . p·j 1/2
23 1/3 1/6
解：由獨立性 p11= p1·p·1 = 1/6 ， p23= p2·p·3= 2/18
x
f X (x)
f (x, y)dy
0dy 0
即
xex ,
f X (x)
0,
0 x 其它
y=x
o
《概率统计》
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例3. 已知隨機向量（Ｘ，Ｙ）的聯合密度函數為
xe y , 0 x y
f (x, y) 0,
其它
求 X ,Y的邊緣概率密度。
解：當y>0時,
當y≤ 0時,
《概率统计》
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四、隨機變數的獨立性
1. 定義 設 （X，Y），F（x，y），FX（x），FY（y）
概率论边缘分布
x\y 1 0 p.j
1 0 pi. 1/10 3/10 2/5 3/10 3/10 3/5 2/5 3/5
0 3/5
故关于X和Y的分布律分别为： X 1 0 Y 1 P 2/5 3/5 P 2/5
三、边缘密度函数 设(X, Y)～f (x, y), (x, y)R2, 则称
f X ( x) f ( x, y)dy
x 6 ydy 3 x 2 f X ( x) 0 0 0 x 1 others
1 6 ydx 6 y (1 y ) 0 y 1 fY ( y ) y 0 others
四、随机变量的相互独立性
定义 称随机变量X与Y独立，如果对任意实数
(X,Y) pij
W＝X＋Y
V＝max(X, Y)
U＝min(X, Y)
(0,0) 2 q
(0,1) pq
(1,0) pq
0
0 0 0 1 0
1
1 0
1
1 0 2 0
(1,1) 2 p 2 1 1
W V 0 1
q
0
2
2 pq
p
2
a<b,c<d，有
p{a<Xb,c<Yd}=p{a<Xb}p{c<Yd} 量X与Y独立。 即 事件{a<Xb}与事件{c<Yd}独立，则称随机变
定理：随机变量X与Y独立的充分必要条件是 F(x,y)=FX(x)FY(y)
定理:设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立 的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y) 定理. 设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律 为Pi,j=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,...，则X与Y独立的充分
概率论-边缘分布、条件分布
解: (1) 所求概率分布律为 P{ i | 2} i 0,1,2,3 于是 P{ 0 | 2} P{ 0, 2} 10 100 1
P{ 2} 210 210 10 同理 P{ 1 | 2} 60 100 3
210 210 5
(1) 已知抽取的4件产品中有2件二等品,求一等品件数的概率分布.
(2) 已知抽取的4件产品中有1件一等品,求二等品件数的概率分布.
0 1 2 3 p j
0
1
2
3
0
0 10/210 20/210
0 15/210 60/210 30/210
3/210 30/210 30/210 0
2/210 5/210 0
0
5/210 50/210 100/210 50/210
4
pi
则随机变量 的边缘概率分布律为
P{ xi } pij pi i 1,2,, n, j1
同理随机变量 的边缘概率分布律为
P{ y j } pij p j j 1,2,, m,
i
3、边缘分布函数
若二随机变量( , )的联合分布函数为F ( x, y) ，则称 随机变量 或 的分布函数 F ( x) 或F ( y) 为F ( x, y) 的 边缘分布函数。
类似地，当 pi 0时，在 xi 条件下 的条件分布律为
P(
yj
|
xi )
P( xi , y j ) P( xi )
pij pi
j 1,2,
续例1 已知10件产品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,现
从这批产品中任意抽出4 件, 求其中一等品件数 及二等品件 数 的联合分布列. 求随机变量 (或 )的分布列.
0
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第三章 多维随机变量及其分布
第二节 边缘分布
【学习目标】
1、掌握二维离散型随机变量边缘分布律的概念，会求边缘分布律；
2、掌握二维连续型随机变量边缘概率密度的概念，会求边缘概率密度。
【学习重点】边缘分布律、边缘概率密度。
.
【学习难点】边缘概率密度的求法。
【学习任务清单】
一、课前导学
1、对二维随机变量(),X Y 作为整体研究了其分布规律之后，本节主要介绍由联合分布怎样找到X 与Y 各自的分布。
二、学习视频
第十五讲 边缘分布（共4个视频，总时长52分11秒）
视频1 边缘分布律定义（9分23秒）
介绍边缘分布函数()()()()lim ,,lim ,X Y y x F x F x y F y F x y →+∞→+∞
== 边缘分布律{}{}11,i i j ij i j j P X x P X x Y y p p +∞+∞
========∑∑
{}{}11,j i j ij j i i P Y y P X x Y y p p +∞+∞
========∑∑
视频2 边缘分布律例题（16分00秒）
由实际例题给出边缘分布律的具体求法。
例题3个。
例：（掷双骰子）掷两颗骰子，用X 表示两颗骰子点数之和，Y 表示两颗骰
子点数只差，求X 与Y 各自的分布律。
解题思路：利用边缘分布律的求法。
例：（电游竞赛）某电游竞赛分初赛与复赛，初赛采用5分制，设某人初赛分数X 等可能地取0,1,2,3,4,5；复赛则可以重复玩，直至出现第一个Y 满足Y X ≥为止，求X 与Y 各自分布律。
解题思路：利用边缘分布律的求法。
例：（昆虫产卵）设某种昆虫产卵数()X P λ，设卵的孵化率为p ，孵化数记为Y ，求（a ）,X Y 的联合分布律；（b ）,X Y 的边缘分布律。
解题思路：利用条件概率，概率的性质求出联合分布律，然后求出边缘分布律。
视频3 边缘密度函数（12分58秒）
给出求边缘密度函数的公式及注意事项，例题1个。
边缘概率密度：()()()(),,,X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞+∞-∞-∞==⎰⎰。
例：设D 为xoy 平面上由0,1,,1x x x y x y ====-围成的区域，定义随机变量,X Y 联合密度函数如下
()(),,0c x y D f x y ⎧∈=⎨⎩其他
求：（a ）确定常数c ；（b ）,X Y 的边缘密度函数()(),X Y f x f y 。
解题思路：用联合密度的规范性和求密度函数的公式。
视频4 计算示例/推广（8分24秒）
给出求边缘密度的实例，说明用公式求边缘密度时的注意事项，把边缘密度的求法推广到n 维的情形。
例题1个。
例：设,X Y 联合密度函数为，
()2221,1,40,x y x y f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他
求,X Y 的边缘密度函数()(),X Y f x f y 。
求解思路：用求密度函数的公式。
三、讨论区和慕课堂上在线提问交流
四、在线测验
五、线下辅助教学
1、QQ群、微信群在线答疑。