第10章 递归效用函数

第10章递归效用函数

投资者有两种不同的规避行为：一种是对同期内风险的规避；另一种是对跨期消费波动的规避。刻画这两种行为的参数分别是相对风险规避系数和跨期替代弹性系数。然而，在经济学中普遍使用的常数相对风险规避系数型效用函数中，投资者的相对风险规避系数等于跨期替代弹性系数的倒数，两个参数具有固定的关系，因而就没有将这两种不同的规避行为区分开来。

Epstein and Zin（1989，1991）和Weil（1989，1990）在Kreps and Porteus （1978）的理论框架基础之上提出了更加灵活的递归效用函数（Recursive utility function），推广了传统的时间可分、状态可分效用函数。

递归效用函数中的相对风险规避系数和跨期替代弹性系数分别由两个独立参数刻画，不再互为倒数，从而将风险规避和跨期替代两种不同行为区分开来。递归效用函数，也称为递归偏好（Recursive preference）、广义等弹性偏

好（Generalized isoelastic preference）、随机微分效用（Stochastic differential utility）和非期望效用函数（Non-expected utility function）。Tallarini（2000）的风险敏感偏好（Risk-Sensitive Preference）也是一种特殊的递归效用函数，其中的跨期替代弹性系数等于1。

引入递归效用函数的主要作用在于，通过分解投资者的跨期替代和风险规避两种不同的行为，从而可以建立更加灵活的资产定价模型。如果所有的资产收益率都服从独立同分布的正态分布，那么资产的溢价等于相对风险规避系数乘以资产的消费风险（Weil，1989）。因此，可以采用足够大的相对风险规避系数来解释股票溢价之谜，而没有遭遇无风险利率之谜（卢卡斯，2003）。

第1节 基于递归效用的欧拉方程

✧ CES 生产函数（constant elasticity of substitution ）

()

(1)y K

L

λ

ρ

ρρ

γδδ---=+-

✧ 【替代弹性：f(x 1,x 2), dlog(x 2/x 1)/dlog(f 1/f 2)】 ✧ CES 效用函数（constant elasticity of substitution ）

1111(,)[(1)],01,0,1b b b t t t

t

u c m ac

a m a

b b ---=+-<<>≠

✧ 【作业】1(,)a a

t t t t u c m c m -=是CES 效用函数b →1时的特殊情形。

1、递归效用函数

考虑一个代表性投资者经济。除了投资者的偏好结构之外，关于经济的假定与第5章的离散时间局部均衡模型是一样的。Epstein and Zin （1989，1991）和Weil （1989）递归地定义如下的值函数。投资者t 时使用的财富为t W ，所得到的最大期望终身总效用为值函数()t V W ，由如下方程递归给出

()1()max ,()t

t t t t t C V W U C EV W += （10.1）

其中

()

111111(1)t t

t t U C E U αγγ

γ

α

ββ-----+⎧

⎫=-+⎨⎬⎩

⎭

（10.2）

其中t E 是条件期望算子，1β<是主观贴现因子，0α>是相对风险规避系数（Coefficient of Relative Risk Aversion ），1/0γ>是跨期替代弹性（Elasticity of Intertemporal Substitution ）。α和γ是两个独立参数。当参数αγ=时，递归效

用函数（1）就退化为传统的时间可分的幂效用函数，其相对风险规避系数就是α。

2、市场组合

代表性投资者的预算约束方程为如下的方程（10.3）和（10.4）。投资者的t 时财富在消费和各种资产之间进行分配

1,n

t t i i t W C N ==+∑ （10.3） 投资者的t ＋1时财富等于各项资产的投资回报

11,,1n

t i i t i t W N R +=+=∑ （10.4） 将预算约束方程（10.3）和方程（10.4）合并起来，得到

1,11

,,1

1

,,1,11

,1,,1

()

()n i i t n t i i t i t n i i t

i t n i t t i t n i i t

n t t i i t i t N W N R N N W C R N W C R ω=+=+==+==+∑=∑

∑=∑-∑=-∑

其中,,1,,//()n

i t i t i i t i t t t N N N W C ω==∑=-是投资者将其消费后的剩余财富投资于各种资产的资产组合比例。由于11n ωω+

+=，并且投资者是代表性的，

所以可以将该资产组合理解为市场组合的权重。可以定义,11,,1n

m t i i t i t R R ω+=+=∑为市场组合的收益率。因此，代表性投资者在t +1时的财富可以理解为将t 时的储蓄全部投资于市场组合而得到的t ＋1时回报，即

1,1()t t t m t W W C R ++=- （10.5）

3、欧拉方程

投资者选择符合预算约束方程的消费和资产组合来最大化效用水平t U 。Epstein and Zin （1989，1991）已经证明了，对于这种形式的预算约束方程，资产j 的收益R j ,t +1的欧拉方程可以表示为

111111,1,11t t m t j t t C E R R C α

γαγγ

β------+++⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎪⎪⎢⎥=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭

（10.6）

当α = γ 时，欧拉方程（10.6）将退化为没有市场组合、基于消费的基本欧拉方程形式。只要是可交易资产，甚至是人力资本，欧拉方程（10.6）就成立。

下面给出使用动态规划来求解欧拉方程（10.6）的详细证明过程。将预算约束方程（10.3）和（10.4）代入递归效用函数（10.1），分别消去t 时消费和t ＋1时的财富，得到

,1

1,1,,1{}()max ,()n

i t i n n

t t t i i t t i i t i t N V W U W N E V N R ===+⎡⎤=-∑∑⎣⎦ （10.7） 贝尔曼方程（10.7）关于投资数量,i t N 的一阶条件为