2016北大博雅计划数学试题
14-18年北清自招博雅领军数学真题-数论基础与整除
北大博雅15.1.已知n为不超过2015的正整数，且1234n n n n+++的个位数字为0，则满足条件的正整数n的个数为（）A.1511B.1512C.1513D.前三个答案都不对清华领军2015.18.已知存在实数r，使得圆周222x y r+=上恰好有n个整点，则n可以等于（）A.4B.6C.8D.12分类存疑北大博雅2016.4.函数1,,(,)1,,(),0,qx p q p q NP pf xQ+⎧==∈⎪=⎨⎪∉⎩则满足(0,1)x∈且1()7f x>的x的个数为（）A.12B.13C.14D.前三个答案都不对4.【解答】D满足(0,1)x∈，且1()7f x>的x的个数为11，分别为1121312341523344555566，，，，，，，，，，。
【评析】这个函数是非常有名的黎曼函数的一部分，但是对于学生的要求很低，只需要准确理解题意即可，问题本身并不困难。
北大博雅2016.14.已知正整数,,,a b c d满足ab cd=，则a b c d+++有可能等于（）A.101B.301C.401D.前三个答案都不对14.【解答】B考虑a=mn，b=pq，c=mp，d=nq则a+b+c+d=mn+pq+mp+nq=(m+q)(n+p)，于是a+b+c+d不是质数即可。
如301=7×43=(1+6)×(1+42)，于是a=1，b=252，c=42，d=6即得正确答案是B。
【评析】数论不定方程问题，其中的换元方法是数论中的经典。
北大博雅2017.1.若正整数,,a b c满足402a b c++=，则使得10n| abc的最大正整数n是（）A.5B.6C.7D.以上答案均不正确【1】Da=25,b=25,c=352时，n 可取4，下面我们将说明n 不可能大于4：若n ≥5，先考虑5n |abc ：由于a+b+4=402，而402并不是5的倍数，所以abc 不可能均为5的倍数。
北大博雅计划笔试真题
北大博雅计划笔试真题篇一：16年北京大学博雅计划数学试题XX年北京大学博雅计划数学试题选择题共20小题，在每小题的选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.1.直线y??x?2与曲线y??ex?a相切，则a的值为：；A.?3B.?2C.?1D.前三个答案都不对2.已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c，则下面4个结论中正确的个数为：；（1（2）以a2,b2,c2为边长的三角形一定存在；（3）以a?bb?cc?a,,为边长的三角形一定存在；（4）以|a?b|?1,|b?c|?1,|c?a|?1为边长的三222角形一定存在；D.前三个答案都不对3.设AB,CD是?O的两条垂直直径，弦DF交AB于点E，DE?24,EF?18，则OE等于：；ABCD.前三个答案都不对q?1,若x为有理数，p与q互素1?p4.函数f?x???p，则满足x??0,1?且f?x??的x的个数有：； 7?0,若x为无理数?前三个答案都不对5.若方程x?3x?1?0的根也是方程x?ax?bx?c?0的根，则a?b?2c的值为：； 242A.?13B.?9C.?5D.前三个答案都不对6.已知k?1，则等比数列a?log2k,a?log4k,a?log8k的公比为：；111A. B. C. D.前三个答案都不对 234?2?10??的值为：； 111111111A.? B.? C.?D.前三个答案都不对 163264XX?z?z1228.设a,b,c为实数a,c?0，方程ax?bx?c?0的两个虚数根为z1,z2，且满足为实数，则??1?z2k?0?z2?k 等于：；.0 C D.前三个答案都不对9.将12个不同物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种类为：；D.前三个答案都不对10.设A是以BC为直径的圆上的一点，D,E是线段BC 上的点，F是CB延长线上的点，已知BF?4,BD?2,BE?5,?BAD??ACD，?BAF??CAE，则BC的长为：；D.前三个答案都不对11.两个圆内切于K，大圆的弦AB与小圆切于L，已知AK:BK?2:5,AL?10，则BL的长为：；D.前三个答案都不对?x?是一个定义在实数R上的函数，满足2f?x??fx?1?1,?x?R，则f； ??? 前三个答案都不对 2313.从一个正9边形的9个顶点中选3个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数有：；D.前三个答案都不对14.已知正整数a,b,c,d满足ab?cd，则a?b?c?d有可能等于：；D.前三个答案都不对15.三个不同的实数x,y,z满足x3?3x2?y3?3y2?z3?3z2，则x?y?z等于：；A.?1 D.前三个答案都不对16.已知a?b?c?1的最大值与最小值的乘积属于区间：；A.[10,11)B.[11,12)C.[12,13)D.前三个答案都不对17.在圆内接四边形ABCD中，BD?6,?ABD??CBD?30?，则四边形ABCD的面积等于：；ABCD.前三个答案都不对!?2!?…+XX!除以100所得余数为：；D.前三个答案都不对19.方程组x?y2?z3，x2?y3?z4，x3?y4?z5的实数解组数为：；D.前三个答案都不对x3?x3x3?x)??3x的所有实根的平方和等于： 20.方程(33D.前三个答案都不对篇二：XX北京大学“博雅人才培养计划”面试题目及对策XX北京大学“博雅人才培养计划”面试题目1.北京申办冬奥会有哪些机遇和挑战2.如何治理雾霾，有何建议3.中国传统文化将如何走出去4.微信在人际交往中的作用5.欧洲历史上的分与合6.如何看待中国申请冬奥会面试分为两个阶段，第二阶段为一对一考察理科生需在45分钟内，尝试解答一道物理题和一道数学题，然后分别接受一名物理考官和一名数学考官的一对一考察。
北京大学自主招生数学2016
2016北大自主招生数学试卷A1、函数的单调递增区间为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】B函数的定义域为，设，其单调递增区间为，单调递减区间为，且单调递减，因此的单调递增区间为.2、对于任意给定的所在平面上的点满足，，的面积相等，则这样的点的个数是（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）前三个答案都不对 【解析】D为△的重心，或者四点构成平行四边形.3、圆内接四边形中，，则它的外接圆直径为（ ） （A ）170 （B ）180 （C ）（D ）前三个答案都不对 【解析】A注意到，即，故由余弦定理可得解得，故外界圆直径为，.4. 正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，则三角形是等腰三角形的概率为（ ） （A ）（B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】B 由题意易知只有对角面上的三角形不是等腰三角形故 ()()20.5log 2f x x x =-++11,2æö-ç÷èø122æöç÷èø，12æö+¥ç÷èø，()f x ()1,2-()()2212g x x x x =-++-<<11,2æö-ç÷èø122æöç÷èø，()()0.5log f x g x =()()20.5log 2f x x x =-++122æöç÷èø，ABC D P PAB D PBC D PAC D P P ABC ,,,A B C P ABCD 136,80,150,102AB BC CD DA ====222215013610280-=-222215080136102+=+222222cos 2cos BD BC DC BC DC C BA DA BA DA AA C pì=+-×=+-×í+=î2A C p==BD 170BD =1247383864417P ´=-=C5、已知，为整系数多项式且，则 的各项系数之和为（ ）（A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）前三个答案都不对 【解析】A易知为二次多项式，设，代入得，对照系数可得，解得则各项系数之和为8.6、设，则的取值范围为（）（A ） （B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】B，即即，.7、实系数方程的根都不是实数，其中两个根的和为，另两根的积为，则等于（ ）（A ）11 （B ）13 （C ）15（D ）前三个答案都不对 【解析】C()234f x x x =-+()g x ()()432318506948f g x x x x x =++++()g x ()g x ()2g x Ax Bx C =++()()()()22234f g x Ax Bx CAxBx C =++-+++2223361836506693448A AB B AC A BC B C C ì=ï=ïï+-=íï-=ïï-+=î134A B C =ìï=íï=î()g x ()0,2x p Î2=x 02p æöç÷èø，2p p æöç÷èø，32p p æöç÷èø，2=cos sin 2cos sin x xx x-=cos 0x >sin 0x <4320x ax bx cx d ++++=2i +56i +b故由韦达定理可得，8、54张扑克牌，将第1张扔掉，第2张放到最后，第3张扔掉，第4张放到最后，依次下去，最后手上只剩下一张牌，则这张牌在原来的牌中从上面数的第几张（ ） （A ）30 （B ）32 （C ）44 （D ）前三个答案都不对 【解析】C第一轮依次剩下的倍数，，，…，，第二轮依次剩下的倍数，，，…，，（最后一张扔掉54，开始第三轮）第三轮依次剩下模8余4的数，，，，，，，，（第四轮以扔掉4开始） 第四轮剩下的数，12，28，44， 第五轮剩下的数，12，44 最后剩下44.9、的个位数字为（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）前三个答案都不对 【解析】C易知数字为一个奇数，可以被5整除.10、设为有限集合，为的子集，且对每个，都有，则一定有中某个元素在至少多少个中出现（ ）（A ）403 （B ）404 （C ）2016 （D ）前三个答案都不对 【解析】B由抽屉原理，可知选B11、四个半径为1的球两两相切，则它们的外切正四面体的棱长为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】B()4a z w z w =-+++=-()()b zz zw zw zw zw ww z w z w zw zw =+++++=++++15=()()c zzw zzw zww zww zw z w zw z w =+++=+++8=61d zwzw =-=-22454448524122028364452()()()()23201621212121+++×××+S 122016,,,A A A ×××S i 15i A S ³S iA (21+(21(22+由棱长为的正四面体的内切球半径为, 设由四个球心所构成的正四面体为,其棱长为，内切球半径设大四面体的内切球半径为，则，则大四面体的棱长12、空间中点集定义如下：，，则由中的点组成的图形的体积等于（ ） （A ）（B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】C 对于每一个，易得，，.故一定，我们考虑极限情况故为三维分别为的长方体，.13、满足等式的正整数的个数为（ ）（A ）0 （B ）1001 （C ）2002 （D）前三个答案都不对 【解析】D答案为4002，由,即, 即 于是,即,故要求,即,14、已知对任意，方程在上至少有一个根，则 等于（ ）（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）前三个答案都不对 【解析】B取，此时，故至少一个属于，a1234O O O O 2r ¢r 116r r ¢=+=+126a ö+=+÷÷ø(){}3,,|381nnnn A x y z xy z =Î++£R 1n n A A ¥==!A 14121n A 1x £1y £1z £+1n n A A Í1n n A A ¥==!(){}3lim ,,|1,81,1n A x y z x y z ==Σ££R A 12,2,41V =2002n éé=ëën 2002200120021´=<20022001200220011´<<´+20022001é=´ë200220012002n é´´=ë2001n é=ë200120011n n £<+2001n 4002n £[]122016,,0,4x x x ×××Î201612016i i x x a =-=å[]0,4a 1220162x x x ====!2x a -=2,2a a +-[]0,4若，综合只能，若，综合只能，排除C 取，此时，此时只能.综合可知选B.15、已知关于的方程有两个不同的非零整数根，则有可能等于（ ） （A ）一个素数 （B ）2的非负整数次幂 （C ）3的非负整数次幂 （D ）前三个答案都不对 【解析】D 方程为，设整数根为，由韦达定理的知识可得. 且，，此时，排除A 由平方数模3余0或者1，可得C 错误.由平方数模4余0或者1，且，知余至少一个模4余1或者2.则要是2的幂只能，与矛盾.16. 用表示距离，则的值为（ ） （A ）1015056 （B ）1017072 （C ）1019090 （D ）前三个答案都不对 【解析】B先考虑的解的个数，由，知当满足，会使得，其个数为，这个片段的和刚好为，则刚好需要个这个片段， 所以17、已知对于实数，存在实数，满足，，则这样的实数 的个数为（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）无穷个 （D ）前三个答案都不对 【分析】[]20,4a +Î[]0,2a Î[]20,4a -Î[]0,2a Î1210080x x x ====!1009101020164x x x ====!42x x a +-=2a =x 21x ax b ++=22a b +210x ax b +-+=,m n ,a b ÎZ ()a m n =-+1b mn -+=()()22222222111a b m n m n m n +=+++=++m n ¹21m +21n +1m n ==m n ¹n a 121112016na a a ++×××+=n n a k =221124k k k æö+=++ç÷èøn ()()22111k k n k k -+-+££+n a k =2k 2100824620171017072x =++++=L a ,b c 3333a b c abc --=()22a b c =+a 3333a b c abc ++-()()333a b c ab a b c =++-++()()()223a b c a b a b c c ab éù=+++-++-ëû()()222a b c a b c ab bc ca =++++---【解析】B 由因式分解常见公式， 可得 故要么，此时，解得或；要么，此时，此时解得或18、三角形的三个顶点分别对应复数，已知，则三角形的面积与其最长边长的平方的比等于（ ） （A ）（B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】A由，得到，且由余弦定理可得，故最长边为19.将这100个数分成3组满足第一组中各数之和是102的倍数，第二组中各数之和是203的倍数，第三组中各数之和是304的倍数，则满足上述要求的分组方法数为（ ） （A ）1 （B ）3 （C ）6 （D ）前三个答案都不对 【解析】D 设三组之和分别为，，，,则，易得，结合是正整数，； 同样的得到,,又，得到，显然不可能.20、已知，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 不确定 D. 三个均不正确 【解析】A()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---()()33322203a b c abc a b c a b c ab ac bc =---=--++++-a b c =+()22a b c =+0a =2a =2220a b c ab ac bc ++++-=()()()222102a b a c b c éù++++-=ëûb c a ==-0a =4a =-ABC 123,,z z z 213112z z i z z -=+-ABC 1516112213112z z i z z -=+-c =cos A =sin A =2a b =c =21sin 2ABC S bc A b D ==1,2,,100×××102x 203y 304z *,,x y z ÎN 1022033045050x y z ++=5050102203505010222031304304x y z ---´-´=£z 15z £22y £42x £()101235050x y z x y z +++++=101|x y z ++2016x y z ++=11112016x y z ++=()()()201620162016x y z ---由已知可得，，即,2016x y z ++=12016xy yz zx xyz ++=()2016xyz xy yz zx =++()()()201620162016x y z ---()()23201620162016xyz xy yz zx x y z =-+++++-0=。
2016年北京大学博雅计划试题
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1 1 2 1 3 1 2 3 4 1 5 , , , , , , , , , , . 2 3 3 4 4 5 5 5 5 6 6 a = −c − 10, b = 3c − 3, ) C. − 1 64
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)
D. 前三个答案都不对
)
D. 前三个答案都不对
根据题意，有
(x2 − 3x − 1)(x2 + 3x − c) = x4 + ax2 + bx + c,
2016 年北京大学博雅计划试题
兰琦 2017 年 1 月 4 日
选择题共 20 小题；在每小题的四个选项中，只有一项符合题⺫要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得
1. 直线 y = −x + 2 与曲线 y = −ex+a 相切，则 a 的值为 ( A. −3 解析 A． B. −2
C. −1
tp :
ht
解得 f (0) = f (1) = f (−1) =
13. 从一个正 9 边形的 9 个顶点中选 3 个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是 ( A. 30 解析 A． B. 36 C. 42
// la nq i
D B ∠DKM = ∠BAK = ∠KLM, 2f (0) + f (−1) = 1, 2f (1) + f (0) = 1, 2f (−1) + f (0) = 1, 3×9+ 1×9 = 30. 3
10. 设 A 是以 BC 为直径的圆上的一点， D, E 是线段 BC 上的点， F 是 CB 延长线上的点，已知 BF = 4 ， BD = 2 ， BE = 5 ， ∠BAD = ∠ACD ， ∠BAF = ∠CAE ，则 BC 的长为 ( B. 12 A．如图． A C. 13 )
北大博雅数学2016答案
2016年北京大学博雅计划测试数学 答案1.【解答】A由于()x a x a e e ++'-=-，于是切点横坐标为x =-a ，进而有-(-a )+2=a a e -+-解得a =-3. 【评析】非常基础的问题，注意计算速度和准确度。
2.【解答】B不妨假设0a b c a b c <≤≤+>，。
(1) 0≥； (2) 错误，a =2，b =3，c =4即为反例； (3) 正确，因为有0222a b c a b ca ++-+-=>； (4) 正确，因为有()()()()()1110ab bc c a a b b c c a -++-+--+>-+---=。
【评析】一道灵活结合了不等式和几何三角形的问题，考察学生的代数基本功，总体难度也不算大。
3.【解答】C如图，连接CF ，由于DOE ∆与DFC ∆相似，因此DO DC DE DF ⋅=⋅，从而22421DO =⋅，因此OE ===【评析】非常简单的几何计算。
4.【解答】D满足(0,1)x ∈，且1()7f x >的x 的个数为11，分别为1121312341523344555566，，，，，，，，，，。
【评析】这个函数是非常有名的黎曼函数的一部分，但是对于学生的要求很低，只需要准确理解题意即可，问题本身并不困难。
5.【解答】A根据题意，有()()2242313=x x x x c x ax bx c --+-+++，于是a =-c -10，b =3c -3，从而有a +b -2c =-13。
【评析】简单的待定系数法，注意计算不要出错。
6.【解答】B令2log k x =，则a +x ，a +12x ，a +13x 成等比数列，从而可得x =-4a ，进而可得公比为13。
【评析】涉及等比数列的运算，较为基础。
7.【解答】D 依据题意，有2102458367910coscoscoscos cos cos cos cos cos cos cos cos cos 11111111111111111111111111πππππππππππππ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭224816cos cos cos cos cos 1111111111πππππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭而24816116coscoscos cos cos 2sin cos ...cos 11111111111111112sin 11πππππππππ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1221613212sin cos ...cos ...sin 11111111324sin 32sin 1111ππππππ⎛⎫==== ⎪⎝⎭ 故原式值为11024-【评析】熟悉余弦二倍角连乘的点鞭炮公式的话，此题不算难题，但是要注意计算不能出错。
北大博雅自主招生数学真题
辅导2与⾼考题的对比2017年北京⼤学⾃主招⽣数学试题1.保持了近年北⼤⾃招试题的风格．(a)20道单选题，选对得5分，选错扣1分，不选得0分．(b)时间紧张．三个⼩时内要完成语数外三科试题的解答，很少有学⽣能做完．(c)D选项⼀律是“前三个答案都不对”，很有迷惑性，有时候甚⾄⽐较棘⼿．例如第5题，答案数字不怎么整，考场上时间紧张的情况下，是否相信⾃⼰的判断选D，对考⽣来说是个考验；再⽐如第9题，答案明显是个负整数，但由于D选项的存在，在只有A选项为负整数的情况下仍然需要进⾏估算．(d)风格灵巧，强调多想少算．⽐如第1题，看出来配⽅的技巧就可以秒掉，如果硬算的话，考场上可能就悲剧了．(e)不追求知识点的全⾯覆盖．数论、函数、平⾯⼏何、三⾓等⼀向是北⼤各种⾃招相关的考试中的⾼频考点，在2017年的⾃主招⽣考试中也依然是考察重点．⽽概率、统计、导数、⽴体⼏何等考点⼀向被北⼤冷落，这场考试也不例外．(f)经典试题有⼀定的重现率．⽐如第6题就是平⾯⼏何中的经典问题，第9题中⽤到的对数运算公式在⾃招考试中也是屡见不鲜．2.相对于近年北⼤的各场⾃招相关的考试来说，这份试卷的难度不⾼，在平均线以下．3.有较好的区分度，可以达到北⼤⾃主选拔的⽬的．1.有些试题即使放到⾼考中也不是难题，⽐如第19题、第20题．这类题基本每份⾃招试卷中都有，但⼀般来讲数量较少．2.有些试题的考点同时也是⾼考的重要考点，但是综合性较强，考⽣要想短时间内顺利解决的话，得有很好的基本功．⽐如第18题，如果做成四次函数求最值就⿇烦了，代数变形之后换元，处理成⼆次函数才是正道．再⽐如第14题，每⼀步可能都不难，⽤到的知识也都是⾼考要求的，但是步骤⼀多，考⽣可能就会卡壳．3.还有⼀多半的试题，或者考点不是⾼考重点要求的，⽐如数论，恐怕是⾃主招⽣中考察最多的知识点，但⾼考却很少涉及；或者考点也许在⾼考范围内，但考法较为灵活，⽐如第12题，需要将多个变量之间的本质关系想清楚才能顺利解决．光光⼦辅导1.⼀定要有针对性的训练．⽐如⾼考很少考到数论相关的问题，即使考到，最多也就⽤到奇偶性、简单的整除之类常识性的知识，但是⾃主招⽣对于数论的要求却较⾼．事实上，数论相关的问题很容易体现出“多想少算”的特点，⾮常符合⾃招的选拔需求．再⽐如说平⾯⼏何，⾼中⽣很可能还⽐不上初中⽣，毕竟⾼考中的平⾯⼏何问题都⾮常简单．如果平时没有针对性的训练，考场上遇到不熟悉的考点很容易抓瞎；遇到那种考点在⾼考范围内，但风格不太⼀样的试题，也很难顺利解决．2.往年的⾃招真题，还有全国联赛的⼀试题、预赛题，都是很好的准备材料．平时多练习多思考多总结，考场上遇到原题或者改编题的可能性相当⼤，那就赚到了．3.试题难度总体上会保持稳定．今年北⼤⾃主招⽣数学试题相对容易，只是正常波动，明年很可能⽐今年稍难．对此⼤家要有⼼理准备．4.选择题的“考场技巧”平时要多练，毕竟北⼤这两年的⾃招、博雅全是选择题．必要的时候可以猜．事实上，⼀道题即使完全不会，也不能空着．有同学可能会问，选错不是倒扣1分吗？可是我们算算期望，⼀道题随机选择的得分期望是0.5分呀！如果能排除两个错误选项呢？期望只会更⾼．1.已知实数a,b 满⾜(a 2+4)(b 2+1)=5(2ab −1)，则b Åa +1aã的值为（）A.1.5B.2.5C.3.5D.前三个答案都不对解析C ．2.函数f (x )= x 2−2 −12|x |+|x −1|，x ∈[−1,2]上的最⼤值与最⼩值的差所在的区间是（）A.(2,3)B.(3,4)C.(4,5)D.前三个答案都不对解析B ．3.不等式组y ⩾2|x |−1,y ⩽−3|x |+5所表⽰的平⾯区域的⾯积为（）A.6B.335C.365D.前三个答案都不对解析C ．4.(1+cos π5)Å1+cos 3π5ã的值为（）A.1+1√5 B.1+14C.1+1√3D.前三个答案都不对解析B ．光⼦辅导5.在圆周上逆时针摆放了4个点A,B,C,D ，已知BA =1，BC =2，BD =3，∠ABD =∠DBC ，则该圆的直径为（）A.2√5B.2√6C.2√7D.前三个答案都不对解析D ．6.已知三⾓形三条中线长度分别为9,12,15，则该三⾓形⾯积为（）A.64B.72C.90D.前三个答案都不对解析B ．7.已知x 为实数，使得2,x,x 2互不相同，且其中有⼀个数恰为另⼀个数的2倍，则这样的实数x 的个数为（）A.3B.4C.5D.前三个答案都不对解析B ．8.设整数a,m,n 满⾜√a 2−4√5=√m −√n ，则这样的整数组(a,m,n )的个数为（）A.0B.1C.2D.前三个答案都不对解析C ．9.设S =1log 12π+1log 13π+1log 15π+1log 17π,则不超过S 且与S 最接近的整数为（）A.−5B.4C.5D.前三个答案都不对解析A ．10.已知复数z 满⾜z +2z 是实数，则|z +i |的最⼩值等于（）A.√33 B.√22C.1 D.前三个答案都不对解析D ．11.已知正⽅形ABCD 的边长为1，P 1,P 2,P 3,P 4是正⽅形内部的4个点使得△ABP 1，△BCP 2，△CDP 3和△DAP 4都是正三⾓形，则四边形P 1P 2P 3P 4的⾯积等于（）A.2−√3 B.√6−√24C.1+√38D.前三个答案都不对解析A ．光⼦辅导12.已知某个三⾓形的两条⾼的长度分别为10和20，则它的第三条⾼的长度的取值区间为（）A.Å103,5ãB.Å5,203ãC.Å203,20ãD.前三个答案都不对解析C ．13.正⽅形ABCD 与点P 在同⼀平⾯内，已知该正⽅形的边长为1，且|P A |2+|P B |2=|P C |2，则|P D |的最⼤值为（）A.2+√2B.2√2C.1+√2 D.前三个答案都不对解析A ．14.⽅程log 4(2x +3x )=log 3(4x −2x )的实根个数为（）A.0B.1C.2D.前三个答案都不对解析B ．15.使得x +2x 和x 2+2x2都是整数的正实数x 的个数为（）A.1 B.2C.⽆穷多D.前三个答案都不对解析A ．16.满⾜f (f (x ))=f 4(x )的实系数多项式f (x )的个数为（）A.2 B.4C.⽆穷多D.前三个答案都不对解析D ．17.使得p 3+7p 2为平⽅数的不⼤于100的素数p 的个数为（）A.0B.1C.2D.前三个答案都不对解析C ．18.函数f (x )=x (x +1)(x +2)(x +3)的最⼩值为（）A.−1B.−1.5C.−2D.前三个答案都不对解析A ．19.动圆与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2−6x +7=0都外切，则动圆的圆⼼轨迹是（）A.双曲线B.双曲线的⼀⽀C.抛物线D.前三个答案都不对解析B ．光⼦辅导20.在△ABC 中，sin A =45，cos B =413，则该三⾓形是（）A.锐⾓三⾓形 B.钝⾓三⾓形C.⽆法确定D.前三个答案都不对解析A ．。
2016年北京大学博雅计划测试-物理学科试题及答案解析
2016年北京大学博雅计划测试物理学科注意事项：1．本试卷满分100分，和语文、数学、英语、化学共同测试，每个科目100分； 2．试卷为考生回忆版本，本回忆版本，为部分试题。
1．（1）两个一样的乒乓球，一个涂黑，另一个涂白，一盏白织灯放在两个小球的中间照明一段时间，涂____的球表面更烫。
（2）两个一样的白炽灯，同样一个涂黑一个涂白，将两个灯同时打开一段时间，涂____的白炽灯表面更烫。
2．一个带正电的均匀橡皮气球，在不断被吹大的过程中：（ ） A ．球内电场强度不变 B ．球内电势不变C ．球面上一点受其它电荷的作用力不变D ．气球掠过空间中某一点时，该点的电势变化是连续的3．如图，一个半径为R 的圆状物体中过圆心的杆上有一质量为m 的物体（忽略形状）固定在离圆心R /2处，下面正确的是A ．θ＝10°时，有两个稳定平衡位置B ．θ＝20°时，有一个稳定平衡位置，有一个不稳定平衡位置C ．θ＝30°时，有一个稳定平衡位置D ．θ＝40°时，没有稳定平衡位置4．质子的质量为2938Mev c ，电子的质量为20.511Mevc，其中c ＝3×108m /s ，基态氢原子的能量为-13.6eV ，氢原子从第一激发态跃迁回基态，放出光子的频率为f 1，氢原子从基态跃迁到第一激发态，吸收的光子频率为f 2。
求：1）初始静止的处于第一激发态的氢原子，跃迁回基态后的速度v2）相对偏差121||f f f −5．两个质量为m 的斜劈和一个质量为4m ，半径为R 的球在外力作用下保持如图所示的静止状态，忽略所有摩擦，然后某时刻撤去外力，求球掉到平面上所需要的时间。
6．一个通电螺线管，单位长度上的匝数为n ，长度为L 。
在螺线管中有一个等腰梯形线框，且OAB ，OCD 各在一条直线上，OB ＝OC ＝BC ＝l ，12AO OB =，通电螺线管中通有大小为I ＝kt +m ，（k ，t 为正的常数）的电流，某时刻产生的磁场如图。
2016年北京大学自主招生数学试题
一、选择题．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．已知，则x的取值范围是（）
2．的个位数字是（）
A．1 B．3 C．5 D．前三个答案都不对
3．点P位于△ABC所在的平面内，使得△PAB,△PBC,△PCA的面积相等，则满足题意的点P有（）
A．1个B．3个C．5个D．前三个答案都不对
4．记f(n)为最接近的整数，其中n∈N∗．若，则正整数m的值为（）
A．1015056 B．1017072 C．1019090 D．前三个答案都不对
5．实数x,y,z满足x+y+z=2016，，则
（）
A．0 B．1 C．−1 D．前三个答案都不对
6．方程组的非负整数解有（）
A．1组B．4组C．5组D．前三个答案都不对
7．4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长为（）
D．前三个答案都不对
8．将1,2,⋯,100分成三组，使得第一组数的和为102的倍数，第二组数的和为203的倍数，第三组和为304的倍数．则不同的分法共有（）
A．1种B．2种C．3种D．前三个答案都不对
二、填空题．
9．已知，g(x)为整系数多项式，
则g(x)的各项系数之和为_______．
10．54张扑克牌排成一列．先去掉第一张，将第二张放到最后；再去掉第三张，将第四张放到最后……以此类推，则最后剩下的那张牌是原先的第_______张．
11．用高斯函数[x]表示不超过实数x的最大整数，则方程
的正整数解有_______个．
12．空间中的一点P(x,y,z)满足∃n∈N∗，使得成立，则所有满足要求的点P所形成的空间几何体的体积为_______．。
自主招生数学真题200道解析
0
(x )2n1(1 sin2n x)dx (x )2n1(1 sin2n x)dx 0
0
0
007（2016 年北京大学自主招生）
已知 x y z 2016, 1 1 1 1 ，则 (x 2016)( y 2016)(z 2016) ______ x y z 2016
A.-1
B.0
C.1
D.前三个答案都不对
（2016 年北大博雅 15）设 x3 3x2 y3 3y2 z3 3z2 m ，则 x, y, z 是关于 t3 3t2 m 的三个实数根，
其中 m 为常数，由韦达定理可以， x y z 3。
010（2016 年北京大学博雅计划）
2017 自主招生必刷真题 200 道——数学解析
已知 a b c 1，则 4a 1 4b 1 4c 1 的最大值与最小值乘积属于区间（ ）. A.[10,11) B.[11,12) C.[12,13) D.前三个答案都不对
自主招生数学真题 2 0 0 道
分类汇编
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目录
（一）代数式变形 ............................................................................................................................................. 3 （二）复数、平面向量 ................................................................................................................................... 18 （三）函数与方程 ........................................................................................................................................... 24 （四）三角函数 ............................................................................................................................................... 44 （五）概率 ....................................................................................................................................................... 54 （六）平面几何与立体几何 ........................................................................................................................... 59 （七）解析几何 ............................................................................................................................................... 74 （八）数列 ....................................................................................................................................................... 84 （九）数论 ....................................................................................................................................................... 95 （十）排列、组合与二项式定理 ................................................................................................................. 100
2016年北京大学博雅计划数学试题
2016年北京⼤学博雅计划数学试题2016年北京⼤学博雅计划数学试题选择题共20⼩题；在每⼩题的四个选项中，只有⼀项符合题⽬要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.1.直线2y x =-+与曲线x a y e +=-相切，则a 的值为（）A -3B -2C -1D 前三个答案都不对2.已知三⾓形ABC 的三边长分别为,,a b c ，有以下4个命题：222,,a b c 为边长的三⾓形⼀定存在；⑶以,,222a b b c c a +++为边长的三⾓形⼀定存在；⑷以1,1,1a b b c c a -+-+-+为边长的三⾓形⼀定存在，其中正确命题的个数为（）A 2B 3C 4D 前三个答案都不对3.设,AB CD 是圆O 的两条互相垂直的直径，弦DF 交AB 于点E ，24,18DE EF ==，则OE 等于（）AD 前三个答案都不对4.函数*1,,(,)1,,,()0,,q x p q p q N p p f x x Q ?==∈?=，则满⾜(0,1)x ∈且1()7f x >的x 的个数为（） A 12 B 13 C 14 D 前三个答案都不对5.若⽅程2310x x --=的根也是⽅程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为（）A -13B -9C -5D 前三个答案都不对6.已知1k ≠，则等⽐数列248log ,log ,log a k a k a k +++的公⽐是（） A12 B 13 C 14D 前三个答案都不对 7. 计算210cos cos cos 111111πππ的值为（） A 116- B 132- C 164- D 前三个答案都不对 8.设,,a b c 为实数，,0a c ≠，⽅程20ax bx c ++=的两个虚根12,x x 满⾜212x x 为实数，则2015102()k k x x =∑等于（）D 前三个答案都不对9.将12个不同的物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种类为（）A 34650B 5940C 495D 前三个答案都不对10. 设A 是以BC 为直径的圆上的⼀点，,D E 是线段BC 上的点，F 是CB 延长线上的点，已知4,2,5,,BF BD BE BAD ACD BAF CAE ===∠=∠∠=∠，则BC 的长为（）A 11B 12C 13D 前三个答案都不对11. 两个圆内切于点K ,⼤圆的弦AB 与⼩圆切于点L ，已知:2:5AK BK =，10AL =，则BL 的长为（）A 24B 25C 26D 前三个答案都不对12.()f x 是定义在R 上的函数，且对任意实数x 均有22()(1)1f x f x +-=，则(f 等于（） A 0 B 12 C 13D 前三个答案都不对 13.从⼀个正9边形的9个顶点中选3个使得它们是⼀个等腰三⾓形的三个顶点的⽅法数是（）A 30B 36C 42D 前三个答案都不对14. 已知正整数,,,a b c d 满⾜ab cd =，则a b c d +++有可能等于（）A 101B 301C 401D 前三个答案都不对15. 三个不同的实数,,x y z 满⾜323232333x x y y z z -=-=-，则x y z ++等于（）A -1B 0C 1D 前三个答案都不对16.已知1a b c ++=的最⼤值与最⼩值的乘积属于区间（）A [10,11)B [11,12)C [12,13)D 前三个答案都不对17.在圆内接四边形ABCD 中，06,30BD ABD CBD =∠=∠=，则四边形ABCD 的⾯积等于（）A前三个答案都不对18.1!2!3!2016!++++ 除以100所得的余数为（）A 3B 13C 27D 前三个答案都不对19.⽅程组23234345,,x y z x y z x y z ?+=?+=??+=?的实数解的组数为（）A 5B 6C 7D 前三个答案都不对20.⽅程333()333x x x x x +++=的所有实根的平⽅和等于（） A 0 B 2 C 4 D 前三个答案都不对2016年北京⼤学博雅计划数学试题答案ABCDA BDBDA BCABD CBBCC略解：1.由于/()x a x a e e ++-=-，于是切点横坐标为x a =-，从⽽有()2a a a e -+--+=-，解得3a =-.2.不妨假设0,a b c a b c <≤≤+>0≥>；⑵错误，2,3,4a b c ===即为反例；⑶正确，因为有0222a b c a b c a ++++-=>；⑷正确，因为有(1)(1)(1)()()0a b b c c a a b b c c a -++-+--+>-+---=3.如图，连接CF ，由于DOE ?与DFC ?相似，因此DO DC DE DF ?=?，从⽽22421DO =?，因此OE ==4.满⾜(0,1)x ∈且1()7f x >的x 的个数为11，分别为11213123415,,,,,,,,,,23344555566。
2016年北京大学博雅计划试题数学
(3)
以
������
+ 2
������ ,
������
+ 2
������
,
������
+ 2
������
为边长的三角形一定存在；
(4) 以 |������ − ������| + 1, |������ − ������| + 1, |������ − ������| + 1 为边长的三角形一定存在．
= 0 的两个虚数根 ������1, ������2 满足
������21 ������2
为实数，则
2015
∑
������=0
(
������1 ������2
)������
等于
(A) 1
(B) 0
(C) √3i
(D) 前三个答案都不对
9. 将 12 个不同物体分成 3 堆，每堆 4 个，则不同的分法种类为
(A) 101
(B) 301
(C) 401
(D) 前三个答案都不对
15. 三个不同的实数 ������, ������, ������ 满足 ������3 − 3������2 = ������3 − 3������2 = ������3 − 3������2，则 ������ + ������ + ������ 等于
(A) −13
(B) −9
(C) −5
(D) 前三个答案都不对
6. 已知 ������ > 0 且 ������ ≠ 1，则等比数列 ������ + log2������, ������ + log4������, ������ + log8������ 的公比是
2016自主招生考题北京大学2016博雅计划笔试真题汇总
2016自主招生考题北京大学2016博雅计划笔试真题汇总
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2016自主招生考题北京大学2016博雅计划笔试真题汇总
6月11日下午，北大进行了为期6个小时的博雅计划笔试考试。
文理科全部考5门，试题全部为客观题。
博雅计划笔试考试形式
笔试时间：6月11日下午1点到7点
笔试科目：
文科——语文、数学、英语、历史、政治
理科——语文、数学、英语、物理、化学
笔试形式：上半场语文数学英语三科，中间休息20分钟下半场两科，每科1小时。
据其介绍，语数外考了三个半小时，休息半个小时后，再考两个小时专业课，理科考生考物理化学，文科考生考历史政治。
试卷结构：全部客观题
科目分数：每科100分，共计500分
博雅计划笔试题目
文科语文的作文为命题作文“网络中的我”，字数500字。
一位北京的理科考生认为，作文题目与高考不太一样，用比较少的字数说明自己的观点，有些难度，但他表示物理题目最难，很多都不会。
另一位考生也称，物理题超过了高考大纲考试形式，难度很大。
考察方向
北大招办相关负责人介绍，在“博雅计划”的测试中，北大的考核主要通过笔试和面试两种方式，笔试侧重考查学生的基础学业能力和学习潜质，面试侧重于考查学生的个人志趣、逻辑思考与批判性思维、领导力、人文情怀等。
2016年清华领军北大博雅计划名单(差浙江领军计划)
杨斯涵 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 洪毅凡 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 降 曹柠 10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 谢笑旸 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 张祎璇 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 王骏涵 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 孙殿咏 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 毕越芃 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 许鹤凡 降40分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 40 标准分 分以内，且同时达到当 :81分 降 丁馨 20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 于惠然 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 王睿筱 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 石沛艳 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 李柏瑶 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 陈心怡 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 降 蒋莹 20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 魏思迪 降60分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 60 标准分 分以内，且同时达到当 :93分 段星仪 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 降 邓祺 60分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 60 标准分 分以内，且同时达到当 :93分 毕晓宇 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 刘善韬 降50分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 50 标准分 分以内，且同时达到当 :87分 李东庭 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 李孝天 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 李瀚祎 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 吴士荀 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 何章恺 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 赵铂琛 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 蒋思聪 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 靳立晨 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 王世因 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 王玥洁 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 关艾 女 北京 北京市第四中学 降至当地同科类本科一批控制线录取 博雅人才培养计划 标准分:99分 张馨心 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 陈明如 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 傅涵浩钰 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 贾旺东 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 马思浩 降30分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第八中学 博雅人才培养计划 30 标准分 分以内，且同时达到当 :75分 桂思博 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第八中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 郭一苇 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第八中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 于晨昕 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第八中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 刘逸隽 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第八中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 孙宁远 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第八中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 降 吴悠 20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第八中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 张雨暄 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第八中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 张云燕 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第八中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 杨涵崴 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我�
北大清华北清自主招生博雅领军强基计划笔试真题数学试题分类-导数与微积分初步
清华领军2015.5.如图，已知直线y kx n =+与曲线()y f x =相切于两点，则()()F x f x kx =-有（ ）A.2个极大值点B.3个极大值点C.2个极小值点D.3个极小值点 同时分入了函数图像与性质类清华领军2015.25.设函数()f x 的定义域是（-1，1），若(0)(0)1f f ='=，则存在实数(0,1)δ∈，使得（ ） A.()0,(,)f x x δδ>∈- B.()f x 在(,)δδ-上单调递增 C.()1,(0,)f x x δ>∈ D.()1,(,0)f x x δ>∈-北大博雅2016.1.直线2y x =-+与曲线x a y e +=-相切，则a 的值为（ ） A.-3 B.-2 C.-1 D.前三个答案都不对 1.【解答】A由于()x a x a e e ++'-=-，于是切点横坐标为x =-a ，进而有-(-a )+2=a a e -+-解得a =-3. 【评析】非常基础的问题，注意计算速度和准确度。
清华领军2016.17. ∫(x −π)2π−1(1+sin 2πx)dx =2π? 17.【解答】0()()()()()()()()()()()()()()()212121222220021221220021212201sin 1sin 1sin 1sin 21sin 221sin 1sin 0n n n nnnn n nnn n nnx x dx x x dx x x dxx x dx x x d x x x dx x x dx πππππππππππππππππππ--------+=-++-+⎡⎤=-++--+--⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-++-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰【评析】考察大学的微积分知识，运用到换元积分法，清华的考试中常出现这类问题。
清华领军2016.22.2()()x f x x a e =+有最小值，则220x x a ++=的解的个数为______22.【解答】2()()()2222x x x f x x a e xe x x a e '=++=++，当220x x a ++=无解或者只有一解时，220x x a ++≥恒成立，从而()0f x '≥，此时()f x 无最小值，故()f x 有最小值时220x x a ++=有两个解。
北大博雅数学2016
2016年北京大学博雅计划测试数学学科注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考点名称填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考 试用条形码。
2.客观题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号。
主观题用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题共20小题，在每小题的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，选对得5分，多选、少选或选错扣1分，不选不得分。
1. 直线2y x =-+与曲线x a y e +=-相切，则a 的值为（ ）A. -3B. -2C. -1D.前三个答案都不对2. 已知三角形ABC 的三边长分别是,,a b c ，有以下四个命题：（1（2）以222,,a b c 为边长的三角形一定存在；（3）以,,222a b b c c a +++为边长的三角形一定存在； （4）以||1,||1,||1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在；其中正确命题的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D.前三个答案都不对3. 设,AB CD 是圆O 的两条垂直直径，弦DF 交AB 于点E ，24DE =,18EF =,则OE 等于（ ）A. B. C. D. 前三个答案都不对4. 函数()1,,,,,()0q x p q p q N p p f x x Q *⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩==1，，则满足(0,1)x ∈且1()7f x >的x 的个数为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 前三个答案都不对5. 若方程2310x x --=的根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为（ ）A. 13-B. 9-C. 5-D. 前三个答案都不对6. 已知1k ≠，则等比数列248log ,log ,log a k a k a k +++的公比为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 前三个答案都不对7. 210cos cos cos111111πππ的值为（ ） A. 116- B. 132- C.164- D.前三个答案都不对8.设,,a b c 为实数，,0a c ≠，方程20ax bx c ++=的两个虚数根12,x x 满足212x x 为实数，则2015102()k k x x =∑等于（） A. 1 B. 0 D. 前三个答案都不对9.将12个不同物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种数为（ ）A.34650B.5940C.495D.前三个答案都不对10.设A 是以BC 为直径的圆上的一点，,D E 是线段BC 上的点，F 是CB 延长线上的点，已知4,2,5BF BD BE ===,BAD ACD ∠=∠,BAF CAE ∠=∠,则BC 的长为（ ）A.11B.12C.13D.前三个答案都不对11.两个圆内切于K ，大圆的弦AB 与小圆切于L ，已知:2:5AK BK =,10AL =,则BL 的长为（ ）A.24B.25C.26D. 前三个答案都不对12.()f x 是定义在R 上的函数，且对任意实数x 均有22()(1)1f x f x +-=，则(f 等于（ ）A.0B.12 C.13 D.前三个答案都不对13.从一个正9边形的9个顶点中选3个，使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是（ ）A.30B.36C.42D.前三个答案都不对14.已知正整数,,,a b c d 满足ab cd =，则a b c d +++有可能等于（ ）A.101B.301C.401D.前三个答案都不对15.三个不同实数,,x y z 满足323232333x x y y z z -=-=-，则x y z ++等于（ ）A.1-B.0C.1D.前三个答案都不对16.已知1a b c ++=（ ）A.[10,11)B. [11,12)C.[12,13)D. 前三个答案都不对17.在圆内接四边形ABCD 中，6BD =，30ABD CBD ∠==︒,则四边形ABCD 的面积等于（ ）A.B.C. D.前三个答案都不对 18.1!2!2016!+++除以100所得的余数为（ ） A.3 B.13 C.27 D.前三个答案都不对19.方程组23234345x y z x y z x y z⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩的实数解组数为（ ）A.5B.6C.7D.前三个答案都不对20.方程333()333x x x x x +++=的所有实根的平方和等于（ ）A.0B. 2C.4D.前三个答案都不对。
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保密★启用前 试卷类型：A
2016北京大学博雅计划
数学试题 2016.6
选择题共20小题；在每小题给出的四个选项中,只有一项．．．．是符合题目要求的，请把正确的选项代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选不得分。
1．直线2y x =-+与曲线x a y e +=-相切，则a 的值为（ ）
A ．3-
B ．2-
C ．1-
D ．前三个答案都不对
2．已知三角形ABC 的三边长分别是,,a b c ，有以下四个命题：
（1
（2）以222,,a b c 为边长的三角形一定存在； （3）以
,,222
a b b c c a
+++为边长的三角形一定存在； （4）以||1,||1,||1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在； 其中正确命题的个数为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．前三个答案都不对
3．设,AB CD 是圆O 的两条垂直直径，弦DF 交AB 于点E ，24DE =,18EF =,则OE 等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．前三个答案都不对
4．函数1
,,,,()0q x p q p q N p p f x x *⎧∈⎪=⎨⎪⎩
为有理数与互素，是无理数，则满足(0,1)x ∈且1
()7
f x >的x
的个数为( )
A ．12 B. 13
C ．14
D. 前三个答案都不对
5．若方程2310x x --=的根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为（ ） A ．13- B ．9-
C ．5-
D ．前三个答案都不对
6．已知1k ≠，则等比数列248log ,log ,log a k a k a k +++的公比为( )
A ．1
2
B ．1
3
C ．
1
4
D ．前三个答案都不对
7． 210cos
cos
cos
11
11
11
π
ππ
的值为( ) A ．1
16
-
B ．132
-
C ．1
64
- D ．前三个答案都不对
8．设,,a b c 为实数，,0a c ≠，方程2
0ax bx c ++=的两个虚数根12,x x 满足2
12
x x 为实数，则
201510
2
(
)k
k x x =∑等于 ( ) A ．1 B ． 0
C
D ．前三个答案都不对
9．将12个不同物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种数为 ( )
A ．34650
B ．5940
C ．495
D ．前三个答案都不对
10．设A 是以BC 为直径的圆上的一点，,D E 是线段BC 上的点，F 是BC 延长线上的点，已知4,2,5BF BD BE ===,BAD ACD ∠=∠,BAF CAE ∠=∠,则BC 的长为（ ）
A ．11
B ．12
C ．13
D ．前三个答案都不对
11．两个圆内切于K ，大圆的弦AB 与小圆切于L ，已知:2:5AK BK =,10AL =,则BL 的长为 ( )
A ．24
B ．25
C ．26
D. 前三个答案都不对
12．()f x 是定义在R 上的函数，且对任意实数x 均有22()(1)1f x f x +-=，则(f 等于（ ）
A ．0
B ．12
C ．1
3
D ．前三个答案都不对
13．从一个正9边形的9个顶点中选3个，使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是（ ）
A ．30
B ．36
C ．42
D ．前三个答案都不对
14．已知正整数,,,a b c d 满足ab cd =，则a b c d +++有可能等于（ ）
A ．101
B ．301
C ．401
D ．前三个答案都不对
15．三个不同实数,,x y z 满足323232333x x y y z z -=-=-，则x y z ++等于（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．前三个答案都不对
16．已知1a b c ++=
( )
A ．[10,11) B. [11,12)
C ．[12,13)
D. 前三个答案都不对
17．在圆内接四边形ABCD 中，6BD =，30ABD CBD ∠==︒,则四边形ABCD 的面积等于（ ）
A
． B
．
C
．
D ．前三个答案都不对
18．1!2!2016!++
+除以100所得的余数为( )
A ．3
B ．13
C ．27
D ．前三个答案都不对
19．方程组23234
345x y z x y z x y z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩
的实数解组数为( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．前三个答案都不对
20．方程333()333
x x x x
x +++=的所有实根的平方和等于( )
A ．0
B ． 2
C ．4
D ．前三个答案都不对
参考答案：
ABCDA BDBDA BCABD CBBCC。