(word完整版)高二导数讲义

导数

【知识归纳】

1、导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值

x y ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)

()(00。如果当0

→∆x 时，

x

y

∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作

f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0

lim

→∆x x

y

∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。 说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x

y

∆∆有极限。如果x y ∆∆不存在极限，就说函数在

点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）； （2）求平均变化率

x

y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)

()(00；

（3）取极限，得导数f’(x 0)=x

y

x ∆∆→∆0lim 。

2、导数的几何意义

函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f /

（x 0）（x －x 0）。

3、几种常见函数的导数:

①0;C '= ②()1

;n

n x

nx

-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;

⑤();x x e e '=⑥()ln x

x

a a a '=;

⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x

'=.

4、两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'

'

'

v u v u ±=±

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：.)('

'

'

uv v u uv +=

若C 为常数,'

''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方：⎪⎭

⎫

⎝⎛v u ‘=2

''v uv v u -（v ≠0）。

形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X

5、单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导， 如果'

f )(x 0>，则)(x f 为增函数； 如果'f 0)(

如果在某区间内恒有'

f 0)(=x ，则)(x f 为常数； 6、极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 7、最值：

一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。 ①求函数ƒ)(x 在(a ，b)内的极值； ②求函数ƒ)(x 在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；

③将函数ƒ )(x 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

【常见综合题方法导航】

1、关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令0)('

=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：

第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征)()(x g x f >恒成立

0)()()(>-=⇔x g x f x h 恒成立；

2、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x 轴即方程根的个数问题； （1）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：

第一种：转化为恒成立问题即0)(0)('

'

≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法；

第二种：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；

第三种：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b ）”，要弄清楚两句话的区别；（2）函数与x 轴即方程根的个数问题解题步骤 第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可； 3、函数的切线问题；

问题1：在点处的切线，易求；

问题2：过点作曲线的切线需四个步骤；

第一步：设切点，求斜率；第二步：写切线（一般用点斜式）；第三步：根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程；第四步：判断三次方程根的个数；