(word完整版)高二导数讲义
高二导数第一章知识点汇总
高二导数第一章知识点汇总导数作为微积分中的重要概念，在高中数学中占有重要地位。
在高二学习中，第一章导数的知识点是我们必须掌握和理解的内容。
本文将对高二导数第一章的知识点进行汇总，以帮助各位同学更好地掌握导数的相关概念和应用。
一、导数的定义导数是描述函数变化率的概念，在数学上表示为f'(x)或dy/dx。
导数的定义是通过极限的概念来定义的，即导数f'(x)等于函数f(x)在某一点x处的极限值。
导数可以解释为函数图像在某点处的切线斜率。
二、导数的计算1. 导数基本公式：根据函数的性质和运算规则，我们可以得出一些常用函数的导数公式。
如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
2. 导数的四则运算法则：导数的四则运算法则是导数计算中的基础，包括求和差的导数、常数倍的导数、乘积的导数和商的导数。
三、导数的几何意义导数的几何意义是导数理论的重要内容之一。
根据导数的定义，可以看出导数等于函数图像在某一点的切线的斜率。
因此，导数可以用来描述函数图像在某一点的变化趋势和曲线的凹凸性。
四、导数的应用1. 切线问题：导数可以用来求解曲线上某点处的切线方程。
根据导数的定义，切线的斜率就等于函数在该点的导数值。
因此，我们可以通过导数求解切线方程。
2. 极值问题：函数的极值点（最大值和最小值）对应着导数为0的点。
通过求解导数为0的点，我们可以确定函数的极值点。
3. 函数图像的描绘：导数可以帮助我们描绘函数的大致图像。
通过分析导数的正负性、零点和极值点，可以推测函数的增减性和凹凸性。
4. 应用题解析：导数在物理、经济、生物等领域有广泛的应用。
例如，求解速度、加速度、最优解等问题都可以用到导数的概念和计算。
五、导数与函数的关系1. 可导性和连续性：函数在某点可导，则该点必然连续；函数在某点不可导，则该点不一定不连续。
2. 导函数与原函数的关系：函数的导函数是原函数的导数。
通过求导函数可以得到原函数的导数。
高二上学期数学导数知识点
高二上学期数学导数知识点导数是微分学的重要概念，是函数变化率的度量。
在高二上学期的数学学习中，导数是一个重要的知识点。
本文将介绍高二上学期数学导数的相关知识点，包括导数的定义、导数的基本性质、导数的计算方法和导数应用的例题。
一、导数的定义导数描述了函数在某一点的变化率。
对于函数y=f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)或dy/dx。
导数的定义如下：f'(x) = lim(x→0) [f(x+Δx)-f(x)] / Δx其中，lim表示极限，Δx表示x的增量。
这个定义可以解释为：当Δx趋近于0时，函数在x点的变化率趋近于某个值，即导数。
二、导数的基本性质1. 可微性：如果函数在某一点上的导数存在，则该函数在该点上是可微的。
2. 导数与函数图像的关系：函数图像在某一点的切线的斜率等于该点处的导数值。
3. 导数与函数的关系：若函数f(x)在某一点x处可导，则该点处的导数值给出了函数图像在该点斜率的大小和方向。
4. 导数的唯一性：函数在一个点的导数是唯一的。
三、导数的计算方法1. 基本函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数的导数可以通过一些基本规则进行计算。
2. 导数的四则运算：如果f(x)和g(x)是可导函数，则它们的和、差、积、商仍然是可导函数，且有如下规则：(f+g)' = f' + g'(f-g)' = f' - g'(f·g)' = f'·g + f·g'(f/g)' = (f'·g - f·g') / g²3. 复合函数的导数：如对于复合函数h(x) = f(g(x))，可以使用链式法则进行求解：h'(x) = f'(g(x)) · g'(x)四、导数应用的例题例题1：求函数f(x) = x³ - 3x² + 2x的导函数。
高中数学《导数》讲义(全)
高中数学导数讲义完整版第一部分 导数的背景一、导入新课 1. 瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ (221gt s =,其中g 是重力加速度）.2. 切线的斜率问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.3. 边际成本问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ∆对成本的影响. 二、小结:瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy∆∆当x ∆趋近于0时的极限；边际成本是平均成本q C ∆∆当q ∆趋近于0时的极限.三、练习与作业：1. 某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度. 2. 判断曲线22x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522+=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本. 4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 判断曲线221x y =在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742+=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.第二部分 导数的概念一、新课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限(即xy∆∆无限趋近于某个常数)，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/。
高二下数学知识点导数
高二下数学知识点导数数学中的导数是一个重要的概念，在高二下学期的数学课程中，学生开始学习导数的相关知识。
导数涉及到函数的变化率、曲线的切线以及极值等内容，对于后续的微积分学习和实际生活应用都具有重要意义。
本文将介绍高二下数学课程中的导数知识点，帮助读者更好地理解和应用导数。
1. 导数的定义导数是用来描述函数在某点处的变化率的概念。
对于函数y=f(x)，在某点x处的导数表示为f'(x)，可通过极限的方式进行定义。
具体而言，导数f'(x)表示函数f(x)在点x处的切线斜率，也可以理解为函数在该点的瞬时变化率。
2. 导数的计算方法计算导数的方法有多种，主要包括基本函数求导法则、常用函数求导法则和复合函数求导法则等。
2.1 基本函数求导法则基本函数包括幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
对于基本函数，我们可以利用基本函数求导法则来求导。
2.2 常用函数求导法则常用函数指由基本函数经过加减乘除、乘方、复合等运算而得到的函数，常见的常用函数包括多项式函数、分式函数、指数和对数函数等。
2.3 复合函数求导法则复合函数由两个或多个函数组合而成，对于复合函数的导数求解，我们可以利用链式法则进行计算。
3. 导数的应用导数在数学中有广泛的应用，主要包括函数的极值、曲线的切线以及函数图像的研究等。
3.1 函数的极值通过导数的求解，可以判断函数的极值点，即函数在某点处的导数为零或不存在时，该点可能是函数的极值点。
根据导数的正负性可以进一步判断极大值和极小值。
3.2 曲线的切线导数可以用来求解曲线上某点处的切线斜率，从而确定切线的方程。
通过切线方程，可以进一步研究曲线的特点和性质。
3.3 函数图像的研究通过导数的求解，可以得到函数的增减区间、凹凸区间和拐点等信息，从而绘制出函数的完整图像。
这对于研究函数的特点和行为具有重要意义。
4. 导数的进一步应用导数在实际生活中也有广泛的应用，涉及到经济学、物理学、工程学等多个领域。
高二数学导数知识点
高二数学导数知识点导数是数学中非常重要的概念，被广泛应用于各个领域。
在高二数学学习中，导数是一个重要的知识点。
本文将介绍一些高二数学导数的知识点，帮助大家更好地理解和掌握这一内容。
一、导数的定义导数可以理解为函数在某一点上的变化率。
设函数y=f(x)，在点x处的导数记为f'(x)，其计算公式为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h二、导数的几何意义导数的几何意义是函数图像上某一点处的切线斜率。
可以通过计算导数来确定函数曲线上某点的切线方程。
三、导数的运算法则1. 常数法则：常数的导数为0。
2. 基本初等函数导数法则：a. 幂函数：(x^n)' = n*x^(n-1)b. 指数函数：(a^x)' = ln(a) * a^xc. 对数函数：(log_a(x))' = 1 / (x * ln(a))d. 三角函数：(sin(x))' = cos(x)，(cos(x))' = -sin(x)，(tan(x))' = sec^2(x)3. 乘积法则：(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)4. 商积法则：[f(x) / g(x)]' = [f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)] / [g(x)]^25. 复合函数求导法则：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)四、导数的应用导数广泛应用于微积分、物理学、经济学等领域。
以下是几个常见的应用：1. 极值问题：对于一个函数，极大值和极小值出现在导数为0或不存在的点。
2. 斜率问题：导数可以计算函数图像上某一点处的斜率，用于解决相关的问题。
3. 函数图像的变化：通过分析导数的正负变化来判断函数的递增和递减区间，从而得到函数图像的特征。
高二下期导数知识点
高二下期导数知识点导数是高中数学中的重要概念之一，它在微积分中有着重要的应用。
在高二下学期，我们将学习更加深入的导数知识，包括导数的定义、求导法则以及一些常见函数的导数等。
下面是本文将要介绍的一些导数知识点。
一、导数的定义导数可以理解为函数在某一点处的变化率或斜率。
对于函数y=f(x)，在点x处的导数可以用极限来定义，即：f'(x) = lim((f(x+h)-f(x))/h) (h趋近于0)其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
二、求导法则求导法则是用来计算各种函数的导数的规则，掌握这些法则可以简化我们计算导数的过程。
下面是一些常见的求导法则：1. 常数法则：如果f(x)是常数C，那么f'(x)等于0。
2. 幂函数法则：对于幂函数f(x) = a*x^n，其中a为常数，n为自然数，f'(x) = a*n*x^(n-1)。
3. 常见函数导数法则：- 常数函数的导数为0。
- 单位函数的导数为1。
- 正弦函数的导数为余弦函数，即(sin(x))' = cos(x)。
- 余弦函数的导数为负的正弦函数，即(cos(x))' = -sin(x)。
- 指数函数的导数为其自身，即(e^x)' = e^x。
- 对数函数的导数为1/x，即(ln(x))' = 1/x。
4. 四则运算法则：- 两个函数的和（或差）的导数等于这两个函数的导数的和（或差），即(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)。
- 两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
- 两个函数的商的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，减去第一个函数乘以第二个函数的导数，再除以第二个函数的平方，即(f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g^2(x)。
数学高二下期末知识点导数
数学高二下期末知识点导数高二下学期数学知识点导数导数是高中数学中的一个重要概念，它在数学以及其他科学领域中有着广泛的应用。
下面将介绍高二下学期的数学知识点导数及其相关概念。
第一部分：导数的定义导数是函数在某一点处的变化率，也可以看作函数曲线在该点处的切线斜率。
对于函数f(x)，它在点x处的导数可以表示为f'(x)，或者写成dy/dx。
导数的计算可以通过求极限来实现，即导数定义公式：f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，h为x的增量。
第二部分：导数的基本性质1. 导数的存在性：对于函数f(x)，如果在某一点x处导数存在，则称该函数在该点可导，否则称函数在该点不可导。
2. 导数的代数运算：导数具有线性性质，即对于函数组合、求和、求差、常数倍数和乘积，导数有以下性质：- (cf(x))' = cf'(x) （c为常数）- (f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)- (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)- (f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)第三部分：常见函数的导数1. 幂函数：对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，则其导数为：- f'(x) = nx^(n-1)2. 指数函数：对于指数函数f(x)=a^x，其中a为正实数且a≠1，则其导数为：- f'(x) = ln(a)·a^x3. 对数函数：对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为正实数且a≠1，则其导数为：- f'(x) = 1 / (xln(a))4. 三角函数：对于常见的三角函数，如正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的导数分别为：- (sin x)' = cos x- (cos x)' = -sin x- (tan x)' = sec^2 x第四部分：导数的应用导数作为数学的基本工具，在各个科学领域中有着广泛的应用。
(完整版)高二导数讲义
导数【知识归纳】1、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，x y∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim →∆x xy ∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，xy ∆∆有极限。
如果x y ∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ∆∆→∆0lim。
2、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3、几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;n n x nx-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x xa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=.4、两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方：⎪⎭⎫ ⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。
高二导数知识点
高二导数知识点导数是高中数学中的重要概念之一，对于高二学生来说，掌握导数的相关知识点是十分必要的。
本文将介绍高二导数知识点，帮助同学们更好地理解和应用导数。
一、导数的定义导数可以理解为函数的变化率，表示函数在某一点处的斜率或切线的斜率。
在数学上，导数的定义如下：设函数y=f(x)，x0为定义域上的一个点，若极限lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)存在，则称该极限为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)，即f'(x0)=lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)。
二、导数的求法1. 直接求导法对于多项式函数、常数函数等简单函数，可以直接使用求导法则求导。
具体方法是根据求导法则对函数进行逐步求导。
例如：(1) 若y=x^n，其中n为常数，则y' = nx^(n-1)。
(2) 若y=sin(x)，则y' = cos(x)。
2. 用导数的四则运算法则求导对于组合函数、求和函数等复杂函数，可以使用导数的四则运算法则求导。
具体方法是根据法则对函数进行逐步求导。
例如：(1) 若y = (3x^2 + 2x - 1)^2，则y' = 2(3x^2 + 2x - 1)(6x + 2)。
(2) 若y = sin(x^2)，则y' = cos(x^2) * 2x。
3. 用导数的链式法则求导对于复合函数，可以使用导数的链式法则求导。
具体方法是先对外层函数求导，再对内层函数求导，并将两个导数乘积相乘。
例如：若y = sin(2x + 1)，则y' = cos(2x + 1) * 2。
三、导数的基本性质掌握导数的基本性质对于理解和应用导数非常重要。
1. 可导性与连续性的关系若函数在某一点处可导，则必定在该点处连续；若函数在某一点处不连续，则必定在该点处不可导。
2. 导数与函数的关系函数的导数描述了函数的变化规律。
通过导数可以分析函数的单调性、极值点等特征。
06高二数学复习讲义《导数及其应用》
高二数学复习讲义（3） ——《导数及其应用》<知识点>1、导数的背景：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
如一物体的运动方程是21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒）2、导函数的概念：如果函数()f x 在开区间（a,b ）内可导，对于开区间（a,b ）内的每一个0x ，都对应着一个导数 ()0f x ' ，这样()f x 在开区间（a,b ）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做()f x 在开区间（a,b ）内的导函数， 记作 ()0limx y f x y x∆→∆'='=∆()()0limx f x x f x x ∆→+∆-=∆，导函数也简称为导数。
3、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆V ；（3）取极限，得导数()00lim x yf x x →∆'=∆V 。
4、导数的几何意义：函数()f x 在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率，即曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率是()0f x '，相应地切线的方程是()()000y y f x x x -='-。
特别提醒：（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；（2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是0()f x '。
5、导数的运算法则：（1）常数函数的导数为0，即0C '=（C 为常数）； （2）()()1n n x nx n Q -'=∈，与此有关的如下：()112211,x x x x ''-⎛⎫⎛⎫='=-'== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）若(),()f x g x 有导数，则①[()()]()()f x g x f x g x '''±=±；②[()]()C f x Cf x ''=g 。
(完整word)(整理)导数的概念及导数的几何意义.
<<高等数学〉>教案课型：讲授章节第二章导数与微分第一节导数及其运算 1·导数的概念及导数的几何意义教学目的：1、理解导数定义,能够运用定义求解简单函数的导数2、了解导数的几何意义,会求曲线在某点的切线和法线方程3、掌握可导与连续的关系,判别函数在某点的可导性与连续性教学重点：1、导数定义,包括函数在某点与在某区间的定义,单侧导数的定义2、导数的几何意义,求切线方程与法线方程教学难点:1、导数定义,包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学过程:1、简介微积分的组成，微分与积分的区别2、引入导数概念3、给出导数定义（1）函数在某点导数的定义（2）函数在某区间导数的定义（3）单侧导数的定义4、求导数举例5、导数的几何意义6、求切线和法线方程举例7、可导与连续的关系8、举例判别函数在某点处的连续性和可导性9、课堂小结10、布置作业§1 导数及其运算一、 导数的概念1、导数的引入设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数： s f (t ），求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值000)()(t t t f t f t t s s --=--，这个比值可认为是动点在时间间隔t t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短， 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t 0的速度。
但这样做是不精确的， 更确地应当这样: 令t t 0®0, 取比值00)()(t t t f t f --的极限， 如果这个极限存在， 设为v ， 即 00)()(limt t t f t f v t t --=→,这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2、导数的定义从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限： 00)()(lim 0x x x f x f x x --→.令x x x 0， 则y f （x 0x ）f (x 0) f (x )f (x 0)， x ®x 0相当于x ®0, 于是00)()(limx x x f x f x x --→成为 x yx ∆∆→∆0lim或xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000。
高二数学第一讲 导数概念及基本公式
高二数学第一讲 导数概念及根本公式一；根底知识指正；〔1〕导数的定义及定义求解步骤；函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 0000()()lim lim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明：〔1〕导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率〔2)导函数：由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，即: 0()()()lim x f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆ 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。
1〕函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
2〕函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数f(x)的导函数3〕函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是 求函数在点0x 处的导数的方法之一。
〔2〕0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=-〔3〕导数的几何意义；函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆说明：求曲线在某点处的切线方程的根本步骤:①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.(4)导数根本运算公式；〔5〕导数的运算法那么导数运算法那么1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=± 3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 推论：[]''()()cf x cf x =〔常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数〕二；易错点指正；a 对于物理学中变速运动来讲，位移对时间的导数是速度，速度对时间导数是加速度 b;根本函数导数公式记忆正确，尤其是指数函数，对数函数。
(word版)高二数学导数及其应用复习讲义有答案
高二数学复习讲义—导数及其应用知识归纳1．导数的概念 函数y=f(x), 如果自变量x 在x 0处有增量x ，那么函数y 相应地有增量 y =f 〔x 0+x 〕 －f 〔x 0〕，比值 y 叫做函数y=f 〔x 〕在x 0x到x 0+x 之间的平均变化率，即y f(x 0 x) f(x 0)。
如果当x0时， x =xy 有极限，我们就说函数 y=f(x)在点x 0处 x可导，并把这个极限叫做f 〔x 〕在点x 0处的导数，记作f ’〔x 0〕或y ’|xx 0。
即f 〔x 0 〕=limy=lim f(x 0 x)f(x 0)。
x 0xx0x说明：〔1〕函数f 〔x 〕在点x 0处可导，是指 x 0时，y 有极限。
如果y不存在极限，x x就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
〔2〕x 是自变量x 在x 0处的改变量，x0时，而y 是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f 〔x 〕在点x 0处的导数的步骤：〔1〕求函数的增量 y =f 〔x 0+x 〕－f 〔x 0〕；〔2〕求平均变化率yf(x 0x)f(x 0)；x =x〔3〕取极限，得导数f ’(x 0)=lim y 。
x 0 x 2．导数的几何意义函数y=f 〔x 〕在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f 〔x 〕在点p 〔x 0，f 〔x 0〕〕处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f 〔x 〕在点p 〔x 0，f 〔x 0〕〕处的切线的斜率是f ’〔x 0〕。
/〕〔x －x 0 〕。
相应地，切线方程为y －y 0=f 〔x 0 3．几种常见函数的导数:①C0; ②x nnx n1;③(sinx)cosx ;④(cosx)sinx ;⑤(e x ) e x ;⑥(a x ) a x lna ;4．两个函数的和、差、积的求导法那么法那么1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(u v)' u ' v '. 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：(uv)' u 'vuv '.假设C 为常数,(Cu)' C 'uCu ' 0Cu ' Cu '. 即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数 的导数：(Cu)' Cu '. 法那么 3：两个函数的商的导数，等于分子的 导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方：u‘=u'v uv'v v 2 v0〕。
高二数学第五章导数知识点
高二数学第五章导数知识点导数是高中数学中的一个重要概念，在高二数学的第五章中，我们学习了一系列与导数相关的知识点。
本文将对这些知识点逐一进行介绍和解析。
1. 函数的导数函数的导数是描述函数变化率的重要工具。
对于函数f(x)，其导数表示为f'(x)或dy/dx，定义为极限lim[h→0] [(f(x+h)-f(x))/h]。
导数的概念可以理解为函数在某点处的切线斜率。
2. 导数的几何意义导数的几何意义是函数曲线在某一点处的切线的斜率。
导数的正负表示曲线上升还是下降，导数的绝对值大小表示变化的速率。
3. 导数的基本性质导数具有一系列基本性质：常数函数的导数为0，函数与它的相反数的导数互为相反数，两个函数的和的导数等于两个函数的导数的和，函数与一个常数乘积的导数等于函数的导数乘以常数。
4. 基本导数公式高中数学中常用的函数的导数公式包括：常数函数的导数为0，幂函数的导数为幂次减一乘以系数，指数函数的导数为自身乘以常数，对数函数的导数为自身除以自变量。
5. 导数的运算法则导数的运算法则包括：和的导数等于各个函数的导数的和，差的导数等于各个函数的导数的差，积的导数等于函数的导数与另一个函数的值的乘积之和，商的导数等于分子函数的导数与分母函数的值的乘积减去分母函数的导数与分子函数的值的乘积之商。
6. 高阶导数高阶导数是指函数的导数再次求导得到的导数。
高阶导数的计算可以通过迭代运用导数的定义，也可以运用函数的导数公式和运算法则进行计算。
7. 隐函数求导隐函数求导是指对于一些由关系式所定义的函数，利用导数的求导法则求得其导函数。
隐函数求导与显式函数求导的区别在于在求导的过程中要将自变量视为关于另一个变量的函数来进行求导。
8. 参数方程求导参数方程求导是指对于由参数方程所定义的函数，利用导数的定义和性质来求其导数。
参数方程的求导需要将自变量表示为参数的函数，然后将参数看作自变量进行求导。
9. 函数的导数与函数的性质关系导数与函数的性质之间存在一系列的关系，比如函数在某点可导，则在该点连续；函数在某区间可导，则在该区间内连续；函数在某点可导，则在该点处的切线与曲线相切等。
高二导数文科1 1知识点
高二导数文科1 1知识点导数是高中数学中的一个重要知识点，是微积分的基础。
在高二文科1学习中，导数的概念和性质是必须要掌握的知识点。
本文将介绍高二导数文科1第1章的主要知识点，包括导数的定义、导函数、导数的计算、导数的应用等内容。
1.导数的定义导数是描述函数变化率的概念。
对于一个函数f(x)，在其定义域内某一点x处的导数表示函数在该点的瞬时变化率，用f'(x)或dy/dx表示。
导数的定义可以用极限表示，即f'(x)=lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗。
2.导函数导函数是由原函数的导数得到的新函数。
如果原函数f(x)在区间[a,b]上可导，那么在该区间上就有一个相应的导函数f'(x)。
导函数和原函数有着重要的关系，导函数可以反映出原函数的变化情况。
3.导数的计算导数的计算可以用多种方法，主要有几种常用的方法：基本求导法则、常用函数的导数等。
基本求导法则包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的求导法则。
4.导数的应用导数的应用非常广泛，可以在各个领域中得到应用。
在高二导数文科1中，主要讲解了导数在函数图像的性质中的应用，例如判断函数的增减性和极值点、求解函数的最值、探究函数的凹凸性和拐点等。
5.导数与曲线的关系导数可以揭示曲线的一些特性。
通过导数的计算和分析，可以了解曲线的斜率和凹凸性。
导数为零的点被称为关键点，是判断曲线变化趋势的重要依据。
6.导数与微分微分是导数的一个应用，可以通过导数计算函数在某一点的微小变化量。
微分的定义可以表示为dy=f'(x)dx，即微分等于导函数f'(x)与自变量x的差乘。
在高二导数文科1中，对导数的学习主要集中在导数的定义、导函数、导数的计算、导数的应用等方面。
通过学习导数的概念和性质，可以更好地理解和应用微积分知识，为高中数学的学习打下坚实的基础。
总结起来，高二导数文科1 1知识点主要包括导数的定义、导函数、导数的计算、导数的应用等内容。
(精华讲义)数学人教版高二-选修2-1导数及其应用
导数及其应用复习讲义一、知识复习： 1. 导数的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。
()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x xx ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(000002 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=- 3．基本常见函数的导数:①0;C '=（C 为常数） ②()1;nn xnx-'=③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();xxe e '= ⑥()ln xxa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 二、导数的运算1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： ).())((''x Cf x Cf =(C 为常数)法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦。
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导数【知识归纳】1、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim→∆x xy∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，xy∆∆有极限。
如果x y ∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）； （2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim 。
2、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3、几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;nn xnx-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();x x e e '=⑥()ln xxa a a '=;⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=.4、两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。
形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数。
复合函数求导步骤：分解——求导——回代。
法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X5、单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导， 如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数； 如果'f 0)(<x ，则)(x f 为减函数；如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常数； 6、极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 7、最值：一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。
①求函数ƒ)(x 在(a ，b)内的极值； ②求函数ƒ)(x 在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；③将函数ƒ )(x 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
【常见综合题方法导航】1、关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征)()(x g x f >恒成立0)()()(>-=⇔x g x f x h 恒成立；2、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x 轴即方程根的个数问题； （1）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：第一种：转化为恒成立问题即0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法；第二种：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；第三种：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b ）”，要弄清楚两句话的区别；（2）函数与x 轴即方程根的个数问题解题步骤 第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可； 3、函数的切线问题；问题1：在点处的切线，易求；问题2：过点作曲线的切线需四个步骤；第一步：设切点，求斜率；第二步：写切线（一般用点斜式）；第三步：根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程；第四步：判断三次方程根的个数；经典题型分类解析 【导数定义的应用】例1、求抛物线 2x y =上的点到直线02=--y x 的最短距离.1、（福建）已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，2、已知P （－1，1），Q （2，4）是曲线2x y =上的两点，则与直线PQ 平行的曲线2x y =的切线方程是 _____________.3、已知函数2)(23-=+++=x c bx ax x x f 在处取得极值，并且它的图象与直线33+-=x y 在点（1，0）处相切，则函数)(x f 的表达式为 __ __m 2.【利用导数研究函数的图像】例1、（安徽高考）设a ＜b,函数2()()y x a x b =--的图像可能是（ ）1、设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 。
y x Oy x O y x O yxO 图1图2图3图4【利用导数解决函数的单调性及极值问题】例1、当 0>x ，证明不等式x x xx<+<+)1ln(1.例2、（全国高考）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围． 【变式1】（ 全国高考）若函数()()11213123+-+-=x a ax x x f 在区间()4,1上是减函数，在区间()+∞,6上是增函数，求实数a 的取值范围．【变式2】（ 浙江高考）已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ．若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围． 练习1、利用函数的单调性，证明：ln ,0x x x e x <<>变式1：证明：()x x x ≤+≤+-1ln 111，1x >- 变式2：（理科）设函数f(x)=(1+x)2－ln(1+x)2.若关于x 的方程f(x)=x 2+x+a 在[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围.2、已知函数321()23f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，22()3f x a ->恒成立，求a 的取值范围．3、设函数2()ln()f x x a x =++,若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性.4、设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．5、设22(),1x f x x =+()52(0)g x ax a a =+->。
（1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域；（2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。
【利用导数的几何意义研究曲线的切线问题】例1、（江西高考）若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于 A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25-64 D ．74-或7【变式】（ 辽宁高考）设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ）A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，综合实战训练1. 设函数f (x )在定义域内可导，y=f (x )的图象如右图所示，则导函数y=f '(x )的图象可能为( )2. 已知曲线S :y =3x －x 3及点(2,2)P -,则过点P 可向S 引切线的条数为( )(A )0 (B )1 (C)2 (D)33. C 设S 上的切点00(,)x y 求导数得斜率，过点P 可求得:200(1)(2)0x x +-=. 4. 函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ）.3()(,)22A ππ ()(,2)B ππ 35()(,)22C ππ()(2,3)D ππ5. y =2x 3－3x 2+a 的极大值为6，那么a 等于( ) (A )6 (B )0 (C)5 (D)16. 函数f (x )＝x 3－3x +1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是( ) (A )1，－1 (B )3，-17 (C)1，－17 (D)9，－19 7.设l 1为曲线y 1=si nx 在点(0，0)处的切线，l 2为曲线y 2=cos x 在点(2π,0)处的切线，则l 1与l 2的夹角为___________.8. 设函数f (x )=x 3+ax 2+bx －1，若当x =1时，有极值为1，则函数g(x )=x 3+ax 2+bx 的单调递减区间为 .9．（湖北）已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= 10．（湖南）函数3()12f x x x =-在区间[33]-，上的最小值是11．（浙江）曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 9．. 已知函数32()(,)f x x ax b a b R =-++∈（Ⅰ）若函数)(x f 图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：33a <<（Ⅱ）若[]0,1x ∈，函数()y f x =图像上任意一点处的切线的斜率为k ，试讨论1k ≤的充要条件。