初二数学三角形的内角知识点总结归纳,八年级上册数学三角形内角和经典例题解析与详细讲解
八年级数学上册11.2.1 三角形的内角
利用上面的结果，你能得出什么结论？
直角三角形的两个锐角互余．
B
C
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，
A
直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
B
C此性质的几何推理格式该怎样 Nhomakorabea示？A
在Rt△ABC 中， ∵ ∠C =90°， ∴ ∠A +∠B =90°．
B
C
例3 如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相 交于点E，∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？
分析：两个角的关系 是什么？这两个角分别在 什么三角形中？你如何验 证自己的想法？
A
C D
E
B
例3 如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相 交于点E，∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？
解：在Rt△AEC 中，
∵ ∠C =90°，
C
∴ ∠CAE +∠AEC =90°
（直角三角形两锐角互余）．
在Rt△BDE 中，
∵ ∠D =90°，
A
D E
B
例3 如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相 交于点E，∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？
解：∴ ∠DBE +∠BED =90°
（直角三角形两锐角互余）． C ∵ ∠AEC =∠BED （对顶角相等），
D E
∴ ∠CAE =∠DBE
（等角的余角相等）． A
l B2
A
1 5
46
P
m
n 3C
追问4 通过前面的操作和证明过程，你
能受到什么启发？你能用其他方法证明此定
理吗？
l
m
A
5
1
4
初中数学课三角形的内角和及多边形内外角和(学生版)八年级上同步精品讲义(人教版)
第03课 三角形的内角和及多边形内外角和课程标准课标解读1．会用不同的方法证明三角形的内角和定理．2．能应用三角形内角和定理解决一些简单的问题． 1.掌握三角形内角和定理的应用． 2.掌握三角形内角和定理的证明．知识点01 三角形的内角（1）定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的 角. （2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于定理证明：三角形内角和是180°；证明：如图，延长BC 到D ，过点C 作CE ∥AB ，（3）三角形内角和定理的作用： ①； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数； ③求一个三角形中各角之间的关系.目标导航知识精讲知识点02 三角形的外角（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的 . 三角形的外角和为 . （2）特点：①外角的顶点在三角形的一个顶点上；②外角的一条边是三角形的一边；③外角的另一条边是三角形某条边的 .（3）性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个的和.②三角形的一个外角（大于，等于或小于）与它不相邻的任何一个内角.知识点03 多边形（一）多边形的定义：在平面内，由一些线段组成的图形叫做多边形.的多边形叫做正多边形；注意：是正多边形的必备条件，二者缺一不可.如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.（二）多边形的对角线：连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.从n边形的一个顶点出发，可以画条对角线，n边形一共有条对角线.（三）多边形的内角和公式：n边形的内角和为；内角和公式的应用：（1）已知多边形的边数，求其内角和；（2）已知多边形内角和，求其边数.（四）多边形的外角和定理：多边形的外角和等于.外角和定理的应用：（1）已知外角度数，求正多边形边数；（2）已知正多边形边数，求外角度数.知识点知识点04 镶嵌（一）平面镶嵌的定义：，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.（二）镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个时，就能拼成一个平面图形.考法01 三角形的内角与外角【典例1】若三角形的一个角是另一个角的6倍，而这两个角的和比第三个角大44°，则此三角形的最大角是______.【典例2】如图，∠1，∠2，∠3的大小关系是_____．【典例3】如图，AB CD∥，75B︒∠=，27E︒∠=，则D∠的度数为（）A．45︒B．48︒C．50︒D．58︒考法02 多边形内外交和及镶嵌【典例4】已知一个多边形的内角和等于900º，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【典例5】已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( ).能力拓展A．12B．10C．8D．6题组A 基础过关练1．在△ABC中，6∠A=3∠B=2∠C，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定2．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（）A．15°B．55°C．65°D．75°3．正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n=_________．4．下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（）．A．∠A=2∠B-3∠C B．∠A+∠B=2∠C C．∠A-∠B=30°D．∠A=12∠B=13∠C5．如图，点D在△ABC内，且∠BDC=120°，∠1+∠2=55°，则∠A的度数为（）A．50°B．60°C．65°D．75°6．正十边形的外角和为（）A．180°B．360°C．720°D．1440°7．如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45︒后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45︒后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（）A．100米B．80米C．60米D．40米分层提分8．若正多边形的一个外角是60︒，则该正多边形的内角和为（）A．360︒B．540︒C．720︒D．900︒题组B 能力提升练1．在ABC中，若一个内角等于另外两个角的差，则（）A．必有一个角等于30B．必有一个角等于45︒C．必有一个角等于60︒D．必有一个角等于90︒2．在△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点P，设∠A=x°，用x的代数式表示∠BPC的度数，正确的是()A．90+12x B．90-12x C．90+2x D．90+x3．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=()A．180°B．360°C．540°D．720°4．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠A=∠1+∠2B．2∠A=∠1+∠2C．3∠A=2∠1+∠2D．3∠A=2（∠1+∠2）5．如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（）A．360ºB．250ºC．180ºD．140º6．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠7．一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为3000°，则内角和是______．8．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是__9．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的大小．题组C 培优拔尖练1．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（）A．5B．5或6C．5或7D．5或6或72．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2016°，则n等于（）A．11B．12C．13D．143．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）A．180B．220C．240D．3004．一个多边形除一个内角外其余内角和为1510°，则这个多边形共有对角线_________条．5．阅读下列材料：情形一：如图①，在ABC 中，沿等腰三角形ABC 的顶角BAC ∠的平分线1AB 折叠，若点B 与点C 重合，则称BAC ∠是ABC 的“好角”，如图②，在ABC 中，先沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，剪掉重复部分，再将余下部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，若点1B 与点C 重合，则称BAC ∠是ABC 的“好角”． 情形二：如图③，在ABC 中，先沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，剪掉重复部分，再将余下部分沿11B AC ∠的平分线11A B 折叠，剪掉重复部分⋯重复折叠n 次，最终若点1n B -与点C 重合，则称BAC ∠是ABC 的“好角”，探究发现：(不妨设)B C ∠≥∠()1如图①，若BAC ∠是ABC 的“好角”，则B 与C ∠的数量关系是：______． ()2如图②，若BAC ∠是ABC 的“好角”，则B 与C ∠的数量关系是：______． ()3如图③，若BAC ∠是ABC 的“好角”，则B 与C ∠的数量关系是：______．应用提升：()4如果一个三角形的三个角分别为15，60，105，我们发现60和105的两个角都是此三角形的“好角”；如果有一个三角形，它的三个角均是此三角形的“好角”，且已知最小的角是12，求另外两个角的度数．6．阅读材料：如图1，AB 、CD 交于点O ，我们把△AOD 和△BOC 叫做对顶三角形．结论：若△AOD 和△BOC 是对顶三角形，则∠A +∠D ＝∠B +∠C ． 结论应用举例：如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A +∠B +∠ACE +∠ADB +∠E 的度数． 解：连接CD ，由对顶三角形的性质得：∠B +∠E ＝∠1+∠2， 在△ACD 中，∵∠A +∠ACD +∠ADC ＝180°， 即∠A +∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A +∠ACE +∠B +∠E +ADB ＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题：（1）如图①，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝ ； （2）如图②，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G ＝ ； （3）如图③，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H ＝ ；（4）如图④，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H +∠M +∠N ＝ ； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．7．如图1，将△ABC 纸片沿DE 折叠，使点C 落在四边形ABDE 内点C ’的位置， （1）①若0120,250∠=∠=，则C ∠= ； ②若042C ∠=，则12∠+∠= ；③探索C ∠ 、1∠与2∠之间的数量关系，并说明理由； （2）直接按照所得结论，填空：①如图中，将△ABC 纸片再沿FG 、MN 折叠，使点A 、B 分别落在△ABC 内点A ’、B ’的位置，则123456∠+∠+∠+∠+∠+∠= ；②如图中，将四边形ABCD 按照上面方式折叠，则128∠+∠++∠= ； ③若将n 边形123n A A A A 也按照上面方式折叠，则122n ∠+∠++∠= ；（3）如图，将△ABC 纸片沿DE 折叠，使点C 落在△ABC 边AC 上方点'C 的位置， 探索C ∠、1∠与2∠之间的数量关系，并说明理由.。
八年级上册数学三角形知识点总结
八年级上册数学三角形知识点总结一、三角形的概念。
1. 定义。
- 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
- 三角形有三个顶点、三条边和三个角。
例如，三角形ABC，顶点为A、B、C，边为AB、BC、AC，角为∠A、∠B、∠C。
2. 三角形的表示方法。
- 用符号“△”表示三角形，如△ABC。
二、三角形的分类。
1. 按角分类。
- 锐角三角形：三个角都是锐角（即每个角都小于90°）的三角形。
- 直角三角形：有一个角是直角（等于90°）的三角形。
直角三角形可以用“Rt △”表示，如Rt△ABC，直角所对的边称为斜边，另外两条边称为直角边。
- 钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°小于180°）的三角形。
2. 按边分类。
- 不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
- 等腰三角形：有两条边相等的三角形。
相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边；两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边所夹的角叫做底角。
- 等边三角形：三条边都相等的三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三个角也相等，并且每个角都是60°。
三、三角形的三边关系。
1. 定理。
- 三角形任意两边之和大于第三边，即a + b>c，a + c>b，b + c>a（设三角形三边为a、b、c）。
- 三角形任意两边之差小于第三边，即a - b<c，a - c<b，b - c<a。
- 例如，一个三角形的三边分别为3、4、5，因为3+4>5，3 + 5>4，4+5>3，且3 - 4<5，3 - 5<4，4 - 5<3，所以能构成三角形。
2. 应用。
- 判断三条线段能否组成三角形。
例如，三条线段长分别为2、3、6，因为2+3 = 5<6，不满足三边关系定理，所以不能组成三角形。
- 求三角形第三边的取值范围。
已知三角形两边长分别为5和8，则第三边x的取值范围是8 - 5<x<8 + 5，即3<x<13。
八年级上册数学三角形的角知识点结论
八年级上册数学三角形的角知识点结论在学习八年级上册数学课程中，我们经常会接触到三角形的相关知识。
三角形是初中数学中一个重要的基础概念，而其中的角知识点更是我们需要深入掌握的内容之一。
接下来，我将从简单到复杂，由浅入深地探讨八年级上册数学三角形的角知识点结论。
1. 三角形的定义三角形是由三条线段所围成的一个平面图形，它是几何中的基本图形之一。
三角形中有三个角，我们需要了解它们各自的特点和性质。
2. 角的概念在三角形中，角是由两条线段所围成的图形部分。
角的大小通常用度来表示，一个完整的圆周角为360度。
在三角形中，我们通常会接触到三种角：内角、外角和对顶角。
3. 内角的性质在三角形ABC中，若角A、角B、角C分别为α、β、γ，则有以下结论：（1）三角形内角和等于180度：α+β+γ=180度；（2）三角形内角和小于等于180度：α+β+γ≤180度；（3）三角形内角和大于180度：α+β+γ≥180度。
4. 外角的性质在三角形ABC中，若角A、角B、角C分别为α、β、γ，则有以下结论：（1）三角形外角和等于360度：180度；（2）三角形外角和小于等于360度：α+β+γ≤360度；（3）三角形外角和大于360度：α+β+γ≥360度。
5. 对顶角的性质在三角形ABC中，若角A、角B、角C分别为α、β、γ，则有以下结论：（1）角A、角B的对顶角相等：α=β；（2）角B、角C的对顶角相等：β=γ；（3）角C、角A的对顶角相等：γ=α。
总结回顾：通过对三角形的角知识点进行全面的评估和分析，我们可以清晰地了解三角形内角、外角和对顶角的性质和关系。
对于三角形的内角和定理、外角和定理以及对顶角定理，我们需要掌握其基本概念和相关的推导过程。
通过反复练习和操练，我们可以更加深入、全面地理解和掌握这些知识点。
个人观点和理解：在学习三角形的角知识点时，我们不仅要注重理论的学习，更需要注重实际问题的应用和解决能力的培养。
八年级数学上册第2章三角形所有知识点总结和常考题型练习题湘教版
三角形知识点一、三角形及其有关概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形的表示：三角形用符号“△"表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。
3、三角形的三边关系：（1）三角形的任意两边之和大于第三边。
（2)三角形的任意两边之差小于第三边。
（3）作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系.4、三角形的内角的关系:（1）三角形三个内角和等于180°。
（2)直角三角形的两个锐角互余.5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.6、三角形的分类：(1)三角形按边分类:不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形（2)三角形按角分类:直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）还有一种特殊的三角形：等腰直角三角形.它是两条直角边相等的直角三角形。
7、三角形的三种重要线段：（1）三角形的角平分线：定义:在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
性质:三角形的三条角平分线交于一点。
交点在三角形的内部。
（2)三角形的中线:定义：在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
性质：三角形的三条中线交于一点,交点在三角形的内部.（3)三角形的高线：定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
性质：三角形的三条高所在的直线交于一点。
锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的交点在它的直角顶点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；8、三角形的面积:1×底×高三角形的面积=2二、全等图形：定义:能够完全重合的两个图形叫做全等图形。
人教版初二数学上册 三角形的内角和外角 讲义
三角形的内角与外角知识点一：三角形内角和等于180°例1、一个三角形三个内角之比为1:2:6，这三个内角度数分别是______________1、一个三角形三个内角之比为2:3:4，其中最大内角的度数是_________2、如下左图，在三角形ABC中，∠C=22°，AD是BC边上的高，且∠DAB=39°，则∠BAC的度数为___________3、如下中图，AB//CD，AD、BC相交于O，若∠A=35°，∠COD=48°，则∠B=_______4、如下右图，CD//AB，∠1=120°，∠2=80°，则∠E=___________5、如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠ABC=30°，∠BCA=60°则∠EAD=__________6、如下左图，AD⊥BC，垂足是D，若∠A=32°，∠B=40°，则∠C=_____，∠BFD=_____，∠AEF=__________7、如下中图，把△ABC与△DEF如图放置，DE、DF分别经过B、C，在三角形ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=______，∠DBC+∠DCB=______例2、如下右图，一个三角板放在两条平行线上，若∠α=110°，则∠β的度数是_______8、如图，一副三角板如图摆放，则∠α=__________9、如图，ED⊥DF，∠A=40°，则∠ABD+∠ACD=___________10、如图，AB//DE，∠ABC=75°，∠CDE=125°，则∠BCD=_________知识点二：隐藏的三角形内角和例1、在三角形ABC中，∠A=∠B+∠C，则三角形ABC的形状是_________1、在三角形ABC中，∠A-∠B=20°，且2∠A=∠C，则∠A=_________2、在三角形ABC中，∠C=80°，∠B比∠A小20°，则∠B=________3、在三角形ABC中，∠A=12∠B=13∠C，则三角形ABC的形状是___________4、在下列条件中，能判断出三角形ABC是直角三角形的有（）个∠A+∠B=∠C ②∠A：∠B：∠C=1:2:3 ③∠A=90°-∠B ④∠A=∠B-∠CA、1个B、2个C、3个D、4个5、如图，AE、CE分别是∠BAC、DCA的角平分线，且∠1+∠2=∠AEC，则∠AEC=________6、当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称这个三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”。
(人教版)初中八年级数学上册《三角形》重要知识点梳理详解(汇编)
（人教版）初中八年级数学上册《三角形》重要知识点梳理详解（汇编）11.1 与三角形有关的线段 一、三角形的边三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形。
注意点：（1）三条线段（2）不在同一直线上 （3）首尾顺次相接三角形的表示：三角形用符号“△”表示，记作“△ ABC ”， 读作“三角形ABC ”，除此△ ABC 还可记作△BCA, △ CAB, △ ACB 等.三角形的分类：按角分 按边分等腰三角形：两边相等的三角形叫等腰三角形。
相等的两边都叫腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
三角形中三边的关系：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。
（在做题时，不仅要考虑到两边之和大于第三边，还必须考虑到两边之差小 于第三边.）直角三角形 不等边三角形锐角三角形 等腰三角形钝角三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等边三角形二、三角形的高、中线与角平分线三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这边的高，简称三角形的高。
1、 锐角三角形的三条高交于同一点。
三条高都在三角形的内部。
2、 直角三角形的三条高交于直角顶点.3、 钝角三角形的三条高不相交于一点。
钝角三角形的三条高所在直线交于一点。
总结：三角形的三条高的特性锐角三角形直角三角形钝角三角形高在三角形内部的数量 3 1 1 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 高之间是否相交 相交 相交 不相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部直角顶点三角形外部三角形的中线：在三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段叫做这个三角形这边的中线.三角形中线的符号语言：∵AD 是△ABC 的中线 ∴BD=CD =1/2 BC三角形的角平分线：在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线。
∵AD 是 △ ABC 的角平分线 ∴∠BAD = ∠CAD =1/2∠BAC 三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部三、三角形的稳定性三角形的三条高所在直线交于一点三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部。
三角形的内角和数学整理笔记
三角形的内角和数学整理笔记三角形是一个非常基础的几何形状，由于其简单且重要的性质，它在数学中具有非常重要的地位。
三角形的内角和是指三个内角的度数之和。
本文将对三角形的内角和进行数学整理，并给出相关的参考内容。
1. 等腰三角形的内角和等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。
根据等腰三角形的性质，它的两个底角（也就是两边所对的内角）是相等的。
假设等腰三角形的两个底角都为x度，则其顶角的度数为180度减去两个底角的度数，即180度-2x度。
所以等腰三角形的内角和为180度。
2. 直角三角形的内角和直角三角形是指具有一个直角（90度）的三角形。
设直角三角形的两个锐角为x和y，则根据直角三角形的性质有x + y + 90度 = 180度，即x + y = 90度。
所以直角三角形的内角和为90度。
3. 一般三角形的内角和一般三角形没有特殊的性质，它的三个内角可以是任意度数。
设三角形的三个内角分别为x、y和z度，根据三角形内角和的定义有x + y + z = 180度。
所以一般三角形的内角和为180度。
上述是对三角形内角和的一般性质进行的数学整理，接下来给出一些相关的参考内容：1. 《高中数学九年级上册》这是一本适用于高中九年级学生的数学教材，其中包含了关于三角形的内角和的相关知识。
该教材有丰富的例题和习题，可以帮助学生更好地理解和掌握三角形的内角和的概念和计算方法。
2. 《初中数学九年级上册》这是一本适用于初中九年级学生的数学教材，其中也包含了关于三角形的内角和的相关内容。
该教材对于三角形的内角和的概念和计算方法进行了详细的解释和举例，有助于学生理解和掌握这一知识点。
3. 《初中数学》王老师讲义这是一份由一位数学教师编写的初中数学讲义，其中对三角形的内角和进行了详细的讲解。
该讲义结合了具体的例题和解题方法，将抽象的概念与实际问题相结合，有助于学生更好地理解和应用三角形的内角和的知识。
除了以上的参考内容外，还可以通过搜索引擎查询“三角形内角和”的相关资料，可以找到一些在线教学视频、数学问题解答网站等资源，这些资源可以帮助学生更全面地理解和掌握三角形的内角和的知识。
三角形内角和与外角性质知识点
三角形内角和与外角性质知识点三角形是几何学中一个基本的概念，研究三角形的性质对于几何学的学习至关重要。
本文将介绍三角形内角和与外角的性质知识点，帮助读者更好地理解和运用这些概念。
一、三角形内角和与外角的定义1. 三角形内角和：三角形的内角和是指三角形内部各角度之和。
对于任意三角形ABC，其内角和记作∠A+∠B+∠C=180°。
2. 三角形外角：三角形的外角是指与三角形内角相对应的角，位于三角形外部。
对于任意三角形ABC，∠D、∠E、∠F分别为内角∠A、∠B、∠C的对应外角。
二、三角形内角和与外角的性质1. 内角和与三角形类型的关系：(1) 锐角三角形：锐角三角形的内角和小于180°。
例如，对于锐角三角形ABC，有∠A+∠B+∠C=180°，且∠A<90°，∠B<90°，∠C<90°。
(2) 直角三角形：直角三角形的内角和等于180°。
例如，对于直角三角形ABC，有∠A+∠B+∠C=180°，且其中之一角等于90°。
(3) 钝角三角形：钝角三角形的内角和大于180°。
例如，对于钝角三角形ABC，有∠A+∠B+∠C=180°，且其中之一角大于90°。
2. 内角和的计算：内角和可以通过已知的角度进行计算。
例如，已知∠A=30°，∠B=50°，则∠C=180°-∠A-∠B=100°。
3. 外角与其对应内角的关系：(1) 外角与内角的和为180°：对于任意三角形ABC，三个外角∠D、∠E、∠F 与对应的内角∠A、∠B、∠C的和分别满足∠A+∠D=180°，∠B+∠E=180°，∠C+∠F=180°。
(2) 外角与对应内角的关系：对于任意三角形ABC，有∠D=180°-∠A，∠E=180°-∠B，∠F=180°-∠C。
沪科版-数学-八年级上册-知识点解读：三角形的内角
知识点解读：三角形的内角知识点1：三角形的内角和（重点）三角形的内角和定理：三角形的三个内角和等于180°．知识详析：（1）三角形的内角和等于180°．（2）证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程．【典例】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，P 为BC 上一点，设∠CDP ＝α，∠CPD ＝β，当点P 在BC 上移动时，猜想α，β与∠B 的关系，并说明理由．分析：根据平行四边形角的性质来结合题中给出的条件解题．解：∠α，∠β与∠B 的关系是：∠α＋∠β＝∠B ，理由是因为AB ∥CD ，所以∠C ＋∠B ＝180°．因为∠α＋∠β＋∠C ＝180°，所以∠α＋∠β＋∠C ＝C ＋∠B ，所以∠α＋∠β＝∠B ．知识点2：直角三角形的两个锐角互余（推论）直角三角形的两个锐角互余．知识详析：（1）三角形的内角和是180°．αβP BA CD（2）如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C= 1800，所以∠A+∠B =90°，即∠A与∠B互余．（3）直角三角形可以用符号Rt表示，直角三角形ABC可以写成RtABC．【典例】1、如果一个三角形的两个内角之和等于第三个角，那么这个三角形是直角三角形_____．（判断对错）分析：因为任何一个三角形的三个内角之和都是180度，所以如果两个内角之和等于第三个角，那么这两个内角之和与第三个角的度数都是90度，再根据有一个角是直角的三角形是直角三角形；据此进行判断．解：如果一个三角形的两个内角之和等于第三个角，那么这两个内角之和与第三个角的度数都是：180÷2=90（度），因为有一个角是直角的三角形是直角三角形，所以这个三角形一定是直角三角形．故判断为：正确．2、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是_____．分析：根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数．解：∵AB=AC，∠A=36°∴∠ABC=∠ACB=72°∵BD是AC边上的高∴BD⊥AC∴∠DBC=90°-72°=18°故答案为18°．。
中考考点三角形的内角和外角和角平分线等性质
中考考点三角形的内角和外角和角平分线等性质中考考点：三角形的内角和、外角和、角平分线等性质三角形是初中数学中的重要概念之一，而其中与三角形的内角和、外角和、角平分线等性质相关的知识点往往是考试中经常出现的考点。
本文将围绕这几个知识点展开，为大家详细介绍相关定义和性质，以帮助大家更好地掌握这一部分内容。
一、三角形的内角和首先我们来认识一下三角形的内角和。
将一个三角形的三个内角相加，得到的和被称为该三角形的内角和。
对于任意一个三角形ABC来说，它的内角和可以表示为∠A+∠B+∠C，其中∠A、∠B、∠C分别代表三角形ABC的三个内角。
根据三角形的性质可知，三角形内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C=180°。
这是因为三角形的两边之和必须大于第三边，所以三角形的内角和不能大于180°。
而当三角形是一条直线时，即三个角相加为180°时，我们称之为退化三角形。
二、三角形的外角和接下来我们来了解三角形的外角和。
对于三角形ABC来说，将其一个内角的补角与另外两个内角相加，所得的和被称为该三角形的外角和。
以∠A为例，∠A的补角为180°-∠A，而三角形的外角和可以表示为(180°-∠A)+∠B+∠C。
同样根据三角形的性质，我们可以得出外角和等于360°的结论，即(180°-∠A)+∠B+∠C=360°，这是因为补角与原角的和为180°，而三角形的外角和就是三个外角的总和，所以等于360°。
三、角平分线角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的角的线段。
在三角形中，角平分线还有一个重要性质，即角平分线和对边上的两个角相等。
以三角形ABC为例，角平分线从顶点A出发，将∠BAC分成两个相等的角∠BAD和∠CAD。
这时可以得出∠BAD=∠CAD的结论。
角平分线还有一个有趣的性质，即三角形的内心、外心和重心都位于三角形的角平分线的交点上。
八年级上册数学三角形重要知识点
八年级上册数学三角形重要知识点
八年级上册数学三角形的重要知识点如下：
1. 三角形的定义和分类：三角形是由三条边和三个内角组成的多边形。
根据边长和角
度的关系，可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。
2. 三角形的性质：三角形内角和为180°，任意两边之和大于第三边，三角形的外角等于其对应的两个内角的和。
3. 直角三角形：直角三角形是指其中一个内角为90°的三角形。
直角三角形的特点是：直角边互相垂直，勾股定理（直角三角形的斜边的平方等于直角边的平方和），特殊
的直角三角形的边长比例。
4. 等腰三角形：等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
等腰三角形的特点是：底角
和顶角相等。
5. 等边三角形：等边三角形是指三条边长度都相等的三角形。
等边三角形的特点是：
三个内角都是60°。
6. 三角形的中线和高线：三角形的中线是连接一个顶点和对边中点的线段，三角形的
三条中线交于一点，这个点被称为三角形的重心；三角形的高线是从一个顶点向对边
作垂直线段，有三条高线，交于一点，这个点称为三角形的垂心。
7. 三角形的面积计算：通过底边和高、两边长度以及夹角的正弦值等公式可以计算三
角形的面积。
这些是八年级上册数学中关于三角形的重要知识点，希望能对你有所帮助！。
三角形的内角(7种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(人教版)(解析版)
三角形的内角（7种题型）【知识梳理】三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．【考点剖析】题型一、三角形的内角和定理证明例1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．因为AB∥CD（已作），所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC 边上任取一点D ，作DE ∥AB ，交AC 于E ，DF ∥AC ，交AB 于点F ．因为DF ∥AC （已作），所以∠1=∠C （两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC （两直线平行，内错角相等）．因为DE ∥AB （已作）．所以∠3=∠B ，∠DEC=∠A （两直线平行，同位角相等）．所以∠A=∠2（等量代换）．又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．证法3：如图3所示，过A 点任作直线1l ，过B 点作2l ∥1l ，过C 点作3l ∥1l ，因为1l ∥3l （已作）．所以∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）．同理∠3=∠4．又1l ∥2l （已作），所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）．又∠2+∠3=∠ACB ，所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．证法4：如图4，将ΔABC的三个内角剪下，拼成以C为顶点的平角.证法5：如图5－1和图5－2，在图5－1中作∠1＝∠A，得CD∥AB，有∠2＝∠B；在图5－2中过A作MN ∥BC有∠1＝∠B，∠2＝∠C，进而将三个内角拼成平角.【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质.例2.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，知∠C＝100°．又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝50°．∴∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C＝180°．本题可以设∠B＝x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．【变式1】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°例3.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少?【思路点拨】按△ABC【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，∵BD是AC边上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定义)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴ ∠ABC+∠C ＝120°，又∵ ∠ABC ＝∠C ，∴ ∠C ＝60°．(2)当△ABC 为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD 中，∵ ∠ABD ＝30°(已知)，所以∠BAD ＝60°．∴ ∠BAC ＝120°．又∵ ∠BAC+∠ABC+∠C ＝180°(三角形内角和定理)，∴ ∠ABC+∠C ＝60°．∴ ∠C ＝30°．综上，∠C 的度数为60°或30°．【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节．【变式1】三角形中至少有一个角不小于________度．【答案】60题型三：直角三角形两个锐角互余 例3．（2023春·湖南娄底·八年级统考阶段练习）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，60B ∠=︒，则A ∠的度数是（ ）A ．60︒B ．30︒C ．50︒D ．40︒【答案】B【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，则可求解．【详解】解：90C ∠=︒，60B ∠=︒， 9030A B ∴∠=︒−∠=︒，故选：B ．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，解答的关键是明确直角三角形的两个锐角互余．【变式1】（2023春·湖南怀化·八年级统考期中）直角三角形的一锐角是30︒，那么另一锐角是（）A．40︒B．50︒C．60︒D．70︒【答案】C【分析】由直角三角形的两锐角互余可得答案．【详解】解：直角三角形的一锐角是30︒，那么另一锐角是903060︒−︒=︒，故选：C．【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，熟记知识点是解本题的关键．【变式2】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有对互余的角？有对相等的锐角？【答案】3,2．题型四、利用三角形内角和判定三角形的形状例4．在△ABC中，若∠A＝12∠B＝13∠C，试判断该三角形的形状．【思路点拨】由∠A＝12∠B＝13∠C，以及∠A+∠B+∠C＝180°，可求出∠A、∠B和∠C的度数，从而判断三角形的形状．【答案与解析】解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x．由于∠A+∠B+∠C＝180°，即有x+2x+3x＝180°．解得x＝30°．故∠A＝30°．∠B＝60°，∠C＝90°．故△ABC是直角三角形．【总结升华】本题利用设未知数的方法求出三角形三个内角的度数，解法较为巧妙．题型五：与平行线有关的三角形内角和问题例5．（2023秋·山东济南·八年级校考期末）已知直线MN EF∥，一个含30︒角的直角三角尺()ABC AB BC>如图叠放在直线MN上，斜边AC交EF于点D，则1∠的度数为（）A ．30︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒【答案】D 【分析】首先根据直角三角形的性质判定∠A=30°，∠ACB=60°，然后根据平行的性质得出∠1=∠ACB.【详解】∵含30︒角的直角三角尺()ABC AB BC >∴∠A=30°，∠ACB=60°∵MN EF ∥∴∠1=∠ACB=60°故选：D.【点睛】此题主要考查直角三角形以及平行的性质，熟练掌握，即可解题.八年级单元测试）如图，在ABC 中，【答案】39°．【分析】利用三角形的内角和定理以及角平分线的定义求出DCB ∠即可解决问题．【详解】解：54A ∠=︒，48B ∠=︒，180544878ACB ∴∠=︒−︒−︒=︒，CD 平分ACB ∠，1392DCB ACB ∴∠=∠=︒，//DE BC ，39CDE DCB ∴∠=∠=︒，故答案为：39°．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．题型六：三角形折叠中的角度问题 例6．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）如图，将ABC 沿着平行于BC 的直线折叠，得到A DE '，若25115E DA A E D '∠=︒∠=︒'，，则ABC ∠的度数是（ ）A ．45︒B ．40︒C ．55︒D ．50︒【答案】B 【分析】根据题意可得A DE ADE DE BC '∠=∠∥，，结合三角形内角和定理可得40ADE ∠=︒，最后根据平行线的性质求解即可．【详解】解：由题意得，A DE ADE DE BC '∠=∠∥，，又∵25115E DA A E D '∠=︒∠=︒'，，∴1802511540018ADE A DE DA E DEA '∠∠=︒−︒−︒=︒''∠=∠=︒−−，∵DE BC ∥，∴40ADE B ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质和折叠的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．【变式】．（2023秋·山东聊城·八年级校考期末）如图，把ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则A ∠与12∠+∠之间有一种数量关系始终保持不变，这个关系是（ ）A ．212A ∠=∠+∠B ．3212A ∠=∠+∠C ．12A ∠=∠+∠D ．32122A ∠=∠+∠【答案】A 【分析】根据折叠的性质和平角的定义先得到2236012AED ADE ∠+∠=︒−∠−∠，再由三角形内角和定理得到223602AED ADE A ∠+∠=︒−∠，由此即可得到结论．【详解】解：由折叠的性质可知2118022180AED ADE ∠+∠=︒∠+∠=︒，， ∴2236012AED ADE ∠+∠=︒−∠−∠，由三角形内角和定理可知180A ADE AED ∠+∠+∠=︒，∴223602AED ADE A ∠+∠=︒−∠，∴360123602A ︒−−=︒−∠∠∠， ∴122A ∠+∠=∠故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．题型七：与角平分线有关的三角形内角和问题 八年级统考期末）如图，在ABC 中， 【答案】D 【分析】根据三角形的内角和定理可求解BAC ∠的大小，再利用角平分线的定义可求解BAD ∠的度数，由三角形的高线可得90AEB ∠=︒，利用三角形的内角和定理可求解BAE ∠的度数，进而可求得EAD ∠的度数．【详解】解：∵45B ∠=︒，55C ∠=︒，∴180455580BAC ∠=︒−︒−︒=︒，∵AD 平分BAC ∠，∴40BAD ∠=︒，∵AE BC ⊥，∴90AEB ∠=︒，∴180904545BAE ∠=︒−︒−︒=︒，∴45405EAD BAE BAD ∠=∠−∠=︒−︒=︒，故选：D ．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理的应用，三角形的高线的含义，求解BAD ∠，BAE ∠的度数是解题的关键． 【变式】．（2023秋·八年级课时练习）如图，在ABC 中，AD BC ⊥，AE 平分BAC ∠，若30BAE ∠=︒，20CAD ∠=︒，则B ∠的度数为_____________．【答案】50︒/50度【分析】先利用角平分线的定义求得260BAC BAE ∠=∠=︒，在Rt ACD 利用直角三角形的两锐角互余求得C ∠，最后在ABC 中利用三角形的内角和即可求解．【详解】解：∵AE 平分BAC ∠，，30BAE ∠=︒，∴260BAC BAE ∠=∠=︒，∵20CAD ∠=︒，AD ⊥BC ，∴9070C CAD ∠=︒−∠=︒，∴在ABC 中，18050B BAC C ∠=︒−∠−∠=︒，故答案为：50︒．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握定义和定理是解题的关键．【过关检测】一、单选题 1．（2023春·湖南常德·八年级统考期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于35︒，则另一个锐角的度数是（ ）A ．145︒B ．125︒C ．65︒D ．55︒【答案】D【分析】根据直角三角形中两锐角互余可直接求得．【详解】解：一个直角三角形中，有一个锐角等于35︒，则另一个锐角的度数是 903555︒−︒=︒， 故选D ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，熟记直角三角形两锐角互余的性质是解本题的关键． 2．（2023春·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）在ABC 中，90A ∠=︒，36B ∠=︒，则C ∠的度数为（ ）A ．34︒B ．44︒C ．54︒D ．64︒【答案】C【分析】由三角形内角和180︒可得结果．【详解】解：936180180045C A ︒︒︒︒︒∠=−∠−∠=−−=．故选：C ．【点睛】本题考查三角形的内角和定理，熟知三角形的内角和为180︒是解题的关键． 3．（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌市八中校考开学考试）如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，BE 平分ABC ∠交AC 边于E ，60BAC ∠=︒，26ABE ∠=︒，则DAC ∠的大小是（ ）A ．20︒B ．22︒C ．24︒D ．26︒【答案】B 【分析】根据角平分线的定义可得2ABC ABE ∠=∠，再根据直角三角形两锐角互余求出BAD ∠，然后根据DAC BAC BAD ∠=∠−∠计算即可得解．【详解】解：BE 平分ABC ∠，222652ABC ABE ∴∠=∠=⨯︒=︒， AD 是BC 边上的高，90905238BAD ABC ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒，603822DAC BAC BAD ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 八年级统考期末）如图，在ABC 中， 【答案】B 【分析】根据垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，即可求解．【详解】解：∵AD BC ⊥，48C ∠=︒，∴90ADC ∠=︒，∵48C ∠=︒，∴904842DAC ∠=︒−︒=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，求得90ADC ∠=︒是解题的关键．5．（2023春·湖南张家界·八年级统考期中）在Rt ABC 中，90C ∠=︒，若50A ∠=︒，则B ∠等于（ ）A ．55︒B ．50︒C ．45︒D ．40︒【答案】D【分析】根据直角三角形的两个锐角互余即可求出结果．【详解】解：在Rt ABC 中，=90C ∠︒，=50A ∠︒， =90A B ∴∠+∠︒，=9050=40B ∴∠︒−︒︒， 故选：D ．【点睛】本题考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．6．（2023春·广西贵港·八年级统考期中）将一副直角三角板如图放置，使含30︒角的三角板的短直角边和含45︒角的三角板的一条直角边重合，则1∠的度数为（ ）度．A ．60B ．75C ．45D ．30【答案】B 【分析】利用三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．【详解】解：由题意得60A ∠=︒，45B ∠=︒，∴118075ACB A B ∠=∠=︒−∠−∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，对顶角的性质，掌握相关性质是解题的关键．7．（2023秋·重庆忠县·八年级统考期末）如图所示，将A ∠沿着BC 折叠到A ∠所在平面内，点A 的对应点是A '，若54A ∠=︒，则12∠+∠= （ ）A ．144︒B ．108︒C ．72︒D ．54︒【答案】B 【分析】先根据折叠求出1∠和2∠的补角，再求12∠+∠即可．【详解】∵将A ∠沿着BC 折叠到A ∠所在平面内，点A 的对应点是A '，∴1∠的补角为2ACB ∠，2∠的补角为2ABC ∠，∵54A ∠=︒，∴180********ABC ACB A ∠+∠=︒−∠=︒−︒=︒，∴22252ABC ACB ∠+∠=︒，∴12∠+∠18021802360252108ABC ACB =︒−∠+︒−∠=︒−︒=︒，故选B ．【点睛】本题考查了折叠的性质和三角形内角和定理，根据折叠的性质得到12∠+∠和A ∠的关系是解题的关键．8．（2023秋·山东济南·八年级校考期末）两个直角三角板如图摆放，其中90BAC EDF ∠=∠=︒，45E ∠=︒，30C ∠=︒，AB 与DF 交于点M ．若//BC EF ，则BMD ∠的大小为（ ）A ．60︒B ．67.5︒C ．75︒D ．82.5︒【答案】C【分析】根据//BC EF ，可得45FDB F ∠=∠=︒，再根据三角形内角和即可得出答案．【详解】由图可得6045B F ∠=︒∠=︒，，∵//BC EF ，∴45FDB F ∠=∠=︒，∴180180456075BMD FDB B ∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键．二、填空题 9．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，在ABC 中，点D 、E 分别在BC 、AC 上，40,60B C ∠=︒∠=︒．若//DE AB ，则AED =∠________︒．【答案】100【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A=80°，再根据平行线的性质，求出AED ∠，即可．【详解】解：∵40,60B C ∠=︒∠=︒，∴∠A=180°-40°-60°=80°，∵//DE AB ，∴AED =∠180°-80°=100°．故答案是100．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．10．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，ABC 中，80B ∠=︒，70C ∠=︒，将ABC 沿EF 折叠，A 点落在形内的A '，则12∠+∠的度数为___________．【答案】60︒【分析】先根据三角形内角和定理求出A ∠的度数，进而得出AEF AFE +∠∠的度数，再根据图形翻折变换的性质得出A EF A FE ''∠+∠的度数，最后由四边形的内角和为360︒即可得到结论．【详解】解：80B ∠=︒，70C ∠=︒，180180807030A B C ∴∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒，180********AEF AFE A ∴∠+∠=︒−∠=︒−︒=︒，A EF '由AEF △折叠而成，150A EF A FE AEF AFE ''∴∠+∠=∠+∠=︒，()12360360807015060B C A EF A FE ''∴∠+∠=︒−∠−∠−∠+∠=︒−︒−︒−︒=︒，故答案为：60︒．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和折叠问题，熟知三角形内角和是180︒，折叠前后对应的角相等是解答此题的关键．11．（2023秋·甘肃定西·八年级校考期末）如图，ABC 中，60A ∠=︒，点E 、F 在AB 、AC 上，沿EF 向内折叠AEF △，得DEF ，则图中12∠+∠等于 _____．【答案】120︒/120度【分析】根据三角形的内角和等于180︒求出AEF AFE +∠∠的度数，再根据折叠的性质求出AED AFD ∠+∠的度数，然后根据平角等于180︒解答．【详解】解：60A ∠=︒，18060120AEF AFE ∴∠+∠=︒−︒=︒，沿EF 向内折叠AEF △，得DEF ，2()2120240AED AFD AEF AFE ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，121802240360240120∴∠+∠=︒⨯−︒=︒−︒=︒．故答案为：120︒．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻转变换的性质，整体思想的利用是解题的关键． 12．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，在ABC 中，沿DE 折叠，点A 落在三角形所在的平面内的1A 处， 若30A ∠=︒，180BDA ∠=︒，则1CEA ∠=_________．【答案】20︒/20度【分析】根据折叠的性质得出1ADE A DE ∠=∠，1AED A ED ∠=∠，根据180BDA ∠=︒，得出100AED ∠=︒，根据11180CEA AED A ED ∠=∠+∠−︒，即可求解．【详解】解：∵沿DE 折叠，点A 落在三角形所在的平面内的1A 处， ∴1ADE A DE ∠=∠，1AED A ED ∠=∠， ∵180BDA ∠=︒， ∴11100ADA ADE A DE ∠=∠+∠=︒， ∴1=50ADE A DE ∠=∠︒∴180100AED A ADE ∠=︒−∠−∠=︒∴1=100AED A ED ∠=∠︒ ∴1118020CEA AED A ED ∠=∠+∠−︒=︒，故答案为：20．【点睛】本题考查了折叠问题中的三角形内角和定理的应用，掌握折叠的性质以及三角形内角和定理是解题的关键． 13．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）如图所示，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，点A 落在点P 处，已知12128∠+∠=︒，则A ∠是_________度．【答案】64【分析】根据折叠的性质可知ADE EDP ∠=∠，AED DEP ∠=∠，利用平角是180︒，求出ADE ∠与AED ∠的和，然后利用三角形内角和定理求出A ∠的度数．【详解】解：将纸片ABC 沿DE 折叠，点A 落在点P 处，ADE EDP ∴∠=∠，AED DEP ∠=∠，1222180180ADE AED ∴∠+∠+∠+∠=︒+︒，122()360ADE AED ∴∠+∠+∠+∠=︒又12128∠+∠=︒，116ADE AED ∴∠+∠=︒，180()64A ADE AED ∴∠=︒−∠+∠=︒．故答案是：64．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），解题的关键是挖掘出隐含于题中的已知条件：三角形内角和是180︒、平角的度数也是180︒．14．（2023秋·北京东城·八年级北京市第五中学分校校考期中）如图，D ，E 分别为ABC 的边AB ，AC 上的点，DE BC ∥，将ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处．若55B ∠=︒，则BDF ∠的度数为________°．【答案】70【分析】首先根据平行线的性质，可得55ADE B ∠=∠=︒，再根据折叠的性质，可得55ADE EDF ∠=∠=︒，再根据平角的性质，即可求得答案．【详解】解：DE BC ∥，55ADE B ∴∠=∠=︒，根据折叠的性质，可得55ADE EDF ∠=∠=︒，180180555570BDF ADE EDF ∴∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒，故答案为：70．【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，平角的性质，熟练掌握和运用各图形的性质是解决此题的关键．三、解答题为ABC 的内角平分线【答案】见解析【分析】由角平分线的定义求得2ABC PBC ∠=∠，2ACB BCP ∠=∠，再利用三角形的内角和定理即可证明．【详解】证明：BP 、CP 是角平分线，2ABC PBC ∴∠=∠，2ACB BCP ∠=∠，180ABC ACB A ∠+∠+∠=︒，22180PBC BCP A ∠∠∠∴++=︒，又180PBC BCP BPC ∠+∠+∠=︒，1902BPC A ∠∠︒∴=+．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 16．（2023春·湖南岳阳·八年级统考期中）AD BE 、为ABC 的高，AD BE 、相交于H 点，50C ∠=︒，求BHD ∠．【答案】50︒【分析】根据同角的余角相等求出BHD C ∠=∠，从而得解．【详解】解：∵AD 是ABC 的高，∴90BHD HBD ∠+∠=︒，∵BE 是ABC 的高，∴90HBD C ∠+∠︒=，∴BHD C ∠∠=，∵=50C ∠︒，∴50BHD ∠︒=．.【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．17．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在ABC 中，CD 是ACB ∠的平分线，高AE 与CD 相交于点O ．若70BAC ∠=︒，60ACB ∠=︒．求：(1)B ∠的度数；(2)AOD ∠的度数．【答案】(1)50︒(2)60︒【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求出答案．（2）利用角平分线求出COE ∠度数，在根据三角形内角和定理即可求出EOC ∠的度数，利用对顶角相等可求出AOD ∠的度数．【详解】（1）解：70BAC ∠=︒，60ACB ∠=︒，∴180180706050B BAC ACB ∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒；（2）解：60ACB ∠=︒，CD 是ACB ∠的平分线，1302DCB ACB ∴∠=∠=︒，高AE 与CD 相交于点O ，AE BC ∴⊥，90AEC ∴∠=︒，180903060COE ∴∠=︒−︒−︒=︒，AOD EOC ∠=∠（对顶角相等），60AOD EOC ∴∠=∠=︒.【点睛】本题主要考查的知识点有三角形内角和定理、角平分线的定义和对顶角相等，解题过程中是否能熟练运用定理和性质是解题的关键．18．（2023春·浙江·八年级专题练习）用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60︒．”已知：A ∠，B ∠，C ∠是ABC 的内角．求证：A ∠，B ∠，C ∠中至少有一个内角小于或等于60︒．【答案】见解析【分析】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．【详解】证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60︒，180A B C ∴∠+∠+∠>︒，这与三角形的三内角和为180︒相矛盾．∴假设不成立，∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．【点睛】本题考查了三角形内角和定理考查反证法，解题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 八年级统考期末）如图，在ABC 中， 【答案】125︒【分析】先根据三角形内角和定理求出110ABC ACB ∠+∠=︒，再由角平分线的定义推出55DBC DCB +=︒∠∠，进而利用三角形内角和定理求出D ∠的度数．【详解】解：∵70A ∠=︒，∴180110ABC ACB A ∠+∠=︒−∠=︒，∵BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠， ∴1122DBC ABC DCB ACB ∠∠∠∠==，， ∴115522DBC DCB ABC ACB +=+=︒∠∠∠∠，∴180125D DBC DCB =︒−−=︒∠∠∠．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和为180︒是解题的关键． 20．（2023春·河南郑州·八年级郑州外国语中学校考期末）学习了证明的必要性，张明尝试证明三角形内角和定理，下面是他的部分证明过程．已知：如图，ABC ，求证：180A B C ∠+∠+∠=o ．证明：过点A 作直线DE BC ∥…【答案】见解析【分析】过点A 作直线DE BC ∥，根据平行线的性质可证得DAB B ∠=∠，EAC C ∠=∠，再根据平角的性质，即可证得．【详解】证明：如图：过点A 作直线DE BC ∥，DAB B ∴∠=∠，EAC C ∠=∠，180DAB BAC EAC ∠+∠+∠=o Q ，180B BAC C ∴∠+∠+∠=o ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的证明方法，熟练掌握和运用三角形内角和定理的证明方法是解决本题的关键．21．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1=∠2．（1）试说明DG∥BC的理由；（2）如果∠B=34°，且∠ACD=47°，求∠3的度数．【答案】（1）DG∥BC，详见解析；（2）∠3 =103°.【分析】（1）先根据垂直定义得出∠CDF=∠EFB=90°，根据平行线判定可得出CD∥EF，故可得出∠2=∠BCD，推出∠1=∠BCD，根据平行线的判定即可得出结论；（2）先根据CD⊥AB得出∠BDC=90°，由直角三角形的性质得出∠BCD的度数，故可得出∠ACB的度数，再根据平行线的性质即可得出结论．【详解】解：（1）DG∥BC．理由是：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴∠CDF=∠EFB=90°，∴CD∥EF．∴∠2=∠BCD，∵∠1=∠2，∴∠1=∠BCD，∴DG∥BC；（2）∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°．∵∠B=34°，∴∠BCD=90°-34°=56°．∵∠ACD=47°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=47°+56°=103°．∵由（1）知DG∥BC，∴∠3=∠ACB=103°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和平行线的判定与性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 22．（2023秋·八年级单元测试）如图，在ABC 中，CD AB ⊥于点D ，EF CD ⊥于点G ，ADE EFC ∠=∠．(1)求证：B EFC ∠=∠；(2)若60A ∠=︒，76ACB ∠=︒，求ADE ∠的度数．【答案】(1)证明见解析(2)44︒【分析】（1）由垂直于同一直线的两条直线平行，可得AB EF ∥，再由平行线的性质可得B EFC ∠=∠；（2）结合已知条件与（1）的结论，可得DE BC ∥，由三角形的内角和定理可求得B ∠的度数，从而可得ADE ∠的度数．【详解】（1）∵CD AB ⊥，EF CD ⊥，∴90BDC FGC ∠=∠=︒∴AB EF ∥，∴B EFC ∠=∠．（2）∵B EFC ∠=∠，ADE EFC ∠=∠，∴B ADE ∠=∠．∴DE BC ∥．∵60A ∠=︒，76ACB ∠=︒，∴180607644B ∠=︒−︒−︒=︒．∴44ADE B ∠=∠=︒．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 23．（2023秋·八年级单元测试）如图，AD 是ABC 的高，AE 平分BAC ∠．(1)若76B ∠=︒，48C ∠=︒，求DAE ∠的度数；(2)若42B C ∠−∠=︒，求DAE ∠的度数．【答案】(1)14︒(2)21︒【分析】（1）利用三角形的内角和定理和三角形高的定义先求出BAC ∠、BAD ∠，再利用角平分线的定义求出BAE ∠，最后利用角的和差关系求出DAE ∠；（2）利用三角形的内角和定理和三角形高的定义用含C ∠的式子先表示出BAC ∠、BAD ∠，再利用角平分线的定义用含C ∠的式子表示出BAE ∠，最后利用角的和差关系求出DAE ∠；【详解】（1）解：AD 是ABC 的高，76B ∠=︒，48C ∠=︒，∴180180764856BAC B C ∠=−∠−∠=︒−︒−︒=︒︒，90907614BAD B ∠=︒−∠=︒−︒=︒，AE 平分BAC ∠，∴11562822BAE BAC ∠=∠=⨯︒=︒，∴281414DAE BAE BAD ∠=∠−∠=︒−︒=︒；（2）解：42B C ∠−∠=︒，42B C ∴∠=∠+︒，AD 是ABC 的高，∴()180180421382BAC B C C C C ︒∠=︒−∠−∠=︒−∠+︒−∠=−∠，()90904248BAD B C C︒∠=︒−∠=︒−∠+︒=−∠， AE 平分BAC ∠， ∴()1113826922BAE BAC C C ∠=∠=⨯︒−∠=︒−∠，∴()694821DAE BAE BAD C C ∠=∠−∠=︒−∠−︒−∠=︒．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形高的定义，掌握“三角形的内角和等于180︒”、角平分线的定义及角的和差关系是解决本题的关键．。
八年级数学上册第十一章三角形知识归纳
八年级数学上册第十一章三角形知识归纳新版新人教版
第十一章三角形
11.1 与三角形有关的线段【高、中线(重心)、角平分线】
两边之差＜第三边＜两边之和。
按边分类、三角形的稳定性。
11.2 与三角形有关的角
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180º。
直角三角形的两个锐角互余。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
备注：推论和定理一样，可以作为进一步推理的依据.
11。
3 多边形及其内角和
多边形：在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭式图形。
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。
正多边形：各个角都相等,各条边都相等的多边形.
n边形内角和等于（n-2）×180º。
多边形的外角和等于360º。
1。
三角形内角和证明汇总
三角形内角和证明汇总三角形是平面几何中最简单的多边形之一，它由三条边和三个内角组成。
在这篇文章中，我将汇总三角形内角和的证明，包括三角形内角和等于180度以及其他有关三角形内角和的性质证明。
1.三角形内角和等于180度：三角形的内角和等于180度是三角形基本性质之一、我们可以通过以下两种证明方法证明这个结论。
方法一：利用平行线和内错角的性质证明。
假设ABC是一个三角形，根据平行线和内错角的性质，我们可以得出以下结论：∠ABC+∠BCD=180度同样地，我们可以得到以下两个等式：∠ABC+∠ACB=180度∠BCD+∠ACB=180度综上所述，我们可以得出：∠ABC+∠BCD+∠ACB=180度方法二：利用三角形的外角和等于360度证明。
我们知道一个三角形的外角和等于360度。
假设ABC是一个三角形，由于∠ABC是外角，所以有：∠ABC+∠ACB=180度同样地，我们可以得到以下等式：∠ABC+∠BCD=180度∠ACB+∠BCD=180度综上所述，我们可以得出：∠ABC+∠BCD+∠ACB=180度2.三角形内角和的其他性质：除了内角和等于180度之外，三角形的内角和还具有其他一些性质。
以下是一些相关的证明：性质一：三角形的一个内角大于另外两个内角之和。
假设ABC是一个三角形，我们可以利用反证法证明这个性质。
假设∠ABC<∠ACB+∠BCA。
由于∠ABC是一个内角，所以可以得到以下不等式：∠ABC+∠ACB+∠BCA<∠ACB+∠BCA+∠BCA经简化得：∠ABC+∠ACB+∠BCA<2∠ACB+2∠BCA由于∠ABC<∠ACB+∠BCA，所以2∠ABC<2∠ACB+2∠BCA。
因此，根据三角形内角和等于180度的性质，我们可以得出∠ABC+∠ACB+∠BCA>180度，与假设相矛盾。
综上所述，结论成立。
性质二：三角形的两个内角之和小于180度。
假设ABC是一个三角形，我们可以利用反证法证明这个性质。