金融风险理论 第4章

常常忽略交易所关闭的天数，在计算时通常假定每年有252 个交易日.
年波动率是日波动率的 252 倍.
方差被定义为波动率的平方.
隐含波动率
期权公式中唯一不能直接观察到得一个参数就是 股票价格的波动率。
隐含波动率是交易员从期权价格隐含反推计算出
的波动率。
VIX指数
VIX Index: A Measure of the Implied Volatility of the S&P 500
ai 1 ai
因此，更新波动率的公式为
s s
2 n
2 n 1
(1 )u
2 n 1
EWMA的诱人之处
需要的数据相对较少。 仅需记忆对当前波动率的估计以及市场变量的最新
观察值。
对波动率进行跟踪监测。
RiskMetrics采用λ=0.94来更新每天波动率的估计。
8
汇率的日变化量是否服从正态分布
(1) 采用10年12种汇率的日变化来衡量是否服从正态分布。 计算每一个汇率的价格百分比变化的标准差； 计算有多少百分比变化超过1个标准差、2个标准差等。 Real World (%) >1 SD 25.04 Normal Model (%) 31.73
>2SD
>3SD >4SD >5SD
金融风险理论
第4章 波动率方法
1
单个资产的风险度量
假设某种金融资产收益率r 为随机变量，其预期 收益率即数学期望为μ ，标准差为σ。 σ 也称为波动系数，可反映资产收益率r 偏离于其 预期收益率即数学期 望μ 的幅度。所以，我们可 用标准差σ来计量该资产的风险。 σ越大，说明该资产收益率的波动性越大，从而 面临的市场风险越大。 σ越小，说明该资产收益率的波动性越小，从而 面临的市场风险越小。
n
ui2 ln(v) v i 1
n
对 v 求导，并令导数为0，得：
1 n 2 v ui n i 1
GARCH（1,1）的应用
在方差一定的条件下，ui的条件分布为正态分布。 选择参数，最大化下式
1 ui2 Maximize: exp i 1 2vi 2 vi n ui2 or: ln(vi ) vi i 1
参数估计方法 巨估计法
极大似然估计法
选择合适的参数使得数据发生的几率达到最大
构造似然函数
对似然函数取对数 对参数求导，并令其等于0 解方程得到参数的最大似然估计
例1
随机抽取某一天10只股票的价格，我们发现一只 股票价格在这一天价格下降了，而其它9只股票的
价格有所增加或至少没有下跌，将任意股票价格
其它模型
许多其它的GARCH模型已被提出。 比如，我们可以设计一个GARCH模型，使其赋予 ui 的
权重依赖于 ui 的正负值。
方差目标
一种估计GARCH（1,1）参数的很好方法是所谓的
方差目标。
将长期平均方差设定为由数据计算出的抽样方差。
模型只需要估计两个参数。
最大似然估计法
变量 V1 和 V2 的相关系数被定义为

E (VV 1 2 ) E (V1 ) E (V2 ) SD(V1 ) SD(V2 )
协方差为
cov(V1,V2 ) E VV 1 2 E V 1 E V2
独立性
两个变量中，其中任意一个变量的信息（观测值） 不会影响另一个变量的分布，那么两个变量在统 计上被定义为独立。如果
正态分布和肥尾分布
正态分布的代替：幂律
Prob(v > x) = Kx-a
K和 a 为常数。 在分析很多市场变量的收益行为时，幂律似乎要 比正态分布更好。
ln[Pr ob(v x)] ln K a ln x
因此可以画出ln[Prob(v>x)]与lnx的关系曲线来快
速检验等式的正确性。
状态时，所有的相关性趋向于1。
监测相关系数
定义 xi ( X i X i 1 ) / X i 1 及 yi (Yi Yi 1 ) / Yi 1
varx ,n ：以第n-1天估计的X的日方差 并且， vary ,n ：以第n-1天估计的Y的日方差
covn ：以第n-1天估计的协方差
估计一个期限为T 天的期权的波动率，我们必须 对即时方差求从0 到T 的积分。
1 T 1 e at V (t )dt VL [V (0) VL ] T 0 aT
其中
V (t ) E[s
2 n t
]
a ln
1 a
对于一个期限为T的期权，其年波动率为
1 e aT s (T ) 252 VL V (0) VL aT where 1 a ln a
日元/美元日波动率：1988-1997
EWMA模型的参数估计
EWMA模型
2 2 2 sn s n (1 ) u 1 n 1
因为 w 0, a 1 , ，我们只需估计一个参数。 参数估计可以通过Excel软件中的Solver功能实现。
未来波动率的预测
波动率期限结构
期权的波动率和期权期限之间的关系被称为波动 率期限结构。
GARCH(1,1)模型允许我们预测波动率期限结构
的改变。
当σ(0)的变化量为Δσ(0)，GARCH(1,1)预测的σ(T)
的相应变化量为
1 e aT s (0) s (0) aT s (T )
波动性方法的优点
2
3
4
5
波动率的定义
某个变量的波动率σ定义为这一变量在单位时间内连续复利 收益率的标准差. 假设Si为市场变量的时间i的价格，每天的波动率为 ln(Si Si1 ) 的标准差. 研究证明在交易所开盘交易时的波动率比交易所关闭时的波 动率要大很多，因此，当由历史数据估计波动率时，分析员
1
2 3 4 5 …. 2423
0.007728
0.007779 0.007746 0.007816 0.007837 0.008495
22063.5833
w 0.0000017528,a 0.061827, 0.89855
0.0000017528 VL 0.0000442 1a 0.039624
下降的概率计为p。那么，一只股票价格下降的概
率的最好估计为多少？
概率为 p(1 p)9 。 使上式取最大值，观察其最大似然估计：p=0.1。
例2 估计常数方差
估计一个变量服从均值为0的正态分布的方差
Maximize: or: 1 ui2 exp 2 v i 1 2 v

2 2 s un 的期望值为 t 1 n t 1
， 因此
2 2 E[s n V ] ( a ) E [ s t L nt 1 VL ]
经过一系列的代数过程，可得：
2 t 2 E[s n ] V ( a ) ( s t L n VL )
s
2 n 1
其中
VL 1a
这种模型的表达形式是为了估计参数。
例10-8
若
2 2 2 sn 0.000002 0.13un 0.86 s 1 n 1
每天长期平均方差为0.0002，对应的波动率为
1.4%。
假设对应于n-1天的日波动率估算值为1.6%，n-1 天市场价格降低1%。
n
其中
2 2 2 sn VL a un s 1 n 1
日元汇率数据的计算
Day Si ui 0.006599 -0.004242 0.009037 0.002687 0.000144 0.00004355 0.00004198 0.00004455 0.00008417 9.6283 8.1329 9.8568 9.3824 vi =si2 -ln vi-ui2/vi
f (V2 V1 x) f (V2 )
成立，式中 f ()代表变量的概率密度函数，则V1 和V2是相互独立的。
独立性并不等同于0相关
假定变量 V1 =-1，0，+1（等可能）； 如果 V1 =-1或 V1 =+1，那么 V2 =1； 如果 V1 =0，那么V2 =0； 可以清楚地看到 V2 和 V1 有某种关联性，但是其相关 系数为0。
1 m u un i m i 1
简化形式
定义
ui （Si -Si 1）Si 1
假定 ui 的均值 u 为0； m-1被m代替； 于是方差公式简化为
1 m 2 s i 1 un i m
2 n
加权权重的格式
对等权重进行改进
2 s i 1aiun i 2 n m
对应于汇率增量的log-log图
估计波动率的标准方法
定义sn为第n-1天所估计的市场变量在第n天的波动率。 定义Si 为市场变量在第i天末的价格。 定义第i天连续复利收益率
ui lபைடு நூலகம்(Si Si 1 )
波动率等于连续复利收益率的标准差
m 1 s n2 ( un i u ) 2 m 1 i 1
含义清楚。
应用比较简单。
波动性方法的不足
对资产组合未来收益率概率分布的准确估计比较困
难，普遍使用的正 态分布常常偏离实际。
波动性方法仅仅描述了资产组合未来收益的波动程
度，并不能说明资 产组合价值变化的方向。
同灵敏度方法一样，波动性方法也不能给出资产组 合价值变化的具体数值。
协方差和相关系数
5.27
1.34 0.29 0.08
4.55
0.27 0.01 0.00
>6SD
0.03
0.00
肥尾性
汇率的每日变化量并不服从正态分布。
所服从分布的尾部比正态分布的尾部要肥大；
其峰值要比正态分布的峰值要高。
肥尾分布所对应的极大及极小变化数量事件比在 正态分布中相应数量要多。 很多市场变量都有这种被称为肥尾的特性。
相关系数只是用于表达变量之间的某种相关性，这种相关
性只是一种线性的关联关系，而变量之间可以由许多不同 形式的关联关系。
几种不同的关联形式
a) 线性关系；b)V形状关联关系；c)金融变量的相关性
E V2
E V2
E V2
V1
V1
V1
a)
b)
c)
市场正常变化时，变量之间的关联性很弱；在市场危机
则第n天的方差为
0.000002 0.13 0.0001 0.86 0.000256 0.00023336
新波动率的最新估计为每天1.53%。
GARCH（p,q）
广义模型GARCH(p,q)中历史波动率要用最近的q 个，观测值要用最近的p个，因此有
2 2 2 sn a i un s j n j i i 1 j 1 p q
其中
a
i 1
m
i
1
ARCH（m）模型
在ARCH（m）模型中，我们也给长期平均方差 VL 设定权重：
2 s VL i 1aiun i 2 n m

其中
ai 1
i 1
m
指数加权移动平均（EWMA）模型
在指数加权移动平均模型中，其权重随着回望时
间加长而按指数速度递减
GARCH（1,1）
在GARCH（1，1）中，我们赋予长期平均方差 一定的权重
2 2 2 sn VL a un s 1 n 1
因为权重之和为1，故有
a 1
令
VL
，可以将GARCH（1,1）模型写成
s au
2 n
2 n 1
在n-1天结束时估算第n天得方差为
2 2 2 sn (1 a )VL aun s 1 n1
因此
2 2 2 sn VL a (un V ) ( s 1 L n1 VL )
在第n+t天
2 2 2 sn V a ( u V ) ( s t L nt 1 L nt 1 VL )