第五章 均匀波导系统
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x 0, x a
故（*）式可写为：
H Z ( x, y ) A1 B1 cos(
x y HZ ( A1k X sin k X x A2 k X cos k X x )( B1 cos kY y B2 sin kY y ) x m 2 n 2 m k π ( ) ( ) 式中， A2 0 kX (m c 0,1, 2,3.......) a b a
0, 意味着E y
x 0, x a
0,
y 0,y b
0, 意味着E x
y 0,y b
0
与波导形状，尺寸、m和n有关。
m n m n x) cos( y ) H 0 cos( x) cos( y) a b a b m 2 n 2 2 2 (kc2 ) k X kY ( ) ( ) (m,n 0,1,2,3.........) a b m n H Z ( x, y, z ) H z ( x, y )e z H 0 cos( x) cos( y )e z a b
Ez 1 Ex 2 ( ) kc x
Ey
Ez ) y Ez ) x
分类标准：按纵 向分量的有无
称为TM波或称之为E波
3、Hz=0，Ez=0；这时Kc必为零
代入横向场的波动方程
t2 E ( x, y) kc2 E ( x, y) 0
t2 E( x, y) 0
t2 H ( x, y ) kc2 H ( x, y ) 0
1）相位常数
f k 2 kc2 k 1 c f
横向电场 横向磁场
2
2）波阻抗 波阻抗＝
ZTE
() ()
3）波导波长
g
2
0
1 ( fc f )2
0 1 ( 0
0
C
)2
5.3 矩形波导（1）
5.3.1 TE波（ Ez 0 ）(TE Wave) k 2H 0, 方程 t2 H z c z H H z z 边界条件 0 , x 0, x a y x
注意：特征根 为共轭复数
利用电磁场的边界条件可以解得待定常数！！
边界条件
H z x
H z 0 , x 0, x a y
y 0 , y b
0,
H z ( A1 cos k X x A2 sin k X x)( B1kY sin kY y B2 kY cos kY y ) y H H 由横向场和纵向场的关系可以得出，E y正比于 z ，E x正比于 z ， n x 2,3........) y B2 0 kY (n 0,1, b H z H z
思考 Why ？
y 0 , y b
0,
2 2 由 T H Z ( x, y) kC H Z ( x, y) 0 并令 H Z ( x, y) X ( x)Y ( y) 可得：
d 2Y ( y) d 2 X ( x) 2 X ( x) Y ( y ) k X ( x)Y ( y) 0 C 2 2 dy dx
由横向场和纵向场之间的关系可得其他分量
Ez=0，Hz不为零
H z 1 Ex 2 ( j ) E y 12 ( j H z ) kc y kc x H z 1 H z 1 H x 2 ( ) H y 2 ( ) kc x kc y
答疑时间 1、每周五 上午8：30~10：10在1219教室 中午12：40~15：20在1216教室 2、本章习题 5-1~5-5 5-8
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第五章
主
均匀波导系统
要 内 容
矩形波导系统中波的一般特性
(12)学时
§5.1 引言 §5.2 均匀波导系统中波的一般特性 §5.3 矩形波导（本章重点）
——重点掌握矩形波导中波的传播特性
横向场和纵向场之间的关系！！
E H z z) H ( j x 2 y x kc 1
1 E H z ( j z H ) y 2 kc x y
如果纵向分量Ez或Hz分量为零，那么上式可以化简为：
1、Ez=0，Hz不为零
H z 1 Ex 2 ( j ) E y 12 ( j H z ) 称为TE波或称之为H波 kc y kc x H z 1 H z 1 H x 2 ( ) H y 2 ( ) 波导中波的分类 kc x kc y
2、Hz=0，Ez不为零
1 ( 2 kc 1 Ez 1 H x 2 ( j ) H y 2 ( j kc kc y
j k 2 kc2 j
kc2 k 2
k kc k kc
可传播模式 衰减模式 临界状态
0
当 0 时 , c
2π v 2π c f c kc fc kc
kc
k kc
或
（截止频率）cutoff frequency
2
Ez ) y Ez ) x
2）波阻抗 波阻抗＝
横向电场 横向磁场
ZTM
() () j
3）波导波长
g
2
0
1 ( fc f )2
0 1 ( 0
0
C
)2
3、TE波
Ez=0，Hz不为零
H z 1 Ex 2 ( j ) E y 12 ( j H z ) kc y kc x H z 1 H z 1 H x 2 ( ) H y 2 ( ) kc x kc y
1 ( f )
பைடு நூலகம்
d. 波导相速 vp
v fc 2 1 ( ) f
v 几何色散波
返 回 上 页 下 页
5.2.2 横向场和纵向场的关系（波导中波的分类）
由前所述，波导内的电磁场可以表示为：
E ( x, y , z ) a x E x a y E y a z E z H ( x, y, z ) ax H x a y H y az H z
，化简可得：
2 1 d 2Y ( y) 1 d X ( x) 2 kC 2 Y ( y) dy X ( x) dx 2
接下页
接上页
1 d 2Y ( y) 1 d 2 X ( x) 2 kC 2 Y ( y) dy X ( x) dx 2
很明显，方程两边如果成立，那么只有方程两边为常数，即：
（截止波长）cutoff wavelength
返 回 上 页 下 页
a. 波导的滤波作用 当工作频率（信号源频率）f f C 或 C 时， 信号可以传播，否则呈衰减波。
b. 波导中的相位常数
fc 2 k k k 1 ( ) k f
2 2 c
波导中的相位常数小于无界空间的相位常数。 2π c. 波导波长 g fc 2
返 回
上 页
下 页
波导中波的传播特性（极为重要）
E ( x, y, z ) E ( x, y )e
z
它不同于平面电磁波的相 ； H ( x, y, z ) H ( x, y )e z 位常数。
为波导中的相位常数，
传播特性取决于传播常数 ，由 kc2 2 k 2 ， （ 2 2 ） 可知
2、TM波
Hz=0，Ez不为零
1 E y 2 ( kc 1 Ez 1 H x 2 ( j ) H y 2 ( j kc kc y
Ez 1 Ex 2 ( ) kc x
f 1）相位常数 k 2 kc2 k 1 c f
返 回
上 页
下 页
内部电场和磁场：
E ( x, y , z ) a x E x a y E y a z E z H ( x, y, z ) ax H x a y H y az H z
其内部电磁场也应 该符合电磁场的一 般规律——麦克斯韦 方程组
可以按照上一章平面电磁波章 节的推导方法，得出电场和磁 场的波动方程（接下一页）
§5.4 圆柱波导* §5.5 谐振腔*
本 章 要 求
1、了解传输线的演进。
2、掌握波导及导行波的基本概念。 3、了解波导系统中波动方程及其求解过程。 4、掌握矩形波导中电磁波的传播特性，重点掌 握模式、主模及主模传输条件、截止波长、群 速度与相速度的概念。 5、能够理解波导系统中的管壁电流。 6、能够熟练设计（选择）矩形波导。
带入麦克斯韦方程
E j H H j E
方程左右两端各分量相等， 得到六个标量方程
E H 1 E H z z z z) Ex ( j ) E ( j y 2 2 y x x y kc kc 1
坐标系和波导的关系
k 2 E 2 E
(1)
k 2 H 2 H
(2)
式中 k / v，沿 z 轴传播的通解为
E ( x, y, z ) E ( x, y )e z
波动方程，上一 章推导过
； H ( x, y, z ) H ( x, y )e z
5.1 引言
传输线的演进
低频工作区
中频工作区
微波工作区
5.2 沿均匀波导系统传播的波的一般特性
导引电磁波传播的装置称之为波导，沿着波导传播的波称 之为导行波。
5.2.1 均匀波导系统中行波的一般表达式
在本节中为了不失一般性，做以下假设：
波导无限长，具有轴向均匀性（无反射） 波导内壁为理想导体，其填充介质理想介质（无损耗） 波导内无激励源 ( 0 , J 0) 电磁波沿 z 轴传播，且随时间作正弦变化。
与均匀平面 波的形式完 全相同
1
相速度： v p
电波和磁波之间的关系： 1 H aE Z
TEM波的纵向磁场为零，磁力线应该在横截面内是闭合的，这就要求波导内应 该有纵向的电流——传导电流或位移电流；另一方面由于TEM波的纵向电场也 为零，故不存在纵向的位移电流，所以综上两方面，在波导内一定需要存在纵 向的传导电流才能存在TEM波。所以能够承载TEM波的波导一定是双导体，如 平行双线、同轴线等
见板书 （过程只需了解， 2 但是这个结论很重 y ) kc H ( x, y ) 0 要希望熟练掌握）
代入式（1)、(2），得到横向场的波动方程
t2 E ( x, y) kc2 E ( x, y) 0
t2 H ( x,
式中
2 c 2
Kc称为截 止波数
2
k k ,
2 2 t2 2 2 —横向拉普拉斯算子。 x y
1 d 2 X ( x) 2 X ( x) dx 2 k X 2 1 d Y ( y ) k 2 Y 2 Y ( y ) dy
2 2 2 kX kY kC
上面方程的解为：
X ( x) A1 cos k X x A2 sin k X x Y ( y ) B1 cos kY y B2 sin kY y H Z ( x, y ) ( A1 cos k X x A2 sin k X x)( B1 cos kY y B2 sin kY y ) (*)
称为TEM波 场分布完全与与静态场相同
t2 H ( x, y) 0
1、TEM波
TEM波的特点： Hz=0，Ez=0；这时Kc必为零
k / v
波阻抗： ZTEM 相位常数：
kc2 k 2 2
jk j j / v
故（*）式可写为：
H Z ( x, y ) A1 B1 cos(
x y HZ ( A1k X sin k X x A2 k X cos k X x )( B1 cos kY y B2 sin kY y ) x m 2 n 2 m k π ( ) ( ) 式中， A2 0 kX (m c 0,1, 2,3.......) a b a
0, 意味着E y
x 0, x a
0,
y 0,y b
0, 意味着E x
y 0,y b
0
与波导形状，尺寸、m和n有关。
m n m n x) cos( y ) H 0 cos( x) cos( y) a b a b m 2 n 2 2 2 (kc2 ) k X kY ( ) ( ) (m,n 0,1,2,3.........) a b m n H Z ( x, y, z ) H z ( x, y )e z H 0 cos( x) cos( y )e z a b
Ez 1 Ex 2 ( ) kc x
Ey
Ez ) y Ez ) x
分类标准：按纵 向分量的有无
称为TM波或称之为E波
3、Hz=0，Ez=0；这时Kc必为零
代入横向场的波动方程
t2 E ( x, y) kc2 E ( x, y) 0
t2 E( x, y) 0
t2 H ( x, y ) kc2 H ( x, y ) 0
1）相位常数
f k 2 kc2 k 1 c f
横向电场 横向磁场
2
2）波阻抗 波阻抗＝
ZTE
() ()
3）波导波长
g
2
0
1 ( fc f )2
0 1 ( 0
0
C
)2
5.3 矩形波导（1）
5.3.1 TE波（ Ez 0 ）(TE Wave) k 2H 0, 方程 t2 H z c z H H z z 边界条件 0 , x 0, x a y x
注意：特征根 为共轭复数
利用电磁场的边界条件可以解得待定常数！！
边界条件
H z x
H z 0 , x 0, x a y
y 0 , y b
0,
H z ( A1 cos k X x A2 sin k X x)( B1kY sin kY y B2 kY cos kY y ) y H H 由横向场和纵向场的关系可以得出，E y正比于 z ，E x正比于 z ， n x 2,3........) y B2 0 kY (n 0,1, b H z H z
思考 Why ？
y 0 , y b
0,
2 2 由 T H Z ( x, y) kC H Z ( x, y) 0 并令 H Z ( x, y) X ( x)Y ( y) 可得：
d 2Y ( y) d 2 X ( x) 2 X ( x) Y ( y ) k X ( x)Y ( y) 0 C 2 2 dy dx
由横向场和纵向场之间的关系可得其他分量
Ez=0，Hz不为零
H z 1 Ex 2 ( j ) E y 12 ( j H z ) kc y kc x H z 1 H z 1 H x 2 ( ) H y 2 ( ) kc x kc y
答疑时间 1、每周五 上午8：30~10：10在1219教室 中午12：40~15：20在1216教室 2、本章习题 5-1~5-5 5-8
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第五章
主
均匀波导系统
要 内 容
矩形波导系统中波的一般特性
(12)学时
§5.1 引言 §5.2 均匀波导系统中波的一般特性 §5.3 矩形波导（本章重点）
——重点掌握矩形波导中波的传播特性
横向场和纵向场之间的关系！！
E H z z) H ( j x 2 y x kc 1
1 E H z ( j z H ) y 2 kc x y
如果纵向分量Ez或Hz分量为零，那么上式可以化简为：
1、Ez=0，Hz不为零
H z 1 Ex 2 ( j ) E y 12 ( j H z ) 称为TE波或称之为H波 kc y kc x H z 1 H z 1 H x 2 ( ) H y 2 ( ) 波导中波的分类 kc x kc y
2、Hz=0，Ez不为零
1 ( 2 kc 1 Ez 1 H x 2 ( j ) H y 2 ( j kc kc y
j k 2 kc2 j
kc2 k 2
k kc k kc
可传播模式 衰减模式 临界状态
0
当 0 时 , c
2π v 2π c f c kc fc kc
kc
k kc
或
（截止频率）cutoff frequency
2
Ez ) y Ez ) x
2）波阻抗 波阻抗＝
横向电场 横向磁场
ZTM
() () j
3）波导波长
g
2
0
1 ( fc f )2
0 1 ( 0
0
C
)2
3、TE波
Ez=0，Hz不为零
H z 1 Ex 2 ( j ) E y 12 ( j H z ) kc y kc x H z 1 H z 1 H x 2 ( ) H y 2 ( ) kc x kc y
1 ( f )
பைடு நூலகம்
d. 波导相速 vp
v fc 2 1 ( ) f
v 几何色散波
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5.2.2 横向场和纵向场的关系（波导中波的分类）
由前所述，波导内的电磁场可以表示为：
E ( x, y , z ) a x E x a y E y a z E z H ( x, y, z ) ax H x a y H y az H z
，化简可得：
2 1 d 2Y ( y) 1 d X ( x) 2 kC 2 Y ( y) dy X ( x) dx 2
接下页
接上页
1 d 2Y ( y) 1 d 2 X ( x) 2 kC 2 Y ( y) dy X ( x) dx 2
很明显，方程两边如果成立，那么只有方程两边为常数，即：
（截止波长）cutoff wavelength
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a. 波导的滤波作用 当工作频率（信号源频率）f f C 或 C 时， 信号可以传播，否则呈衰减波。
b. 波导中的相位常数
fc 2 k k k 1 ( ) k f
2 2 c
波导中的相位常数小于无界空间的相位常数。 2π c. 波导波长 g fc 2
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波导中波的传播特性（极为重要）
E ( x, y, z ) E ( x, y )e
z
它不同于平面电磁波的相 ； H ( x, y, z ) H ( x, y )e z 位常数。
为波导中的相位常数，
传播特性取决于传播常数 ，由 kc2 2 k 2 ， （ 2 2 ） 可知
2、TM波
Hz=0，Ez不为零
1 E y 2 ( kc 1 Ez 1 H x 2 ( j ) H y 2 ( j kc kc y
Ez 1 Ex 2 ( ) kc x
f 1）相位常数 k 2 kc2 k 1 c f
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内部电场和磁场：
E ( x, y , z ) a x E x a y E y a z E z H ( x, y, z ) ax H x a y H y az H z
其内部电磁场也应 该符合电磁场的一 般规律——麦克斯韦 方程组
可以按照上一章平面电磁波章 节的推导方法，得出电场和磁 场的波动方程（接下一页）
§5.4 圆柱波导* §5.5 谐振腔*
本 章 要 求
1、了解传输线的演进。
2、掌握波导及导行波的基本概念。 3、了解波导系统中波动方程及其求解过程。 4、掌握矩形波导中电磁波的传播特性，重点掌 握模式、主模及主模传输条件、截止波长、群 速度与相速度的概念。 5、能够理解波导系统中的管壁电流。 6、能够熟练设计（选择）矩形波导。
带入麦克斯韦方程
E j H H j E
方程左右两端各分量相等， 得到六个标量方程
E H 1 E H z z z z) Ex ( j ) E ( j y 2 2 y x x y kc kc 1
坐标系和波导的关系
k 2 E 2 E
(1)
k 2 H 2 H
(2)
式中 k / v，沿 z 轴传播的通解为
E ( x, y, z ) E ( x, y )e z
波动方程，上一 章推导过
； H ( x, y, z ) H ( x, y )e z
5.1 引言
传输线的演进
低频工作区
中频工作区
微波工作区
5.2 沿均匀波导系统传播的波的一般特性
导引电磁波传播的装置称之为波导，沿着波导传播的波称 之为导行波。
5.2.1 均匀波导系统中行波的一般表达式
在本节中为了不失一般性，做以下假设：
波导无限长，具有轴向均匀性（无反射） 波导内壁为理想导体，其填充介质理想介质（无损耗） 波导内无激励源 ( 0 , J 0) 电磁波沿 z 轴传播，且随时间作正弦变化。
与均匀平面 波的形式完 全相同
1
相速度： v p
电波和磁波之间的关系： 1 H aE Z
TEM波的纵向磁场为零，磁力线应该在横截面内是闭合的，这就要求波导内应 该有纵向的电流——传导电流或位移电流；另一方面由于TEM波的纵向电场也 为零，故不存在纵向的位移电流，所以综上两方面，在波导内一定需要存在纵 向的传导电流才能存在TEM波。所以能够承载TEM波的波导一定是双导体，如 平行双线、同轴线等
见板书 （过程只需了解， 2 但是这个结论很重 y ) kc H ( x, y ) 0 要希望熟练掌握）
代入式（1)、(2），得到横向场的波动方程
t2 E ( x, y) kc2 E ( x, y) 0
t2 H ( x,
式中
2 c 2
Kc称为截 止波数
2
k k ,
2 2 t2 2 2 —横向拉普拉斯算子。 x y
1 d 2 X ( x) 2 X ( x) dx 2 k X 2 1 d Y ( y ) k 2 Y 2 Y ( y ) dy
2 2 2 kX kY kC
上面方程的解为：
X ( x) A1 cos k X x A2 sin k X x Y ( y ) B1 cos kY y B2 sin kY y H Z ( x, y ) ( A1 cos k X x A2 sin k X x)( B1 cos kY y B2 sin kY y ) (*)
称为TEM波 场分布完全与与静态场相同
t2 H ( x, y) 0
1、TEM波
TEM波的特点： Hz=0，Ez=0；这时Kc必为零
k / v
波阻抗： ZTEM 相位常数：
kc2 k 2 2
jk j j / v