导数与导函数的概念
导数的概念及其意义、导数的运算
§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算学习目标了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数. 2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f (ax ＋b ))的导数．知识梳理 1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数记作f ′(x 0)或0'|x x y =.f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . (2)函数y ＝f (x )的导函数 f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)； [cf (x )]′＝cf ′(x )．5．复合函数的定义及其导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 常用结论1．区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 2.⎣⎡⎦⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( × )(4)若f (x )＝sin (－x )，则f ′(x )＝cos (－x )．( × ) 教材改编题1．函数f (x )＝e x ＋1x 在x ＝1处的切线方程为________．答案 y ＝(e －1)x ＋2 解析 f ′(x )＝e x －1x 2，∴f ′(1)＝e －1， 又f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1， 即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)， 即y ＝(e －1)x ＋2.2．已知函数f (x )＝x ln x ＋ax 2＋2，若f ′(e)＝0，则a ＝________. 答案 －1e解析 f ′(x )＝1＋ln x ＋2ax ， ∴f ′(e)＝2a e ＋2＝0，∴a ＝－1e.3．若f (x )＝ln(1－x )＋e 1－x ，则f ′(x )＝________. 答案1x －1－e 1－x题型一 导数的运算例1 (1)(多选)(2022·济南质检)下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝－1x ln 2x B ．(x 2e x )′＝2x ＋e xC.⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3′＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 D.⎝⎛⎭⎫x －1x ′＝1＋1x 2 答案 AD解析 ⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝－1ln 2x ·(ln x )′＝－1x ln 2x ， 故A 正确；(x 2e x )′＝(x 2＋2x )e x ，故B 错误；⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3′＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故C 错误；⎝⎛⎭⎫x －1x ′＝1＋1x 2，故D 正确．(2)函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝x 2＋f ′⎝⎛⎭⎫π3sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 答案 π236＋2π3解析 f ′(x )＝2x ＋f ′⎝⎛⎭⎫π3cos x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π3＝2π3＋12f ′⎝⎛⎭⎫π3， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π3＝4π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝π236＋2π3.教师备选1．函数y ＝sin 2x －cos 2x 的导数y ′等于( )A ．22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4B ．cos 2x ＋sin xC ．cos 2x －sin 2xD ．22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 答案 A解析 y ′＝2cos 2x ＋2sin 2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 2．(2022·济南模拟)已知函数f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，则f (2 021)－f (0)等于( ) A ．e 2 021cos 2 021 B ．e 2 021sin 2 021 C.e2 D ．e答案 B解析 因为f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ， 所以f (x )＝e x sin x ＋k (k 为常数)， 所以f (2 021)－f (0)＝e 2 021sin 2 021.思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．跟踪训练1 (1)若函数f (x )，g (x )满足f (x )＋xg (x )＝x 2－1，且f (1)＝1，则f ′(1)＋g ′(1)等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 当x ＝1时，f (1)＋g (1)＝0， ∵f (1)＝1，得g (1)＝－1，原式两边求导，得f ′(x )＋g (x )＋xg ′(x )＝2x ， 当x ＝1时，f ′(1)＋g (1)＋g ′(1)＝2， 得f ′(1)＋g ′(1)＝2－g (1)＝2－(－1)＝3.(2)已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝________. 答案 e 2解析 f ′(x )＝12x －3·(2x －3)′＋a e －x ＋ax ·(e －x )′＝22x －3＋a e －x －ax e －x ，∴f ′(2)＝2＋a e －2－2a e －2＝2－a e －2＝1，则a ＝e 2.题型二 导数的几何意义 命题点1 求切线方程例2 (1)(2021·全国甲卷)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为__________．答案 5x －y ＋2＝0 解析 y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2(x ＋2)－(2x －1)(x ＋2)2＝5(x ＋2)2，所以y ′|x ＝－1＝5(－1＋2)2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为__________． 答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)． 又f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 命题点2 求参数的值(范围)例3 (1)(2022·青岛模拟)直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)，则2a ＋b 等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 A解析 ∵直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)， 将P (1,2)代入y ＝kx ＋1， 可得k ＋1＝2，解得k ＝1， ∵ f (x )＝a ln x ＋b ，∴ f ′(x )＝a x ，由f ′(1)＝a1＝1，解得a ＝1，可得f (x )＝ln x ＋b ， ∵P (1,2)在曲线f (x )＝ln x ＋b 上， ∴f (1)＝ln 1＋b ＝2，解得b ＝2，故2a ＋b ＝2＋2＝4.(2)(2022·广州模拟)过定点P (1，e)作曲线y ＝a e x (a >0)的切线，恰有2条，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 由y ′＝a e x ，若切点为(x 0，0e x a )， 则切线方程的斜率k ＝0'|x x y ＝0e x a >0，∴切线方程为y ＝0e x a (x －x 0＋1)， 又P (1，e)在切线上， ∴0e x a (2－x 0)＝e ，即ea ＝0e x (2－x 0)有两个不同的解， 令φ(x )＝e x (2－x )， ∴φ′(x )＝(1－x )e x ，当x ∈(－∞，1)时，φ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，∴φ(x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x )max ＝φ(1)＝e ， 又x →－∞时，φ(x )→0； x →＋∞时，φ(x )→－∞， ∴0<ea<e ，解得a >1，即实数a 的取值范围是(1，＋∞)． 教师备选1．已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,3)或(－1,3) D ．(1，－3)答案 C解析 设切点P (x 0，y 0)， f ′(x )＝3x 2－1，又直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，∴f ′(x 0)＝3x 20－1＝2，∴x 20＝1， ∴x 0＝±1，又切点P (x 0，y 0)在y ＝f (x )上， ∴y 0＝x 30－x 0＋3， ∴当x 0＝1时，y 0＝3；当x 0＝－1时，y 0＝3. ∴切点P 为(1,3)或(－1,3)．2．(2022·哈尔滨模拟)已知M 是曲线y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x 上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，则实数a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．(－∞，2]D ．(－∞，4]答案 C解析 因为y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x ，所以y ′＝1x ＋x ＋1－a ，因为曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，所以y ′≥tan π4＝1对于任意的x >0恒成立，即1x ＋x ＋1－a ≥1对任意x >0恒成立， 所以x ＋1x ≥a ，又x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立，故a ≤2，所以a 的取值范围是(－∞，2]．思维升华 (1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 处的切线”． 跟踪训练2 (1)(2022·南平模拟)若直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n相切，则( )A ．m ＋n 为定值 B.12m ＋n 为定值 C ．m ＋12n 为定值D ．m ＋13n 为定值答案 B解析 设直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n切于点(x 0，02e x n -)，因为y ′＝e x－2n，所以02e x n -＝1，所以x 0＝2n ，所以切点为(2n ,1)，代入直线方程得1＝2n ＋m ， 即12m ＋n ＝12. (2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是______． 答案 [2，＋∞)解析 直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线， ∴f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x －2，x >0.又4x ＋1x≥24x ·1x＝4， 当且仅当x ＝12时取“＝”．∴a ≥4－2＝2.∴a 的取值范围是[2，＋∞)． 题型三 两曲线的公切线例4 (1)(2022·邯郸模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，直线l 与f (x )的图象相切于点A (1,0)，若直线l 与g (x )的图象也相切，则a 等于( ) A ．0 B ．－1 C ．3 D ．－1或3 答案 D解析 由f (x )＝x ln x 求导得f ′(x )＝1＋ln x ，则f ′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函数f (x )在点A (1,0)处的切线l 的方程为y ＝x －1，因为直线l 与g (x )的图象也相切，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，g (x )＝x 2＋ax ，有唯一解，即关于x 的一元二次方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个相等的实数根， 因此Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3， 所以a ＝－1或a ＝3.(2)(2022·韶关模拟)若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，则a 的取值范围为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫e24，＋∞ 解析 由y ＝ax 2(a >0)，得y ′＝2ax ， 由y ＝e x ，得y ′＝e x ，曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线， 设公切线与曲线C 1切于点(x 1，ax 21)， 与曲线C 2切于点(x 2，2e x )，则2ax 1＝222121e e ,x x ax x x -=-可得2x 2＝x 1＋2，∴a ＝1121e2x x +， 记f (x )＝12e2x x +， 则f ′(x )＝122e(2)4x x x+-， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ∴当x ＝2时，f (x )min ＝e 24.∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫e 24，＋∞.延伸探究 在本例(2)中，把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线”，则a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫e 24，＋∞ 解析 由本例(2)知，∵两曲线C 1与C 2存在两条公共切线，∴a ＝1121e2x x +有两个不同的解． ∵函数f (x )＝12e2x x+在(0,2)上单调递减， 在(2，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (2)＝e 24，又x →0时，f (x )→＋∞， x →＋∞时，f (x )→＋∞， ∴a >e 24.教师备选1．若f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2＋ax 两个函数的图象有一条与直线y ＝x 平行的公共切线，则a 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．3或－1 答案 D解析 设在函数f (x )＝ln x 处的切点为(x ，y )，根据导数的几何意义得到k ＝1x ＝1，解得x ＝1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为y ＝x －1，此切线和g (x )＝x 2＋ax 也相切， 故x 2＋ax ＝x －1，化简得到x 2＋(a －1)x ＋1＝0，只需要满足Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3. 2．已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线与曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线相同，则(x 1＋1)(x 2－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2 答案 B解析 已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线方程为 y －1e x ＝1e x (x －x 1)，即1111e e e ,xxxy x x =-+曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2x －1＋ln x 2，由题意得1112121e ,e e 1ln ,x x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩ 得x 2＝11ex ， 1e x －1e x x 1＝－1＋ln x 2＝－1＋11lnex ＝－1－x 1， 则1e x ＝x 1＋1x 1－1.又x 2＝11e x ，所以x 2＝x 1－1x 1＋1，所以x 2－1＝x 1－1x 1＋1－1＝－2x 1＋1，所以(x 1＋1)(x 2－1)＝－2.思维升华 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3 (1)(2022·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )＝－2x 2＋m ，g (x )＝－3ln x －x ，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m 的值为( ) A ．2 B ．5 C ．1 D ．0答案 C解析 根据题意，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的公共点为(a ，b )，其中a >0， 由f (x )＝－2x 2＋m ，可得f ′(x )＝－4x ，则切线的斜率为k ＝f ′(a )＝－4a ， 由g (x )＝－3ln x －x ，可得g ′(x )＝－3x －1，则切线的斜率为k ＝g ′(a )＝－3a －1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a ＝－3a －1，解得a ＝1或a ＝－34(舍去)，又由g (1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)， 将点(1，－1)代入f (x )＝－2x 2＋m ， 可得m ＝1.(2)已知f (x )＝e x (e 为自然对数的底数)，g (x )＝ln x ＋2，直线l 是f (x )与g (x )的公切线，则直线l 的方程为____________________． 答案 y ＝e x 或y ＝x ＋1解析 设直线l 与f (x )＝e x 的切点为(x 1，y 1)， 则y 1＝1e x ，f ′(x )＝e x ， ∴f ′(x 1)＝1e x ， ∴切点为(x 1，1e x )， 切线斜率k ＝1e x ，∴切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)， 即y ＝1e x ·x －x 11e x ＋1e x ，①同理设直线l 与g (x )＝ln x ＋2的切点为(x 2，y 2)， ∴y 2＝ln x 2＋2， g ′(x )＝1x ，∴g ′(x 2)＝1x 2，切点为(x 2，ln x 2＋2)， 切线斜率k ＝1x 2，∴切线方程为y －(ln x 2＋2)＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2＋1，②由题意知，①与②相同，∴111121221e e ,e e ln 1,x x x x x x x x -⎧=⎪⎨⎪-+==+⇒⎩③④ 把③代入④有111e e x x x -+＝－x 1＋1， 即(1－x 1)(1e x －1)＝0， 解得x 1＝1或x 1＝0，当x 1＝1时，切线方程为y ＝e x ； 当x 1＝0时，切线方程为y ＝x ＋1， 综上，直线l 的方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1.课时精练1．(2022·营口模拟)下列函数的求导正确的是( ) A ．(x －2)′＝－2xB ．(x cos x )′＝cos x －x sin xC ．(ln 10)′＝110D ．(e 2x )′＝2e x 答案 B解析 (x －2)′＝－2x －3，∴A 错； (x cos x )′＝cos x －x sin x ，∴B 对； (ln 10)′＝0，∴C 错； (e 2x )′＝2e 2x ，∴D 错．2．(2022·黑龙江哈师大附中月考)曲线y ＝2cos x ＋sin x 在(π，－2)处的切线方程为( ) A ．x －y ＋π－2＝0 B ．x －y －π＋2＝0 C ．x ＋y ＋π－2＝0 D ．x ＋y －π＋2＝0答案 D解析 y ′＝－2sin x ＋cos x ，当x ＝π时，k ＝－2sin π＋cos π＝－1，所以在点(π，－2)处的切线方程，由点斜式可得y ＋2＝－1×(x －π)，化简可得x ＋y －π＋2＝0.3．(2022·长治模拟)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 4．已知点A 是函数f (x )＝x 2－ln x ＋2图象上的点，点B 是直线y ＝x 上的点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B ．2 C.433 D.163答案 A解析 当与直线y ＝x 平行的直线与f (x )的图象相切时，切点到直线y ＝x 的距离为|AB |的最小值．f ′(x )＝2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，又f (1)＝3，所以切点C (1,3)到直线y ＝x 的距离即为|AB |的最小值，即|AB |min ＝|1－3|12＋12＝ 2.5．设曲线f (x )＝a e x ＋b 和曲线g (x )＝cos πx2＋c 在它们的公共点M (0,2)处有相同的切线，则b＋c －a 的值为( ) A ．0 B ．π C ．－2 D ．3 答案 D解析 ∵f ′(x )＝a e x ，g ′(x )＝－π2sin πx2，∴f ′(0)＝a ，g ′(0)＝0，∴a ＝0，又M (0,2)为f (x )与g (x )的公共点，∴f (0)＝b ＝2，g (0)＝1＋c ＝2，解得c ＝1， ∴b ＋c －a ＝2＋1－0＝3.6．(2022·邢台模拟)设点P 是函数f (x )＝2e x －f ′(0)x ＋f ′(1)图象上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫0，3π4 B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4 D.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 答案 B解析 ∵f (x )＝2e x －f ′(0)x ＋f ′(1)， ∴f ′(x )＝2e x －f ′(0)，∴f ′(0)＝2－f ′(0)，f ′(0)＝1， ∴f (x )＝2e x －x ＋f ′(1)， ∴f ′(x )＝2e x －1>－1.∵点P 是曲线上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α， ∴tan α>－1. ∵α∈[0，π)， ∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π. 7.(多选)已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．f ′(3)>f ′(2)B ．f ′(3)<f ′(2)C ．f (3)－f (2)>f ′(3)D ．f (3)－f (2)<f ′(2) 答案 BCD解析 f ′(x 0)的几何意义是f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．由图知f ′(2)>f ′(3)>0， 故A 错误，B 正确． 设A (2，f (2))，B (3，f (3))， 则f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2＝k AB ，由图知f ′(3)<k AB <f ′(2)，即f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故C ，D 正确．8．(多选)(2022·重庆沙坪坝区模拟)若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝[f ′(x )]′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，3π4上是凸函数的是( ) A ．f (x )＝－x 3＋3x ＋4 B ．f (x )＝ln x ＋2x C ．f (x )＝sin x ＋cos x D ．f (x )＝x e x 答案 ABC解析 对A ，f (x )＝－x 3＋3x ＋4， f ′(x )＝－3x 2＋3， f ″(x )＝－6x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故A 为凸函数； 对B ，f (x )＝ln x ＋2x ，f ′(x )＝1x ＋2，f ″(x )＝－1x2，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故B 为凸函数； 对C ，f (x )＝sin x ＋cos x ， f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故C 为凸函数； 对D ，f (x )＝x e x ，f ′(x )＝(x ＋1)e x ， f ″(x )＝(x ＋2)e x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，f ″(x )>0，故D 不是凸函数． 9．(2022·马鞍山模拟)若曲线f (x )＝x cos x 在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，则实数a ＝________. 答案 －1解析 因为f (x )＝x cos x ， 所以f ′(x )＝cos x －x sin x ， f ′(π)＝cos π－π·sin π＝－1，因为函数在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以a ＝f ′(π)＝－1.10．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝________.答案 2解析 f ′(x )＝－(ax －1)′(ax －1)2＋e xcos x －e xsin x ＝－a(ax －1)2＋e x cos x －e x sin x ， ∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1，则a ＝2.11．(2022·宁波镇海中学质检)我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝2e x，则f ′(x )＝________，其在点(0,1)处的切线方程为________．答案 22e xx y ＝1 解析 ∵f (x )＝2e x ，故f ′(x )＝(x 2)′2e x ＝22e x x ，则f ′(0)＝0.故曲线y ＝f (x )在点(0,1)处的切线方程为y ＝1.12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋⎝⎛⎭⎫23a ＋1x (a ∈R )，若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，则a 的取值范围为____________________． 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 因为f (x )＝x 3－ax 2＋⎝⎛⎭⎫23a ＋1x (a ∈R )，所以f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1，因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1＝0有两个不等的实根，则Δ＝4a 2－12⎝⎛⎭⎫23a ＋1>0，即a 2－2a －3>0， 解得a ＞3或a ＜－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．13．拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若f (x )在[a ，b ]上满足以下条件：①在[a ，b ]上图象连续，②在(a ，b )内导数存在，则在(a ，b )内至少存在一点c ，使得f (b )－f (a )＝f ′(c )(b －a )(f ′(x )为f (x )的导函数)．则函数f (x )＝x e x －1在[0,1]上这样的c 点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 函数f (x )＝x e x －1， 则f ′(x )＝(x ＋1)e x －1， 由题意可知，存在点c ∈[0,1]， 使得f ′(c )＝f (1)－f (0)1－0＝1，即(1＋c )e c －1＝1，所以e c －1＝11＋c ，c ∈[0,1]，作出函数y ＝e c －1和y ＝11＋c的图象，如图所示，由图象可知，函数y ＝e c－1和y ＝11＋c的图象只有一个交点，所以e c －1＝11＋c ，c ∈[0,1]只有一个解，即函数f (x )＝x e x －1在[0,1]上c 点的个数为1.14．(2021·新高考全国Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( ) A ．e b <a B ．e a <b C ．0<a <e b D ．0<b <e a答案 D解析 方法一 设切点(x 0，y 0)，y 0>0， 则切线方程为y －b ＝0e x (x －a )，由⎩⎨⎧y 0－b ＝0e x (x 0－a )，y 0＝0e x ，得0e x (1－x 0＋a )＝b ，则由题意知关于x 0的方程0e x (1－x 0＋a )＝b 有两个不同的解． 设f (x )＝e x (1－x ＋a )，则f ′(x )＝e x (1－x ＋a )－e x ＝－e x (x －a )， 由f ′(x )＝0得x ＝a ，所以当x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以f (x )max ＝f (a )＝e a (1－a ＋a )＝e a ， 当x <a 时，a －x >0，所以f (x )>0，当x →－∞时，f (x )→0， 当x →＋∞时，f (x )→－∞，函数f (x )＝e x (1－x ＋a )的大致图象如图所示，因为f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，所以0<b <e a .方法二 (用图估算法)过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线 ，则点(a ，b )在曲线y ＝e x 的下方且在x 轴的上方， 得0<b <e a .15．若曲线y ＝14sin 2x ＋32cos 2x 在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线互相垂直，则|x 1－x 2|的最小值为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D ．π 答案 B解析 ∵y ＝14sin 2x ＋32cos 2x＝14sin 2x ＋32×1＋cos 2x2 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋34， ∴y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴曲线的切线斜率在[－1,1]范围内， 又曲线在两点处的切线互相垂直，故在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是－1.不妨设在A 点处切线的斜率为1， 则有2x 1＋π3＝2k 1π(k 1∈Z )，2x 2＋π3＝2k 2π＋π(k 2∈Z )，则可得x 1－x 2＝(k 1－k 2)π－π2＝k π－π2(k ∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝π2.16．(2022·南昌模拟)已知曲线C 1：y ＝e x ＋m ，C 2：y ＝x 2，若恰好存在两条直线l 1，l 2与C 1，C 2都相切，则实数m 的取值范围是____________． 答案 (－∞，2ln 2－2)解析 由题意知，l 1，l 2的斜率存在，设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，设l 1与C 1，C 2的切点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则⎩⎨⎧k 1＝1e x m+＝2x 2(k 1>0)，k 1x 1＋b 1＝1e x m+，k 1x 2＋b 1＝x 22，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝ln k 1－m ，x 2＝k 12，k 1(x 2－x 1)＝x 22－1ex m+，故k 1⎝⎛⎭⎫k 12－ln k 1＋m ＝k 214－k 1， 整理得m ＝ln k 1－k 14－1，同理可得，当直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2与C 1，C 2都相切时， 有m ＝ln k 2－k 24－1，综上所述，只需m ＝ln k －k4－1(k >0)有两解，令f (k )＝ln k －k4－1，则f ′(k )＝1k －14＝4－k4k ，故当f ′(k )>0时，0<k <4， 当f ′(k )<0时，k >4，所以f (k )在(0,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减， 故f (k )max ＝f (4)＝ln 4－44－1＝2ln 2－2，所以只需满足m <2ln 2－2即可．。
函数与导数的关系
函数与导数的关系函数和导数是微积分中的重要概念，它们之间有着密切的关系。
在本文中，我们将探讨函数与导数之间的关系，以及导数在函数中的应用。
一、函数的定义在开始讨论函数与导数之间的关系之前，我们首先要了解函数的基本定义。
函数是一种映射关系，将一个自变量的取值域映射到一个或多个因变量的值域上。
通常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。
二、导数的定义导数是描述函数变化率的概念。
对于函数f(x)，在某一点x处的导数表示为f'(x)或者dy/dx。
导数可以理解为函数在该点处的斜率。
具体而言，导数的定义如下：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx) - f(x))/Δx〗三、导数的几何意义导数具有几何意义，可以帮助我们理解函数的变化趋势。
在几何上，导数等于函数曲线在该点处的切线的斜率。
换言之，导数告诉我们函数在某一点附近的变化速率。
四、导数的性质导数具有一些重要的性质，这些性质对于理解函数与导数之间的关系非常重要。
1. 可导性：函数在某一点可导，意味着该点处的导数存在。
2. 导数为常数：如果函数在某一区间上的导数为常数，那么函数在该区间上是线性函数。
3. 导数与函数图像：函数在某一点处的导数为正值，则函数在该点处递增；导数为负值，则函数在该点处递减；导数为零，则函数在该点处取得极值。
五、函数与导数的关系函数与导数之间存在着密切的联系。
导数不仅可以帮助我们分析函数的变化趋势，还可以用于求解函数的最大值、最小值以及函数的近似计算。
1. 导数与函数的增长：如果函数在某一点的导数大于零，那么函数在该点附近是递增的；如果导数小于零，那么函数在该点附近是递减的。
2. 导数与函数的极值：函数在极值点处的导数为零，但并不是所有导数为零的点都是函数的极值点。
需通过判断导数的正负来确定是否为极值点。
3. 导数与函数的图像：通过函数的导数可以判断函数在某一点附近的变化趋势，从而绘制出函数的图像。
导数的概念及运算
解析答案
命题点3 和切线有关的参数问题
例 4 已知 f(x)＝ln x，g(x)＝12x2＋mx＋72(m<0)，直线 l 与函数 f(x)， g(x)的图象都相切，且与 f(x)图象的切点为(1，f(1))，则 m＝_－__2_. 解析 ∵f′(x)＝1x， ∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1.
跟踪训练1
解析答案
(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝－__2__. 解析 f′(x)＝4ax3＋2bx， ∵f′(x)为奇函数，且f′(1)＝2， ∴f′(－1)＝－2.
解析答案
题型二 导数的几何意义
命题点1 已知切点的切线方程问题
例2
(1)函数
ln f(x)＝
解析答案
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易错警示系列
易错警示系列 4.求曲线的切线方程条件审视不准致误
典例 (14分)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a 都相切，求a的值.
易错分析 由于题目中没有指明点O(0,0)的位置情况，容易忽略点O在
曲线y＝x3－3x2＋2x上这个隐含条件，进而不考虑O点为切点的情况.
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思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数， 而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0. 2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.在实施化简时， 首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误. 3.未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义 表示切线的斜率建立方程.
导数的概念及其意义、导数的运算
B．(x2ex)′＝x(x＋2)ex D.x－1x′＝1－x12
答案：BC
解析：A 项ln1x′＝－ln12x·(ln x)′＝－xln12x； D 项x－1x′＝1＋x12.
2．已知 f(x)＝coesx x，则 f′(x)＝________.
答案：－sin
x＋cos ex
x
解析：f′(x)＝coesx
答案：C 解析：由题意可知 y′＝2cos x－sin x，则 y′|x＝π＝－2.所以曲线 y ＝2sin x＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为 y＋1＝－2(x－π)，即 2x ＋y＋1－2π＝0，故选 C.
6．[2019·全国Ⅰ卷]曲线 y＝3(x2＋x)ex 在点(0,0)处的切线方程为 ________．
答案：C 解析：∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，∴f′(x)＝2f′(1)＋1x， ∴f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1.
2．[选修二·P18 A 组 T6]曲线 y＝1－x＋2 2在点(－1，－1)处的切线 方程为________．
答案：2x－y＋1＝0 解析：∵y′＝x＋222，∴y′|x＝－1＝2.∴所求切线方程为 2x－y＋1 ＝0.
4．设 f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则 f′(0)＝________.
答案：－23 解析：因为 f′(x)＝－3－22x－2sin 2x，所以 f′(0)＝－23.
三、走进高考 5．[2019·全国Ⅱ卷]曲线 y＝2sin x＋cos x 在点(π，－1)处的切线方 程为( ) A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0 C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
微点 2 未知切点求切线方程 [例 2] 已知函数 f(x)＝xln x，若直线 l 过点(0，－1)，并且与曲线 y＝f(x)相切，则直线 l 的方程为________．
函数的导数与导函数
函数的导数与导函数在数学中，函数的导数是研究函数变化率的重要概念。
导数可以对函数进行局部线性逼近，并给出了函数在某一点处的切线斜率。
而导函数则是将整个函数映射成一个新的函数，描述了函数在每个点的变化率。
一、导数的定义与性质函数f(x)在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中h表示一个极限过程，表示x的变化量趋向于0。
导数可以理解为函数f(x)在x点处的瞬时变化率。
导数具有以下几个主要的性质：1. 线性性质：若f(x)和g(x)都是可导函数，k为常数，则有(cf(x))' = cf'(x)和(f(x)+g(x))' = f'(x) + g'(x)。
2. 乘积法则：若f(x)和g(x)都是可导函数，则有(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
3. 商法则：若f(x)和g(x)都是可导函数，且g(x)≠0，则有(f(x)/g(x))' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^2。
二、导函数的定义与应用导函数是将整个函数映射成一个新的函数，描述了函数在每个点的变化率。
如果函数f(x)在定义域内每一点都可导，那么导函数就是这个函数的导数。
将函数的导数以函数形式表示，可得到导函数。
导函数常用记号为f'(x)、dy/dx或y'，其中y表示原函数。
通过求导可以解决许多问题，包括但不限于以下几个方面：1. 极值点：函数在极值点的导数为0。
通过求导可确定函数的极大值和极小值。
2. 切线与法线：导数可以告诉我们函数在某一点的切线斜率，进而绘制切线方程。
切线斜率的负倒数即为法线斜率。
3. 凹凸性：函数在凹凸点的导数存在变号。
导数的正负可以确定函数的凹凸性质。
符合导数为正的区间为凸区间，导数为负的区间为凹区间。
导数的概念及基本函数的导数
Dy [(0+Dx)2+(0+Dx)+1]-(02+0+1) 又 Dlim =lim =lim (Dx+1)=1, x0- Dx Dx0Dx Dx02+0+1) Dy [ a (0+ D x )+ b ] (0 lim+ Dx =lim+ Dx D x0 D x0
aDx+b-1 b- 1 =lim =a+lim D x + D x0 Dx0+ Dx 故当 b-1=0 且 a=1 即 a=b=1 时, f(x) 在 x=0 处可导. 综上所述, 当 b=1, aR 时, f(x) 在 x=0 处连续, 当 a=b=1 时, f(x) 在 x=0 处可导. (2)由(1)知, f(0)=1, 又 f(0)=1, 故曲线 y=f(x) 在点 P(0, f(0)) 处的切线方程为 y-1=x-0, 即 x-y+1=0.
(2)物理意义: 函数 S=s(t) 在点 t0 处的导数 s(t0), 就是当物体 的运动方程为 S=s(t) 时, 物体运动在时刻 t0 时的瞬时速度 v, 即: v=s(t0). 设 v=v(t) 是速度函数, 则 v(t0)表示物体在时刻 t=t0 时的 加速度.
3.几种常见函数的导数
一、复习目标
了解导数概念的某些实际背景(瞬时速度, 加速度, 光滑曲线 切线的斜率等), 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何 意义, 理解导数的概念, 熟记常见函数的导数公式 c, xm(m 为有 理数), sinx, cosx, ex, ax, lnx, logax 的导数, 并能熟练应用它们求 有关导数.
因而对于开区间 (a, b) 内每一个确定的值, 都对应着一个确定 的导数 f(x0). 据函数定义, 在开区间 (a, b) 内就构成了一个新 函数, 即导数.
导数的概念及运算讲课文档
【思维升华】 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应 用时主要体现在以下几个方面：
(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值： k＝f′(x0)．
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
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(3)若求过点 P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由
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5 ． 曲 线 y ＝ － 5ex ＋ 3 在 点 (0 ， － 2) 处 的 切 线 方 程 是 ________．
【解析】 因为y′|x＝0＝－5e0＝－5， 所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为 y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0. 【答案】 5x＋y＋2＝0
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5．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导 数间的关系为yx′＝_y_u_′__·__u_x_′_，即y对x的导数等于_y_对__u_ 的导数与_u__对__x的导数的乘积.
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【知识拓展】 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函 数的导数还是周期函数． 2.f（1x）′＝－f[′f（（x）x）]2(f(x)≠0)． 3．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)． 4．函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势， 其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢， |f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝ f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝__f_′_(x_0_)_．
“导数”与“导函数”你们是几个意思？
“导数”与“导函数”你们是几个意思？作者：何名慰来源：《新高考·高二数学》2015年第12期苏教版教材指出：在不引起混淆时，导函数f'（x）也简称为f（x）的导数；人教版也有类似的说法：本书中，如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数.言外之意，“导函数”跟“导数”可能被混淆.“导数”、“导函数”，你们到底是几个意思？欲知答案，且听我慢慢道来.先请各位观赏一下我的一个小伙伴完成的一道练习题：“已知函数f（x）=x³，则该函数图象在x=1处的切线方程为y=3x³-3x²+1.”此解一出，全班的小伙伴们都惊呆了！这个方程表示的图形显然连直线都不是，太不合理了.后来我才知道，他解题的真相是这样的：“先求切点f（1）=1，所以切点为（1，1），再求导数f'（x）=3x²，由导数就是切线斜率和直线的点斜式得切线方程为y-1=3x²（x-1），化简得y=3x³-3x²+1”.其实这就是混淆了导数与导函数的结果.当我们讲“导数就是切线斜率”这句话时，真实的含义是“函数f（x）在x=x0处的导数就是该函数图象在点P（xo，f（xo））处的切线斜率”，而这里“导数”肯定是一个数值，不是函数，当然就不是“导函数”的简称了.这么说来“导数”跟“导函数”确实不是一个意思，但它们也不是相互独立的两个意思.实际上我们可以像“求某个数的平方”、“求某个数的倒数”一样把“求函数f（x）在某处的导数”也看成一种对应法则.在函数f（x）是可导函数的前提下，定义域中的每一个实数x都会对应唯一的切线斜率，即导数，这时“求函数f（x）在某处的导数”这个对应就是一个名副其实的函数了，也就是我们所讲的“导函数f'（x）”.也许可以这样理解导数与导函数的关系.比如一个服装生产商的两个部门，一个负责给客户定制服装，另一个负责流水线生产不同型号、不同款式的服装.“函数f（x）在x=xo处的导数”就是定制，“导函数f（x）”就是流水线生产.但是从数学上讲，“定制”函数f（x）在x=xo。
导数的概念与导数运算考点及题型全归纳
第三章 导数及其应用第一节 导数的概念与运算基础知识1．导数的概念一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim →Δ0x ΔyΔx ＝lim →Δ0x f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim→Δ0x ΔyΔx ＝lim →Δ0x f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .f ′(x )与f ′(x 0)的区别与联系f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，所以[f ′(x 0)]′＝0.2．导数的几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线是指以P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线.3．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim →Δ0xf (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．4．导数的运算(1)几种常见函数的导数①(C )′＝0(C 为常数)；②(x n )′＝nx n －1(n ∈Q *)； ③(sin x )′＝cos_x ；④(cos x )′＝－sin_x ；⑤(e x )′＝e x ； ⑥(a x )′＝a x ln_a (a >0，a ≠1)；⑦(ln x )′＝1x ；⑧(log a x )′＝1x ln a(a >0，a ≠1)． (2)导数的四则运算法则 ①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )； ②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )；③⎣⎡⎦⎤u (x )v (x )′＝u ′(x )v (x )－u (x )v ′(x )[v (x )]2(v (x )≠0)．熟记以下结论： (1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2； (2)⎣⎡⎦⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)； (3)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )；(4)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．考点一 导数的运算[典例] 求下列函数的导数．(1)y ＝ln x ＋1x ；(2)y ＝(2x ＋1)·e x ； (3)y ＝1＋x 5x 2；(4)y ＝x －sin x 2cos x2.[解] (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (2)y ′＝[(2x ＋1)·e x ]′＝(2x ＋1)′·e x ＋(2x ＋1)·(e x )′＝2e x ＋(2x ＋1)·e x ＝(2x ＋3)·e x .(3)∵1＋x 5x2＝x 35＋x -25，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 5x 2′＝(x 35)′＋(x -25)′＝35x -25－25x -75.(4)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .[题组训练]1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e解析：选B 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x.所以f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 2．求下列函数的导数．(1)y ＝cos x －sin x ； (2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln x x 2＋1.解：(1)y ′＝(cos x )′－(sin x )′＝－sin x －cos x .(2)∵y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3) ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝(ln x )′(x 2＋1)－ln x (x 2＋1)′(x 2＋1)2＝1x(x 2＋1)－2x ·ln x(x 2＋1)2＝x 2(1－2ln x )＋1x (x 2＋1)2.考点二 导数的几何意义考法(一) 求曲线的切线方程[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x[解析] ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立， 即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . [答案] D[解题技法]若已知曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P 的切线方程的方法(1)当点P (x 0，y 0)是切点时，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)． (2)当点P (x 0，y 0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过点P ′(x 1，f (x 1))的切线方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)； 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程． 考法(二) 求切点坐标[典例] 曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(1,3)和(－1,3)D ．(1，－3)[解析] f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)．经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C. [答案] C[解题技法] 求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．考法(三) 求参数的值(范围)[典例] 函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．[解析] 函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解，而f ′(x )＝1x ＋a ，即1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，a ＝2－1x 在(0，＋∞)上有解，因为x >0，所以2－1x <2，所以a 的取值范围是(－∞，2)． [答案] (－∞，2)[解题技法]1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上．[题组训练]1.曲线y ＝e x 在点A 处的切线与直线x －y ＋3＝0平行，则点A 的坐标为( )A ．(－1，e －1) B ．(0,1) C ．(1，e)D ．(0,2)解析：选B ∵y ′＝e x ，令e x ＝1，得x ＝0.当x ＝0时，y ＝1，∴点A 的坐标为(0,1)． 2.设曲线y ＝a (x －1)－ln x 在点(1,0)处的切线方程为y ＝2x －2，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D ∵y ＝a (x －1)－ln x ，∴y ′＝a －1x ，∴y ′|x ＝1＝a －1.又∵曲线在点(1,0)处的切线方程为y ＝2x －2， ∴a －1＝2，解得a ＝3.3.已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0 解析：选B 因为点(0，－1)不在曲线y ＝f (x )上，所以设切点坐标为(x 0，y 0)．又因为f ′(x )＝1＋ln x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝0.所以切点坐标为(1,0)，所以f ′(1)＝1＋ln 1＝1，所以直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.[课时跟踪检测]A 级1．设f (x )＝x e x 的导函数为f ′(x )，则f ′(1)的值为( )A ．eB ．e ＋1C ．2eD ．e ＋2解析：选C 由题意知f (x )＝x e x ，所以f ′(x )＝e x ＋x e x ，所以f ′(1)＝e ＋e ＝2e. 2．曲线y ＝sin x ＋e x 在x ＝0处的切线方程是( )A ．x －3y ＋3＝0B ．x －2y ＋2＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0解析：选C ∵y ′＝cos x ＋e x ，∴当x ＝0时，y ′＝2.又∵当x ＝0时，y ＝1，∴所求切线方程为y －1＝2x ，即2x －y ＋1＝0.3．设f (x )＝x (2 019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 020，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 019＋ln x ＋1＝2 020＋ln x ，由f ′(x 0)＝2 020，得2 020＋ln x 0＝2 020，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.4．已知函数f (x )＝a ln x ＋bx 2的图象在点P (1,1)处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选D 由已知可得P (1,1)在函数f (x )的图象上，所以f (1)＝1，即a ln 1＋b ×12＝1，解得b ＝1， 所以f (x )＝a ln x ＋x 2，故f ′(x )＝ax＋2x .则函数f (x )的图象在点P (1,1)处的切线的斜率k ＝f ′(1)＝a ＋2， 因为切线与直线x －y ＋1＝0垂直， 所以a ＋2＝－1，即a ＝－3.5．(2018·合肥第一次教学质量检测)已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是( )A.12 B ．1 C ．2D ．e解析：选B 由题意知y ′＝a e x ＋1，令a e x ＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.6．设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)解析：选D 因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，所以f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0＝－1.又因为切点P 的坐标为(x 0，－x 0)，所以x 30＋ax 20＝－x 0.联立两式得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 20＋2ax 0＝－1，x 30＋ax 20＝－x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，x 0＝1.所以点P 的坐标为(－1,1)或(1，－1)．7．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a ·e x图象的切线，则实数a ＝________.解析：设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a·e 0x ＝－1，∴ex ＝a ，又－1a·e 0x ＝－x 0＋1，∴x 0＝2，a ＝e 2.答案：e 28．(2019·安徽名校联考)已知函数f (x )＝2x －ax 的图象在点(－1，f (－1))处的切线斜率是1，则此切线方程是________．解析：因为f ′(x )＝－2x 2－a ，所以f ′(－1)＝－2－a ＝1，所以a ＝－3，所以f (x )＝2x ＋3x ，所以f (－1)＝－5，则所求切线的方程为y ＋5＝x ＋1，即x －y －4＝0. 答案：x －y －4＝09．设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a ＝________. 解析：因为y ′＝－1－cos xsin 2x ，所以y ′|=2x π＝－1，由条件知1a ＝－1， 所以a ＝－1. 答案：－110．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________．解析：由y ＝x 2－ln x ，得y ′＝2x －1x(x ＞0)，设点P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝x 2－ln x 上到直线y ＝x －2的距离最小的点， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，解得x 0＝1或x 0＝－12(舍去)．∴点P 0的坐标为(1,1)．∴所求的最小距离为|1－1－2|2＝ 2.答案： 211．求下列函数的导数．(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝x ·tan x ； (3)y ＝cos x ex .解：(1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x－x ＝x -12－x 12，∴y ′＝(x-12)′－(x 12)′＝－12x -32－12x -12.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋xcos 2x. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x .12．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围． 解：(1)∵y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴当x ＝2时，y ′min ＝－1，此时y ＝53，∴斜率最小时的切点为⎝⎛⎭⎫2，53，斜率k ＝－1， ∴切线方程为3x ＋3y －11＝0. (2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1， 又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 故α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. B 级1.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 由题图可知切线过点(0,2)，(3,1)，则曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率为－13，即f ′(3)＝－13，又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 2．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．解析：由f (x )＝x 3＋ax ＋14，得f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(0)＝a ，f (0)＝14，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax .设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，g ′(x )＝－1x，∴⎩⎨⎧－ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x 0. ②将②代入①得ln x 0＝34，∴x 0＝e 34，∴a ＝－1e34＝－e-34.答案：－e-343．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意，得{ f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.。
导数的概念
三 导数的应用 （一）利用导数判断函数单调性及求解单调区间。
1.导数和函数单调性的关系： (1)若 f ¢ (x)>0 在(a，b)上恒成立，则 f(x)在(a，b)上是增函数， f ¢ (x)>0 的解集与定义域的 交集的对应区间为增区间； (2)若 f ¢ (x)<0 在(a，b)上恒成立，则 f(x)在(a，b)上是减函数， f ¢ (x)<0 的解集与定义域 的交集的对应区间为减区间。 2.利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
f (x0 ) )处的切线方程为 y -
f (x0 ) =
f
(x )(x - x ) / 0
0
新疆 王新敞
奎屯
2.导数的物理意义： 导数是物体变速直线运动的瞬时速度，也叫做瞬时变化率。
（三）概念部分题型：
1.利用定义求函数 y = f (x) 的导数
主要有三个步骤：
(1)求函数的改变量 Dy
=
f (x + Dx) -
x= x0
，即
f
/
(x0 )
=
lim
Dx®0
f (x0
+ Dx) Dx
f (x0 )
2 导函数的定义：如果函数 y = f (x) 在开区间 (a, b) 内的每点处都有导数，此时对于每
一个 x Î (a,b) ，都对应着一个确定的导数 f / (x) ，从而构成了一个新的函数 f / (x) , 称这
（二）导数的四则运算
1．和差： (u±v)¢ =u¢±v¢
2．积： (uv)¢ = u¢v + uv¢
3．商：
(u )¢ v
=
导数和导函数
导数和导函数如果函数y = f(x) 在开区间I内每一点都可导就称函数f(x)在区间I 内可导。
这时函数y = f(x) 对于区间I 内的每一个确定的x 值都对应着一个确定的导数这就构成一个新的函数称这个函数为原来函数y = f(x) 的导函数记作y', f'(x), dy/dx, df(x)/dx。
导函数简称导数。
导数（Derivative），也叫导函数值。
又名微商，是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。
寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。
实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。
反之，已知导函数也可以反过来求原来的函数，即不定积分。
第一讲导数、导函数的概念及导数的运算全面版
导数与导函数的观点【基础知识点】1．函数从到的均匀变化率为① ____________，若△x x2x1，△ y f ( x2 ) f ( x1 ) ，则均匀变化率可表示为．2．一般的，定义在区间（ a ，b）上的函数 f ( x) ，x o( a， b) ，当x 无穷趋近于0 时，y f (x o x) f (x o )A ，则称f ( x)在x x o处可导，并x x无穷趋近于一个固定的常数称 A 为f ( x)在x x o处的导数，记作 f ' ( x o ) 或f ' ( x ) |x xo3．几何意义： f ( x) 在x x0处的导数就是 f ( x) 在x x0处的切线斜率。
4．导函数的观点： f ( x)的对于区间（a , b）上随意点处都可导，则 f ( x) 在各点的导数也随 x 的变化而变化，因此也是自变量x的函数，该函数被称为 f ( x) 的导函数，记作f ' ( x ) 。
【典例分析】【典例 1】函数f ( x)知足f ' (1)2，则当 x 无穷趋近于 0 时，（ 1）f (1x) f (1)2x（ 2）f (12x) f (1)x变式 :设f(x)在x=x0处可导，（3）f ( x04x)f ( x)无穷趋近于1，则f(x0 ) =___________ x（4）f ( x04x)f ( x)无穷趋近于1，则f(x0 ) =__________ x（ 5）当△ x 无穷趋近于0，f ( x02x) f (x02 x)所对应的常数与 f ( x0 ) 的x关系。
总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。
【基础知识点】1．基本初等函数的求导公式：⑴(kx b)k (k,b为常数 ) ⑵(C ) 0 (C 为常数 )⑶ ( x)1⑷( x 2 ) 2 x⑸( x 3) 3x2⑹ (1)1xx 2⑺(x )1由⑶ ~⑹你能发现什么规律 ?2 x⑻ ( x ) x1（ 为常数）⑼ (a x )a x ln a (a0，a 1)⑽(log a x)1log a e1 ( a 0，且 a 1)xxlna⑾(e x )e x⑿(lnx ) 1x⒀(sinx ) cosx⒁(cosx)－ sinx2．曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线 y ＝ f （x ）在点 P （ x 0， f （ x 0））处的切线方程是 y － f （ x 0）＝ f ' ( x o ) （ x － x 0）；3． 求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依照已知点在切线上求解． 4．函数的差、积、商的求导法例：（ 1） （ 2）（ 3）f ( x)g ( x) ' f '( x)g '( x)cf ( x) ' cf (x)'f (x)g ( x) ' f '(x) g(x)f ( x)g '(x)f ( x) '（ 4）f '( x)g (x) f (x) g '( x)( g (x) 0)g( x)g( x)2【典例分析】【典例 1】求以下函数的导数（ 1）y3x 5（ 2）y1（ 3）y log 4 x（ 4）x 4y sin(x)2（ 5）y cos(3（ 6）yx x x x)2题型一：点在曲线上【典例 2】已知曲线y1x3上一点 P(2,8),则过 P 点的切线方程为.33分析：过点 P 的切线的斜率为k f ' 2 4 ，那么切线方程为y84x 2 ，即312 x 3y 160 ．变式：（南通市2013 届高三第一次调研测试数学试卷）曲线 f ( x)f(1)x12在e f (0) x xe2点 (1, f (1)) 处的切线方程为 ________.题型二：点不在曲线上【典例 3】过点(1,0) 作抛物线y x2x1的切线，则此中一条切线为解析：设切点为 x0 , y0，切线的斜率为 f ' x02x0 1 ，则切线方程为：y y0 f 'x0x x0，由于点 ( 1,0) 在切线上，故y0 f ' x0 1x0，解得x00，或 x02，切点为 0,1或2,3，故切线方程为 x y20或3x y30变式： 1．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）过点1,0. 与函数 f x e x( e 是自然对数的底数)图像相切的直线方程是__________.2．（ 2011 年高考（江苏卷））在平面直角坐标系xOy 中,已知点P是函数 f ( x)e x (x0)的图象上的动点 , 该图象在P 处的切线l交y轴于点, 过点P作l的垂线交y轴于点,设M N线段 MN的中点的纵坐标为t ,则 t 的最大值是__题型三：已知切线斜率求切线方程【典例 4】求垂直于直线 2 x6y 1 0且与曲线y x33x2 5 相切的直线方程。
3.1 导数的概念及几何意义、导数的运算
∴x2=-2x1,∴f
'(x2)=3 x22=12 x12.∴
f f
'(x1) = 1 .
'(x2 ) 4
(2)由题意,得f '(x)=2x.
设直线与曲线相切于点(x0,y0), 则所求切线的斜率k=2x0,
由题意知2x0= y0 0 = y0 ①.
x0 1 x0 1
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又y0= x02 ②,所以由①②解得x0=0或x0=-2, 所以k=0或k=-4, 所以所求切线方程为y=0或y=-4(x+1), 即y=0或4x+y+4=0. 答案 (1) 1 (2)y=0或4x+y+4=0
2
2
(4)y'
=
cos ex
x
'=(cos
x)
'ex cos (ex )2
x(ex
)'
=-
sin
x cos ex
x.
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方法二 求曲线y=f(x)的切线方程
1.求“在”曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线方程,则点P(x0,y0)为切点,
'(x1)(x0 x1),
点A(x1,y1),代入方程y-y1=f '(x1)(x-x1),化简即得所求的切线方程.
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例2 (1)(2018江苏淮安高三期中)已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1,
f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2, f(x2)),记f '(x)为函数f(x)的导
数学分析5.1导数的概念(讲义)
第五章导数和微分1 导数的概念一、导数的定义定义1：设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数f在点x0处可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作f’(x0). 若该极限不存在，则称f在点x0处不可导.令x=x0+△x，△y=f(x0+△x)-f(x0)，则：==f’(x0).∴导数是函数增量△y与自变量增量△x之比的极限. 这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称为差商)，而导数f’(x0)则为f在x0处关于x的变化率.注：显然常量函数f(x)=C在任何一点x的导数都等于零.例1：求函数f(x)=x2在点x=1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程.解：f’(1)===2.∴曲线在点(1,1)处的切线方程为：y-1=2(x-1)，即y=2x-1.例2：证明函数f(x)=|x|在点x=0处不可导.证：f’(0)=，∵=1，=-1，∵不存在，∴f在点x=0处不可导.设f(x)在点x0可导，则ε=f’(x0)-是当△x→0时的无穷小量，于是ε·△x=o(△x)，即△y=f’(x0)△x+o(△x)，称为f在点x0的有限增量公式.该公式对△x=0仍成立.定理5.1：若函数f在点x0可导，则f在点x0连续.注：可导是连续的充分而非必要条件.例3：证明函数f(x)=x2D(x)仅在点x0=0处可导，其中D(x)为狄利克雷函数.证：当x0≠0时，由归结原理可得f在x= x0处不连续，∴f在x= x0处不可导.当x0=0时，∵D(x)有界，∴f’(0)==xD(x)=0.即f仅在点x0=0处可导.定义2：设函数y=f(x)在点x0的某右邻域(x0, x0+δ)上有定义，若右极限=(0<△x<δ)存在，则称该极限值为f在点x0的右导数，记作f’+(x0). 类似地，定义左导数为f’-(x0)==.右导数和左导数统称为单侧导数.定理5.2：若函数f在点x0的某右邻域内有定义，则f’(x0)存在的充要条件是：f’+(x0)与f’-(x0)都存在，且f’+(x0)=f’-(x0).例4：设f(x)=，讨论f(x)在x=0处的左右导数与导数.解：f’+(0)===0.f’-(x0) ===1.∵f’+(x0)≠f’-(x0)，∴f在x=0处不可导.二、导函数若函数在区间I上每一点都可导(区间端点只考虑单侧导数)，则称f为I上的可导函数. 对每一个x∈I，都有一个导数f’(x)(或单侧导数)与之对应，函数f’就称为f 在I上的导函数，简称为导数. 记作f’, y’或，即：f’(x)=, x∈I注：f’(x0)可写作：y’或例5：证明：(1)(x n)’=nx n-1，n为正整数；(2)(sinx)’=cosx，(cosx)’=-sinx；(3)(log a x)’=log a e (a>0，a≠1，x>0)，特别的(ln x)’=.证：(1)对于y=x n, ==x n-1+x n-2△x +…+△x n-1，∴(x n)’==(x n-1+x n-2△x +…+△x n-1)=x n-1=nx n-1.(2)∵==，由cosx在R上连续可得：(sinx)’==cosx.又==，由sinx在R上连续可得：(cosx)’== -sinx.(3)∵=log a=log a，又由log a x的连续性可得：(log a x)’=log a=log a=log a e.当a=e时，ln e=1，∴(ln x)’=.三、导数的几何意义曲线y=f(x)在点(x0,y0)的切线方程为：y-y0=f’(x0)(x-x0).即函数f在点x0的导数f’(x0)是曲线fy=(x)在点(x0,y0)的切线斜率.若α表示这条切线与x轴正方向的夹角，则f’(x0)=tanα.例6：求曲线y=x3在点P(x0,y0)处的切线方程与法线方程.解：y’=3x2, ∴f’(x0)=3x02==.当x0≠0时，曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=f’(x0)(x-x0)，即y=3x02x-2y0；法线方程为y-y0=(x-x0)，即y=x y0.当x0=0时，切线方程为y=0，法线方程为x=0.定义3：若函数f在点x0的某邻域U(x0)内对一切x∈U(x0)有f(x0)≥f(x)或f(x0)≤f(x)，则称f在点x0取得极大(小)值，称点x0为极大(小)值点. 极大值和极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点.例7：证明：若f’+(x0)>0，则存在δ>0. 对任何x∈(x0,x0+δ)，有f(x0)<f(x).证：∵f’+(x0)=>0，由保号性可知，存在δ>0，对一切x∈(x0,x0+δ)，有>0，∴对任何x∈(x0,x0+δ)，有f(x0)<f(x).定理5.3(费马定理)：设函数f在点x0的某邻域内有定义，且在点x0可导，若点x0为f的极值点，则必有f’(x0)=0.我们称满足方程f’(x0)=0的点为稳定点. 稳定点不一定是极值点。
导数知识归纳
导数及其应用第1课时 变化率与导数、导数的计算1．导数的概念：函数y ＝)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比xy ∆∆ 的 ，即)(x f '＝ ＝ ．2．导函数：函数y ＝)(x f 在区间(a, b)内 的导数都存在，就说)(x f 在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的 ，记作)(x f '或x y '， 函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值 ，就是)(x f 在0x 处的导数.3．导数的几何意义：设函数y ＝)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的 .4．求导数的方法 (1) 八个基本求导公式)('C ＝ ； )('n x ＝ ；(n∈Q) )(sin 'x ＝ ， )(cos 'x ＝)('x e ＝ ， )('x a ＝ )(ln 'x ＝ ， )(log 'x a ＝(2) 导数的四则运算[]')()(x v x u ±＝ ])(['x Cf ＝][')()(x v x u ＝ ， )()('x u ＝ )0)((≠x v (3) 复合函数的导数设)(x u θ=在点x 处可导，)(u f y =在点)(x u θ=处可导，则复合函数)]([x f θ在点x 处可导， 且)(x f '＝ ，即x u x u y y '⋅'='.12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率. 解 ∵Δy=11)(11)(11)(20202020220+++∆+--+∆+=+-+∆+x x x x x x x x x .11)(2,11)()(220200202020+++∆+∆+=∆∆∴+++∆+∆+∆=x x x xx x y x x x x x x变式训练1. 求y=x 在x=x 0处的导数解 )())((lim lim lim00000000000x x x x x x x x x x x x x x x y x x x +∆+∆+∆+-∆+=∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆.211lim 0000x x x x x =+∆+=→∆例2. 求下列各函数的导数： （1）;sin 25x xx x y ++=（2）);3)(2)(1(+++=x x x y（3）;4cos 212sin 2⎪⎭⎫⎝⎛--=x x y （4）.1111xxy ++-=解 (1)∵,sin sin 23232521xx x xxx x x y ++=++=-∴y′.cos sin 2323)sin()()(232252323x x x x x x x x x x-----+-+-='+'+'=（2）y=（x 2+3x+2）（x+3）=x 3+6x 2+11x+6，∴y′=3x 2+12x+11.（3）∵y=,sin 212cos 2sin x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴.cos 21)(sin 21sin 21x x x y ='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='（4）xx x xx x x y -=+--++=++-=12)1)(1(111111， ∴.)1(2)1()1(21222x x x x y -=-'--='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=' 变式训练2：求y=tanx的导数. 解 y′.cos 1cos sin cos cos )(cos sin cos )(sin cos sin 22222x x xx x x x x x x x =+='-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛=例3. 已知曲线y=.34313+x （1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解 （1）∵y′=x 2,∴在点P （2，4）处的切线的斜率k='y |x=2∴曲线在点P （2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.（2）设曲线y=34313+x 与过点P （2，4）的切线相切于点⎪⎭⎫⎝⎛+3431,300x x A ，则切线的斜率k='y |0x x ==20x .∴切线方程为),(343102030x x x x y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-即.34323020+-⋅=x x x y ∵点P （2，4）在切线上，∴4=,343223020+-x x 即,044,0432020302030=+-+∴=+-x x x x x ∴,0)1)(1(4)1(00020=-+-+x x x x∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.变式训练3：若直线y=kx 与曲线y=x 3-3x 2+2x 相切，则k= . 答案 2或41-例4. 设函数bx ax x f ++=1)( (a,b∈Z )，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为y=3.（1）求)(x f 的解析式； （2）证明：曲线)(x f y =上任一点的切线与直线x=1和直线y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.（1）解2)(1)(b x a x f +-='， 于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++,0)2(1,3212b a b a 解得⎩⎨⎧-==,1,1b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.38,49b a 因为a,b ∈Z ，故.11)(-+=x x x f （2）证明 在曲线上任取一点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11,00x xx ． 由200)1(11)(--='x x f 知，过此点的切线方程为)()1(11110200020x x x x x x y -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-+--． 令x=1，得1100-+=x xy ，切线与直线x=1交点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+11,100x x ． 令y=x ，得120-=x y ，切线与直线y=x 的交点为)12,12(00--x x ．直线x=1与直线y=x 的交点为(1,1)． 从而所围三角形的面积为22212211121112100000=--=----+x x x x x ．所以，所围三角形的面积为定值2.变式训练4：偶函数f （x ）=ax 4+bx 3+cx 2+dx+e 的图象过点P （0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f （x ）的解析式解 ∵f（x ）的图象过点P （0，1），又∵f（x ）为偶函数，∴f（-x ）=f （x ）故ax 4+bx 3+cx 2+dx+e=ax 4-bx 3+cx 2-dx+e.∴b=0，d=0. ②∴f（x ）=ax 4+cx 2+1.∵函数f （x ）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）∴a+c+1=-1. ③∵)1('f =(4ax 3+2cx)|x=1=4a+2c ，∴4a+2c=1.由③④得a=25，c=29-函数y=f （x ）的解析式为.12925)(24+-=x x x f第2课时 导数的概念及性质1． 函数的单调性⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则)(x f 为 . （逆命题不成立）(2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f .注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数)(x f 的 ；② 求)(x f '，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来， 然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间；④ 确定)(x f '在各小开区间内的 ，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性.2．可导函数的极值⑴ 极值的概念： 设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有 （或 ），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点.⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '；② 求方程)(x f '＝0的 ；③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 ； 如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 .说明：“极值点”不是“点”，而是方程0)(/=x f 的根。
导数的概念及运算
导数的概念及运算重点难点分析：1．导数的定义、意义与性质：（1）函数的导数：对于函数f(x)，当自变量x在x0处有增量Δx，则函数y相应地有改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，这两个增量的比叫做函数y=f(x)在x0到x0+Δx之间的平均变化率，即。
如果当Δx→0时，有极限，我们说函数在x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在x0处的导数（或变化率）。
记作f'(x0)或，即。
（2）导函数：如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点处可导，这时，对于开区间(a,b)内的每一个值x0，都对应着一个确定的导数f'(x0)，这样就在开区间(a,b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在区间内的导函数，记作f'(x)或y'，即。
（3）可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续。
（4）导数的几何意义：过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数，即。
也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f'(x0)，切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0)。
2．求导数的方法：（1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：①求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)②求平均变化率③取极限，得导数。
（2）几种常见函数的导数公式：①C'=0(C为常数)；②(x n)'=nx n-1 (n∈Q)；③(sinx)'=cosx；④(cosx)'=-sinx；⑤(e x)'=e x；⑥(a x)'=a x lna⑦；⑧（3）导数的四则运算法则：①(u±v)'=u'±v'②(uv)'=u'v+uv'③（4）复合函数的导数复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。
导数的概念及基本函数的导数(理)
处连续. 故当 b=1 时, 可使 f(x) 在 x=0 处连续
y [(0+x)2+(0+x)+1]-(02+0+1) 又 lim- x =lim =lim (x+1)=1, x→0 → x→0→ x x→0→ y [a(0+x)+b]-(02+0+1) lim+ x =lim+ x x→0 → x→0 → ax+b-1 b-1 =lim x =a+lim+ x + x→0 → x→0 → 处可导. 故当 b-1=0 且 a=1 即 a=b=1 时, f(x) 在 x=0 处可导 综上所述, 处连续, 综上所述 当 b=1, a∈R 时, f(x) 在 x=0 处连续 当 a=b=1 时, ∈ f(x) 在 x=0 处可导 处可导. (2)由(1)知, f′(0)=1, 又 f(0)=1, 由 知 故曲线 y=f(x) 在点 P(0, f(0)) 处的切线方程为 y-1=x-0, 即 x-y+1=0. -
典型例题 3
已知曲线 C: y=x3-3x2+2x, 直线 l: y=kx, 且直线 l 与曲线 C 相 的方程及切点坐标. 切于点 (x0, y0)(x0≠0), 求直线 l 的方程及切点坐标 y0 解: 由已知直线 l 过原点且其斜率 k= x , ∵点 (x0, y0) 在曲线 C 上, ∴y0=x03-3x02+2x0. y0 ′ ∴ x =x02-3x0+2. 又 y′=3x2-6x+2, 0 ∴在点 (x0, y0) 处曲线 C 的切线斜率 k=y′|x=x0. ′ ∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2. 3 (∵x ) 整理得 2x02-3x0=0. 解得 x0= 2 (∵ 0≠0). 1 3 这时 y0=- 8 , k=- 4 . ∴直线 l 的方程为 y=- 1 x, 切点坐标是 ( 3 , - 3 ). -4 8 2 有关曲线的切线问题, 可考虑利用导数的几何意义. 注 有关曲线的切线问题 可考虑利用导数的几何意义 曲线 C 在某一定点处的切线是唯一的 因此斜率也是唯一的(若存在 在某一定点处的切线是唯一的, 因此斜率也是唯一的( 的话) 采用斜率相等这一重要关系, 往往都可解决这类问题. 的话), 采用斜率相等这一重要关系 往往都可解决这类问题
函数的导数与导函数的计算方法
函数的导数与导函数的计算方法函数的导数是微积分中非常重要的概念之一，它描述了函数在各个点上的变化率。
导数的计算方法有多种，本文将介绍常见的几种方法，并且讨论如何计算导函数。
一、导数的定义及基本性质导数描述了函数在某一点上的变化率，它的定义如下：对于函数y=f(x)，在点x=a处的导数可以表示为f'(a)，其定义为：f'(a) = lim┬(h→0)(f(a+h)-f(a))/h导数具有以下几个基本性质：1. 常数函数的导数为0：如果f(x) = c，其中c为常数，那么f'(x) = 0。
2. 幂函数的导数：对于幂函数f(x) = x^n，其中n为自然数，f'(x) = nx^(n-1)。
3. 求和的导数：对于两个函数f(x)和g(x)，有(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)。
二、导数的计算方法在实际计算导数时，我们可以利用一些常见的导数计算方法。
1. 函数求导法则：导数的计算可以利用函数的求导法则，包括常数乘法法则、和差法则、乘积法则和商法则。
2. 链式法则：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则计算，即dy/dx = dy/du * du/dx3. 隐函数求导：对于隐含在方程中的函数，可以通过隐函数求导法则来计算导数。
4. 参数方程求导：对于参数方程x=f(t)和y=g(t)，可以通过参数方程求导法则来计算导数。
三、导函数的计算方法导函数是指原函数的导数，为了计算导函数，是要通过导数的计算方法来求得。
导函数的计算方法如下：1. 对于常数函数，导函数为0。
2. 对于多项式函数，可以使用幂函数的导数计算方法来求导。
3. 对于指数函数和对数函数，可以使用指数导数法则和对数导数法则来求导。
4. 对于三角函数和反三角函数，可以使用三角函数的导数法则和反三角函数的导数法则来求导。
5. 对于复合函数，可以使用链式法则来计算导函数。
数学分析华师大-导数的概念
D x 0 D x D x 0
D x
(Dx0)
(Dx0)
存在, 则称此极限值为
x f ( x) 在 处的右 0
导数, (左)
f(x0) (f(x0))
即
f (x0)Dxl i0m f(x0D D xx)f(x0) y x
x0
记作
y
ox
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定理2. 函数
x yf(x)在点
§1 导数的概念 导数是微分学的核心概念, 是研究函数 与自变量关系的产物, 又是深刻研究函数性 态的有力工具. 无论何种学科, 只要涉及“变 化率”, 就离不开导数.
一、导数的概念 二、导函数 三、导数的几何意义
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一、导数的概念 一般认为, 求变速运动的瞬时速度，求已知曲线
上一点处的切线，求函数的最大、最小值，这是 微分学产生的三个源头. 牛顿和莱布尼茨就是分
Dy f (x), 其中 lim0
Dx
Dx0
D y f(x )D x D xDx0 0
yf(x)在点 x 连续 .
y
y x
注意: 函数在点 x 连续未必可导.
反例:
y x 在 x = 0 处连续 , 但不可导.
ox
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定理5.1 如果函数 f 在点 x0 可导, 则 f 在点 x0 连续. 值得注意的是函数在某点连续仅是函数在该点可
x
7 4
xx
4
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例3. 求函数
f(x)sixn的导数.
解: 令hDx,则
f (x) lim f(xh)f(x) lim sin x(h)sixn
h0