中学数学竞赛中常用的几个重要定理

数学竞赛中几个重要定理

1、 梅涅劳斯定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F 且D 、E 、F

三点共线，则FB

AF

EA CE DC BD •

•=1

2、 梅涅劳斯定理的逆定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F ，且

满足FB

AF

EA CE DC BD •

•=1，则D 、E 、F 三点共线.

【例1】已知△ABC 的重心为G ，M 是BC 边的中点，过G 作BC 边的平行线AB 边于X ，交AC

边于Y ，且XC 与GB 交于点Q ，YB 与GC 交于点P. 证明：△MPQ ∽△ABC

j M

Q

G

A

C B

X

Y P

【例2】以△ABC的底边BC为直径作半圆，分别与边AB，AC交于点D和E，分别过点D，E作BC的垂线，垂足依次为F，G，线段DG和EF交于点M.求证：AM⊥BC

【例3】四边形ABCD内接于圆，其边AB，DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q，过Q作该圆的两条切线，切点分别为E，F.求证：P，E，F三点共线.

【练习1】设凸四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，过M 作AD 的平行线分别交AB ，CD

于点E ，F ，交BC 的延长线于点O ，P 是以O 为圆心，以OM 为半径的圆上一点. 求证：∠OPF=∠OEP

【练习2】 在△ABC 中，∠A=900，点D 在AC 上，点E 在BD 上，AE 的延长线交BC 于F. 若BE ：ED=2AC ：DC ，则∠ADB=∠FDC

D

塞瓦定理：设O是△ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于N、P、M，则1=

•

•

PA

CP

NC

BN

MB

AM

塞瓦定理的逆定理：设M、N、P分别在△ABC的边AB、BC、CA上，且满足1=

•

•

PA

CP

NC

BN

MB

AM

，

则AN、BP、CM相交于一点.

【例1】B E是△ABC的中线，G在BE上，分别延长AG，CG交BC，AB于点D，F，

过D作DN∥CG交BG于N，△DGL及△FGM是正三角形.

求证：△LMN为正三角形.

G

C

L

M

E

D

F

N

【例2】在△ABC 中，D 是BC 上的点

DC BD =3

1

，E 是AC 中点.AD 与BE 交于O ，CO 交AB 于F 求四边形BDOF 的面积与△ABC 的面积的比

【练习1】设P 为△ABC 内一点，使∠BPA=∠CPA ，G 是线段AP 上的一点，直线BG ，CG 分别交边AC ，AB 于E ，F.求证：

∠BPF=∠CPE

【练习2】 在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 均为锐角.D 是BC 边BC 上的内点，且AD 平分∠BAC ，过点D 作垂线DP ⊥AB 于P ，DQ ⊥AC 于Q ，CP 于BQ 相交于K. 求证：AK ⊥BC

C

C

C

托勒密定理：四边形ABCD 是圆内接四边形，则有AB ·CD+AD ·BC=AC ·BD

【例1】 已知在△ABC 中，AB >AC ，∠A 的一个外角的平分线交△ABC 的外接圆于点E ，过E 作EF ⊥AB ，垂足为F.求证：2AF=AB -

AC

【例2】经过∠XOY 的平分线上的一点A ，任作一直线与OX 及OY 分别相交于P ，Q.

求证：OP 1+OQ

1

为定值

H

A

B

C

E

F

A

X

Y

P

O

Q

【例3】 解方程

42

-x

+

12

-x

=

x 7

【练习1】 设AF 为⊙O1与⊙O2的公共弦，点B ，C 分别在⊙O1，⊙O2上，且AB=AC ，∠BAF ，∠CAF 的平分线交⊙O1，⊙O2于点D ，E. 求证：DE ⊥AF

【练习2】⊙O 为正△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，在弧BC 上任取一点P （与B ，C

不重合）.设E ，F 分别为△PAB ，△PAC 的内心.证明：PD=

∣PE-PF ∣

西姆松定理：点P 是△ABC 外接圆周上任意一点，PD ⊥BC ，PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，D 、E 、F 为

垂足，则D 、E 、F 三点共线，此直线称为西姆松线.

【例1】过正△ABC 外接圆的弧AC 上点P 作P D ⊥直线AB 于D,作PE ⊥AC 于E,作PF ⊥BC 于F.

求证：

PF 1+PD 1=PE

1

【练习1】设P 为△ABC 外接圆周上任一点，P 点关于边BC ，AC 所在

的直线的对称点分别为P 1，P 2.求证：直线P 1P 2经过△ABC 的垂心.

C

A

B

P

E

F

D H

A

B

P1

P2

C

P