模态分析理论

模态分析理论

Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

模态分析指的是以振动理论为基础、以模态参数为目标的分析方法。首先建立结构的物理参数模型，即以质量、阻尼、刚度为参数的关于位移的振动微分方程；其次是研究其特征值问题，求得特征对（特征值和特征矢量），进而得到模态参数模型，即系统的模态频率、模态矢量、模态阻尼比、模态质量、模态刚度等参数。

特征根问题

以图3所示的三自由度无阻尼系统为例，设123m =m =m =m ，123k =k =k =k ，

图三自由度系统

其齐次运动方程为：

mz̈+kz =0（8）

其中m ，k 分别为系统的质量矩阵和刚度矩阵，

12

3m 00m 00m=0m 0=0m 000m 00m ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1

12

1222

1k -k 0k -k 0k=-k k +k -k =-k 2k -k 0

-k k 0-k k ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

，则运动方程展开式为：

¨1

1¨22¨33z m 00k k 0z 00m 0z k 2k k z 000m 0k k z 0z ⎡⎤

⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦

（9） 定义主振型

由于是无阻尼系统，因此系统守恒，系统存在振动主振型。主振型意味着各物理坐标振动的相位角不是同相（相差0o ）就是反相位（相差180o ），即同时达到平衡位置和最大位置。主振型定义如下：

()i i j ωt+i i sin ωt+=Im(e )φφi mi mi z =z z （10）

其中z i 为第i 阶频率下，各自有度的位移矢量，z mi 为第i 个特征矢量，表示第i 阶固有频率下的振型，i ω为第i 阶频率下的第i 个特征值，i φ为初始相位。 对于三自由度系统，在第i 阶频率下，等式可以写成

1m1i 2m2i i i 3m3i z z z =z sin(ωt+)z z φ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

（11）

mki z 表示第k 个自由度在第i 阶模态下的模态矩阵。

特征值

对式（10）二次求导，得

2i i i =-ωsin(ω+)φ¨

i mi z z （12）

代入齐次运动方程得

m [−ωi 2z mi sin (ωi +

i )]+k [z mi sin (ωi +i )]

=0（13）

去除sin (ωi +i )项化简得 (k −ωi 2m )z mi =0（14）

以矩阵的形式展开得：

2i 2

i mi 2i k-ωm -k 0-k 2k-ωm -k z =00-k k-ωm ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

（15） z mi 有非零解，则

2i 2

i 2i k-ωm -k 0-k 2k-ωm -k =00-k k-ωm ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

（16）

即

()234222ω-m ω+4km ω-3k m =0（17）

方程解如下：1ω=0

，2ω=±

，3ω=±。三个解对应该系统的前三阶固有频率，每一个特征根对应一个特征矢量z i ，表示对应模态下该系统的振型。

特征矢量

由式 (k −ωi 2m )z mi =0得矩阵展开形式：

2i m1i 2

i m2i 2i m3i k-ωm -k 0z -k 2k-ωm -k z =00-k k-ωm z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢

⎥⎣⎦⎣⎦（18） 展开第一行和第二行，忽略下脚标m 和i ，得

()()2i

1

2

21

i

3

k-ωm z -kz =0

-kz 2k-ωm kz

+-=（19）

得

22i 12

4

22

3i

i

2

1z k-ωm =z k z m ω-3km ω+k =z k （20）

如果设定了1z 值，则就可以求出三个特征根值下，2z 和3z 相对于1z 的位移。假设m=k=1，

一阶模态，1ω=0：2

1z =1z ，31

z =1z ，即z 1=[111]；

二阶模态，2

23k ω=m ：2

1z =0z ，31z =-1z ，即z 2=[10−1

]；

三阶模态，2

3k

ω=m ：21z =-2z ，31z =1z ，即z 3=[1−21

]。

模态矩阵

所谓模态矩阵就是指各列由各阶模态特征矢量构成的矩阵，如图4所示。

图模态矩阵

对于前面提到的三自由度系统，模态矩阵如下：

z m =[11110−21−11

]

运动方程的解耦

对于一个复杂的系统，在物理坐标系统中建立的运动方程之间存在耦合关系，因此求解起来比较麻烦，因此需要进行坐标系转化，将耦合的运动方程变为非耦合的运动方程，再将求得的结果转化为物理坐标系下的结果，运动方程解耦过程如下图5：

图运动方程解耦过程

在进行坐标变换之前需对刚度矩阵和质量矩阵进行归一化。任意上面的三自由度系统为例，由式m [−ωi 2z mi sin (ωi +i )]+k [z mi sin (ωi +i )]=0得

ωi 2mz mi =kz mi （21）

ωj 2mz mj =kz mj （22）

对式（21）左乘z mj T 得

ωi 2z mj T mz mi =z mj T

kz mi （23）

又因为

ωj 2z mj T m T =z mj T k T

因为系统对称所以，m T =m ，k T =k ，则：

ωj 2z mj T m =z mj T

k （24）

对式（24）右乘z mi

ωj 2z mj T mz mi =z mj T

kz mi （25）

则式（23）—式（25）得

(ωi 2−ωj 2)z mj T mz mi =0（26）

当(ωi 2−ωj 2)≠0时，则

z mj T

mz mi =m ji =0（27）

当(ωi 2−ωj 2)=0，即i =j ，则z mj T mz mi 可以为任何值，令

z mj T

mz mi =m ii （28）

则对质量矩阵和刚度矩阵的归一化结果如下：

m n =z m T mz m （29）

k n =z m T

kz m （30）

特征矢量的归一化

由于特征矢量只是位移之比，而不是绝对振幅，因此可以对其进行归一化处理。令z ni T mz ni =1.0，其中

z ni =

z mi

[z mi T mz mi ]12

=

z mi q i

（31）

q i =

[∑z mji (∑m jk z mki n k=1)n j=1]1

2

（32）