线性方程组和矩阵ppt课件

例如
①
x y 0,
x
y
2;
x y 0,
②
x
y
1,
x y 2;
x1 x2 0, ③ 2 x1 2 x2 0,
3x1 3x2 0.
就是三个二元线性方程 组 , 并且 ③ 是齐次方程组 .
下面讨论这三个方程组 的解 . 方程组 ① : 因其系数行列式
1 D
1 2 0 , 知其有惟一解 x y 1 ; 方程组 ② : 显然
当 AB 有意义时 , BA 不一定有意义 .
②
AB O
？
AO ,
or
BO .
③ 无消去律 AB=AC
？ B C
6、几个特殊矩阵 ① 零矩阵 O (见教材第 26 页)
② 对角矩阵 Λ diag(1, 2,, n ) (见教材第 28 页)
③ 单位矩阵 E (见教材第 28 页) ④ 对称矩阵 A AT (见教材第 37 页)
USB 扩展版 ( 图1.2 ) 中有输入和输出终端的 电路.
用
v1 i1
记录输入电压和输入电
流
(
电压
v
以V
为单位，
电流
i
以
A
为单位
)
,
用
v2 i2
记录输出电压和输出电
流.
. i1 . 输入终端 v1
电路
i2
.
输出终端 v2 .
若
v2 i2
A
v1 i1
对于这个四端网络我们 称矩阵
A
为转移矩阵 .
下图给出了一个梯形网 络 . 左边的电路称为串联电 路， 电阻为 R1 ( 单位：) ；右边的电路是并联电路 ，电阻为 R2 .
当常数项 b1 , b2 , , bm 不全为零时 , 线性方程组 (1) 叫做
n 元非齐次线性方程组
, 当b1 , b2 , , bm 全为零时 ,
(1) 式成为
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0,
a21x1 a22 x2 a2n xn 0,
(2)
am1 x1 am2 x2 amn xn 0,
这张表的研究.
Baidu Nhomakorabea
amn
bm
5、田忌赛马的故事大家都 很熟悉 ：说的是田忌和 齐王各有上等、中等、 下等马各一匹 . 但是田忌 的马在同等级马中略逊 一筹 , 双方每次出一匹马 比赛 , 比赛三场定出胜负 .
每一场比赛中 , 齐王赢加一分 , 齐王输减一分 . 每场比赛出场的马匹按 先后共有六种策略 , 即 (上、中、下) , (上、下、中) , (中、上、下) , (中、下、上) , (下、中、上) (下、上、中) 则可写出齐王的得分数 表 :
叫做 n 元齐次线性方程组 .
n 元线性方程组往往简称 为线性方程组或方程组 .
对于 n 元齐次线性方程组 (2) , x1 x2 xn 0 一定是它的解 , 这个解叫做齐次线性方 程组 (2) 的 零解
如果一组不全为零的数 是 (2) 的解 , 则它叫做齐次线性 方程组(2) 的非零解 . 齐次方程组 (2) 一定有零解 , 但不一 定有非零解 .
到站
广州 青岛 成都 拉萨
广州 0 1 1
发站 青岛
1
0
1
1 0 0
成都
0
1
0
拉萨
其中 表示有航班.
为了便于计算,把表中的
改成１
,空白地方填上 0（变定性为定量）就
得到一个数表:
0
0
1
这个数表反映了四 城市间交通联接情 况.
0
3、 电路是电子元件的神经 系统 . 参数的计算是电路
设计的重要环节 . 其依据来自两个方面，一是客观需要， 二是物理定律 .
11
不存在数 x 和 y 使 x y 1 和 x y 2 同时成立 , 故方程组 ② 无解 ; 方程组 ③ : 设 s 为任一数 , 那么 x1 x2 s 是 ③ 的解 , 从而方程组 ③ 有无限多个解 .
这样看来 , 对于线性方程组需要讨 论以下问题 : (1) 它是否有解 ? (2) 在有解时它的解是否惟 一 ? (3) 如果有多个解 , 如何求出它的所有解 ?
1、某班级同学早餐情况
姓名 周月驰 张曼羽 陈木扁
馒头 4 0 4
包子 2 0 9
鸡蛋 2 0 8
稀饭 1 0 6
为了方便，常用下面的数表表示
4 2 2 1
0 4
0 9
0 8
0 6
这个数表反映了学 生的早餐情况.
2、某航空公司在Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四城市 之间的航线图
青岛
广州
成都
拉萨
为了方便，常用下面的表表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1
a22 x2
a2n xn b2
( 1)
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
其中 aij 是第 i 个方程的第 j 个未知数的系数 , bi 是 第 i 个方程的常数项 , i 1 , 2 , , m ; j 1 , 2 , , n ,
7、记住伴随矩阵的基本性 质 A A AA A E
二、难点 矩阵的乘法及其运算律 . (教材第 31、33 页)
三、应用 矩阵乘法可表示变量间 的线性变换 .
《线性代数》同济六版
第 2 章 矩阵及其运算 第一节 线性方程组和矩阵
课件制作：黄 明
2018年9月
一、线性方程组
设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组
利用欧姆定理和楚列斯 基定律，可以得到串联 电路和并联
电路的转移矩阵分别为
1 0
R1 1
和
1 1 R2
10 .
• i1
v1
•
R1
串联电路
i2 • i2
v2
•
梯形网络
R2
并联电路
i3 •
v3
•
4、线性方程组
a11 x1 a12 x2
a21 x1 a22 x2
am1 x1 am2 x2
对于未知数的个数与方 程的个数相等的齐次线 性 方程组 , 这里先将一个结论告知 大家 , 等到后面我们 会进一步地详细说 (证)明 .
系数行列式 D 不等于 0 时 ，齐次线性方程只有零解 .
系数行列式 D 等于 0 时 ，齐次线性方程有非零解 .
以上两条结论均是充分 且必要条件 .
二、矩阵概念的引入
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
的解取决于
系数
常数项
aij i, j 1,2, ,n(m), bi i 1,2, ,m
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
a11 a12
a21
a22
am1
am 2
a1n b1
a2n
b2
对线性方程组的 研究可转化为对
本次课(§1~ §2 )的要点
一、内容
1、矩阵是一张数表 .
2、矩阵与线性变换的一一 对应 .
3、矩阵的线性运算
① ②
加法 : 对应元素相加 . 数乘 : 每个元素倍乘 .
4、矩阵的乘法 (重点)
① 可乘条件 : 左列 = 右行 ② 乘法的要领 .
5、矩阵乘法的三大特征
① 无交换律 ; AB =？BA