平稳时间序列ARMA预测法PPT演示文稿

不带周期成分
差分
平稳
结束
白噪声
ARMA模型
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建模流程
• 周期性检验：谱分析
• 谱分析方法把时间序列{yt }看成是由多种不
同频率的规则波（正弦波或余弦波）迭加 而成。在频率域上比较不同频率波的方差 大小，从而找出波动的主要周期。对某一
时间序列{yt }的谱分析，有两种方法： 一
是功率谱分析， 二是最大熵谱分析。
(h)
n
1
h
n h (xt x )(xt h x )
t源自文库1
s
s
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建模流程
• 功率谱估计法 • 第二步，计算功率谱：
S L
BL m
((0)
m 1
2
t 1
(h )(h ) cos
h ) m
BL
11 2
(L 0,m ) (L 0,m )
(h)
1 2
1 cos h 2m
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建模流程
• S L 的最大值即为主要周期。
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基本概念
• 自相关函数与偏自相关函数 ①自相关函数
• 过程Yt的第j阶自相关系数即 j j 0
，自相关函数记为ACF(j) 。
ACF(h) cov(yt ,yt h ) D(yt ) D(yt h )
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基本概念
②偏自相关函数 • 偏自相关系数*j度量了消除中间滞后项影
响后两滞后变量之间的相关关系。偏自相 关函数记为PACF(j)
• 功率谱在分析时间序列的周期时存在如下 问题：
• (1)功率谱不能兼顾高频和低频段的需要; • (2)某些短周期振动易在一些周期长度为它
们整数倍的长周期中表现出来,又混在长周 期中; • (3)所取样本较短时,不利于谱的分辩, 可能得 出的周期与实际有偏离。
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建模流程
• SPSS中的功率谱分析： • 观察谱周期图； • 做Fisher峰值检验； • 有效的峰值处就是周期；
• 协整：若两个或多个非平稳的变量序列， 其线性组合后的序列呈平稳，则称这些序 列见有协整关系。
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建模流程
• 先来看一个随机游动过程：
yt yt 1 t
• {t }为白噪声序列 • 可以看出：
E(yt ) E(y 0 1 2 t ) E(y 0 )
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基本概念
③自相关函数和偏自相关函数的联系
*1=1
*2=(2-21) (1 21)
• 2阶以上的偏自相关函数计算公式较为复杂 ，这里不再给出。可自行查阅相关书籍。
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ARMA模型
• ARMA模型 • 自回归移动平均模型（autoregressive
moving average models,简记为ARMA模型） ，由因变量对它的滞后值以及随机误差项 的现值和滞后值回归得到。 • 包括移动平均过程（MA）、自回归过程（ AR）、自回归移动平均过程（ARMA）。
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建模流程
• 平稳性检验 • 一般地，以时间序列数据为依据的实证研
究工作都必须假定有关的时间序列时平稳 的，否则回导致谬误回归问题的出现。 • 先给出两种非平稳序列现象：d阶单整和协 整，这两类非平稳序列经过变换可以达到 平稳。
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建模流程
• d阶单整：是指非平稳序列经过d阶差分后 可以达到平稳。
• 对所有 s t
• 都有
E(ys ) E(yt )
cov(ys ,yt ) 0
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基本概念
• 白噪声序列式最简单的平稳序列，在不同 点上的协方差为0。该特性称之为“无记忆 性”，意味着人们无法根据其过去的特点 推断其未来的特点，其变化没有规律可循 。
• 在时间序列的分析中，当模型的残差序列 为白噪声序列时，可认为模型达到了较好 的效果，剩余的残差中已没有可提取的信 息。
MA(q)过程具有可逆性 • 平稳性和可逆性的概念在数学语言上是完
全等价的，所不同的是，前者是对AR过程 而言的，而后者是对MA过程而言的。
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ARMA模型
• 以上三个模型都要满足一下条件： • 第一，平稳性。序列时平稳的。 • 第二，残差符合白噪声。 • 第三，AR的平稳与MA的可逆
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ARMA模型
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建模流程
• 功率谱分析
• 在时域中, 如果假设标准化时间函数yt 自相
关系数为 (h)则功率谱 s()与自相关系数
• (h)通过傅里叶变换可建立如下关系：
(h )
1
2
s()eint hd
s() (h )e int hdh
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建模流程
• 功率谱估计法 • 第一步，计算样本自相关系数：
• ARIMA模型 • 将ARMA模型推广到非平稳的序列，就是
ARIMA模型。 • 非平稳的序列通过若干次处理，如：取对
数，差分等可化为平稳的序列。 • 经过d阶差分后得到平稳序列的ARMA(p,q)
模型就是原序列的ARIMA(p,d,q)模型
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建模流程
• ARIMA的建模流程图：
原始序列
周期
带周期成分
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ARMA模型
• ARMA（p,q）模型 • 将AR模型与MA模型连起来：
yt 1yt 1 2yt 2 p yt p t 1t 1 2t 2 qt q
• 其中为t 为白噪音过程。
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ARMA模型
• AR、MA模型的相互转化 • 结论一：平稳的AR(p)过程可以转化为一个
MA(∞)过程，可采用递归迭代法完成转化 • 结论二：特征方程根都落在单位圆外的
cov(yt ,y y k ) cov(yt m ,yt m k )
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基本概念
• 如果时间序列式平稳的，我们就可以用具 有确定参数方程将时间序列模型化。并且 利用以往的序列对模型的参数进行估计。
• ARMA模型是一个研究平稳时间序列的模型
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基本概念
• 白噪声序列： • 序列由独立同分布的随机变量构成。
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ARMA模型
• AR（p）模型 • 自回归（AR）模型表示为：
yt 1yt 1 2yt 2 p yt p t
• 其中为 t 为白噪音过程。
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ARMA模型
• MA（q）模型 • 移动平均（MA）模型表示为：
yt t 1t 1 2t 2 qt q
• 其中为 t 为白噪音过程。
平稳时间序列预测法
——ARMA模型的建立
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目录
基本概念
ARMA模型
建模流程
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基本概念
• 平稳时间序列： • 设时间序列来自一个随机过程，如果此随
机过程的随机特征不随时间变化，则我们 称过程是平稳的。 • 实际应用中一般要求平稳性为“宽平稳” 。
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基本概念
• 宽平稳：
E(yt ) E(yt m )