复变函数与积分变换留数练习题

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复变函数积分变换复习卷及答案

复变函数积分变换复习卷及答案

复变函数复习卷及参考答案一、填空题1、复数1z i =+的三角表示式=2(cossin )44i pp+;复指数表示式=42ie p 。

2、复数()13z i =+的z =2;23Argz k pp =+;arg 3z p=;13z i =-。

3、62111i i i -æö==-ç÷+èø。

10125212131i i i i i +-=+-=-。

4、()()31123513253x y i x i y i x y +=ì++-=-Þí-=-î,求解方程组可得,45,1111x y -==。

5、()()231,f z z z =-+则()61f i i ¢-=--。

6、()n3L i -ln 226i k i pp =-+;ln()ie 12i p=+。

7、()(2)1321,(13)2ik i iiee i p p p -++==+。

8、32282(cossin)33k k i p pp p++-=+;0,1,2k =。

1224(4)2i i -==±。

9、1sin 2e e i i --=;221cos ()22i e e pp p -=+;10 、21024z dzz z ==++ò ;1212z dz i z p ==-ò 。

11、设31cos ()zf z z -=,则0z =是(一级极点);31cos 1Re [,0]2z s z -=。

1()s i n f z z=,0z =是本性奇点。

二、判断下列函数在何处可导?何处解析?在可导处求出导数。

(1)()22f z x iy=+;解:22,,2,0,0,2u u v v u x v y x y xyxy¶¶¶¶======¶¶¶¶,一阶偏导连续,因此当,x y y x u v u v ==-时,即x y =时可导,在z 平面处处不解析。

复变函数与积分变换试题和答案

复变函数与积分变换试题和答案

复变函数与积分变换试题(一)一、填空(3分×10)1.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。

2.-8i得三个单根分别为:、、。

3.Lnz在得区域内连续。

4.得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。

5.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。

6. ﻩﻩ。

7.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。

8.幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。

9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。

10.若f(t)满足拉氏积分存在条件、则L [f(t)]= ﻩﻩﻩ。

二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)=0。

三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2.C:绕点i一周正向任意简单闭曲线。

五、(10分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。

1.2.六、证明以下命题:(5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。

(2)七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0得解y (t )。

八、(10分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案(一)一、1.ﻩﻩ、ﻩ ﻩ2、ﻩ-i ﻩﻩ2iﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴 4、 空集5、ﻩ2z ﻩ6.0 7、将常形域映为角形域ﻩ8、 角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ10、 二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0)=0ﻩﻩﻩﻩc =0(3分)∴ﻩﻩ(2分)三、解:原式=(2分)ﻩ(2分)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分)(=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(3分) z 1=0 ﻩz2=1ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2.解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分)(分)(分)( ﻩﻩ(2分) ﻩ2.解: (1分)ﻩ(2分)六、1.解:∵ﻩ(3分)ﻩ∴结论成立 (2)解:∵ﻩ(2分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴(2分)七、解:∵ﻩﻩ(3分)S (2)-(1):∴ (3分)∴八、解:①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ10分复变函数与积分变换试题(二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是f(z)在D 内解析得(ﻩ ﻩ)条件。

复变函数与积分变换模拟试题

复变函数与积分变换模拟试题

模拟试卷一一.填空题1. =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-711i i . 2. I=()的正向为其中0,sin >=-⎰a z c dz z ez cz,则I= .3. z1tan能否在R z <<0内展成Lraurent 级数? 4.其中c 为2=z 的正向:dz zz c1sin2⎰= 5. 已知()ωωωsin =F ,则()t f =二.选择题1.()()z z z f Re =在何处解析(A) 0 (B)1 (C)2 (D)无 2.沿正向圆周的积分.dz z zz ⎰=-221sin = (A)21sin i π. (B) 0. (C)1sin i π. (D)以上都不对. 3.()∑+∞-∞=--n nnz 14的收敛域为(A) .4141<-<z . (B)e z <-<21 (C) 211<-<z . (D)无法确定 4. 设z =a 是()z f 的m 级极点,则()()zf z f '在点z =a 的留数是 . (A) m. (B) -2m. (C) -m. (D) 以上都不对.三.计算题1.()iv u z f +=为解析函数,322333y xy y x x v u --+=-,求u2.设函数()z f 与分别以z=a 为m 级与n 级极点,那么函数()()z g z f .在z=a 处极点如何? 3.求下列函数在指定点z 0处的Taylor 级数及其收敛半径。

()1,102-==z z z f 4.求拉氏变换()t t f 6sin =(k 为实数)5. 求方程te y y y -=+'+''34满足条件()()100='=y y 的解.四.证明题1.利用e z 的Taylor 展式,证明不等式zzz e z ee ≤-≤-112.若()=ϖF ℱ()[]t f (a 为非零常数) 证明:ℱ()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛=a F a at f ϖ1模拟试卷一答案一.填空题1. i2. 03.否 4.1/6- 5. ()0.5,10,10.25,1t f t t t ⎧<⎪=>⎨⎪=⎩二.选择题1. (D)2. (A) 3.(A) 4. (C) 三.计算题1. 233u x y y c =-+2.函数()()z g z f 在z=a 处极点为m+n 级3.()()121111n n f z n z R z ∞-===+=∑4. 2636s + 5. ()3371442t t ty t e e te ---=-++.四.证明题1 .略2. 略模拟试卷二一.填空题1. C 为1=z 正向,则⎰cdz z =2. ()()2323lxy x i y nx my z f +++=为解析函数,则l, m, n 分别为 . 3.2Re ,0shz s z ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦4. 级数()∑∞=-122n n n z .收敛半径为5. δ-函数的筛选性质是二.选择题1. ()()1-=-t u e t f t,则ℒ()f t =⎡⎤⎣⎦(A) .()11---s e s (B) ()11---s e s (C)2 ()11---s e s (D) 以上都不对2.ℱ()[]()ωF t f =,则ℱ()()[]=-t f t 2 (A)()()ωϖF F 2-' . (B)()()ωϖF F 2-'-. (C) ()()ωϖF F i 2-'. (D) 以上都不对 3.C 为3=z 的正向,().2103⎰-c zz dz(A) .1 (B)2 (C)0 (D) 以上都不对 4. 沿正向圆周的积分dz z zz ⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-222sin π =(A).0. (B).2 (C).2+i. (D). 以上都不对.三.计算题1. 求sin(3+4i). 2.计算()()⎰--cb z a z dz,其中a 、b 为不在简单闭曲线c 上的复常数,a ≠b. 3.求函数()1,110=+-=z z z z f 在指定点z 0处的Taylor 级数及其收敛半径。

《复变函数与积分变换》习题册

《复变函数与积分变换》习题册

《复变函数与积分变换》习题册合肥工业大学《复变函数与积分变换》校定平台课程建设项目资助2018年9月《复变函数与积分变换》第一章习题1.求下列各复数的实部、虚部、模、辐角和辐角主值:(1)122345i i i i +---; (2)312⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.2. 将下列复数写成三角表达式和指数形式:(1)1; (2)21i i+.3. 利用复数的三角表示计算下列各式:(1; (2)103⎛⎫4. 解方程310z +=.5. 设12cos z zθ-+=(0,z θ≠是z 的辐角),求证:2cos n n z z n θ-+=.6.指出满足下列各式的点z 的轨迹或所在范围.(1)arg()4z i π-=;(2)0zz az az b +++=,其中a 为复数,b 为实常数. (选做)7.用复参数方程表示曲线:连接1i +与i 41--的直线段.8.画出下列不等式所确定的图形,指出它们是否为区域、闭区域,并指明它是有界的还是无界的?是单连通区域还是多连通区域?并标出区域边界的方向.(1) 11,Re 2z z <≤;(2) 0Re 1z <<;9.函数z w 1=把下列z 平面上的曲线映射成w 平面上怎么样的曲线? (1)224x y +=; (2)x y =; (3)1=x .10.试证:0Re limz z z→不存在.《复变函数与积分变换》第二章习题1.用导数定义求z z f Re )(=的导数.2.下列函数在何处可导,何处不可导?何处解析,何处不解析?(1)z z f 1)(=; (2))32233(3)(y y x i xy x z f -+-=;3.试讨论y ix xy z f 22)(+=的解析性,并由此回答:若复变函数),(),()(y x iv y x u z f +=中的),(y x u 和),(y x v 均可微,那么iv u z f +=)(一定可导吗?4.设3232()(f z my nx y i x lxy =+++)为解析函数,试确定,,l m n 的值.5.设()f z 在区域D 内解析,试证明在D 内下列条件是彼此等价的:(1)()f z =常数; (2)Re ()f z =常数; (3)()f z 解析.6.试解下列方程:(1)1ze =+; (2)0cos =z ; (3)0cos sin =+z z .7.求下列各式的值:(1)Ln(34)i -+; (2)i -33; (3)i e +2.8.等式33Ln 3Ln z z =是否正确?请给出理由.《复变函数与积分变换》第三章习题3.1复积分的概念与基本计算公式1. 计算积分dz ix y x C )(2⎰+-,其中C 为从原点到点1+i 的直线段.2.计算积分dz z zC ⎰的值,其中C 为2=z3.当积分路径是自i -沿虚轴到i ,利用积分性质证明:2)(22≤+⎰-dz iy x i i3.2柯西古萨基本定理1.计算积分dz z C ⎰1,其中C 为2=z2. 计算积分dz z e z C z)sin (⎰⋅-,其中C 为a z =.3.3基本定理的推广1. 计算积分dz z e Cz⎰,其中C 为正向圆周2=z 与负向圆周1=z 所组成。

复变函数与积分变换习题册(含答案)

复变函数与积分变换习题册(含答案)

第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。

2、k 为任意整数,则34+k 的值为 。

3、复数i i (1)-的指数形式为 。

4、设b a ,为实数,当=a , b= 时,).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题(正确的划√,错误的划 ) 1、2121z z z z +=+ ( )2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= ( )3、()()i i i 125432+=++ ( ) 三、选择题1.当ii z -+=11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1-2.复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是( )(A ))]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i (B ))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i (C ))]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i (D ))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3.使得22z z =成立的复数z 是( )(A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 4.若θi re i i=+--2)1(3,则( ) (A )πθ-==3arctan ,5r (B )πθ-==3arctan ,210r (C )3arctan ,210-==πθr (D )3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限,则z arg 等于( )。

(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11,求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时,等式()i iy i x +=+-++13531成立?3、求复数ii-+23的辐角。

复变函数与积分变换第五章留数测验题与答案

复变函数与积分变换第五章留数测验题与答案

第五章 留 数一、选择题: 1.函数32cot -πz z在2=-i z 内的奇点个数为 ( )(A )1 (B )2 (C )3 (D )42.设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点,则a z =为函数)()(z g z f 的( )(A )可去奇点 (B )本性奇点 (C )m 级极点 (D )小于m 级的极点3.设0=z 为函数zz e xsin 142-的m 级极点,那么=m ( )(A )5 (B )4 (C)3 (D )2 4.1=z 是函数11sin)1(--z z 的( ) (A)可去奇点 (B )一级极点 (C ) 一级零点 (D )本性奇点5.∞=z 是函数2323z z z ++的( )(A)可去奇点 (B )一级极点 (C ) 二级极点 (D )本性奇点 6.设∑∞==)(n n n z a z f 在R z <内解析,k 为正整数,那么=]0,)([Re k zz f s ( ) (A )k a (B )k a k ! (C )1-k a (D )1)!1(--k a k7.设a z =为解析函数)(z f 的m 级零点,那么='],)()([Re a z f z f s ( ) (A)m (B )m - (C ) 1-m (D ))1(--m 8.在下列函数中,0]0),([Re =z f s 的是( )(A ) 21)(z e z f z -= (B )z z z z f 1sin )(-=(C )z z z z f cos sin )(+=(D) ze zf z111)(--= 9.下列命题中,正确的是( ) (A ) 设)()()(0z z z z f mϕ--=,)(z ϕ在0z 点解析,m 为自然数,则0z 为)(z f 的m 级极点.(B ) 如果无穷远点∞是函数)(z f 的可去奇点,那么0]),([Re =∞z f s (C ) 若0=z 为偶函数)(z f 的一个孤立奇点,则0]0),([Re =z f s (D ) 若0)(=⎰c dz z f ,则)(z f 在c 内无奇点10. =∞],2cos[Re 3ziz s ( ) (A )32-(B )32 (C )i 32(D )i 32-11.=-],[Re 12i e z s iz ( )(A )i +-61 (B )i +-65 (C )i +61 (D )i +65 12.下列命题中,不正确的是( )(A )若)(0∞≠z 是)(z f 的可去奇点或解析点,则0]),([Re 0=z z f s (B )若)(z P 与)(z Q 在0z 解析,0z 为)(z Q 的一级零点,则)()(],)()([Re 000z Q z P z z Q z P s '= (C )若0z 为)(z f 的m 级极点,m n ≥为自然数,则)]()[(lim !1]),([Re 1000z f z z dzd n z z f s n n nx x +→-=(D )如果无穷远点∞为)(z f 的一级极点,则0=z 为)1(zf 的一级极点,并且)1(lim ]),([Re 0zzf z f s z →=∞13.设1>n 为正整数,则=-⎰=211z ndz z ( ) (A)0 (B )i π2 (C )niπ2 (D )i n π2 14.积分=-⎰=231091z dz z z ( ) (A )0 (B )i π2 (C )10 (D )5i π 15.积分=⎰=121sin z dz z z ( ) (A )0 (B )61- (C )3i π- (D )i π-二、填空题1.设0=z 为函数33sin z z -的m 级零点,那么=m .2.函数zz f 1cos1)(=在其孤立奇点),2,1,0(21ΛΛ±±=+=k k z k ππ处的留数=]),([Re k z z f s .3.设函数}1exp{)(22z z z f +=,则=]0),([Re z f s 4.设a z =为函数)(z f 的m 级极点,那么='],)()([Re a z f z f s . 5.双曲正切函数z tanh 在其孤立奇点处的留数为 . 6.设212)(z zz f +=,则=∞]),([Re z f s . 7.设5cos 1)(zzz f -=,则=]0),([Re z f s . 8.积分=⎰=113z zdz e z.9.积分=⎰=1sin 1z dz z . 10.积分=+⎰∞+∞-dx x xe ix21 . 三、计算积分⎰=--412)1(sin z z dz z e zz .四、利用留数计算积分)0(sin 022>+⎰a a d πθθ五、利用留数计算积分⎰∞+∞-+++-dx x x x x 9102242六、利用留数计算下列积分: 1.⎰∞++0212cos sin dx x xx x 2.⎰∞+∞-+-dx x x 1)1cos(2七、设a 为)(z f 的孤立奇点,m 为正整数,试证a 为)(z f 的m 级极点的充要条件是b z f a z m az =-→)()(lim ,其中0≠b 为有限数.八、设a 为)(z f 的孤立奇点,试证:若)(z f 是奇函数,则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s -=;若)(z f 是偶函数,则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s --=. 九、设)(z f 以a 为简单极点,且在a 处的留数为A ,证明Az f z f az 1)(1)(lim2=+'→. 十、若函数)(z Φ在1≤z 上解析,当z 为实数时,)(z Φ取实数而且0)0(=Φ,),(y x f 表示)(iy x +Φ的虚部,试证明)()sin ,(cos cos 21sin 202t d f tt t Φ=+-⎰πθθθθθπ)11(<<-t答案第五章 留 数一、1.(D ) 2.(B ) 3.(C ) 4.(D ) 5.(B )6.(C ) 7.(A ) 8.(D ) 9.(C ) 10.(A ) 11.(B ) 12.(D ) 13.(A ) 14.(B ) 15.(C )二、1.9 2.2)2()1(π+π-k k 3.0 4.m - 5.16.2- 7.241-8.12i π 9.i π2 10.e i π 三、i π-316. 四、12+πa a .五、π125.六、1.)(443e e e -π 2.e1cos π。

复变函数与积分变换习题册(含答案)

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第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。

2、k 为任意整数,则34+k 的值为 。

3、复数i i (1)-的指数形式为 。

4、设b a ,为实数,当=a , b= 时,).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题(正确的划√,错误的划 ) 1、2121z z z z +=+ ( )2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= ( )3、()()i i i 125432+=++ ( ) 三、选择题1.当ii z -+=11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1-2.复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是( )(A ))]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i (B ))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i (C ))]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i (D ))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3.使得22z z =成立的复数z 是( )(A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 4.若θi re i i=+--2)1(3,则( ) (A )πθ-==3arctan ,5r (B )πθ-==3arctan ,210r (C )3arctan ,210-==πθr (D )3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限,则z arg 等于( )。

(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11,求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时,等式()i iy i x +=+-++13531成立?3、求复数ii-+23的辐角。

第五章_留数(答案)

第五章_留数(答案)
3 2z z3 4. z 是函数 的 z2
(A)可去奇点 (B)一级极点 (C)二级极点

1 z z (1 3 z sin z 2!
2
)
[B]
(D)本性奇点
3 2z z3 3 2 1 = 2 z 3 2 2 以 =0为一阶极点 2 z z z
2.设 z 0 为函数
z z
3 3
3 5
3!
5!

)
z 9 z15 3! 5!
2
z9 (

1 z6 3! 5!
)
sin z 的 n 级极点,那么 n z3
三、解答题 1.下列函数在有限点处有些什么奇点?如果是极点,指出它的级: (1)
1 z z z 1
ez = z2
2
1+z 2 +
z4 + 2 !
=0为其本性奇点,从而z 为原函数的本性奇点.
注 在本题中,由于级数的收敛域是0 z ,从而可以直接让函数在z 0点展开. 但在上一道题中,必须先做变量替换 1 ,才可进行展开. z
e z e z 3. z 0 是函数 (sin z sh z 2 z ) 的几级极点?( sh z ) 2
3 2
1 1 解:显然,3 2 = 的奇点有z 1, z 1. z z z 1 ( z 1)2 ( z 1) 其中z 1是其二阶极点;z 1是其一阶极点.
1
(2) e z 1
解:e 可能的奇点为z 1. e z 1 1
1
1 z 1
1 1 z 1 2!( z 1) 2

复变函数与积分变换第五章留数测验题与答案

复变函数与积分变换第五章留数测验题与答案

第五章 留 数一、选择题: 1.函数32cot -πz z在2=-i z 内的奇点个数为 ( )(A )1 (B )2 (C )3 (D )42.设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点,则a z =为函数)()(z g z f 的( )(A )可去奇点 (B )本性奇点(C )m 级极点 (D )小于m 级的极点 3.设0=z 为函数zz ex sin 142-的m 级极点,那么=m ( ) (A )5 (B )4 (C)3 (D )2 4.1=z 是函数11sin)1(--z z 的( ) (A)可去奇点 (B )一级极点 (C ) 一级零点 (D )本性奇点5.∞=z 是函数2323z z z ++的( )(A)可去奇点 (B )一级极点 (C ) 二级极点 (D )本性奇点 6.设∑∞==)(n n n z a z f 在R z <内解析,k 为正整数,那么=]0,)([Re k zz f s ( ) (A )k a (B )k a k ! (C )1-k a (D )1)!1(--k a k 7.设a z =为解析函数)(z f 的m 级零点,那么='],)()([Re a z f z f s ( ) (A)m (B )m - (C ) 1-m (D ))1(--m 8.在下列函数中,0]0),([Re =z f s 的是( )(A ) 21)(z e z f z -= (B )z z z z f 1sin )(-=(C )z z z z f cos sin )(+=(D) ze zf z111)(--= 9.下列命题中,正确的是( ) (A ) 设)()()(0z z z z f mϕ--=,)(z ϕ在0z 点解析,m 为自然数,则0z 为)(z f 的m 级极点.(B ) 如果无穷远点∞是函数)(z f 的可去奇点,那么0]),([Re =∞z f s (C ) 若0=z 为偶函数)(z f 的一个孤立奇点,则0]0),([Re =z f s (D ) 若0)(=⎰c dz z f ,则)(z f 在c 内无奇点10. =∞],2cos[Re 3ziz s ( ) (A )32-(B )32 (C )i 32(D )i 32-11.=-],[Re 12i e z s iz ( )(A )i +-61 (B )i +-65 (C )i +61 (D )i +65 12.下列命题中,不正确的是( )(A )若)(0∞≠z 是)(z f 的可去奇点或解析点,则0]),([Re 0=z z f s (B )若)(z P 与)(z Q 在0z 解析,0z 为)(z Q 的一级零点,则)()(],)()([Re 000z Q z P z z Q z P s '= (C )若0z 为)(z f 的m 级极点,m n ≥为自然数,则)]()[(lim !1]),([Re 1000z f z z dzd n z z f s n n nx x +→-=(D )如果无穷远点∞为)(z f 的一级极点,则0=z 为)1(zf 的一级极点,并且)1(lim ]),([Re 0zzf z f s z →=∞13.设1>n 为正整数,则=-⎰=211z ndz z ( ) (A)0 (B )i π2 (C )niπ2 (D )i n π2 14.积分=-⎰=231091z dz z z ( )(A )0 (B )i π2 (C )10 (D )5i π 15.积分=⎰=121sin z dz z z ( ) (A )0 (B )61- (C )3i π- (D )i π-二、填空题1.设0=z 为函数33sin z z -的m 级零点,那么=m .2.函数zz f 1cos1)(=在其孤立奇点),2,1,0(21 ±±=+=k k z k ππ处的留数=]),([Re k z z f s .3.设函数}1exp{)(22z z z f +=,则=]0),([Re z f s4.设a z =为函数)(z f 的m 级极点,那么='],)()([Re a z f z f s . 5.双曲正切函数z tanh 在其孤立奇点处的留数为 . 6.设212)(z zz f +=,则=∞]),([Re z f s . 7.设5cos 1)(z zz f -=,则=]0),([Re z f s . 8.积分=⎰=113z zdz e z.9.积分=⎰=1sin 1z dz z . 10.积分=+⎰∞+∞-dx x xe ix21 . 三、计算积分⎰=--412)1(sin z z dz z e zz .四、利用留数计算积分)0(sin 022>+⎰a a d πθθ五、利用留数计算积分⎰∞+∞-+++-dx x x x x 9102242 六、利用留数计算下列积分: 1.⎰∞++0212cos sin dx x xx x 2.⎰∞+∞-+-dx x x 1)1cos(2 七、设a 为)(z f 的孤立奇点,m 为正整数,试证a 为)(z f 的m 级极点的充要条件是b z f a z m az =-→)()(lim ,其中0≠b 为有限数.八、设a 为)(z f 的孤立奇点,试证:若)(z f 是奇函数,则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s -=;若)(z f 是偶函数,则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s --=. 九、设)(z f 以a 为简单极点,且在a 处的留数为A ,证明Az f z f az 1)(1)(lim2=+'→. 十、若函数)(z Φ在1≤z 上解析,当z 为实数时,)(z Φ取实数而且0)0(=Φ,),(y x f 表示)(iy x +Φ的虚部,试证明)()sin ,(cos cos 21sin 202t d f t t t Φ=+-⎰πθθθθθπ)11(<<-t答案第五章 留 数一、1.(D ) 2.(B ) 3.(C ) 4.(D ) 5.(B )6.(C ) 7.(A ) 8.(D ) 9.(C ) 10.(A ) 11.(B ) 12.(D ) 13.(A ) 14.(B ) 15.(C )二、1.9 2.2)2()1(π+π-k k3.0 4.m - 5.16.2- 7.241-8.12i π 9.i π2 10.ei π 三、i π-316. 四、12+πa a .五、π125. 六、1.)(443e e e -π 2.e1cos π。

复变函数与积分变换练习题带答案(1)

复变函数与积分变换练习题带答案(1)

f (t) = 1 + F () eitd 建立的 F () 与 f (t) 之间的对应称作傅里叶逆变换。
2π −
22.傅里叶逆变换是指由表达式 f (t) = 1 + F () eitd 建立起来的 F () 到 f (t) 之间
2π −
的对应.
23.若
f
(t)
= 3t2
+ tet
+ sint ,则函数
z2 − 3z + (z − 4)2
2dz
=
10πi
.
8. 设 C 为单位圆周 z = 1,则 d z 2 Cz
9. 设 C 为从 z = 0到 z =1+ i 的直线段,则 z d z = i 。 C
10. 设 C 为从 (0,1) 到 (1,1) 的直线段,则 z Re(z) d z = 1 + 1 i
|z
+i|=
(√)
3. 设 C 是一条简单正向闭曲线, f (z) 在以 C 为边界的有界闭区域 D 上解析, z0 为 D 内任
一点,那么
C
f (z) z − z0
d
z
=
2 if
( z0
)

(√)
4. 设 f (z) 在简单正向闭曲线 C 及其所围区域 D 内处处解析, 那么 f (z) 在 D 内具有 2 阶
解:
C
的方程为
x y
= =
t, t,0
t
1
,即,
z
=
t
+ it,0
t
1
,
dz =(1+i)dt
于是,原式= 1t(1+ i)dt = 1+ i .

复变函数与积分变换试题及答案4

复变函数与积分变换试题及答案4

复变函数与积分变换试题及答案4一、填空题(每空2分,共20分) 1、复数i 31+的主幅角为3π。

2、复数i +3与复数i 32+乘积的主幅角为 23arctan 31arctan +。

3、复数i 31+-的三角表示为:)32sin 32(cos 2ππ+4、函数122+z z的解析区域为:i z ±≠。

5、=+)31(i e πe -6、自原点到i +1的直线上,积分?+=i iydz 10i --17、级数∑∞=+-121])[(n nn i 的收敛性为发散。

8、幂级数∑∞=13n n n z 的收敛半径为319、函数)1(sin 2ze z z-的全部奇点为∞=,2,0i k z π(答对一个给1分)。

10、函数1 +z e z在1-=z 处的留数为 1-e二、计算或证明(每小题10分,共80分)1、证明函数iy x z f +=2)(处处不解析证明:因为y v x u ==,2(3分);1,0,0,2=??=??=??=??y v x v y u x x u (3分);当21=x 时,C —R 条件满足,函数只在直线21=x 可导(3分);于是)(z f 在复平面处处不解析。

(2分) 2、证明 1s i n s i n22=+z z 证明:)(21s i n iz iz e e i z--=(2分);)(21cos iz iz e e z -+=(2分);)2(41)2(41cos sin 222222+++-+-=+--z i z i z i z i e e e e z z (4分)=1(2 分);3、计算积分dz e iz ?+20)2(解:函数2+z ze 的一个原函数为z e z 2+(4分);原式=i z z e 20|)2(+(4分)=)142-+i e i(2分)。

4、在+∞<<="" p="">)1(12-+z z z 成洛朗级数解:)1(1112)1(123-+-=-+z z z z z z =)11(11)11(122zz z z-+-=∑∑∞=∞=+0201112n nn n zz z z (6分) 5.求函数12+z z在有限奇点处的留数解:1)(2+=z zz f 有两个有限远奇点:i z i z =-=21,;且均为一阶极点;)(lim]),([Re i z z i z f s i z -=--→=21;同样可求21]),([Re =i z f s (2 分)。

复变函数与积分变换试题和答案

复变函数与积分变换试题和答案

复变函数与积分变换试题(一)1.一、填空(3 分×10)1.ln(-1- 3 i ) 的模 .幅角 。

2.-8i 的三个单根分别为: . . 。

3.Ln z 在的区域内连续。

4. f ( z ) = z 的解极域为: 。

5. f (z ) = x 2 - y 2 + 2xyi 的导数 f (z ) =。

7.指数函数的映照特点是: 。

8.幂函数的映照特点是: 。

9.若F () =F [f (t )].则 f (t )= F -1 f [()] 。

10.若f (t )满足拉氏积分存在条件.则 L [f (t )]=二、(10 分)-1x 2+ 1 y 2.求函数u (x ,y )使函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )为解析函数.且 f (0)=0。

、(10 分)应用留数的相关定理计算dz|z |=2 z 6(z -1)(z -3)四、计算积分(5 分×2)dz |z |=2 z ( z - 1)6. Re ssin 3z ,0 z 3已知v (x , y ) =2.c(z co-s i z)3 C:绕点i一周正向任意简单闭曲线。

五、(10 分)求函数f ( z) =z(z1-i)在以下各圆环内的罗朗展式。

1.0 | z - i | 12.1 | z - i | +六、证明以下命题:(5 分×2)(1)(t - t )与e-iwt o构成一对傅氏变换对。

+(2)+e-i t dt=2()-x + y + z = 1七、(10分)应用拉氏变换求方程组x + y+z = 0满足x(0)=y(0)=z(0)=0的解y + 4z = 0y(t)。

八、(10 分)就书中内容.函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案(一)= 2i [-1+1] =02 分)一、1. 3. 8.二、解: 2 4 - ln 2 2 + 2. arctg 3 + 2k9 ln 2Z 不取原点和负实轴 角形域映为角形域 v u = - x = - x y 2. 2i 3 -i 、解: 四、 4. 空集 5. 2z 6. 1 +9. 1 +F ()e i d 2 -v =y =y f (z )=i - x + y +xy +c 7.将常形域映为角形域 10. 0+f (t )e -st dt ∵f (0)=0 c =0 ∴ f (z ) = xy - ( x - y ) = - ( x 2原式=(2 分) 2i Re s k =1 42 分)= -2i Re s k =3 Re sRe s,3z 6(z -1)(z -3),z 6(z -1)(z -3)u ∴ u = xy + c x 3 分) - y + 2xyi ) = z 6(z -1)(z -3) kz 6(z -1)(z -3) k(2分)3612= (2分)Re s 5 分) -2i z 2 2 分)z 3 z 1 = 0 z 2 =3 z 4 =1 = 1∴原式=(2分) 2i3 62=-36 i21.解:原式 = 2i Re s k =11 z (z -1),zk16(1-1)(1-3)z 2,0 z6 z z3 分) z 1=0z 2=1=0八、解:①定义; ②C-R 充要条件 Th ; ③v 为 u 的共扼函数 10 分1 +2)解:∵ 1+2()e -i t dw =e -i t2 -S (2)-(1):∴Y (t )=1-12e t -12e -t =1-cht2.解: 原式 = cos z 2! z =i = i (- cos z ) = -i cos i = -ich 1 五、1.解:f ( z ) (1分)( z - i ) z - i + i 1分)(z 1-i ) 11 i 1+ z-iin =01分)z1- i1in - 1n = i (z -i )n -1 = i (z -i )n2 分)n =0 n =-12. 解: f (z )1分)=(z 1- i )i + ( z - i )1分)11+1 分)1 (z - i )2n =01 1=1n (z -1i )n +2n =0 i n -i n (z -i )n -2 (2 分) n =0六、1.+ +(t -t )e -i tdt = e--i t t =t =e -it3 分) ∴结论成立++e -i t dt = 2() -(2 分)sX (s )+Y (s )+sZ (s )= 1S (1)X (s )+sY (s )+Z (s ) = 0 (2) (3 分) Y (s )+4sZ (s ) = 0(3)∴ 2( w ) 与 1 构成傅氏对七、解:∵∴Y (s )=s21-1s 2 -1= s - 2s -1+ s +13 分)=1=02 分)复变函数与积分变换试题(二)一、填空(3 分×10)7.若 z 0为 f (z )的 m 级极点.则Re s [ f (z ),z ]=( )。

复变函数有积分变换习题

复变函数有积分变换习题

1=5. 计算下列积分.(1)ctan πd z z ⎰ ,n 为正整数,c 为|z |=n 取正向.解:cc sin πtan πd d cos πzz z z z=⎰⎰.为在c 内tan πz 有 12k z k =+(k =0,±1,±2…±(n -1))一级极点由于()()2sin π1Res ,πcos πk z kzf z z z =⎡⎤==-⎣⎦'∴()c 1tan πd 2πi Res ,2πi 24i πk kz z f z z n n ⎛⎫=⋅⎡⎤=⋅-⋅=- ⎪⎣⎦⎝⎭∑⎰ (2) ()()()10cd i 13zz z z +--⎰ c :|z |=2取正向. 解:因为()()()101i 13z z z +--在c 内有z =1,z =-i 两个奇点.所以()()()()[]()[]()()[]()[]()()10c10d 2πi Res ,i Res ,1i 132πi Res ,3Res ,πi3i zf z f z z z z f z f z =⋅-++--=-⋅+∞=-+⎰6. 计算下列积分. (1)π0cos d 54cos m θθθ-⎰因被积函数为θ的偶函数,所以ππ1cos d 254cos m I θθθ-=-⎰令π1π1sin d 254cos m I θθθ-=-⎰则有i π1π1e i d 254cos m I I θθθ-+=-⎰设i e z θ= d 1d i z z θ= 2os 12c z zθ+=则()121211d i 2i 15421d 2i 521m z m z z zI I z z z z z z ==+=⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-+⎰⎰被积函数()()2521m zf z z z =-+在|z |=1内只有一个简单极点12z = 但()()[]12211Res ,lim232521mmz z f z z z →⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⋅'-+ 所以111πi 2πi 2i 3232m mI I +=⋅⋅=⋅⋅ 又因为π1π1sin d 254s 0co m I θθθ-=-=⎰∴πcos d 54cos π32mm θθθ=⋅-⎰(2) 202πcos3d 12cos a a θθθ+-⎰,|a|>1.解:令2π102cos3d 12cos I a a θθθ+=-⎰2π202sin3d 12cos I a a θθθ+=-⎰32π120i2e i d 12cos I I a a θθθ-++=⎰令z =e i θ.31d d i os 2c z z z zθθ==,则 ()()()3122123221321i d 1i 1221d i 1112π2πi Res ,i 1z z z I I z z za azz z az a z a f z a a a ==+=⋅+-⋅+=-++--⎡⎤=⋅⋅=⎢⎥⎣⎦-⎰⎰ 得()1322π1I a a =-(3)()()2222d x x a x b∞+-∞++⎰,a >0,b >0. 解:令()()()22221R z z a z b =++,被积函数R (z )在上半平面有一级极点z =i a 和i b .故()[]()[]()()()()()()()()()()22222222ii 22222πi Res ,i Res ,i 112πi lim i lim i 112πi 2i 2i πz a z b I R z a R z b z a z b z a z b z a z b a b a b a b ab a b →→=+⎡⎤=-+-⎢⎥++++⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦=+(4). ()222d x x x a ∞++⎰,a >0.解:()()2222022221d d 2x x x x x a x a -∞++∞∞=++⎰⎰ 令()()2222z R z z a =+,则z =±a i 分别为R (z )的二级极点故()()[]()[]()()()22222222i 0i 1d 2πi Res ,i Res ,i 2πi lim lim i i π2z a z a x x R z a R z a x a z z z a z a a-→∞→-=⋅⋅+-+⎛⎫''⎡⎤⎡⎤ ⎪=+⎢⎥⎢⎥ ⎪+-⎣⎦⎣⎦⎝⎭=⎰(5) ()222sin d x x x b xβ∞+⋅+⎰,β>0,b>0.解:()()()i 222222222cos sin e d d i d x xx x x xxx xx b x b x b βββ+++--∞∞∞∞∞∞-⋅⋅⋅=++++⎰⎰⎰而考知()()222zR z z b =+,则R (z )在上半平面有z =b i 一个二级极点.()()[]()i i 222i i e d 2πi Res e ,i e π2πi lim e i i 2z x z z bb xx R z b x b z z b b βββββ+--→∞∞⋅=⋅⋅+'⎡⎤=⋅=⋅⋅⎢⎥+⎣⎦⎰()222sin πd e 2bb b xx x x βββ+--∞∞⋅=⋅+⎰从而()022sin ππd e 44e b bx x b b xx b ββββ+-∞⋅=⋅=+⎰(6) 22i e d xx x a +-∞∞+⎰,a >0解:令()221R z z a =+,在上半平面有z =a 一个一级极点()[]i i i 22i e e d 2πi Res e ,i 2πi lim 2πi i e x z zaz a x R z a x a z a a +-→∞∞=⋅⋅=⋅==++⎰7. 计算下列积分(1)()20sin 2d 1x x x x∞++⎰ 解:令()()211R z z z =+,则R (z )有孤立奇点z =0,作以原点为圆心、r 径的上半圆周c r ,使C R ,[-R , -r ], C r ,[r , R 构成封闭曲线,i , 于是()()[]{}22i 01e 1Im d Im 2πi Res ,i lim 221r x c I x R z x x+-∞∞→⎡⎤==⋅-⎢⎥+⎣⎦⎰⎰而()202e d lim πi 1r iz c r zz z →⋅=-+⎰. 故:()221e 1e πIm 2πi lim πi Im 2πi πi 2222zi i z I z z i -→⎡⎤⎡⎤⎛⎫=⋅+=⋅-+= ⎪⎢⎥⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎣⎦.(2)21d 2πi z T a z z ⎰,其中T 为直线Re z =c c >0, 0<a <1解:在直线z =c +i y (-∞< y <+∞)()ln 22e z z aa f z z z==,()ln 22e i c a f c y c y ⋅+=+()ln 22e i d d c af c y y y c y ⋅++--∞∞∞∞+=+⎰⎰积分()i i d c c f z z ∞∞+-⎰是存在的,并且()()(i i i i d limd limc c c c ABR RR Rf z z f z z f ++--→+∞→+∞∞∞==⎰⎰⎰其中AB 为复平面从c -i R 到c +i R 的线段.考虑函数f(z)沿长方形-R ≤x ≤c ,-R ≤y ≤周界的积分.<如下图>f (z )在其内仅有一个二级极点z =0,而()[]()()20,0lim ln z f z z f z a →'=⋅=()()()()d d d d 2πi ln BEEFFAz z f z z f z z f z z a+++=⋅⎰⎰⎰)()()()i ln ln ln ln 22222e e e e d d d d 0i x R a x a aC C aRC C R C R R z z x x x C R x R R R x R →+⋅⋅-+--∞==⋅+−−−→++⎰⎰⎰≤≤。

复变函数与积分变换试题及答案12

复变函数与积分变换试题及答案12
∵f(0)=0 ∴ f ( z ) = xy − c=0 (3 分) (2 分)
i 2 i i ( x − y 2 ) = − ( x 2 − y 2 + 2 xyi ) = − z 2 2 2 2
2
三、解:原式=(2 分) 2πi ∑ Re s ⎢
k =1
4

⎤ 1 , zk ⎥ ⎣ z ( z − 1)( z − 3) ⎦
n
7
= ∑i
n=0

n −1
( z − i) n −1 = ∑ i ( z − i ) n (2 分)
n = −1

n
1分) = 2.解: f ( z ) (
1 1 1 ⋅ = ( 1分) ⋅ ( z − i) i + ( z − i) ( z − i) 2
1 ⎛ i ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ z −i⎠
S(2)-(1) : ∴ Y (s) =
(1) ( 2) (3)
(3 分)
s 1 1 1⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1⎞ 1 ⋅⎜− ⎟ = − 2 = − ⎜ + ⎟ s −1 ⎝ s ⎠ s s −1 s 2 ⎝ s −1 s + 1⎠
2
(3 分)
∴ Y (t ) = 1 −
1 t 1 −t e − e = 1 − cht 2 2
解 y( t ) 。
5
八、 (10 分)就书中内容,函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
参考答案
一、1. 3.
4 ln 2 2 + π 2 9
2 − π , arctg 3 + 2kπ ln 2
4. 空集
6
2. 2z 6. 0
3 -i

复变函数及积分变换试题及答案

复变函数及积分变换试题及答案

第一套第一套一、选择题(每小题3分,共21分)1. 若( ),则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。

A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续; B. (,)u x y 在区域D 内连续; C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续; D. 以上都不对。

2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =,根据柯西-黎曼方程求出其虚部为( )。

A.cos x e y C -+; B cos x e y C -+; C sin x e y C -+; D cos x e y C +3.2|2|1(2)z dzz -==-⎰( )。

A. i π2; B. 0; C. i π4; D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为( )。

A. 101()2()n n f d c iz ξξπξ+=-⎰ B. 0()!n n f z c n =C. 201()2n k f d c iz ξξπξ=-⎰D. 210!()2()n n k n f d c iz ξξπξ+=-⎰5. z=0是函数zz sin 2的( )。

A.本性奇点B.极点C. 连续点D.可去奇点6. 将点∞,0,1分别映射成点0,1,∞的分式线性映射是( )。

A.1z zw -=B. z 1z w -=C. zz 1w -= D. z11w -=7. sin kt =()L ( ),(()Re 0s >)。

A.22k s k +; B.22k s s +; C. k s -1; D. ks 1.二、填空题(每小题3分,共18分)1.23(1)i += [1] ;----------------------------------------装--------------------------------------订-------------------------------------线----------------------------------------------------2. 幂级数∑∞=1n nn z !收敛于 [2] ;3. 设0Z 为复函数)(z f 的可去奇点,则)(z f 在该点处的留数为 [3] . ;4. 通过分式线性映射z kz λωλ-=-(k 为待定复常数)可将 [4] 映射成单位圆内部1ω<;5. 一个一般形式的分式线性映射可由z b ω=+、az ω=、1zω=三种特殊形式的映射复合而成,分别将ω平面看成z 平面的平移映射、旋转与伸缩映射、 [5] ; 6. 求积分()i x e x dx ωδ∞--∞=⎰[6] ;三、判断题 (每小题2分,共10分)1. 平面点集D 称为一个区域,如果D 中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来,这样的集合称为连通集。

复变函数与积分变换(练习题) (答案)

复变函数与积分变换(练习题) (答案)

复变函数与积分变换第一章 练习题1. 计算(1)(2)i i i --;解:(1)103)31)(31()31(3123)2)(1(2i i i i i ii i i i i i i +-=+-+=-=+-=--;(2)10310)2)(1()2)(2(1)1)(1()2)(1()2)(1(i i i i i i i i i i i i i +-=---=----------=--。

2. 解方程组12122(1)43z z i i z iz i -=⎧⎨++=-⎩;解:消元法,)2()1(+⨯i 得:i z i 33)31(1-=+,解得:563)31)(31()31)(33(31331i i i i i ii z --=-+--=+-=,代入)1(得:517656322ii i z --=---⨯=。

3.求1i --、13i -+的模与辐角的主值;解:]arg arctan arctan,arctan arg ππππ,(,,三,二一,四-∈⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=z x y x y xy z , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=--)43s i n ()43c o s (21ππi i ;[])3a r c t a n s i n ()3a r c t a n c o s (1031-+-=+-ππi i 。

4.用复数的三角表示计算312⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、; 解:1)sin()cos()3cos()3cos(23133-=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ππππi i i ; 3,2,1,0,4243s i n 4243c o s 2)43s i n43(c o s 228341=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+k k i k i ππππππ,⎪⎭⎫ ⎝⎛+=163sin 163cos 2830ππi z ,⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1611sin 1611cos 2831ππi z ,⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1619sin 1619cos 2832ππi z ,⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1627sin 1627cos 2833ππi z 。

复变函数与积分变换试题及答案9

复变函数与积分变换试题及答案9

(2 分)
3.解:原式(2 分)=

| z|=
1 2
1 1 2 ( z − i) z dz dz + ∫ 1 3 | | z − i = z 2 ( z − i)
(4 分) = 2πi ⋅
1 2πi ⎛ 1 ⎞ + ⋅⎜ ⎟ 3 2! ⎝ z ⎠ (−i )

z =i
= 2π − 2π = 0
(1 分)
原式(4 分)= 2πi
∑ Re s ⎢ z ( z − i)
k =1
2
⎡ ⎣
1
3
⎤ , zk ⎥ ⎦
z1 = 0, z 2 = i
(3 分)= 2πi⎜ +
⎛1 ⎝i
1 2⎞ ⋅ ⎟ =0 2! i 3 ⎠
7
4.解:∵
1 1 1 = = z i + z −i z −i
1 1+ i z −i
=
1 ∞ 1 (−i) n ∑ z − i m=0 ( z − i) n
1 2 I m ( az + b)(cz + d ) I m ( az + b)(c z + d ) = 2i | cz + d | 2 i | cz + d | 2
8
=
=
ad − bc I m ( z) | cz + d | 2
az + b cz + d
(2 分)
(2 分)
∴所求的映射 w = ∴ ad − bc > 0 , 三、1.解: f (t ) = 2.解:
a, b, c, d 实数
1 2π

+∞
−∞

复变函数与积分变换试题13

复变函数与积分变换试题13

复变函数与积分变换试题一、填空题(每题5分,共20分)1.计算 2. 3.求留数=4.设,则付氏变换F二、单项选择题(每题4分,共20分).1、是函数的A.极点, B.本性奇点, C.可去奇点, D.一级零点 【 】(求的奇点,并指出奇点类型;)2、 函数在复平面上的所有有限奇点处留数的和:A. 1B. 4C.-1D.2 【 】3、设C为正向圆周,则积分等于A.24, B., C.0, D. 【 】4、设,则为.A.1, B.2, C.0, D.。

【 】*、设,则拉氏变换L为A., B. , C. ,D. 。

【 】三、解答下列各题(每小题6分,共36分)1、设是实数,函数在复平面解析,求。

2、设,计算3、判别级数的收敛性。

(判别级数的收敛性.)4、求幂级数的收敛半径。

(求幂级数的收敛半径.)5、求积分,其中,方向为正向。

(求积分,其中,方向为正向.)6、映射把圆周变成什么曲线?写出曲线的方程。

7、求函数的Fourier变换。

(求函数的Fourier变换.)8、求函数的Laplace变换。

(求函数的Laplace变换;利用Laplace变换求下列广义积分值:。

)四、(8分)将函数分别在圆环域,展开成Laurent级数。

(将函数分别在圆环域,展开成Laurent级数.;将函数在圆环域展开成Laurent级数。

)三、(8分)求一个函数,使得它把上半单位圆盘共形地映射成单位圆盘。

(求一个函数,使得它把上半单位圆盘共形地映射成上半平面)五、(8分)用Laplace变换解微分方程的初值问题:,,。

(用Laplace变换解微分方程的初值问题:,;用Laplace变换解微分方程的初值问题:。

)。

最新复变函数与积分变换试题及答案9

最新复变函数与积分变换试题及答案9

复变函数与积分变换试题与答案一、填空题(3分×10)1.41)16(的指数表达形式为: 。

2.设c 是从z =i 到z =1的线段,则≤⎰c z dz4 。

3.=-⎰=2||)(z ni z dz。

4.级数∑∞=1n nni 的敛散性为: 。

5.函数21)(z e z f z-=的弧立奇点∞=z 的类型是: 。

6.函数21)(zz f =在∞=z 处的留数 。

7.1+2z +3z 2+…+nz n-1+…的和函数的解析域是: 。

8.单连通域D 内的解析函数f (z )在D 内沿任意简单曲线的积分与路径 。

9.保形映照的概念: 。

10.若)0(0)()(21<==t t f t f ,则定义=*)()(21t f t f 。

二、解答题(7分×6)1.证明:i y xy yi x x z f 322333)(--+=在整个复平面上解析,并求其导数)(z f '.2.已知f (z )的虚部为222121),(y x y x v +-=,求一解析函数0)0()(=+=f iv u z f 且.3.计算积分:⎰=-2||3)(z i z z dz4.将函数)(1)(2i z z z f -=在圆环∞<-<||1i z 内展为罗朗级数5.计算积分:⎰=--21||210)2)(1(z z z z dz6.求把上半平面0)(>z I m 保形映照为上半平面0)(>w I m 的分式线性映照.三、解答题:(7分×4)1.已知某函数的傅氏变换为)]()([)(00w w w w w F +++=δδπ求该函数。

2.求如下图所示的锯齿形波的拉氏变换。

L [f T (τ)]=⎰---T ST STdt te e 0113.求函数t e t 2)1(-的拉氏变换。

4.求微分方程133=+'+''+'''y y y y ,0)0()0()0(=''='=y y y 的解。

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