高中数学技巧之仿射变换

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仿射变换

与双曲线的标准方程22221x y a b 相比椭圆的标准方程22

221x y a b 在形式上极为接近圆的标准方程

222x y r ．在这一讲，我们着重讲述利用仿射变换将椭圆变换为圆，再利用圆的良好几何性质解决问题

的方法．

对椭圆的标准方程22221x y a b ，我们需要在y 轴进行伸缩变换x x b y y a

得到方程22221x y a a ．

伸缩变换不会改变直线与圆锥曲线的交点个数、也不会改变共线线段长度的比例关系、平行和直线共

点关系等等，但是伸缩变换会改变线段的长度，这需要引起充分的注意．

【备注】仿射变换（Affine Transform ）是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形

的“平直性”（译注： straightness ，即变换后直线还是直线不会打弯，圆弧还是圆弧）和“平行性”（译注：parallelness ，其实是指保二维图形间的相对位置关系不变，平行线还是平行线，而直线上点的位置顺序不变，另特别注意向量间夹角可能会发生变化．仿射变换可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括：平移（Translation ）、缩放（Scale ）、翻转（Flip ）、旋转（Rotation ）和错切（Shear ）．

【备注】在伸缩变换①下，椭圆方程22

22:1x y E a b

变为圆222:E x y a ，椭圆上的点 00,P x y 变为

00,a P x y b

，因此过圆E 上一点P 的圆的切线方程为:l 200a x x y y a b

该直线通过伸缩变换①就可以得到过椭圆E 上一点P 的椭圆的切线方程2

2002:a l x x y y a b

即

00221x x y y

a b

典型例题

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例1

（2010年上海）已知椭圆22

x y ⑴ 设直线l

【解析】 ⑴ 作仿射变换，椭圆方程变为222x y a ，则121k k

∴C D O E ，根据垂径定理，E 是弦C D 的中点

于是E 是CD 的中点．

⑵ 如下图，求作点1P 、2P 的步骤为：

1．以O 为圆心，椭圆的长轴长a 为半径作圆；

2．过O 作射线，使Ox 轴正方向到该射线的角为 ，射线与圆交于Q ；

3．过圆与y 轴正向的交点作y 轴的垂线，过圆与x 轴负向的交点作x 轴的垂线，两条垂线交于点P ；

4．连结P Q ，取其中点N ；

认识仿射变换

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5．连结ON ，过N 作与ON 垂直的直线，交圆于点1P 、2P ； 6．过点1P 、2P 作x 轴的垂线，交椭圆于点1P

、2P 即为所求． 证明：这样作图相当于作了纵轴方向上的伸缩变换2

2b y y a

，容易证明线段P Q 与12P P

互相平分，而坐标轴方向上的伸缩变换不改变线段的比例，因此PQ 与12PP 互相平分．这样就有

12121222

PQ PN PP PP PP PP

【备注】题⑴说明弦中点问题中由点差法得到的结论可以看做是椭圆的“垂径定理”；

题⑵利用仿射变换完成纯几何．．．

作图，注意椭圆的参数方程在仿射变换图形下获得了确切的几何意义．

练习1

（2012年湖北理）设A 是单位圆221x y 上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足DM m DA （0m ，且1m ）．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求焦点坐标．

【解析】 曲线C 的方程为2

22

1y

x m

． 当01m 时，曲线C 为焦点在x

轴上的椭圆，焦点坐标为

,0； 当1m 时，曲线C 为焦点在y

轴上的椭圆，焦点坐标为 0,．

通过仿射变换可以将椭圆内接三角形变为圆内接三角形，它们之间存在固定的比例关系．而求解圆内接三角形的面积运算量要低很多．例2 （2012年人大附开学考试）已知直线【解析】作仿射变换x x y

，则直线l 是椭圆22

334y x

即2213944

x y 的切线． 设O 到直线l 的距离为d ，239

44

d ≤（∵直线l 的斜率存在）

1

2AOB A O B S d

△△

利用仿射变换处理面积问题