数列通项公式的求法集锦

数列通项公式的求法集锦

非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎，笔者结合近几年的高考情况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。 一、累加法

形如1()n n a a f n --= (n=2、3、4…...) 且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累加法求n a 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

例1. 在数列{n a }中，1a =1，11n n a a n --=- (n=2、3、4……) ，求{n a }的通项公式。 解：∵111n a ==时，

213243121

23.......1n n n a a a a a a a a n -≥-=⎫

⎪

-=⎪

⎪

-=⎬⎪⎪

-=-⎪⎭

时,

这n-1个等式累加得：112...n a a -=+++（n-1）

=(1)2n n - 故21(1)222n n n n n a a --+=+= 且11a =也满足该式 ∴222

n n n a -+= (n N *

∈). 例2．在数列{n a }中，1a =1，12n n n a a +-= (n N *

∈),求n a 。

解：n=1时, 1a =1212323

431

122

22.......2n n n n a a a a a a a a --≥-=⎫

⎪

-=⎪

⎪-=⎬⎪⎪⎪-=⎭

时,

以上n-1个等式累加得

21

122 (2)

n n a a --=+++=12(12)12

n ---=22n

-，故12221n n n a a =-+=- 且11a =也满

足该式 ∴21n n a =- (n N *

∈)。 二、累乘法

形如

1

()n

n a f n a -= (n=2、3、4……)，且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累乘法求n a 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 例3．在数列{n a }中，1a =1，1n n a na +=，求n a 。

解：由已知得

1

n n

a n a += ，分别取n=1、2、3……(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，即

324

1231........n n a a a a a a a a -=1×2×3×…×(n-1)=(n-1)!所以时，1

(1)!n a n a =-故(1)!n a n =-

且10!a ==1也适用该式 ∴(1)!n a n =- (n N *

∈). 例4．已知数列{n a }满足1a =

23，11

n n n

a a n +=

+，求n a 。 解：由已知得

11

n n a n

a n +=

+，分别令n=1，2，3，….(n-1),代入 上式得n-1个等式累乘，即

324

1231........n n a a a a a a a a -= 1231 (234)

n n -⨯⨯⨯ 所以

11

n a a n

=，又因为123a =也满足该式，所以23n a n =

。 三、构造等比数列法

原数列{n a }既不等差，也不等比。若把{n a }中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出n a 。该法适用于递推式形如1n a +=n ba c +或1n a +=()n ba f n +或

1n a += n n ba c +其中b 、c 为不相等的常数，()f n 为一次式。

例5、（06福建理22）已知数列{n a }满足1a =1，1n a +=21n a + (n N *

∈)，求数列{n a }的通项公式。

解：构造新数列{}n a p +，其中p 为常数，使之成为公比是n a 的系数2的等比数列 即1n a p ++=2()n a p + 整理得：1n a +=2n a p +使之满足1n a +=21n a + ∴p=1 即{}1n a +是首项为11a +=2，q=2的等比数列∴1n a +=1

22

n -⋅ n a =21n

-

例6、（07全国II 理21）设数列{n a }的首项1(0,1)a ∈，n a =1

32

n a --，n=2、3、4…… （I ）求{n a }的通项公式。

解：构造新数列{}n a p +，使之成为1

2

q =-

的等比数列

即n a p +=11()2n a p --

+ 整理得：n a =113

22n a p ---满足n a =132n a -- 得 32p -=32 ∴p=-1 即新数列{}1n a -首项为11a -，12

q =-的 等比数列 ∴1n a -=1(1a -）112n --（） 故 n a =1(1a -）

1

12

n --（）+1

例7、（07全国I 理22）已知数列{n a }中，1a =2，1n a +=1)(2)n a + n N *

∈

（I ）求{n a }的通项公式。

解：构造新数列{}n a p +，使之成为1q =的等比数列

1n a p ++=1)()n a p + 整理得：1n a +=1)n a +2)p

使之满足已知条件 1n a +=1)n a +21)∴2)1)p =解得

p =∴{n a 是首项为21q =的等比数列，由此得

n a (211)n - ∴n a 1)n 例8、已知数列{n a }中，1a =1，1n a +=23n n a +，求数列的通项公式。

分析：该数列不同于以上几个数列，该数列中含3n

是变量，而不是常量了。故应构造新数列{3}n n a λ+，其中λ为常数，使之为公比是n a 的系数2的等比数列。

解：构造数列{3}n n a λ+，λ为不为0的常数，使之成为q=2的等比数列 即113n n a λ+++=2(3)n n a λ+ 整理得：1n a +=12(233)n n n a λλ++- 满足 1n a +=23n n a + 得1

233

3n

n n λλ+-= ∴1λ=-新数列{3}n n a -是首项为

113a -=2-，q=2的等比数列 ∴3n n a -=122n --⨯ ∴n a =32n n -

例9、（07天津文20）在数列{n a }中，1a =2，1n a +=431n a n -+ ，求数列的通项n a 。

解：构造新数列{}n a n λ+，使之成为q=4的等比数列，则1(1)n a n λ+++=4()n a n λ+ 整理得：1n a +=43n a n λλ+-满足1n a +=431n a n -+，即331n n λλ-=-+得

1λ=-∴新数列{}n a n -的首项为111a -=，q=4的等比数列

∴14n n a n --= ∴14n n a n -=+