《电路原理》第五版习题解答-邱关源-罗先觉(第十一章)电路的频率响应
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I1(S) U1(S) I2(S) U2(S)
I2 ( S ) Y (S) U1 ( S ) U2 ( S ) Z(S) I1 ( S )
U2 ( S ) K1 ( S ) U1 ( S )
I2 ( S ) K2(S ) I1 ( S )
例 求图示电路的网络函数
R + + C _
H(S)
第十一章 电路的频率响应
本章主要内容：
网络函数 RLC串联电路的谐振 RLC串联电路的频率响应 RLC并联谐振电路 波特图 滤波器简介
频率响应
电路与系统的工作状态跟随频率而变化的现象，称 为电路和系统的频率特性，又叫频率响应。
网络函数
通常采用单输入单输出的方式，在输入变量和输出 变量之间建立函数关系，来描述电路的频率特性， 这一函数关系就称为电路和系统的网络函数。
US 100 I0 1mA 3 2 RS 2 50 10
100
US U0 50V 2
P U 0 I 0 0.05W
11.4 滤波器简介
滤波器原理：
工程上根据输出端口对信号频率范围的要求，设计专 门的网络，置于输入输出端口之间，使输出端口所需要的 频率分量能够顺利通过，而抑制不需要的频率分量 ，这 种具有选频功能的中间网络，工程上称为滤波器。
R jX
_
当 X 0
ω0
f0
ω 0L 1 0C
时，电路发生谐振。
谐振条件
1 LC
1 2π LC
谐振角频率 (resonant angular frequency)
仅与电路参数有关
谐振频率 (resonant frequency)
串联电路实现谐振的方式： （1） L C 不变，改变 。
U _
G
C
L
G C L 并联
Y G j(ωC 1 )
ωL
谐振角频率
ω0
1 LC
R L C 串联
|Z| R |Y| G
G C L 并联
O I( )
0
U/R
O U( )
0
IS/G
O
UL
0
O
IC
0
UR U I UC
IG IS U
IL
R L C 串联 电压谐振
G C L 并联 电流谐振
UL( 0)=UC ( 0)=QU
ω0 L Q 1 1 L R ω0 RC R C
IL(0) =IC(0) =QIS
ω0 C Q 1 1 C G ω0 GL G L
2.
电感线圈与电容器的并联谐振
实际的电感线圈总是存在电阻，因此当电感线圈与电 容器并联时，电路如图： （1）谐振条件 R
2 0
L
C
电源不向电路输送无功。电 感中的无功与电容中的无功 大小相等，互相补偿，彼此 进行能量交换。
+ _
Q
P R
例
+ _ u
R L C V
一接收器的电路参数为：U=10V =5103 rad/s, 调C使电路中的电流 最大， Imax=200mA ， 测得电容电压 为600V，求R、L、C及Q
解
10 U R 50 I 0 200 10 3
U C 600 U C QU Q 60 U 10
50 60 L 60mH 3 0 5 10 RQ C 1
L
2 0
6.67 F
11.3
并联电路的谐振
1. G、C、L 并联电路
+
IS
1 R 2 ( ) 0, 即 R LC L
L 时, 可以发生谐振 C
一般线圈电阻R<<L，则等效导纳为：
R L R 1 ) Y 2 j ( C ) j ( C L R (L)2 R 2 (L)2 (L)2
谐振角频率
ω0
1 LC
Ge C
当e(t ) (t )时，E ( s ) 1，则有H ( s ) R( s )
因此，网络函数的原函数h(t )就是 电路的单位冲激响应。
1.驱动点函数
E(S)
I( S)
E( S ) H(S) I(S) I(S) H(S) E( S )
驱动点阻抗 驱动点导纳
2.转移函数(传递函数)
C2 R u2(t)
U2(s)
1 1 ( sL1 ) I1 ( s ) I 2 ( s ) U1 ( s ) sC 2 sC 2
1 1 I1 ( s ) ( sL3 R) I 2 ( s ) 0 sC 2 sC 2
频率特性表示方法
11.2
串联电路的谐振
谐振 (resonance) 是正弦电路在特定条件下所产生的一种 特殊物理现象，谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛应 用，对电路中谐振现象的研究有重要的实际意义。
0由电路本身的参数决定，一个 R L C 串联电路只 能有一个对应的0 , 当外加频率等于谐振频率时，电
路发生谐振。 （2） 电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变C )。
3. RLC串联电路谐振时的特点
(1). U 与 I 同相 .
入端阻抗Z为纯电阻，即Z=R。电路中阻抗值|Z|最小。 电流I达到最大值 I0=U/R (U一定)。
1. 谐振的定义
含有R、L、C的一端口电路，在特定条件下出现 端口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。
I
U
R,L,C 电路
U ZR I
发生 谐振
2.
串联谐振的条件
+
I
R j L
1 jω C
1 Z R j(ωL ) R j( X L X C ) U ωC
UC ( S ) US (S)
R
_ uS
uc
+
+ 1/SC _ UC(S)
_ US(S)
UC ( S ) H(S) US (S)
1 1 U C ( S ) SC H(S) 1 RSC 1 US (S) R SC
U s ( s) 1 U C ( s) 1 sC R sC
解
QL 100
0L
R
0 L RQL 1000 R
( 0 L)2 106 Re 100k R 10
Re 100k L
C
Req 100 // 100 50k
50 103 Q 50 0 L 1000 Req
例
50k ＋
i0
＋ R
例
某收音机 L=0.3mH，R=10，为收到中央电台560kHz 信号，求（1）调谐电容C值；（2）如输入电压为1.5V 求谐振电流和此时的电容电压。
解
(1)
1 C 269 pF 2 ( 2 f ) L
U 1.5 ( 2) I 0 0.15 A R 10
U C I 0 X C 158.5 V 1.5 V
例14-2 图示电路为一低通滤波器。已知：L1=1.5H， C2=4/3F，L3=0.5H，R=1。求电压转移函数H1(s) 和驱动点导纳函数H2(s)。 ＋ u1(t) － i1(t) L1 L3 i2(t) ＋ U1(s) － I1(s) 1/sC2 I2(s) R I1(s) sL1 sL3 I2(s)
如图RS=50k，US=100V，0=106， Q=100，谐振时线圈获取最大功率， 求L、C、R及谐振时I0、U和P。
C
uS
u
－
L
－
解
R 2 ( 0 L) Re RS 50k R 1 0 LC
QL
0L
R 5 L 0.5mH C 0.002 F
+ u _
R
L
C
or U C QU
0 L
R
U
(3) 谐振时的功率
P=UIcos＝UI＝RI02=U2/R，
电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。
Q UI sin QL QC 0
1 2 2 QL ω0 LI , QC I 0 0 LI 0 ω0C
等效电路
L
1 ( 0 L)2 Re Ge R
（2）谐振特点
(a) 电路发生谐振时，输入阻抗达最大值：
L (b) 电流一定时，总电压达最大值： U 0 I 0 Z I 0 RC
(c) 支路电流是总电流的Q倍，设R<<L
R (ω0 L) (ω0 L) Z (ω0 ) R0 L R RC R
UR UC
I
U j L jQU UL j LI R I U UC j j L jQU C R U QU U
L
C
特性阻抗
品质因数
Q
0L
1 L R R C R
当 ＝0L=1/(0C )>>R 时， UL= UC >>U
例14-1 求图示电路的冲激响应h(t)。
(t)
R
+
1 uc
G sC
+ _
C _
UC(S)
R( S ) U C ( S ) H(S) E( S ) 1
1 1 U C ( s) sC G C
1
1 1 S RC
1 t RC
1 h(t ) L [ H ( s)] e C
2 2 2
U I L IC U 0C 0 L U / 0 L 0 L I L IC 1 Q I 0 I 0 U /( RC / L) 0 RC R
IC
I 0
U
I L I C QI0 I 0
IL
例
R 100k
C L
等效电路
如图R=10的线圈其QL=100，与 电容接成并联谐振电路，如再并联 上一个100k的电阻，求电路的Q.
Y jωቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC
C
L
R ωL j ( ω C ) 2 2 2 2 R (ω L) R (ω L)
1 R jω L
谐振时 B=0，即
G jB ω0 L ω0 C 2 0 2 R (ω0 L)
ω0
1 ( R )2 LC L
此电路发生谐振是有条件的，在电路参数一定时，满足
11.1网络函数 网络函数的定义
e(t)
激励 零 状 态
r(t)
响应
电路在单一激励作用下，其零状态响应 r(t)的象函数R(s)与激励e(t)的象函数E(s)之比 为该电路的网络函数H(s).
L[零状态响应] R( S ) H(S) L[激励函数] E( S )
驱 动 点 阻 抗 （ 导 纳 转 移 阻 抗 （ 导 纳 ） 电 压 转 移 函 数 电 流 转 移 函 数
+
I
R
+ U R
Z ( ) _ + UL _ + UC _ j L
1 jω C
|Z( )|
XL( ) X( )
U
_
R O
0
XC( )
(2)
LC上的电压大小相等，相位相反，串联总电压为零， 也称电压谐振，即
UL UC 0, LC相当于短路。
UL
U 电源电压全部加在电阻 上， U R
I2 ( S ) Y (S) U1 ( S ) U2 ( S ) Z(S) I1 ( S )
U2 ( S ) K1 ( S ) U1 ( S )
I2 ( S ) K2(S ) I1 ( S )
例 求图示电路的网络函数
R + + C _
H(S)
第十一章 电路的频率响应
本章主要内容：
网络函数 RLC串联电路的谐振 RLC串联电路的频率响应 RLC并联谐振电路 波特图 滤波器简介
频率响应
电路与系统的工作状态跟随频率而变化的现象，称 为电路和系统的频率特性，又叫频率响应。
网络函数
通常采用单输入单输出的方式，在输入变量和输出 变量之间建立函数关系，来描述电路的频率特性， 这一函数关系就称为电路和系统的网络函数。
US 100 I0 1mA 3 2 RS 2 50 10
100
US U0 50V 2
P U 0 I 0 0.05W
11.4 滤波器简介
滤波器原理：
工程上根据输出端口对信号频率范围的要求，设计专 门的网络，置于输入输出端口之间，使输出端口所需要的 频率分量能够顺利通过，而抑制不需要的频率分量 ，这 种具有选频功能的中间网络，工程上称为滤波器。
R jX
_
当 X 0
ω0
f0
ω 0L 1 0C
时，电路发生谐振。
谐振条件
1 LC
1 2π LC
谐振角频率 (resonant angular frequency)
仅与电路参数有关
谐振频率 (resonant frequency)
串联电路实现谐振的方式： （1） L C 不变，改变 。
U _
G
C
L
G C L 并联
Y G j(ωC 1 )
ωL
谐振角频率
ω0
1 LC
R L C 串联
|Z| R |Y| G
G C L 并联
O I( )
0
U/R
O U( )
0
IS/G
O
UL
0
O
IC
0
UR U I UC
IG IS U
IL
R L C 串联 电压谐振
G C L 并联 电流谐振
UL( 0)=UC ( 0)=QU
ω0 L Q 1 1 L R ω0 RC R C
IL(0) =IC(0) =QIS
ω0 C Q 1 1 C G ω0 GL G L
2.
电感线圈与电容器的并联谐振
实际的电感线圈总是存在电阻，因此当电感线圈与电 容器并联时，电路如图： （1）谐振条件 R
2 0
L
C
电源不向电路输送无功。电 感中的无功与电容中的无功 大小相等，互相补偿，彼此 进行能量交换。
+ _
Q
P R
例
+ _ u
R L C V
一接收器的电路参数为：U=10V =5103 rad/s, 调C使电路中的电流 最大， Imax=200mA ， 测得电容电压 为600V，求R、L、C及Q
解
10 U R 50 I 0 200 10 3
U C 600 U C QU Q 60 U 10
50 60 L 60mH 3 0 5 10 RQ C 1
L
2 0
6.67 F
11.3
并联电路的谐振
1. G、C、L 并联电路
+
IS
1 R 2 ( ) 0, 即 R LC L
L 时, 可以发生谐振 C
一般线圈电阻R<<L，则等效导纳为：
R L R 1 ) Y 2 j ( C ) j ( C L R (L)2 R 2 (L)2 (L)2
谐振角频率
ω0
1 LC
Ge C
当e(t ) (t )时，E ( s ) 1，则有H ( s ) R( s )
因此，网络函数的原函数h(t )就是 电路的单位冲激响应。
1.驱动点函数
E(S)
I( S)
E( S ) H(S) I(S) I(S) H(S) E( S )
驱动点阻抗 驱动点导纳
2.转移函数(传递函数)
C2 R u2(t)
U2(s)
1 1 ( sL1 ) I1 ( s ) I 2 ( s ) U1 ( s ) sC 2 sC 2
1 1 I1 ( s ) ( sL3 R) I 2 ( s ) 0 sC 2 sC 2
频率特性表示方法
11.2
串联电路的谐振
谐振 (resonance) 是正弦电路在特定条件下所产生的一种 特殊物理现象，谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛应 用，对电路中谐振现象的研究有重要的实际意义。
0由电路本身的参数决定，一个 R L C 串联电路只 能有一个对应的0 , 当外加频率等于谐振频率时，电
路发生谐振。 （2） 电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变C )。
3. RLC串联电路谐振时的特点
(1). U 与 I 同相 .
入端阻抗Z为纯电阻，即Z=R。电路中阻抗值|Z|最小。 电流I达到最大值 I0=U/R (U一定)。
1. 谐振的定义
含有R、L、C的一端口电路，在特定条件下出现 端口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。
I
U
R,L,C 电路
U ZR I
发生 谐振
2.
串联谐振的条件
+
I
R j L
1 jω C
1 Z R j(ωL ) R j( X L X C ) U ωC
UC ( S ) US (S)
R
_ uS
uc
+
+ 1/SC _ UC(S)
_ US(S)
UC ( S ) H(S) US (S)
1 1 U C ( S ) SC H(S) 1 RSC 1 US (S) R SC
U s ( s) 1 U C ( s) 1 sC R sC
解
QL 100
0L
R
0 L RQL 1000 R
( 0 L)2 106 Re 100k R 10
Re 100k L
C
Req 100 // 100 50k
50 103 Q 50 0 L 1000 Req
例
50k ＋
i0
＋ R
例
某收音机 L=0.3mH，R=10，为收到中央电台560kHz 信号，求（1）调谐电容C值；（2）如输入电压为1.5V 求谐振电流和此时的电容电压。
解
(1)
1 C 269 pF 2 ( 2 f ) L
U 1.5 ( 2) I 0 0.15 A R 10
U C I 0 X C 158.5 V 1.5 V
例14-2 图示电路为一低通滤波器。已知：L1=1.5H， C2=4/3F，L3=0.5H，R=1。求电压转移函数H1(s) 和驱动点导纳函数H2(s)。 ＋ u1(t) － i1(t) L1 L3 i2(t) ＋ U1(s) － I1(s) 1/sC2 I2(s) R I1(s) sL1 sL3 I2(s)
如图RS=50k，US=100V，0=106， Q=100，谐振时线圈获取最大功率， 求L、C、R及谐振时I0、U和P。
C
uS
u
－
L
－
解
R 2 ( 0 L) Re RS 50k R 1 0 LC
QL
0L
R 5 L 0.5mH C 0.002 F
+ u _
R
L
C
or U C QU
0 L
R
U
(3) 谐振时的功率
P=UIcos＝UI＝RI02=U2/R，
电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。
Q UI sin QL QC 0
1 2 2 QL ω0 LI , QC I 0 0 LI 0 ω0C
等效电路
L
1 ( 0 L)2 Re Ge R
（2）谐振特点
(a) 电路发生谐振时，输入阻抗达最大值：
L (b) 电流一定时，总电压达最大值： U 0 I 0 Z I 0 RC
(c) 支路电流是总电流的Q倍，设R<<L
R (ω0 L) (ω0 L) Z (ω0 ) R0 L R RC R
UR UC
I
U j L jQU UL j LI R I U UC j j L jQU C R U QU U
L
C
特性阻抗
品质因数
Q
0L
1 L R R C R
当 ＝0L=1/(0C )>>R 时， UL= UC >>U
例14-1 求图示电路的冲激响应h(t)。
(t)
R
+
1 uc
G sC
+ _
C _
UC(S)
R( S ) U C ( S ) H(S) E( S ) 1
1 1 U C ( s) sC G C
1
1 1 S RC
1 t RC
1 h(t ) L [ H ( s)] e C
2 2 2
U I L IC U 0C 0 L U / 0 L 0 L I L IC 1 Q I 0 I 0 U /( RC / L) 0 RC R
IC
I 0
U
I L I C QI0 I 0
IL
例
R 100k
C L
等效电路
如图R=10的线圈其QL=100，与 电容接成并联谐振电路，如再并联 上一个100k的电阻，求电路的Q.
Y jωቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC
C
L
R ωL j ( ω C ) 2 2 2 2 R (ω L) R (ω L)
1 R jω L
谐振时 B=0，即
G jB ω0 L ω0 C 2 0 2 R (ω0 L)
ω0
1 ( R )2 LC L
此电路发生谐振是有条件的，在电路参数一定时，满足
11.1网络函数 网络函数的定义
e(t)
激励 零 状 态
r(t)
响应
电路在单一激励作用下，其零状态响应 r(t)的象函数R(s)与激励e(t)的象函数E(s)之比 为该电路的网络函数H(s).
L[零状态响应] R( S ) H(S) L[激励函数] E( S )
驱 动 点 阻 抗 （ 导 纳 转 移 阻 抗 （ 导 纳 ） 电 压 转 移 函 数 电 流 转 移 函 数
+
I
R
+ U R
Z ( ) _ + UL _ + UC _ j L
1 jω C
|Z( )|
XL( ) X( )
U
_
R O
0
XC( )
(2)
LC上的电压大小相等，相位相反，串联总电压为零， 也称电压谐振，即
UL UC 0, LC相当于短路。
UL
U 电源电压全部加在电阻 上， U R