物理竞赛讲义十四振动、波

当振源按简谐振动的规律振动时，在媒质中所形成的波称为简谐波。任何复杂形式的机械波，都是由各种不同频率的简谐波叠加而成的。 简谐波的波动方程和它的解——波函数 在播的传播方向上，平衡位置为x 的质点在t 时刻偏离平衡位置的位移的函数形式——波函数y （x 、t ）。对于平面简谐波的波函数，可以表述为下面三种形式：

]

)(2c o s [])(

2c o s [])(c o s [000),(φλ

νπφλπφϖ+±

=+±

=+±

=x

t A x T

t A v x t A y t x 机械波是机械振动在媒质中的传播，而媒质中的每一个质点都在做受迫振动，因而对这些物理量应当分别从波动和振动两个方面去理解。

在坐标系建立后，波函数y （x 、t ）描述的是：在播的传播方向上，平衡位置距离坐标原点为x 处的媒质质点，在t 时刻偏离平衡位置的位移。

波（振）幅A ，从波动角度讲，描述机械波的强度，对于横波，是波峰的高度或是波谷的深度；对于纵波，是从平衡位置到疏部（或密部）中心的距离。从振动角度讲，是媒质质点做受迫振动的振幅。在不考虑能量损失的情况下，平面简谐波的波幅由振源决定。 波长λ，从波动角度讲，在同一传播方向上，两个相邻的具有相同振动状态（位相相差2π）的媒质质点的平衡位置之间的距离，从振动角度讲，媒质中的某一质点在完成一次全振动时，这个质点的振动状态在波传播方向上传播的距离。当波源相对媒质静止不动时，波长由媒质和振源的频率决定。

周期T ，从波动角度讲，媒质中的某一质点的振动状态在波传播方向上传播一个波长的距离所用的时间，从振动角度讲，媒质中的某一质点完成一次全振动所用的时间。 频率ν，从波动角度讲，单位时间通过媒质中的某一质点的完整波的个数，从振动角度讲，媒质中的某一质点在单位时间内完成的全振动的个数。

圆频率ω，从波动角度讲，2π秒内通过媒质中的某一质点的完整波的个数，从振动角度讲，媒质中的某一质点在2π秒内完成的全振动的个数。

波速v ，媒质中质点的振动状态在波传播方向上的传播速度，由媒质的情况决定。 位相 ω（t ±x/v ）+φ0 ，在波的传播方向上，平衡位置距离坐标原点为x 处的媒质质点，在t 时刻的振动状态。

φ0 ，平衡在坐标原点处的媒质质点，在t=0时刻的振动状态。

频率和角频率：作振动的物体在单位时间内完成全振动的次数。通常用符号f 或υ表示，它是表示振动快慢的物理量。频率的单位是赫兹，符号是Hz 。1Hz=1s -1。常见的秒摆的频率是f=0.5Hz 。角频率又称圆频率，用符号ω表示，它是人们在研究质点作匀速圆周运动的射影的运动规律时，发现质点的射影作的是简谐运动，而且质点圆周运动的角频率是其射影的简谐运动的频率的2π倍，也就是在2πs 内质点射影作的简谐运动的次数恰与质点的匀速圆周运动的角频率相对应，用公式表示为ω=2πf=2π/T 。角频率的单位是弧度/秒，单位符号rad/s 。

参考圆：实验证明做匀速圆周运动的质点在x 轴上的射影的运动与作简谐运动的振子具有相同的运动规律。在初等数学阶段，我们常用质点的匀速圆周运动来描述简谐运动，这个圆叫参考圆。

相位：是描述做简谐运动的物体的运动状态的物理量，也称位相或周相，简称相。当振动物体的角频率和它的初始位置确定之后，该物体的相就被确定了。物体振动一个周期，它的位相在0～2π范围内变化，位相的各不同的值表示了振动物体在一个周期内各不同时刻的运动状态，就是说物体的位相一定，其位移大小、方向，速度的大小、方向，加速度的大小、方向就都确定了。

初相位：作简谐运动的物体t=0时的相位叫做初相。对一个简谐运动来说，初相φ是一定的，而相位（ωt+φ）都随时间的变化而变化。根据振动方程x=Acos(ωt+φ)，最简单的情况是初期φ=0，当t=0时，则x=A，v=0，说明振动的质点是从一侧的最大位移处开始计时的。

相差：也称相位差或位相差，通常是在比较两个同频率的振动时引进的物理量。两个角频率相同的简谐运动相位之差(ωt+φ02)–(ωt+φ01)=φ02–φ01=△φ0它表示了两个简谐运动的不一致到了什么样的程度，当两个角频率相同的简谐运动的相位差△φ=2nπ时(n为整数)，两振动的步调一致，它们总是同时、同向运动，同时达到同一侧位移最大处，同时同方向地经过平衡位置。也就是说它们是同相位。当两个角频率相同的简谐运动的相位差△φ=(2n+1)π时(n整数)，表示两个简谐运动的步调相反。它们的振动方向总相反，速度方向也总是相反，同时到达异侧的位移最大值处，同时经过平衡位置但速度方向相反。也就是他们是反相位。

当介质的振动方向和振动的传播方向垂直时，这种波叫横波。横波是最简单的波之一。机械横波只能发生在固体之中。当介质的振动方向与振动的传播方向在同一条直线上时，这种波叫纵波。空气中声波是纵波。向河水中投入一块石头，可以看到水面有波传播，这种水面波既不是横波，也不是纵波。水面波是因重力以及表面张力的作用在水表面传播的波。在水面波传播的过程，水的质点运动比较复杂，一般是沿椭圆轨道作周期性的运动。

各种频率的机械波在一定的介质中传播时，都具有相同的速度。因此频率不同的机械波在同一介质中传播时波长不同；同频率的机械波在不同的介质中传播时，由于波速不同，波长也就不同。波长与波速成正比，和波的频率成反比。

图线是波传播的某一时刻各个质点的位置，也是整个波的形态。所以也叫波形图。

几个波源产生的波在同一介质中传播时，无论相遇与否，都保持它们各自的频率、波长、振动的方向，并按照各自的原来传播方向继续前进，不受其它波的影响(运动的独立性原理)。在两列波相遇处，介质质点同时参加两个波的振动。在波相遇处质点的位移是各列波单独存在时在该点所引起振动位移的矢量和，也就是说质点的振动是这些振动的合振动。特别是当两列频率相同、振动方向相同、有固定相差的波相遇时，会出现特殊的波的干涉现象。

波的衍射和干涉现象是波所特有的性质。有无干涉和衍射是判断波动的重要依据。

波的叠加原理：大量的事实证明，从几个波源产生的波在同一介质中传播时，无论它们是否相遇，每个波都按照自己的传播方向前进，每个波都独立地保持自己原有的特性。相遇处质点的位移是各波单独地通过时在该点所引起位移的矢量和，这就是波的叠加原理。

相干波：频率相同，振动方向相同，相位差恒定的两列波叫相干波。相干波在传播过程中，在空间相遇。在重叠处两列简谐波所引起的质点的简谐运动具有相同的频率，相同的振动方