江苏省苏州中学2019-2020学年度第一学期期初考试高三数学

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江苏省苏州市2019-2020学年高三上学期期中数学试题

江苏省苏州市2019-2020学年高三上学期期中数学试题

绝密★启用前江苏省苏州市2019-2020学年高三上学期期中数学试题试卷副标题xxx注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 一、填空题1.已知集合{2,1,0,1,2}A =--,{|0}B x x =>,则A B =__________.2.已知复数z 满足2zi i=+(i 为虚数单位),则复数z 的实部为___________. 3.已知向量(,2)a x =,(2,1)b =-,且a b ⊥,则实数x 的值是___________. 4.函数y =___________. 5.等比数列{}n a 中,11a =,48a =,n S 是{}n a 的前n 项和,则5S =_________. 6.已知tan 2α=,则sin cos 2sin ααα+的值为_________.7.“2x >”是“1x >”的 条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的某一个)8.已知函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移(0)2πϕϕ<<个单位长度得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,则ϕ的值为_______.9.设函数,0()21,0x e x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩,则不等式()2(2)f x f x +>的解集为_______.10.已知函数()ln mf x x =-的极小值大于0,则实数m 的取值范围为_________.11.已知各项都为正数的等差数列{}n a 中,53a =,则37a a 的最大值为_________. 12.已知菱形ABCD 的棱长为3,E 为棱CD 上一点且满足2CE ED =,若6AE EB ⋅=-,则cos C _________.13.若方程3cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在(0,)π的解为1x ,2x ,则()12cos x x -=___________. 14.已知函数23()3f x x x =-,1()ln x g x e a x -=--,若对于任意1(0,3)x ∈,总是存在两个不同的2x ,3(0,3)x ∈,使得()()()123f x g x g x ==,则实数a 的取值范围为_____________. 二、解答题15.在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,120C ︒=,7c =,2a b -=. (1)求a ,b 的值; (2)求sin()A C +的值.16.已知向量(cos )a x x =,(cos ,sin )b x x =. (1)若//a b ,0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求x 的值; (2)若()f x a b =⋅,0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求()f x 的最大值及相应x 的值. 17.已知等比数列{}n a 满足22a =,且2a ,31a +,4a 成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设21n n b a n =-+,求数列{}n b 的前n 项和为n T .18.如下图所示,某窑洞窗口形状上部是圆弧CD ,下部是一个矩形ABCD ,圆弧CD 所在圆的圆心为O ,经测量4AB =米,BC =米,COD 120︒∠=,现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH ,其中E ,F 在边AB 上,G ,H 在圆弧CD 上.设OGF θ∠=,矩形EFGH 的面积为S .…………○…………线…………○……考号:___________…………○…………线…………○……(1)求矩形EFGH 的面积S 关于变量θ的函数关系式; (2)求cos θ为何值时,矩形EFGH 的面积S 最大? 19.已知函数()f x =(1)求()f x 的图像在1x =处的切线方程; (2)求函数()()F x f x x =-的极大值;(3)若()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立,求实数a 的取值范围.20.已知数列{}n a 满足*11(1),n n n a na a n N +-=-∈.(1)证明:数列{}n a 为等差数列;(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若211a a -=,且对任意的正整数n ,都有12311111433n S S S S <++++<,求整数1a 的值; (3)设数列{}n b 满足310n n b a =+,若2115a a -=,且存在正整数s ,t ,使得s t ab +是整数,求1a 的最小值. 21.已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(1)求矩阵M ;…外…………○…………装……※※请※※不※※要※※在※…内…………○…………装……(2)设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =,求曲线C 的方程. 22.已知曲线C 的极坐标方程为2cos ραα=+(α为参数),直线1的参数方程为1cos sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩(t 为参数,02πβ<<),若曲线C 被直线1求β的值.23.选修4-2:不等式选讲设正数,,a b c 满足1a b c ++=,求证:32a b c b c c a a b ++≥+++. 24.某射击小组有甲、乙、丙三名射手,已知甲击中目标的概率是34,甲、丙二人都没有击中目标的概率是112,乙、丙二人都击中目标的概率是14.甲乙丙是否击中目标相互独立.(1)求乙、丙二人各自击中目标的概率;(2)设乙、丙二人中击中目标的人数为X ,求X 的分布列和数学期望.25.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,90BAC ︒∠=,AB AC a ==,1AA b =,点E ,F 分别在1BB ,1CC ,且113BE BB =,1113C F CC =.设baλ=.(1)当3λ=时,求异面直线AE 与1A F 所成角的大小; (2)当平面AEF ⊥平面1A EF 时,求λ的值.参考答案1.{1,2} 【解析】 【分析】根据交集的运算可直接得出结果. 【详解】 解:集合{2,1,0,1,2}A =--,{|0}B x x =>,{1,2}A B ∴=,故答案为:{1,2}. 【点睛】本题考查集合交集的运算,是基础题. 2.1- 【解析】 【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【详解】 解:由2zi i=+,得(2)12z i i i =+=-+, ∴复数z 的实部为−1, 故答案为:−1. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题. 3.1 【解析】 【分析】由题意两个向量垂直,利用向量垂直的坐标运算,列方程求出x 的值. 【详解】解:∵向量(,2)a x =,(2,1)b =-,且a b ⊥, ∴220x -=,解得1x =, 故答案为:1.本题主要考查向量垂直的坐标运算,属于基础题. 4.(1,2) 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零,分母不为零,被开方数不小于零,列不等式求解即可. 【详解】 解:由已知得1020x x ->⎧⎨->⎩,解得12x <<,函数的定义域为(1,2), 故答案为:(1,2). 【点睛】本题考查函数定义域的求法,是基础题. 5.31 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出. 【详解】解:设等比数列{}n a 的公比为q ,11a =,48a =,3418a q a ∴==,解得2q ,则前5项和55213121S -==-,故答案为:31. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了学生的计算能力,属于基础题. 6.25【解析】分子分母同时除以cos α,可将目标式转化为用tan α来表示,再代入tan α的值即可求得结果. 【详解】解:sin sin cos cos 2si ta n cos 2sin 12o n t s an c αααααααααα==+++, 代入tan 2α=得,原式22145==+, 故答案为:25.【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的运用,当目标式是分式且分子分母均为sin α,cos α的齐次式时,可分子分母同时除以cos α,达到变形的目的,本题是基础题. 7.充分不必要 【解析】试题分析:因为211,1x x x >>⇒>>时2x >不一定成立,所以“2x >”是“1x >”的充分不必要条件. 考点:充要关系 8.12π【解析】 【分析】将函数sin 2y x =平移后的解析式和函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭比较,列方程求解. 【详解】解:把函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移(0)2πϕϕ<<个单位长度,得到函数sin 2sin(22)6y x x πϕ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的图象, 26πϕ∴=,则12πϕ=,故答案为:12π.【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,属于基础题. 9.(1,2)- 【解析】 【分析】对2x +分20x +<和20x +≥讨论,分别求出解集,再取并集,即得所求. 【详解】解:当20x +<时,由()2(2)f x f x+>得:22(2)1x x e++>,20x +<,2(2)11x ∴++<,又201x e e ≥=,22(2)1x x e ∴++>无解;当20x +≥时,由()2(2)f x f x+>得:22x x ee +>,22x x ∴+≥,解得:12x -<<,∴不等式()2(2)f x f x +>的解集为(1,2)-,故答案为:(1,2)-. 【点睛】本题考查分段函数的应用,指数不等式的解法,是基础题.10.1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】对()f x 求导,求出极小值点,然后判断()f x 的单调性求出极小值,再由()f x 的极小值大于0,建立关于m 的不等式,求出m 的范围. 【详解】解:由()ln m f x x x =-,得2()(0)x m f x x x '+=>, 令()0f x '=,则x m =-, 因为()ln mf x x x=-的极小值大于0, 必有极小值点0m ->,故0m <,所以当x m >-时,()0f x '>,当0x m <<-时,()0f x '<, 所以()f x 在(0,)m -上单调递减,在(,)m -+∞上单调递增, 所以()f x 极小值()ln()10f m m =-=-+>,所以1m e<-, 综上,m 的取值范围为1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,故答案为:1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值,考查了运算能力,属中档题. 11.9 【解析】 【分析】因为等差数列{}n a 各项都为正数,利用237372a a a a +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可求其最大值. 【详解】解:依题意,等差数列{}n a 各项都为正数, 所以370,0a a >>,所以()223737592a a a a a +⎛⎫≤== ⎪⎝⎭. 当且仅当373a a ==时等号成立.故答案为:9. 【点睛】本题考查了等差中项的性质,考查了基本不等式,属于基础题. 12.13【解析】 【分析】利用E 为三等分点结合向量加减法把所给数量积转化为,CD CB 之间的关系即可解决. 【详解】 解:如图,2CE ED =,CE 2ED ∴=,由6AE EB ⋅=-得()()6DE DA CB CE -⋅-=-, 得6DE CB DE CE DA CB DA CE ⋅-⋅-⋅+⋅=-, 得296ED CB CB CE -⋅+-+⋅=-,得(1CE ED CB -⋅=),即1ED CB ⋅=,即113CD CB ⋅=133cos 13C ∴⨯⨯=, 1cos 3C ∴=,故答案为13. 【点睛】此题考查了向量数量积的定义,向量加减法法则,难度不大.13.35【解析】 【分析】由已知可得1276x x π+=,得到1276x x π=-,则()1227cos cos 26x x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,结合已知得答案. 【详解】解:由方程3cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在(0,)π的解为1x ,2x , 得123cos 2cos 2665x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(0,),x π∈112,666x πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭, 1222662x x πππ-+-∴=,1276x x π∴=-, ()1227cos cos 26x x x π⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭,又23cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭, ∴()122273cos cos 2cos 2665x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故答案为:35. 【点睛】本题考查Acos()y x ωϕ=+型函数的图象与性质,特别是对称性的应用是关键,是中档题. 14.)21,ln34e ⎡--⎣【分析】利用导数求出23()3f x x x =-在(0,3)x ∈上的值域A ,利用导数求出1()ln x g x e a x -=--在(0,3)x ∈上不同的x 对应相同y 的y 的范围B ,根据题意可得A B ⊆,列不等式即可求得实数a 的取值范围. 【详解】解:23()3f x x x =-,(0,3)x ∈,2()633(2)f x x x x x '=-=-,可得:函数()f x 在(0,2]上单调递增,在(2,3)上单调递减. 而(0)(3)0,(2)4f f f ===.()(0,4]f x A ∴∈=.1()ln ,(0,3)x g x e a x x -=--∈,11()x g x e x'-=-在(0,3)x ∈上单调递增, 又(1)0g '=,∴函数()g x 在(0,1]上单调递减,在(1,3)上单调递增.0x +→时,2();(1)1,(3)ln 3g x g a g e a →+∞=-=--.令)21,ln3B a e a ⎡=---⎣.对于任意1(0,3)x ∈,总是存在两个不同的23,(0,3)x x ∈, 使得()()()123f x g x g x A B ==⇔⊆.10a ∴-≤,且24ln 3e a <--.解得214ln 3a e ≤<--. ∴实数a 的取值范围为)21,ln34e ⎡--⎣,故答案为:)21,ln34e ⎡--⎣.本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.15.(1)5a =,3b =(2)14【解析】 【分析】(1)由已知利用余弦定理可得2249a b ab ++=,结合2a b -=,即可解得a ,b 的值. (2)由(1)及余弦定理可求cos B ,根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值,利用两角和的正弦函数公式,诱导公式可求sin()A C +的值. 【详解】解:(1)由余弦定理得22222222cos 2cos 49120c a b ab C a b ab a b ab ︒=+-=+-=++=,2a b -=,22(2)(2)49b b b b ∴++++=整理得:22150b b +-=, 因为0b >,解得:3b =,5a =, 综上:5a =,3b =.(2)由(1)知5a =,3b =,7c =,所以22213cos 214a cb B ac +-==,因为B 为ABC ∆的内角,所以sin 14B ==,因为sin()sin()sin A C B B π+=-==所以sin()A C + 【点睛】本题主要考查了余弦定理,同角三角函数基本关系式,诱导公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题. 16.(1)2x π=或3x π=.(2)最大值为32,此时6x π=. 【解析】 【分析】(1)根据向量平行的坐标运算,列方程求解;(2)根据数量积的坐标运算,利用三角公式,将()f x 变形为sin()A x ωϕ+的形式,利用三角函数的性质求最值. 【详解】解:(1)因为,(cos )a x x =,(cos ,sin )b x x =.,//a b ,所以2cos sin x x x =,所以cos (sin )0x x x -=,所以cos 0x =或sin 0x x -=,即cos 0x =或tan x =因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以2x π=或3x π=;(2)因为(cos )a x x =,(cos ,sin )b x x =,所以2()cos sin f x a b x x x =⋅=1cos 21sin 2sin 22262x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭, 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以3()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 所以()f x 的最大值为32,此时6x π=. 【点睛】本题是向量背景下的三角运算问题,考查三角函数的恒等变换,以及三角函数的图像和性质,难度不大,但综合性较强.17.(1)12n na . (2)20,11,22,323,4n n n n T n n n =⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪-+≥⎩【解析】 【分析】(1)由已知列式求得等比数列的公比,进一步求得首项,则数列{}n a 的通项公式可求;(2)设121221n n n c a n n -=-+=-+,作差可得当4n ≥时,0n c >,即4n ≥时,1221n n n b c n -==-+,再求出数列{}n b 的前3项,然后分类利用数列的分组求和求数列{}n b 的前n 项和为nT.【详解】解:(1)设等比数列{}n a 的公比为q (不为0),2a ,31a +,4a 成等差数列,()32421a a a ∴+=+,22a =,所以22(21)22q q +=+,解得2q 或0q =(舍),211a a q∴==, ∴数列{}n a 的通项公式为12n na ;(2)设121221n n n c a n n -=-+=-+,()11122(1)122122n n n n n c c n n --+∴-=-++--+=-,∴当3n ≥,1n n c c +>,又410c =>,所以4n ≥时,0n c >,即4n ≥时,1221n n n b c n -==-+,因为10c =,21c =-,31c =-,所以10b =,21b =,31b =, 所以10T =,21T =,32T =,当4n ≥时,123445(011)n n n T b b b b b b b b =+++++=++++++()3412222(7921)n n -=++++-+++-()3322127212(3)23122n n n n n --+-=+-⋅-=-+-,综上20,11,22,323,4n n n n T n n n =⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪-+≥⎩.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和,考查数列的函数特性,是中档题. 18.(1)8(4cos 1)sin 3S θθ=-,πθ0,3(2)cos θ=【解析】 【分析】(1)结合几何图形计算的直角三角形勾股定理,找出矩形EFGH 的面积S 关于变量θ的函数关系式;(2)对S 关于变量θ的函数关系式进行求导分析,算出0S '=时的cos θ的值,三角计算即可得出结果. 【详解】解:(1)如图,作OP CD ⊥分别交AB ,GH 于M ,N , 由四边形ABCD ,EFGH 是矩形,O 为圆心,120COD ︒∠=, 所以OMAB ⊥,ON GH ⊥,P ,M ,N 分别为CD ,AB ,GH 中点,60CON ︒∠=,在Rt COP ∆中,2CP =,60COP ︒∠=,所以OC =OP =所以OM OP PM OP BC =-=-=在Rt ONG ∆中,GON OGF θ∠=∠=,OG OC ==所以GN θ=,ON θ=,所以2GH GN θ==,3GF MN ON OM θ==-=-,所以8(4cos 1)sin 3S GF GH θθθθ=⋅==-⎭,πθ0,3, 所以S 关于θ的函数关系式为:8(4cos 1)sin 3S θθ=-,πθ0,3(2)由(1)得:()()222884cos 4sin cos 8cos cos 433S θθθθθ'=--=-- 因为πθ0,3, 所以1cos ,12θ⎛⎫∈⎪⎝⎭,令0S '=,得11cos ,1162θ+⎛⎫=⎪⎝⎭,设00,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且0cos θ=, 所以0S '>,得00θθ<<,即S 在()00,θ单调递增,0S '<,得03πθθ<<,即S 在0,3πθ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 所以当0θθ=时,S 取得最大值,所以当cos θ=EFGH 的面积S 最大. 【点睛】本题主要考查根据图形进行计算,掌握运用直角三角形勾股定理知识,三角函数的计算,函数的一阶导数分析能力,本题属难题. 19.(1)1y x =-.(2)-1;(3)1a ≥ 【解析】 【分析】(1)由函数()f x=,可得()f x ',求出(1)f '和切点坐标,利用点斜式即可得出切线方程.(2)由()()(0)F x f x x x x=-=->,求得()F x ',分析()F x '在(0,)+∞上单调性和零点,即可得出()F x 单调性与极值.(3)令()ln ()ln ,(0,1]g x x af x x a x=-=-∈,求出()g x ',对a 分类讨论,利用导数研究其单调性即可得出实数a 的取值范围. 【详解】解:(1)因为()f x=所以()f x '=(1)1f '=,因为()y f x =经过(1,0),所以()f x 的图像在1x =处的切线方程为1y x =-;(2)因为()F x x=-,0x >, 所以()1F x '=, 又()F x '在(0,)+∞递减,(1)0F '=,所以在(0,1)x ∈,()0F x '>,即()F x 在(0,1)递增; 在(1,)x ∈+∞,()0F x '<,即()F x 在(1,)+∞递减, 所以在1x =处,()F x 取极大值,(1)1F =-;(3)设()ln ()ln g x x af x x a=-=-,(0,1]x ∈,所以21()2a g x x '=-= ①0a ≤时,()0g x '>对(0,1]x ∈恒成立, 所以()g x 在(0,1]递增, 又(1)0g =,所以0(0,1)x ∃∈时,()00g x <,这与()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立矛盾,舍去;②1a ≥时,设2()x a a ϕ=-+,(0,1]x ∈,2440a ∆=-≤, 所以()0x ϕ≤,(0,1]x ∈, 所以()0g x '≤对(0,1]恒成立, 所以()g x 在(0,1]递减, 又(1)0g =,所以()(1)0g x g ≥=对(0,1]x ∈恒成立, 所以1a ≥成立;③01a <<时,设2()x a a ϕ=-+,(0,1]x ∈,2440a ∆=->,解()0x ϕ=得两根为1x ,2x 11a=>,(0,1)==,所以101x <<,21>x ,所以()1,1x x ∈,()0x ϕ>,()0g x '>, 所以()g x 在()1,1x 递增, 又(1)0g =,所以()1()01x g g <=,这与()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立矛盾,舍去, 综上:1a ≥. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、方程的实数根与判别式的关系、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 20.(1)证明见解析;(2)2;(3)120【解析】 【分析】(1)令11(1)n n n a na a +-=-中的n 为1n -,又得一式,将两式做差变形,利用等差中项进行证明;(2)利用放缩法和裂项相消法在数列求和中的应用进行证明. (3)利用假设法的应用和存在性问题的应用求出最小值. 【详解】解:(1)因为11(1),n n n a na a +-=-①所以2n ≥时,11(2)(1),n n n a n a a --=-- ②①-②得11(1)2(1)(1)0n n n n a n a n a +----+-=,所以1120,n n n a a a +--+=即112,n n n a a a +-+=所以数列{}n a 为等差数列;(2)因为211a a -=,所以{}n a 的公差为1,因为对任意的正整数n ,都有12311111433n S S S S <++++<, 所以111433S <<,所以1334S <<,即1334a <<, 所以11a =或2,当11a =时,22a =,11S =,23S =,所以121114133S S +=+=,这与题意矛盾,所以11a ≠, 当12a =时,1n a n =+, (3)02n n n S +=>, 111123S =>,123111113n S S S S ++++>恒成立, 因为121133n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭, 1231111211111111111134253621123n S S S S n n n n n n ⎛⎫∴++++=-+-+-++-+-+- ⎪-+-++⎝⎭211111114132312393n n n ⎛⎫=++---<< ⎪+++⎝⎭, 综上,1a 的值为2.(3)因为2115a a -=,所以{}n a 的公差为15, 所以11(1)5n a a n =+-, 所以111510n b a n =++, 由题意,设存在正整数s ,t ,使得s t a b l +=,l Z ∈, 则111155510s t a a l +-+++=,即1202(5)1a l s t =--+, 因为5l s t Z --∈,所以2(5)l s t --是偶数, 所以1201a ≥, 所以1120a ≥, 当1120a =时,41920b =, 所以存在141a b Z +=∈, 综上,1a 的最小值为120. 【点睛】本题考查的知识要点:等差数列的证明和通项公式的应用,裂项相消法在数列求和中的应用和放缩法的应用,假设法在数列的通项公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,难度较大.21.(1)2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(2)292y x x =- 【解析】【分析】(1)根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式,转化成线性方程组可得,a b 的值,即可得到矩阵M ;(2)根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式,通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程.【详解】解:(1)依题意得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,即31333a b -+=⎧⎨-+=-⎩,解得20a b =⎧⎨=⎩, 所以2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦; (2)设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(),P x y ''', 则2130x x y y ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,即23x x y y x ''=+⎧⎨=⎩, 因为2y x ''=,所以292x x y =+,所以曲线C 的方程为292y x x =-.【点睛】本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力,以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程,本题属中档题.22.3πβ=.【解析】【分析】首先利用转换关系式的应用,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换,进一步利用点到直线的距离公式和垂径定理求出结果.【详解】解:以极点为原点,极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系,则曲线C 的极坐标方程化为直角坐标系下的方程为22(1)(4x y -+-=,直线l 的参数方程1cos ,sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩(t 为参数,02πβ<<)在直角坐标系下的方程为(1)(tan )y k x k β=-=,因为圆C 被直线1d ==,2=,k ∴= 因为02πβ<<,所以tan k β==所以3πβ=.【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,点到直线的距离公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题.23.见证明【解析】【分析】 把不等式左边化为1113b c c a a b++-+++,再利用柯西不等式得到11192b c c a a b ++≥+++,从而不等式得到证明. 【详解】因为,,0a b c >,1a b c ++=,所以a b c b c c a a b+++++ 1111113b c c a a b b c c a a b b c c a a b------=++=++-++++++ 由[]2=2()=()+()+()a b c a b b c c a +++++,由柯西不等式,得[]111()()()b c c a a b b c c a a b ⎛⎫+++++⋅++ ⎪+++⎝⎭ 29≥+= 所以11192b c a c a b ++≥+++,即93322a b c b c a c a b ++≥-=+++. 【点睛】多变量不等式的证明,可根据不等式的特点选择均值不等式或柯西不等式等来证明,如果不等式是和与积的形式,可考虑前者,如果是平方和与对应乘积和的关系,则考虑后者,必要时需对原有不等式变形化简,使之产生需要的结构形式.24.(1)38,23.(2)分布列见解析,数学期望2524. 【解析】【分析】(1)设甲、乙、丙击中目标分别记为事件,,A B C ,则3()4P A =,且1()()121()()4P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,由此能求出乙、丙二人各自击中目标的概率.(2)由题意X 的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出X 的分布列和E (X ).【详解】解:(1)设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A 、B 、C ,则3()4P A =,且有 1()(),121()(),4P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即311[1()],4121()().4P C P B P C ⎧⎛⎫--= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩解得3()8P B =,2()3P C =, 所以乙、丙二人各自击中目标的概率分别为38,23; (2)由题意,X 的可能取值为0,1,2,1(2)4P X ==, 515(0)()()8324P X P B P C ===⨯=, 13(1)1(0)(2)24P X P X P X ==-=-==. 所以随机变量X 的分布列为513125()0122424424E X =⨯+⨯+⨯= 所以X 的数学期望为2524. 【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.25.(1)60°(2)32λ=【解析】【分析】(1)推导出1AA ⊥平面ABC ,11,AB AA AA ⊥⊥AC ,建立分别以AB ,AC ,1AA 为,,x y z 轴的空间直角坐标系,利用法向量能求出异面直线AE 与1A F 所成角.(2)推导出平面AEF 的法向量和平面1A EF 的一个法向量,由平面AEF ⊥平面1A EF ,能求出λ的值.【详解】解:因为直三棱柱111ABC A B C -,所以1AA ⊥平面ABC ,因为,AB AC ⊂平面ABC ,所以1AA AB ⊥,1AA AC ⊥,又因为90BAC ︒∠=,所以建立分别以AB ,AC ,1AA 为,,x y z 轴的空间直角坐标系A xyz -.(1)设1a =,则1AB AC ==,13AA =,各点的坐标为(0,0,0)A ,(1,0,1)E ,1(0,0,3)A ,(0,1,2)F .(1,0,1)AE =,1(0,1,1)A F =-. 因为1||||2AE A F ==11AE A F ⋅=-, 所以1111cos ,2||||2AE A F AE A F AE A F ⋅〈〉===-. 所以向量AE 和1A F 所成的角为120°,所以异面直线AE 与1A F 所成角为60°; (2)因为,0,3b E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,20,,3b F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ,0,3b AE a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭,20,,3b AF a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设平面AEF 的法向量为1(,,)n x y z =,则10AE n ⋅=,且10AF n ⋅=.即03bz ax +=,且203bz ay +=. 令1z =,则3b x a =-,23b y a =-. 所以122,,1,,13333b b a a n λλ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是平面AEF 的一个法向量.同理,222,,1,,13333b b n a a λλ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是平面1A EF 的一个法向量. 因为平面AEF ⊥平面1A EF ,所以120n n ⋅=,22221099λλ∴--+=, 解得32λ=. 所以当平面AEF ⊥平面1A EF 时,32λ=. 【点睛】本题考查异面直线所成角的大小、实数值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.。

2020届江苏省苏州中学高三上学期考试(一)数学试题

2020届江苏省苏州中学高三上学期考试(一)数学试题
11.已知 是奇函数且f(3t﹣a)+4f(8﹣2t)≤0,则t的取值范围是_____
【答案】[2035,+∞)
【解析】由 是奇函数,可解得参数 ,再分类讨论求解不等式..
【详解】
因为函数 是奇函数,故可解的 ;
(1)当 0时,
即 ,且 此时无解, ;
(2)当 0
即 ,
此时
显然f(3t+2019)+4f(8﹣2t)≤0不可能,
解:∵x2>x,
∴x>1或x<0,
∴x>1⇒x2>x,
∴x>1是x2>x充分不必要,
故答案为充分不必要.
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
5.若 ,则函数
【答案】
【解析】设 ,则 ,求得 ,从而可得结果.
【详解】
设 ,则 ,
因为 ,
所以 ,
所以 ,故答案为 .
【点睛】
本题主要考查函数解析式的求法,属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种:(1)根据实际应用求函数解析式;(2)换元法求函数解析式,利用换元法一定要注意,换元后参数的范围;(3)待定系数法求函数解析式,这种方法适合求已知函数名称的函数解析式;(4)消元法求函数解析式,这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.
【答案】 ,
【解析】全称命题的否定是特称命题, 该命题的否定为“ , ”。
点睛:命题的否定主要考察全称命题和特称命题的否定,掌握其方法:全称的否定是特称,特称的否定是全称,命题否定是条件不变,结论变。
4.“x>1”是“x2>x”的条件.
【答案】充分不必要
【解析】试题分析:由题意把x2>x,解出来得x>1或x<0,然后根据命题x>1与命题x>1或x<0,是否能互推,再根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断.

2020届苏州中学高三上学期期初数学试题

2020届苏州中学高三上学期期初数学试题

2020届江苏省苏州中学高三上学期期初数学试题一、填空题1.已知R 为实数集,集合{}1,0,1A =-,集合{}0B x x =≤,则R A B =I ð______. 【答案】{}1【解析】利用补集的定义求出集合B R ð,然后利用交集的定义求出集合R A B I ð. 【详解】{}0B x x =≤Q ,{}0R B x x ∴=>ð,因此,{}1R A B =I ð.故答案为:{}1. 【点睛】本题考查列举法、描述法的定义,以及交集、补集的运算,考查计算能力,属于基础题. 2.若复数122,2z i z a i =+=-(i 为虚数单位),且12z z 为实数,则实数a =______________.【答案】4【解析】根据复数的乘法运算法则,求出12z z ,由虚部为零,即可求解. 【详解】1212,22,(42)2z i i z a i z a a z =+=-=++-,12z z Q 为实数,4a =.故答案为:4. 【点睛】本题考查复数的代数运算以及复数的分类,属于基础题. 3.已知函数1()1xf x a e =+-为奇函数,则实数a =___________. 【答案】12【解析】根据奇函数的必要条件有(1)(1)f f -=-,求出a ,再加以验证()f x 是否为奇函数. 【详解】函数1()1xf x a e =+-为奇函数,(1)(1)f f ∴-=-, 11+111a a e e=----,解得,12a =, 此时111()212(1)x x x e f x e e +=+=--,11()()2(1)2(1)x xx xe ef x f x e e --++-===---, 所以()f x 为奇函数. 故答案为:12. 【点睛】本题考查函数奇偶性求参数,注意必要条件的应用减少计算量,但要验证,属于基础题. 4.抛物线214y x =的准线方程是___________________. 【答案】1y =- 【解析】将214y x =化成抛物线的标准方程24x y =,利用抛物线的性质求解即可. 【详解】由214y x =得:24x y =,所以24p =,即:12p = 所以抛物线214y x =的准线方程为:12py =-=-.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质,属于基础题.5.设函数f (x )=ax 2-2x +2,对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0,则实数a 的取值范围为________.【答案】12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,【解析】分离参数法表达出a 的表达式,对函数配方,根据x 的范围,从而确定a 的范围. 【详解】∵满足1<x <4的一切x 值,都有f (x )=ax 2﹣2x+2>0恒成立,可知a≠0 ∴a >()221x x -=2[14﹣(1x ﹣12)2],满足1<x <4的一切x 值恒成立,∵14<1x <1, ∴2[14﹣(1x ﹣12)2]∈(0,12],实数a 的取值范围为:12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,. 故答案为:12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,. 【点睛】本题考查了不等式恒成立,二次函数的性质,函数的单调性,涉及了变量分离求最值得方法,属于中档题.6.已知函数()()()sin 20f x x ϕϕπ=+≤<关于直线6x π=-对称,则()0f =______.【答案】12【解析】根据对称轴方程,2x k k Z ππ=+∈,得到ϕ的表示,根据条件中的ϕ的范围结合k 的取值即可求出ϕ的值,最后可计算()0f 的值. 【详解】因为正弦函数的对称轴为,2x k k Z ππ=+∈,所以2,62k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭, 所以5,6k k Z πϕπ=+∈,又因为[)0,ϕπ∈,所以56πϕ=,此时0k =, 所以()5sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()510sin 62f π==. 故答案为12. 【点睛】已知正弦(或余弦)型函数的对称轴,求解函数中参数的方法:(1)根据对称轴方程,再利用给定的参数范围去求解参数值;(2)根据对称轴对应的是函数的最值,并利用参数范围求解参数值.7.若曲线(1)x y ax e =+在(0,1)处的切线斜率为-1,则a =___________. 【答案】2-【解析】求出y ',并由0|1x y ='=-,建立a 的方程,即可求解.,((1)1)x x y y ax e ax a e '=+=++, 011,2x y a a ='=+=-∴=-.故答案为:-2. 【点睛】本题考查导数的几何意义,属于基础题.8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若264,,S S S 成等差数列,则246a a a +的值为__________. 【答案】2.【解析】分析:利用264,,S S S 成等差数列求出1q =-,由()222144462112a q a a q a a q q+++===可得结果. 详解:设{}n a 的首项1a ,公比为q ,1q =时,264,,S S S 成等差数列,不合题意; 1q ≠时,Q 264,,S S S 成等差数列,()()()6241112111111a q a q a q qq q---∴=+---,解得1q =-,()222144462112a q a a q a a q q+++∴===,故答案为2. 点睛:本题主要考查等比数列的基本性质、等比数列的求和公式,意在考查函数与方程思想、计算能力以及综合运用所学知识解决问题的能力,属于中档题.9.若双曲线22219x y b-=满足9b ≥,则该双曲线离心率的取值范围是_______________.【答案】)+∞【解析】根据双曲线离心率公式,得3e =,由已知b 的范围,即可求解.双曲线22219x y b -=离心率为3e =,9,b e ≥∴Q 故答案为:)+∞ 【点睛】本题考查双曲线的性质,属于基础题.10.已知△ABC 的三边上高的长度分别为2,3,4,则△ABC 最大内角的余弦值等于________. 【答案】1124-【解析】不妨设ABC ∆的三边a ,b ,c 上对应的高的长度分别为2,3,4,由三角形的面积公式可得234a b c ==,设234a b c x ===,可得2x a =,3x b =,4xc =,可得A 为三角形的最大角,由余弦定理即可计算得解. 【详解】解:由题意,不妨设ABC ∆的三边a ,b ,c 上对应的高的长度分别为2,3,4, 由三角形的面积公式可得:111234222a b c ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯,解得:234a b c ==,设234a b c x ===, 则2x a =,3x b =,4xc =,可得a 为三角形最大边,A 为三角形的最大角, 由余弦定理可得:222222()()()11342cos 224234x x xb c a A x x bc +-+-===-⨯⨯.故答案为:1124-. 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式,余弦定理在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.11.已知函数2()6f x x =-,若0a b >>,且()()f a f b =,则2a b 的最大值是______________. 【答案】16【解析】根据已知求出22,a b 关系,以及b 的范围,将2a b 转化求关于b 的关系式,即可求解. 【详解】22()(),|6||6|,0f a f b a b a b =∴-=->>Q ,22260,066b b a b -<<<-=-+,222312,12a b a b b b ∴=-∴=-+,设3()12,0f x x x x =-+<<2()3123(2)(2)f x x x x '=-+=-+-,当(0,2),()0,()x f x f x '∈>单调递增,当()0,()x f x f x '∈<单调递减,2x ∴=时,()f x 取得极大值16,也是最大值,2a b ∴的最大值是16.故答案为:16. 【点睛】本题以二次函数为背景,考查利用导数研究函数的单调性和最值,属于中档题.12. 若直线y =x +m 与曲线x 则实数m 的取值范围是______.【答案】{m |-1<m ≤1或m }【解析】由x 2+y 2=1,注意到x≥0,所以这个曲线应该是半径为1,圆心是(0,0)的半圆,且其图象只在一、四象限.画出图象,这样因为直线与其只有一个交点,由此能求出实数m 的取值范围. 【详解】由x 2+y 2=1,注意到x≥0,所以这个曲线应该是半径为1,圆心是(0,0)的半圆, 且其图象只在一、四象限.画出图象,这样因为直线与其只有一个交点, 从图上看出其三个极端情况分别是:①直线在第四象限与曲线相切, ②交曲线于(0,﹣1)和另一个点, ③与曲线交于点(0,1).直线在第四象限与曲线相切时解得m=﹣2, 当直线y=x+m 经过点(0,1)时,m=1.当直线y=x+m 经过点(0,﹣1)时,m=﹣1,所以此时﹣1<m≤1. 综上满足只有一个公共点的实数m 的取值范围是: ﹣1<m≤1或m=﹣2.故答案为:{m |-1<m ≤1或m =-2}. 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意数形结合思想的合理运用.13.如图,已知AC 与BD 交于点E ,//AB CD ,310AC =,26AB CD ==,则当tan 3A =时,BE CD ⋅=u u u r u u u r_____________.【答案】12【解析】根据已知条件可得2210AE EC ==,AB AE u u u r u u u r 为基底,将BE u u u r用基底表示,根据向量的数量积公式,即可求解. 【详解】21tan 3,0,sin 3cos ,cos 210A A A A A π=∴<<==,6cos /,10,210/AB C AB CD D A ∴===, 2,2210AE ABAE EC EC DC∴==∴==, 2111()||222BE CD AE AB AB AE AB AB ⎛⎫⋅=--=-⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r21101621061222=-⨯⨯⨯+⨯=.故答案为:12. 【点睛】本题考查向量的线性关系、向量基本定理、向量的数量积,考查计算求解能力,属于中档题.14.已知圆C 的方程为:(x -3)2+(y -2)2=r 2(r >0),若直线3x +y =3上存在一点P ,在圆C 上总存在不同的两点M ,N ,使得点M 是线段PN 的中点,则圆C 的半径r 的取值范围是________. 【答案】410[,)+∞. 【解析】通过已知条件,求出点P 的轨迹方程,而点P 又在直线3x +y =3上,问题转化为直线与圆有公共点,即可求出r 的取值范围. 【详解】如图,连结PC ,依次交圆于E ,F 两点,连结MF ,EN ,因为∠PNE 和∠PFM 都是弧¼ME的圆周角,由圆周角定理可得∠PNE =∠PFM ,又∠NPE =∠FPM ,所以△PNE ∽△PFM ,所以PN PE PFPM=,即PE PF PN PM ⋅=⋅,而,PE PC r PF PC r =-=+,所以有22PC r PM PN -=⋅,因为M 是线段PN 的中点,所以2222PC r MN -=, 又因为M ,N 是圆上的任意两点,则有0<MN ≤2r ,即0<22PC r -≤8r 2.设动点P (x ,y ),圆心C 坐标为(3,2),则有0<(x -3)2+(y -2)2-r 2≤8r 2,即r 2<(x -3)2+(y -2)2≤9r 2,在一个圆环内,又因为P 在直线3x +y =3上,所以直线3x +y =3与圆环有公共点,即直线与圆(x -3)2+(y -2)2=9r 2有公共点,则有3d r =≤,解得r ≥,所以圆C 的半径r的取值范围是)+∞.故答案为:)+∞ 【点睛】此题考查通过中点关系,求出动点轨迹,转化成求直线与圆的位置关系.二、解答题15.已知集合{}2|3100A x x x =--≤,(1)若集合{21,1}B m m =---+,且A B A ⋃=,求实数m 的取值范围; (2)若集合{|211}B x m x m =--≤≤-+,且A B A ⋃=,求实数m 的取值范围. 【答案】(1)132m -≤≤(2)1,2m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦【解析】(1)由已知可得B A ⊆,B 的两个元素在集合A 中,建立关于m 的不等式关系,即可求解;(2)由已知可得B A ⊆,对B 是否为空集分类讨论,若B 是空集,满足条件,若B 不是空集,由集合的关系确定集合B 端点位置,建立关于m 的不等式关系,即可求出结论. 【详解】解:{}2|3100[2,5]A x x x =--≤=-(1)A B A B A ⋃=⇒⊆,所以2215215m m -≤--≤⎧⎨-≤-+≤⎩,即13243m m ⎧-≤≤⎪⎨⎪-≤≤⎩,解得132m -≤≤,实数m 的取值范围132m -≤≤;(2)A B A B A ⋃=⇒⊆,①若B =∅, 则211,2m m m -->-+∴<-, ②若B =∅,则2m ≥-,又B A ⊆,则221215m m m ≥-⎧⎪--≥-⎨⎪-+≤⎩,解得122m -≤≤,综上实数m 的取值范围1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查集合间的关系,要注意空集不要遗漏,属于基础题. 16.已知cos 7α=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(1)求()sin4απ+的值; (2)若()11cos 14αβ+=,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求β的值. 【答案】;(2)6πβ=.【解析】分析:(1)根据同角三角函数可得sin α,再根据正弦的两角和公式,即可求得sin()4πα+的值.(2)根据同角三角函数可得sin()αβ+,另sin sin()βαβα=+-,再根据正弦的两角差公式,即可求得sin β,然后求出β值.详解:解:(1)由cos 7α=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,得17sin α===, 所以sin cos cos sin 444sin πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭17=+=(2)因为,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以()0,αβπ+∈,又()11cos 14αβ+=,则()sin αβ+===, 所以()sin sin βαβα=+- ()()sin cos cos sin αβααβα=+-+11111471472=⨯-⨯=, 因为0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以6πβ=.点睛:本题考查两角和与差的三角函数,同角三角函数的基本关系式的应用,考查角的变化技巧以及特殊角的三角函数值。

2020届江苏省苏州中学高三上学期期初数学试题

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绝密★启用前2020届江苏省苏州中学高三上学期期初数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________注意事项:注意事项:1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、填空题1.已知R 为实数集,集合{}1,0,1A =-,集合{}0B x x =≤,则R A B =I ð______. 答案:{}1利用补集的定义求出集合B R ð,然后利用交集的定义求出集合R A B I ð. 解:{}0B x x =≤Q ,{}0R B x x ∴=>ð,因此,{}1R A B =I ð.故答案为:{}1. 点评:本题考查列举法、描述法的定义,以及交集、补集的运算,考查计算能力,属于基础题. 2.若复数122,2z i z a i =+=-(i 为虚数单位),且12z z 为实数,则实数a =______________.答案:4根据复数的乘法运算法则,求出12z z ,由虚部为零,即可求解. 解:1212,22,(42)2z i i z a i z a a z =+=-=++-,12z z Q 为实数,4a =.故答案为:4. 点评:本题考查复数的代数运算以及复数的分类,属于基础题. 3.已知函数1()1xf x a e =+-为奇函数,则实数a =___________. 答案:12根据奇函数的必要条件有(1)(1)f f -=-,求出a ,再加以验证()f x 是否为奇函数.解:函数1()1xf x a e =+-为奇函数,(1)(1)f f ∴-=-, 11+111a a e e=----,解得,12a =,此时111()212(1)x x xe f x e e +=+=--, 11()()2(1)2(1)x xx x e e f x f x e e --++-===---,所以()f x 为奇函数. 故答案为:12. 点评:本题考查函数奇偶性求参数,注意必要条件的应用减少计算量,但要验证,属于基础题. 4.抛物线214y x =的准线方程是___________________. 答案:1y =- 将214y x =化成抛物线的标准方程24x y =,利用抛物线的性质求解即可. 解:由214y x =得:24x y =,所以24p =,即:12p= 所以抛物线214y x =的准线方程为:12py =-=-.点评:本题主要考查了抛物线的简单性质,属于基础题.5.设函数f (x )=ax 2-2x +2,对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0,则实数a 的取值范围为________.答案:12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,分离参数法表达出a 的表达式,对函数配方,根据x 的范围,从而确定a 的范围. 解:∵满足1<x <4的一切x 值,都有f (x )=ax 2﹣2x+2>0恒成立,可知a ≠0 ∴a >()221x x -=2[14﹣(1x ﹣12)2],满足1<x <4的一切x 值恒成立,∵14<1x <1, ∴2[14﹣(1x ﹣12)2]∈(0,12],实数a 的取值范围为:12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,. 故答案为:12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,. 点评:本题考查了不等式恒成立,二次函数的性质,函数的单调性,涉及了变量分离求最值得方法,属于中档题.6.已知函数()()()sin 20f x x ϕϕπ=+≤<关于直线6x π=-对称,则()0f =______.答案:12根据对称轴方程,2x k k Z ππ=+∈,得到ϕ的表示,根据条件中的ϕ的范围结合k 的取值即可求出ϕ的值,最后可计算()0f 的值. 解:因为正弦函数的对称轴为,2x k k Z ππ=+∈,所以2,62k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭, 所以5,6k k Z πϕπ=+∈,又因为[)0,ϕπ∈,所以56πϕ=,此时0k =, 所以()5sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()510sin 62f π==. 故答案为12. 点评:已知正弦(或余弦)型函数的对称轴,求解函数中参数的方法:(1)根据对称轴方程,再利用给定的参数范围去求解参数值;(2)根据对称轴对应的是函数的最值,并利用参数范围求解参数值.7.若曲线(1)xy ax e =+在(0,1)处的切线斜率为-1,则a =___________.答案:2-求出y ',并由0|1x y ='=-,建立a 的方程,即可求解.,((1)1)x x y y ax e ax a e '=+=++, 011,2x y a a ='=+=-∴=-.故答案为:-2. 点评:本题考查导数的几何意义,属于基础题.8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若264,,S S S 成等差数列,则246a a a +的值为__________. 答案:2.分析:利用264,,S S S 成等差数列求出1q =-,由()222144462112a q a a q a a q q+++===可得结果.详解:设{}n a 的首项1a ,公比为q ,1q =时,264,,S S S 成等差数列,不合题意; 1q ≠时,Q 264,,S S S 成等差数列,()()()6241112111111a q a q a q qq q---∴=+---,解得1q =-,()222144462112a q a a q a a q q+++∴===,故答案为2.点睛:本题主要考查等比数列的基本性质、等比数列的求和公式,意在考查函数与方程思想、计算能力以及综合运用所学知识解决问题的能力,属于中档题.9.若双曲线22219x y b -=满足9b ≥,则该双曲线离心率的取值范围是_______________.答案:)+∞根据双曲线离心率公式,得3e =b 的范围,即可求解.双曲线22219x y b -=离心率为3e =,9,b e ≥∴Q 故答案为:)+∞ 点评:本题考查双曲线的性质,属于基础题.10.已知△ABC 的三边上高的长度分别为2,3,4,则△ABC 最大内角的余弦值等于________. 答案:1124-不妨设ABC ∆的三边a ,b ,c 上对应的高的长度分别为2,3,4,由三角形的面积公式可得234a b c ==,设234a b c x ===,可得2x a =,3x b =,4xc =,可得A 为三角形的最大角,由余弦定理即可计算得解. 解:解:由题意,不妨设ABC ∆的三边a ,b ,c 上对应的高的长度分别为2,3,4, 由三角形的面积公式可得:111234222a b c ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯,解得:234a b c ==,设234a b c x ===, 则2x a =,3x b =,4xc =,可得a 为三角形最大边,A 为三角形的最大角, 由余弦定理可得:222222()()()11342cos 224234x x xb c a A x x bc +-+-===-⨯⨯.故答案为:1124-. 点评:本题主要考查了三角形的面积公式,余弦定理在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.11.已知函数2()6f x x =-,若0a b >>,且()()f a f b =,则2a b 的最大值是______________. 答案:16根据已知求出22,a b 关系,以及b 的范围,将2a b 转化求关于b 的关系式,即可求解.22()(),|6||6|,0f a f b a b a b =∴-=->>Q ,22260,066b b a b -<<<-=-+,222312,12a b a b b b ∴=-∴=-+,设3()12,0f x x x x =-+<<2()3123(2)(2)f x x x x '=-+=-+-,当(0,2),()0,()x f x f x '∈>单调递增,当()0,()x f x f x '∈<单调递减,2x ∴=时,()f x 取得极大值16,也是最大值,2a b ∴的最大值是16.故答案为:16. 点评:本题以二次函数为背景,考查利用导数研究函数的单调性和最值,属于中档题.12. 若直线y =x +m 与曲线x m 的取值范围是______.答案:{m |-1<m ≤1或m }由x 2+y 2=1,注意到x ≥0,所以这个曲线应该是半径为1,圆心是(0,0)的半圆,且其图象只在一、四象限.画出图象,这样因为直线与其只有一个交点,由此能求出实数m 的取值范围. 解:由x 2+y 2=1,注意到x ≥0,所以这个曲线应该是半径为1,圆心是(0,0)的半圆, 且其图象只在一、四象限.画出图象,这样因为直线与其只有一个交点, 从图上看出其三个极端情况分别是: ①直线在第四象限与曲线相切, ②交曲线于(0,﹣1)和另一个点, ③与曲线交于点(0,1).。

江苏省苏州市2019

江苏省苏州市2019

江苏省苏州市2019-2020学年高三上学期期初调研数学试题xxx注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明一、填空题1.已知集合{1,3}A =,{3,9}B =,则A B =_____.2.如果复数2()3bi b R i-∈+的实部与虚部互为相反数,则b 等于_____. 3.下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况,则这五次测试得分的方差为______.4.已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料,从这4瓶饮料中随机取2瓶,则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是_________.5.根据如图所示的伪代码,当输入的,a b 分别为2,3时,最后输出的b 的值为______.6.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两条渐近线的方程为2y x =±,则该双曲线的离心率为_______.7.如图,在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形,且AB =3,BC =5,M 是AA 1的中点,则三棱锥A 1﹣MBC 1的体积为_____.8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1530S =,71a =,则10S 的值为_____. 9.已知()y f x =是定义在R 上的偶函数,当[0,)x ∈+∞时,sin ,[0,1)()(1),[1,)x x f x f x x ∈⎧=⎨-∈+∞⎩,则56f π⎛⎫--= ⎪⎝⎭_______. 10.已知在ABC ∆中,1AC =,3BC =.若O 是该三角形内的一点,满足()()0OA OB CA CB +⋅-=,则CO AB ⋅=_____.11.已知sin 222cos2αα-=,则2sin sin 2αα+=__________.12.已知点A B 、是圆22:4O x y +=上任意两点,且满足AB =点P 是圆22:(4)(3)4C x y +++=上任意一点,则||PA PB +的取值范围是______.13.设实数1a ≥,若不等式||2x x a a -+≥,对任意的实数[1,3]x ∈恒成立,则满足条件的实数a 的取值范围是_____.14.在ABC ∆中,若tan tan 3tan tan A A B C +=,则sin A 的最大值为_____.二、解答题15.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,AB BC =,点P 是棱AC 的中点.(1)求证:1AB //平面1PBC ;(2)求证:平面1PBC ⊥平面11AAC C .16.已知函数7()sin sin 412f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (1)求函数()y f x =的最小正周期和单调递增区间;(2)当[0,]x π∈时,试求函数()y f x =的最大值,并写出取得最大值时自变量x 的值.17.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为60的菱形的四个顶点.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线y kx =交椭圆C 于,A B 两点,在直线上存在点P ,使得PAB△为等边三角形,求k 的值.18.某地举行水上运动会,如图,岸边有,A B 两点,30BAC ︒∠=,小船从A 点以v 千米/小时的速度沿AC 方向匀速直线行驶,同一时刻运动员出发,经过t 小时与小船相遇.(水流速度忽略不计)(1)若4v =,2AB km =,运动员从B 处出发游泳匀速直线追赶,为保证在1小时内(含1小时)能与小船相遇,试求运动员游泳速度的最小值;(2)若运动员先从A 处沿射线AB 方向在岸边跑步匀速行进(0)m m t <<小时后,再游泳匀速直线追赶小船.已知运动员在岸边跑步的速度为4千米小时,在水中游泳的速度为2千米小时,试求小船在能与运动员相遇的条件下v 的最大值.19.已知函数()(),ln xf x eg x x ==.(1)设()()2h x g x x =-,求函数()h x 的单调增区间; (2)设01x >,求证:存在唯一的0x ,使得函数()y g x =的图象在点()()00,A x g x 处的切线l 与函数()y f x =的图象也相切; (3)求证:对任意给定的正数a ,总存在正数x ,使得不等式()11f x a x--<成立. 20.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{}n b 满足:1155b a ==,529a b ==,当3n ≥时,1n n S b +>,且n S ,1n n S b +-,2n S -成等比数列,*N n ∈.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)求证:数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中;(3)将数列{}n a 、11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的项按照:当n 为奇数时,n a 放在前面:当n 为偶数时,11n n b b +放在前面进行“交叉排列”,得到一个新的数列:1a ,121b b ,231b b ,2a ,3a ,341b b ,…这个新数列的前n 和为n T ,试求n T 的表达式. 21.设变换T 是按逆时针旋转2π的旋转变换,对应的变换矩阵是M . (1)求点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标; (2)求曲线2:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程.22.已知直线的参数方程为11x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数),圆C 的参数方程为cos sin x a y a θθ=⎧⎨=⎩(0a >,θ为参数),点P 是圆C 上的任意一点,若点P到直线的距离的最大值为1,求实数a 的值.23.已知x 、y 、z 均为正数,求证:111x y z yz zx xy x y z≥++++ 24.设集合{}1,0,1M =-,集合 {}12,,,,1,2,,n n i A x x x x M i n =∈=⋯,集合n A 中满足条件 “121n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为n m S . (1)求22S 和42S 的值;(2)当m n <时,求证:11322n n m n m S ++<+-.参考答案1.{}1,3,9【解析】【分析】根据并集的运算即可求解.【详解】集合{1,3}A =,{3,9}B =,由并集的运算可得{}1,3,9AB =, 故答案为:{}1,3,9.【点睛】本题考查了并集的简单运算,属于基础题.2.1【解析】【分析】根据复数的除法运算化简,结合复数的实部与虚部互为相反数,即可求得b 的值.【详解】 复数2()3bi b R i-∈+, 由复数除法运算化简可得()()()()2326233331010bi i bi b b i i i i ----+==-++-, 因为复数的实部与虚部互为相反数, 即62301010b b -+⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,解得1b =, 故答案为:1.【点睛】本题考查了复数的概念,复数的除法运算,属于基础题.3.4【解析】根据表格可计算得五次测试得分的均值,由方差公式即可求得五次测试成绩的方差.【详解】 由表格可知,五次测试得分的均值为3330272931305++++=, 由方差公式可得()()()()()2222221333030302730293031305s ⎡⎤=-+-+-+-+-⎢⎥⎣⎦ 12045=⨯=, 故这五次测试成绩的方差为4.故答案为:4.【点睛】本题考查了平均数与方差的求法,属于基础题.4.56【解析】【分析】先求出从4瓶饮料中随机抽出2瓶的所有的抽法种数,再求出取出的2瓶不是果汁类饮料的种数,利用对立事件的概率即可求得.【详解】从4瓶饮料中随机抽出2瓶,所有的抽法种数为24C =6(种),取出的2瓶不是果汁类饮料的种数为22C =1(种).所以所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为P =1﹣16=56 . 故答案为56. 【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式,考查了对立事件的概率,解答的关键是掌握对立事件的概率和等于1,属于基础题.5.2【解析】【分析】根据程序代码,即可求得输出值.由程序框图可知,当输入的,a b 分别为2,3时,235a a b =+=+=,532b a b =-=-=,所以输出的2b =,故答案为:2.【点睛】本题考查了伪代码的简单应用,属于基础题.6【解析】【分析】由双曲线的两条渐近线方程是y =±2x,得b =2a ,从而c ==,即可求出双曲线的离心率.【详解】 ∵双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两条渐近线方程是y =±2x,∴2b a =,即b =2a ,∴c =,∴c e a==.【点睛】本题考查双曲线的离心率,考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,属于基础题. 7.4【解析】【分析】用等体积法将三棱锥A 1﹣MBC 1的体积转化为三棱锥11C A MB -的体积即可.【详解】∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形,且AB =3,BC =5, ∴A 1C 1⊥AA 1,AC 2+AB 2=BC 2,∴A 1C 1⊥A 1B 1,∵AA 1∩A 1B 1=A 1,∴A 1C 1⊥平面A 1MB ,∵M 是AA 1的中点,∴1111134222A MB AA B S S ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭3, ∴三棱锥A 1﹣MBC 1的体积:1111111113433A MBC C A MB A MB V V S AC --==⨯⨯=⨯⨯=4. 故答案为:4.【点睛】 本题考查等体积法求三棱锥的体积,考查学生转化与化归的思想,考查学生基本计算能力,是一个常考点.8.-5【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式,结合通项公式及性质即可求得首项和公差,进而代入前n 项和公式即可求得10S 的值.【详解】由等差数列前n 项和公式可得()1151581515302a a S a ⨯+===, 则82a =,由等差数列的通项公式可得117261a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得151a d =-⎧⎨=⎩, 所以()10109105152S ⨯=⨯-+⨯=-, 故答案为:-5.【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的简单应用,属于基础题.9.12【解析】【分析】根据偶函数性质可知5566f f ππ⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,结合函数解析式可知当1x ≥时为周期等于1的周期函数,所以566f f ππ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,代入即可求解. 【详解】 ()y f x =是定义在R 上的偶函数, 所以5566f f ππ⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 当[0,)x ∈+∞时,sin ,[0,1)()(1),[1,)x x f x f x x ∈⎧=⎨-∈+∞⎩, 即当1x ≥时为周期等于1的周期函数, 即566f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以1sin 662f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 故答案为:12. 【点睛】本题考查了分段函数的求值,偶函数与周期函数的综合应用,属于基础题.10.4【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算律,结合向量的线性运算可得OA OB =,画出几何关系图示,即可由平面向量数量积运算律求得CO AB ⋅.【详解】因为()()0OA OB CA CB +⋅-=,则()0OA OB BA +⋅=,即()()0OA OB OA OB +⋅-=,所以220OA OB -=,即OA OB =,所以O 在AB 的垂直平分线上,由题意可知1AC =,3BC =.设AB 中点为M ,如下图所示:由平面向量的线性运算及数量积运算律可得()CO AB CM MO AB ⋅=+⋅CM AB MO AB =⋅+⋅()()12CM AB CA CB CB CA =⋅=+⋅- 221122CB CA =- 221131422=⨯-⨯=, 故答案为:4.【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算律及几何中向量的线性运算应用,属于中档题.11.1或85【解析】由sin 222cos2αα-=得sin 22(1cos 2)0αα-+=,即22sin cos 4cos 0ααα-=,所以cos 0α=或tan 2α=, 当cos 0α=时,22sin sin 21cos 2sin cos 1ααααα+=-+=,当tan 2α=时,22222222sin 2sin cos tan 2tan 2228sin sin 2sin cos tan 1215αααααααααα+++⨯+====+++,故答案为1或85. 【点睛】在已知tan α的值求关于sin ,cos αα的函数值时,有两类问题可通过把待求式转化为tan α的式子快速求值:(1)关于sin ,cos αα的齐次分式:一次齐次式sin cos ()sin cos a b f c d ααααα+=+,二次齐次式2222sin sin cos cos ()sin sin cos cos a b c f d e f ααααααααα++=++; (2)可化为二次齐次式的代数式:22()sin sin cos cos f a b c ααααα=++22sin sin cos cos 1a b c αααα++=2222sin sin cos cos sin cos a b c αααααα++=+. 12.[]4,8【解析】【分析】根据题意在坐标系中画出两个圆,结合平面向量的线性运算,由点与圆的位置关系即可判断出取最大值和最小值时的位置,进而求解.【详解】根据题意,画出图形关系如下图所:取AB 的中点D ,由两个圆的方程可知2,5CP CO ===,则1OD ===,由平面向量线性运算可知2PA PB PD +=,当C P O D 、、、四点共线时,PD 取得最小值,此时5212PD CO CP OD =--=--=, 当C P O D '、、、四点共线时,PD 取得最大值,此时5214PD CO CP OD '=-+'=-+=,所以[]24,8PD ∈,即||PA PB +的取值范围为[]4,8,故答案为:[]4,8.【点睛】本题考查了平面向量与圆的综合应用,点和圆位置关系的综合应用,距离最值的求法,属于中档题.13.[]71,2,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据题意,将不等式变形,转化为两个函数在[1,3]x ∈内的位置关系,再对a 分类讨论,画出函数图像即可分析a 的取值范围. 【详解】对于实数1a ≥,不等式||2x x a a -+≥,对任意的实数[1,3]x ∈恒成立, 则2a x a x--≥对于任意的实数[1,3]x ∈恒成立, 所以函数y x a =-的图像在[1,3]x ∈时恒在2a y x -=图像的上方, 当2a =时,显然成立;当12a ≤<时,2a y x-=在第四象限,若函数y x a =-的图像在[1,3]x ∈时恒在2a y x-=图像的上方,如下图所示:此时在[1,3]x ∈时恒成立,因而12a ≤<成立;当2a >时,2a y x -=在第一象限;若函数y x a =-的图像在[1,3]x ∈时恒在2a y x -=图像的上方,如下图所示:结合图像可知,需满足2233a a a >⎧⎪-⎨-≥⎪⎩, 解不等式可得72a ≥, 综上所述,满足条件的实数a 的取值范围为[]71,2,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭, 故答案为:[]71,2,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了含参数绝对值不等式的解法,不等式与函数的关系综合应用,数形结合法求参数的取值范围,属于难题.14【解析】【分析】根据同角三角函数中的商数关系式,结合正弦和角公式化简, 并由正弦定理将角化为边,代入余弦定理即可表示出cos A ,再由基本不等式即可求得cos A 的取值范围,进而结合同角三角函数关系式求得sin A 的取值范围,即可求得sin A 的最大值.【详解】在ABC ∆中,tan tan 3tan tan A A B C+=, 则sin cos sin cos 3cos sin cos sin A B A C A B A C+=, 通分化简可得()sin cos sin cos sin 3cos sin sin A B C C B A B C+=, 由正弦和角公式可得()sin sin 3cos sin sin A C B A B C +=, 所以2sin 3cos sin sin A A B C=, 由正弦定理代入可得23cos a bc A=,即23cos a bc A =, 又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-,代入可得223cos 2cos bc A b c bc A =+-, 所以2222cos 555b c bc A bc bc +=≥=,当且仅当b c =时取等号, 则24cos 25A ≥,所以241sin 25A -≥,即221sin 25A ≤,所以sin A ≤则sin A .. 【点睛】 本题考查了同角三角函数关系式的综合应用,正弦和角公式化简三角函数关系式,正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,基本不等式求最值,综合性强,属于难题.15.(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)连接1CB ,与1BC 交于O ,连接OP ,由中位线定理即可证明1AB //平面1PBC ; (2)根据题意可证明BP AC ⊥及1AA PB ⊥,可得PB ⊥平面11AAC C ,再由面面垂直的判定定理可证明平面1PBC ⊥平面11AAC C .【详解】(1)证明:连接1CB ,与1BC 交于O ,连接OP ,如下图所示:则OP 为1AB C 的中位线,所以1//OP AB ,因为OP ⊂平面1PBC ,1AB ⊄平面1PBC ,所以1AB //平面1PBC ;(2)证明:在ABC 中,AB BC =,点P 是棱AC 的中点.所以BP AC ⊥,因为1AA ⊥平面ABC ,而PB ⊂平面ABC ,可得1AA PB ⊥又因为1,AC AA ⊂平面11AAC C ,且1AC AA A =∩,所以PB ⊥平面11AAC C ,而PB ⊂平面1PBC ,所以平面1PBC ⊥平面11AAC C .【点睛】本题考查了线面平行的判定定理应用,线面垂直与面面垂直判定定理的应用,属于基础题. 16.(1)2T π=;112,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)12x π=时,函数()y f x =的最大【解析】【分析】(1)将函数解析式变形,结合正弦和角公式及辅助角公式变形,即可由正弦函数的性质求得最小正周期及单调递增区间.(2)根据自变量的范围,结合正弦函数的图像与性质即可求得最大值,结合正弦函数的性质即可求得取最大值时自变量的值.【详解】(1)将函数()y f x =的解析式变形,结合正弦和角公式与辅助角公式化简可得 7()sin sin 412f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin sin 443x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3sin 244x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭152x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 所以函数()y f x =的最小正周期为2T π=; 由正弦函数的图像与性质可知12522,22k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈, 解得1122,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈, 所以()y f x =的单调递增区间为112,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.(2)因为[0,]x π∈, 则5517,121122x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,当1522x ππ+=时,函数()y f x =, 解得此时12x π=.【点睛】 本题考查了正弦和角公式及辅助角公式化简三角函数式的应用,正弦函数图像与性质的综合应用,属于基础题.17.(1)2213x y +=;(2)0k =或1k =-. 【解析】试题分析:(1)求椭圆标准方程,要确定,a b 的值,题中已知四个顶点形成的菱形是确定的,而椭圆的顶点为(,0),(0,)a b ±±,因此易得,a b ;(2)本小题采取解析几何的基本解法,PAB △是等边三角形的条件是三边相等,或两内角为60°,或PO AB ⊥且PO AO ,我们采用PO AB ⊥且PO AO =,由线段AB 的中垂线与直线l 相交求得点P 的坐标,计算PO ,直线y kx =与椭圆相交求得A 点坐标,计算AO ,利用PO AO =求得k 值,由于涉及到AB 的垂线.因此对k 按0k =和0k ≠分类讨论.试题解析:(1)因为椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为60的菱形的四个顶点, 所以1a b ==,椭圆C 的方程为2213x y += (2)设()11,A x y ,则()11,B x y --(i )当直线AB 的斜率为0时,AB 的垂直平分线就是y 轴,y 轴与直线的交点为(0,3)P ,又3AO PO ==AB PA PB ⇒===所以PAB △是等边三角形,所以0k =满足条件;(ii)当直线AB 的斜率存在且不为0时,设AB 的方程为y kx = 所以221{3x yy kx+==,化简得解得12331x k =+ 所以AO ==又AB 的中垂线为1y x k =-,它l 的交点记为00(,)P x y 由30{1x y y x k +-==-解得0031{31k x k y k =--=-则PO =因为PAB △为等边三角形, 所以应有PO AO=0k =(舍),1k =- 综上可知,0k =或1k =-考点:椭圆的标准方程,直线与椭圆相交的综合问题.18.(1)2;(2)3.【解析】 【分析】(1)设运动员游泳的速度为x 千米/小时,结合余弦定理即可表示出2x ,再由二次函数性质即可求得速度的最小值.(2)根据余弦定理代入化简变形,可转化为一元二次方程,由一元二次方程有解,即可确定0∆≥,进而求得速度的最大值. 【详解】(1)设运动员游泳的速度为x 千米/小时,由余弦定理可知()()22224224cos30xt t t =+-⨯⨯,化简可得222411644x t t ⎛=+=+ ⎝,因为01t <≤,所以11t≥,则当1t=3t =时,2x 取得最小值,此时2x =, 所以为保证在1小时内(含1小时)能与小船相遇,运动员游泳速度的最小值为2. (2)运动员游泳时间为t m - 小时,运动员在岸边跑步的速度为4千米小时,在水中游泳的速度为2千米小时,由余弦定理可知()()()2222424cos30t m m vt m vt -=+-⨯⨯⎡⎤⎣⎦,整理化简可得()2212840m m v t t ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭,设(),0,1mk k t=∈,则上式可化为()2212840k k v +-+-=在()0,1内有解,则()()22841240v ∆=--⨯⨯-≥,解得03v <≤,当3v =时,代入方程可解得13k =,满足()0,1k ∈,所以小船在能与运动员相遇的条件下v. 【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的综合应用,二次函数求最值及有解的应用,属于中档题. 19.(1)()h x 的单调增区间为(0,2];(2)证明见解析;(3)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)求出导函数)'(h x ,在函数定义域内由'()0h x >确定其增区间;(2)先求出()g x 在0x 处的切线方程,设这条切线与()y f x =的图象切于点11(,())x f x ,由010101()()'()'()g x f x k g x f x x x -===-,得出关于0x 的方程,然后证明此方程的解在(1,)+∞上存在且唯一.(3)把问题转化为10x e ax x ---<在(0,)+∞上有解,令()1xH x e ax x =---,则只要min ()0H x <即可.【详解】(1)h (x )=g (x )﹣x 2=lnx ﹣x 2,x ∈(0,+∞).令2221()20x x h x x x x⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎝⎭'=-=≥,解得02x ≤<. ∴函数h (x )的单调增区间为(0]. (2)证明:设x 0>1,1()g x x'=,可得切线斜率01k x =, 切线方程为:0001ln ()y x x x x -=-.假设此切线与曲线y =f (x )=e x 相切于点B (x 1,1x e ),f ′(x )=e x . 则k=1x e ,∴11010ln 1x x e x k e x x x -===-. 化为:x 0lnx 0﹣lnx 0﹣x 0-1=0,x 0>1. 下面证明此方程在(1,+∞)上存在唯一解. 令u (x 0)=x 0lnx 0﹣lnx 0﹣x 0-1,x 0>1.0001()ln u x x x '=-,在x 0∈(1,+∞)上单调递增. 又u ′(1)=-1,1'()10u e e=->, ∴'()0u x =在(1,)+∞上有唯一实数解m ,0(1,)x m ∈,0'()0u x <,()u x 递减, 0(,)x m ∈+∞时,0'()0u x >,()u x 递增,而(1)20u =-<,∴0()0u x =在(1,)m 上无解,而22()30u e e =->,∴0()0u x =在(,)m +∞上有唯一解. ∴方程0()0u x =在(1,+∞)上存在唯一解.即:存在唯一的x 0,使得函数y =g (x )的图象在点A (x 0,g (x 0))处的切线l 与函数y =f (x )的图象也相切.(3)证明:()111x f x e x x x----=, 令v (x )=e x ﹣x ﹣1,x >0. ∴v ′(x )=e x ﹣1>0,∴函数v (x )在x ∈(0,+∞)上单调递增, ∴v (x )>v (0)=0.∴()1110x f x e x x x----=>,∴不等式()11f x a x--<,a >0⇔e x ﹣x ﹣1﹣ax <0, 即H (x )=e x ﹣x ﹣1﹣ax <0,由对任意给定的正数a ,总存在正数x ,使得不等式()11f x a x--<成立⇔H (x )min <0. H (x )=e x ﹣x ﹣1﹣ax ,a ,x ∈(0,+∞). H ′(x )=e x ﹣1﹣a ,令e x ﹣1﹣a =0, 解得x =ln(1)a +>0,函数H (x )在区间(0,ln(1)a +)上单调递减,在区间(ln(1)a +,+∞)上单调递增. ∵H (0)=0,∴min ()(ln(1))0H x H a =+<. ∴存在对任意给定的正数a ,总存在正数x ,使得不等式()11f x a x--<成立. 【点睛】本题考查函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,不等式的证明,考查综合运算能力,转化与化归思想,本题难度较大.20.(1)21n a n =-,41n b n =+;(2)证明见解析;(3)当2,*n k k N =∈时,()241025n n n T n =++;当43,*n k k N =-∈时,()()21141023n n n T n --=++;当41,*n k k N =-∈时,()()21141027nn n T n -+=++.【解析】 【分析】(1)根据等差数列通项公式,即可由基本量计算求得首项与公差,进而求得数列{}n a 的通项公式与前n 项和;根据等比中项定义,结合数列{}n a 的前n 项和,代入化简可求得数列{}n b 的通项公式;(2)根据数列{}n a ,{}n b 的通项公式,即可证明数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中;(3)由数列{}n b 的通项公式,代入由裂项求和法可得11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和,再对n 分类讨论,即可确定新数列的前n 和n T 的表达式. 【详解】(1){}n a 为等差数列,设公差为d ,1155b a ==,529a b ==,所以151149a a a d =⎧⎨=+=⎩,解得2d =,所以由等差数列通项公式可得()12121n a n n =+-=-; 等差数列{}n a 的前n 项和为n S , 所以()21212n n n S n +-==,当3n ≥时,1n n S b +>,且n S ,1n n S b +-,2n S -成等比数列,*N n ∈. 所以()212n n n n b S S S +-=⋅-,则()()222212n n n b n ⎡⎤+=⋅-⎣⎦-,即()()212n n b n n -+=-, 化简可得41n b n =+,当1,2n n ==时也成立, 所以41n b n =+.(2)证明:由(1)可知21n a n =-,41n b n =+, 则()21412211n n b n n a +=+=+-=, 所以数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中; (3)由(1)可知41n b n =+,则()()111114145414415n n b n b n n n ++++⎛⎫==- ⎪⎝⎭+, 所以数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()11111145991341455451n n B n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪+++⎝⎭-, ①当2,*n k k N =∈时,()()22254541025n k k k k n nT T S B k k n ==+=+=+++, ②当43,*n k k N =-∈(2k ≥)时,()()()()2243212212212158341023n k k k n k n T T S B k k n ------==+=-+=+-+,经检验当1n =时也成立,③当41,*n k k N =-∈时,()()()()22412121212158541027n k k k n kn T T S B k k n ---+==+=-+=+++, 综上所述,当2,*n k k N =∈时,()241025n n n T n =++; 当43,*n k k N =-∈时,()()21141023nn n T n --=++;当41,*n k k N =-∈时,()()21141027n n n T n -+=++.【点睛】本题考查了等差数列通项公式与求和公式的求法,等比中项的性质简单应用,裂项求和法的应用,分类讨论求数列的前n 项和的综合应用,属于难题.21.(1)()1,1-;(2)2y x =-.【解析】 【分析】(1)根据所给旋转变换的角度可求得对应的矩阵,由所给点的坐标即可求得变换后的对应坐标;(2)根据变换可得矩阵乘法式,计算后代入方程即可得变换后的曲线C '的方程. 【详解】(1)由题意变换T 是按逆时针旋转2π的旋转变换,对应的变换矩阵是M ,可知cos sin012210sin cos 22M ππππ⎛⎫- ⎪-⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭, 1011111011M --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标为()1,1-.(2)设x y ⎛⎫⎪⎝⎭是变换后曲线C '上任意一点,与之对应的变换前的点为00x y ⎛⎫⎪⎝⎭, 则00x x M y y ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即000110x x y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以00y x x y -=⎧⎨=⎩,即00x yy x =⎧⎨=-⎩,因为00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在曲线2:C y x =上,将00x y y x =⎧⎨=-⎩代入可得2x y -=,即2y x =-,所以曲线2:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程为2y x =-. 【点睛】本题考查了旋转变换对应矩阵的求法,由矩阵求对应点的坐标,矩阵的乘法运算应用,属于中档题. 22.1a = 【解析】 【分析】根据所给直线参数方程与圆的参数方程,转化为普通方程,结合点与圆的位置关系及距离最值,即可求得a 的值. 【详解】直线的参数方程为11x ty t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数),化为普通方程可得20x y +-=,圆C 的参数方程为cos sin x a y a θθ=⎧⎨=⎩(0a >,θ为参数),化为普通方程可得222x y a +=,由点到直线距离公式可得圆心到直线的距离为d ==点P 是圆C 上的任意一点,且点P 1,1a =,0a >,解得1a =. 【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化,点和圆位置关系的简单应用,属于基础题. 23.证明见解析 【解析】 【分析】 【详解】∵x ,y ,z 都是为正数,∴12()x y x y yz zx z y x z+=+≥. 同理,可得2y z zx xy x +≥,2z x xy yz y+≥. 将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得111x y z yz zx xy x y z++≥++. 24.(1)24228,32S S ==;(2)见解析【解析】试题分析:(1)按照题设条件中的规定和定义进行求解计算;(2)先考虑特殊情形{}{}0,1,1P Q ==-,运用从特殊到一般是数学思想进行推证,进而归纳得到1122222n m mm n n n S C C C =+++,然后运用缩放法进行推证:解(1)24228,32S S ==;(2)设集合{}{}0,1,1P Q ==-. 若121n x x x +++=,即123,,,,n x x x x 中有1n -个取自集合P ,1个取自集合Q ,故共有112n n C -种可能,即为112n C ,同理,122n x x x +++=,即123,,,,n x x x x 中有2n -个取自集合P ,2个取自集合Q ,故共有222n nC -种可能,即为222n C ,若12n x x x m +++=,即123,,,,n x x x x 中有n m -个取自集合P ,m 个取自集合Q , 故共有2n mm nC -种可能,即为2m m n C ,所以1122222n m mm n n n S C C C =+++因为当0k n ≤≤时,故1k n C ≥,所以10kn C -≥ 所以1122222n m m m n n n S C C C =+++()()()0011221122221212m m m m nn n n n n n n C C C C C C ++<+++++-++-()()0011221112222222222m m m m n nm m n n n n n n n C C C C C C ++++=+++++++-++()()11111222322nn m n n m ++++=+--=-+.。

最新江苏省苏州市2020届高三上学期期中考试数学 含答案

最新江苏省苏州市2020届高三上学期期中考试数学 含答案

二、 解答题:本大题共 6 小题,共 90 分 . 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤.
15. (本小题满分 14 分 ) 在△ ABC 中,角 A , B, C 所对的边分别为 a, b, c, C= 120°, c= 7, a-b= 2.
(1) 求 a,b 的值;
(2) 求 sin(A + C) 的值.
π)上的解为
x 1,x 2,则 cos(x1- x2)= ________.
14. 已知函数 f(x) = 3x2- x3,g(x) = ex-1- a- ln x .若对于任意 x1∈ (0, 3),总是存在两
个不同的 x2, x 3∈ (0, 3),使得 f(x 1)= g(x 2)= g(x3),则实数 a 的取值范围是 ________.
6.
已知
tan
α =2,则 cos
sin α α+ 2sin
的值为 ________. α
7. “ x> 2”是“ x> 1”的 ________条件. (选填“充分不必要” “必要不充分” “充要” 或“既不充分又不必要” )
π 8. 已知函数 y= sin 2x 图象上的每个点向左平移 φ (0< φ< 2 )个单位长度得到函数 y=
B. ( 选修 44:坐标系与参数方程 ) 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ= 2cos α+ 2 3sin α ( α为参数 ),直线 l 的参数方程为
x=1+ tcos β ,
πБайду номын сангаас
y= tsin β
a 的取值范围.
5
20. (本小题满分 16 分 ) 已知数列 {a n} 满足 (n- 1)an+1= nan- a1, n∈N* .

苏州市2019-2020学年第一学期高三期中调研试卷数学试题含附加题配答案

苏州市2019-2020学年第一学期高三期中调研试卷数学试题含附加题配答案


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(2)由(1)知 a 5,b 3, c 7 ,所以 cos B a2 c2 b2 13 ,................................. 10 分
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14
因为 B 为 ABC 的内角,所以 sin B 1 cos2 B 3 3 ,................................................12 分 14
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苏州市2019~2020学年第一学期高三期初调研试卷高三数学(I卷)

苏州市2019~2020学年第一学期高三期初调研试卷高三数学(I卷)

2019~2020学年第一学期高三期初调研试卷数学Ⅰ 2019. 9(参考公式:样本数据1x ,2x ,,n x 的方差2211()==−∑ni i s x x n ,其中11==∑ni i x x n .)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡相应位置上......... 1.已知集合{}1,3A =,{}3,9B =,则A B = ▲ .2.如果复数2()3bib R i−∈+的实部与虚部互为相反数,则b 等于 ▲ . 3.下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况,则这五次测试得分的方差为 ▲ .4.已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料,从这4瓶饮料中随机取2瓶,则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ .5.根据如图所示的伪代码,当输入的a ,b 分别为2,3时, 最后输出的b 的值为 ▲ .6.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线()222210,0y x a b a b−=>>的两条渐近线方程为2y x =±, 则该双曲线的离心率为 ▲.注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页,包含填空题(第1题 − 第14题)、解答题(第15题 − 第20题).本卷满分160分,考试时间为120分钟.考试结束后,请将答题卡交回.2. 答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚.4. 如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.5. 请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.7.如图,在直三棱柱ABC A B C −111中,若四边形11AAC C 是边长 为4的正方形,且3AB =,5BC =,M 是1AA 的中点,则三 棱锥A MBC −11的体积为 ▲ .8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1530S =,71a =,则S 10的值为 ▲ .9.已知()y f x =是定义在R 上的偶函数,当[),x ∈+∞0时,()[)()[)sin ,,,,,,x x f x f x x ⎧∈⎪=⎨−∈+∞⎪⎩0111则(5)6f π−−= ▲ .10.已知在ABC ∆中,AC =1,BC =3.若O 是该三角形内的一点,满足()()0OA OB CA CB +⋅−=,则CO AB ⋅= ▲ .11.已知sin 222cos2αα−=,则2sin sin 2αα+= ▲ .12.已知点A 、B 是圆O :224x y +=上任意两点,且满足23AB =P 是圆C :22(4)(3)4x y +++=上任意一点,则PA PB +的取值范围是 ▲ .13.设实数1a ≥,若不等式||2x x a a −+≥,对任意的实数[1,3]x ∈恒成立,则满足条件的实数a的取值范围是 ▲ . 14.在ABC ∆中,若tan tan 3tan tan A A B C+=,则sin A 的最大值为 ▲ .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分) 如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB =BC ,点P 是棱AC 的中点.(1)求证:AB 1∥平面PBC 1; (2)求证:平面PBC 1⊥平面AA 1C 1C .▲ ▲ ▲ACB PA 1B 1C 116.(本小题满分14分) 已知函数7()sin()sin()412f x x x ππ=+++.(1)求函数()y f x =的最小正周期和单调递增区间;(2)当[0,]x π∈时,求函数()y f x =的最大值,并写出取得最大值时自变量x 的值.▲ ▲ ▲17.(本小题满分14分) 已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2,一内角 为60o 的菱形的四个顶点. (1)求椭圆C 的方程;(2)若直线y kx =交椭圆C 于A 、B 两点,在直线:30l x y +−=上存在点P ,使得PAB ∆为等边三角形,求实数k 的值.▲ ▲ ▲18.(本小题满分16分) 某地举行水上运动会,如图,岸边有A ,B 两点,30BAC ∠=.小船从A 点以v 千米/小时的速度沿AC 方向匀速直线行驶,同一时刻运动员出发,经过t 小时与小船相遇.(水流速度忽略不计)(1)若4v =,2AB km =,运动员从B 处出发游泳匀速直线追赶,为保证在1小时内(含1小时)能与小船相遇,试求运动员游泳速度的最小值;(2)若运动员先从A 处沿射线AB 方向在岸边跑步匀速行进m (0)m t <<小时后,再游泳匀速直线追赶小船.已知运动员在岸边跑步的速度为4千米/小时,在水中游泳的速度为2千米/小时,试求小船在能与运动员相遇的条件下v 的最大值.▲ ▲ ▲ABC岸边30o19.(本小题满分16分) 已知函数()e x f x =,()ln g x x =,(1)设2()()h x g x x =−,求函数()h x 的单调增区间;(2)设01x >,求证:存在唯一的0x ,使得函数y =()g x 的图象在点A (00,()x g x )处的切线l 与函数()y f x =的图象也相切;(3)求证:对任意给定的正数a ,总存在正数x ,使得不等式()1|1|f x a x−−<成立. ▲ ▲ ▲20.(本小题满分16分) 等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,数列{}n b 满足:b 1=5a 1=5,a 5=b 2=9,当3n ≥ 时,1n n S b +>,且n S ,1n n S b +−,2n S −成等比数列,n *∈N . (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)求证:数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中;(3)将数列{}n a 、11{}+n n b b 的项按照:当n 为奇数时,a n 放在前面;当n 为偶数时,11+n n b b 放在前面进行“交叉排列”,得到一个新的数列:1a ,121b b ,231b b ,2a ,3a ,341b b ,451b b ,…记这个新数列的前n 和为T n ,试求T n 的表达式.▲ ▲ ▲。

苏州市2019~2020学年第一学期高三期初调研试卷高三数学答案

苏州市2019~2020学年第一学期高三期初调研试卷高三数学答案

所以当 x 0 时, F '( x) 0 , F ( x) 单调递增;当 x 0 时, F '( x) 0 , F ( x) 单调递减;
所以 F ( x) = F (0) = 0 ,由最小值定义得 F ( x)≥ F ( x) = 0 ,即 ex ≥ x +1, ……12 分
min
min
Tn
= T4k −1
=
S2k −1
+
M2k
=
(2k
− 1)2
+
2k 5(8k +
5)
=
(n
−1)2 4
+
n +1 10(2n +
7)
.
综上所述:

n
=
2k
时, Tn
=
n2 4
+
n 10(2nຫໍສະໝຸດ + 5);
当n
=
4k
− 3 时, Tn
=
(n +1)2 4
+
n− 10(2n
1 +
3)


n
=
4k
−1时, Tn
2019~2020 学年第一学期高三期初调研试卷
数学(I 卷)参考答案
2019.9
一、填空题:
1.{1,3,9} 2.1
9.
1 2
10. 4
二、解答题.
3.4
4.
5 6
5. 2
11.1

8 5
12. [4,16]
6. 5 7. 4 8.-5
13.1≤
a

2

江苏省苏州市2019-2020学年第一学期高三期中调研试卷数学试题含附加题(word版)

江苏省苏州市2019-2020学年第一学期高三期中调研试卷数学试题含附加题(word版)

已知数列 an 满足 (n 1)an 1 nan a1 , n N .
( 1)证明:数列 an 为等差数列;
11
( 2)设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 a2
a1
1,且对任意的正整数 n ,都有 3
S1
11 S2 S3
14 Sn 3 ,求整数 a1的值;
( 3)设数列 bn 满足 bn
an
.Байду номын сангаас
2x 1,x 0
10.已知函数
f ( x)
ln x
m
的极小值大于
0,则实数 m 的取值范围为

x
11.已知各项都为正数的等差数列
an 中, a5 3 ,则 a3a7 的最大值为

12.已知菱形 ABCD的棱长为 3,E 为棱 CD上一点且满足 CE 2ED ,若 AE EB 6 ,则
cosC=

13.若方程 cos(2x
3
圆心为 O.经测量 AB= 4 米, BC= 米,∠ COD= 120°,现根据需要把此窑洞窗口形状改
3
造为矩形 EFGH,其中 E,F 在边 AB 上, G,H 在圆弧 CD上.设∠ OGF= 为 S.
( 1)求矩形 EFGH的面积 S 关于变量 的函数关系式; ( 2)求 cos 为何值时,矩形 EFGH的面积 S 最大?
(1)求乙、丙二人各自击中目标的概率;
(2)设乙、丙二人中击中目标的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望.
23.(本题满分 10 分)
如图,在直三棱柱 ABC A1B1C1 中, BAC 90 ,AB AC a , AA1 b ,点 E ,
F 分别在棱 BB1 , CC1 上,且 BE 1 BB1 , C1F 1 CC1 .设

苏州五中2019-2020学年第一学期期初调研测试高三数学(理科)

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苏州五中2019-2020学年第一学期期初调研测试高三数学(理科)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知直线与直线相互垂直,则值的为.2.抛物线的焦点坐标为.3.过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为 .4.将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 .5.若,则圆恒过定点.6.若函数,,则的最大值为 .7.已知双曲线的一个焦点在圆上,则双曲线的渐近线方程为.8.动点到定点与到定直线的距离之比为,则点的轨迹方程为.9.已知为锐角,,则.10.光线由点P(2,3)射到直线上,反射后过点Q(1,1) ,则反射光线方程为.11.过的直线与圆C:(x-1)2+y2=4 交于A、B两点,当∠ACB最小时,直线的方程为.12.椭圆的焦点为,点P在椭圆上,若,则的大小为 .13.在中,,,则面积的范围是 .14.已知椭圆和圆,若上存在点,使得过点引圆的两条切线,切点分别为,满足,则椭圆的离心率的取值范围是 .二、解答题 (15-17题,每题14分,18-20题,每题16分.) 15.已知向量,. (1)若,求的值;(2)若,,求的值.16.已知函数(). (1)若,求当时函数的最小值; (2)当时,函数有最大值-3,求实数的值. 17. 如图所示,扇形,圆心角的大小等于,半径为2,在半径上有一动点,过点作平行于的直线交弧于点. (1)若是半径的中点,求线段的大小;(2)设,求面积的最大值及此时的值.18. 已知椭圆(,且过点.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于,两点.求证:直线恒过定点.19. 对于函数,若在定义域内存在实数,满足,则称为“类函数”.(cos ,sin )a θθ=(2,1)b =-a b ⊥sin cos sin cos θθθθ-+||=2a b -(0,)2πθ∈sin()4πθ+1my x x =+-0m >1m =1x >1x <m AOB AOB ∠3πOA C C OB AB P C OA PC COP θ∠=COP θ22221x y a b+=0a b >>(0,1)A A M N MN 3(0,)5P -()f x 0x 00()()f x f x -=-()f x M(1)已知函数,试判断是否为“类函数”?并说明理由;(2)设是定义在上的“类函数”,求是实数的最小值;(3)若为其定义域上的“类函数”,求实数的取值范围.20. 已知数列,其前项和为.(1)若对任意的,,,组成公差为4的等差数列,且,求; (2)若数列是公比为()的等比数列,为常数, 求证:数列为等比数列的充要条件为. 苏州五中2019-2020学年第一学期期初调研测试高三数学(理科)数学试卷(Ⅱ)(附加题)21B.已知矩阵 , ,求矩阵.21C .设极坐标系的极点为直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,已知曲线的极坐标方程为(1)求曲线的直角坐标方程;(2)设直线(为参数)与曲线交于,两点,求的长.22.某地区有云龙山,户部山,子房山河九里山等四大名山,一位游客来该地区游览,已知该游客游览云龙山的概率为,游览户部山、子房山和九里山的概率都是,且该游客是否游览这四座山相互独立.(1)求该游客至少游览一座山的概率;(2)用随机变量表示该游客游览的山数,求的概率分布和数学期望. 23.直三棱柱中,,,,. (1)若,求直线与平面所成角的正弦值;()sin()3f x x π=+()f x M ()2x f x m =+[1,1]-M m 22log (2)()3x mx f x ⎧-=⎨-⎩,2,2x x ≥<M m {}n a n n S *n N ∈21n a -21n a +2n a 11a =2n S {}nnS a a +q 1q ≠-a {}n a 11q a=+20A ⎡=⎢⎣01⎤⎥⎦12B ⎡=⎢⎣15-⎤⎥⎦1A B -x C 8cos ρθ=C 2x t y t=+⎧⎨=⎩t C A B AB 2312X X ()E X 111ABC A B C -AB AC ⊥2AB =4AC =12AA =BD DC λ=1λ=1DB 11AC D(2)若二面角的大小为,求实数的值.苏州五中2019-2020学年第一学期期初调研测试高三数学(理科)试卷答案一、填空题 1. 已知直线与直线相互垂直,则值的为 .答案: 2.抛物线的焦点坐标为 .答案:3.过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为 .答案:111B AC D --60︒λ4.将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 .答案:5.若,则圆恒过定点.答案:6.若函数,,则的最大值为 .答案:7.已知双曲线的一个焦点在圆上,则双曲线的渐近线方程为.答案:8.动点到定点与到定直线的距离之比为,则点的轨迹方程为.答案:9.已知为锐角,,则.答案:10.光线由点P(2,3)射到直线上,反射后过点Q(1,1) ,则反射光线方程为.答案:11.过的直线与圆C:(x-1)2+y2=4 交于A、B两点,当∠ACB最小时,直线的方程为.答案:12.椭圆的焦点为,点P 在椭圆上,若,则的大小为 .答案: 13.在中,,,则面积的范围是 .答案:14.已知椭圆和圆,若上存在点,使得过点引圆的两条切线,切点分别为,满足,则椭圆的离心率的取值范围是 . 答案:三、解答题15.解:(1)由可知,,所以, 所以.(2)由可得,, 即,①又,且②,由①②可解得,,所以.16.解:(1)时,.因为,所以. 所以. 当且仅当,即时取等号. a b ⊥2cos sin 0a b θθ=-=sin 2cos θθ=sin cos 2cos sin 1sin cos 2cos sin 3θθθθθθθθ--==++(cos 2,sin 1)a b θθ-=-+||2a b -===12cos sin 0θθ-+=22cos sin 1θθ+=(0,)2πθ∈3sin 54cos 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩34sin()cos )()455πθθθ+=+=+=1m =111+111y x x x x =+=-+--1x >10x ->111131y x x =-++≥=-111x x -=-2x =所以当时函数的最小值为3. (2)因为,所以. 所以. 当且仅当,即. 即函数的最大值为,所以 解得.17.解(1)在中,,, 由 得,解得(2)∵,∴,在中,由正弦定理得,即∴,又∴.解法一:记的面积为,则∴时,取得最大值为. 1x >1x <10x -<11(1)11111m m y x x x x =-++=--++≤-=---11mx x-=-1x=1-13-=-4m =POC 23OCP π∠=2OP =1OC =22222cos3OP OC PC OC PC π=+-230PC PC +-=12PC -+=CP OB 3CPO POB πθ∠=∠=-POC sin sin OP CP PCO θ=∠22sin sin 3CPπθ=CP θ=2sin()sin 33OC CP ππθ=-sin()3OC πθ=-POC ()S θ12()sin 23SCP OC πθ=1sin sin()2333πθθ=-21sin()sin )2sin cos 32πθθθθθθθθ=-=-=sin 222)6πθθθ=+-=+6πθ=()S θ3解法二: 即,又,即 当且仅当时等号成立. 所以 ∵∴时,. 18.(1)解:由题意知,,,所以,解得, 所以椭圆的标准方程为.(2)证明设直线的方程为,联立方程组 得,解得,,所以,.同理可得,,则, ,所以,故直线恒过定点.19.解:(1)由,得:所以 所以存在满足所以函数是“类函数”,(2)因为是定义在上的“类函数”,22241cos 322OC PC OC PC π+-==-224OC PC OC PC ++=223OC PC OC PC OC PC ++≥34OC PC ≤OC PC =1214sin 12323S CP OC π=≤⨯=OC PC =6πθ=()S θ2c e a ==1b =221a c -=2a =2214x y +=1l 1y kx =+221,1,4y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(41)80k x kx ++=12841k x k =-+20x =2841M k x k =-+221441M k y k -=-+284N k x k =+2244N k y k -=+222221438814155588541MPk k k k k k k k k -+-+-+===--+222224388145558854NPk k k k k k k k k -+--+===+MP NP k k =MN 3(0,)5P -()()f x f x -=-sin()sin()33x x ππ-+=-+0x =02x R π=∈00()()f x f x -=-()sin()3f x x π=+M ()2x f x m =+[1,1]-M所以存在实数满足, 即方程在上有解.令则,因为在上递增,在上递减所以当或时,取最小值 (3)由对恒成立,得因为若为其定义域上的“类函数”所以存在实数,满足①当时,,所以,所以 因为函数()是增函数,所以 ②当时,,所以,矛盾③当时,,所以,所以 因为函数是减函数,所以综上所述,实数的取值范围是20.解:(1)因为,,成公差为4的等差数列, 所以,(),所以,,,……,,是公差为4的等差数列,且,又因为,所以0[1,1]x ∈-00()()f x f x -=-2220x x m -++=[1,1]-12[,2]2x t =∈11()2m t t =-+11()()2g t t t =-+1[,1]2[1,2]12t =2t =m 54-220x mx ->2x ≥1m <22log (2)()3x mx f x ⎧-=⎨-⎩,2,2x x ≥<M 0x 00()()f x f x -=-02x ≥02x -≤-22003log (2)x mx -=--00142m x x =-142y x x=-2x ≥1m ≥-022x -<<022x -<-<33-=02x ≤-02x -≥2200log (2)3x mx +=00142m x x =-+142y x x =-+(2)x ≤-1m ≥-m [1,1)-21n a -21n a +2n a 21214n n a a +--=2218n n a a -=+*n N ∈1a 3a 5a 21n a -21n a +2462135218n n a a a a a a a a n -++++=+++++11a =2135212()8n n S a a a a n -=+++++(2)因为,所以,① 所以,②②-①,得,③ (i )充分性:因为,所以,,,代入③式,得 ,因为,又,所以,,所以为等比数列, (ii )必要性:设的公比为,则由③得,整理得,此式为关于的恒等式,若,则左边=0,右边=-1,矛盾:若,当且仅当时成立,所以.由(i )、(ii )可知,数列为等比数列的充要条件. 附加题21B.解:设矩阵的逆矩阵为 ,则 = , 即 = , 故,,,从而的逆矩阵为 .2(1)2[4]8462(3)2n n n n n n n n -=+⨯+=+=+1(1)n nnS a a q a -+=+1(1)n n n n S a q a aa -=+-+1+1+1(1)n n n n S a q a aa =+-11(1)(1)[(1)]n n n n a q a a a q a -++-=-+11q a=+0a ≠1q ≠1a aq +=1(1)(1)n n n n q q a q a +-=-1q ≠-1q ≠11n n a a q+=*n N ∈{}n a {}n a 0q 10(1)(1)(1)n n a q q a a q -+-=-+001(1)(1)()n a q a a q q q+-=+-n 1q =1q ≠±00(1)1(1)(1)a q a a q a q+=⎧⎪⎨+=+⎪⎩,11q a =+{}n a 11q a=+A a c ⎡⎢⎣b d ⎤⎥⎦20⎡⎢⎣01⎤⎥⎦a c ⎡⎢⎣b d ⎤⎥⎦10⎡⎢⎣01⎤⎥⎦2a c ⎡⎢⎣2b d ⎤⎥⎦10⎡⎢⎣01⎤⎥⎦12a =0b =0c =1d =A 1120A -⎡⎢=⎢⎣01⎤⎥⎥⎥⎦所以 = .21C.解:(1)曲线的极坐标方程为,即. ∴曲线的直角坐标方程为.(2)设直线(为参数)的直角坐标方程为.,配方为,可得圆心,半径 ∴圆心到直线的距离∴22.解:(1)记“该游客游览座山”为事件,,则,所以该游客至少多游览一座山的概率为. (2)随机变量的可能取值为0,1,2,3,4, ,, , , 所以的概率分布为1120A B -⎡⎢=⎢⎣01⎤⎥⎥⎥⎦12⎡⎢⎣15-⎤⎥⎦122⎡⎢⎢⎣125⎤-⎥⎥⎦C 8cos ρθ=28cos ρρθ=C 228x y x +=2x t y t=+⎧⎨=⎩t 2y x =-228x y x +=22(4)16x y -+=(4,0)C 4r =C d ==||AB ==i i A 0,1i =021111()(1)(1)(1)(1)322224P A =-⨯-⨯-⨯-=31213212115()(1)(1)(1)3232224P A C =⨯-+-⨯⨯⨯-=01151()()24244P A P A +=+=X 01(0)()24P X P A ===15(1)()24P X P A ===1222332112113(2)(1)(1)()(1)3223228P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯⨯-=23333211217(3)(1)(1)()3223224P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯=3211(4)()3212P X ==⨯=X故. 23.解:分别以,,所在直线为,,轴建立空间直角坐标系. 则,,,,,(1)当时,为的中点,所以为的中点,所以,,,,设平面的法向量为,又所以直线与平面(2)∵,∴,∴,, 设平面的法向量为,则, 所以.又平面的一个法向量为,由题意得, 所以,解得或(不合题意,舍去), 所以实数的值为.1597213()0123424242424246E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=AB AC 1AA x y z (0,0,0)A (2,0,0)B (0,4,0)C 1(0,0,2)A 1(2,0,2)B 1(0,4,2)C 1λ=D BC D BC (1,2,0)D 1(1,2,2)DB =-11(0,4,0)AC =1(1,2,2)AD =-111AC D (2,0,1)n=111cos ,||||3DB n DB n DB n ===1DB 11AC D BD DC λ=24(,,0)11D λλλ++11(0,4,0)AC =124(,,2)11A D λλλ=-++11AC D 1(,,)n x y z =402201y x z λ=⎧⎪⎨-=⎪+⎩1(1,0,1)n λ=+111A B C 2(0,0,1)n =121cos ,2n n <>=12=1λ=1λ=λ1。

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江苏省苏州中学2019-2020学年度第一学期期初考试高三数学I一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.不需要写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1.已知集合{}11,cos ,,1,2A B θ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭若,A B =则锐角θ=2.若复数122,1,z a i z i =+=-且12z z 为纯虚数,则实数a 的值为3.如图是小王所做的六套数学附加题得分(满分40)的茎叶图,则其平均得分为4.已知函数()2log 1a xf x x-=+为奇函数,则实数a 的值为 5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,3614,,2a a ==则45a a +=6.一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次性随机摸出2只球,则恰好有1只是白球的概率为7.右图是一个算法的流程图,则最后输出W 的值为NY18.已知双曲线2215x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 9.已知函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象上有一个最高点的坐标为(,由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图像与x 轴交于点()6,0,则此解析式为10.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S = 11.已知圆()()()22:10C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于,P Q 两点,则当CPQ ∆的面积最大时,此时实数a 的值为12.函数()321122132f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限的充要条件是13.如图,AB 是半径为3的圆O 的直径,P 是圆O 上异于,A B 的一点 Q 是线段AP 上靠近A 的三等分点,且4,AQ AB ⋅=则BQ BP ⋅的值为14.已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈与x 轴相切,若直线y c =与5y c =+分别交()f x 的图象于,,,A B C D 四点,且四边形ABCD 的面积为25,则正实数c 的值为二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分14分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a cos B =b cos A . (1)求ba的值;(2)若sin A =13,求sin(C -π4)的值.16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,E 为侧棱PA 的中点. (1)求证:PC // 平面BDE ;(2)若PC ⊥PA ,PD =AD ,求证:平面BDE ⊥平面PAB .17.(本小题满分14分)某市对城市路网进行改造,拟在原有a 个标段(注:一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上,新建x 个标段和n 个道路交叉口,其中n 与x 满足n =ax +5.已知新建一个标段的造价为m 万元,新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k 倍. (1)写出新建道路交叉口的总造价y (万元)与x 的函数关系式;(2)设P 是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比.若新建的标段数是原有标段数的20%,且k ≥3.问:P 能否大于120,说明理由.18.(本小题满分16分)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =22,一条准线方程为x = 2.过椭圆的上顶点A作一条与x 轴、y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P ,P 关于x 轴的对称点为Q . (1)求椭圆的方程;(2)若直线AP ,AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ,n ,求证:mn 为常数,并求出此常数.P A BCDE(第16题图)19.(本小题满分16分)已知函数f (x )=e x ,g (x )=x -b ,b ∈R .(1)若函数f (x )的图象与函数g (x )的图象相切,求b 的值; (2)设T (x )=f (x )+ag (x ),a ∈R ,求函数T (x )的单调增区间;(3)设h (x )=|g (x )|·f (x ),b <1.若存在x 1,x 2∈[0,1],使|h (x 1)-h (x 2)|>1成立,求b 的取值范围.20.(本小题满分16分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且2a 5-a 3=13,S 4=16. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ;(2)设T n =i =1∑n (-1)i a i ,若对一切正整数n ,不等式λT n <[a n +1+(-1)n +1a n ]·2n -1恒成立,求实数λ的取值范围;(3)是否存在正整数m ,n (n >m >2),使得S 2,S m -S 2,S n -S m 成等比数列?若存在,求出所有的m ,n ;若不存在,说明理由.(第18题图)江苏省苏州中学2019-2020学年度第一学期期初考试 数学附加题注意事项:1.附加题供选修物理的考生使用. 2.本试卷共40分,考试时间30分钟.3.答题前,考生务必将自己的姓名、学校写在答题纸上.试题的答案写在答题纸...上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸.21.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只要选做2题,每小题10分,共计20分.请在答题..纸指定区域内......作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .选修4—1:几何证明选讲在圆O 中,AB ,CD 是互相平行的两条弦,直线AE 与圆O 相切于点A ,且与CD 的延长线交于点E ,求证:AD 2=AB ·ED .B .选修4-2:矩阵与变换已知点P (3,1)在矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b -1变换下得到点P ′(5,-1).试求矩阵A 和它的逆矩阵A -1.C .选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x=m+2cos α,y=2sin α(α为参数,m 为常数).以原点O 为极点,以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为ρcos(θ(第21题(A )图)-π4)=2.若直线l 与圆C 有两个公共点,求实数m 的取值范围.D .选修4-5:不等式选讲设实数x ,y ,z 满足x +5y +z =9,求x 2+y 2+z 2的最小值.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题纸指定区域内........作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)假定某射手射击一次命中目标的概率为23.现有4发子弹,该射手一旦射中目标,就停止射击,否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X ,求: (1)X 的概率分布; (2)数学期望E (X ).23.(本小题满分10分)如图,已知正方形ABCD 和矩形ACEF 中,AB =2,CE =1,CE ⊥平面ABCD . (1)求异面直线DF 与BE 所成角的余弦值; (2)求二面角A -DF -B 的大小.ABCDEF(第23题图)江苏省苏州中学2019-2020学年度第一学期期初考试数学参考答案及评分标准一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}11,cos ,,1,2A B θ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭若,A B =则锐角θ=【答案】3π 【解析】试题分析:由题意得:1cos =2θ,又因为θ为锐角,所以.3πθ=考点:集合相等2.若复数122,1,z a i z i =+=-且12z z 为纯虚数,则实数a 的值为 【答案】-2 【解析】 试题分析:12=(a+2i)(1-i)=(a+2)-(a-2)i z z 为纯虚数,所以a+2=0a-20a=-2.≠,,考点:纯虚数3.如图是小王所做的六套数学附加题得分(满分40)的茎叶图,则其平均得分为【答案】31 【解析】试题分析:由题意得平均得分为18+28+30+32+38+40=31.6考点:茎叶图 4.已知函数()2log 1a xf x x-=+为奇函数,则实数a 的值为 【答案】1 【解析】试题分析:由奇函数得:()()22+--log =-log 11-a x a x f x f x x x -=+,,1-=1a x xx a x-++,21a =,因为1a ≠-,所以 1.a = 考点:奇函数5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,3614,,2a a ==则45a a +=【答案】3 【解析】试题分析:设等比数列{}n a 的公比为q,则36311,.82a q q a ===因此645321 3.a a a a q q+=+=+= 考点:等比数列6.一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次性随机摸出2只球,则恰好有1只是白球的概率为【答案】0.6 【解析】试题分析:从中一次性随机摸出2只球共有2510C =种基本事件, 恰好有1只是白球包含11326C C =种基本事件,因此所求概率为6=0.6.10考点:古典概型概率7.右图是一个算法的流程图,则最后输出W 的值为【答案】14 【解析】试题分析:第一次循环:11;T S ==,第二次循环:23;T S ==,第三次循环:36;T S ==,第四次循环:410;T S ==,结束循环,输出14.W = 考点:循环结构流程图8.已知双曲线2215x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为【答案】y x = N14Y1试题分析:由题意得:3,4m ==,而双曲线的渐近线方程为y x=,即y 2x =± 考点:双曲线的渐近线9.已知函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象上有一个最高点的坐标为(,由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图像与x 轴交于点()6,0,则此解析式为【答案】84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】试题分析:由题意得:262,16,48T A T T ππω==-===, 又sin 21,2()842k k Z πππϕϕπ⎛⎫⨯+=+=+∈ ⎪⎝⎭,2πϕ<,所以=4πϕ考点:三角函数解析式10.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S = 【答案】3:2【解析】试题分析:设球的直径为2R ,则2212:(222):43:2.S S R R R R πππ=+⋅= 考点:球的表面积11.已知圆()()()22:10C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于,P Q 两点,则当CPQ ∆的面积最大时,此时实数a 的值为【答案】【解析】试题分析:因为CPQ ∆的面积等于1sin 2PCQ ∠,所以当=90PCQ ∠时CPQ ∆的面积最大,此时圆心到直线3y x =,因此22a = 考点:直线与圆位置关系12.函数()321122132f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限的充要条件是【答案】63516a -<<-试题分析:由()220f x ax ax a '=+-=得:1,x =或2x =-,结合图像可知函数的图象经过四个象限的充要条件是()0,10,(2)0a f f <>-<,即63516a -<<-考点:利用导数研究函数图像13.如图,AB 是半径为3的圆O 的直径,P 是圆O 上异于,A B 的一点 Q 是线段AP 上靠近A 的三等分点,且4,AQ AB ⋅=则BQ BP ⋅的值为【答案】24 【解析】试题分析:因为211()33AQ AB AP AP PB AP ⋅=⋅+=,所以2=12AP ,因此222=)361224.B Q B P B P P Q B P B P A B A P ⋅+⋅==-=-=( 考点:向量表示14.已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈与x 轴相切,若直线y c =与5y c =+分别交()f x 的图象于,,,A B C D 四点,且四边形ABCD 的面积为25,则正实数c 的值为 【答案】4【解析】试题分析:由题意得24,a b =又由2=c x ax b ++得:12||AB x x =-==,同理CD =因为四边形ABCD 为梯形,所以1255,2=⨯解得 4.c = 考点:二次函数二、解答题:本大题共6小题,共90分.15.解:(1)由a cos B =b cos A ,得sin A cos B =sin B cos A , …………………………3分 即sin(A -B )=0.因为A ,B ∈(0,π),所以A -B ∈(-π,π),所以A -B =0,所以a =b ,即b a=1. ………………………………………………………………6分 (2)因为sin A =13,且A 为锐角,所以cos A =223. ………………………………8分所以sin C =sin(π-2A )=sin2A =2sin A cos A =429, ……………………………10分cos C =cos(π-2A )=-cos2A =-1+2sin 2A =-79.…………………………………12分所以sin(C -π4)=sin C cos π4-cos C sin π4=8+7218.………………………………14分16.证明:(1)连结AC ,交BD 于O ,连结OE .因为ABCD 是平行四边形,所以OA =OC .…………………………………………………2分 因为 E 为侧棱PA 的中点,所以OE ∥PC .…………………………………………………4分 因为PC /⊂平面BDE ,OE ⊂平面BDE ,所以PC // 平面BDE .……………………………6分 (2)因为E 为PA 中点,PD =AD ,所以PA ⊥DE .………………………………………8分 因为PC ⊥PA ,OE ∥PC ,所以PA ⊥OE .因为OE ⊂平面BDE ,DE ⊂平面BDE ,OE ∩DE =E , 所以PA ⊥平面BDE .………………………………12分 因为PA ⊂平面PAB ,所以平面BDE ⊥平面PAB . ………………………………14分17.解:(1)依题意得 y =mkn =mk (ax +5),x ∈N *. …………………………………4分 (2)方法一 依题意x =0.2a . ……………………………………………6分PABCDEO所以P =mx y =x k (ax +5)=0.2a k (0.2a 2+5)=ak (a 2+25) ……………………………8分≤a3(a 2+25)=13(a +25a )≤13×(2 a ×25a)=130<120. …………………………13分 答:P 不可能大于120. …………………………………………14分 方法二 依题意x =0.2a . …………………………………………6分 所以P =mx y =x k (ax +5)=0.2a k (0.2a 2+5)=a k (a 2+25).……………………………8分 假设P >120,得ka 2-20a +25k <0. …………………………………10分 因为k ≥3,所以△=100(4-k 2)<0,不等式ka 2-20a +25k <0无解.……………13分 答:P 不可能大于120. ……………………………………14分 18.解: ⑴因为c a =22,a 2c= 2,所以a =2,c =1,所以b =a 2-c 2=1.故椭圆的方程为x 22+y 2=1. ………………………………………4分⑵解法一 设P 点坐标为(x 1,y 1),则Q 点坐标为(x 1, – y 1).因为k AP =y 1-1x 1-0=y 1-1x 1,所以直线AP 的方程为y =y 1-1x 1x +1.令y = 0,解得m =-x 1y 1-1. ……………………………………8分因为k AQ = -y 1-1x 1-0=-y 1+1x 1,所以直线AQ 的方程为y =-y 1+1x 1x +1.令y =0,解得n =x 1y 1+1. ……………………………………12分所以mn =-x 1y 1-1 x 1y 1+1=x 211-y 21. ………………………………………14分又因为(x 1,y 1)在椭圆x 22+ y 2 = 1上,所以x 212 + y 21= 1,即1-y 21= x 212,所以x 211 – y 21=2,即mn =2.所以mn 为常数,且常数为2. ………………………………16分解法二 设直线AP 的斜率为k (k ≠0),则AP 的方程为y = kx +1,令y = 0,得m =-1k. ………………………………6分联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y = kx + 1,x 22 + y 2=1,[来源:学。

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