江苏省苏州中学2019-2020学年度第一学期期初考试高三数学

江苏省苏州中学2019-2020学年度第一学期期初考试

高三数学I

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在

答题纸的指定位置上）

1．已知集合{}11,cos ,,1,2A B θ⎧⎫

==⎨⎬⎩⎭

若,A B =则锐角θ=

2．若复数122,1,z a i z i =+=-且12z z 为纯虚数,则实数a 的值为

3．如图是小王所做的六套数学附加题得分（满分40）的茎叶图，则其平均得分为

4．已知函数()2

log 1a x

f x x

-=+为奇函数,则实数a 的值为 5．已知等比数列{}n a 的各项均为正数,361

4,,2

a a ==则45a a +=

6．一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次性随机摸出2只球,则恰好有1只是白球的概率为

7．右图是一个算法的流程图,则最后输出W 的值为

N

Y

1

8．已知双曲线22

15

x y m -

=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 9．已知函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛

⎫=+>>< ⎪⎝

⎭的图象上有一个

最高点的坐标为(,由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图像与x 轴交于点()6,0,则此解析式为

10．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S = 11．已知圆()()()2

2

:10C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于,P Q 两点,则当CPQ ∆的面积最大时,此时实数a 的值为

12．函数()3211

22132

f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限的充要条件是

13．如图,AB 是半径为3的圆O 的直径,P 是圆O 上异于,A B 的一点 Q 是线段AP 上靠近A 的三等分点,且4,AQ AB ⋅=则BQ BP ⋅的值为

14．已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈与x 轴相切,若直线y c =与5y c =+分别交()f x 的图象于,,,A B C D 四点,且四边形ABCD 的面积为25,则正实数c 的值为

二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，

请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＝b cos A ． （1）求b

a

的值；

（2）若sin A ＝13，求sin(C －π

4

)的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 为侧棱PA 的中点． （1）求证：PC // 平面BDE ；

（2）若PC ⊥PA ，PD ＝AD ，求证：平面BDE ⊥平面PAB ．

17．（本小题满分14分）

某市对城市路网进行改造，拟在原有a 个标段（注：一个标段是指一定长度的机动车道）的基础上，新建x 个标段和n 个道路交叉口，其中n 与x 满足n ＝ax ＋5．已知新建一个标段的造价为m 万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k 倍． （1）写出新建道路交叉口的总造价y （万元）与x 的函数关系式；

（2）设P 是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数的20%，且k ≥3．问：P 能否大于1

20

，说明理由．

18．（本小题满分16分）

已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝2

2，一条准线方程为x = 2．过椭圆的上顶点A

作一条与x 轴、y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P ，P 关于x 轴的对称点为Q ． （1）求椭圆的方程；

（2）若直线AP ，AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求出此常数．

P A B

C

D

E

（第16题图）

19．（本小题满分16分）

已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝x －b ，b ∈R ．

（1）若函数f (x )的图象与函数g (x )的图象相切，求b 的值； （2）设T (x )＝f (x )＋ag (x )，a ∈R ，求函数T (x )的单调增区间；

（3）设h (x )＝|g (x )|·f (x )，b ＜1．若存在x 1，x 2∈[0，1]，使|h (x 1)－h (x 2)|＞1成立，求b 的取值范围．

20．（本小题满分16分）

已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16． （1）求数列{a n }的前n 项和S n ；

（2）设T n ＝i =1

∑n (－1)i a i ，若对一切正整数n ，不等式λT n ＜[a n ＋1＋(－1)

n ＋1

a n ]·2n －1

恒成立，

求实数λ的取值范围；

（3）是否存在正整数m ，n (n ＞m ＞2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列？若存在，求出

所有的m ，n ；若不存在，说明理由．

（第18题图）