江苏省苏州中学2019-2020学年度第一学期期初考试高三数学
江苏省苏州市2019-2020学年高三上学期期中数学试题
绝密★启用前江苏省苏州市2019-2020学年高三上学期期中数学试题试卷副标题xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 一、填空题1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，则A B =__________.2．已知复数z 满足2zi i=+（i 为虚数单位），则复数z 的实部为___________. 3．已知向量(,2)a x =，(2,1)b =-，且a b ⊥，则实数x 的值是___________. 4．函数y =___________. 5．等比数列{}n a 中，11a =，48a =，n S 是{}n a 的前n 项和，则5S =_________. 6．已知tan 2α=，则sin cos 2sin ααα+的值为_________.7．“2x >”是“1x >”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的某一个）8．已知函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移(0)2πϕϕ<<个单位长度得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则ϕ的值为_______.9．设函数,0()21,0x e x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，则不等式()2(2)f x f x +>的解集为_______.10．已知函数()ln mf x x =-的极小值大于0，则实数m 的取值范围为_________.11．已知各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =，则37a a 的最大值为_________. 12．已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足2CE ED =，若6AE EB ⋅=-，则cos C _________.13．若方程3cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在(0,)π的解为1x ，2x ，则()12cos x x -=___________. 14．已知函数23()3f x x x =-，1()ln x g x e a x -=--，若对于任意1(0,3)x ∈，总是存在两个不同的2x ，3(0,3)x ∈，使得()()()123f x g x g x ==，则实数a 的取值范围为_____________. 二、解答题15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120C ︒=，7c =，2a b -=. （1）求a ，b 的值； （2）求sin()A C +的值.16．已知向量(cos )a x x =，(cos ,sin )b x x =. （1）若//a b ，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求x 的值； （2）若()f x a b =⋅，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值及相应x 的值. 17．已知等比数列{}n a 满足22a =，且2a ，31a +，4a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n b a n =-+，求数列{}n b 的前n 项和为n T .18．如下图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD ，下部是一个矩形ABCD ，圆弧CD 所在圆的圆心为O ，经测量4AB =米，BC =米，COD 120︒∠=，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH ，其中E ，F 在边AB 上，G ，H 在圆弧CD 上.设OGF θ∠=，矩形EFGH 的面积为S .…………○…………线…………○……考号：___________…………○…………线…………○……（1）求矩形EFGH 的面积S 关于变量θ的函数关系式； （2）求cos θ为何值时，矩形EFGH 的面积S 最大？ 19．已知函数()f x =（1）求()f x 的图像在1x =处的切线方程； （2）求函数()()F x f x x =-的极大值；（3）若()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.20．已知数列{}n a 满足*11(1),n n n a na a n N +-=-∈.（1）证明：数列{}n a 为等差数列；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211a a -=，且对任意的正整数n ，都有12311111433n S S S S <++++<，求整数1a 的值； （3）设数列{}n b 满足310n n b a =+，若2115a a -=，且存在正整数s ，t ，使得s t ab +是整数，求1a 的最小值. 21．已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（1）求矩阵M ；…外…………○…………装……※※请※※不※※要※※在※…内…………○…………装……（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程. 22．已知曲线C 的极坐标方程为2cos ραα=+（α为参数），直线1的参数方程为1cos sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，02πβ<<），若曲线C 被直线1求β的值.23．选修4-2：不等式选讲设正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：32a b c b c c a a b ++≥+++. 24．某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是14.甲乙丙是否击中目标相互独立.（1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.25．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ︒∠=，AB AC a ==，1AA b =，点E ，F 分别在1BB ，1CC ，且113BE BB =，1113C F CC =.设baλ=.（1）当3λ=时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小； （2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值.参考答案1．{1,2} 【解析】 【分析】根据交集的运算可直接得出结果． 【详解】 解：集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，{1,2}A B ∴=，故答案为：{1,2}． 【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题． 2．1- 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】 解：由2zi i=+，得(2)12z i i i =+=-+， ∴复数z 的实部为−1， 故答案为：−1． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3．1 【解析】 【分析】由题意两个向量垂直，利用向量垂直的坐标运算，列方程求出x 的值． 【详解】解：∵向量(,2)a x =，(2,1)b =-，且a b ⊥， ∴220x -=，解得1x =， 故答案为：1．本题主要考查向量垂直的坐标运算，属于基础题． 4．(1,2) 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零，分母不为零，被开方数不小于零，列不等式求解即可． 【详解】 解：由已知得1020x x ->⎧⎨->⎩，解得12x <<，函数的定义域为(1,2)， 故答案为：(1,2)． 【点睛】本题考查函数定义域的求法，是基础题． 5．31 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，11a =，48a =，3418a q a ∴==，解得2q ，则前5项和55213121S -==-，故答案为：31． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了学生的计算能力，属于基础题． 6．25【解析】分子分母同时除以cos α，可将目标式转化为用tan α来表示，再代入tan α的值即可求得结果． 【详解】解：sin sin cos cos 2si ta n cos 2sin 12o n t s an c αααααααααα==+++， 代入tan 2α=得，原式22145==+， 故答案为：25．【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的运用，当目标式是分式且分子分母均为sin α，cos α的齐次式时，可分子分母同时除以cos α，达到变形的目的，本题是基础题． 7．充分不必要 【解析】试题分析：因为211,1x x x >>⇒>>时2x >不一定成立，所以“2x >”是“1x >”的充分不必要条件． 考点：充要关系 8．12π【解析】 【分析】将函数sin 2y x =平移后的解析式和函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭比较，列方程求解． 【详解】解：把函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移(0)2πϕϕ<<个单位长度，得到函数sin 2sin(22)6y x x πϕ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的图象， 26πϕ∴=，则12πϕ=，故答案为：12π．【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题． 9．(1,2)- 【解析】 【分析】对2x +分20x +<和20x +≥讨论，分别求出解集，再取并集，即得所求． 【详解】解：当20x +<时，由()2(2)f x f x+>得：22(2)1x x e++>，20x +<，2(2)11x ∴++<，又201x e e ≥=，22(2)1x x e ∴++>无解；当20x +≥时，由()2(2)f x f x+>得：22x x ee +>，22x x ∴+≥，解得：12x -<<，∴不等式()2(2)f x f x +>的解集为(1,2)-，故答案为：(1,2)-． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数不等式的解法，是基础题．10．1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】对()f x 求导，求出极小值点，然后判断()f x 的单调性求出极小值，再由()f x 的极小值大于0，建立关于m 的不等式，求出m 的范围． 【详解】解：由()ln m f x x x =-，得2()(0)x m f x x x '+=>， 令()0f x '=，则x m =-， 因为()ln mf x x x=-的极小值大于0， 必有极小值点0m ->，故0m <，所以当x m >-时，()0f x '>，当0x m <<-时，()0f x '<， 所以()f x 在(0,)m -上单调递减，在(,)m -+∞上单调递增， 所以()f x 极小值()ln()10f m m =-=-+>，所以1m e<-， 综上，m 的取值范围为1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，故答案为：1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了运算能力，属中档题． 11．9 【解析】 【分析】因为等差数列{}n a 各项都为正数，利用237372a a a a +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可求其最大值． 【详解】解：依题意，等差数列{}n a 各项都为正数， 所以370,0a a >>，所以()223737592a a a a a +⎛⎫≤== ⎪⎝⎭． 当且仅当373a a ==时等号成立．故答案为：9． 【点睛】本题考查了等差中项的性质，考查了基本不等式，属于基础题． 12．13【解析】 【分析】利用E 为三等分点结合向量加减法把所给数量积转化为,CD CB 之间的关系即可解决． 【详解】 解：如图，2CE ED =，CE 2ED ∴=，由6AE EB ⋅=-得()()6DE DA CB CE -⋅-=-， 得6DE CB DE CE DA CB DA CE ⋅-⋅-⋅+⋅=-， 得296ED CB CB CE -⋅+-+⋅=-，得(1CE ED CB -⋅=），即1ED CB ⋅=，即113CD CB ⋅=133cos 13C ∴⨯⨯=， 1cos 3C ∴=，故答案为13． 【点睛】此题考查了向量数量积的定义，向量加减法法则，难度不大．13．35【解析】 【分析】由已知可得1276x x π+=，得到1276x x π=-，则()1227cos cos 26x x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合已知得答案． 【详解】解：由方程3cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在(0,)π的解为1x ，2x ， 得123cos 2cos 2665x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(0,),x π∈112,666x πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭， 1222662x x πππ-+-∴=，1276x x π∴=-， ()1227cos cos 26x x x π⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，又23cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴()122273cos cos 2cos 2665x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：35． 【点睛】本题考查Acos()y x ωϕ=+型函数的图象与性质，特别是对称性的应用是关键，是中档题． 14．)21,ln34e ⎡--⎣【分析】利用导数求出23()3f x x x =-在(0,3)x ∈上的值域A ，利用导数求出1()ln x g x e a x -=--在(0,3)x ∈上不同的x 对应相同y 的y 的范围B ，根据题意可得A B ⊆，列不等式即可求得实数a 的取值范围． 【详解】解：23()3f x x x =-，(0,3)x ∈，2()633(2)f x x x x x '=-=-，可得：函数()f x 在(0,2]上单调递增，在(2,3)上单调递减． 而(0)(3)0,(2)4f f f ===．()(0,4]f x A ∴∈=．1()ln ,(0,3)x g x e a x x -=--∈，11()x g x e x'-=-在(0,3)x ∈上单调递增， 又(1)0g '=，∴函数()g x 在(0,1]上单调递减，在(1,3)上单调递增．0x +→时，2();(1)1,(3)ln 3g x g a g e a →+∞=-=--．令)21,ln3B a e a ⎡=---⎣．对于任意1(0,3)x ∈，总是存在两个不同的23,(0,3)x x ∈， 使得()()()123f x g x g x A B ==⇔⊆．10a ∴-≤，且24ln 3e a <--．解得214ln 3a e ≤<--． ∴实数a 的取值范围为)21,ln34e ⎡--⎣，故答案为：)21,ln34e ⎡--⎣．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．15．（1）5a =，3b =（2）14【解析】 【分析】（1）由已知利用余弦定理可得2249a b ab ++=，结合2a b -=，即可解得a ，b 的值． （2）由（1）及余弦定理可求cos B ，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用两角和的正弦函数公式，诱导公式可求sin()A C +的值． 【详解】解：（1）由余弦定理得22222222cos 2cos 49120c a b ab C a b ab a b ab ︒=+-=+-=++=，2a b -=，22(2)(2)49b b b b ∴++++=整理得：22150b b +-=， 因为0b >，解得：3b =，5a =， 综上：5a =，3b =.（2）由（1）知5a =，3b =，7c =，所以22213cos 214a cb B ac +-==，因为B 为ABC ∆的内角，所以sin 14B ==，因为sin()sin()sin A C B B π+=-==所以sin()A C + 【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 16．（1）2x π=或3x π=.（2）最大值为32，此时6x π=. 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算，列方程求解；（2）根据数量积的坐标运算，利用三角公式，将()f x 变形为sin()A x ωϕ+的形式，利用三角函数的性质求最值． 【详解】解：（1）因为，(cos )a x x =，(cos ,sin )b x x =.，//a b ，所以2cos sin x x x =，所以cos (sin )0x x x -=，所以cos 0x =或sin 0x x -=，即cos 0x =或tan x =因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2x π=或3x π=；（2）因为(cos )a x x =，(cos ,sin )b x x =，所以2()cos sin f x a b x x x =⋅=1cos 21sin 2sin 22262x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以3()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 的最大值为32，此时6x π=． 【点睛】本题是向量背景下的三角运算问题，考查三角函数的恒等变换，以及三角函数的图像和性质，难度不大，但综合性较强．17．（1）12n na . （2）20,11,22,323,4n n n n T n n n =⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪-+≥⎩【解析】 【分析】（1）由已知列式求得等比数列的公比，进一步求得首项，则数列{}n a 的通项公式可求；（2）设121221n n n c a n n -=-+=-+，作差可得当4n ≥时，0n c >，即4n ≥时，1221n n n b c n -==-+，再求出数列{}n b 的前3项，然后分类利用数列的分组求和求数列{}n b 的前n 项和为nT．【详解】解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q （不为0），2a ，31a +，4a 成等差数列，()32421a a a ∴+=+，22a =，所以22(21)22q q +=+，解得2q 或0q =（舍），211a a q∴==， ∴数列{}n a 的通项公式为12n na ；（2）设121221n n n c a n n -=-+=-+，()11122(1)122122n n n n n c c n n --+∴-=-++--+=-，∴当3n ≥，1n n c c +>，又410c =>，所以4n ≥时，0n c >，即4n ≥时，1221n n n b c n -==-+，因为10c =，21c =-，31c =-，所以10b =，21b =，31b =， 所以10T =，21T =，32T =，当4n ≥时，123445(011)n n n T b b b b b b b b =+++++=++++++()3412222(7921)n n -=++++-+++-()3322127212(3)23122n n n n n --+-=+-⋅-=-+-，综上20,11,22,323,4n n n n T n n n =⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪-+≥⎩．【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和，考查数列的函数特性，是中档题． 18．（1）8(4cos 1)sin 3S θθ=-，πθ0,3（2）cos θ=【解析】 【分析】（1）结合几何图形计算的直角三角形勾股定理，找出矩形EFGH 的面积S 关于变量θ的函数关系式；（2）对S 关于变量θ的函数关系式进行求导分析，算出0S '=时的cos θ的值，三角计算即可得出结果． 【详解】解：（1）如图，作OP CD ⊥分别交AB ，GH 于M ，N ， 由四边形ABCD ，EFGH 是矩形，O 为圆心，120COD ︒∠=， 所以OMAB ⊥，ON GH ⊥，P ，M ，N 分别为CD ，AB ，GH 中点，60CON ︒∠=，在Rt COP ∆中，2CP =，60COP ︒∠=，所以OC =OP =所以OM OP PM OP BC =-=-=在Rt ONG ∆中，GON OGF θ∠=∠=，OG OC ==所以GN θ=，ON θ=，所以2GH GN θ==，3GF MN ON OM θ==-=-，所以8(4cos 1)sin 3S GF GH θθθθ=⋅==-⎭，πθ0,3， 所以S 关于θ的函数关系式为：8(4cos 1)sin 3S θθ=-，πθ0,3（2）由（1）得：()()222884cos 4sin cos 8cos cos 433S θθθθθ'=--=-- 因为πθ0,3， 所以1cos ,12θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，令0S '=，得11cos ,1162θ+⎛⎫=⎪⎝⎭，设00,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且0cos θ=， 所以0S '>，得00θθ<<，即S 在()00,θ单调递增，0S '<，得03πθθ<<，即S 在0,3πθ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 所以当0θθ=时，S 取得最大值，所以当cos θ=EFGH 的面积S 最大． 【点睛】本题主要考查根据图形进行计算，掌握运用直角三角形勾股定理知识，三角函数的计算，函数的一阶导数分析能力，本题属难题． 19．（1）1y x =-.（2）-1；（3）1a ≥ 【解析】 【分析】（1）由函数()f x=，可得()f x '，求出(1)f '和切点坐标，利用点斜式即可得出切线方程．（2）由()()(0)F x f x x x x=-=->，求得()F x '，分析()F x '在(0,)+∞上单调性和零点，即可得出()F x 单调性与极值．（3）令()ln ()ln ,(0,1]g x x af x x a x=-=-∈，求出()g x '，对a 分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出实数a 的取值范围． 【详解】解：（1）因为()f x=所以()f x '=(1)1f '=，因为()y f x =经过(1,0)，所以()f x 的图像在1x =处的切线方程为1y x =-；（2）因为()F x x=-，0x >， 所以()1F x '=， 又()F x '在(0,)+∞递减，(1)0F '=，所以在(0,1)x ∈，()0F x '>，即()F x 在(0,1)递增； 在(1,)x ∈+∞，()0F x '<，即()F x 在(1,)+∞递减， 所以在1x =处，()F x 取极大值，(1)1F =-；（3）设()ln ()ln g x x af x x a=-=-，(0,1]x ∈，所以21()2a g x x '=-= ①0a ≤时，()0g x '>对(0,1]x ∈恒成立， 所以()g x 在(0,1]递增， 又(1)0g =，所以0(0,1)x ∃∈时，()00g x <，这与()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立矛盾，舍去；②1a ≥时，设2()x a a ϕ=-+，(0,1]x ∈，2440a ∆=-≤， 所以()0x ϕ≤，(0,1]x ∈， 所以()0g x '≤对(0,1]恒成立， 所以()g x 在(0,1]递减， 又(1)0g =，所以()(1)0g x g ≥=对(0,1]x ∈恒成立， 所以1a ≥成立；③01a <<时，设2()x a a ϕ=-+，(0,1]x ∈，2440a ∆=->，解()0x ϕ=得两根为1x ，2x 11a=>，(0,1)==，所以101x <<，21>x ，所以()1,1x x ∈，()0x ϕ>，()0g x '>， 所以()g x 在()1,1x 递增， 又(1)0g =，所以()1()01x g g <=，这与()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立矛盾，舍去， 综上：1a ≥. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、方程的实数根与判别式的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 20．（1）证明见解析；（2）2；（3）120【解析】 【分析】（1）令11(1)n n n a na a +-=-中的n 为1n -，又得一式，将两式做差变形，利用等差中项进行证明；（2）利用放缩法和裂项相消法在数列求和中的应用进行证明． （3）利用假设法的应用和存在性问题的应用求出最小值． 【详解】解：（1）因为11(1),n n n a na a +-=-①所以2n ≥时，11(2)(1),n n n a n a a --=-- ②①-②得11(1)2(1)(1)0n n n n a n a n a +----+-=，所以1120,n n n a a a +--+=即112,n n n a a a +-+=所以数列{}n a 为等差数列；（2）因为211a a -=，所以{}n a 的公差为1，因为对任意的正整数n ，都有12311111433n S S S S <++++<， 所以111433S <<，所以1334S <<，即1334a <<， 所以11a =或2，当11a =时，22a =，11S =，23S =，所以121114133S S +=+=，这与题意矛盾，所以11a ≠， 当12a =时，1n a n =+， (3)02n n n S +=>， 111123S =>，123111113n S S S S ++++>恒成立， 因为121133n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 1231111211111111111134253621123n S S S S n n n n n n ⎛⎫∴++++=-+-+-++-+-+- ⎪-+-++⎝⎭211111114132312393n n n ⎛⎫=++---<< ⎪+++⎝⎭， 综上，1a 的值为2.（3）因为2115a a -=，所以{}n a 的公差为15， 所以11(1)5n a a n =+-， 所以111510n b a n =++， 由题意，设存在正整数s ，t ，使得s t a b l +=，l Z ∈， 则111155510s t a a l +-+++=，即1202(5)1a l s t =--+， 因为5l s t Z --∈，所以2(5)l s t --是偶数， 所以1201a ≥， 所以1120a ≥， 当1120a =时，41920b =， 所以存在141a b Z +=∈， 综上，1a 的最小值为120. 【点睛】本题考查的知识要点：等差数列的证明和通项公式的应用，裂项相消法在数列求和中的应用和放缩法的应用，假设法在数列的通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，难度较大．21．（1）2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）292y x x =- 【解析】【分析】（1）根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得,a b 的值，即可得到矩阵M ；（2）根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程．【详解】解：（1）依题意得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即31333a b -+=⎧⎨-+=-⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩， 所以2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （2）设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(),P x y '''， 则2130x x y y ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即23x x y y x ''=+⎧⎨=⎩， 因为2y x ''=，所以292x x y =+，所以曲线C 的方程为292y x x =-．【点睛】本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程，本题属中档题．22．3πβ=.【解析】【分析】首先利用转换关系式的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式和垂径定理求出结果．【详解】解：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 的极坐标方程化为直角坐标系下的方程为22(1)(4x y -+-=，直线l 的参数方程1cos ,sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，02πβ<<）在直角坐标系下的方程为(1)(tan )y k x k β=-=，因为圆C 被直线1d ==，2=，k ∴= 因为02πβ<<，所以tan k β==所以3πβ=．【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23．见证明【解析】【分析】 把不等式左边化为1113b c c a a b++-+++，再利用柯西不等式得到11192b c c a a b ++≥+++，从而不等式得到证明. 【详解】因为,,0a b c >，1a b c ++=，所以a b c b c c a a b+++++ 1111113b c c a a b b c c a a b b c c a a b------=++=++-++++++ 由[]2=2()=()+()+()a b c a b b c c a +++++，由柯西不等式，得[]111()()()b c c a a b b c c a a b ⎛⎫+++++⋅++ ⎪+++⎝⎭ 29≥+= 所以11192b c a c a b ++≥+++，即93322a b c b c a c a b ++≥-=+++. 【点睛】多变量不等式的证明，可根据不等式的特点选择均值不等式或柯西不等式等来证明，如果不等式是和与积的形式，可考虑前者，如果是平方和与对应乘积和的关系，则考虑后者，必要时需对原有不等式变形化简，使之产生需要的结构形式.24．（1）38，23.（2）分布列见解析，数学期望2524. 【解析】【分析】（1）设甲、乙、丙击中目标分别记为事件,,A B C ，则3()4P A =，且1()()121()()4P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由此能求出乙、丙二人各自击中目标的概率．（2）由题意X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E （X ）．【详解】解：（1）设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A 、B 、C ，则3()4P A =，且有 1()(),121()(),4P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即311[1()],4121()().4P C P B P C ⎧⎛⎫--= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩解得3()8P B =，2()3P C =， 所以乙、丙二人各自击中目标的概率分别为38，23； （2）由题意，X 的可能取值为0，1，2，1(2)4P X ==， 515(0)()()8324P X P B P C ===⨯=， 13(1)1(0)(2)24P X P X P X ==-=-==. 所以随机变量X 的分布列为513125()0122424424E X =⨯+⨯+⨯= 所以X 的数学期望为2524. 【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25．（1）60°（2）32λ=【解析】【分析】（1）推导出1AA ⊥平面ABC ，11,AB AA AA ⊥⊥AC ，建立分别以AB ，AC ，1AA 为,,x y z 轴的空间直角坐标系，利用法向量能求出异面直线AE 与1A F 所成角．（2）推导出平面AEF 的法向量和平面1A EF 的一个法向量，由平面AEF ⊥平面1A EF ，能求出λ的值．【详解】解：因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1AA ⊥平面ABC ，因为,AB AC ⊂平面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，又因为90BAC ︒∠=，所以建立分别以AB ，AC ，1AA 为,,x y z 轴的空间直角坐标系A xyz -.（1）设1a =，则1AB AC ==，13AA =，各点的坐标为(0,0,0)A ，(1,0,1)E ，1(0,0,3)A ，(0,1,2)F .(1,0,1)AE =，1(0,1,1)A F =-. 因为1||||2AE A F ==11AE A F ⋅=-， 所以1111cos ,2||||2AE A F AE A F AE A F ⋅〈〉===-. 所以向量AE 和1A F 所成的角为120°，所以异面直线AE 与1A F 所成角为60°； （2）因为,0,3b E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,,3b F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ,0,3b AE a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，20,,3b AF a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设平面AEF 的法向量为1(,,)n x y z =，则10AE n ⋅=，且10AF n ⋅=.即03bz ax +=，且203bz ay +=. 令1z =，则3b x a =-，23b y a =-. 所以122,,1,,13333b b a a n λλ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是平面AEF 的一个法向量.同理，222,,1,,13333b b n a a λλ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是平面1A EF 的一个法向量. 因为平面AEF ⊥平面1A EF ，所以120n n ⋅=，22221099λλ∴--+=， 解得32λ=. 所以当平面AEF ⊥平面1A EF 时，32λ=. 【点睛】本题考查异面直线所成角的大小、实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
2020届江苏省苏州中学高三上学期考试（一）数学试题
【答案】[2035，+∞）
【解析】由 是奇函数，可解得参数 ，再分类讨论求解不等式..
【详解】
因为函数 是奇函数，故可解的 ；
（1）当 0时，
即 ,且 此时无解， ；
（2）当 0
即 ，
此时
显然f（3t+2019）+4f（8﹣2t）≤0不可能，
解：∵x2＞x，
∴x＞1或x＜0，
∴x＞1⇒x2＞x，
∴x＞1是x2＞x充分不必要，
故答案为充分不必要．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
5．若 ，则函数
【答案】
【解析】设 ，则 ，求得 ，从而可得结果.
【详解】
设 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，故答案为 .
【点睛】
本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.
【答案】 ，
【解析】全称命题的否定是特称命题， 该命题的否定为“ ， ”。
点睛：命题的否定主要考察全称命题和特称命题的否定，掌握其方法：全称的否定是特称，特称的否定是全称，命题否定是条件不变，结论变。
4．“x＞1”是“x2＞x”的条件．
【答案】充分不必要
【解析】试题分析：由题意把x2＞x，解出来得x＞1或x＜0，然后根据命题x＞1与命题x＞1或x＜0，是否能互推，再根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．
2020届苏州中学高三上学期期初数学试题
2020届江苏省苏州中学高三上学期期初数学试题一、填空题1．已知R 为实数集，集合{}1,0,1A =-，集合{}0B x x =≤，则R A B =I ð______． 【答案】{}1【解析】利用补集的定义求出集合B R ð，然后利用交集的定义求出集合R A B I ð. 【详解】{}0B x x =≤Q ，{}0R B x x ∴=>ð，因此，{}1R A B =I ð.故答案为：{}1. 【点睛】本题考查列举法、描述法的定义，以及交集、补集的运算，考查计算能力，属于基础题. 2．若复数122,2z i z a i =+=-（i 为虚数单位），且12z z 为实数，则实数a =______________.【答案】4【解析】根据复数的乘法运算法则，求出12z z ，由虚部为零，即可求解. 【详解】1212,22,(42)2z i i z a i z a a z =+=-=++-,12z z Q 为实数，4a =.故答案为:4. 【点睛】本题考查复数的代数运算以及复数的分类，属于基础题. 3．已知函数1()1xf x a e =+-为奇函数，则实数a =___________. 【答案】12【解析】根据奇函数的必要条件有(1)(1)f f -=-，求出a ，再加以验证()f x 是否为奇函数. 【详解】函数1()1xf x a e =+-为奇函数，(1)(1)f f ∴-=-， 11+111a a e e=----，解得，12a =， 此时111()212(1)x x x e f x e e +=+=--，11()()2(1)2(1)x xx xe ef x f x e e --++-===---， 所以()f x 为奇函数. 故答案为:12. 【点睛】本题考查函数奇偶性求参数，注意必要条件的应用减少计算量，但要验证，属于基础题. 4．抛物线214y x =的准线方程是___________________. 【答案】1y =- 【解析】将214y x =化成抛物线的标准方程24x y =，利用抛物线的性质求解即可． 【详解】由214y x =得：24x y =，所以24p =，即：12p = 所以抛物线214y x =的准线方程为：12py =-=-．【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，属于基础题．5．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 值都有f (x )＞0，则实数a 的取值范围为________．【答案】12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【解析】分离参数法表达出a 的表达式，对函数配方，根据x 的范围，从而确定a 的范围． 【详解】∵满足1＜x ＜4的一切x 值，都有f （x ）=ax 2﹣2x+2＞0恒成立，可知a≠0 ∴a ＞()221x x -=2[14﹣（1x ﹣12）2]，满足1＜x ＜4的一切x 值恒成立，∵14＜1x ＜1， ∴2[14﹣（1x ﹣12）2]∈（0，12]，实数a 的取值范围为：12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． 故答案为：12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查了不等式恒成立，二次函数的性质，函数的单调性，涉及了变量分离求最值得方法，属于中档题．6．已知函数()()()sin 20f x x ϕϕπ=+≤<关于直线6x π=-对称，则()0f =______．【答案】12【解析】根据对称轴方程,2x k k Z ππ=+∈，得到ϕ的表示，根据条件中的ϕ的范围结合k 的取值即可求出ϕ的值，最后可计算()0f 的值. 【详解】因为正弦函数的对称轴为,2x k k Z ππ=+∈，所以2,62k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭， 所以5,6k k Z πϕπ=+∈，又因为[)0,ϕπ∈，所以56πϕ=，此时0k =， 所以()5sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()510sin 62f π==. 故答案为12. 【点睛】已知正弦（或余弦）型函数的对称轴，求解函数中参数的方法：（1）根据对称轴方程，再利用给定的参数范围去求解参数值；（2）根据对称轴对应的是函数的最值，并利用参数范围求解参数值.7．若曲线(1)x y ax e =+在(0,1)处的切线斜率为-1，则a =___________. 【答案】2-【解析】求出y '，并由0|1x y ='=-，建立a 的方程，即可求解.,((1)1)x x y y ax e ax a e '=+=++， 011,2x y a a ='=+=-∴=-.故答案为:-2. 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若264,,S S S 成等差数列，则246a a a +的值为__________． 【答案】2.【解析】分析：利用264,,S S S 成等差数列求出1q =-，由()222144462112a q a a q a a q q+++===可得结果. 详解：设{}n a 的首项1a ，公比为q ，1q =时，264,,S S S 成等差数列，不合题意； 1q ≠时，Q 264,,S S S 成等差数列，()()()6241112111111a q a q a q qq q---∴=+---，解得1q =-，()222144462112a q a a q a a q q+++∴===，故答案为2. 点睛：本题主要考查等比数列的基本性质、等比数列的求和公式，意在考查函数与方程思想、计算能力以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.9．若双曲线22219x y b-=满足9b ≥，则该双曲线离心率的取值范围是_______________.【答案】)+∞【解析】根据双曲线离心率公式，得3e =，由已知b 的范围，即可求解.双曲线22219x y b -=离心率为3e =，9,b e ≥∴Q 故答案为:)+∞ 【点睛】本题考查双曲线的性质，属于基础题.10．已知△ABC 的三边上高的长度分别为2，3，4，则△ABC 最大内角的余弦值等于________． 【答案】1124-【解析】不妨设ABC ∆的三边a ，b ，c 上对应的高的长度分别为2，3，4，由三角形的面积公式可得234a b c ==，设234a b c x ===，可得2x a =，3x b =，4xc =，可得A 为三角形的最大角，由余弦定理即可计算得解． 【详解】解：由题意，不妨设ABC ∆的三边a ，b ，c 上对应的高的长度分别为2，3，4， 由三角形的面积公式可得：111234222a b c ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯，解得：234a b c ==，设234a b c x ===， 则2x a =，3x b =，4xc =，可得a 为三角形最大边，A 为三角形的最大角， 由余弦定理可得：222222()()()11342cos 224234x x xb c a A x x bc +-+-===-⨯⨯．故答案为：1124-． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．11．已知函数2()6f x x =-，若0a b >>，且()()f a f b =，则2a b 的最大值是______________. 【答案】16【解析】根据已知求出22,a b 关系，以及b 的范围，将2a b 转化求关于b 的关系式，即可求解. 【详解】22()(),|6||6|,0f a f b a b a b =∴-=->>Q ，22260,066b b a b -<<<-=-+，222312,12a b a b b b ∴=-∴=-+，设3()12,0f x x x x =-+<<2()3123(2)(2)f x x x x '=-+=-+-，当(0,2),()0,()x f x f x '∈>单调递增，当()0,()x f x f x '∈<单调递减，2x ∴=时，()f x 取得极大值16，也是最大值，2a b ∴的最大值是16.故答案为:16. 【点睛】本题以二次函数为背景，考查利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题.12． 若直线y ＝x ＋m 与曲线x 则实数m 的取值范围是______.【答案】{m |－1＜m ≤1或m }【解析】由x 2+y 2=1，注意到x≥0，所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆，且其图象只在一、四象限．画出图象，这样因为直线与其只有一个交点，由此能求出实数m 的取值范围． 【详解】由x 2+y 2=1，注意到x≥0，所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆， 且其图象只在一、四象限．画出图象，这样因为直线与其只有一个交点， 从图上看出其三个极端情况分别是：①直线在第四象限与曲线相切， ②交曲线于（0，﹣1）和另一个点， ③与曲线交于点（0，1）．直线在第四象限与曲线相切时解得m=﹣2， 当直线y=x+m 经过点（0，1）时，m=1．当直线y=x+m 经过点（0，﹣1）时，m=﹣1，所以此时﹣1＜m≤1． 综上满足只有一个公共点的实数m 的取值范围是： ﹣1＜m≤1或m=﹣2．故答案为：{m |－1＜m ≤1或m ＝－2}． 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．13．如图，已知AC 与BD 交于点E ，//AB CD ，310AC =，26AB CD ==，则当tan 3A =时，BE CD ⋅=u u u r u u u r_____________.【答案】12【解析】根据已知条件可得2210AE EC ==,AB AE u u u r u u u r 为基底，将BE u u u r用基底表示，根据向量的数量积公式，即可求解. 【详解】21tan 3,0,sin 3cos ,cos 210A A A A A π=∴<<==，6cos /,10,210/AB C AB CD D A ∴===， 2,2210AE ABAE EC EC DC∴==∴==， 2111()||222BE CD AE AB AB AE AB AB ⎛⎫⋅=--=-⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r21101621061222=-⨯⨯⨯+⨯=.故答案为:12. 【点睛】本题考查向量的线性关系、向量基本定理、向量的数量积，考查计算求解能力，属于中档题.14．已知圆C 的方程为：（x －3）2＋（y －2）2＝r 2（r >0），若直线3x ＋y ＝3上存在一点P ，在圆C 上总存在不同的两点M ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，则圆C 的半径r 的取值范围是________． 【答案】410[,)+∞. 【解析】通过已知条件，求出点P 的轨迹方程，而点P 又在直线3x ＋y ＝3上，问题转化为直线与圆有公共点，即可求出r 的取值范围． 【详解】如图，连结PC ，依次交圆于E ，F 两点，连结MF ，EN ，因为∠PNE 和∠PFM 都是弧¼ME的圆周角，由圆周角定理可得∠PNE ＝∠PFM ，又∠NPE ＝∠FPM ，所以△PNE ∽△PFM ，所以PN PE PFPM=，即PE PF PN PM ⋅=⋅，而,PE PC r PF PC r =-=+，所以有22PC r PM PN -=⋅，因为M 是线段PN 的中点，所以2222PC r MN -=， 又因为M ，N 是圆上的任意两点，则有0<MN ≤2r ，即0<22PC r -≤8r 2.设动点P （x ，y ），圆心C 坐标为（3，2），则有0<（x －3）2＋（y －2）2－r 2≤8r 2，即r 2<（x －3）2＋（y －2）2≤9r 2，在一个圆环内，又因为P 在直线3x ＋y ＝3上，所以直线3x ＋y ＝3与圆环有公共点，即直线与圆（x －3）2＋（y －2）2＝9r 2有公共点，则有3d r =≤，解得r ≥，所以圆C 的半径r的取值范围是)+∞.故答案为：)+∞ 【点睛】此题考查通过中点关系，求出动点轨迹，转化成求直线与圆的位置关系.二、解答题15．已知集合{}2|3100A x x x =--≤，（1）若集合{21,1}B m m =---+，且A B A ⋃=，求实数m 的取值范围； （2）若集合{|211}B x m x m =--≤≤-+，且A B A ⋃=，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）132m -≤≤（2）1,2m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦【解析】（1）由已知可得B A ⊆，B 的两个元素在集合A 中，建立关于m 的不等式关系，即可求解；（2）由已知可得B A ⊆，对B 是否为空集分类讨论，若B 是空集，满足条件，若B 不是空集，由集合的关系确定集合B 端点位置，建立关于m 的不等式关系，即可求出结论. 【详解】解：{}2|3100[2,5]A x x x =--≤=-（1）A B A B A ⋃=⇒⊆，所以2215215m m -≤--≤⎧⎨-≤-+≤⎩，即13243m m ⎧-≤≤⎪⎨⎪-≤≤⎩，解得132m -≤≤，实数m 的取值范围132m -≤≤；（2）A B A B A ⋃=⇒⊆，①若B =∅， 则211,2m m m -->-+∴<-， ②若B =∅，则2m ≥-，又B A ⊆，则221215m m m ≥-⎧⎪--≥-⎨⎪-+≤⎩，解得122m -≤≤，综上实数m 的取值范围1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查集合间的关系，要注意空集不要遗漏，属于基础题. 16．已知cos 7α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求()sin4απ+的值； （2）若()11cos 14αβ+=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求β的值. 【答案】;(2)6πβ=.【解析】分析：（1）根据同角三角函数可得sin α，再根据正弦的两角和公式，即可求得sin()4πα+的值.（2）根据同角三角函数可得sin()αβ+，另sin sin()βαβα=+-，再根据正弦的两角差公式，即可求得sin β，然后求出β值.详解：解：（1）由cos 7α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得17sin α===， 所以sin cos cos sin 444sin πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭17=+=（2）因为,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0,αβπ+∈，又()11cos 14αβ+=，则()sin αβ+===， 所以()sin sin βαβα=+- ()()sin cos cos sin αβααβα=+-+11111471472=⨯-⨯=， 因为0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6πβ=.点睛：本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查角的变化技巧以及特殊角的三角函数值。
2020届江苏省苏州中学高三上学期期初数学试题
绝密★启用前2020届江苏省苏州中学高三上学期期初数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、填空题1．已知R 为实数集，集合{}1,0,1A =-，集合{}0B x x =≤，则R A B =I ð______． 答案：{}1利用补集的定义求出集合B R ð，然后利用交集的定义求出集合R A B I ð. 解：{}0B x x =≤Q ，{}0R B x x ∴=>ð，因此，{}1R A B =I ð.故答案为：{}1. 点评：本题考查列举法、描述法的定义，以及交集、补集的运算，考查计算能力，属于基础题. 2．若复数122,2z i z a i =+=-（i 为虚数单位），且12z z 为实数，则实数a =______________.答案：4根据复数的乘法运算法则，求出12z z ，由虚部为零，即可求解. 解：1212,22,(42)2z i i z a i z a a z =+=-=++-,12z z Q 为实数，4a =.故答案为:4. 点评：本题考查复数的代数运算以及复数的分类，属于基础题. 3．已知函数1()1xf x a e =+-为奇函数，则实数a =___________. 答案：12根据奇函数的必要条件有(1)(1)f f -=-，求出a ，再加以验证()f x 是否为奇函数.解：函数1()1xf x a e =+-为奇函数，(1)(1)f f ∴-=-， 11+111a a e e=----，解得，12a =，此时111()212(1)x x xe f x e e +=+=--， 11()()2(1)2(1)x xx x e e f x f x e e --++-===---，所以()f x 为奇函数. 故答案为:12. 点评：本题考查函数奇偶性求参数，注意必要条件的应用减少计算量，但要验证，属于基础题. 4．抛物线214y x =的准线方程是___________________. 答案：1y =- 将214y x =化成抛物线的标准方程24x y =，利用抛物线的性质求解即可． 解：由214y x =得：24x y =，所以24p =，即：12p= 所以抛物线214y x =的准线方程为：12py =-=-．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，属于基础题．5．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 值都有f (x )＞0，则实数a 的取值范围为________．答案：12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，分离参数法表达出a 的表达式，对函数配方，根据x 的范围，从而确定a 的范围． 解：∵满足1＜x ＜4的一切x 值，都有f （x ）=ax 2﹣2x+2＞0恒成立，可知a ≠0 ∴a ＞()221x x -=2[14﹣（1x ﹣12）2]，满足1＜x ＜4的一切x 值恒成立，∵14＜1x ＜1， ∴2[14﹣（1x ﹣12）2]∈（0，12]，实数a 的取值范围为：12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． 故答案为：12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． 点评：本题考查了不等式恒成立，二次函数的性质，函数的单调性，涉及了变量分离求最值得方法，属于中档题．6．已知函数()()()sin 20f x x ϕϕπ=+≤<关于直线6x π=-对称，则()0f =______．答案：12根据对称轴方程,2x k k Z ππ=+∈，得到ϕ的表示，根据条件中的ϕ的范围结合k 的取值即可求出ϕ的值，最后可计算()0f 的值. 解：因为正弦函数的对称轴为,2x k k Z ππ=+∈，所以2,62k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭， 所以5,6k k Z πϕπ=+∈，又因为[)0,ϕπ∈，所以56πϕ=，此时0k =， 所以()5sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()510sin 62f π==. 故答案为12. 点评：已知正弦（或余弦）型函数的对称轴，求解函数中参数的方法：（1）根据对称轴方程，再利用给定的参数范围去求解参数值；（2）根据对称轴对应的是函数的最值，并利用参数范围求解参数值.7．若曲线(1)xy ax e =+在(0,1)处的切线斜率为-1，则a =___________.答案：2-求出y '，并由0|1x y ='=-，建立a 的方程，即可求解.,((1)1)x x y y ax e ax a e '=+=++， 011,2x y a a ='=+=-∴=-.故答案为:-2. 点评：本题考查导数的几何意义，属于基础题.8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若264,,S S S 成等差数列，则246a a a +的值为__________． 答案：2.分析：利用264,,S S S 成等差数列求出1q =-，由()222144462112a q a a q a a q q+++===可得结果.详解：设{}n a 的首项1a ，公比为q ，1q =时，264,,S S S 成等差数列，不合题意； 1q ≠时，Q 264,,S S S 成等差数列，()()()6241112111111a q a q a q qq q---∴=+---，解得1q =-，()222144462112a q a a q a a q q+++∴===，故答案为2.点睛：本题主要考查等比数列的基本性质、等比数列的求和公式，意在考查函数与方程思想、计算能力以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.9．若双曲线22219x y b -=满足9b ≥，则该双曲线离心率的取值范围是_______________.答案：)+∞根据双曲线离心率公式，得3e =b 的范围，即可求解.双曲线22219x y b -=离心率为3e =，9,b e ≥∴Q 故答案为:)+∞ 点评：本题考查双曲线的性质，属于基础题.10．已知△ABC 的三边上高的长度分别为2，3，4，则△ABC 最大内角的余弦值等于________． 答案：1124-不妨设ABC ∆的三边a ，b ，c 上对应的高的长度分别为2，3，4，由三角形的面积公式可得234a b c ==，设234a b c x ===，可得2x a =，3x b =，4xc =，可得A 为三角形的最大角，由余弦定理即可计算得解． 解：解：由题意，不妨设ABC ∆的三边a ，b ，c 上对应的高的长度分别为2，3，4， 由三角形的面积公式可得：111234222a b c ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯，解得：234a b c ==，设234a b c x ===， 则2x a =，3x b =，4xc =，可得a 为三角形最大边，A 为三角形的最大角， 由余弦定理可得：222222()()()11342cos 224234x x xb c a A x x bc +-+-===-⨯⨯．故答案为：1124-． 点评：本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．11．已知函数2()6f x x =-，若0a b >>，且()()f a f b =，则2a b 的最大值是______________. 答案：16根据已知求出22,a b 关系，以及b 的范围，将2a b 转化求关于b 的关系式，即可求解.22()(),|6||6|,0f a f b a b a b =∴-=->>Q ，22260,066b b a b -<<<-=-+，222312,12a b a b b b ∴=-∴=-+，设3()12,0f x x x x =-+<<2()3123(2)(2)f x x x x '=-+=-+-，当(0,2),()0,()x f x f x '∈>单调递增，当()0,()x f x f x '∈<单调递减，2x ∴=时，()f x 取得极大值16，也是最大值，2a b ∴的最大值是16.故答案为:16. 点评：本题以二次函数为背景，考查利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题.12． 若直线y ＝x ＋m 与曲线x m 的取值范围是______.答案：{m |－1＜m ≤1或m }由x 2+y 2=1，注意到x ≥0，所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆，且其图象只在一、四象限．画出图象，这样因为直线与其只有一个交点，由此能求出实数m 的取值范围． 解：由x 2+y 2=1，注意到x ≥0，所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆， 且其图象只在一、四象限．画出图象，这样因为直线与其只有一个交点， 从图上看出其三个极端情况分别是： ①直线在第四象限与曲线相切， ②交曲线于（0，﹣1）和另一个点， ③与曲线交于点（0，1）．。
江苏省苏州市2019
江苏省苏州市2019-2020学年高三上学期期初调研数学试题xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明一、填空题1．已知集合{1,3}A =，{3,9}B =，则A B =_____.2．如果复数2()3bi b R i-∈+的实部与虚部互为相反数，则b 等于_____. 3．下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为______.4．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是_________.5．根据如图所示的伪代码，当输入的,a b 分别为2，3时，最后输出的b 的值为______.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两条渐近线的方程为2y x =±，则该双曲线的离心率为_______．7．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB ＝3，BC ＝5，M 是AA 1的中点，则三棱锥A 1﹣MBC 1的体积为_____．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1530S =，71a =，则10S 的值为_____. 9．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，当[0,)x ∈+∞时，sin ,[0,1)()(1),[1,)x x f x f x x ∈⎧=⎨-∈+∞⎩，则56f π⎛⎫--= ⎪⎝⎭_______. 10．已知在ABC ∆中，1AC =，3BC =.若O 是该三角形内的一点，满足()()0OA OB CA CB +⋅-=，则CO AB ⋅=_____.11．已知sin 222cos2αα-=，则2sin sin 2αα+=__________．12．已知点A B 、是圆22:4O x y +=上任意两点，且满足AB =点P 是圆22:(4)(3)4C x y +++=上任意一点，则||PA PB +的取值范围是______.13．设实数1a ≥，若不等式||2x x a a -+≥，对任意的实数[1,3]x ∈恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围是_____.14．在ABC ∆中，若tan tan 3tan tan A A B C +=，则sin A 的最大值为_____.二、解答题15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC =，点P 是棱AC 的中点.（1）求证：1AB //平面1PBC ；（2）求证：平面1PBC ⊥平面11AAC C .16．已知函数7()sin sin 412f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()y f x =的最小正周期和单调递增区间；（2）当[0,]x π∈时，试求函数()y f x =的最大值，并写出取得最大值时自变量x 的值.17．已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y kx =交椭圆C 于,A B 两点，在直线上存在点P ,使得PAB△为等边三角形,求k 的值.18．某地举行水上运动会，如图，岸边有,A B 两点，30BAC ︒∠=，小船从A 点以v 千米/小时的速度沿AC 方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t 小时与小船相遇.（水流速度忽略不计）（1）若4v =，2AB km =，运动员从B 处出发游泳匀速直线追赶，为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；（2）若运动员先从A 处沿射线AB 方向在岸边跑步匀速行进(0)m m t <<小时后，再游泳匀速直线追赶小船.已知运动员在岸边跑步的速度为4千米小时，在水中游泳的速度为2千米小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v 的最大值.19．已知函数()(),ln xf x eg x x ==．（1）设()()2h x g x x =-，求函数()h x 的单调增区间； （2）设01x >，求证：存在唯一的0x ，使得函数()y g x =的图象在点()()00,A x g x 处的切线l 与函数()y f x =的图象也相切； （3）求证：对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()11f x a x--＜成立． 20．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足：1155b a ==，529a b ==，当3n ≥时，1n n S b +>，且n S ，1n n S b +-，2n S -成等比数列，*N n ∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求证：数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中；（3）将数列{}n a 、11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的项按照：当n 为奇数时，n a 放在前面：当n 为偶数时，11n n b b +放在前面进行“交叉排列”，得到一个新的数列：1a ，121b b ，231b b ，2a ，3a ，341b b ，…这个新数列的前n 和为n T ，试求n T 的表达式. 21．设变换T 是按逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是M . （1）求点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标； （2）求曲线2:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程.22．已知直线的参数方程为11x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为cos sin x a y a θθ=⎧⎨=⎩（0a >，θ为参数），点P 是圆C 上的任意一点，若点P到直线的距离的最大值为1，求实数a 的值.23．已知x 、y 、z 均为正数，求证：111x y z yz zx xy x y z≥＋＋＋＋ 24．设集合{}1,0,1M =-，集合 {}12,,,,1,2,,n n i A x x x x M i n =∈=⋯，集合n A 中满足条件 “121n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为n m S . （1）求22S 和42S 的值；(2)当m n <时，求证：11322n n m n m S ++<+-.参考答案1．{}1,3,9【解析】【分析】根据并集的运算即可求解.【详解】集合{1,3}A =，{3,9}B =，由并集的运算可得{}1,3,9AB =， 故答案为：{}1,3,9.【点睛】本题考查了并集的简单运算，属于基础题.2．1【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，结合复数的实部与虚部互为相反数，即可求得b 的值.【详解】 复数2()3bi b R i-∈+， 由复数除法运算化简可得()()()()2326233331010bi i bi b b i i i i ----+==-++-， 因为复数的实部与虚部互为相反数， 即62301010b b -+⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得1b =， 故答案为：1.【点睛】本题考查了复数的概念，复数的除法运算，属于基础题.3．4【解析】根据表格可计算得五次测试得分的均值，由方差公式即可求得五次测试成绩的方差.【详解】 由表格可知，五次测试得分的均值为3330272931305++++=， 由方差公式可得()()()()()2222221333030302730293031305s ⎡⎤=-+-+-+-+-⎢⎥⎣⎦ 12045=⨯=， 故这五次测试成绩的方差为4.故答案为：4.【点睛】本题考查了平均数与方差的求法，属于基础题.4．56【解析】【分析】先求出从4瓶饮料中随机抽出2瓶的所有的抽法种数，再求出取出的2瓶不是果汁类饮料的种数，利用对立事件的概率即可求得.【详解】从4瓶饮料中随机抽出2瓶，所有的抽法种数为24C ＝6（种），取出的2瓶不是果汁类饮料的种数为22C ＝1（种）．所以所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为P ＝1﹣16＝56 ． 故答案为56． 【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了对立事件的概率，解答的关键是掌握对立事件的概率和等于1,属于基础题.5．2【解析】【分析】根据程序代码，即可求得输出值.由程序框图可知，当输入的,a b 分别为2，3时，235a a b =+=+=，532b a b =-=-=，所以输出的2b =，故答案为：2.【点睛】本题考查了伪代码的简单应用，属于基础题.6【解析】【分析】由双曲线的两条渐近线方程是y ＝±2x，得b ＝2a ，从而c ==，即可求出双曲线的离心率．【详解】 ∵双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两条渐近线方程是y ＝±2x，∴2b a =，即b ＝2a ，∴c =，∴c e a==．【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 7．4【解析】【分析】用等体积法将三棱锥A 1﹣MBC 1的体积转化为三棱锥11C A MB -的体积即可.【详解】∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB ＝3，BC ＝5， ∴A 1C 1⊥AA 1，AC 2+AB 2＝BC 2，∴A 1C 1⊥A 1B 1，∵AA 1∩A 1B 1＝A 1，∴A 1C 1⊥平面A 1MB ，∵M 是AA 1的中点，∴1111134222A MB AA B S S ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭3， ∴三棱锥A 1﹣MBC 1的体积：1111111113433A MBC C A MB A MB V V S AC --==⨯⨯=⨯⨯=4． 故答案为：4．【点睛】 本题考查等体积法求三棱锥的体积，考查学生转化与化归的思想，考查学生基本计算能力，是一个常考点.8．-5【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式，结合通项公式及性质即可求得首项和公差，进而代入前n 项和公式即可求得10S 的值.【详解】由等差数列前n 项和公式可得()1151581515302a a S a ⨯+===， 则82a =，由等差数列的通项公式可得117261a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得151a d =-⎧⎨=⎩， 所以()10109105152S ⨯=⨯-+⨯=-， 故答案为：-5.【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的简单应用，属于基础题.9．12【解析】【分析】根据偶函数性质可知5566f f ππ⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合函数解析式可知当1x ≥时为周期等于1的周期函数，所以566f f ππ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入即可求解. 【详解】 ()y f x =是定义在R 上的偶函数， 所以5566f f ππ⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当[0,)x ∈+∞时，sin ,[0,1)()(1),[1,)x x f x f x x ∈⎧=⎨-∈+∞⎩， 即当1x ≥时为周期等于1的周期函数， 即566f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1sin 662f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故答案为：12. 【点睛】本题考查了分段函数的求值，偶函数与周期函数的综合应用，属于基础题.10．4【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算律，结合向量的线性运算可得OA OB =，画出几何关系图示，即可由平面向量数量积运算律求得CO AB ⋅.【详解】因为()()0OA OB CA CB +⋅-=，则()0OA OB BA +⋅=，即()()0OA OB OA OB +⋅-=，所以220OA OB -=，即OA OB =，所以O 在AB 的垂直平分线上，由题意可知1AC =，3BC =.设AB 中点为M ，如下图所示：由平面向量的线性运算及数量积运算律可得()CO AB CM MO AB ⋅=+⋅CM AB MO AB =⋅+⋅()()12CM AB CA CB CB CA =⋅=+⋅- 221122CB CA =- 221131422=⨯-⨯=, 故答案为：4.【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算律及几何中向量的线性运算应用，属于中档题.11．1或85【解析】由sin 222cos2αα-=得sin 22(1cos 2)0αα-+=，即22sin cos 4cos 0ααα-=，所以cos 0α=或tan 2α=， 当cos 0α=时，22sin sin 21cos 2sin cos 1ααααα+=-+=，当tan 2α=时，22222222sin 2sin cos tan 2tan 2228sin sin 2sin cos tan 1215αααααααααα+++⨯+====+++，故答案为1或85. 【点睛】在已知tan α的值求关于sin ,cos αα的函数值时，有两类问题可通过把待求式转化为tan α的式子快速求值：（1）关于sin ,cos αα的齐次分式：一次齐次式sin cos ()sin cos a b f c d ααααα+=+，二次齐次式2222sin sin cos cos ()sin sin cos cos a b c f d e f ααααααααα++=++； （2）可化为二次齐次式的代数式：22()sin sin cos cos f a b c ααααα=++22sin sin cos cos 1a b c αααα++=2222sin sin cos cos sin cos a b c αααααα++=+． 12．[]4,8【解析】【分析】根据题意在坐标系中画出两个圆，结合平面向量的线性运算，由点与圆的位置关系即可判断出取最大值和最小值时的位置，进而求解.【详解】根据题意，画出图形关系如下图所：取AB 的中点D ，由两个圆的方程可知2,5CP CO ===，则1OD ===，由平面向量线性运算可知2PA PB PD +=，当C P O D 、、、四点共线时，PD 取得最小值，此时5212PD CO CP OD =--=--=， 当C P O D '、、、四点共线时，PD 取得最大值，此时5214PD CO CP OD '=-+'=-+=，所以[]24,8PD ∈，即||PA PB +的取值范围为[]4,8，故答案为：[]4,8.【点睛】本题考查了平面向量与圆的综合应用，点和圆位置关系的综合应用，距离最值的求法，属于中档题.13．[]71,2,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据题意，将不等式变形，转化为两个函数在[1,3]x ∈内的位置关系，再对a 分类讨论，画出函数图像即可分析a 的取值范围. 【详解】对于实数1a ≥，不等式||2x x a a -+≥，对任意的实数[1,3]x ∈恒成立， 则2a x a x--≥对于任意的实数[1,3]x ∈恒成立， 所以函数y x a =-的图像在[1,3]x ∈时恒在2a y x -=图像的上方， 当2a =时，显然成立；当12a ≤<时，2a y x-=在第四象限，若函数y x a =-的图像在[1,3]x ∈时恒在2a y x-=图像的上方，如下图所示：此时在[1,3]x ∈时恒成立，因而12a ≤<成立；当2a >时，2a y x -=在第一象限；若函数y x a =-的图像在[1,3]x ∈时恒在2a y x -=图像的上方，如下图所示：结合图像可知，需满足2233a a a >⎧⎪-⎨-≥⎪⎩， 解不等式可得72a ≥， 综上所述，满足条件的实数a 的取值范围为[]71,2,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭， 故答案为：[]71,2,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了含参数绝对值不等式的解法，不等式与函数的关系综合应用，数形结合法求参数的取值范围，属于难题.14【解析】【分析】根据同角三角函数中的商数关系式，结合正弦和角公式化简， 并由正弦定理将角化为边，代入余弦定理即可表示出cos A ，再由基本不等式即可求得cos A 的取值范围，进而结合同角三角函数关系式求得sin A 的取值范围，即可求得sin A 的最大值.【详解】在ABC ∆中，tan tan 3tan tan A A B C+=， 则sin cos sin cos 3cos sin cos sin A B A C A B A C+=， 通分化简可得()sin cos sin cos sin 3cos sin sin A B C C B A B C+=， 由正弦和角公式可得()sin sin 3cos sin sin A C B A B C +=， 所以2sin 3cos sin sin A A B C=， 由正弦定理代入可得23cos a bc A=，即23cos a bc A =， 又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入可得223cos 2cos bc A b c bc A =+-， 所以2222cos 555b c bc A bc bc +=≥=，当且仅当b c =时取等号， 则24cos 25A ≥，所以241sin 25A -≥，即221sin 25A ≤，所以sin A ≤则sin A .. 【点睛】 本题考查了同角三角函数关系式的综合应用，正弦和角公式化简三角函数关系式，正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，基本不等式求最值，综合性强，属于难题.15．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接1CB ，与1BC 交于O ，连接OP ，由中位线定理即可证明1AB //平面1PBC ； （2）根据题意可证明BP AC ⊥及1AA PB ⊥，可得PB ⊥平面11AAC C ，再由面面垂直的判定定理可证明平面1PBC ⊥平面11AAC C .【详解】（1）证明：连接1CB ，与1BC 交于O ，连接OP ，如下图所示：则OP 为1AB C 的中位线，所以1//OP AB ，因为OP ⊂平面1PBC ,1AB ⊄平面1PBC ，所以1AB //平面1PBC ；（2）证明：在ABC 中，AB BC =，点P 是棱AC 的中点.所以BP AC ⊥，因为1AA ⊥平面ABC ，而PB ⊂平面ABC ，可得1AA PB ⊥又因为1,AC AA ⊂平面11AAC C ，且1AC AA A =∩，所以PB ⊥平面11AAC C ，而PB ⊂平面1PBC ，所以平面1PBC ⊥平面11AAC C .【点睛】本题考查了线面平行的判定定理应用，线面垂直与面面垂直判定定理的应用，属于基础题. 16．（1）2T π=；112,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）12x π=时，函数()y f x =的最大【解析】【分析】（1）将函数解析式变形，结合正弦和角公式及辅助角公式变形，即可由正弦函数的性质求得最小正周期及单调递增区间.（2）根据自变量的范围，结合正弦函数的图像与性质即可求得最大值，结合正弦函数的性质即可求得取最大值时自变量的值.【详解】（1）将函数()y f x =的解析式变形，结合正弦和角公式与辅助角公式化简可得 7()sin sin 412f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin sin 443x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3sin 244x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭152x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以函数()y f x =的最小正周期为2T π=; 由正弦函数的图像与性质可知12522,22k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈， 解得1122,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以()y f x =的单调递增区间为112,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）因为[0,]x π∈， 则5517,121122x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当1522x ππ+=时，函数()y f x =， 解得此时12x π=.【点睛】 本题考查了正弦和角公式及辅助角公式化简三角函数式的应用，正弦函数图像与性质的综合应用，属于基础题.17．（1）2213x y +=；（2）0k =或1k =-． 【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，要确定,a b 的值，题中已知四个顶点形成的菱形是确定的，而椭圆的顶点为(,0),(0,)a b ±±，因此易得,a b ；（2）本小题采取解析几何的基本解法，PAB △是等边三角形的条件是三边相等，或两内角为60°，或PO AB ⊥且PO AO ，我们采用PO AB ⊥且PO AO =，由线段AB 的中垂线与直线l 相交求得点P 的坐标，计算PO ，直线y kx =与椭圆相交求得A 点坐标，计算AO ，利用PO AO =求得k 值，由于涉及到AB 的垂线．因此对k 按0k =和0k ≠分类讨论．试题解析：(1)因为椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点, 所以1a b ==,椭圆C 的方程为2213x y += (2)设()11,A x y ,则()11,B x y --（i ）当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线的交点为(0,3)P ,又3AO PO ==AB PA PB ⇒===所以PAB △是等边三角形,所以0k =满足条件；(ii)当直线AB 的斜率存在且不为0时，设AB 的方程为y kx = 所以221{3x yy kx+==，化简得解得12331x k =+ 所以AO ==又AB 的中垂线为1y x k =-，它l 的交点记为00(,)P x y 由30{1x y y x k +-==-解得0031{31k x k y k =--=-则PO =因为PAB △为等边三角形， 所以应有PO AO=0k =（舍），1k =- 综上可知，0k =或1k =-考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交的综合问题．18．（1）2；（2）3.【解析】 【分析】（1）设运动员游泳的速度为x 千米/小时，结合余弦定理即可表示出2x ，再由二次函数性质即可求得速度的最小值.（2）根据余弦定理代入化简变形，可转化为一元二次方程，由一元二次方程有解，即可确定0∆≥，进而求得速度的最大值. 【详解】（1）设运动员游泳的速度为x 千米/小时，由余弦定理可知()()22224224cos30xt t t =+-⨯⨯，化简可得222411644x t t ⎛=+=+ ⎝，因为01t <≤，所以11t≥，则当1t=3t =时，2x 取得最小值，此时2x =， 所以为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，运动员游泳速度的最小值为2. （2）运动员游泳时间为t m - 小时，运动员在岸边跑步的速度为4千米小时，在水中游泳的速度为2千米小时，由余弦定理可知()()()2222424cos30t m m vt m vt -=+-⨯⨯⎡⎤⎣⎦，整理化简可得()2212840m m v t t ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，设(),0,1mk k t=∈，则上式可化为()2212840k k v +-+-=在()0,1内有解，则()()22841240v ∆=--⨯⨯-≥，解得03v <≤，当3v =时，代入方程可解得13k =，满足()0,1k ∈，所以小船在能与运动员相遇的条件下v. 【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的综合应用，二次函数求最值及有解的应用，属于中档题. 19．（1）()h x 的单调增区间为（0，2]；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出导函数)'(h x ，在函数定义域内由'()0h x >确定其增区间；（2）先求出()g x 在0x 处的切线方程，设这条切线与()y f x =的图象切于点11(,())x f x ，由010101()()'()'()g x f x k g x f x x x -===-，得出关于0x 的方程，然后证明此方程的解在(1,)+∞上存在且唯一．（3）把问题转化为10x e ax x ---<在(0,)+∞上有解，令()1xH x e ax x =---，则只要min ()0H x <即可．【详解】（1）h （x ）＝g （x ）﹣x 2＝lnx ﹣x 2，x ∈（0，+∞）．令2221()20x x h x x x x⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎝⎭'=-=≥，解得02x ≤＜． ∴函数h （x ）的单调增区间为（0]． （2）证明：设x 0＞1，1()g x x'=，可得切线斜率01k x =， 切线方程为：0001ln ()y x x x x -=-．假设此切线与曲线y ＝f （x ）＝e x 相切于点B （x 1，1x e ），f ′（x ）＝e x ． 则k=1x e ，∴11010ln 1x x e x k e x x x -===-． 化为：x 0lnx 0﹣lnx 0﹣x 0－1＝0，x 0＞1． 下面证明此方程在（1，+∞）上存在唯一解． 令u （x 0）＝x 0lnx 0﹣lnx 0﹣x 0－1，x 0＞1．0001()ln u x x x '=-，在x 0∈（1，+∞）上单调递增． 又u ′（1）＝－1，1'()10u e e=->， ∴'()0u x =在(1,)+∞上有唯一实数解m ，0(1,)x m ∈，0'()0u x <，()u x 递减， 0(,)x m ∈+∞时，0'()0u x >，()u x 递增，而(1)20u =-<，∴0()0u x =在(1,)m 上无解，而22()30u e e =->，∴0()0u x =在(,)m +∞上有唯一解． ∴方程0()0u x =在（1，+∞）上存在唯一解．即：存在唯一的x 0，使得函数y ＝g （x ）的图象在点A （x 0，g （x 0））处的切线l 与函数y ＝f （x ）的图象也相切．（3）证明：()111x f x e x x x----=， 令v （x ）＝e x ﹣x ﹣1，x ＞0． ∴v ′（x ）＝e x ﹣1＞0，∴函数v （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递增， ∴v （x ）＞v （0）＝0．∴()1110x f x e x x x----=＞，∴不等式()11f x a x--＜，a ＞0⇔e x ﹣x ﹣1﹣ax ＜0， 即H （x ）＝e x ﹣x ﹣1﹣ax ＜0，由对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()11f x a x--＜成立⇔H （x ）min ＜0． H （x ）＝e x ﹣x ﹣1﹣ax ，a ，x ∈（0，+∞）． H ′（x ）＝e x ﹣1﹣a ，令e x ﹣1﹣a ＝0， 解得x ＝ln(1)a +＞0，函数H （x ）在区间（0，ln(1)a +）上单调递减，在区间（ln(1)a +，+∞）上单调递增． ∵H （0）＝0，∴min ()(ln(1))0H x H a =+<． ∴存在对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()11f x a x--＜成立． 【点睛】本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，不等式的证明，考查综合运算能力，转化与化归思想，本题难度较大．20．（1）21n a n =-，41n b n =+；（2）证明见解析；（3）当2,*n k k N =∈时，()241025n n n T n =++；当43,*n k k N =-∈时，()()21141023n n n T n --=++；当41,*n k k N =-∈时，()()21141027nn n T n -+=++.【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式，即可由基本量计算求得首项与公差，进而求得数列{}n a 的通项公式与前n 项和；根据等比中项定义，结合数列{}n a 的前n 项和，代入化简可求得数列{}n b 的通项公式；（2）根据数列{}n a ，{}n b 的通项公式，即可证明数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中；（3）由数列{}n b 的通项公式，代入由裂项求和法可得11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，再对n 分类讨论，即可确定新数列的前n 和n T 的表达式. 【详解】（1）{}n a 为等差数列，设公差为d ，1155b a ==，529a b ==，所以151149a a a d =⎧⎨=+=⎩，解得2d =，所以由等差数列通项公式可得()12121n a n n =+-=-； 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 所以()21212n n n S n +-==，当3n ≥时，1n n S b +>，且n S ，1n n S b +-，2n S -成等比数列，*N n ∈. 所以()212n n n n b S S S +-=⋅-，则()()222212n n n b n ⎡⎤+=⋅-⎣⎦-，即()()212n n b n n -+=-， 化简可得41n b n =+，当1,2n n ==时也成立， 所以41n b n =+.（2）证明：由（1）可知21n a n =-，41n b n =+， 则()21412211n n b n n a +=+=+-=， 所以数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中； （3）由（1）可知41n b n =+，则()()111114145414415n n b n b n n n ++++⎛⎫==- ⎪⎝⎭+， 所以数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()11111145991341455451n n B n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪+++⎝⎭-， ①当2,*n k k N =∈时，()()22254541025n k k k k n nT T S B k k n ==+=+=+++， ②当43,*n k k N =-∈（2k ≥）时，()()()()2243212212212158341023n k k k n k n T T S B k k n ------==+=-+=+-+，经检验当1n =时也成立，③当41,*n k k N =-∈时，()()()()22412121212158541027n k k k n kn T T S B k k n ---+==+=-+=+++， 综上所述，当2,*n k k N =∈时，()241025n n n T n =++； 当43,*n k k N =-∈时，()()21141023nn n T n --=++；当41,*n k k N =-∈时，()()21141027n n n T n -+=++.【点睛】本题考查了等差数列通项公式与求和公式的求法，等比中项的性质简单应用，裂项求和法的应用，分类讨论求数列的前n 项和的综合应用，属于难题.21．（1）()1,1-；（2）2y x =-.【解析】 【分析】（1）根据所给旋转变换的角度可求得对应的矩阵，由所给点的坐标即可求得变换后的对应坐标；（2）根据变换可得矩阵乘法式，计算后代入方程即可得变换后的曲线C '的方程. 【详解】（1）由题意变换T 是按逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是M ，可知cos sin012210sin cos 22M ππππ⎛⎫- ⎪-⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 1011111011M --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标为()1,1-.（2）设x y ⎛⎫⎪⎝⎭是变换后曲线C '上任意一点，与之对应的变换前的点为00x y ⎛⎫⎪⎝⎭， 则00x x M y y ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即000110x x y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以00y x x y -=⎧⎨=⎩，即00x yy x =⎧⎨=-⎩，因为00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在曲线2:C y x =上，将00x y y x =⎧⎨=-⎩代入可得2x y -=，即2y x =-，所以曲线2:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程为2y x =-. 【点睛】本题考查了旋转变换对应矩阵的求法，由矩阵求对应点的坐标，矩阵的乘法运算应用，属于中档题. 22．1a = 【解析】 【分析】根据所给直线参数方程与圆的参数方程，转化为普通方程，结合点与圆的位置关系及距离最值，即可求得a 的值. 【详解】直线的参数方程为11x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），化为普通方程可得20x y +-=，圆C 的参数方程为cos sin x a y a θθ=⎧⎨=⎩（0a >，θ为参数），化为普通方程可得222x y a +=，由点到直线距离公式可得圆心到直线的距离为d ==点P 是圆C 上的任意一点，且点P 1，1a =，0a >，解得1a =. 【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，点和圆位置关系的简单应用，属于基础题. 23．证明见解析 【解析】 【分析】 【详解】∵x ，y ，z 都是为正数，∴12()x y x y yz zx z y x z+=+≥． 同理，可得2y z zx xy x +≥，2z x xy yz y+≥． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z++≥++． 24．（1）24228,32S S ==；（2）见解析【解析】试题分析：（1）按照题设条件中的规定和定义进行求解计算；（2）先考虑特殊情形{}{}0,1,1P Q ==-，运用从特殊到一般是数学思想进行推证，进而归纳得到1122222n m mm n n n S C C C =+++，然后运用缩放法进行推证：解(1)24228,32S S ==；（2）设集合{}{}0,1,1P Q ==-. 若121n x x x +++=，即123,,,,n x x x x 中有1n -个取自集合P ，1个取自集合Q ，故共有112n n C -种可能，即为112n C ，同理，122n x x x +++=，即123,,,,n x x x x 中有2n -个取自集合P ，2个取自集合Q ，故共有222n nC -种可能，即为222n C ，若12n x x x m +++=，即123,,,,n x x x x 中有n m -个取自集合P ，m 个取自集合Q ， 故共有2n mm nC -种可能，即为2m m n C ，所以1122222n m mm n n n S C C C =+++因为当0k n ≤≤时，故1k n C ≥，所以10kn C -≥ 所以1122222n m m m n n n S C C C =+++()()()0011221122221212m m m m nn n n n n n n C C C C C C ++<+++++-++-()()0011221112222222222m m m m n nm m n n n n n n n C C C C C C ++++=+++++++-++()()11111222322nn m n n m ++++=+--=-+.。
最新江苏省苏州市2020届高三上学期期中考试数学 含答案
二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分 . 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤．
15. (本小题满分 14 分 ) 在△ ABC 中，角 A ， B， C 所对的边分别为 a， b， c， C＝ 120°， c＝ 7， a－b＝ 2.
(1) 求 a，b 的值；
(2) 求 sin(A ＋ C) 的值．
π)上的解为
x 1，x 2，则 cos(x1－ x2)＝ ________．
14. 已知函数 f(x) ＝ 3x2－ x3，g(x) ＝ ex－1－ a－ ln x ．若对于任意 x1∈ (0， 3)，总是存在两
个不同的 x2， x 3∈ (0， 3)，使得 f(x 1)＝ g(x 2)＝ g(x3)，则实数 a 的取值范围是 ________．
6.
已知
tan
α ＝2，则 cos
sin α α＋ 2sin
的值为 ________． α
7. “ x＞ 2”是“ x＞ 1”的 ________条件． (选填“充分不必要” “必要不充分” “充要” 或“既不充分又不必要” )
π 8. 已知函数 y＝ sin 2x 图象上的每个点向左平移 φ (0＜ φ＜ 2 )个单位长度得到函数 y＝
B. ( 选修 44：坐标系与参数方程 ) 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝ 2cos α＋ 2 3sin α ( α为参数 )，直线 l 的参数方程为
x＝1＋ tcos β ，
πБайду номын сангаас
y＝ tsin β
a 的取值范围．
5
20. (本小题满分 16 分 ) 已知数列 {a n} 满足 (n－ 1)an＋1＝ nan－ a1， n∈N* .
苏州市2019-2020学年第一学期高三期中调研试卷数学试题含附加题配答案
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（2）由（1）知 a 5,b 3, c 7 ，所以 cos B a2 c2 b2 13 ，................................. 10 分
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14
因为 B 为 ABC 的内角，所以 sin B 1 cos2 B 3 3 ，................................................12 分 14
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苏州市2019~2020学年第一学期高三期初调研试卷高三数学(I卷)
2019～2020学年第一学期高三期初调研试卷数学Ⅰ 2019. 9(参考公式：样本数据1x ，2x ，，n x 的方差2211()==−∑ni i s x x n ，其中11==∑ni i x x n ．)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}1,3A =，{}3,9B =，则A B = ▲ ．2．如果复数2()3bib R i−∈+的实部与虚部互为相反数，则b 等于 ▲ ． 3．下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为 ▲ ．4．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ ．5．根据如图所示的伪代码，当输入的a ，b 分别为2，3时， 最后输出的b 的值为 ▲ ．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()222210,0y x a b a b−=>>的两条渐近线方程为2y x =±， 则该双曲线的离心率为 ▲．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题(第1题 − 第14题)、解答题(第15题 − 第20题)．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4. 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．7．如图，在直三棱柱ABC A B C −111中，若四边形11AAC C 是边长 为4的正方形，且3AB =，5BC =，M 是1AA 的中点，则三 棱锥A MBC −11的体积为 ▲ ．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1530S =，71a =，则S 10的值为 ▲ ．9．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，当[),x ∈+∞0时，()[)()[)sin ,,,,,,x x f x f x x ⎧∈⎪=⎨−∈+∞⎪⎩0111则(5)6f π−−＝ ▲ ．10．已知在ABC ∆中，AC ＝1，BC ＝3．若O 是该三角形内的一点，满足()()0OA OB CA CB +⋅−=，则CO AB ⋅＝ ▲ ．11．已知sin 222cos2αα−=，则2sin sin 2αα+＝ ▲ ．12．已知点A 、B 是圆O :224x y +=上任意两点，且满足23AB =P 是圆C :22(4)(3)4x y +++=上任意一点，则PA PB +的取值范围是 ▲ ．13．设实数1a ≥，若不等式||2x x a a −+≥，对任意的实数[1,3]x ∈恒成立，则满足条件的实数a的取值范围是 ▲ ． 14．在ABC ∆中，若tan tan 3tan tan A A B C+=，则sin A 的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分) 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，点P 是棱AC 的中点．(1)求证：AB 1∥平面PBC 1； (2)求证：平面PBC 1⊥平面AA 1C 1C ．▲ ▲ ▲ACB PA 1B 1C 116．(本小题满分14分) 已知函数7()sin()sin()412f x x x ππ=+++．(1)求函数()y f x =的最小正周期和单调递增区间；(2)当[0,]x π∈时，求函数()y f x =的最大值，并写出取得最大值时自变量x 的值．▲ ▲ ▲17．(本小题满分14分) 已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角 为60o 的菱形的四个顶点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y kx =交椭圆C 于A 、B 两点，在直线:30l x y +−=上存在点P ，使得PAB ∆为等边三角形，求实数k 的值．▲ ▲ ▲18．(本小题满分16分) 某地举行水上运动会，如图，岸边有A ，B 两点，30BAC ∠=．小船从A 点以v 千米/小时的速度沿AC 方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t 小时与小船相遇．(水流速度忽略不计)(1)若4v =，2AB km =，运动员从B 处出发游泳匀速直线追赶，为保证在1小时内(含1小时)能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；(2)若运动员先从A 处沿射线AB 方向在岸边跑步匀速行进m (0)m t <<小时后，再游泳匀速直线追赶小船．已知运动员在岸边跑步的速度为4千米/小时，在水中游泳的速度为2千米/小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v 的最大值．▲ ▲ ▲ABC岸边30o19．(本小题满分16分) 已知函数()e x f x =，()ln g x x =，(1)设2()()h x g x x =−，求函数()h x 的单调增区间；(2)设01x >，求证：存在唯一的0x ，使得函数y =()g x 的图象在点A (00,()x g x )处的切线l 与函数()y f x =的图象也相切；(3)求证：对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()1|1|f x a x−−<成立． ▲ ▲ ▲20．(本小题满分16分) 等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，数列{}n b 满足：b 1＝5a 1＝5，a 5＝b 2＝9，当3n ≥ 时，1n n S b +>，且n S ，1n n S b +−，2n S −成等比数列，n *∈N ． (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)求证：数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中；(3)将数列{}n a 、11{}+n n b b 的项按照：当n 为奇数时，a n 放在前面；当n 为偶数时，11+n n b b 放在前面进行“交叉排列”，得到一个新的数列：1a ，121b b ，231b b ，2a ，3a ，341b b ，451b b ，…记这个新数列的前n 和为T n ，试求T n 的表达式．▲ ▲ ▲。
苏州市2019~2020学年第一学期高三期初调研试卷高三数学答案
所以当 x 0 时， F '( x) 0 ， F ( x) 单调递增；当 x 0 时， F '( x) 0 ， F ( x) 单调递减；
所以 F ( x) = F (0) = 0 ，由最小值定义得 F ( x)≥ F ( x) = 0 ，即 ex ≥ x +1， ……12 分
min
min
Tn
= T4k −1
=
S2k −1
+
M2k
=
(2k
− 1)2
+
2k 5(8k +
5)
=
(n
−1)2 4
+
n +1 10(2n +
7)
.
综上所述：
当
n
=
2k
时， Tn
=
n2 4
+
n 10(2nຫໍສະໝຸດ + 5)；
当n
=
4k
− 3 时， Tn
=
(n +1)2 4
+
n− 10(2n
1 +
3)
；
当
n
=
4k
−1时， Tn
2019～2020 学年第一学期高三期初调研试卷
数学(I 卷)参考答案
2019.9
一、填空题：
1．{1,3,9} 2．1
9．
1 2
10． 4
二、解答题．
3．4
4．
5 6
5． 2
11．1
或
8 5
12． [4,16]
6． 5 7． 4 8．－5
13．1≤
a
≤
2
或
江苏省苏州市2019-2020学年第一学期高三期中调研试卷数学试题含附加题(word版)
已知数列 an 满足 (n 1)an 1 nan a1 ， n N ．
（ 1）证明：数列 an 为等差数列；
11
（ 2）设数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a2
a1
1，且对任意的正整数 n ，都有 3
S1
11 S2 S3
14 Sn 3 ，求整数 a1的值；
（ 3）设数列 bn 满足 bn
an
．Байду номын сангаас
2x 1,x 0
10．已知函数
f ( x)
ln x
m
的极小值大于
0，则实数 m 的取值范围为
．
x
11．已知各项都为正数的等差数列
an 中， a5 3 ，则 a3a7 的最大值为
．
12．已知菱形 ABCD的棱长为 3，E 为棱 CD上一点且满足 CE 2ED ，若 AE EB 6 ，则
cosC＝
．
13．若方程 cos(2x
3
圆心为 O．经测量 AB＝ 4 米， BC＝ 米，∠ COD＝ 120°，现根据需要把此窑洞窗口形状改
3
造为矩形 EFGH，其中 E，F 在边 AB 上， G，H 在圆弧 CD上．设∠ OGF＝ 为 S．
（ 1）求矩形 EFGH的面积 S 关于变量 的函数关系式； （ 2）求 cos 为何值时，矩形 EFGH的面积 S 最大？
（1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；
（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望．
23．（本题满分 10 分）
如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， BAC 90 ，AB AC a ， AA1 b ，点 E ，
F 分别在棱 BB1 ， CC1 上，且 BE 1 BB1 ， C1F 1 CC1 ．设
苏州五中2019-2020学年第一学期期初调研测试高三数学(理科)
苏州五中2019-2020学年第一学期期初调研测试高三数学（理科）一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知直线与直线相互垂直，则值的为．2．抛物线的焦点坐标为．3.过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为 .4.将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 .5.若，则圆恒过定点．6.若函数，，则的最大值为 .7.已知双曲线的一个焦点在圆上，则双曲线的渐近线方程为．8.动点到定点与到定直线的距离之比为，则点的轨迹方程为．9.已知为锐角，，则．10.光线由点P(2,3)射到直线上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为．11.过的直线与圆C：(x-1)2+y2=4 交于A、B两点，当∠ACB最小时，直线的方程为．12.椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则的大小为 .13.在中，，，则面积的范围是 .14.已知椭圆和圆,若上存在点,使得过点引圆的两条切线,切点分别为,满足,则椭圆的离心率的取值范围是 .二、解答题 （15-17题，每题14分，18-20题，每题16分.） 15.已知向量，. （1）若，求的值；（2）若，，求的值.16.已知函数（）. （1）若，求当时函数的最小值； （2）当时，函数有最大值-3，求实数的值. 17. 如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为2，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧于点. （1）若是半径的中点，求线段的大小；（2）设，求面积的最大值及此时的值.18. 已知椭圆（，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，两点.求证：直线恒过定点.19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.(cos ,sin )a θθ=(2,1)b =-a b ⊥sin cos sin cos θθθθ-+||=2a b -(0,)2πθ∈sin()4πθ+1my x x =+-0m >1m =1x >1x <m AOB AOB ∠3πOA C C OB AB P C OA PC COP θ∠=COP θ22221x y a b+=0a b >>(0,1)A A M N MN 3(0,)5P -()f x 0x 00()()f x f x -=-()f x M（1）已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由；（2）设是定义在上的“类函数”，求是实数的最小值；（3）若为其定义域上的“类函数”，求实数的取值范围.20. 已知数列，其前项和为.（1）若对任意的，，，组成公差为4的等差数列，且，求； （2）若数列是公比为（）的等比数列，为常数， 求证：数列为等比数列的充要条件为. 苏州五中2019-2020学年第一学期期初调研测试高三数学（理科）数学试卷（Ⅱ）（附加题）21B.已知矩阵 ， ，求矩阵.21C ．设极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，已知曲线的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线（为参数）与曲线交于，两点，求的长.22.某地区有云龙山，户部山，子房山河九里山等四大名山，一位游客来该地区游览，已知该游客游览云龙山的概率为，游览户部山、子房山和九里山的概率都是，且该游客是否游览这四座山相互独立.（1）求该游客至少游览一座山的概率；（2）用随机变量表示该游客游览的山数，求的概率分布和数学期望. 23.直三棱柱中，，，，. （1）若，求直线与平面所成角的正弦值；()sin()3f x x π=+()f x M ()2x f x m =+[1,1]-M m 22log (2)()3x mx f x ⎧-=⎨-⎩,2,2x x ≥<M m {}n a n n S *n N ∈21n a -21n a +2n a 11a =2n S {}nnS a a +q 1q ≠-a {}n a 11q a=+20A ⎡=⎢⎣01⎤⎥⎦12B ⎡=⎢⎣15-⎤⎥⎦1A B -x C 8cos ρθ=C 2x t y t=+⎧⎨=⎩t C A B AB 2312X X ()E X 111ABC A B C -AB AC ⊥2AB =4AC =12AA =BD DC λ=1λ=1DB 11AC D（2）若二面角的大小为，求实数的值.苏州五中2019-2020学年第一学期期初调研测试高三数学（理科）试卷答案一、填空题 1. 已知直线与直线相互垂直，则值的为 ．答案： 2．抛物线的焦点坐标为 ．答案：3.过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为 .答案：111B AC D --60︒λ4.将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 .答案：5.若，则圆恒过定点．答案：6.若函数，，则的最大值为 .答案：7.已知双曲线的一个焦点在圆上，则双曲线的渐近线方程为．答案：8.动点到定点与到定直线的距离之比为，则点的轨迹方程为．答案：9.已知为锐角，，则．答案：10.光线由点P(2,3)射到直线上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为．答案：11.过的直线与圆C：(x-1)2+y2=4 交于A、B两点，当∠ACB最小时，直线的方程为．答案：12.椭圆的焦点为，点P 在椭圆上，若，则的大小为 .答案： 13.在中，，，则面积的范围是 .答案：14.已知椭圆和圆,若上存在点,使得过点引圆的两条切线,切点分别为,满足,则椭圆的离心率的取值范围是 . 答案：三、解答题15.解：（1）由可知，，所以， 所以.（2）由可得，， 即，①又，且②，由①②可解得，，所以.16.解：（1）时，.因为，所以. 所以. 当且仅当，即时取等号. a b ⊥2cos sin 0a b θθ=-=sin 2cos θθ=sin cos 2cos sin 1sin cos 2cos sin 3θθθθθθθθ--==++(cos 2,sin 1)a b θθ-=-+||2a b -===12cos sin 0θθ-+=22cos sin 1θθ+=(0,)2πθ∈3sin 54cos 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩34sin()cos )()455πθθθ+=+=+=1m =111+111y x x x x =+=-+--1x >10x ->111131y x x =-++≥=-111x x -=-2x =所以当时函数的最小值为3. （2）因为，所以. 所以. 当且仅当，即. 即函数的最大值为，所以 解得.17.解（1）在中，，， 由 得，解得（2）∵，∴，在中，由正弦定理得，即∴，又∴.解法一：记的面积为，则∴时，取得最大值为. 1x >1x <10x -<11(1)11111m m y x x x x =-++=--++≤-=---11mx x-=-1x=1-13-=-4m =POC 23OCP π∠=2OP =1OC =22222cos3OP OC PC OC PC π=+-230PC PC +-=12PC -+=CP OB 3CPO POB πθ∠=∠=-POC sin sin OP CP PCO θ=∠22sin sin 3CPπθ=CP θ=2sin()sin 33OC CP ππθ=-sin()3OC πθ=-POC ()S θ12()sin 23SCP OC πθ=1sin sin()2333πθθ=-21sin()sin )2sin cos 32πθθθθθθθθ=-=-=sin 222)6πθθθ=+-=+6πθ=()S θ3解法二： 即，又，即 当且仅当时等号成立. 所以 ∵∴时，. 18.（1）解：由题意知，，，所以，解得， 所以椭圆的标准方程为.（2）证明设直线的方程为，联立方程组 得，解得，，所以，.同理可得，，则， ，所以，故直线恒过定点.19.解：（1）由，得：所以 所以存在满足所以函数是“类函数”，（2）因为是定义在上的“类函数”，22241cos 322OC PC OC PC π+-==-224OC PC OC PC ++=223OC PC OC PC OC PC ++≥34OC PC ≤OC PC =1214sin 12323S CP OC π=≤⨯=OC PC =6πθ=()S θ2c e a ==1b =221a c -=2a =2214x y +=1l 1y kx =+221,1,4y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(41)80k x kx ++=12841k x k =-+20x =2841M k x k =-+221441M k y k -=-+284N k x k =+2244N k y k -=+222221438814155588541MPk k k k k k k k k -+-+-+===--+222224388145558854NPk k k k k k k k k -+--+===+MP NP k k =MN 3(0,)5P -()()f x f x -=-sin()sin()33x x ππ-+=-+0x =02x R π=∈00()()f x f x -=-()sin()3f x x π=+M ()2x f x m =+[1,1]-M所以存在实数满足， 即方程在上有解.令则，因为在上递增，在上递减所以当或时，取最小值 （3）由对恒成立，得因为若为其定义域上的“类函数”所以存在实数，满足①当时，，所以，所以 因为函数（）是增函数，所以 ②当时，，所以，矛盾③当时，，所以，所以 因为函数是减函数，所以综上所述，实数的取值范围是20.解：（1）因为，，成公差为4的等差数列， 所以，（），所以，，，……，，是公差为4的等差数列，且，又因为，所以0[1,1]x ∈-00()()f x f x -=-2220x x m -++=[1,1]-12[,2]2x t =∈11()2m t t =-+11()()2g t t t =-+1[,1]2[1,2]12t =2t =m 54-220x mx ->2x ≥1m <22log (2)()3x mx f x ⎧-=⎨-⎩,2,2x x ≥<M 0x 00()()f x f x -=-02x ≥02x -≤-22003log (2)x mx -=--00142m x x =-142y x x=-2x ≥1m ≥-022x -<<022x -<-<33-=02x ≤-02x -≥2200log (2)3x mx +=00142m x x =-+142y x x =-+(2)x ≤-1m ≥-m [1,1)-21n a -21n a +2n a 21214n n a a +--=2218n n a a -=+*n N ∈1a 3a 5a 21n a -21n a +2462135218n n a a a a a a a a n -++++=+++++11a =2135212()8n n S a a a a n -=+++++（2）因为，所以，① 所以，②②-①，得，③ （i ）充分性：因为，所以，，，代入③式，得 ，因为，又，所以，，所以为等比数列， （ii ）必要性：设的公比为，则由③得，整理得，此式为关于的恒等式，若，则左边=0，右边=-1，矛盾：若，当且仅当时成立，所以.由（i ）、（ii ）可知，数列为等比数列的充要条件. 附加题21B.解：设矩阵的逆矩阵为 ，则 = ， 即 = ， 故，，，从而的逆矩阵为 .2(1)2[4]8462(3)2n n n n n n n n -=+⨯+=+=+1(1)n nnS a a q a -+=+1(1)n n n n S a q a aa -=+-+1+1+1(1)n n n n S a q a aa =+-11(1)(1)[(1)]n n n n a q a a a q a -++-=-+11q a=+0a ≠1q ≠1a aq +=1(1)(1)n n n n q q a q a +-=-1q ≠-1q ≠11n n a a q+=*n N ∈{}n a {}n a 0q 10(1)(1)(1)n n a q q a a q -+-=-+001(1)(1)()n a q a a q q q+-=+-n 1q =1q ≠±00(1)1(1)(1)a q a a q a q+=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，11q a =+{}n a 11q a=+A a c ⎡⎢⎣b d ⎤⎥⎦20⎡⎢⎣01⎤⎥⎦a c ⎡⎢⎣b d ⎤⎥⎦10⎡⎢⎣01⎤⎥⎦2a c ⎡⎢⎣2b d ⎤⎥⎦10⎡⎢⎣01⎤⎥⎦12a =0b =0c =1d =A 1120A -⎡⎢=⎢⎣01⎤⎥⎥⎥⎦所以 = .21C.解：（1）曲线的极坐标方程为，即. ∴曲线的直角坐标方程为.（2）设直线（为参数）的直角坐标方程为.，配方为，可得圆心，半径 ∴圆心到直线的距离∴22.解：（1）记“该游客游览座山”为事件，，则，所以该游客至少多游览一座山的概率为. （2）随机变量的可能取值为0,1,2,3,4， ，， ， ， 所以的概率分布为1120A B -⎡⎢=⎢⎣01⎤⎥⎥⎥⎦12⎡⎢⎣15-⎤⎥⎦122⎡⎢⎢⎣125⎤-⎥⎥⎦C 8cos ρθ=28cos ρρθ=C 228x y x +=2x t y t=+⎧⎨=⎩t 2y x =-228x y x +=22(4)16x y -+=(4,0)C 4r =C d ==||AB ==i i A 0,1i =021111()(1)(1)(1)(1)322224P A =-⨯-⨯-⨯-=31213212115()(1)(1)(1)3232224P A C =⨯-+-⨯⨯⨯-=01151()()24244P A P A +=+=X 01(0)()24P X P A ===15(1)()24P X P A ===1222332112113(2)(1)(1)()(1)3223228P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯⨯-=23333211217(3)(1)(1)()3223224P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯=3211(4)()3212P X ==⨯=X故. 23.解：分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系. 则，，，，，（1）当时，为的中点，所以为的中点，所以，，，，设平面的法向量为，又所以直线与平面（2）∵，∴，∴，， 设平面的法向量为，则， 所以.又平面的一个法向量为，由题意得， 所以，解得或（不合题意，舍去）， 所以实数的值为.1597213()0123424242424246E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=AB AC 1AA x y z (0,0,0)A (2,0,0)B (0,4,0)C 1(0,0,2)A 1(2,0,2)B 1(0,4,2)C 1λ=D BC D BC (1,2,0)D 1(1,2,2)DB =-11(0,4,0)AC =1(1,2,2)AD =-111AC D (2,0,1)n=111cos ,||||3DB n DB n DB n ===1DB 11AC D BD DC λ=24(,,0)11D λλλ++11(0,4,0)AC =124(,,2)11A D λλλ=-++11AC D 1(,,)n x y z =402201y x z λ=⎧⎪⎨-=⎪+⎩1(1,0,1)n λ=+111A B C 2(0,0,1)n =121cos ,2n n <>=12=1λ=1λ=λ1。
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江苏省苏州中学2019-2020学年度第一学期期初考试高三数学I一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}11,cos ,,1,2A B θ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭若,A B =则锐角θ=2．若复数122,1,z a i z i =+=-且12z z 为纯虚数,则实数a 的值为3．如图是小王所做的六套数学附加题得分（满分40）的茎叶图，则其平均得分为4．已知函数()2log 1a xf x x-=+为奇函数,则实数a 的值为 5．已知等比数列{}n a 的各项均为正数,3614,,2a a ==则45a a +=6．一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次性随机摸出2只球,则恰好有1只是白球的概率为7．右图是一个算法的流程图,则最后输出W 的值为NY18．已知双曲线2215x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 9．已知函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象上有一个最高点的坐标为(,由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图像与x 轴交于点()6,0,则此解析式为10．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S = 11．已知圆()()()22:10C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于,P Q 两点,则当CPQ ∆的面积最大时,此时实数a 的值为12．函数()321122132f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限的充要条件是13．如图,AB 是半径为3的圆O 的直径,P 是圆O 上异于,A B 的一点 Q 是线段AP 上靠近A 的三等分点,且4,AQ AB ⋅=则BQ BP ⋅的值为14．已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈与x 轴相切,若直线y c =与5y c =+分别交()f x 的图象于,,,A B C D 四点,且四边形ABCD 的面积为25,则正实数c 的值为二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＝b cos A ． （1）求ba的值；（2）若sin A ＝13，求sin(C －π4)的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 为侧棱PA 的中点． （1）求证：PC // 平面BDE ；（2）若PC ⊥PA ，PD ＝AD ，求证：平面BDE ⊥平面PAB ．17．（本小题满分14分）某市对城市路网进行改造，拟在原有a 个标段（注：一个标段是指一定长度的机动车道）的基础上，新建x 个标段和n 个道路交叉口，其中n 与x 满足n ＝ax ＋5．已知新建一个标段的造价为m 万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k 倍． （1）写出新建道路交叉口的总造价y （万元）与x 的函数关系式；（2）设P 是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数的20%，且k ≥3．问：P 能否大于120，说明理由．18．（本小题满分16分）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，一条准线方程为x = 2．过椭圆的上顶点A作一条与x 轴、y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P ，P 关于x 轴的对称点为Q ． （1）求椭圆的方程；（2）若直线AP ，AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求出此常数．P A BCDE（第16题图）19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝x －b ，b ∈R ．（1）若函数f (x )的图象与函数g (x )的图象相切，求b 的值； （2）设T (x )＝f (x )＋ag (x )，a ∈R ，求函数T (x )的单调增区间；（3）设h (x )＝|g (x )|·f (x )，b ＜1．若存在x 1，x 2∈[0，1]，使|h (x 1)－h (x 2)|＞1成立，求b 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16． （1）求数列{a n }的前n 项和S n ；（2）设T n ＝i =1∑n (－1)i a i ，若对一切正整数n ，不等式λT n ＜[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m ，n (n ＞m ＞2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n ；若不存在，说明理由．（第18题图）江苏省苏州中学2019-2020学年度第一学期期初考试 数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只要选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题．．纸指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲在圆O 中，AB ，CD 是互相平行的两条弦，直线AE 与圆O 相切于点A ，且与CD 的延长线交于点E ，求证：AD 2＝AB ·ED ．B ．选修4－2：矩阵与变换已知点P (3，1)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b －1变换下得到点P ′(5，－1)．试求矩阵A 和它的逆矩阵A －1．C ．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x=m+2cos α，y=2sin α（α为参数，m 为常数）．以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ（第21题（A ）图）－π4)=2．若直线l 与圆C 有两个公共点，求实数m 的取值范围．D ．选修4－5：不等式选讲设实数x ，y ，z 满足x ＋5y ＋z ＝9，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）假定某射手射击一次命中目标的概率为23．现有4发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X ，求： （1）X 的概率分布； （2）数学期望E (X )．23．（本小题满分10分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 中，AB ＝2，CE ＝1，CE ⊥平面ABCD ． （1）求异面直线DF 与BE 所成角的余弦值； （2）求二面角A －DF －B 的大小．ABCDEF（第23题图）江苏省苏州中学2019-2020学年度第一学期期初考试数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合{}11,cos ,,1,2A B θ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭若,A B =则锐角θ=【答案】3π 【解析】试题分析：由题意得：1cos =2θ，又因为θ为锐角，所以.3πθ=考点：集合相等2．若复数122,1,z a i z i =+=-且12z z 为纯虚数,则实数a 的值为 【答案】-2 【解析】 试题分析：12=(a+2i)(1-i)=(a+2)-(a-2)i z z 为纯虚数，所以a+2=0a-20a=-2.≠，，考点：纯虚数3．如图是小王所做的六套数学附加题得分（满分40）的茎叶图，则其平均得分为【答案】31 【解析】试题分析：由题意得平均得分为18+28+30+32+38+40=31.6考点：茎叶图 4．已知函数()2log 1a xf x x-=+为奇函数,则实数a 的值为 【答案】1 【解析】试题分析：由奇函数得：()()22+--log =-log 11-a x a x f x f x x x -=+，，1-=1a x xx a x-++，21a =，因为1a ≠-，所以 1.a = 考点：奇函数5．已知等比数列{}n a 的各项均为正数,3614,,2a a ==则45a a +=【答案】3 【解析】试题分析：设等比数列{}n a 的公比为q,则36311,.82a q q a ===因此645321 3.a a a a q q+=+=+= 考点：等比数列6．一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次性随机摸出2只球,则恰好有1只是白球的概率为【答案】0.6 【解析】试题分析：从中一次性随机摸出2只球共有2510C =种基本事件, 恰好有1只是白球包含11326C C =种基本事件，因此所求概率为6=0.6.10考点：古典概型概率7．右图是一个算法的流程图,则最后输出W 的值为【答案】14 【解析】试题分析：第一次循环：11;T S ==，第二次循环：23;T S ==，第三次循环：36;T S ==，第四次循环：410;T S ==，结束循环，输出14.W = 考点：循环结构流程图8．已知双曲线2215x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为【答案】y x = N14Y1试题分析：由题意得：3,4m ==，而双曲线的渐近线方程为y x=，即y 2x =± 考点：双曲线的渐近线9．已知函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象上有一个最高点的坐标为(,由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图像与x 轴交于点()6,0,则此解析式为【答案】84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：由题意得：262,16,48T A T T ππω==-===, 又sin 21,2()842k k Z πππϕϕπ⎛⎫⨯+=+=+∈ ⎪⎝⎭，2πϕ<，所以=4πϕ考点：三角函数解析式10．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S = 【答案】3:2【解析】试题分析：设球的直径为2R ，则2212:(222):43:2.S S R R R R πππ=+⋅= 考点：球的表面积11．已知圆()()()22:10C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于,P Q 两点,则当CPQ ∆的面积最大时,此时实数a 的值为【答案】【解析】试题分析：因为CPQ ∆的面积等于1sin 2PCQ ∠,所以当=90PCQ ∠时CPQ ∆的面积最大，此时圆心到直线3y x =，因此22a = 考点：直线与圆位置关系12．函数()321122132f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限的充要条件是【答案】63516a -<<-试题分析：由()220f x ax ax a '=+-=得：1,x =或2x =-，结合图像可知函数的图象经过四个象限的充要条件是()0,10,(2)0a f f <>-<，即63516a -<<-考点：利用导数研究函数图像13．如图,AB 是半径为3的圆O 的直径,P 是圆O 上异于,A B 的一点 Q 是线段AP 上靠近A 的三等分点,且4,AQ AB ⋅=则BQ BP ⋅的值为【答案】24 【解析】试题分析：因为211()33AQ AB AP AP PB AP ⋅=⋅+=,所以2=12AP ，因此222=)361224.B Q B P B P P Q B P B P A B A P ⋅+⋅==-=-=（ 考点：向量表示14．已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈与x 轴相切,若直线y c =与5y c =+分别交()f x 的图象于,,,A B C D 四点,且四边形ABCD 的面积为25,则正实数c 的值为 【答案】4【解析】试题分析：由题意得24,a b =又由2=c x ax b ++得：12||AB x x =-==，同理CD =因为四边形ABCD 为梯形，所以1255,2=⨯解得 4.c = 考点：二次函数二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．解：（1）由a cos B ＝b cos A ，得sin A cos B ＝sin B cos A ， …………………………3分 即sin(A －B )＝0．因为A ，B ∈(0，π)，所以A －B ∈(－π，π)，所以A －B ＝0，所以a ＝b ，即b a＝1． ………………………………………………………………6分 （2）因为sin A ＝13，且A 为锐角，所以cos A ＝223． ………………………………8分所以sin C ＝sin(π－2A )＝sin2A ＝2sin A cos A ＝429， ……………………………10分cos C ＝cos(π－2A )＝－cos2A ＝－1＋2sin 2A ＝－79．…………………………………12分所以sin(C －π4)＝sin C cos π4－cos C sin π4＝8＋7218．………………………………14分16．证明：（1）连结AC ，交BD 于O ，连结OE ．因为ABCD 是平行四边形，所以OA ＝OC ．…………………………………………………2分 因为 E 为侧棱PA 的中点，所以OE ∥PC ．…………………………………………………4分 因为PC /⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以PC // 平面BDE ．……………………………6分 （2）因为E 为PA 中点，PD ＝AD ，所以PA ⊥DE ．………………………………………8分 因为PC ⊥PA ，OE ∥PC ，所以PA ⊥OE ．因为OE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，OE ∩DE ＝E ， 所以PA ⊥平面BDE ．………………………………12分 因为PA ⊂平面PAB ，所以平面BDE ⊥平面PAB ． ………………………………14分17．解：（1）依题意得 y ＝mkn ＝mk (ax ＋5)，x ∈N *． …………………………………4分 （2）方法一 依题意x ＝0.2a ． ……………………………………………6分PABCDEO所以P ＝mx y ＝x k (ax ＋5)＝0.2a k (0.2a 2＋5)＝ak (a 2＋25) ……………………………8分≤a3(a 2＋25)＝13(a ＋25a )≤13×(2 a ×25a)＝130＜120． …………………………13分 答：P 不可能大于120． …………………………………………14分 方法二 依题意x ＝0.2a ． …………………………………………6分 所以P ＝mx y ＝x k (ax ＋5)＝0.2a k (0.2a 2＋5)＝a k (a 2＋25)．……………………………8分 假设P ＞120，得ka 2－20a ＋25k ＜0． …………………………………10分 因为k ≥3，所以△＝100(4－k 2)＜0，不等式ka 2－20a ＋25k ＜0无解．……………13分 答：P 不可能大于120． ……………………………………14分 18．解： ⑴因为c a ＝22，a 2c= 2，所以a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝１．故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． ………………………………………4分⑵解法一 设P 点坐标为(x 1，y 1)，则Q 点坐标为(x 1， – y 1)．因为k AP ＝y 1－1x 1－0＝y 1－1x 1，所以直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1．令y = 0，解得m ＝－x 1y 1－1. ……………………………………8分因为k AQ ＝ －y 1－1x 1－0＝－y 1＋1x 1，所以直线AQ 的方程为y ＝－y 1＋1x 1x ＋1．令y ＝0，解得n ＝x 1y 1＋1． ……………………………………12分所以mn ＝－x 1y 1－1 x 1y 1＋1＝x 211－y 21． ………………………………………14分又因为(x 1，y 1)在椭圆x 22+ y 2 = 1上，所以x 212 + y 21= 1，即1－y 21= x 212，所以x 211 – y 21＝2，即mn ＝2．所以mn 为常数，且常数为2． ………………………………16分解法二 设直线AP 的斜率为k (k ≠0)，则AP 的方程为y = kx +1，令y = 0，得m ＝－1k． ………………………………6分联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y = kx + 1，x 22 + y 2＝1，[来源:学。