《保险精算学年金》PPT课件
合集下载
保险精算课件 第4章生存年金

推导:对终身寿险和终身生存年金,有
Ax E(vK1)
axE (aK 1)E (1d vK 1)1 dA x
即 1dax Ax
公式二:
1iaxiAxAx
解释:x岁时的1单位元等于(x)死亡年末的1元
赔付现值 A x ,加上(x)存活期每年 i 元的利息
现值 i a x 和死亡年年末i元利息的现值 i A x 。
例:对于(30)的从60岁起每月500元的生存 年金,预定利率为6%。根据附表1,计算 保单的趸缴净保费。
例:某保单提供从60 岁起每月给付500元的生存 年金,如果被保险人在60岁前死亡,则在死亡年 末给付10000元。设预定利率为6%,如果某人购 买了这种保单,根据附表2的资料,求这一生存年 金的精算现值。
1da A
x:n
x:n
1a A
x:n
x:n
ax vax Ax
a va A1
x:n
x:n
x:n
例:年龄为35岁的人,购买按连续方式给付 年金额为2000元的生存年金,利率i=6%, 试求死亡均匀分布假设下终身生存年金的精 算现值(已知 A35 0.11156).
提示:利用公式 1ax Ax
2. 某年龄为40岁的人以1万元纯保费购买了 30年纯生存保险,试以附表1计算,他在70 岁可以领取的保险金额。
5.2 年付一次的生存年金精算现值
期初、期末支付的
终身生存年金 定期生存年金 延期终身生存年金 延期定期生存年金
1.终身生存年金
• (x)的每年1单位元期初付终身生存年金精算现值
ax kEx vkk px
n1
n1
a x:n
kEx
保险精算 第2章1 期初年金 期末年金

期末付年金积累值
第1期期末(时刻1)支付的1元在第n期期末(时刻n)的终 值为(1+i)n-1 ,第2期期末(时刻2)支付的1元在第n期期末的 终值为 (1 i)n2 ,…,第n-2期期末(时刻n-2)支付的1元在 第n期期末的终值为 (1 i)2 ,第n-1期期末(时刻n-1)支付 的1元在第n期期末的终值为(1+i),第n 期期末(时刻n)支付 的1元在第n期期末的终值为1,即
年金的分类
• 基本年金
等时间间隔付款 付款频率与计息频率一致 每次付款金额恒定
• 一般年金
不满足基本年金三个约束条件的年金 即为一般年金
2.1 期末付年金
我们考虑在0时刻开始的n期中每期期末支付1元的年金。
每期期末支付额为1、共支付n期的年金在第n期期末
(n时刻)的积累值之和记为 s 。 n
a 与 s 之间的关系式
n|
n|
2. 1 1 i
as
n|
n|
经济意义:设每期期末投资本金为P,投资n期
的本利和现值为1,则P 1 。在n期期末的积累值
a
为(1 i)n , 根据(1 i)n 1 is ,n| 可知即为1 is ,
n|
n|
这与每期期末投资P的n期积累值Ps 相等。 n|
Ps 1 is .
n|
n|
例2.1
某银行客户想通过零存整取的方式在一年后得到 10000元,在月复利为0.5%的情况下,问每月末需 存入多少钱才能达到目的。
解:设每月需存入 D 元,
D s 10000 12 |0.005
D 810 .66(元)
例2.2
一项年金在20年内每半年末付500元,设利率为每半 年计息一次的年名义利率为9%,求此项年金的现值。
寿险精算学课件-生存年金

50:10
a
1A 50:10
1 0.55 7.5
50:10
0.06
0.5 0.55
连续给付延期生存年金
❖定义: m ax
❖ 种类
▪ 延期M年终身连续生存年金 ▪ 延期M年终身定期生存年金
❖ 适用领域
▪ 养老金
延期生存年金的计算
❖ 方法一:综合支付技巧
❖ 方法二:当期支付技巧
0
,0 T m
Y
a a ,T m
综合支付技巧
函数变换关系
期初支付定期生存年金
❖ 当期支付技巧
❖ 综合支付技巧
n1
a x:n
k Ex
k0
n1
vk 1 k px
k0
1
n
1
vk
1
lx k 0
lx k
a , K 0, , n 1
Y
K1
a ,K n
n
a E[Y ] x:n
n1
a k1
k qx
a n
n px
k0
期初支付终身 生存年金
期初支付定期 生存年金
与生存相关联的一次性给付
❖ n年定期生存
n Ex
A1 x:n
vn n px
❖ n Ex称为生存贴现因子,它具有如下性质 n Ex = t Ex E n t x t
❖ 延期寿险还可以表现为
m ax = m Ex ax m
m n ax = m Ex
a x:n
期初支付终身生存年金的概念
ax
x1
k Ex
Y
T
a ,T n
ax:n E(Y )
na
0T
t px
2.2年金(保险精算课程讲义)

1 2 3 。。。。 n-1 n 金额
0
1
2
3
。。。。
n-1
n
年份
v 2v 2 (n 1)v n1 nv n
( Ia) n v 2v 2 ... nv n , (1 v)( Ia) n iv( Ia) n v v 2 ... v n nv n 1 i ( Ia ) n 1 v v 2 ... v n 1 nv n an nv n , ( Ia) n an nv n i
例子
Ex2.12若存入银行10万元建立一项永续奖励 基金,从存款后1年开始支取年金,设利率为 4%,求每年可以提取的最大数额。
2.2.3 变额年金
等比变化与等差变化,我们主要研究等差变化年金。
Ia n Ia n
Da n Da n
Ia Ia
I n年定期递增年金
a
(m)
1 1 v v .... m m 1 v 1 1 ( m) 1 1 m i m m 1 v m[(1 i ) 1]
1 m
1 m
2 m
(m) an (m) n
a
1 vn m i n 1 v m d
(m) Sn (m) n
S
(1 i) n 1 m i n (1 i) 1 m d
III 两者的关系
Sn Sn v
or
Sn (1 i)Sn
利用前述两种理解与证明的方法
例子
Ex2.8某人从银行贷款20万元用于购房,规定的还 款期是30年假设贷款利率为5%,如果从贷款第2 年开始每年等额还款,求每年需要换款数额是多 少? Ex2.9某人在30岁时计划每年初存入银行300元建立 个人帐户,假设他在60岁退休,存款年利率假设 恒定为3%。(1)求退休时个人帐户的累积额; (2)如果个人帐户累积额在退休后以固定年金的 方式在20年内每年领取一次,求每年可以领取的 数额。
0
1
2
3
。。。。
n-1
n
年份
v 2v 2 (n 1)v n1 nv n
( Ia) n v 2v 2 ... nv n , (1 v)( Ia) n iv( Ia) n v v 2 ... v n nv n 1 i ( Ia ) n 1 v v 2 ... v n 1 nv n an nv n , ( Ia) n an nv n i
例子
Ex2.12若存入银行10万元建立一项永续奖励 基金,从存款后1年开始支取年金,设利率为 4%,求每年可以提取的最大数额。
2.2.3 变额年金
等比变化与等差变化,我们主要研究等差变化年金。
Ia n Ia n
Da n Da n
Ia Ia
I n年定期递增年金
a
(m)
1 1 v v .... m m 1 v 1 1 ( m) 1 1 m i m m 1 v m[(1 i ) 1]
1 m
1 m
2 m
(m) an (m) n
a
1 vn m i n 1 v m d
(m) Sn (m) n
S
(1 i) n 1 m i n (1 i) 1 m d
III 两者的关系
Sn Sn v
or
Sn (1 i)Sn
利用前述两种理解与证明的方法
例子
Ex2.8某人从银行贷款20万元用于购房,规定的还 款期是30年假设贷款利率为5%,如果从贷款第2 年开始每年等额还款,求每年需要换款数额是多 少? Ex2.9某人在30岁时计划每年初存入银行300元建立 个人帐户,假设他在60岁退休,存款年利率假设 恒定为3%。(1)求退休时个人帐户的累积额; (2)如果个人帐户累积额在退休后以固定年金的 方式在20年内每年领取一次,求每年可以领取的 数额。
最新保险精算-第5章1-生存年金PPT课件

0
0.2307
2Ax 0e2t fx(t)dt
e 0.1t 0.01e50.015sds 0
0.1304
。
。
Var(Y) 12[2Ax (Ax)2]
30.87
第六章 八 纲 辨 证
表里 寒热 虚实 阴阳
八纲,即阴、阳、表、里、寒、热、虚、实。八纲辨证是从 各种辨证方法中概括出来的,用于分析各种疾病共性的辨证方 法,是临床各种辨证方法的纲领。八纲按患病部位,疾病性质, 邪正盛衰等情况,把错综复杂的临床表现分别概括为表证、里 证、寒证、热证、虚证、实证,再进一步归纳为阴证、阳证两 大类。所以八纲辨证在诊断疾病过程中能起到执简驭繁,提纲 挈领的作用。
Ax:1n
0nvtt
px
xtdtvnnpx
方差?
方差
V ( Z ) a V r ( Z a ) V r ( Z a ) C r ( Z ,o Z )v
1
2
12
V ( Z ) a V ( Z r ) a E ( Z Z r ) E ( Z ) E ( Z )
1
2
12
1
2
其中 Z1 0v,T
0t x
t|
p d(a )
0t x
t|
在总额支付法 a pd(a )中代入
x
0t x
t|
则有
t
a vsds
t
0
t
a pd vsds
x
0t x
0
vt p dt
0
tx
例1
设死力是常值 0.04,利息力 0.06
在此假设条件下,求
(1)终身生存年金的精算现值 a ; x
(2)终身生存年金现值 a 的标准差; T|
0.2307
2Ax 0e2t fx(t)dt
e 0.1t 0.01e50.015sds 0
0.1304
。
。
Var(Y) 12[2Ax (Ax)2]
30.87
第六章 八 纲 辨 证
表里 寒热 虚实 阴阳
八纲,即阴、阳、表、里、寒、热、虚、实。八纲辨证是从 各种辨证方法中概括出来的,用于分析各种疾病共性的辨证方 法,是临床各种辨证方法的纲领。八纲按患病部位,疾病性质, 邪正盛衰等情况,把错综复杂的临床表现分别概括为表证、里 证、寒证、热证、虚证、实证,再进一步归纳为阴证、阳证两 大类。所以八纲辨证在诊断疾病过程中能起到执简驭繁,提纲 挈领的作用。
Ax:1n
0nvtt
px
xtdtvnnpx
方差?
方差
V ( Z ) a V r ( Z a ) V r ( Z a ) C r ( Z ,o Z )v
1
2
12
V ( Z ) a V ( Z r ) a E ( Z Z r ) E ( Z ) E ( Z )
1
2
12
1
2
其中 Z1 0v,T
0t x
t|
p d(a )
0t x
t|
在总额支付法 a pd(a )中代入
x
0t x
t|
则有
t
a vsds
t
0
t
a pd vsds
x
0t x
0
vt p dt
0
tx
例1
设死力是常值 0.04,利息力 0.06
在此假设条件下,求
(1)终身生存年金的精算现值 a ; x
(2)终身生存年金现值 a 的标准差; T|
最新保险精算-第5章2(2)年金的精算现值课件PPT

d
AA1 EA
40
4: 01|0 1 0 4 0 5 0
M538(4元0)
中西医结合治疗糖尿 病急性并发症
上海中医药大学附属龙华医院 方邦江
中医治疗急症?
急诊科西医占有主导地位,很少使用中医的理论、 方法和手段解决危急重症
存在的问题 思想上对中医治疗危急重症没有信心 中医理论和基本功不扎实 理论不能联系实际 辨证、辨病认识欠清 画地为牢,限制病种 缺乏科学的研究手段
n年定期生存年金
设Z为保额1元的n年期两全保险的给付现值随机变量。
运用Y 1Z来计算, d
或
对于延期年金
同理可证:
例4.4
已知 i 0.05
x
90 91 92 93
l x 100 72 39
0
dx
28
33
39
-
假定91岁存活给付5,92岁存活给付10,求: a90
a 9 05 v9p 0 1v 2 0 2 p 9 01 .5 01 7 5 0 2 1 .1 0 0 21 0 3 5 0 9 6 .9 07
5.3.3 期末付生存年金及其精算现值
初付付生存年金与期末付生存年金的关系
a a ? di
1.终身生存年金
或1ia(1i)A
经济
x
x
意义
重新整理可得:
1i A a
x 1i 1i x
a a
x
x
1i
ia x
1i
va a
x
x
解释: va 为年龄为x岁的生存者期初付年金v元的终身 x
生存年金精算现值;a x 为x岁生存者期末付终身生存
PPA1 1 a
25: 35|
保险精算课件 第4章生存年金

m E x axm
延期m年期初付 n年定期生存年金
m n1
m n a x
k Ex
km
a a x : mn x : m
m Ex
a xm : n
编辑课件ppt
11
延期期末付生存年金
险种
精算 现值
延期m年期末 终身生存年金
m a x
kEx
k m 1
ax
a x :m
m E x a xm
延期m年期末付 n年定期生存年金
编辑课件ppt
15
例:某30岁的人购买了从60岁起的生存年金, 契约规定,在被保险人60岁~69岁时每年的 给付额为6000元,70岁~79岁每年的给付额 为7000元,80岁以后每年的给付额为8000元。 用精算符号表示该保单的趸缴净保费。
编辑课件ppt
16
例:某30岁的人投保养老年金保险,保险契约 规定,如果被保险人存活到60岁,则确定给付 10年年金,若被保险人在60~69岁间死亡, 由其指定的受益人继续领取,直到领满10年为 止;如果被保险人在70岁仍然存活,则从70
2. 某年龄为40岁的人以1万元纯保费购买了 30年纯生存保险,试以附表1计算,他在70 岁可以领取的保险金额。
编辑课件ppt
5
5.2 年付一次的生存年金精算现值
期初、期末支付的
终身生存年金 定期生存年金 延期终身生存年金 延期定期生存年金
编辑课件ppt
6
1.终身生存年金
• (x)的每年1单位元期初付终身生存年金精算现值
编辑课件ppt
25Байду номын сангаас
推导:对终身寿险和终身生存年金,有
Ax E(vK1)
年金精算现值ppt课件

给付年金额1元,则此终身生存年金在x岁时的精算现值为
ax
终身生存年金的未来给付现值的随机变量为
Y
aT
步骤一:计算到死亡发生时间T为止的所有已支付的年
金的现值之和
aT
t v sds
0
v s ln v |0t
vt lnv lnv
a 1 vT
T
步骤二:计算这个年金现值关于时间积分所得的年金 期望值,即终身连续生存年金精算现值
6
v k k p14
k4
4000( v 4 .4 p14 v 5 5 p14 v 6 6 p14 )
4000( v 4 l18 v 5 l19 v 6 l20 )
l14
l14
l14
二、期初付年金精算现值与趸缴纯保费间的关系
假设K为x岁的人的未来的取整余命的随机变量,Y为年金给付的
现值的随机变量。
-
-
力=0.05,计算:(1)ax(2)ax 足够用于实际支付年金的概率。
解:
ax
0
t
px v t dt
t px
t fT (t )dt
0.015e 0.015t dt
t
e0.015t
ax
e0.015t .e0.05t dt
0
e 0.065t dt
0
e 0.065t 0.065
n Ex Ax:1n vn n px
注: nEx
Ax:1n称为精算折现因子,
1 n Ex
称为累积因子
例1:某25岁的男性购买了定期生存险,按保单规定:若能满65岁,
可获得10000元。已知i=6%,计算(1)趸缴纯保费。
(2)25岁时缴纳的10000元在65岁时的精算累积值
《保险精算导论》课件

科技创新
通过人工智能、大数据和区块链 技术,保险精算将迎来更加精确 和高效的发展。
全球化发展
随着保险业的全球化,保险精算 在各个国家和地区的应用范围将 不断扩大。
3
利润预测
根据在保费中预留的风险费用和损失准备金,预测保险业务的盈利能力。
保险精算的经验损失估计方法
频率-严重性模型
基于历史数据,建立频率和严重性模型,预测未来的损失情况。
发展因素法
根据保险业务的发展趋势和宏观经济因素,对损失发展进行预测。
统计分位数法
通过计算损失分布的统计分位数,进行损失准备金的估计和管理。
保险精算的赔付准备金计算方法
链式比率法 损失预测法 水平比率法
根据已发生的损失和赔付情况,计算赔付准备金 的比率。
利用损失模型和发展因素,预测未来的赔付准备 金需求。
根据已发生的损失和赔付情况,计算赔付准备金 的固定比率。
保险精算在保险业的应用和发展趋势
保险精算师
保险精算师在保险公司中扮演着 重要的角色,负责风险评估、定 价和资金管理。
《保险精算导论》PPT课 件
保险精算导论课程旨在介绍保险精算的基本概念、原理和方法,以及其在保 险业中的重要性和应用。本课件将深入探讨保险精算的各个方面,为您提供 全面的知识和理解。
保险精算的定义和作用
保险精算是一门应用数学,统计学和经济学原理的学科,旨在通过分析和测 量风险,为保险公司制定保费、评估损失准备金和管理风险提供决策依据。
保险精算的基本原理
1 风险分析
通过统计分析和模型建立,评估保险合同的风险和损失概率。
2 资金管理
根据风险分析结果,制定合理的保费定价和资金运营策略。
3 损失准备金
保险精算PPT课件

损失概率,直接决定其费率。这种方法的采用,往往是因为保险标的数量 较少,无法采用统计资料,因而主要凭借精算人员的知识与经验。
观察法所制定的费率,最能反映个别风险的特性,具有灵活、精确 的特点,这是因为:①在风险单位数量很少的情况下,不能硬性将风险性 质差异很大的各风险单位集中在一块,统一制定费率,否则,将违反利用 大数法则估计损失概率的前提条件;②观察法制定费率,虽是针对个别标 的而言,但精算人员往往根据过去的费率和经验,以及对此标的有影响的 各种风险因素进行仔细的分析,然后才确定费率;③观察法通常也要利用 一些资料,只不过较为粗略而已。
个比率——这类标的发生损失的频率。而在观察次数很多或观察周
期很长的情况下,这一比率将与实际损失概率很接近。换句话说,
当某个所需要求的概率不能通过等可能分析、理论概率分布近似估
计等方法加以确定时,则可通过观察过去大量实验的结果而予以估
计,即用比率代替概率。反过来,经估计得到的比率,可由将来大
量实验所得的实际经验而修正,以增加其真实性。
2
第2页/共43页
第一节 保险精算概述
一、保险精算的产生与发展
寿险精算是从寿险经营的窘境中应运而生的。当时,
寿险的保费采用赋课制,未将年龄大小、死亡率高低等与保 费挂钩,有关计算单一、粗糙,考虑的因素少,因而使寿险 经营缺乏严密的科学基础。
17世纪后半叶,世界上有两位保险精算创始人研究
人寿保险计算原理取得突破性进展,一位是荷兰的政治家维 德(Jeande Witt),他倡导了一种终身年金现值的计算方法,
5
第5页/共43页
第一节 保险精算概述
二、保险精算的基本任务
保险精算最初的定义是“通过对火灾、盗窃以及人的死亡等损失事故发生 的概率进行估算以确定保险公司应该收取多少保费。”
观察法所制定的费率,最能反映个别风险的特性,具有灵活、精确 的特点,这是因为:①在风险单位数量很少的情况下,不能硬性将风险性 质差异很大的各风险单位集中在一块,统一制定费率,否则,将违反利用 大数法则估计损失概率的前提条件;②观察法制定费率,虽是针对个别标 的而言,但精算人员往往根据过去的费率和经验,以及对此标的有影响的 各种风险因素进行仔细的分析,然后才确定费率;③观察法通常也要利用 一些资料,只不过较为粗略而已。
个比率——这类标的发生损失的频率。而在观察次数很多或观察周
期很长的情况下,这一比率将与实际损失概率很接近。换句话说,
当某个所需要求的概率不能通过等可能分析、理论概率分布近似估
计等方法加以确定时,则可通过观察过去大量实验的结果而予以估
计,即用比率代替概率。反过来,经估计得到的比率,可由将来大
量实验所得的实际经验而修正,以增加其真实性。
2
第2页/共43页
第一节 保险精算概述
一、保险精算的产生与发展
寿险精算是从寿险经营的窘境中应运而生的。当时,
寿险的保费采用赋课制,未将年龄大小、死亡率高低等与保 费挂钩,有关计算单一、粗糙,考虑的因素少,因而使寿险 经营缺乏严密的科学基础。
17世纪后半叶,世界上有两位保险精算创始人研究
人寿保险计算原理取得突破性进展,一位是荷兰的政治家维 德(Jeande Witt),他倡导了一种终身年金现值的计算方法,
5
第5页/共43页
第一节 保险精算概述
二、保险精算的基本任务
保险精算最初的定义是“通过对火灾、盗窃以及人的死亡等损失事故发生 的概率进行估算以确定保险公司应该收取多少保费。”
保险精算学-确定年金概述共142页

保险精算学-确定年金概述
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事, 只想现 在的事 。现在 有成就 ,以后 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人,心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前,莽撞的 人只能 引为烧 身,只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
31、只有永远躺在泥坑里的人,才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭,生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍,就是一下子不要学很多。——洛克
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事, 只想现 在的事 。现在 有成就 ,以后 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人,心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前,莽撞的 人只能 引为烧 身,只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
31、只有永远躺在泥坑里的人,才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭,生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍,就是一下子不要学很多。——洛克
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
0 0
计算平均余寿的定理
定理1.1 假设死亡人数在每个年龄区间上均匀分布,则平均余寿为: 1 1 1 x 1 1 e x lx 1 lx 2 l 1 t d x t lx 2 lx t 0 2
0
1 1 1 1 1 平均寿命为 : e0 l1 l2 l 1 t d t l0 2 l0 t 0 2
2.2 年金
在本节中,首先给出年金的定义, 然后主要介绍各种年金的表示方式 和计算方法。
2.2.1 等额确定年金的现值和终值
年金是收付款的一种方式,是指相隔一个相等的时间间隔 进行的一系列固定数额收付款方式。
分类:
1 根据固定数额是否变化 期首年金 2 根据付款时间
等额年金 变额年金
期末年金 定期年金 3 根据付款时期的长度 永久年金
Da n n Da
Ia Ia
I n年定期递增年金
1 2 3 。。。。 n-1 n 金额
01Biblioteka 23。。。。
n-1
n
年份
v 2v 2 (n 1)v n1 nv n
( Ia) n v 2v 2 ... nv n , (1 v)( Ia) n iv( Ia) n v v 2 ... v n nv n 1 n nv n , ( Ia) n i ( Ia ) n 1 v v 2 ... v n 1 nv n a n nv n a i
a
(m)
1 1 v v .... m m 1 v 1 1 ( m) 1 1 m i m m 1 v m[(1 i ) 1]
1 m
1 m
2 m
(m) an (m) an
1 vn m i n 1 v m d
(m) Sn (m) Sn
如果年金每次的收付额为R, 则现值为Ran .
1
1
1
。。。
1
1
金额
1 v v
2
0
1
2
3
。。。
n-1
n
年份
v n 1
n n 1 v 1 v n 1 v v 2 ... v n1 a 1 v d
n . 如果年金每次的收付额为R, 则现值为Ra
两种年金的关系
1 l0 l1 l2
(1)lx lx 1 d x lx
n
2 l
0
1
x 0
3.d x : x岁的存活人在x岁这一整年内的死亡人数。 (2)l0 d 0 d1 d 2 d 1 d x
x 1
t 0
d x t
n
qx : 表示x岁的存活人在x岁到x n岁之间死亡的概率,用公式表示即为: lx lx n n d x n qx lx lx 当n 1时, 1q x q x . px lx 1 , px qx 1 lx lx n ,n px n qx 1 lx
理论基础:个体的不可预测性 群体死亡的稳定性 编制方法:1 选择初始年龄且假定在该年 龄生存的一个合适的封闭人口数,这个 数称为确定基数。 2 根据各年龄的死亡人数与 生存人数,计算出死亡率等一系列数据。 极限年龄ω :在极限年龄ω时,该群体的 存活人数为0。
生命表的通常函数
1.x : 年龄,在生命表中的范围, 0 1 岁。x取整数值。 2.lx : 存活到确切整数年龄x岁的人数。x 0,1, , 1。 l0 100000,1000000,
例子: Ex2.13 某年金在第一年首收付100元,以后每隔一年均比前 一年增收100元,若年利率为8%,(1)计算收付8年后年金 现值与终值;(2)计算永久年金的现值。
Ex2.14 某年金第一年收付200元,以后每隔一年均比前一年 增收100元,增加到一次收付1000元时不再增加,并保持每 年1000元的水平连续收付,年利率为8%,给出这一年金现值 的计算表达式。
(1 i) n 1 m i n (1 i) 1 m d
例子
Ex2.12若存入银行10万元建立一项永续奖励 基金,从存款后1年开始支取年金,设利率为 4%,求每年可以提取的最大数额。
2.2.3 变额年金
等比变化与等差变化,我们主要研究等差变化年金。
Ia n n Ia
n n n n
利用上述公式,我们计算ex2.10,2.11
2.2.2 永续年金(永久年金)
所谓永久年金是指每年收付款1单位元,而收付款的时间为永久 的无确定期限。
表示符号:
a
( m) a ( m) a
a
1 1 1 v v .... a 1 v d v 1 2 3 a v v v .... 1 v i
)n ( Da
n n(1 i) a i n(1 i) n Sn i , ( DS ) n n(1 i ) n 1 S n i
( DS ) n (1 i) n ( Da) n
III 永久递增年金
1 1 ) 2 , ( Ia 同学们自己分析,得出结论: ( Ia) id d
2
两者的关系
a (1 i) a
1 考虑:每年收付款次数为m次,期首支付,每次收付款额为 的永久 m 年金,
1 2 1 1 1 (m) a v m v m .... m m m 1 1 1 1 (m) 1 1 m d m m 1 v m[1 (1 d ) ]
终值的计算方法:
直接法 推导法
I
n n 1 (1 i ) (1 i ) 1 n 1 Sn 1 (1 i) ... (1 i) 1 (1 i) i n n (1 i ) 1 (1 i ) 1 n Sn (1 i) ... (1 i) iv d
直接法
如果期末年金每次的收付额为R, 则终值为RSn .
. 如果期首年金每次的收付额为R, 则现值为RS n
II
推导法
由(3-1)与(3-2)知:
n n (1 v ) (1 i ) 1 n n S n (1 i ) an (1 i ) i i n n (1 v ) (1 i ) 1 n (1 i ) n a S (1 i ) n n d d
例子
Ex2.10在上例中,如果退休后个人帐户累积 额以固定年金的方式在20年内每月领取一 次,求每月领取的数额。 Ex2.11某人贷款50000元购买汽车,从贷款 第9个月开始用5年的时间每月还款,利率 为6%,求每月的还款额。
同时,还可以按照公式的办法得到上面的结 果。
n a
m
1 i 1 m 1 i 1 1 v m 1 v m m , an m , sn , sn m m d i d i
0
证明 : 记Lx 表示x岁的人在一年内存活的总人年数. lx lx 1 1 Lx lx 1 d x 2 2 记Tx 表示x岁的在未来存活的总人年数. Tx
0
x 1
t 0
L
x t
Tx 1 x 1 e x Lx t lx lx t 0 1 x 1 1 1 1 lx t 1 d x t lx 1 lx 2 ... l 1 lx t 0 2 2 lx Tx 1 x 1 1 x 1 lx t lx t 1 1 x 1 1 另,e x Lx t t d x t lx lx t 0 lx t 0 2 lx t 0 2
III 两者的关系
v Sn S n
or
(1 i)S S n n
利用前述两种理解与证明的方法
例子
Ex2.8某人从银行贷款20万元用于购房,规定的还 款期是30年假设贷款利率为5%,如果从贷款第2 年开始每年等额还款,求每年需要换款数额是多 少? Ex2.9某人在30岁时计划每年初存入银行300元建立 个人帐户,假设他在60岁退休,存款年利率假设 恒定为3%。(1)求退休时个人帐户的累积额; (2)如果个人帐户累积额在退休后以固定年金的 方式在20年内每年领取一次,求每年可以领取的 数额。
5. px : 生存率,表示x岁的人在一年内存活的概率,即到x 1岁时仍然存活的概率。
n
px : 表示x岁的存活人再活n年的概率,用公式表示即为:
n
px
6.n qx : 表示x岁的存活人,活过n年,并在第n 1年死亡的概率。
n
lx n lx n 1 d x n lx n d x n qx n px qx n lx lx lx lx n qx : 表示x岁的人在x n x n m岁之间死亡的概率,
例子:养老保险金(与生命有关)
分期付款购买房子(与生命无关)
表示符号:
an n a
:在复利率i下每年末1单位元,收付期为n年,在初 始时刻的现值。 :在复利率i下每年首1单位元,收付期为n年,在初 始时刻的现值。
1
1
1
。。。
1
1
金额
0
1
2
3
。。。
n-1
n
年份
v v2 v
n
n n n 1 v 1 1 v 1 v an v v 2 ... v n v 1 v 1 i 1 1 i 1 i
同理,可以得到
)n ( Ia
n nv n a d
,( IS )n
n S n i
计算平均余寿的定理
定理1.1 假设死亡人数在每个年龄区间上均匀分布,则平均余寿为: 1 1 1 x 1 1 e x lx 1 lx 2 l 1 t d x t lx 2 lx t 0 2
0
1 1 1 1 1 平均寿命为 : e0 l1 l2 l 1 t d t l0 2 l0 t 0 2
2.2 年金
在本节中,首先给出年金的定义, 然后主要介绍各种年金的表示方式 和计算方法。
2.2.1 等额确定年金的现值和终值
年金是收付款的一种方式,是指相隔一个相等的时间间隔 进行的一系列固定数额收付款方式。
分类:
1 根据固定数额是否变化 期首年金 2 根据付款时间
等额年金 变额年金
期末年金 定期年金 3 根据付款时期的长度 永久年金
Da n n Da
Ia Ia
I n年定期递增年金
1 2 3 。。。。 n-1 n 金额
01Biblioteka 23。。。。
n-1
n
年份
v 2v 2 (n 1)v n1 nv n
( Ia) n v 2v 2 ... nv n , (1 v)( Ia) n iv( Ia) n v v 2 ... v n nv n 1 n nv n , ( Ia) n i ( Ia ) n 1 v v 2 ... v n 1 nv n a n nv n a i
a
(m)
1 1 v v .... m m 1 v 1 1 ( m) 1 1 m i m m 1 v m[(1 i ) 1]
1 m
1 m
2 m
(m) an (m) an
1 vn m i n 1 v m d
(m) Sn (m) Sn
如果年金每次的收付额为R, 则现值为Ran .
1
1
1
。。。
1
1
金额
1 v v
2
0
1
2
3
。。。
n-1
n
年份
v n 1
n n 1 v 1 v n 1 v v 2 ... v n1 a 1 v d
n . 如果年金每次的收付额为R, 则现值为Ra
两种年金的关系
1 l0 l1 l2
(1)lx lx 1 d x lx
n
2 l
0
1
x 0
3.d x : x岁的存活人在x岁这一整年内的死亡人数。 (2)l0 d 0 d1 d 2 d 1 d x
x 1
t 0
d x t
n
qx : 表示x岁的存活人在x岁到x n岁之间死亡的概率,用公式表示即为: lx lx n n d x n qx lx lx 当n 1时, 1q x q x . px lx 1 , px qx 1 lx lx n ,n px n qx 1 lx
理论基础:个体的不可预测性 群体死亡的稳定性 编制方法:1 选择初始年龄且假定在该年 龄生存的一个合适的封闭人口数,这个 数称为确定基数。 2 根据各年龄的死亡人数与 生存人数,计算出死亡率等一系列数据。 极限年龄ω :在极限年龄ω时,该群体的 存活人数为0。
生命表的通常函数
1.x : 年龄,在生命表中的范围, 0 1 岁。x取整数值。 2.lx : 存活到确切整数年龄x岁的人数。x 0,1, , 1。 l0 100000,1000000,
例子: Ex2.13 某年金在第一年首收付100元,以后每隔一年均比前 一年增收100元,若年利率为8%,(1)计算收付8年后年金 现值与终值;(2)计算永久年金的现值。
Ex2.14 某年金第一年收付200元,以后每隔一年均比前一年 增收100元,增加到一次收付1000元时不再增加,并保持每 年1000元的水平连续收付,年利率为8%,给出这一年金现值 的计算表达式。
(1 i) n 1 m i n (1 i) 1 m d
例子
Ex2.12若存入银行10万元建立一项永续奖励 基金,从存款后1年开始支取年金,设利率为 4%,求每年可以提取的最大数额。
2.2.3 变额年金
等比变化与等差变化,我们主要研究等差变化年金。
Ia n n Ia
n n n n
利用上述公式,我们计算ex2.10,2.11
2.2.2 永续年金(永久年金)
所谓永久年金是指每年收付款1单位元,而收付款的时间为永久 的无确定期限。
表示符号:
a
( m) a ( m) a
a
1 1 1 v v .... a 1 v d v 1 2 3 a v v v .... 1 v i
)n ( Da
n n(1 i) a i n(1 i) n Sn i , ( DS ) n n(1 i ) n 1 S n i
( DS ) n (1 i) n ( Da) n
III 永久递增年金
1 1 ) 2 , ( Ia 同学们自己分析,得出结论: ( Ia) id d
2
两者的关系
a (1 i) a
1 考虑:每年收付款次数为m次,期首支付,每次收付款额为 的永久 m 年金,
1 2 1 1 1 (m) a v m v m .... m m m 1 1 1 1 (m) 1 1 m d m m 1 v m[1 (1 d ) ]
终值的计算方法:
直接法 推导法
I
n n 1 (1 i ) (1 i ) 1 n 1 Sn 1 (1 i) ... (1 i) 1 (1 i) i n n (1 i ) 1 (1 i ) 1 n Sn (1 i) ... (1 i) iv d
直接法
如果期末年金每次的收付额为R, 则终值为RSn .
. 如果期首年金每次的收付额为R, 则现值为RS n
II
推导法
由(3-1)与(3-2)知:
n n (1 v ) (1 i ) 1 n n S n (1 i ) an (1 i ) i i n n (1 v ) (1 i ) 1 n (1 i ) n a S (1 i ) n n d d
例子
Ex2.10在上例中,如果退休后个人帐户累积 额以固定年金的方式在20年内每月领取一 次,求每月领取的数额。 Ex2.11某人贷款50000元购买汽车,从贷款 第9个月开始用5年的时间每月还款,利率 为6%,求每月的还款额。
同时,还可以按照公式的办法得到上面的结 果。
n a
m
1 i 1 m 1 i 1 1 v m 1 v m m , an m , sn , sn m m d i d i
0
证明 : 记Lx 表示x岁的人在一年内存活的总人年数. lx lx 1 1 Lx lx 1 d x 2 2 记Tx 表示x岁的在未来存活的总人年数. Tx
0
x 1
t 0
L
x t
Tx 1 x 1 e x Lx t lx lx t 0 1 x 1 1 1 1 lx t 1 d x t lx 1 lx 2 ... l 1 lx t 0 2 2 lx Tx 1 x 1 1 x 1 lx t lx t 1 1 x 1 1 另,e x Lx t t d x t lx lx t 0 lx t 0 2 lx t 0 2
III 两者的关系
v Sn S n
or
(1 i)S S n n
利用前述两种理解与证明的方法
例子
Ex2.8某人从银行贷款20万元用于购房,规定的还 款期是30年假设贷款利率为5%,如果从贷款第2 年开始每年等额还款,求每年需要换款数额是多 少? Ex2.9某人在30岁时计划每年初存入银行300元建立 个人帐户,假设他在60岁退休,存款年利率假设 恒定为3%。(1)求退休时个人帐户的累积额; (2)如果个人帐户累积额在退休后以固定年金的 方式在20年内每年领取一次,求每年可以领取的 数额。
5. px : 生存率,表示x岁的人在一年内存活的概率,即到x 1岁时仍然存活的概率。
n
px : 表示x岁的存活人再活n年的概率,用公式表示即为:
n
px
6.n qx : 表示x岁的存活人,活过n年,并在第n 1年死亡的概率。
n
lx n lx n 1 d x n lx n d x n qx n px qx n lx lx lx lx n qx : 表示x岁的人在x n x n m岁之间死亡的概率,
例子:养老保险金(与生命有关)
分期付款购买房子(与生命无关)
表示符号:
an n a
:在复利率i下每年末1单位元,收付期为n年,在初 始时刻的现值。 :在复利率i下每年首1单位元,收付期为n年,在初 始时刻的现值。
1
1
1
。。。
1
1
金额
0
1
2
3
。。。
n-1
n
年份
v v2 v
n
n n n 1 v 1 1 v 1 v an v v 2 ... v n v 1 v 1 i 1 1 i 1 i
同理,可以得到
)n ( Ia
n nv n a d
,( IS )n
n S n i