《保险精算学年金》PPT课件
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0
证明 : 记Lx 表示x岁的人在一年内存活的总人年数. lx lx 1 1 Lx lx 1 d x 2 2 记Tx 表示x岁的在未来存活的总人年数. Tx
0
x 1
t 0
L
x t
Tx 1 x 1 e x Lx t lx lx t 0 1 x 1 1 1 1 lx t 1 d x t lx 1 lx 2 ... l 1 lx t 0 2 2 lx Tx 1 x 1 1 x 1 lx t lx t 1 1 x 1 1 另,e x Lx t t d x t lx lx t 0 lx t 0 2 lx t 0 2
如果年金每次的收付额为R, 则现值为Ran .
1
1
1
。。。
1
1
金额
1 v v
2
0
1
2
3
。。。
n-1
n
年份
v n 1
n n 1 v 1 v n 1 v v 2 ... v n1 a 1 v d
n . 如果年金每次的收付额为R, 则现值为Ra
两种年金的关系
直接法
如果期末年金每次的收付额为R, 则终值为RSn .
. 如果期首年金每次的收付额为R, 则现值为RS n
II
推导法
由（3-1）与（3-2）知：
n n (1 v ) (1 i ) 1 n n S n (1 i ) an (1 i ) i i n n (1 v ) (1 i ) 1 n (1 i ) n a S (1 i ) n n d d
2
两者的关系
a (1 i) a
1 考虑：每年收付款次数为m次，期首支付，每次收付款额为 的永久 m 年金，
1 2 1 1 1 (m) a v m v m .... m m m 1 1 1 1 (m) 1 1 m d m m 1 v m[1 (1 d ) ]
0 0
计算平均余寿的定理
定理1.1 假设死亡人数在每个年龄区间上均匀分布,则平均余寿为: 1 1 1 x 1 1 e x lx 1 lx 2 l 1 t d x t lx 2 lx t 0 2
0
1 1 1 1 1 平均寿命为 : e0 l1 l2 l 1 t d t l0 2 l0 t 0 2
Da n n Da
Ia Ia
I n年定期递增年金
1 2 3 。。。。 n-1 n 金额
0
1
2
3
。。。。
n-1
n
年份
v 2v 2 (n 1)v n1 nv n
( Ia) n v 2v 2 ... nv n , (1 v)( Ia) n iv( Ia) n v v 2 ... v n nv n 1 n nv n , ( Ia) n i ( Ia ) n 1 v v 2 ... v n 1 nv n a n nv n a i
d x : 表示在x岁到x n岁之间死亡的人数，用公式表示即为：
n
d x lx lx n
4.qx : 死亡率，表示x岁的人在一年内死亡的概率。 (1)qx dx , x 0,1, , 1 lx d 1 l 1 l 1 l 1 l 1
ห้องสมุดไป่ตู้
2 q 1
n
qx : 表示x岁的存活人在x岁到x n岁之间死亡的概率，用公式表示即为： lx lx n n d x n qx lx lx 当n 1时， 1q x q x . px lx 1 , px qx 1 lx lx n ,n px n qx 1 lx
n n n n
利用上述公式，我们计算ex2.10,2.11
2.2.2 永续年金（永久年金）
所谓永久年金是指每年收付款1单位元，而收付款的时间为永久 的无确定期限。
表示符号：
a
( m) a ( m) a
a
1 1 1 v v .... a 1 v d v 1 2 3 a v v v .... 1 v i
n 1 an1 a n an va or n an (1 i ) a
两种解释： 理论推导
实际意义的分析
确定年金终值是一系列等额收付款在最后期的本息之和。 表示符号：
Sn
：在复利率i下每年末1单位元，收付期为n年的年金 终值。
S n
：在复利率i下每年首1单位元，收付期为n年的年金 终值。
)n ( Da
n n(1 i) a i n(1 i) n Sn i , ( DS ) n n(1 i ) n 1 S n i
( DS ) n (1 i) n ( Da) n
III 永久递增年金
1 1 ) 2 , ( Ia 同学们自己分析，得出结论： ( Ia) id d
1 l0 l1 l2
(1)lx lx 1 d x lx
n
2 l
0
1
x 0
3.d x : x岁的存活人在x岁这一整年内的死亡人数。 (2)l0 d 0 d1 d 2 d 1 d x
x 1
t 0
d x t
同理，可以得到
)n ( Ia
n nv n a d
,( IS )n
n S n i
) ,( IS n
n S n d
II n年定期递减年金
( Da) n nv (n 1)v ... v , ( Da) n
2 n
n an i
同理，
第3章 生命表
生命表是研究人口死亡规律的有力工具， 它用表格的形式简单清楚地表述了同时 出生的一组人以怎样的死亡率陆续死亡 的全部过程。
本章主要内容
• • • • • 生命表基本函数 生存分析 非整数年龄存活函数的估计 几个死亡时间的解析分布 生命表的编制
3.1 生命表基本函数
生命表是反映在封闭人口的条件下，一批 人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。 地位：生命表是人寿保险用以测定死亡或 生存概率的基础。 根据以往死亡人数的统计资料，推测出未 来死亡或生存概率，是计算保险费率的必要依 据。
终值的计算方法：
直接法 推导法
I
n n 1 (1 i ) (1 i ) 1 n 1 Sn 1 (1 i) ... (1 i) 1 (1 i) i n n (1 i ) 1 (1 i ) 1 n Sn (1 i) ... (1 i) iv d
例子： Ex2.13 某年金在第一年首收付100元，以后每隔一年均比前 一年增收100元，若年利率为8%，（1）计算收付8年后年金 现值与终值；（2）计算永久年金的现值。
Ex2.14 某年金第一年收付200元，以后每隔一年均比前一年 增收100元，增加到一次收付1000元时不再增加，并保持每 年1000元的水平连续收付，年利率为8%，给出这一年金现值 的计算表达式。
III 两者的关系
v Sn S n
or
(1 i)S S n n
利用前述两种理解与证明的方法
例子
Ex2.8某人从银行贷款20万元用于购房，规定的还 款期是30年假设贷款利率为5%，如果从贷款第2 年开始每年等额还款，求每年需要换款数额是多 少？ Ex2.9某人在30岁时计划每年初存入银行300元建立 个人帐户，假设他在60岁退休，存款年利率假设 恒定为3%。（1）求退休时个人帐户的累积额； （2）如果个人帐户累积额在退休后以固定年金的 方式在20年内每年领取一次，求每年可以领取的 数额。
5. px : 生存率，表示x岁的人在一年内存活的概率，即到x 1岁时仍然存活的概率。
n
px : 表示x岁的存活人再活n年的概率，用公式表示即为：
n
px
6.n qx : 表示x岁的存活人，活过n年，并在第n 1年死亡的概率。
n
lx n lx n 1 d x n lx n d x n qx n px qx n lx lx lx lx n qx : 表示x岁的人在x n x n m岁之间死亡的概率，
(1 i) n 1 m i n (1 i) 1 m d
例子
Ex2.12若存入银行10万元建立一项永续奖励 基金，从存款后1年开始支取年金,设利率为 4%，求每年可以提取的最大数额。
2.2.3 变额年金
等比变化与等差变化，我们主要研究等差变化年金。
Ia n n Ia
a
(m)
1 1 v v .... m m 1 v 1 1 ( m) 1 1 m i m m 1 v m[(1 i ) 1]
1 m
1 m
2 m
(m) an (m) an
1 vn m i n 1 v m d
(m) Sn (m) Sn
例子
Ex2.10在上例中，如果退休后个人帐户累积 额以固定年金的方式在20年内每月领取一 次，求每月领取的数额。 Ex2.11某人贷款50000元购买汽车，从贷款 第9个月开始用5年的时间每月还款，利率 为6%，求每月的还款额。
同时，还可以按照公式的办法得到上面的结 果。
n a
m
1 i 1 m 1 i 1 1 v m 1 v m m , an m , sn , sn m m d i d i
例子：养老保险金（与生命有关）
分期付款购买房子（与生命无关）
表示符号：
an n a
：在复利率i下每年末1单位元，收付期为n年，在初 始时刻的现值。 ：在复利率i下每年首1单位元，收付期为n年，在初 始时刻的现值。
1
1
1
。。。
1
1
金额
0
1
2
3
。。。
n-1
n
年份
v v2 v
n
n n n 1 v 1 1 v 1 v an v v 2 ... v n v 1 v 1 i 1 1 i 1 i
理论基础：个体的不可预测性 群体死亡的稳定性 编制方法：1 选择初始年龄且假定在该年 龄生存的一个合适的封闭人口数，这个 数称为确定基数。 2 根据各年龄的死亡人数与 生存人数，计算出死亡率等一系列数据。 极限年龄ω ：在极限年龄ω时，该群体的 存活人数为0。
生命表的通常函数
1.x : 年龄，在生命表中的范围， 0 1 岁。x取整数值。 2.lx : 存活到确切整数年龄x岁的人数。x 0,1, , 1。 l0 100000,1000000,
m
当n 0时， q qx . 0 x
nm
d x n lx n lx m m n px m n px n px m qx n n m qx lx lx 7. e x : 完全平均余寿或生命期望值，即表示x岁的存活人在以后可望 生存的平均年数。 e0 表示确定基数的一个群体的平均寿命。
2.2 年金
在本节中，首先给出年金的定义， 然后主要介绍各种年金的表示方式 和计算方法。
2.2.1 等额确定年金的现值和终值
年金是收付款的一种方式，是指相隔一个相等的时间间隔 进行的一系列固定数额收付款方式。
分类：
1 根据固定数额是否变化 期首年金 2 根据付款时间
等额年金 变额年金
期末年金 定期年金 3 根据付款时期的长度 永久年金
证明 : 记Lx 表示x岁的人在一年内存活的总人年数. lx lx 1 1 Lx lx 1 d x 2 2 记Tx 表示x岁的在未来存活的总人年数. Tx
0
x 1
t 0
L
x t
Tx 1 x 1 e x Lx t lx lx t 0 1 x 1 1 1 1 lx t 1 d x t lx 1 lx 2 ... l 1 lx t 0 2 2 lx Tx 1 x 1 1 x 1 lx t lx t 1 1 x 1 1 另,e x Lx t t d x t lx lx t 0 lx t 0 2 lx t 0 2
如果年金每次的收付额为R, 则现值为Ran .
1
1
1
。。。
1
1
金额
1 v v
2
0
1
2
3
。。。
n-1
n
年份
v n 1
n n 1 v 1 v n 1 v v 2 ... v n1 a 1 v d
n . 如果年金每次的收付额为R, 则现值为Ra
两种年金的关系
直接法
如果期末年金每次的收付额为R, 则终值为RSn .
. 如果期首年金每次的收付额为R, 则现值为RS n
II
推导法
由（3-1）与（3-2）知：
n n (1 v ) (1 i ) 1 n n S n (1 i ) an (1 i ) i i n n (1 v ) (1 i ) 1 n (1 i ) n a S (1 i ) n n d d
2
两者的关系
a (1 i) a
1 考虑：每年收付款次数为m次，期首支付，每次收付款额为 的永久 m 年金，
1 2 1 1 1 (m) a v m v m .... m m m 1 1 1 1 (m) 1 1 m d m m 1 v m[1 (1 d ) ]
0 0
计算平均余寿的定理
定理1.1 假设死亡人数在每个年龄区间上均匀分布,则平均余寿为: 1 1 1 x 1 1 e x lx 1 lx 2 l 1 t d x t lx 2 lx t 0 2
0
1 1 1 1 1 平均寿命为 : e0 l1 l2 l 1 t d t l0 2 l0 t 0 2
Da n n Da
Ia Ia
I n年定期递增年金
1 2 3 。。。。 n-1 n 金额
0
1
2
3
。。。。
n-1
n
年份
v 2v 2 (n 1)v n1 nv n
( Ia) n v 2v 2 ... nv n , (1 v)( Ia) n iv( Ia) n v v 2 ... v n nv n 1 n nv n , ( Ia) n i ( Ia ) n 1 v v 2 ... v n 1 nv n a n nv n a i
d x : 表示在x岁到x n岁之间死亡的人数，用公式表示即为：
n
d x lx lx n
4.qx : 死亡率，表示x岁的人在一年内死亡的概率。 (1)qx dx , x 0,1, , 1 lx d 1 l 1 l 1 l 1 l 1
ห้องสมุดไป่ตู้
2 q 1
n
qx : 表示x岁的存活人在x岁到x n岁之间死亡的概率，用公式表示即为： lx lx n n d x n qx lx lx 当n 1时， 1q x q x . px lx 1 , px qx 1 lx lx n ,n px n qx 1 lx
n n n n
利用上述公式，我们计算ex2.10,2.11
2.2.2 永续年金（永久年金）
所谓永久年金是指每年收付款1单位元，而收付款的时间为永久 的无确定期限。
表示符号：
a
( m) a ( m) a
a
1 1 1 v v .... a 1 v d v 1 2 3 a v v v .... 1 v i
n 1 an1 a n an va or n an (1 i ) a
两种解释： 理论推导
实际意义的分析
确定年金终值是一系列等额收付款在最后期的本息之和。 表示符号：
Sn
：在复利率i下每年末1单位元，收付期为n年的年金 终值。
S n
：在复利率i下每年首1单位元，收付期为n年的年金 终值。
)n ( Da
n n(1 i) a i n(1 i) n Sn i , ( DS ) n n(1 i ) n 1 S n i
( DS ) n (1 i) n ( Da) n
III 永久递增年金
1 1 ) 2 , ( Ia 同学们自己分析，得出结论： ( Ia) id d
1 l0 l1 l2
(1)lx lx 1 d x lx
n
2 l
0
1
x 0
3.d x : x岁的存活人在x岁这一整年内的死亡人数。 (2)l0 d 0 d1 d 2 d 1 d x
x 1
t 0
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同理，可以得到
)n ( Ia
n nv n a d
,( IS )n
n S n i
) ,( IS n
n S n d
II n年定期递减年金
( Da) n nv (n 1)v ... v , ( Da) n
2 n
n an i
同理，
第3章 生命表
生命表是研究人口死亡规律的有力工具， 它用表格的形式简单清楚地表述了同时 出生的一组人以怎样的死亡率陆续死亡 的全部过程。
本章主要内容
• • • • • 生命表基本函数 生存分析 非整数年龄存活函数的估计 几个死亡时间的解析分布 生命表的编制
3.1 生命表基本函数
生命表是反映在封闭人口的条件下，一批 人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。 地位：生命表是人寿保险用以测定死亡或 生存概率的基础。 根据以往死亡人数的统计资料，推测出未 来死亡或生存概率，是计算保险费率的必要依 据。
终值的计算方法：
直接法 推导法
I
n n 1 (1 i ) (1 i ) 1 n 1 Sn 1 (1 i) ... (1 i) 1 (1 i) i n n (1 i ) 1 (1 i ) 1 n Sn (1 i) ... (1 i) iv d
例子： Ex2.13 某年金在第一年首收付100元，以后每隔一年均比前 一年增收100元，若年利率为8%，（1）计算收付8年后年金 现值与终值；（2）计算永久年金的现值。
Ex2.14 某年金第一年收付200元，以后每隔一年均比前一年 增收100元，增加到一次收付1000元时不再增加，并保持每 年1000元的水平连续收付，年利率为8%，给出这一年金现值 的计算表达式。
III 两者的关系
v Sn S n
or
(1 i)S S n n
利用前述两种理解与证明的方法
例子
Ex2.8某人从银行贷款20万元用于购房，规定的还 款期是30年假设贷款利率为5%，如果从贷款第2 年开始每年等额还款，求每年需要换款数额是多 少？ Ex2.9某人在30岁时计划每年初存入银行300元建立 个人帐户，假设他在60岁退休，存款年利率假设 恒定为3%。（1）求退休时个人帐户的累积额； （2）如果个人帐户累积额在退休后以固定年金的 方式在20年内每年领取一次，求每年可以领取的 数额。
5. px : 生存率，表示x岁的人在一年内存活的概率，即到x 1岁时仍然存活的概率。
n
px : 表示x岁的存活人再活n年的概率，用公式表示即为：
n
px
6.n qx : 表示x岁的存活人，活过n年，并在第n 1年死亡的概率。
n
lx n lx n 1 d x n lx n d x n qx n px qx n lx lx lx lx n qx : 表示x岁的人在x n x n m岁之间死亡的概率，
(1 i) n 1 m i n (1 i) 1 m d
例子
Ex2.12若存入银行10万元建立一项永续奖励 基金，从存款后1年开始支取年金,设利率为 4%，求每年可以提取的最大数额。
2.2.3 变额年金
等比变化与等差变化，我们主要研究等差变化年金。
Ia n n Ia
a
(m)
1 1 v v .... m m 1 v 1 1 ( m) 1 1 m i m m 1 v m[(1 i ) 1]
1 m
1 m
2 m
(m) an (m) an
1 vn m i n 1 v m d
(m) Sn (m) Sn
例子
Ex2.10在上例中，如果退休后个人帐户累积 额以固定年金的方式在20年内每月领取一 次，求每月领取的数额。 Ex2.11某人贷款50000元购买汽车，从贷款 第9个月开始用5年的时间每月还款，利率 为6%，求每月的还款额。
同时，还可以按照公式的办法得到上面的结 果。
n a
m
1 i 1 m 1 i 1 1 v m 1 v m m , an m , sn , sn m m d i d i
例子：养老保险金（与生命有关）
分期付款购买房子（与生命无关）
表示符号：
an n a
：在复利率i下每年末1单位元，收付期为n年，在初 始时刻的现值。 ：在复利率i下每年首1单位元，收付期为n年，在初 始时刻的现值。
1
1
1
。。。
1
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金额
0
1
2
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。。。
n-1
n
年份
v v2 v
n
n n n 1 v 1 1 v 1 v an v v 2 ... v n v 1 v 1 i 1 1 i 1 i
理论基础：个体的不可预测性 群体死亡的稳定性 编制方法：1 选择初始年龄且假定在该年 龄生存的一个合适的封闭人口数，这个 数称为确定基数。 2 根据各年龄的死亡人数与 生存人数，计算出死亡率等一系列数据。 极限年龄ω ：在极限年龄ω时，该群体的 存活人数为0。
生命表的通常函数
1.x : 年龄，在生命表中的范围， 0 1 岁。x取整数值。 2.lx : 存活到确切整数年龄x岁的人数。x 0,1, , 1。 l0 100000,1000000,
m
当n 0时， q qx . 0 x
nm
d x n lx n lx m m n px m n px n px m qx n n m qx lx lx 7. e x : 完全平均余寿或生命期望值，即表示x岁的存活人在以后可望 生存的平均年数。 e0 表示确定基数的一个群体的平均寿命。
2.2 年金
在本节中，首先给出年金的定义， 然后主要介绍各种年金的表示方式 和计算方法。
2.2.1 等额确定年金的现值和终值
年金是收付款的一种方式，是指相隔一个相等的时间间隔 进行的一系列固定数额收付款方式。
分类：
1 根据固定数额是否变化 期首年金 2 根据付款时间
等额年金 变额年金
期末年金 定期年金 3 根据付款时期的长度 永久年金